100 bài toán hay nxb tổng hợp 1988 baian g steinhaus 202 trang

1 e Tim day sé dubng aor Bl» aos eee S820 cho ao un 1; an ~ Ans, = Anta § 2 Osda2ree- Ching minh rang chi tồn tại một đấy số như vậy, Trén mặt phẳng cho mót số điểm hoặc vài chục điểm,

LOI NOI DAU

Ferme eer ae rer ns eeertonrereanesregpereenenenenerese one

Cuén sdch ‘MOT TRAM BAI TOAN' cua nha toan hoc

Ba¿ian G.Stẻinhaus được G.F.Bôiascaia và B.V Bôiaski

địch sang tiêng tga, đước danh gia cao ở Balan va ở

Liên Xo; và do đi đã nhiều lần tai ban

Chỉ với 100 bài toan, cuôn sách đã đề cập đ ê n

môt nội dung rat phong phú trong chưởng trình — toàn học phở thông từ số học, đẳng thức và bắt đẳng thức, hình học phẳng và hình học không gian Ngoai ra

còn có một loạt bài với nội dung rất hắp dân cho các

lởp chuuên toán nhủ cac bài toan về đồ thi,về tở jợp,

về cờ quốc tẻ, về sử dung mật mã, vẻ sư sẵn đuời

Điều ly thu khéng chi’do sw hap dan vé noi dung

ma con do tac dung cla cdc bai toàn trong việc gởi ụ

sử đuu và tìm tòi, kích thích suụ nghỉ và sang tao tốp phần rên luuên và phát triển kiên thức và tdi

tăng

Chỉnh vì vậu mà cuôn sách nâu rất bở ích chocác

học sinh phd’ théng sau mè toàn học, cho cac học sinh

“uuên toần Đâu cũng lầ nồt tài liệu tham khảo tốt cho cac giáo viên đạu toan phở thông cũng như chuyên

toan,

SO GIAO DUC TP.HO CHI MINH

*® ROSH ROT EHF REHEAEHS ART HHREHRE HTM ABH EHO RRR HOHE RHEHKRE HH OHO Heer

www facebook.com/otoanhoc2911

PHAN BAU BAI

Chưởng ]

$Ố BẢN6 THỨC

va BAT DANG THUC

Bài tập vé bang sé nhan

Xây dưửng một đấy sổ như sau:

Sở đâu tiên là 2, sô tiệp theo là 3

sở thư sau là 6, sô thứ bẩy là 8; v.V

Như vậy đấy số nhận đước sẽ là:

2,3,6,1,8,6,Öy

Tiệp tục qua trinh đó và lần lượt việt kết quả

sửa phép nhân thành cac số hạng của day, thí dụ nhân

3 vổi 6 ta viết thành 4,8 Sau mỗi phép nhân ta có hêm ít nhất một số, thường là hai sở nói tiếp vảo

_ Chung minh răng các chứ sô 5,7,9 không bao giờ xuat hiện trong dấy đó

Chúng minh rang nêu quá trinh trên khòng dấntởi

két qua bang 1 (rd rang 14 néu két qua bang 1 thisau

đó là một dấy vô hạn các sở đêu bằng 1) thi sé dan

đến sô 145 và sau đó là mót chu kỳ như sau:

là khơng bao giữ xẩy ra,

6 Phân phối các số

Tim 10 sd XỊsX2XasX4y +++ 9XzQ SaO chĩi

SỐ XỊ năm trong khoang [0;1)

+ Cac Sd xX, Va x2 méi sơ nằm ở một nửacuakhộng

trên

Các Số XqsX2;X mối sð nắm trong một khoang

tao nến bởi việc chia khơang (0, 2] thành 3 phần bảng

Liệu cơ thể giải được bài toan trên nêu thay số

10 bởi số tự nhiên n bất kỷ, thoa mãn n điều kiện

tưởng tư được khơng?

7a, Hồn vị cấc chử

Từ tỏ hớp các chif aabbéc cổ thể` nhần được 90

hoan vị khác nhau: Từ hoan vị aabc be cĩ thể nhận ước hoan vi aacbeb khi thay c bởi b va thay b bởi c; ch

hoan vị aacbcb cơ thể nhản đước hoan vi bcbcaa nên

ta xếp no theo thu tv ngước lại và từ hoan vi cuơi

củng, bằng cách thay đổi cac chư co thê nhận đ ư dc

hoan vi acacbb v.v ,

Tat cd nhưng hoan vi nhv aabcbe, bcbcaa, acacbb

chung ta coi la nhưng hoan vị khác nhau khơng thực

chất, cịn các hồn vị như aabcbc và abcbca được coi

là các hoan vị thưc chất khác nhau, vĩ rằng khéngt hé

chuyén tw hoan vi aay thanh hoan vi kia băng thaythe’

cac chu, bang việc viết theo thứ tư ngược lại hoặc

ap dụng nhiều lần phép biển đổi như vay

Hởi cơ bao nhiều hoán ví khác nhau thưcchất với

dudi dang sao cho mi mét ô chỉ chứa biểu thức cửa p,

qạr mà cac biểu thức nảy có tỉnh chất hơan vị vồng

quanh, nghia là nêu thay p bởi q,ạ q bởi r, rbổi p

thì biểu thức thứ nhất biên thành biểu thức thứ hai, thử hai thành thứ ba và thứ ba thành thứ nhất,

8a Biểu thức đối xửng

Các biểu thưc x + y+*z hay xyz là các biểuùthức

đôi xưng nghia la giá trị cưa nơ khong thay đổi nêu

ta hoan vi cac bién X;yy2 bang bat ky cach nao Hay

dưỡng của phương trình:

x2+x = 10

1a vé ty

10 Chứng mính bất ddng thức

AtatBtbtctr B+bt+C+ctatr CtctAtatbtr

trong đó tất cả các chi déu 14 cdc sO dutng

1 e Tim day sé dubng aor Bl» aos eee S820 cho ao un 1;

an ~ Ans, = Anta § 2 Osda2ree-

Ching minh rang chi tồn tại một đấy số như vậy,

Trén mặt phẳng cho mót số điểm (hoặc vài chục

điểm), Nối mối điểm trong chúng với điên gần nhất

bẩng mót đoạn thẳng và giả thiết rằng tất cỉ cde

khoang cách đều khác nhau

Chứng mính răng hỉnh thu được khóng chứa đagiac hoặc các đoạn thẩng cắt nhau

I3 Nghiên cửu về gọc

Giả SỬ XỊs X2s ++*›» Xn là các số dương.Tren mặt

phẳng chon mt tia OX, trén do lay mr doan OP; = xp» sau do la doan P1P2 “ X2 Và vuông góc với OP}, đoạn PoP3 = x3 va vung goc voi OP2, V.V Và cuôi cùng

Pn-lŸn = Xn» trong đc các góc vuông được chọn theo hưởng sao cho can: bên trai cửa nó đi qua điềm 0 Cơ

thé’ coi tia OX quay quanh diém 0 (từ vị trị bạn đâu

va di qua cac diém Py, P2, .) dén vi trf cuci cùng

là OPn và tạo nên một góc nảo đó

Chứng minh rang với các số x4 đã cho thì gocnay

sế nhỏ nhất, nều các s nảy được, sắp thành mot day

giam x) > X2 > -++ è Xa và sẽ lớn nhất nêu sếp ching

nở thành 2 phan bang nhau, Chung ta cứng có thê cho

trước hưởng của đưởng thẳng cất Hêu ta thực hiện

phép chia này 2 lần theo 2 đường thẩng cở hưởng khác nhau thì chúng sẽ cất nhau tại điêm Q Vậy qua điêm

Q có hai đường thẳng chia chu vi tam giác thành hai

8

phần bằng nhau ‹

15a Trong tâm

Gia su P 1a trong tam cua 3 diém A,B,C (qui ude

các điển có khởi lương bằng nhau) Giả sử

16 Chia tam giác

Hay chia một tam giác thanh 19 tam giác sao cho

tại mỗi đỉnh cưa hình nhận đước (củng như đỉnh của

tam giác lớn) có cùng một só cạnh đi qua

Trong bài toan này không thẻ thay sô 19 bới một

số lớn hơn, nhưng có thể thay bẩng nhưng số nhở hởn, Lầm như thế nảo?

17 Cho 3n điểmn trên mắt phẳng trong đó khổng có 3

điểm nảo thẳng hảng (n là sở tự nhiên) Liệu có

co thể về đước n tam giac (thừa nhân các điểhtrên là

đỉnh) không cất nhau vả cưng khỏng chưa nhau?

Giải bai toan tưởng tư cho án điêm vởi các tư giác; 5n điểm vdí cac ngũ giác v.v Cơ phẩi tất ca tác bài toan này đều giải đước?

18 Lưới tam giác (1) ee

Nhv da biệt có thể phú kín cá mit phdng bởi mót

9

lưôi tam giác đều, Liêu ở môi mit cửa lươi ta có thể

đặt dau @) hodc sao cho với mỗi tam giác c ưa

lưới tuân toeo qui tac sau ddy: Néu & hui đính cưa

tam giác cổ dâu như nhau thi đính thu ba co dau(Pyva

ngước lại nên ở hai đỉnh cơ đấu khac nhau thi lính thy ba co dau ©)

Tất nhiên ta không xét trưởng hơp tămthưởng khi

tất cả cac nút đều là dâu ()

19 _Lưởi tam giác (!1}

Chứng minh răng không thé phứ toan bô mặt phẳng bẩng mót luữi tam giac mà mổi đíhh chỉ có 5 tam giác

theo cạnh bén trai của hinh chư nhật một hình vuông

lổn nhát cơ thể đước, Phân còn lai cũng lã một hình

chư nhật vâng, Ta đứng theo cạnh bến trái của bản để cho hình chữ nhật vàng con lai nay có cạnh dài hơn ở

về phia ta vả tiệp tục cất như trên, Như vậy ta di

quanh ban theo chiéu kin đẳng hồ vä mối Tân cắt đước mot hinh vuông, Mối điếm cửa linh chư nhật som hay

mudn đều bi cắt ra, chŸ trừ một điểm, Hãy tim vi tri’ cua diém ay

20a Tử giác

Nổi lần lướt trung điểm cửa các canh cửa một tu

10

giác lồi, ta được một tử giác nhở hởn Chứng minh đó

lầ một hình bình hành có điện tích băng nửa diêntiích của tử giác 1ôi1,

Ðiều này cơ đúng với tử giác không 1ôö{ không?

21 Chia hình vuông

Chia một hình vuông có diện tích 1 km2 thành 3

phan A,B,C Chifng minh rdng mic di cach chia nây như

thé’ ndo, bao giờ cũng tim đước hai diém P va Q cúng

ném trong một phần mả khoảng cach giva chủng khéng nhỏ hdn

\/ 9/64 = 100778 km

22 Lưới hỉnh vuông

_ C6 thé phi mit phdng bang mét ludi cachinhvubng

bằng nhau, Liều cơ thể ky hiểu cac nút cưa lưới bởi các chư a,bạc,d sao cho mổi inh vuông đều có tại các đính đú 4 chư và ở mới đỏng cứng như mỗi cột đều

có đủ 4 chư,

25 Lựới điên

Cho một lưới điền có tọa dé nguyên Rố ràng là

khi chọn bán kinh tưông hợp, luôn luôn cơ thể vếđược

một đường tròn tâm tại điển (V2, ý3) và đi qua một

điểm của lưới Chứng mính rắng trén đưởng trồn nảy

chỉ có một điểm cưa lưới mà thôi,

24, _ Lưỡi điểm trong đường tron

Cho một lưới điển tọa đô nguyên nẩm trong mặt

tron K (nhưng có điển nào nẩm trên đường tròn).Chứng

minh rang vởi mọi số nguyền n > 0 bao giờ cũng cómột

11

mốt tròn chứa đúng n điểm của lưới,

25, 14 = 15

Trong cuộc họp mặt nhưng người tham gia giái vỏ

địch tơan học năm 1952 tại Vordstlap, Mikuxinski đá nêu lên môt phep chia toan bộ mat phang thanh nhưng hình 7 canh, mà tai mỏi đỉnh của nơ cơ đúng 3 hình

7 cạnh và xuất phát từ đó ta sẽ chứng minh 14 = 15

Ky hiéu P la goc bảng 180, Tổng Các goc trong c ua

mot hinh 7 canh bang 5P và giá trí trung Bính cưanoi

góc cửa hình 7 canh bằng + P, Vi toàn bộ mất phẳng

được phủ bởi các hình 7 cạnh nền gia tri trung bình của mối 86c cửa lưỏi cũng bằng 2 P Nhưng ở mối đỉnh

chỉ co 3 góc nên gia trí trung bình của mối gơc tại

mối đỉnh đều bang 2 Từ đỏ suy ra giá trí trung

bình của mối góc của lươi đều bằng 4 P Do đơ

Kay tim sai lắm cửa ly luần trên

26, Đa giác

Trẻn mặt phẩng cho n điểm, trong đó không co 3

điễm não thng hằng Liêu cơ thể luôn luôn tìm đượé

một đa giác n cạnh có đỉnh tại các điển trên và các cạnh khóỏng cắt nhau?

27 Điểm và đường tròn

Cho 4 diém trén mit phdng khong thdng hang và

khong co đương tròn nào đi qua cả 4 diém Lidu cothé

ky hiệu cac đieh ấy bởi các chư A, B,C,D sao cho diém

Ù nắm trong dudng tròn đi qua 3 41âïn A,B,C ?

12

28 Bài toan hình học

Cho môt elip trục lớn bằng 2a, trục nhỏ bẩng 2bi

HÃY về mot đường cong kín cơ chu vỉ bảng chu vi cưa elip và bao ham trong nó một diện tigh lén hon dién

tich cửa elip một lượng bảng (a ~ b)^,

Cote eae ata e te Heer ene et es ea eeoeepees Reese BReeeEate ones eee

Chudng 3

KHONG GIAN.DA DIEN.HINH CAU

29 _Chia không gian

Qua mệt điển cô định trong không gian,ta vẽ các

nặt phẩng chia không gian thành nhiều phần Một mặt

phẩng chia không gian thành 2 phần, 2 mặt phẳng cất

nhau chia không gian thành 4 phần, 3 mặt phẳng cắt

nhau tại một äiêm não đỏ và không cơ các điểm chung

khác, chia không gian thanh,8 phân Hoi sé phần lớn nhất có thể cở khi chia khổng gian bởi 4_ mặt phẳng? bởi n mặt phẳng?

30, Hai hình chiếu

——— — ———

Ta hãy hỉnh dung mặt pháng * tiếp xúc voi quả

địa cầu ở cục băc N và mặt phẳng © tiếp xúc với địa

cầu tai cực nam §, Cơ thê về một bán đồ, khi chiếu

mồi điển trén mặt đát từ N xuông Po va một bản đồ

khác, khi chiêu mỗi điểm từ S xuống Ý „ Người ta gọi

đó là hình chiếu hoa đồ nổi, Đây giờ ta có thể chồng

2 mặt phẳng lền nhau sao cho các kinh tuyên trủng

nhau, i46í một điểm của bản đô này tưởng Ứng với một điểm xác định cưa ban đở kia, do đó chúng ta xacdinh

mót phép biển đổi mất phẩng lén chính nó Xac định

+3

trực tiếp phép biến đổi (ánh xạ) ấy như thé ndo?

3l Khới lâp phưởng

Giư trong tay một khỏi lap phương sao cho nĩ cơ thể quay xung quanh trục dài nhất của nĩ (truc nơi

hai đỉnh đơi diện), Cơ thê quân lên khởi lập phương một sởi dây máu đen Soi day này chỉ bám lên một nứa

khối lập phương (tại sao?) Ta cứng lam như vậy với các trục khác ~ ca thay la 4á trục, Mối lần ta' dùng

một sợi dây cơ màu khác nhau: đen, đĩ, xanh, váng Toan kiới lập phưởng (ban đầu cổ màu trăng nề ta khơng

tỉnh) đước phd bởi các mau khac nhau, và su trén các

mau tao nén cac mau hén hợp, Trên khối lập phưởng cĩ

bao nhiêu màu và những màu nào?

32 Bai toan dia chat , Bai Xộn này khơng cần k¿ển

thik Tồn hos

Đất lên khỏi lập phưởng cơ định một sợigiẩy sao

cho, nĩ đước giứ trên khơi lập phướng và khơng tự cắt

no Đường thẩng, theo đo ta đất sợi giáy được gọi là

‘dudng dia chat’

1, Cd tat cd bao nhiều dudng dia chat phú kin mắt cửa khối lập phương (nghĩa 1a co bao nhiêu dudng dia cha't đi qua mối điểm trên mặt khơi lập phướng)?

2 Cĩ bao nhiều họ đường địa chất khac nhau phú

kin mặt khối láp phưởng?

33 Chuyển động phân tử

Cho một phân từ vật chất chuyển động bền trong

mơt hộp Binh lập phưởng, khơng cĩ tac dụng của lực

bên ngỏai, khi đập vao thành hắp thi nĩ bật lại theo định luật cơ điển (gọc tới bằng gĩc phan xa) Liệu

44

phân tử cư thể chuyển đông không ngững theo mot hinh lục giác kin mà mới vòng sẽ chạm tật cấ cac cạnh cưa hộp hay khóng? Hấy xac đỉnh cac điểm cham va kiémtra lai xem hinh luc giac nhận được cơ phẩi là hay

không?

34, Khai triển khối lập phường

Các mô hinh của cac khối đa diện được tạo nềntừ

các hình khai triển phẩng Trong linh khai triểh,các

mặt biên được đất mếp sát nhau, còn mô hinh đước xây

dựng bằng cách gap hình khai triêi băng cac tông doc

theo cdc mép (cdc cạnh) Khối tam điện đều có 2 thỉnh khai tr:éh khác nhau như thể, Khởi lập phương có bao nhiều hình khai triển?

35, Như đã biết co thé điền đây không gian bởi các khối lâp phưởng, ở moi dinh qui tu 8 khôi , Vi

vậy = bang cach cdt cde @inh của khới lập phudng va

daấn cac phán cắt với nhau vao một khối - ta có thể

điền đầy khóng gian bởi các khôi đa điện đều 8 mt ,

va cac phan con lại trơng khối lập phương

‹ Phần côn lại cửa khởi lập phưởng 1a hinh gi‘? Nếu tăng đến mức tới đa thể tích cửa khối đa điện 8 mit thi thể tích cửa phần cồn lại là baonhiều?

36 Liệu có tồn tại khối 6 mặt mà các mặt biên của

nó đều là hinh thoi hay không?

37, Co 6 thang độ đai khác nhau và giả thiết rang

với bất kỳ thứ tự nẩo cửa chủng đều có thể lập thành khối tứ diện Hơi có thể lắp đước bao nhiêu tứ diện khác nhau?

4s

38 Liêu cơ thẻ dựng mốt khỏi tử điện tà tất cả các mặt biên đều là các tam giác tưởng hỏpvới 3canh

đã choca,b,c hay không? Nêu cơ thi thể tích của nó

là bao nhiêu?

39 Liệu có thể dựng một khối 3 mặt mà tắt cá các

mã tbiên cửa nó đều lä các tử giác tưởng hợp hay không?

Cứng cầu hổi nảy cho khôi 10 ma t va téng quát,

khối 2n mặt (n > 3 lả số nguyẻn tủy ÿ) cổ các tỉnh

Ray gid ta có thê nơi vẻ khoang cach gi điểm P va

diém tùy ÿ X trên mặt cong, Đới với môi điềm P luôn

cô thê tìm được điểm Q của mặt cong cach xa điển P

nhất (tất nhiên điểm nay co thé khong pha i là duy nhât) Đổi với Rinh câu thì với cắp điên P,Q tưởngtự luôn luổn có it nhất hai cung nổi chúng với nhau ‹ Chưng minh răng đối vởi một tứ điện nào đó, mệnh dé này không dung

41 Hành trình ca con rưôi

Một con ruối đậu ở đỉnh

wot khéi đa diên đều 12 mặt

và quyết đính bỏ doc theocác

cạnh, No da thanh công trong

L2 mặt mà cac mắt biên đều 1a hinh thoi (hinh 1) Liêu nó có thành công không?

42 Cac mát biển của một khôi đa diên đều 12 mắt có

the t6 dudc 4 mau sao cho hai mặt kề nhau dude

tô mầu khac nhau Chứng minh rằng có 4 phương phap giải bài toan nay néu qui udc rang hai cach tO nâu dude coi 14 mét lới giái nêu cách này nhản dude từ cách kia băng cach quay khỏi đa dién,

42a Trong khôi đa diện đều 12 mặt co thé vé noitiép

mồt khối láp phướng sao cho các cạnh cưa khóí

lập phưởng lá đường chếo của ngữ giấc đều rà nó là mắt biên cưa khói đa diện ay Co bao nhiều cach? Tat

cả các khói lập phưởng Ấy hợp thành một khởi đadiện

hình sao Thẻ tich kuổi đa diện này bằng bao nhiều

nêu thẻ tích khối đa diện 12 mặt bảng 1?Théti¿h phần

chung cua tat ca ca¢ khởi lập phưởng 13 bao nhiều?

43, Tat cả các mắt biên cưa khôi đa điển löi đều là

các đa giác lỏi Ngược lai có đúng khổng? Nghĩa

la néu tat cd cde mit bién cua mot khoi da dién déu

lầ các đa giác lôi thi khôi đa diện ẩy cơ phải làlôi không? Trường hợp đác biệt liêu co hai khôi da dién (chdng han déu co 13 mắt) có cùng một só mắt ma từng

cap mot tưởng ddng vơi nhau (các mặt biên cưa mô t

khôi không nhất thiết là tuông đẳng) trong đó mot khối là 16i, còn khói kia thi khóng?

44 Liệu có khói đa diền không lồi đước giới hanbởi

các mặt lả các tư giíc tưởng đẳng với nhau

- |Ề hình cửa các khối đa diện đều

Từ 6 canh cửa một tử diện đều cơ thể chọn ra 4

1?

cạnh tạo nên một tử giác ghềnh Tứ giác này có thể

coi như mồ hình của mot khôi tử điện vi rảng nó chứa

tất cả các địhh của tứ diện, Cũng có thể lam như vay đổi với khối iap phường, khi đó ta cd mét bát giác ghénh chứa tât cả các đỉnh cưa khôi lập phưởng, Liêu

cơ thể lam nhv vay đối với các khói đa điện đều 8

mặt, 12 mặt và 2C mặt đước không? Bằi toan có bao

nhiêu lời giải?

45, Bải tóan từ Đất nước thân kỳ

Vua Louis, nha toan hoc, etng la nha van nO i

tiéng, tac gid cua nhưng điều phi lý khả thú vị ThÝ

dụ: Ông đ8 nghị nên sử dung một bản đô tỷ lê 1:1, tức

14 mbt ban dé phi kin trai đất, để biêt được vao bât

kỳ lúc nảo minh đang ở đâu Nếu theo đề nghỉ này, có

rat nhiều khỏ khấn; trong đỏ cơ vân đề tìm con đường

ngắn nhất đến một điểm đã cho như thê nao.Nhưđã biế

trên bản đồ nay, con, dudng ngắn nhât không phẩi 1 à

đường cắt các kinh tuyên dườỡi mot gdc không đời, Hơn thể nưä không có một hệ đưởng toa độ nào cơ thể giúp

chủng ta vì mọi hê tọa độ đều cơ nhưng thiêu sót.Tất

nhiên một quá địa cầu mà chung ta xây dựng một cach

phi thực tê như vậy là một sai Tam,

Để sửa chưa hanh tinh cưa chúng ta, tót hồn cả

lầ bất đầu từ bản đồ cưa nó, Chẳng hạn,cơ thể vế một

lưởi vuông góc nhưng đường kinh tuyên và ví tuyển vả cuộn thành một hỉnh trụ sao cho cac đưởng vỉ tuyên trở thành đường tròn, Trên hành tỉnh hỉnh trụ nhuva y thi con dudng ngan nhất giửa hai điên luôn luôn cắt các đường kinh tuyên dưởi một góc không đôi Cũng có

thê cất bán đồ dọc theo các đưởng ví tuyển, sau khi

ky hiệu mót điềm trên nơ lá N và cuộn nở thành hình

nơn có đỉnh là N Trên hành tỉnh hình nơn này „ CC

bắc 1a diém N va cdc dudng ví ‘tuyen sẽ không cắtnhau

các đường kinh tuyên xuất phát, từ N cứng khóng cất

nhau, nhưng nổi ví tuyến đều cất kinh tuyến tại hai

diém dung như trên quá địa cầu, Giống như trên , mốt 13

lần nửa con đường ngàn nhật có hướng không đổi,Nhưng

cơ thê tim môt mỏ hính thu vi hơn, Trên bẩn đồ sế cơ

một lưởi các đưỡng toa độ vuỏng góc; nhưng: trên hành

tỉnh chữ xuất hiện cơ mốt ho đướng: môi đưởng cắt duting bat ky khác tai 2 điểm vả tư cất nơ tại 1 điêm,

Nguyền lý đẳng hướng vấn đước bao tan, Mô hỉnh do

là gi?

Khi Nóvacôpxki nghe nói vé hai mM hinh nay, ông

ta xác định ngay mót mô hỉnh thứ ba: một lưởi vuông goc gồm nhung đường kinh tuyển, v tuyền vả cácđưởng

cất cá 3 hình cầu, Chứng minh răng các hính cầu này

con co mot diém chung nua,

47 tot tinh chat cua hinh cau

Giả sử mọi lát cắt phẳng cửa mốt mặt jndo 4 đều

là đương tron (điểm coi như đưởng tròn có bán kính

bẩng không), Chứng minh rang mit dd la hinh cau

47a Xếp các quả cầu (1)

Ta cỏ vô sð quá câu bằng nhau, Xếp ba quá cầu

sao cho ching tiép xúc vdi nhau, sau đố xếp quả cầu

thứ tư sao cho nổ tiếp xuc vơi cả 3 qua cầu trước 3

khi đó ta sẽ cơ 4 "chỗ hốm" mà mối chổ ta cơ thé’ dat

vao đỏ một quả cầu Bảy giờ ta co ca’ thấy 8 quả cầu,

Hơi 8 “quả cầu đó tao thành bao nhiều '*chỗ hốm' vả có

thể xếp được bao nhiêu quả câu vao lớp nởi,Qua trình nay co thể tiềp tuc được khổng?

12

47b Xếp các quả cầu (II)

Ta co vd so qud cau bdng nhau Lay ra mot qudva dit wang quanh no 12 qua cdu tiép xuic với nhau.Cơbao

nhiều 'chô bốm" đổi với các quả cầu vila x@p vdo? Co thể đất vào mỗi 'chổ bơm" một quá cầu'đước khóng?Lop

thư ba cổ bao nhiêu quá cáu? (lớp thứ nhất cơ 1 qua cầu, lợp thử hai co 12 quả câu) Liêu chúng ta cóthể

luôn luôn điền vao được tất cả các 'chổ hơm' trong

lứp trước được không?

Chưđng 4 CAC BAI TOAN

THỰC TẾ và PHI THỰC TẾ

47c Lối in sai trong sách giáo khoa,

Mót tác giả nào đóa khí đọc sách giao khoa của

nình đã lưu ÿý răng trong ménh đề: "Cát trén canh ben

trái cưa góc 602 mót đoạn 9%cn, vả trên cạnh bén phai

e+e Và tỉnh khoang cách giưa cac điển nhận được như

vậy” - ở chố cac diém mi chung ta 4ién vdo co 16% in sai: thợ sắp chư đá tăng sỏ xentimet viết trong ban

thao thém 1 Tất nhiên thợ sắp chứ không nghữ đến

viec thay đổi đấp sô đá in ở cuới cuôn sach giaokhoa tác đầu vay 1éi in sai ở trong sach giáo khoa không

dấn tơi sai lắm Hởi người thợ sắp chủ đấ chọnsonảo?

48 Đồ chơi

Trên mỏt miếng các tỏng tròr, ta về một vòng

20

ròn đồng tâm nhơ hơn vả được chia thành 8 hính quat uãng nhau: 4 trắng và 4 đen Phần vanh khăn cbr lai được chia thành 10 hình quạt bổng nhau: 5 trẩng , 5

đen xen kế nhau Xien vao tâm đường trỏn sót chiếc

đỉnh và quay vòng tròn thật nhanh, Lúc dau cac hình quat nga sang mau xam, mot Luc sau thi xuàthien vành

khẩn quay cùng chiều với miếng cactong,còn hinh tron thì lại quay ngước chiều, mắc di tat ca déu vẻ trên

nôt mieng các tong

Trò chơi này chỉ cả tác dụng dưới anh sang dien

nhưng khong phai do moi thanh phô Tại sao?

49 0iàm bông ngày tet

Ba cô lang giéng gop moi nguoi L5 rup vi mua

giãm bỏng (khong co da, khong md, khong xướng) Mét

người trong họ ckia thành 3 phan, khi kiện tra thay các phần có trong lưng bang nhau NguÐi thủhaituyen

bỏ răng chỉ tin vảo cai can của cửa hàng đất ð gọc

nha, tai day sau khi tỉnh lai thay các phản tưởngưng vơi giá trí 14,15 và 16 rup Ngưới thử ba kiểm tra lai bang can cua nha minh thi lai thu được ket qua

khac Mdt cu6c cdi co xay ra Neudi thủ nhất doiphai thừa nhản răng cỏ ta đã chia thành 3 phán bảng nhau, ngưới thư hai chỉ thưa nhan cải cán cua cửa hang , ngướởi thử ba chỉ thưa nhàn cai cần của mình Liêu có

thé dan xép va phan phéi cdc phan nhu thé nao (nhưng

không cắt các phản nhớ thêm nua) dé’ cho mingudi déu thừa nhản rằng ho đã nhan đước phản giấm bỏng có giả

tri it nhật lả 15 rup theo cải cán mả họ tín Tàđúng?

50 Chia banh mi

Nguoi ta có thế chía một chiếc bảnh mí thành 4 phan bing nhau băng hai lát cất vuông góc với nhau, điều nay không phu thuốc vảo lính dạng cửa chiếc banh

mi Nci mot cach khac, voi mỏi miền phẩng cơ d ien

21

tích P có thể tìm 2 đưởng thang vuông góc với nhau

chia hình phẳng trén thành 4 phản cơ điện tích bằng

P/4,

Chứng minh định lý nay d& dang hén rat nhiéu so vởi việc chia trén thực tế một tam giác có 3 cạnh là 3,4,5 thanh 4 phần co điện tích bẩng nhau

5], Chia banh ngọt hình tam giác

Paven vả Gaven chía nhau mốt chiếc banh ngọt

hình tam giac, Gaven đất điều kiện 1a nd sé cat phan

cửa nó bằng một lát cắt thẳng, con Paven đồng ÿ với

điều kiện đơ và dua ra điều kiên bê sung lã nó cho

trước một điểm P mã bắt buộc lát cất phải đi qua, VÀ

chiếc bánh ngọt có chiều đầy như nhau nên bãi toan

này có đặc trưng của bài tơan hình học phẩng Vân đề

đặt ra như sau:

1) Paven phải chọn điểm P nhif thé’ nao dé’ bdo vé

quyền lợi cưa mình, không bi Gaven lam dung

2) Nêu Paven thành cong trong bai toan trên thị

nở trao cho Gaven phần nảo và liêu Gaven có thê` cất

cho mình phần banh ngọt lồn hớn khéng?

Nếu hình dang cua chiệc bánh ngọt tuy thuộc vao Faven, thí nơ cơ thể chon hình nào cố tám đổi xứng

(hình tròn, hinh vuông, hình elÍp v.v ) và đặtđiểm

P tại tám đới xưng Khi đó Gaven chấng cơ một ut thé’

gi Tuy nhiên một ván đề lý thú dat ra lA với các điều kiện nêu trên, hình dang nao cia chiéc ,bảnhngot

sẽ có lợi nhất cho Gaven va phần lợi lớn nhất lá bao

nhiêu khi nó thành cồng trong việc lửa chon hinhdang

sip xép theo thy tu trong lung gidm đăn, Khi sửdung

cAn dia va khong cơ quả can, ta cơ thé’ so sdnh trong

lưởng của 2 vát bát kỳ, Để giải quyết bài toan ta

phải dùng ít nhát bao nhiều phép cản và thực hiệnnhư thé’ ndo?

52a Sinh nhat 1a ngay nao?

Nguoi ta danh d4u ngay sinh eva Néva trén 1 mat

số tròn, Ngöai chị Êkatêrina và anh Oakhim còn comất

nha du lích nổi tiếng Pêđankeviích và nhiều ban khác

cửa Nêva,

M6t ngudi ndo dé hoi Pédankevich rang môt năm trước đây ổng ta da lam gi Rut cuồn số tay đêm theo mình ra, ông ta đã trả lời một cách rất cầu kỳ vàchi

tiết: “Đúng mót năm trước đây tôi đã đi từ nhà v €

phĩa đồng; đá đí thẩng qua phia nam một hai lý hoặc hđn một chút, tôi đã quay về phỉia tây và sau mét vai

giồ, tôi quay về phướng bấc, Trong suốt thửi gian đi

vê phướng bắc, tỏi không gấp lại dầu chân mình đấ đi

qua và cuôi cùng tôi đã về nhà",

Hoi ngay sinh cửa Nêva là ngày nào?

53 Xôphia Xecgâyepna bao nhiêu tuổi?

Xôphia Xécgâyepna sinh ra sau dai chién thégidi lan thw’ nhdt, nhưng có ta khỏng thích trả lời thắng khí cơ người hổi cô bao nhiều tuổi?, Ngày 27-7-1950,

khi có người hởi có bao nhiều tuổi, cô đá trả lời :

"Tôi mới có một tuổi, bởi ví tôi chữ đánh đâu ngày

sinh của minh khi nó trùng với ngày cưa tưản lế mà tôi đã sinh ra, Ngày sinh như vậy tỏi mới chỉ đánh

dầu co mit lan"

Hởi cô ta bao nhiều tuổi?

23

54 Ao có bao nhiều ca?

Mđót người muón xác đính trong ao có bạo nhiều con ca cơ thẻ đánh bất đe dùng được, Ảnh tabuônglưới voi kich thude mit lưới đã xác đỉnh trước va bâtđước

30 con cá Sau khi đánh đầu nhưng con ca nay, anh ta

thả chúng vảo ao lại, Mét ngày khác anh ta lại buòng chiếc iươi củ và bất đước 40 con cá, trong đo có 2

con ca da đước đánh đầu Với nhưng số liêu này cáthê sac dinh gan đúng số ca trong ao nhu the nao?

55, Để đo đướng kinh của mét cai truc, ngudi tadung

môt tam kim loai, trén de cd khoan 15 lo tron

vGi kith thude chinh xac LO thy nhat co đưởng kinh

10mm, cdc lỏ tiến theo Ïần lướt co dudng kính táng thêm 0,O4ram, Ngươi ta đất trục vảo các 16, néu khong vừa có nghia la đương kính cưa trục lớn hơn, nẻu vúửa thi nhỏ hơn hư vay đường kính của truc đước xá c

đỉnh với sai só nhề hơn 0,04mm (chúng ta khong quan tâm đên nhưng truc có đưởng kinh nhớ hơn 10mm — hoặc lớn hơn 10, 26mm) „ Ngươi công nhắn dude giac nhiêm Vụ

đo dudng kinh cua truc da thử đặt mời trục vảo cùng mót số nhất dinh cac lo, nhưng tất nhién ia váo rhưng

lo khac nhau Hởổi với môi mot trục cản bao nhiêu lan

đo thử? và thứ tự cua phep thu ay là như thẻ nao?

56 Một trăm hai mưới quả câu

Ngưỡi thở cđ về cơ khí chính xác đặt làm 120quả

cầu đưởng kinh, 6,1m Ngưởi ta đem đến cho anh ta đúng 120 qua cau va bao cho anh ta biết rang chong

đáp ung dude yêu cầu vé 46 chinh xsic Két qua cưacác phép đo cho thấy như sau:

10 qua cau cơ đưởng kinh 6,01m

6 i) " tì 6, 02mn

4 t† „ + 6, 03mm

1 0 tự ee Ti 6 05mm

19 quả cầu có đưồng kính 6, 07mm

May là co mét ngudi tho cd khac déng y tiepnhdn

nhưng quả cầu nay với điều kien la đắt chung vio 2 cai thùng, lớn riêng, nhỏ riéng va trén moi thùng phai phí rởơ đường kinh chung cửa cả thùng - Bai toan

yeu câu xác định dudng kính giơi han, qua cau nado co

đường kinh nhỏ hơn đuỡng kính giơi han sẽ đưa vao A (va do dé cac qua cầu não co đường kính lớn hơn thi

sẽ đưa vào P) và tim 2 so a và b để việt trei: cac thung, Ba sé nầy phải thơa man điều kiện sao _chotong

cac sai số tuyệt đổi lã thở nhất Sai số tuyết đổi 3

đây được hiêù lã hiệu tuyet đôi giưa đưởng kính qua cầu vả con só ghi tren thùng nà nó đước bỏ vào,

57, Người ta quần 25m bàng có chiều dầy 0,1mm lên

mó t ông Hinh trụ bằng cáctông vã nhận dude not

cal truc có đường kính ldm Hơi đưởng kinh cửa hinh trụ bằng bao nhieu?

58 Đồng lỏ cơ cấc kim giông nhau

Như đã biết, khi xác đinh, thoi gian ma không co

đồng hồ, thì không cd ai mic ‘sai lam ldn hon 6 eid ` gud i thở đồng hô lắp vo động hô 2 chiec kim t8 hư nhau sao cho khong the phan biết dude 4du 1a kimphut đầu là kim giờ, Hơi người có đồng Ho ck the’ phan sai

lam lơp nhất 1ä bao nhiêu?

59 ¡hưng châng không 16 va nhdng 4 thang lu Trong

một giở học thể duc có các học sinh nhiều lửa tuổi

khác nhau Sau hk cho hoc sinh dan hang ngang va

hang doc ngay ngan, thay giao noi: "Bay giữ chủng ta

sé nhin thấy, ai trong số các anh là ngưởi lùn cao

nhất" Trong mối hàng dọc thầy giao chon ra mtnguéi

thấp nhắt Khi nhưng chàng lùn này bước ra khởi hàng

thi, thay gido chon ngvéi cao nhat trong ching va noi

"đây là chàng lùn cao nhật”,

Sau đo cac hoc sinh quay vé ché cu, Thay giao

lai noi: "Bay gió, tôi sẽ chỉ cho các anh, ai lảchàng

khéng 16 thấp nha", Thay giao chon trong môi hang

ngang một người cao nhât và sau đó chọn ngưòi thap nhằt trong chưng: "Đày là chàng khổng lồ thấp nhật"

‹ Có thể xẩy ra trưởng hợp mét hoc sinh nao đó

vừa là chàng không Íồ thấp nhát,vừa là chẳng lùn cao nhất hay không?

Liệu có nhưng lớp mà người khéng 1d thip nhất

lạt thập hơn chảng lùn cao nhất hay không?

Điều gi sể xay ra nều khí chọn chàng khổng lô

thầy giáo cũng chon theo hang dọc nhv 1a khic hon chang lan ma khéng chon theo hang ngang?

60 Trong trudng Jhoe co hai lớp A và B, Các hocsinh lớp A khoe rdng ho cao lớn hơn học sinh 16 p Bị

còn các học sinh lốp B lại tự cho mình là giỏi tơan

hdn Co mot lan mot học sinh cưa lớp A ngắm một học sinh cua 1ép B, thay vậy học sinh lớp B hỏi: Vẻ thực

chất cải gi cd nghia 1a cde anh cao hén chung téi ? Liều co phdi la nhuhg diéu ndy khéng?

1) Một nguữ1 bat ky trong cdc anh cứng cao hơn

một ngươi bất kỳ trong chứng tôi?

2) Người cao nhất cửa các anh cao hơn ngưởi cao

nhất cưa chúng tôi?

26

3) Với mối học sinh lớp A, tìm được môt hocsinh

lớp B thip hen anh ta?

4) Mối học sinh lớp B thấp hon mét hoc sinh nado

đỏ cửa lớp A?

5) Với mối học sinh lớp A có thể chỮ ra một học

sinh lớp B thấp hởn anh ta, trong đó với những học

sinh khác nhau cửa lớp A sẽ tưởng Ứng với những học

sinh khác nhau của lớp 5%?

6) VỚi mối học sinh lớp B cổ thể chỉ ra mot học sinh lớp A lớn hởn anh ta; _trong đó với những họ c sính khát nhau của lớp B sế tưởng ứng với học sinh

khac nhau cưa lớp A?

7) Ngưöi thấp nhất cúa lớp B thấp hớn ngưồitlấp

nhất cửa lớp A?

8) Số học sinh của lớp B thâp hởn người thập nhát cưa lớp Ay lớn hơn số học sinh lớp A thấp hởn ngưởi cao nhat cua lớp D?

9) Tổng chiều cao cửa học sinh lớp A lớn hơn

tổng chiều cao của học sinh lớp B?

10) Chiéu cao trung bình của học sinh lớp A lớn

hớn chiều cao trưng Binh của học sinh lớp B?

11) Số người cửa các anh cao hởn nột ngưởi nàođó trong chúng tồi, lớn hơn sô người trong chủngtôi cao

hởn một ngưổi nao đó trong các anh,

12) số người trong các anh cao hỏn chiều e ao trung binh của chúng tỏi, lớn hdn số ngưởitro nạc táng tôi cao hơn chiều cao trung bình của các anh?

13) Chiều cao giủa cửa các anh (đó lả chiều cao nếu xếp theo thử tự thi ở chính giv) lổn hơn chiều

cao giưã cửa chúng tói? (trong trường tdp nếu sở học

27

sinh la chan thi chiều cao giua dude coi như trung

binh công của chiều cao của cắp ở siưa)

Bay gid chung toi hoi déc gia?:

Cac cdu hoi nay co phu thuéc lan nhau Khong ?

Nêu co thí đô là nhưng câu hổi nảo? Nghia lá phai

tim nhung cap cau hoi ma cau trả lời khẳng dinh cua cau hoi nay cúng quyết đính câu trả lời khẳng đỉnh

cua cầu hoi kia,

Co nhưng câu hơi tưởng đưởng hay khỏng? nghia

là co những cap cau hoi mà câu trả 1ời hơan toan như

nhau hay không?

Co nhưng cầu hoi phụ thuốc ưa khỏngtưởngdương hay không?

61, Hồt nhà thông kê quyết định nghiện cứu xemngưởi

ta.sử dung toa danh cho người khống hút thuốc

tren dưỡng săt ở nhưng nude khac niu nhv thé’ nado

Anh ta chia thành cac kha ndng sau day:

a) Tat cad nhung nguéi hut thudc thudng den toa

danh cho ngưới hút -thuộc

a') la déi lap voi a

b) Tat ca nhung ngudi khong hut thuốc thươngđẻn

toa danh cho ngươi hút thuốc

b') doi lap voi b

€) Phản lớn nhưng ngưới hút thuôc đến toa dành clo ngưởi hút thuốc

e') doi lap vdic

d) Tát ca nhưng ngưới hụt thuòc thường đén toa danh cho nhưng ngưới khổng hút thuỏc

d") déi lap voi d

Doi voi mi nước ; có thẻ đặc trưng bởi 4 chư a,

bạc¿d co dau phay ở trên hoặc không Vi không the

xuất niên đồng thời a và a', bvả b` v.v nên sd

28

moi khẩ năng có thé la 16 Liéu trong 16 chuyen tảu

có thẻ bồ trí hành khach để cho tưởng Ung voi modi chuyén tau mot ky hieu khac đước không?

62 Nhor mau

| Như đã biết loai ngudi co 4 nhor mau: 0,A,8,AB

Ky hiếu X => Y là mệnh đề: một ngưởi co mau nhom X

cœ thẻ cho máu mót ngưới có mấu nhóm Y mà khong gây nguy hiểm Khi đơ qui luật được kham pha bởi các nhà

khoa học: Landstein, Tanski, Moss, v.v đước phát biểu như sau:

I X —=Y vơi bắt kỳ X

II O —* X voi bat ky X

III X — AB voi bat ky X

_ IV Mét quan he X — Y bat ky ma khong dan

tổi 1,I1,II1 đều là nguy hiểm,

Chứng minh rằng:

1) Hê cac luật I-IV la khong mâu thuản,

2) Từ cac luầt I=IV suy ra rằng với bất kỳ X,Y,

Z thi tu X —> Y va Y -+ Z suy ra X -> Z

3) TỪ I-IV suy ra quan hé A =3 Bla nguy hiém

63 Félik Becstéin la ngudéi dau tién phat biéu v è ludt ke thia nhom mau 0,A,B,AB Gia st ngudicha

co mau nhom A, me cd nhom AB; viét thém vao nhóm mau

cưa cha chư 0, nghia là ngudi cha co nhom mau AO.Như vây nhóm máu cưa cha me la AO va AB, Dê lập nhom mau

cưa thể hệ con ta lấy từng chư cưa mỗi nhóm mau vả

to hớp với nhau; nhưữ vảy đửa con có thê cơ cac nhóm

miu sau day AA, AB, OA va Of Bo mt trong hai chứ

giông nhau và bơ chư 0 ta se rut gọn thanh A,AL,A va

B nghĩa là đửa con chỉ co một trong 3 nhóm mầu A, AB

29

vả B chư khóng thế cơ nhóm mau 0,

Cac quy tác trển goi là lý thuyết đi truyền về

sự kế thừa cac nhóm mau, Cac qui tắc truyền máu da đưởc mô tả trong bải toan 62,

Có hai anh em đều biết luật truyền mau và cũng

biết răng họ không tha” truyén mau cho nhau,nhung moi

ngud i trong who cơ thé’ nhậu mau cua ngudi me Liéu

người chi cua ho co thé” thay thể ngưði mẹ dudckhéng?

63a Nev người n4o đó có 5 đồng 27 xu thí nhất thiết

phải có 2 xu (với gia khiết chỉ cơ cac đón vị

tiền sau day: 1 xu, 2 xu, 5 xu, 10 xu, 20 xu, 50 xu,

1 dong, 2 dong, 5 déng v.v, và 1 dong = 100 xu), dong thai có thể trong đỏ không co 17 xu, Điều này đước hiểu như sau: Nêu khỏng cỏ đồng tiên 2 xu hoặc hai đóng tiên 1 xu thi không thẻ tao nền số” tiền 5 đồng 27- xu Tuy nhiên so’ tién trén co thé’ tao neéenbdi mot td gidy 5 đồng, mot dong tién 20 ma, một đồng

tiền 5 xu và một đồng tiền 2 m3 vơi các đồng tiền

này khong thé’ tao nền số tiền 17 xu Từ đỏ hinhthanh một khai niệm “một sô tiền nảo đó nhất thiết c hua

nhưng sô tiền khác",

Sô tiền não trong sô từ 1 xu đến 999 xu , nhất

thiêt chưa một sô lớn nhất nhưng tông khác nhau?

630, ở Vrétslav co nhung vưởn cây ăn quả; gia thiết rang cé m vuln va n loại cây ăn qua, Co sy vudn

chi tréng mot loai cay an qua, s2 vưởn trông 2 loai cay an qua va sy vudn trông m loại cầy ăn qua ( tức

là tất ca cac loại) Có gị loại cay ma moi loai chi trồng trong 1 vườn, 62 loai mà môi loại trông trong

2 vườn, và gm loại trồng trong m vưỏn (tất cácac vưởnj Hôi quan hề giưa cac só 5S1;yạ S2; ‹++›» Sns Bl »

BQ, ++*+ Đmp Hạ R là như thè nảo?

64 Lãng phi lao đông

Nẻu muôn đóng đính vào vãi chục cai cot: doc theo

đường cái thi cach tôt nhật là Tần lưt đóng đính từ chiée cét dau tien cha dén cot cudi cing Như 'y cach xau nhat 1a nhu thé, nao? = nghiã là cơn đường - d a i nhat ma chung ta phai qua là như thê nào?

65, Đưởng cheo cưa hính hộp thẳng goc-

Co thể dùng thước ty Lê để đo đương chee cua hình hộp thẳng góc, đơ là khoang cach giưa hai đỉnh

xa nhât Hãy nêu lên cach đo thực tế thuận lợi cho

công viéc trong các mueng ~ nhung khong phd ila pinéng

phap sach vd - chang han dũng định ly Pythagore

66 Cach buộc hộp

Ở cae hiéu banh kẹo người ta thường buộc h 6p bang một dai băng tạo thanh một hinh 8 cạnh ( không

phẩng) mà ở mặt trên và mát dưới ta nhìn thây 2 đoạn

băng song song Khi biết kích thước hộp ta tính đước

đô dài của dải bang va goc ma dai bang cat cạnh cua’ hop Chung minh rang dai bang co thé chuyéndichkhéng chi’ doc theo chinh no ma doc theo ca canh- của hộp,

66a Cách buộc hộp khac

Một hộp có dạng hình hop thang gdc thưởng đước

buộc chữ thập: nghia là sdi day buéc cắt, nhau - theo:

goc vuông tại tâm N của mặt trẻn và tầm P cửa da y

day khong doi và làm bằng vắt liệu đỏng chất, Ta găn

vảo mòt dau cửa thanh mỏt vát năng tủy y, còn đầukia

gin mot cai moc dé’ treo vat can Trén thanh ta khác nhưng vét dé’ tinh trong iudng cua vat can Muôn vay tren thanh này ta phẩi tim mét diem ma tai do no tua

lên mỏt mưi nhọn và cần bang Can cư vao điển đó mà

chia thang do dé’ chi’ trong ludng cua vat can Thangdo

nay dé đang tạo nen bằng thức nghiêm nhớ nhưng qua

cản, Neu bỏ quả cán cảng phong phú thí thang đổ cảng chỉnh xac

Lap thang đồ này bằng phương phạp, hinh hoc như thê ndo néu ta chi eø mót quả cản ~ chẳng han 1 kilé-

gan,

68 _Đệ dài cực tiêu

Thước L được gắn chặt vào bản Một thước chuyên

dong R cơ goc B trưởt đọc theo bien cưa thưỏcL (Hinh

134) và biến cưa thước R luồn luôn tựa vào một chiếc đỉnh 0 đóng vảo bản, biên này xác dinh goc A Trong

qua trinh chuyén dong nhu vay co mot vi tri ndo do cua thước R lam cho khoang cach OA dat cực tiêu, Tìm

vị tri đó và tìu khoang cach cưc tiểu ảy của OA khi biết khoầng cách từ chiếc đỉnh đến thưổc'L và chiều

rỏng cưa thước R

_69, Chia Hình chư nhất và hình vuông

Người ta goi phép chia một hinh chư nhật thanh

nhiều hình chử nhật 1ä phép chia 'nguyền khai'néu no không thẻ phát sính trong két qua cưa phép chia tiếp

theo, Dinh nghia nay do giao sư Los nêu lén,ong cung

luu - y rang ton tai nhung cach chia nguyen khai, chia mot hinh chu nhat thanh 2,5,7,8 phan (cung lad hình

chư nhật) mà phép chia thành 3, 4,6 phan thi kho ng

phai 14 nguyén khai

1) Hay chi’ro bang thi'du phep chia nguyén khai

mót hình vuống thảnh 5 piần bằng nhau,

2) Ch?rõ băng thứ dụ phep chia nguyên khai một hình vuông thằnh 7 phần bằng nhau

3) Ch? rõ bằng thí du phep chia nguyên khai sột

hình vuống thành 8 phần bằng nhau,

70 Bãi toàn thực tế

Địa phân của x{ nghiếp phẩng nhưng dỏc Chúng ta

co đụng cụ đo đỏ đöc gdm một đùa kinh năm ngang quay

wong quanh một trục thang đứng (trong đó Boc guay ta

tinh trén mit 36 nin ngang) và một qút điều chính để

cính mut chénh léch va khoang cach ma tai dd ta đặt mit điều chinh (mờ hai sơi đây nẳm ngang trong ong

kinh và thang điều chiỉh), Xac đính đổ nghiêng ‘cua măt đất và hưởng nghiêng cửa nở,

/1, Nổi các thành phổ

Trên bản đỏ chảu Âu ta nổi mởÌ tinh pho’ vol thinh phd’ gin né nhdt, va gid thiée rdng kho'ang cach gia har thành phò bát kỳ đều khác nhau, Chứng minh

rang không có một thành phỏ nao nôi với quá 5 thành phổ khác,

72 Lưởi đường sắt (I)

Cơ 5 thành pho, trong dé khong co 3 thanh phd mìo thẳng hảng Phểi nôi 5 thành phò này với nhau

bằng 4 đoạn đường thẳng, trong đó đuồng này cơ thể

vắt qua đường kia bởi một chiếc cầu cạn, Cổ baonhiều

luỞi đường sắt khác nhau?

73, Lưỡi đưởng sắt (11)

Thành phô A,B,C,D n"m tại đính một hìnhvuòng Ba

cạnh 100km Phai lap mét ludi đường sắt sao cho môi thành phó được nói với bắt kỳ thánh phô nào (trong đó

ta thùa nhân co thẻ láp nhưng nhà ga tại nhưng :địa

điển khác voi A,B,C,D) va sao cho độ dai tỏng công cưa các đoan đường, la ngan nhất, Tìm lươi đó và đô dải cưa nó như thể não,

74 Chuyên bay thử

Một chiếc mãy bay loại mới cất canh từ Oslo ;

bay theo con đường ngăn nhât đên sân bay Xở Nam Mỹ trên cung kinh tuyén Nhưng ngưöi quan, sat sy cat

cảnh từ Oslo déu nhin thay má y bay biên mât ở chan

trởi tai điềm đúng về phía tây: Hơi độ đài của đường

bay? Nhưng người chờ may bay tai sản bay X phải ở

diem nào cưa chân trới?

75, Mật trời và mặt trăng

Khởang cach tu mit trdi dén trai dat bảng 387

lần khoang cach tu mit trang dén trai dat Hơi thé

tích mat tréi gap bao nhiêu lần thể tich mặt trắng?

76 Tinh độ dai của mốt ngây ngắn nhất tại Vrôtslav Lởi giai cân phải biết 2 goc Nhưng góc nảo?

eee atom Cera 0e©e09960596206.499969299494%4962090 44 e9 e°eeoe 0e e92ec4e90e°s

34

49 hay 63) Các ö có canh chung gọi là ó kê.Tren vi

ô ta đất một con tôt; sau đỏ xoa đi va đặt lại, 1a

nữa trên bần cd do, Liêu có thê đăt mói.con tôt ở 3

'kề vơi vi tri’ cua lần trước hay không?

78 Trên mòi ô cưa bản cơ ta đặt một con tôt.Saukhi

xoa đi ta đắt lại các con tốt do sao cho: nhưng con tốt ở cac goc bên trải vấn gid nguyên vi tr như

củ, và nhưng con tôt đá kẻ nhau thi vân kề nhau Liệu

cổ mót quần tôt não đó cơ, vi trí khác với vị tri’ ban

đầu hay không?

79, Ta dùng nột bàn cở cơ sỏ hàng băng sổ côt,nhửng khac ban cd thường bảng sư phân bô ở trắng và 6 đen một cach tùy Yo miền là trong mối cột có it nhất

mot 6 trang va co it nhat wt ,côt toan 6 trắng Chung

ta sé thanh công trong viéc sap xp những quânxe nêu thoa mấn cac điều kién sau day:

1) Quan xe chi’ dung đô trắng,

2) Trén ban co co it nhất một quan xe

3) Các quan xe không uy hiép lan nhau,

4) Moi 6 trang ma không có quân xe đứng, nhưng

bị một quân xe đe dọa theo chiều ngang thi

cứng bỉ quần xe đe doa theo chiều đọc as

Chứng minh rằng luôn luôn cơ thể bó trữ cacquan

xe thoa man cac điều kiên 1),2),3),4)

80, Trên mét ban bi-a hinh elip, qua cauA nim 6 mep ban, côn qua cầu B năm trên đoạn s nói hai

tiểu điếh của elip Phat day qua ‘cau A sao cho sau

khi cham mep ban bat trở lạt va“chan vào quá cầu By nhưng câm qua cầu A cắc đoạn s trước khi cham m e p ban Chung minh rang bai toan không giải đước

81, Trong một lớp học cơ 25 học sinh, trong đó 17

tguởi biết đi xe dap, 13 ngưới biệt bơi và 8

ngưởi biết trướt tuyệt Không co mot ai biétea 3 min thê thao đó (moi người chỉ co thể biết một hoặc thai

món hoấc khổng biệt môn nao) Tat ca nhung ngườibiết

đi xe dap, biết bơi và biết trươt tuyệt déu dudcddnh gia theo tdan hoc 1a tét hoặc đạt yêu cầu) ngoai va

co 6 người bị đánh gia là không đạt yêu câu về thể thao,

Hoi cd bao nhiều học sinh dude danh g1átheo toan học là xuất sắc? Cơ bao nhiều ngưới vừa biết bởi vừa biết trượt tuyết?

82 Co 3 đấu thủ AyBạC nhiều lần tham gia cuộc phi

chạy 200m, Sau khi phần tích kết qua ngudi ta

phat hién rang trong da sô cuộc thi A chạy nhanh hơn

B, trong đa sb cuốc thi B lại chạy nhanh hon C và

trong đa số cuớc thi C lại chay nhanh hen A.Diéu nay

cơ thé’ xdy ra nohu thé’ nao?

83 Cau lạc bộ cờ quỏc tẻ cưa Saradêch co 10 hg i viên, Hảng nấm có cuộc thi đâu dé’ phan lớp cde

đấu thủ Mới người đều thi đầu với tất cả mọi ngưô Í,

Ta noi rằng °A giơi hon BY néu A thăng B trong vỏng

đâu loại cua nấm do, Kết thúc vỏnr đầu loai cơ tất

www facebook.com/otoanhoc2911

cả 45 kết quá và các đầu thử được chia thành các lớp như: lớp thắng 8 trân, löp thắng 7 trần V.V (Chủ

ý rắng rát co thể xay ra A thăng 5, B thang C va C

thang A) Héi cơ bao nhiều khả nang phán lớp cd thé’ co? Liéu co thé chia edu lac b6 thanh 3 lớp đudc khéng?

84 Cac déi béng chuyền qui ước với nhau: mổi đội

chơi mot Tan với đói bát kỳ khác, Đội được gọi

là vỏ địch nều nở thắng bất kỳ mót đôi nao khác trựt

tiếp hoấc giản tiếp qua déi thw ba, chẳng han ta coi

là Á thắng B nêu có đội € mà Á thẳng Cc va C thang B (Nên A thang C, C thang D, D thang B thi khéng coi

la A thang B)

Chung minh rang:

1) luồn xuât hiên mót hoác nhiều đới vô địch

2) Bói nảo thẳng trưc tiếp một sở trần lớn nhất luôn là đổi vô đích

85 Đầu loại

Chia 8 đổi thành 4 cấp bằng cách gấp thăm, Bổn

trân đâu xác đỉnh 4 đồi thắng để vao bản kết ,(vong2)

‘Hai đôi vao vòng 3 là chung két Boi thing cua tran thử ba nảy xếp thử nhất, đói bai xếp thư nhỉ, Ching |

ta coi moi mét đầu thử cơ một sức lut nhất dinh va

ngud i khoe hdn thi thang ke yêu hởn Vơi cácgiáthiết

như trên thị rât thuận lơi cho sư xac đính ngưới "vo dich", tuy nhién nguddi dung vi tri’ thu hai khéngphai

lưc nảo cũng có "sức lực thứ hai" Tìm xác suất đ È

cho nguời cơ sức lụt thử hai thật sư đạt độc giải thử hai,

86 Giám độc nông trướng cử 2 ngưới đi bô:một người

37

mang thư ra bưu điền thánh pho, va mdt ngudi ¬ 15 phut sau - mang thu di theo hướng ngước lại, dén- Uy ban Nông nghiệp, Bỏng nhiên Ong ta phát hiên cơ sự

lần lộn giưa 2 bức thư đỏ va cử mot ngud i đi xe đạp

đuổi theo cả 2 ngườ Í để sửa chửa sai lầm Ngưới đi

xe đạp giả thiết răng hai ngưới đi bộ cở vântôc băng

nhau vả anh ta rât băn khoăn không biết nên đuổitheo

anh nao trước, Nhưng vi anh ta có tốc độ nhanh hớn

nên cẩ hai trường hợp anh đều hoan thành nhiêm vu

Bäi toan này được giải quyêt như thê nảo , nêu khóng phẩi là cơ chuyên lâm lấn giủa hai bưc thư nà, chỉ lả ông giảm đóc quên không gửi tiền cho nhíng ngươi đưa thư vã muôn sửa chưa sai lam do

Có 4 con.cho A,B,C,D đứng

ở 4 đính mét bai co inh vuông

và bông nhiều chung bat đầu

đuôi nhau (như Hinh 2).Mối con

chạy thẳng đến con bền cạnh: A

đên P, B đên C, € đến D và D

đến A› Canh cua hinh vuông là )

1 00a, côn toc dé cua 4 con cho _ S——————————

Sau bao nhiéu lâu thi chung gặp nhau?iïhưngđường

di cua ching co cat nhau không? Đô đãi cưa chungbang

bao nhiéu?

33 Sư sắn dudi

Chiéc tau P chu y tei tau qQ ima no dang boi theo

hương Vuồng góc voi PQ Tau P đười theo Q vàluônluôn

hướng tdi Q Van téc cua ca hai tau tai moi thoidiéh

déu bing nhau (nhuhg co the’ thay đôi theo thời gian)

Không cán tỉnh toan cửng thay rang tau P bơi theo

38

mt đưởng cong Nẻu cuộc sắn đuôi là đú đài về thời

gian thì quÉ đạo cưa cả tàu đuổi và tâu chạy e u ó Í cưng sẽ trở thành gân như nhau, Khi đơ, khơang cách

PQ lả như thê nảo nêu ban đầu nở lả 10 hải ly?

89 Tau 01 chu y tdi tau 02 ma & thdi dién quan sat

dang boi theo hudng Vuông góc vơi đường thẳng

0102 Tảu Ô2 không chi y toi tin hiéu cua 01 va van

gid nguyén đường đi ban đầu và tôc đó vạ của minh ,

Vi tau OL Cân đước giúp đổ nên muôn 02 chủ ý đến tỉn hiệu của miính và chạy với tóc độ vị (tóc đó lơn nhật của no) theo hưởng sao cho nở có thể gân 02 hởr., Vậy

no phdi chon qui’ dao nảo? Khoang cach gân nhật giưả

2 tau la bao nhiéu néu khoầng cách ban đầu là dc và

Một ngưởi nao đở đã đọc qua bài toan trên nhưng

không chi y lam va sau ad ké’ lai bai toan cho Sara-

déch va hoi ong xac đỉnh quữ đạo như thể nao theocác điều kiện cửa bải toan, Rát tiếc là anh ta quên mất

tdu nao co van tôc 1dn hon, tdu nado có vận tốc nhỏ hởn, nhuhg chỉ nhở rang tr sé van tóẻ k < l Tuynhién anh ta cung không nhớ k la ty sô vần tốc cưa tảuphát -

tin hiều với vần tôc cửa tâu nhận tin hiểu hay ngược lai

Ngay cả khi dư kiện cửa bài toan chưa day dé nhu’ vậy, Saradéch da xic đính quí đao cửa bài toan Ủng ta đã lầm điều ây như thê nao?

91 Tàu chông bon cướp biến cơ vận tóc gấp ba lần tdu tuần tiểu Tàu tuân tiểu ở chính giuàkhoàng

cách từ bờ đến tâu chồng cướp biên Chỉ huy tầuchỏng

cướp biển nuôn cập bến va ra lênh cho tẩu chạy dọc

39

theo 2 cạnh cửa hình vuông Phần não cửa đoạn đường

nầy sẽ nguy hiếm?

92 Cứng trong bài toan trên, ngưới chỉ huy quyết

đỉnh cho tau chay theo con đường cơ nột Tần đổi

hưởng 90° Ong ta phẩi chọn đưởng đi như thê nảo để"

chấc chẩn tránh đước tầu tuân tiểu va co thé déndich

được nhanh hơn,

SCHHHSH HHT HSHHEHF SR HEE TH OHARERORHE HHH EHEHEH HCH OH OO ERE RDO ES

Chưởng 6

NHUNG BAT NGO TOAN HOC

CUA TIEN ST SARADECH

93 Con sd ky la

Cod mt con 86 ma mi tre em khi bất đầu đi hac đều biết, Con sô” nay co mot cach ghi khac mà nhưng học sinh lơn tuớổï hơn mơi biết; ngoai ra con sô này cứng côn một cach ghi thu ba, rac phức, tap ma chỉ

nhưng người cơ học vần cao hơn mới biết, Nhưng không

ai lại mi rang d6 1a cùng một 96 Chi’co Sarađech

va cac ban ong wSi biét bi' mit dd Bd 1a sé’ nao? 9% Thước do

Ngưới thở may gọi thước đo là một dải băng trên

đỏ chia thành các xentimet., Tiền si^Sarađêch có mót quan niệm khắc Thước

cua ông đướcbiéùdiến Bi 2 3 | 4 SÀN