GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THU HÀ GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý Tốn Mã số: 9440130.01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2023 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Gần eikonal cho biên độ tán xạ lượng cao góc tán xạ nhỏ xây dựng lần vào năm 1959 học lượng tử phi tương đối tính sau học lượng tử tương đối tính, lý thuyết trường lượng tử gần lý thuyết hấp dẫn lượng tử Việc phát sóng hấp dẫn vào năm 2014 chụp ảnh “lỗ đen” vào năm 2019 đặt vấn đề cấp bách vật lý đại, tìm biên độ tán lượng cao hạt cho tất tương tác bao gồm tương tác hấp dẫn, việc hợp bốn loại tương tác: điện từ, yếu, mạnh hấp dẫn thành lý thuyết thống vĩ đại Tán xạ hấp dẫn diễn lượng s = E M PL số tương tác hiệu dụng - vùng G = Gs / lượng mô tả “lý thuyết trường hiệu dụng” Bài toán tán xạ hấp dẫn nhiều tác giả nghiên cứu theo cách tiếp cận khác dựa khai triển nhiễu loạn thông thường Cho đến nghiên cứu nhận số hạng (leading term) biên độ tán xạ Việc tìm số hạng bổ (non-leading term) cịn lại thất bại chúng có vai trị quan trọng vấn đề lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, cải biến lý thuyết dây lý thuyết hấp dẫn hiệu ứng khác hấp dẫn lượng tử Việc xác định số hạng bổ cho số hạng chủ chốt toán tán xạ hấp dẫn vấn đề mở chưa có lời giải Từ phân tích trên, với mục đích phát triển sơ đồ tính tốn hệ thống dựa phép gần quỹ đạo thẳng (gần eikonal) để tính biên độ tán xạ bổ lý thuyết trường bao gồm lý thuyết hấp dẫn lượng tử, lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng lựa chọn đề tài nghiên cứu “Gần quỹ đạo thẳng cho trình tán xạ lượng cao lý thuyết lượng tử” Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận án xây dựng sơ đồ tính toán hệ thống, sử dụng gần quỹ đạo thẳng (gần Eikonal ) để tìm biên độ tán xạ bổ học lượng tử, lý thuyết trường lượng tử bao gồm lý thuyết hấp dẫn lượng tử, lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng Nội dung nghiên cứu Với mục tiêu trên, thực nghiên cứu nội dung sau: Nghiên cứu tổng quan gần eikonal lý thuyết: Quang học, học lượng tử lý thuyết trường lượng tử; Tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt trường ngồi phương pháp tích phân phiếm hàm học lượng tử làm tiền đề cho việc áp dụng gần lý thuyết trường lượng tử Tính tốn tiết diện tán xạ hạt cụ thể Gauss Yukawa; Tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ phương pháp chuẩn biểu diễn tọa độ lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính Thế Yukawa sử dụng để cụ thể hóa kết quả; Tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ bổ khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn cải biến phương trình chuẩn lý thuyết hấp dẫn lượng tử vịng; Tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ cho Newton mà bao gồm đóng góp bổ lượng tử tương đối tính bổ lượng tử gần vịng lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng Phương pháp nghiên cứu Với cách tiếp cận tổng hợp logic toán học lẫn vật lý, xây dựng cơng cụ tính tốn chúng tơi nghiên cứu phương pháp chung lý thuyết trường đặc biệt nghiên cứu kỹ phương pháp sau: Phương pháp thứ phương pháp lấy tổng giản đồ Feynman; Phương pháp thứ hai phương pháp tích phân quĩ đạo (trong vật lý gọi tích phân đường cịn tốn học cịn gọi tích phân phiếm hàm); Phương pháp thứ ba phương pháp chuẩn Phương pháp dựa sở phương trình chuẩn Logunov-Tavkhelidze (gọi tắt phương trình chuẩn thế) mà coi tổng qt hóa phương trình Lippmann - Schwinger Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tán xạ hai hạt lượng cao học lượng tử Tiếp tục phát triển toán lý thuyết trường lượng lý thuyết trường lượng tử vòng kể trường hấp dẫn lượng tử Kết này, lại tiếp tục mở rộng lý thuyết hấp dẫn hiệu dụng Việc hoàn thiện phát triển lý thuyết nhiễu loạn cải biến giúp tìm số hạng (leading term) biên độ tán xạ eikonal hệ thống số hạng bổ (corrections-non-leading) lý thuyết hấp dẫn lượng tử, mà trước chưa thành công Ý nghĩa khoa học luận án Các kết luận án góp phần xây dựng hoàn thiện lý thuyết trường lượng tử bao gồm hấp dẫn Việc tìm biên độ tán xạ cho Newton mà bao gồm đóng góp bổ lượng tử tương đối tính bổ vịng khn khổ lý thuyết hấp dẫn hiệu dụng góp phần làm rõ mối liên hệ lý thuyết lượng tử hiệu dụng thuyết tương đối rộng học lượng tử tương đối tính Bố cục luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, phụ lục, phần nội dung luận án gồm chương: Chương 1: Tổng quan gần eikonal; Chương 2: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ phương pháp tích phân phiếm hàm học lượng tử; Chương 3: Đóng góp hấp dẫn lượng tử hiệu dụng cho tán xạ lượng cao khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn cải biến gần vòng; Chương 4: Biên độ tán xạ lượng cao lý thuyết hấp dẫn tuyến tính Các kết luận án trình bày cơng trình khoa học: 01 cơng bố Tạp chí khoa học quốc tế thuộc danh mục ISI (IF: 4.8389, Q1), 03 báo đăng Tạp chí khoa học nước CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ GẦN ĐÚNG EIKONAL Trong chương nghiên cứu phép gần eikonal quang học, sau lý thuyết tán xạ học lượng tử, cuối lý thuyết trường lượng tử Nội dung chương sở lý thuyết để nghiên cứu nội dung chương tiếp sau 1.1 Gần eikonall quang học Trong phần tiến hành thảo luận gần eikonal quang học Phương trình mơ tả việc truyền sóng ánh sáng mơi trường có chiết suất n mà trường hợp tổng quát hàm số tọa độ n ( r ) , có dạng: n 2 − 2 = c t (1.1) thành phần véc tơ E H Chúng ta tìm nghiệm phương trình (1.1) trường hợp dạng: (1.4) = aei Ở khoảng cách nhỏ không - thời gian, hàm gọi eikonal thỏa mãn phương trình sau: ( Δa + i 2a + iaΔ − a ) − (1.7) n2 ( r ) 2a a 2 − + 2i + ia − a = c t t t t t Giả thiết a hàm biến đổi chậm tọa độ thời gian, bỏ số hạng a 2 a chứa đạo hàm bậc hai a là: Δa , Δ , a. , , , (1.7), t t t t thu phương trình eikonal cho : ( ) n ( r ) = c t 2 (1.8) Và: = n ( r ) c Các phương trình (1.8) (1.9) gọi phương trình eikonal ( ) 2 Như vậy, gần eikonal tia hướng theo k = , = − mặt: (1.9) , mặt sóng t ( r , t ) = const (1.10) 1.2 Gần eikonal học lượng tử 1.2.1 Bài toán tán xạ học lượng tử Trước tiên, nghiên cứu gần eikonal học lượng tử dựa vào việc phát biểu toán tán xạ Nếu tán xạ xảy có đối xứng cầu hàm sóng xa vơ gồm sóng phẳng tới sóng cầu tán xạ có dạng: eikr ( r ) ~ eikz + f ( ) , (1.11) r đó, hàm số f ( ) gọi biên độ tán xạ Mật độ tiết diện tán xạ xác định bởi: d = f ( ) d Như vậy, mật độ tiết diện tán xạ hồn tồn tính theo biên độ tán xạ Để tìm biên độ tán xạ f ( ) , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger: + E − V ( r ) r ( r ) = 2m Khi r → hàm sóng r ( r ) có dạng tiệm cận (1.11) (1.18) (1.19) Trong nhiều trường hợp ta kết hợp phương trình Schrodinger (1.19) điều kiện biên (1.11) vào phương trình tích phân Điều thực ta sử dụng hàm Green phương trình Schrodinger tự G0 ( r , r ' ) Nhờ có G0 ( r , r ' ) phương trình (1.19) chuyển thành phương trình tích phân: k ( r ) = k ( r ) + G0 ( r , r ' )V ( r ' ) k ( r ' ) dr ' , (1.23) Hay (r r ) ' eikr 2m −ik r (1.26) k (r ) = e − e V ( r ' ) k ( r ' ) dr ' r 4 So sánh (1.26) (1.11) thu biểu thức biên độ tán xạ: m − ik ' r f ( ) = − e V ( r ) k ( r ) dr (1.27) 2 Biểu thức (1.27) cho ta biên độ tán xạ f ( ) , biết nghiệm phương trình ikr Schrodinger k ( r ) Lưu ý, biểu thức (1.27) ta cần hiểu k ( r ) khơng phải tồn khơng gian, mà vùng tác dụng V ( r ) 1.2.2 Lời giải phương trình Schrodinger gần eikonal Chúng ta tìm nghiệm phương trình Schrodinger (1.19) có dạng sóng phẳng mà q trình tương tác với xuất thêm số hạng dịch pha bổ sung ( r ) ( r ) = eikr +i ( r ) Thay (1.28) vào (1.19) với E = i Δ + (1.28) k2 ta có phương trình xác cho ( r ) : 2m ( ) 2k + + V ( r ) = 0 2m (1.29) 2m Nếu ta giả thiết ( r ) hàm nhẵn tọa độ, ta làm rút phương trình eikonal quang học (1.9) (1.29) ta bỏ đạo hàm bậc hai ( r ) Như học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là: 2m k ( r ) + ( r ) = − V ( r ) (1.30) ( ) So sánh (1.8) với (1.30) ta có vai trò eikonal đại lượng kr + ( r ) Nếu lượng hạt va chạm lớn, hướng véc tơ sóng k theo trục z , k = v , nghiệm phương trình Schrodinger gần xét có dạng: m ( r ) = exp ikr − z i V x , y , z dz ( ) v − (1.34) Thay (1.34) vào (1.27), với q = k − k ' ta biểu thức cho biên độ tán xạ: z f ( ) = − m 2 e iqr V (r )e − i V ( x , y , z ) dz v − dxdydz , (1.35) Bây ta nghiên cứu tán xạ góc nhỏ, cho thay đổi xung lượng q trình tán xạ q lấy với độ xác vng góc với k , tức vng góc với trục Oz k Trong trường hợp ta thu biên độ tán xạ: − i V (b⊥ , z ')dz ' v k f ( ) f k ' , k = d 2b⊥eiq⊥b⊥ e − − 1 , (1.36) 2 i Đối với có tính đối xứng (1.36) lấy tích phân theo góc phương vị Khi ta có biên độ tán xạ dạng: − i V (b , z)dz v f k ' , k = −ik bdbJ ( qb ) e − − 1 , (1.39) 1.2.3 Điều kiện sử dụng gần eikonal Bây tìm điều kiện cho năng, lượng hạt bị tán xạ góc tán xạ, để biểu thức (1.36) Để đạt mục tiêu này, ta cần thiết lập điều kiện cho số hạng ( ( 2m Δ ( r ) ( ) ) ) nhỏ so với V ( r ) 2m Ta thu kết quả: Thế đủ nhẵn Năng lượng đủ lớn 2m k ( r ) a hay ka V (r ) E Góc đủ nhỏ (1.42) (1.44) (1.45) ka 1.3 Biểu diễn eikonal lý thuyết trường lượng tử Bài toán tán xạ lượng cao hạt không giải cách tiếp cận Bởi vì, cách tiếp cận này, chưa tính đến hiệu ứng trễ khả sinh hạt Bài tốn thực cách logics lý thuyết trường lượng tử Do vậy, việc nghiên cứu để nhận biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ cách tiếp cận lý thuyết trường lượng tử cần thiết Với mục đích này, sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm Đây phương pháp giúp ta tính tốn đơn giản so với phương pháp lấy tổng giản đồ Feynman Để đơn giản ta nghiên cứu tán xạ hai hạt “nucleon” (trường ) tương tác với trường meson Các tính tốn thực tế trùng cho hai trường hợp: Khi spin trường meson không spin trường meson Để xây dựng biên độ tán xạ xuất phát từ hàm Green Tiếp theo, sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm Cụ thể hàm Green lượng tử hai hạt G ( y1 , y2 ; x1 , x2 A) thu phương pháp tích phân phiếm hàm theo trường Sau đó, sử dụng phép gần eikonal để tính tích phân phiếm hàm theo trường Muốn vậy, ta khơng tính hiệu ứng phân cực chân không Chúng ta nhận biên độ tán xạ: T ( q1 , q2; p1 , p2 ) = −4 g d Be i ( q1 − p1 ) B ( n =1 n − + ) g2 exp −i jn D c j n v 1 c − p + q D B − p + q d exp −ig j1D c j2 + ( p1 p2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 đây: + jn ( Z ) = d n ( ) − pn ( ) − qn ( − ) ( v (1.80) 4) − ' z − x n − n ( ) d − 2 pn ( ) + qn ( − ) Với: n = 1, 2; x1' − x2' = B (1.81) Biểu thức biên độ tán xạ mà tìm nhờ phương pháp tích phân phiếm hàm (1.80) tương tự với chuỗi thông thường lý thuyết nhiễu loạn Sau khai triển (1.80) theo chuỗi g , tích phân phiếm hàm theo n lấy xác Ở đóng góp khơng đóng góp mơ tả giản đồ Hình 1.5 1.6 Tuy nhiên nghiên cứu biểu thức (1.80) mà sử dụng khai triển nhiễu loạn thú vị Tính tích phân phiếm hàm theo n cách xác khơng thể, sử dụng cách đánh giá gần (phép gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Hình 1.5: Các giản đồ khơng cho đóng góp vào biên độ tán xạ Hình 1.6 Các giản đồ với việc trao đổi “thang” Việc lấy tổng tất giản đồ dẫn đề công thức Regge- Eikonal biên độ tán xạ Trước tiên cần lưu ý, tích phân theo biến phiếm hàm n ( n = 1, ) (1.80) thực phép lấy tổng đóng góp, mà chúng mang cho biên độ tán xạ quỹ đạo nucleon tương tác Những quỹ đạo hàm thời gian riêng xác định xung lượng nucleon trước sau tán xạ ( pn p ' n tương ứng) biến số phiếm hàm n ( ) : n ( ) = 2 pn ( ) + qn ( − ) + n ( ) d ; n = 1, Trong ký hiệu này, biểu thức dịng (1.81) có dạng: + jn ( Z ) = d − dxnv ( ) ( 4) ( z − x 'n − xn ( ) ) , d (1.82) Công thức (1.82) tổng quát hóa bất biến tương đối tính định nghĩa dịng hạt thơng thường hạt điểm, mà chuyển động theo quỹ đạo x ( t ) : ( j v ( Z ) = ( z − x ( t ) ) , v ( z − x ( t ) ) ) thỏa mãnh phương trình liên tục jn ( Z ) , n = 1, Khi tán xạ lượng cao phía trước: S = ( p1 + p2 ) → , t = ( p1 − q1 ) = const 2 Ta giả thiết cách tự nhiên giá trị cố định tọa độ B từ tất quỹ đạo nucleon đóng góp quỹ đạo thẳng mà chúng cho hướng xung lượng trước sau tán xạ Điều có nghĩa vùng động học bỏ dịng (1.81) biến số phiếm hàm n ( ) ; ( n = 1, ) mô tả độ lệch khỏi quỹ đạo thẳng Lập luận minh chứng thực nghiệm độ vượt trội thấy trình va chạm nucleon, mà địi hỏi việc truyền xung lượng lớn (tán xạ góc lớn) Theo ngơn ngữ giản đồ Feynman với gần này, kiểm tra dễ dàng phép khai triển theo chuỗi g , dẫn đến việc tuyến tính hóa hàm truyền nucleon theo xung lượng meson ảo phép thay thế: −1 −1 2 p + ki − m → p k i + k i i i i p xung lượng số nucleon bị tán xạ, ki xung lượng meson ảo Trong cách tiếp cận phiếm hàm, điều đạt cách lấy gần tích phân Feynman theo quỹ đạo v e − ig n , m jn Dc jm e − ig n ,m jn Dc jm jn D c jm 4v jn D c jm Gần nghiên cứu q trình tán xạ lượng cao có tên gọi gần quỹ đạo thẳng, Trong gần hạt lượng cao bị tán xạ việc trao đổi lượng tử ảo cách độc lập với Việc tính tích phân phiếm hàm công thức (1.80) gần eikonal dẫn đến biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ T ( s, t ) = −2ise at d B1e ( i p1 − q1 ) B1 ( B ) = (e g2 K ( B ) 2 a= m2 ln + 2 ( 2 ) m g2 i ( B ) ) −1 , (1.83) Thừa số eat công thức (1.83) tương ứng với số hạng bổ cho đường nucleon Pha eikonal ( B ) (1.83) tương ứng với Yukawa nucleon g e− r bị tán xạ: V ( r ) = − , r = B2 + z 4 r Tiết diện tán xạ tồn phần mơ hình tiến tới số s → T T ( s,0 ) tot ( s ) = m → const s → s Nếu nghiên cứu trình tán xạ nucleon mơ hình với meson vơ hướng gần eikonal, sơ đồ tính tốn ngun cũ ( Lint = g * ) , việc thay đổi biểu thức áp dụng cho dịng nucleon Thay cho cơng thức (1.81), trường hợp ta có: + 4 jn ( Z ) = d ( ) ( ) z − x 'n − n ( ) d − 2 pn ( ) + qn ( − ) − Trong gần eikonal cho biên độ tán xạ lại thu công thức Glauber (1.82) với pha phụ thuộc vào lượng g2 ( B, s ) = K0 ( B ) 4 s Tiết diện tán xạ toàn phần trường hợp giảm với việc tăng lượng tot ( s ) s → ~ Pha eikonal trường hợp xét hoàn toàn thực, s gần eikonal giản đồ khơng kể thêm q trình khơng đàn tính vào tán xạ đàn hồi Muốn tính đóng góp khơng đàn tính cần phải nghiên cứu trao đổi “block “ảo phức tạp hơn, mà chúng chứa đường kín nucleon [20] Trong gần eikonal lấy tổng giản đồ với việc trao đổi “thang” (Hình 1.6) Pha trường hợp ảnh Fourier hai chiều từ đóng góp cực điểm Regge ( ) − q2 S (1.84) ( B, s ) = const eiqB S ( ) 0 Kết xem khẳng định mơ hình Regge-Eikonal lý thuyết trường lượng tử đắn 1.4 Tổng kết chương Trong chương chúng tơi trình bày cách hệ thống gần eikonal để mô tả tán xạ hạt Trước tiên, thu biểu thức eikonal quang học Tiếp theo dẫn công thức Glauber cho biên độ tán xạ từ lời giải phương trình Schrodinger Đồng thời đưa điều kiện cho năng, lượng hạt góc tán xạ để sử dụng gần Cuối trình bày gần eikonal lý thuyết trường lượng tử Cụ thể, áp dụng phương pháp áp dụng rộng rãi toán tán xạ phương pháp Feynman dựa sở phép tích phân phiếm hàm lý thuyết trường lượng tử Việc vận dụng lý thuyết tổng quan gần eikonal cho toán tán xạ lượng cao chúng tơi trình bày cụ thể chương sau luận án Đặc biệt kết vận dụng để nghiên cứu toán tán xạ lý thuyết hấp dẫn lượng tử d 2q CHƯƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Trong chương vận dụng kiến thức tổng quan gần eikonal trình bày chương để tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán toán tán xạ học lượng tử Trong phần giới thiệu cách biểu diễn hàm Green hạt cho phương trình Schrodinger ngồi dạng tích phân phiếm hàm Sau đó, chúng tơi tiến hành tách cực điểm từ hàm Green hạt trường ngồi để tìm biên độ tán xạ Phần thứ hai chúng tơi nghiên cứu cách tính gần tích phân phiếm hàm gần quỹ đạo thẳng xem xét dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ vùng lượng cao với góc tán xạ nhỏ Đồng thời thảo luận hạn chế lên năng, lượng hạt góc tán xạ để phép gần sử dụng Trong phần thứ ba chúng tơi tính tiết diện tán xạ vi phân với cụ thể Yukawa Gauss 2.1 Hàm Green phương trình Schrodinger trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Phương pháp tích phân phiếm hàm đưa vào học lượng tử cách toán học viết lời giải phương trình Schrodinger dạng tích phân phiếm hàm Chúng ta xem xét phương pháp qua ví dụ tốn tán xạ hạt trường ngồi học lượng tử Khi hàm Green hạt thỏa mãn phương trình Schrodinger dừng có dạng: E + − V ( r ) + i G ( r , r ' ) = ( ) ( r − r ' ) (2.1) m Việc thay E thành E + i (2.1) cho phép nhận hàm Green mà chứa sóng phân kỳ r → Áp dụng biểu diễn giả thiết Feynman, Fock viết toán tử ngược dạng hàm mũ ta thu hàm Green dạng tốn tử Sau sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm ta thu hàm hàm Green phương trình Schrodinger trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm: t i t mx ( t ') i ( E +i ) i G ( r , r ') = − dte Cx dx ( t ) exp dt ' − V ( x ( t ) ) (2.7) t với điều kiện: t x(t ) = r + (t '')dt '' = r (2.8) m t Tích phân phiếm hàm (2.7) tích phân Feynman theo quỹ đạo x ( t ) hạt hàm mũ, mà số lũy thừa tác dụng cổ điển hạt trường V ( x ( t ) ) 2.2 Biên độ tán xạ gần quỹ đạo thẳng Biên độ tán xạ liên quan tới hàm Green hạt tán xạ trường ngồi tính theo công thức sau: 2 4 m k '2 k f k,k ' = − E − + i k '|G − G0 |k E − + i , (2.11) 2m 2m ( ) 2 k '2 k = E = 2m 2m 10 −1 '2 k hai cực E − + i 2m Để thu biên độ tán xạ ta cần phải tách từ hiệu ( G − G0 ) −1 '2 2 2 k k k + i để triệt tiêu thừa số E − + i E − + i E − 2m 2m 2m cơng thức (2.11) Ta thực bước sau Bước 1: Chuyển sang biểu diễn xung lượng, trước tiên tìm ảnh Fourier G ( r , r ' ) k |G|k = drdr e ( 2 ) ' − ik ' r + ikr ' G ( r , r ) = −i d e ( i E + i ) ' dr ( 2 ) e ( ) i k −k r Cv dv ( ) exp i v ( ) d + 2i k v ( ) d − i V r + v d d ( ) m 2m Bước 2: Thực phép dịch chuyển biến phiếm hàm cho phép ta bỏ qua số hạng tuyến tính lũy thừa hàm mũ ( ) = v ( ) + k ( ) = v ( ) + v ( ) k 2m 2m 2m Kết cuối ta tìm hàm Green hạt trường biểu diễn xung lượng: k |G|k = G (k , k ') = −i d e k2 +2 2 k i E − + i m dr ( 2 ) e ( ) i k −k r C d 3 ( ) t exp i ( ) d − i V r + d − k − ( ) ( ) d m m Trong gần này, biên độ tán xạ ta nhận biểu thức đây: 4 m dx i( k − k ) x f k ', k = − V ( x)e ( 2 ) ( (2.12) ) (2.17) 0 d .exp −i v −V x + k ' ( ) + k ( − ) d Công thức (2.17) trùng với công thức nhận lý thuyết nhiễu loạn cho biên độ tán xạ Ta coi k hướng theo trục Oz góc tán xạ nhỏ Khi k − k ' = q ⊥ k hay q ⊥ Oz , ( ) 1 gọi q⊥ , khơng có thành phần z, lưu ý thêm: ( e a − 1) = d e a , ta tìm được: a ( ) f k ', k = − 4 m (2 )3 k = d x exp ( iq⊥ x⊥ ) e 2 dxdy dzV ( x, y, z )e i − v dz 'V ( x , y , z ') − 11 − 1 ea − ( iq⊥ x⊥ ) − i dz 'V ( x, y, z ') v − (2.18) Công thức (2.18) biểu diễn Glauber hay gọi biểu diễn eikonal thông thường cho biên độ tán xạ: 2.3 Tiết diện tán xạ vi phân trường cụ thể Sử dụng biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ nhận mục trước, tính tiết diện tán xạ vi phân cho q trình tán xạ ngồi cụ thể, Yukawa Gauss 2.3.1 Thế Yukawa Thế Yukawa có dạng: V (r ) = Biểu thức pha tán xạ: (b ) = − g − r e r V( Trong : K ( b ) = + e− − ) b + z dz − Thay Yukawa (2.19) vào pha tán xạ ta : + i + i 2 (b ) = V b + z dz = ) ( (2.19) (2.20) g − r 2g e dz = K ( b ) − r (2.21) b2 + z dz hàm Mac Donal bậc (hay hàm Bessel cải biến) 2 b + z Thay biểu thức pha tán xạ (2.20) vào biểu thức biên độ tán xạ : 2ig k k i (b ) f ( ) = J ( kb ) e − bdb = J ( kb ) exp K ( b ) − 1 bdb i i v Khi b → K ( b ) → Biểu thức biên độ tán xạ trở thành : g 2k v + k 2 Từ biên độ tán xạ (2.22) vừa tìm được, ta tính tiết diện tán xạ vi phân : f ( ) = 2 (2.22) g 2k d g 2k 1 = f ( ) = = (2.23) 2 2 d v +k v 2 + 4k sin 2 Tiết diện tán xạ toàn phân tương ứng : 16 ( g k ) = 2 2 (2.24) v ( + 4k ) 2.3.2 Thế Gauss Thế Gauss có dạng : 16 ( g k ) = 2 2 (2.25) v ( + 4k ) Tính cách tương tự, ta thu biểu thức cho pha tán xạ : g g − b b = − V b + z dz = - e − r dz = e ; (2.25) v − v − v Thay vào biểu thức biên độ tán xạ hạt trường (2.21), ta : k 2 gk f ( ) = − exp − (2.26) 2 v 4 () ) ( 12 Tiết diện tán xạ vi phân : 4k sin d gk = (2.27) exp − d 4 v Tiết diện tán xạ toàn phần tương ứng : 2k 2 g (2.28) = 1 − exp − 2 v Những biểu thức cho tiết diện tán xạ vi phân tán xạ tồn phần tìm sử dụng để phân tích số liệu thực nghiệm 2.4 Tổng kết chương Trong chương chúng tơi nghiên cứu tốn tán xạ hạt trường học lượng tử phương pháp tích phân phiếm hàm gần quỹ đạo thẳng, mà tương đương với phép gần eikonal quang học Chúng tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt nhanh ngồi với góc tán xạ nhỏ qua việc tìm lời giải phương trình Schrodinger phương pháp tích phân phiếm hàm, mà khơng dựa vào việc khai triển theo lý thuyết nhiễu loạn thông thường Đồng thời thu tiết diện tán xạ hạt trường cụ thể Yukawa Gauss Cách tiếp cận mà chúng tơi sử dụng mở rộng để nghiên cứu toán tán xạ học lượng tử tương đối tính, lý thuyết trường lượng tử bao gồm tương tác hấp dẫn lượng tử mà tiếp tục nghiên cứu chương CHƯƠNG ĐÓNG GÓP CỦA HẤP DẪN LƯỢNG TỬ HIỆU DỤNG CHO TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG KHUÔN KHỔ CỦA LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CẢI BIẾN VÀ GẦN ĐÚNG MỘT VỊNG Trong chương này, chúng tơi tiếp tục vận dụng lý thuyết tổng quan gần eikonal trình bày chương để nghiên cứu toán tán xạ lượng cao lý thuyết trường lượng tử bao gồm hấp dẫn lượng tử Cụ thể, phát triển sơ đồ tính tốn hệ thống nghiên cứu dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ hai hạt vô hướng lượng cao với xung lượng truyền cố định lý thuyết hiệu dụng hấp dẫn lượng tử dựa phương trình chuẩn Tìm biên độ tán xạ eikonal bổ gần hấp dẫn vịng khn khổ lý thuyết nhiễu loạn cải biến Thảo luận mối liên hệ lời giải cách sử dụng phương pháp tốn tử phương pháp tích phân phiếm cho phương trình chuẩn 3.1 Phương trình chuẩn hai hạt dạng toán tử Để đơn giản, trước tiên xem xét tán xạ đàn hồi hai hạt “nucleon” vô hướng, với Lagrangian tương tác Lint = g ( x ) ( x ) Các kết thu tổng qt hóa cho trường hợp hai hạt “nucleon” vơ hướng tương tác với trường vectơ sau tương tác với trường hấp dẫn Trong biểu diễn xung lượng, áp dụng phương trình chuẩn Logunov-Tavkhelidze ta thu biên độ tán xạ hai hạt vơ hướng có dạng: T ( p, p '; s ) = gV ( p − p '; s ) + g dqK ( q ; s )V ( p − q; s )T ( q , p '; s ) 13 (3.1) Phương trình (3.1) dạng tổng quát phương trình Lippman – Schwinger, cho trường hợp lý thuyết trường lượng tử tương đối tính Thế chuẩn V phương trình (3.1) hàm phức lượng xung lượng tương đối tính Phương trình chuẩn trở lên đơn giản V ( r , s ) “nhẵn” hay nói cách khác chuẩn hàm hiệu xung lượng tương đối hai hạt lượng toàn phần (được gọi chuẩn định xứ) Sự tồn chuẩn gần định xứ chứng minh cách chặt chẽ trường hợp số tương tác yếu cách để xây dựng chuẩn Thế định xứ xây dựng theo cách đưa lời giải cho phương trình (3.1) có giá trị với biên độ vật lý trình tán xạ hai hạt mặt khối lượng Thực phép biến đổi Fourier: V ( p − p '; s ) = drei ( p − p ') rV (r ; s ); (2 ) (3.2) T ( p, p; s ) = drdr exp ( ipr ) exp ( −ipr ' ) T ( r , r ; s ), Từ đây, ta tìm được: g dqK (q ; s )e − iqr dr eiqrV (r ; s ) F ( r , r ; s ) (3.5) (2 ) Định nghĩa toán tử giả vi phân Lˆ = K ( − ; s ) , ta được: F ( r , r ; s ) = ( ) ( r − r ) + r r r ( e − iqr ) = −iqe − iqr ; − 2r ( e − iqr ) = q 2e − iqr ( K ( r , s ) = dqK ( q ; s )e − iqr = K − r ; s ) dqe − iqr = Lr ( 2 ) ( 3) (r ) (3.6) Sau vài biến đổi đơn giản, phương trình (3.5) viết lại dạng toán tử sau: (3.7) F ( r , r '; s ) = ( ) ( r − r ') + gLˆr V ( r ; s ) F ( r , r '; s ) Phương trình (3.7) dạng tốn tử phương trình Logunov – Tavkhelizde Trong khn khổ phương pháp chuẩn thế, xác định cách mở rộng thành chuỗi vơ hạn theo bậc số tương tác Việc tương ứng với việc khai triển nhiễu loạn biên độ tán xạ mặt khối lượng Nghiệm gần phương trình (3.7) tìm bậc thấp chuẩn Sử dụng phương pháp này, biểu thức eikonal tương đối tính biên độ tán xạ đàn tính tìm lý thuyết trường lượng tử với lượng lớn xung lượng truyền nhỏ 3.2 Lý thuyết nhiễu loạn cải biến Trong lý thuyết trường lượng tử, vấn đề tán xạ chủ yếu giải hai phương pháp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến phương pháp tích phân phiếm hàm Tuy nhiên, số trường hợp, để giải tốn cách thuận lợi ta phải cải tiến phương pháp phép khai triển mà có tên gọi phương pháp nhiễu loạn cải biến Fradkin đề xuất Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến để giải phương trình (3.7) Theo phương pháp này, chúng tơi viết nghiệm phương trình dạng hình thức: − ik r − r ' F ( r , r '; s ) = dk exp W (r , k ; s ) e ( ) (3.8) 2 ( ) Thay phương trình (3.8) vào phương trình (3.7), có phương trình cho hàm W r , k ; s ( ) 14 ( dke ( 2 ) W r ,k ;s ) e − ik ( r − r ) = dke ( 2 ) ( ) − ik ( r − r ) + dke ( 2 ) ikr W ( r ,k ;s ) − ikr gLˆr V ( r ; s ) e e Suy ra: W ( r , k ; s ) −ikr ikr exp W r , k ; s = + gLˆr V ( r ; s ) e e (3.9) Chúng sử dụng ý tưởng lý thuyết nhiễu loạn cải biến hàm số mũ viết hàm W r , k ; s dạng mở rộng theo chuỗi theo số tương tác g ( ) ( ) ( ) W r , k ; s = g nWn r , k ; s = gW1 + g 2W2 + g 3W3 + n =1 (3.11) Thay phương trình (3.11) vào phương trình (3.9) ta có: 1 1 + g nWn + g nWn + g nWn + n=1 2! n=1 3! n=1 = 1+ n n 2 1 + g Wn + g Wn + 2! n=1 − ikr ikr n=1 + gLˆr V ( r ; s ) e e + g nWn + 3! n=1 (3.12) Đồng hệ số số hạng theo số tương tác g hai vế (3.12), tìm số hạng gần bậc nhất, bậc hai bậc ba cách tương ứng (xem phụ lục D.1): ( ) ( ) W1 r ; k ; s = dqV ( q; s ) K (q + k ) ; s e −iqr ( ) W2 r ; k ; s = − ( W12 r ; k ; s 2! ( ) )+ (3.13) dq dq V ( q ; s )V ( q ; s ) ( ) (3.14) −i q +q r K k + q1 ; s K k + q1 + q2 ; s e ( ) ( ) ( W12 r ; k ; s 2 )+ dq1dq2dq3V ( q1; s )V ( q2 ; s )V ( q3 ; s ) 3! (3.15) 2 − i q + q + q r ( ) K k + q1 ; s K k + q1 + q2 ; s K k + q1 + q2 + q3 ; s e W3 r ; k ; s = − ( ) ( ) ( ) ( ( ) Nếu giới hạn gần bậc W r ; k ; s thay W r ; k ; s ( ) ) W1 r ; k ; s phương trình (3.9), thu biểu thức gần cho biên độ tán xạ từ biểu thức (3.8), (3.4) (3.2): T1 ( p, p; s ) = g dr e ( 2 ) i ( p − p ) r V (r ; s) e g W1 ( r ; p ;s ) (3.16) Để làm rõ ý nghĩa vật lý cách tính gần này, khai triển T1 ( p, p; s ) thành chuỗi theo số tương tác g 15 g n+1 dq1 dqnV ( q1 ; s ) V ( qn ; s ) n! (3.17) n n V p − p − qi ; s K ( qi + p ) ; s i =1 i =1 Có thể dễ dàng nhận thấy từ phương trình (3.17) phương trình (3.18) phép gần trường hợp phương trình Lippmann-Schwinger trùng với phép gần qi q j = nghiên cứu dáng điệu hồng ngoại hàm Green lượng tử hay biên độ tán xạ hạt trường QED, hay số hạng qi q j = hàm truyền “nucleon”, hay gần quỹ đạo thẳng phương pháp tích phân phiếm hàm Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon” biên độ tán xạ hai hạt có dạng eikonal vùng s → , t − cố định ta lấy tổng giản đồ thang (Hình 3.1) T1( n +1) ( p, p '; s ) = Hình 3.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon” 3.3 Dáng điệu tiệm cận biên dộ tán xạ vùng lượng cao Trong phần này, lời giải phương trình chuẩn Logunov- Tavkhelidze thu phần trước cho biên độ tán xạ sử dụng để tìm dạng tiệm cận biên độ tán xạ lượng cao s → xung lượng truyền cố định Trong khai triển tiệm cận, giữ lại số hạng số hạng gần bậc tiếp theo, sử dụng công thức: exp W ( r ; p; s ) = exp W1 ( r ; p; s ) 1 + g 2W2 (r , p '; s ) + (3.19) Sử dụng biến Mandelstam, có: s = ( p + m ) = ( p2 + m ) = pz2 + 4m + 2⊥ p z2 ; 1 ; p − p = ⊥ ,0 ; p = ⊥ , pz ; 2 p = − ⊥ , pz ; t = − ⊥ ; ⊥ nz = 0; Chúng tơi có số hạng gần bậc 1,2,3 biên độ: W W 1 W1 = 10 + 11 + O s s s s W 1 W2 = 20 + O , s s s W3 = (W31 + W32 + W33 ) s Ta tiến hành tính số hạng bổ W10 ;W11 W20 pz s ( ) e − iqr W10 = dqV ( q; s ) = 2i dzV ( qz − i ) z 16 ( r⊥ + z 2 ; s (3.20) (3.22) (3.23) (3.24) ) (3.25) W11 = −2 dqV ( q; s ) = −6V ( e − iqr 3qz2 + q⊥2 − q⊥ ⊥ ( qz − i ) ) ( = −4i dz 3V z )= z z r⊥2 + z ; s − ( 2⊥ + i ⊥ ⊥ ) dz dzV W20 = −4 dq1dq2V ( q1 ; s )V ( q2 ; s ) e ( − i ( q1 + q2 ) r ) r + z ; s + ⊥ dzV z ⊥ ( r⊥2 + z2 ; s ) (3.26) 3q1z q2 z + q1⊥ q2⊥ ( q1z + q2 z − i )( q1z − i )( q2 z − i ) ( ) r + z ; s ⊥ 2 (3.27) Trong giới hạn s → ( t s ) → , W 10 đóng góp chính, số hạng cịn lại bổ Do đó, hàm W biểu diễn cách mở rộng (3.19) W10 , W11 , W20 , xác định công thức từ (3.25) đến (3.27), có: e =e W g W10 s g e W11 + g 2W2 + g 3W3 + s s e g W10 s W W11 + g 2 20 + g 3W3 + 1 + g s s s s Dạng tiệm cận biên độ tán xạ viết dạng T ( s; t ) s → t − fixed = g (2 )3 d r⊥ dze i ⊥ r⊥ V ( ) r + z ;s e ⊥ g W10 s (3.31) g g2 1 + W11 + W20 + s s s s Thay phương trình từ (3.25) đến (3.30) vào phương trình (3.31) thực phép tính giới hạn lượng cao xung lượng truyền cố định, cuối có biểu thức cho biên độ tán xạ T ( s, t ) ( ) = TScalar ( s, t ) s → ; t − fixed ( ) +TScalar ( s, t ) () + TScalar ( s, t ) s → ; t − fixed ( ) + TScalar ( s, t ) s → ; t − fixed s → ; t − fixed s → ; t − fixed + (3.32) Trong phương trình (3.32), số hạng mô tả dáng điệu biên độ tán xạ eikonal chính, số hạng cịn lại bổ với độ lớn tương đối s Bài toán tán xạ lượng cao ( s → ) coi nhẵn, xung lượng truyền ⊥ tương đối nhỏ Do đó, số hạng tỷ lệ thuận với ⊥V 2⊥V phương trình (3.32) bị bỏ qua, có: ( ) TScalar ( s; t ) s → t − fixed =− 2ig i ⊥ r⊥ d r e exp ⊥ s − dzV ( 2 ) is 17 ( r ⊥2 + z ; s − 1 ) (3.33) () TScalar ( s; t ) s → t − fixed =− 6g ( 2 ) d s s r⊥ei⊥ r⊥ (3.34) 2ig exp dzV r⊥2 + z ; s dzV r⊥2 + z ; s s − − Như ta biết, nghiên cứu biên độ tán xạ qua giản đồ Feynman, dáng điệu tiệm cận lượng cao chứa logarit lũy thừa nguyên s Một dáng điệu tương tự rút lấy tích phân phương trình (3.32) dẫn đến biến hệ số lũy thừa bậc s Tuy nhiên, số hạng chứa lũy thừa bậc s cần thiết để tính tốn bổ biên độ tán xạ mà dẫn đến xuất hiệu ứng trễ Từ phương trình (3.32) giới hạn lượng cao s → ∞ xung lượng cố định với giả thiết chuẩn nhẵn hàm tọa độ tương đối hai nucleon, chúng tơi tơi tìm thấy biên độ tán xạ eikonal khn khổ lý thuyết trường lượng tử is i r ;s ( 0) TScalar ( s; t ) s → = − d r⊥ei ⊥ r⊥ e ( ⊥ ) − 1 (3.35) ( 2 ) ) ( ) ( t − fixed với (| r⊥ |; s ) = − e − ik⊥ r⊥ g2 K r = d k K ( | r |) ; , r⊥ vectơ ( ) ⊥ ⊥ ⊥ 2 k⊥ + (2 ) s hai chiều, vng góc với hướng va chạm (tham số ngắm) nucleon, K ( r⊥ ) hàm Mac Donald bậc không, khối lượng graviton, mà có vai trò loại bỏ phân kỳ hồng ngoại (| r⊥ |; s ) hàm pha eikonal Số hạng eikonal tương tự (3.35) Lagrangian tương tác Lint = g ( x ) ( x ) tìm phương pháp tích phân phiếm hàm Trong đó, hàm pha eikonal cho trao đổi hạt vô hướng meson ảo tương tự với tương tác − r Yukawa hai “nucleon” V ( r⊥ ; s ) = − ( g 4 s ) e ⊥ r⊥ Sử dụng chuẩn Yukawa ( ) thay vào công thức (3.33) (3.34), cho biên độ eikonal bổ bậc nhất, thu g2 g4 g7 ( 0) TScalar ( s; t ) s → = − F ( t ) + F ( t ) (3.36) 2 ( 2 ) s − t ( 2 ) s 12 ( 2 ) s t − fixed 3ig g3 (1) TScalar ( s; t ) s→ = F ( t ) − F ( t ) (3.37) 3 (2 ) s s s ( ) t − fixed F1 ( t ) = 4 t 1− t ln − − 4 t + − 4 t 2 F2 ( t ) = dy ln ( ty + ) ( y − 1) t ( ty + − t ) t (3.38) (3.39) Một tính tốn tương tự áp dụng cho hạt trao đổi khác với spin khác Trong trường hợp mơ hình tương tác với hạt vecto Lint = − g *i A + g A A * , 18 ( gần không phụ thuộc vào lượng V ( r⊥ ) = − ( g 4 ) e − r⊥ ) r⊥ , có được: Tvector ( s; t ) s → = 2 ( 2 ) − t t − fixed 3ig (1) Tvector ( s; t ) s→ = ( 2 ) s s t − fixed g2 ( 0) F ( t ) (3.40) 2 ( 2 ) s 12 ( 2 ) s g3 (3.41) F1 (t ) − (2 )3 s F2 (t ) − g4 g7 F1 (t ) + ( Trong trường hợp mơ hình tensor, chuẩn V ( r⊥ , s ) = ( s 2 ) e − r⊥ r⊥ ) tăng với lượng, chúng tơi có: TT(ens) or ( s; t ) s → t − fixed = 2s 4 7 − F ( t ) + F ( t ) ( 2 ) ( 2 ) − t ( 2 ) (3.42) 3i s 2 (3.43) F ( t ) + F (t ) s → (2 ) ( ) t − fixed So sánh cho phép đưa kết luận sau: mơ hình với trao đổi vơ hướng, tiết diện tán xạ toàn phần t giảm có số hạng Born chiếm ưu s tồn phương trình eikonal; mơ hình vectơ dẫn đến tiết diện tán xạ toàn phần t tiến dần đến giá trị không đổi, s → , t → Trong hai trường hợp, pha s eikonal hoàn toàn thực hệ ảnh hưởng tán xạ không đàn hồi khơng phép tính gần này, in = Trong trường hợp trao đổi graviton, giới hạn Froissart bị vi phạm Một kết tương tự thu với chuỗi eikonal để trao đổi graviton Regge Như khuôn khổ phương pháp chuẩn lý thuyết nhiễu loạn cải biến, sơ đồ có hệ thống việc tìm biên độ tán xạ eikonal chủ chốt bổ phát triển xây dựng lý thuyết trường lượng tử, bao gồm lý thuyết hấp dẫn tuyến tính Chúng tơi tính bổ bậc cho biên độ tán xạ eikonal 3.4 Đóng góp gần vịng tán xạ lượng cao Lý thuyết hiệu dụng lượng thấp hấp dẫn lượng tử kết bật việc thống lý thuyết tương đối rộng học lượng tử Trong lý thuyết này, hấp dẫn giống với tương tác khác, kết với lượng thang lượng Planck, hiệu ứng bổ lượng tử tính lượng Vì thế, cố gắng mở rộng cách tiếp cận để tính tốn biên độ tán xạ lượng cao hai nucleon cho việc trao đổi graviton, dựa Newton vùng lượng thấp, dẫn tới bổ hấp dẫn vịng hạt khối lượng lớn phi tương đối tính Chúng tơi tìm bổ chủ chốt hấp dẫn phi tương đối tính (thế Newton) Sau đánh giá tất giản đồ đóng góp vào biên độ tán xạ vịng Cuối cùng, chúng tơi tìm bổ chủ chốt hấp dẫn phi tương đối tính: G ( m1 + m2 ) 41 G mm (3.50) VNewton (r ) = −G 1 + + , r c2r 10 c3r TT(ens) or ( s; t ) = 19 bao gồm bổ tương đối bậc thấp bổ lượng tử bậc thấp (cũng tương đối tính) Điều quan trọng cần lưu ý số hạng Newton cổ điển biểu thức (3.50) tương ứng với bậc thấp tán xạ phù hợp với biểu thức (2.5) Iwasaki Kết xác cho bổ lượng tử công bố lần sau xác nhận Thế Newton lượng thấp dẫn tới tán xạ hấp dẫn vòng theo phương trình (3.50) viết sau: 2s 4s 4s (3.51) VNewton (r , s) = C1 + C2 + C3 r r r 3(m + m2 ) 41 C1 = , C2 = , C3 = 4.(32 ) 4c (32 ) 40 c3 (32 ) Dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ lượng cao s → xung lượng truyền cố định T ( s, t ) +TScalar ( s, t ) ( 2) ( ) = TScalar ( s, t ) s → ; t − fixed s → ; t − fixed () + TScalar ( s, t ) s → ; t − fixed + TScalar ( s, t ) ( 3) s → ; t − fixed s → ; t − fixed + (3.52) Trong phương trình (3.52), số hạng mô tả dáng điệu biên độ tán xạ eikonal chủ chốt, số hạng lại xác định bổ với độ lớn tương đối s Do độ nhẵn V lượng cao s → , nên thay đổi xung lượng truyền ⊥ hạt, tương đối nhỏ Do đó, số hạng tỷ lệ thuận với ⊥V 2⊥V phương trình (3.52) bỏ qua, có số hạng eikonal chủ chốt bổ bậc 2ig is ( 0) i ⊥ r⊥ 2 TScalar ( s; t ) s→ = − d r e exp dzV r + z ; s − 1 (3.53) ⊥ ⊥ ( 2 ) t − fixed s − 6g (1) TScalar ( s; t ) s → = − d r⊥ei⊥ r⊥ t − fixed ( 2 ) s s (3.54) 2ig exp dzV r⊥2 + z ; s dzV r⊥2 + z ; s s − − Khi thay thế Newton (3.51) vào phương trình (3.53), kể đến đỉnh tương tác graviton hai nucleon, cách thay đổi VNewton sVNewton , graviton có khối lượng , thu số hạng chủ chốt biên độ tán xạ: ) ( ( (0) Tgraviton ( s, t ) = ) ( ) 2s 4 2 − F ( t ) + F (t ) 2 (4 ) − t 2.(32 ) 3.(16 ) 6(m1 + m2 ) s 41 s − + F2 (t ) (32 )3 c − t 80.(4 )5 c3 (3.56) Bằng cách tương tự, chúng tơi thu số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ: 20 () Tgraviton ( s , t ) = J1 + J = 3i s = (8 )6 (3.62) 9(m1 + m2 ) s 123 s 2 F ( t ) + F ( t ) + + F t ( ) 2 4(8 )3 c (8 )3 − t 10(4 ) c Từ biểu thức (3.56) (3.62) trên, thấy rằng: công thức biên độ tán xạ eikonal chủ chốt bổ bậc nó, có cấu trúc giống nhau, bao gồm ba số hạng: Số hạng biên độ tán xạ diễn cách trao đổi graviton, giới hạn gần khơng tương đối tính, Newton Số hạng thứ hai bổ tương đối tính cho biên độ tán xạ (số hạng chứa ( m1 + m2 ) ) Số hạng cuối (số hạng tỷ lệ thuận ) bổ lượng tử, thu từ đóng góp gần vịng trình tán xạ lượng cao 3.5 Tổng kết chương Trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn cải biến phương trình chuẩn thế, sơ đồ hệ thống tìm biên độ tán xạ eikonal chủ chốt bổ phép gần hấp dẫn vòng hấp dẫn lượng tử phát triển xây dựng Các bổ bậc khơng định xứ cho biên độ tán xạ eikonal chủ chốt tìm Trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính hóa, tương tác nucleon tán xạ cách trao đổi graviton, mà tương ứng với chuẩn nhẵn dạng Yukawa Biên độ tán xạ eikonal chủ chốt bổ bậc tìm Trong khuôn khổ lý thuyết trường hiệu dụng, thu biểu thức cho biên độ tán xạ cho Newton, mà bao gồm đóng góp bổ lượng tử tương đối bổ lượng tử từ gần vòng Kết chương kết hợp hiệu ứng tương đối tính hiệu ứng lượng tử tán xạ hấp dẫn để làm rõ phần mối liên hệ lý thuyết trường lượng tử hiệu dụng thuyết tương đối rộng học lượng tử tương đối tính CHƯƠNG BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG LÝ THUYẾT HẤP DẪN TUYẾN TÍNH Mục đích chương xem xét dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ đàn tính cách trao đổi graviton hai hạt vô hướng lượng cao với xung lượng truyền cố định dựa phương trình chuẩn Logunov – Tavkhelidze lý thuyết hấp dẫn tuyến tính Trong cách tiếp cận chuẩn gần bậc / p , chúng tơi tính tốn để thu biểu thức Eikonal biên độ tán xạ bổ bậc lượng cao xung lượng truyền cố định Thế Yukawa áp dụng để thảo luận kết 4.1 Số hạng bổ biên độ tán xạ Chúng tơi tính tốn để thu gần eikonal cho biên độ tán xạ bổ bậc cách sử dụng phương pháp chuẩn biểu diễn tọa độ Đầu tiên, chúng tơi rút phương trình đồng cho hàm sóng thành phần hệ hai hạt vơ hướng tương tác Để làm điều này, hàm Green thành phần Gab ( x, y; x ', y ') phải thỏa mãn phương trình Bethe-Salpeter viết dạng hình thức [28, 30]: G = G + −1G KG, = (2 ) , (4.1) G hàm Green hạt tự hàm nhân K tìm thấy phương pháp nhiễu loạn 21 Chúng giải (4.1) theo quy trình tài liệu, cụ thể sử dụng kỹ thuật khử mối liên hệ hàm Green thành phần hàm Green thành phần Gab , thu phương trình tường minh cho hàm Green thành phần biểu diễn xung lượng: F ( p '2 ; E )G ( p ', p, E ) − dq 3V ( p ', q, E )G (q, p, E ) = ( p − p ') (4.1) Fa ,b ( p ; E ) = ( p + ma2,b − E ) p + ma2,b , V ( p ', q, E ) ma trận Từ (4.2) mối liên hệ Gab (t , x , y ) = n (t; x , y )n+ (t; x , y ) hàm sóng thành phần n hàm Green hai thành phần, đồng phương trình hàm sóng thành phần ta được: V [( p - q ) ; E ] (q ) 2 (4.3) ( p − E + m ) ( p) = dq m2 + q Chúng ta xét phương trình (4.3) biểu diễn tọa độ với chuẩn định xứ gần hoàn toàn tưởng tượng V (r ; E ) = ipEv(r ) v( r ) hàm dương nhẵn p = p Ở lượng cao tán xạ góc nhỏ, hàm sóng p (r ) viết dạng p (r ) = eipz Fp (r ) ; Fp (r ) z →− = Bằng cách mở rộng số hạng theo phương xung lượng giữ lại số hạng có bậc / p , lời giải phương trình (4.3) là: z z ( z ) ( ) z (1) Fp (r ) = exp − − v( , z ') dz '− ( , z ') dz ' , ip ip − − Biên độ tán xạ có liên quan đến hàm sóng sau: (0) T ( ; E ) = dr V ( E; r ) p (r ) k (2 ) (4.4) (4.5) 2⊥ + O( ) đây, = ( p − k ) = + = −t z = 2p p Thay (4.4) vào (4.5) tính tích phân phần, số hạng chủ chốt gần Eikonal cho biên độ tán xạ: 2 ⊥ z v ( , z ') dz ' i ⊥ − (4.7) d e ( e − 1), (2 )3 Và số hạng bổ bậc cho gần là: − v ( , z ') dz ' i ⊥ − T (1) ( ; E ) = 2ipE d e e v ( , z )dz − d dzei ⊥ 2⊥ (2 ) − (4.8) z z − v ( , z ') dz ' − v ( , z ') dz ' v ( , z ') dz ' i ⊥ − − − dzzv ( , v ) e + d e dz ( , v )( e − e ) − − ⊥ Các kết (4.7), (4.8) tìm thấy phương pháp tích phân phiếm hàm phương pháp chuẩn biểu diễn xung lượng Bây giờ, xem xét trường hợp xung lượng truyền thay đổi t = chuẩn Gaussian có dạng V ( E; ) = isge at , t = − mà dạng tương ứng biểu diễn tọa độ là: T (0) ( ; E ) = −2ipE 22 − V ( E; r ) = isg / a e − r Với t = ⊥ /4 a (4.9) + z = , ⊥ = Thay (4.9) vào (4.8), ý mặt khối lượng thì: p = E − m p E s Chúng tơi thu số hạng bổ bậc nhất: g 2 − /2 a i − /4 a T ( = 0; E ) 3isg d e e + isg d e 1 − 8 a 8 a 2a (1) (4.10) z dz V ( z ')dz ' exp 2i V ( z ')dz ' − exp 2i V ( z ')dz ' , − - − − 2 đây: 2i = −4 ge− /4 a , V ( z ) = e − z /4 a 4 a Kết tương tự phương trình (4.10) tìm thấy phương pháp gần Born biểu diễn xung lượng 4.2 Dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ lượng cao Trong mục này, áp dụng kết phần 4.1 trường hợp Yukawa Ở phần trước, dạng tổng quát biên độ tán xạ hai hạt vơ hướng tìm thấy V (r ; E ) Bây giờ, xem xét ví dụ cụ thể trao đổi graviton mà chuẩn tăng theo lượng Trong hấp dẫn tuyến tính, tương tác hiệu dụng hai “nucleon” mô tả chuẩn Yukawa tăng theo lượng, cụ thể theo biểu thức: z s e− r s e− b + z V ( r, s ) = = (4.11) 2 r 2 b + z đó, số liên kết liên hệ với số hấp dẫn Newton công thức = 32 G = 32 lPL ; lPL = 1,6.10−33 cm chiều dài Planck Như mức lượng cao 2 p E s , tìm thấy số hạng biên độ tán xạ: T (0) ( ; E ) 2s 4 4 − F ( t ) + F (t ) (4.25) 2 (2 ) − t 2(2 ) 3(2 ) Và số hạng bổ bậc biên độ tán xạ: 3i 2 T (1) ( ; E ) = F ( t ) − F (t ) (2 ) (2 ) (4.32) đây: F1 ( t ) = ln − − 4 t F2 ( t ) = dy ln 2 y ( ty + − t ) ( ty + ) ( y − 1) 4 + − 4 t t Những kết (4.25), (4.32) có dạng tương tự Hơn nữa, từ đây, thấy số hạng bổ bậc biểu thức eikonal biên độ tán xạ lượng cao với xung lượng truyền cố định tăng nhanh lý thuyết hấp dẫn tuyến tính So sánh cho phép đưa kết luận sau : Trong mơ hình với trao đổi vơ hướng, tổng tiết diện tán xạ t giảm dần (1 s ) , có số hạng Born chiếm ưu tồn phương trình eikonal t 1− 23 Trong mơ hình vectơ dẫn đến tổng tiết diện tán xạ t có giá trị khơng đổi s → , (t s ) → Trong hai trường hợp, pha eikonal hồn tồn có thật đó, ảnh hưởng tán xạ khơng đàn hồi bị coi nhẹ phép tính gần này, in = Trong trường hợp trao đổi graviton, giới hạn Froissart bị vi phạm Một kết tương tự thu tài liệu tham khảo với chuỗi eikonal để trao đổi graviton hồi quy 4.3 Tổng kết chương Dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ mức lượng cao xung lượng truyền cố định nghiên cứu theo phương pháp chuẩn biểu diễn tọa độ lý thuyết hấp dẫn tuyến tính Kết thu biểu thức eikonal biên độ tán xạ số hạng bổ bậc tương ứng trùng với kết tìm thấy tác giả khác Thế Yukawa sử dụng để cụ thể hóa kết KẾT LUẬN Trong luận án này, phát triển sơ đồ tính tốn hệ thống dựa phép gần quỹ đạo thẳng (gần eikonal) để nghiên cứu toán tán xạ lượng cao bao gồm tương tác hấp dẫn Các kết thu luận án bao gồm: Chúng thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt trường ngồi phương pháp tích phân phiếm hàm học lượng tử Tính tiết diện tán xạ hạt hai cụ thể Gauss Yukawa Chúng thu biểu thức eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ bậc / p phương pháp chuẩn biểu diễn tọa độ khuôn khổ lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính Bài tốn tán xạ nucleon cách trao đổi graviton tương ứng với chuẩn nhẵn Yukawa Chúng tơi tìm biên độ tán xạ eikonal bổ khơng định xứ khn khổ lý thuyết nhiễu loạn cải biến phương trình chuẩn phép gần hấp dẫn vịng Chúng tơi thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ cho Newton mà bao gồm đóng góp bổ lượng tử tương đối tính bổ lượng tử gần vòng lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng Tính khác biệt kết so với nghiên cứu trước chúng tơi kết hợp hiệu ứng tương đối tính hiệu ứng lượng tử tán xạ hấp dẫn để làm rõ phần mối liên hệ lý thuyết trường lượng tử hiệu dụng thuyết tương đối rộng học lượng tử tương đối tính Cụ thể: Số hạng bổ tương đối tính tính từ đóng góp khơng giải tích giải thích kết dao động "zitterbewegung" khoảng cách hạt bị dịch chuyển lượng độ dài mơt bước sóng Compton; Số hạng bổ lượng tử liên quan đến số Planck tìm thấy Các đóng góp cho biên độ tán xạ lượng cao chia thành: Đóng góp giải tích liên quan đến tính định xứ đóng góp phi giải tích liên quan đến khơng định xứ Sự phân chia liên hệ với hai cách mô tả hạt học lượng tử học lượng tử tương đối tính hạt có khối lượng m Nếu hạt có khối lượng, khơng thể định xứ thể tích có kích thước tuyến tính nhỏ độ dài bước sóng Compton hạt tương ứng Đối với hạt siêu tương đối - chẳng hạn lượng tử ánh sáng m = 0, v = c - khái niệm tọa độ hạt theo nghĩa thông thường từ hồn tồn vơ nghĩa Những kết thu luận án, sở gần eikonal hàng loạt cách tiếp cận khác sở cho việc thống bốn loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh tương tác hấp dẫn 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N S Han, D T Ha, and N N Xuan (2019), “The contribution of effective quantum gravity to the high energy scattering in the framework of modified perturbation theory and one loop approximation”, European Physical Journal C, Vol 79, No 10, pp 835847 [2] C T Vi Ba, D T Ha, N N Xuan, and D D Thanh (2022), “Functional Integral Method for Potential Scattering Amplitude in Quantum Mechanics”, VNU Journal of Science: Mathematics - Physics, Vol 38, No 4, pp 45-60 [3] D T Ha (2020), “High Energy Scattering Amplitude in The Linearized Gravitational Theory”, Scientific Journal of Hanoi Metropolitan University, Vol 39, pp 49-54 [4] D T Ha and N T Huong (2023), “The High Energy Scattering Amplitude in The OneLoop Effective Gravitation Field Theory.” VNU Journal of Science: Mathematics – Physics (chấp nhận đăng) \ 25