CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BÀI TOÁN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA BÀI TỐN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Nội dung tốn: Cho biết phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp Phương pháp giải Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà phương, tần số dao động điều hoà phương, tần số Cách Phương pháp áp dụng trực tiếp cơng thức tính A tan    x1 = A1 cos (t + 1 )  x = A cos (t +  )    x2 = A2 cos (t + 2 )  A = A2 + A2 + A A cos ( −  ) 2   A1 sin 1 + A2 sin 2  tan  = A1 cos 1 + A2 cos 2  * Nếu dạng hàm cos, dạng hàm sin đổi:   sin (t +  ) = cos  t +  −  2  * Nếu hai dao động pha 2 − 1 = k 2  Amax = A1 + A2 * Nếu hai dao động thành phần ngược pha 2 − 1 = ( 2k + 1)   Amin = A1 − A2 * Nếu hai dao động thành phần vuông pha 2 − 1 = ( 2k + 1)   A= A12 + A22 Cách Phương pháp cộng hàm lượng giác x = x1 + x2 + x = A1 cos (t + 1 ) + A2 cos (t + 2 ) + x = cos t ( A1 cos 1 + A2 cos 2 ) − sin  t ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) A cos  A sin   x = A cos (t +  ) Cách Phương pháp cộng số phức x = x1 + x2 + x = A11 + A22 + Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Kinh nghiệm: 1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hịa dùng ba cách Khi cần tổng hợp ba dao động điều hịa trở lên nên dùng cách cách 2) Phương pháp cộng số phức áp dụng trường hợp số liệu tường minh biên độ chúng có dạng nhân với số,  A1 = 2a  Ví dụ:  A2 = 3a  chọn a =   A3 = 5a 3) Trường hợp chưa biết đại lượng nên dùng phương pháp vectơ quay cộng hàm lượng giác Trường hợp hai dao động thành phần biên độ nên dùng phương pháp lượng giác Ví dụ 1: Một vật thực hai dao động điều hòa phương tần số: x1 = 4cos (t + 30 ) cm, x2 = 8cos (t + 90 ) cm (với  đo rad/s t đo giây) Dao động tổng hợp có biên độ A 6,93 cm B 10,58 cm C 4,36 cm D 11,87 cm Hướng dẫn: Chọn đáp án C Bài toán đơn giản nên ta dùng cách 1: A = A12 + A22 + A1 A2 cos (2 − 1 ) A = 42 + 82 + 2.4.8.cos ( 90 − 30) = 4,36 ( cm) Ví dụ 2: (ĐH‒2008) Cho hai dao động điều hòa phương, tần số, biên độ có pha ban đầu   − (phương trình dạng cos) Pha ban đầu dao động tổng hợp hai dao động A −  B  C  D  12 Hướng dẫn: Chọn đáp án D − A sin 1 + A2 sin 2  =  tan  = = A1 cos 1 + A2 cos 2 a cos  + a cos − 12 a sin  + a sin Ví dụ 3: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phương, tần số có phương   trình: x1 = cos  t +  ( cm ) , x2 = cos (t +  )( cm ) Phương trình dao động tổng hợp 2  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ  2  5       A x = 2cos  t −  B x = 2cos  t +  C x = 2cos  t +  D x = 2cos  t −  3 6       Hướng dẫn: Chọn đáp án x = 3  + 1 = 2 2 2    x = 2cos  t +  ( cm ) 3   Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm sau: (Để chọn đơn vị góc radian) (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) (Màn hình máy tính thị Màn hình kết quả: 2 3  + 1 ) 2 Nghĩa biên độ A = 2cm pha ban đầu  = 2 nên ta chọn B Chú ý: Để thực phép tính số phức, bấm: MODE hình xuất CMPLX Muốn biểu diện số phức dạng A , bấm SHIFT = Muốn biểu diện số phức dạng: a + bi , bấm SHIFT = Để nhập ký tự  bấm: SHIFT (-) Khi nhập số liệu phải thống đơn vị đo góc độ hay rađian Nếu chọn đơn vị đo độ (D), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ D Nếu chọn đơn vị đo Rad (R), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ R Ví dụ 4: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phương, tần số có phương 5     trình: x1 = 2sin   t −  ( cm ) , x2 = cos   t +  ( cm ) Phương trình dao động tổng hợp  6   A x = cos ( t + 1, 63) 5   B x = cos   t −      C x = cos   t −  6  D x = cos ( t − 1,51) Hướng dẫn: Chọn đáp án D Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ  5   x1 = 2sin   t −   Đổi hàm sin hàm   x = cos   t +      6  4     = cos   t −  ( cm )    Cách 1:   −4  A = A12 + A22 + A1 A2 cos (2 − 1 ) = 22 + 12 + 2.2.1.cos  −  = ( cm )  6 −4  2sin + 1.sin A1 sin 1 + A2 sin 2 = −8 −   = −1,51( rad ) tan  = = A1 cos 1 + A2 cos 2 cos −4 + 1.cos  Cách 2: 5     x = x1 + x2 = 2sin   t −  + cos   t +   6   x = 2sin  t cos 5 5   − cos  t sin + cos  t cos − sin  t sin 6 6  −2 +   1+  x = cos  t   − sin  t   = cos ( t − 1,51)( cm )     cos( −1,51) sin ( −1,51) Cách 3:  4 x = x1 + x2 = 2  −      + 1   = 51,63  x = cos ( t + 1,63)( cm )  6 Bình luận : Đáp án A! Vậy cách cách sai đâu? Ta dễ thấy, véc tơ tổng A = A1 + A2 nằm góc phần tư thứ III khơng thể lấy  = −1, 51rad ! Sai lầm chỗ, phương trình có hai nghiệm :   = −1,51( rad ) tan  = −8 −     =  − 1,51 = 1, 63 ( rad ) Ta phải chọn nghiệm 1,63 rad véc tơ tổng “bị kẹp” hai véc tơ thành phần Qua ta thấy máy tính khơng “dính bẫy” thơng thường giống người! Đây lợi cách Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hoà phương tần số, biên độ a a pha ban đầu tương ứng 1 = 2  ;  = Pha ban đầu dao động tổng hợp là: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ A  B  C −  D 2 Hướng dẫn: Chọn đáp án B Muốn sử dụng máy tính ta chọn a = thực sau :   x = x1 + x2 = 1 ( 2 / 3) + 3 ( / ) = 2 ( / 3)  x = 2cos  t +  ( cm ) 3  Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm sau: SHIFT MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) SHIFT ( − ) 2 + 3 SHIFT ( − )  : (Màn hình máy tính thị 1 ( 2 / 3) + 3 ( / ) ) SHIFT = Màn hình kết quả: 2 ( / 3) Nghĩa biên độ A = 2a pha ban đầu  =  nên ta chọn B Dùng máy tính Casio fx 570 – MS, bấm sau: SHIFT MODE = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc độ) MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức) SHIFT ( − ) 120 +  m SHIFT + = sẽđược A = Baá SHIFT ( − ) 30 :  m SHIFT = sẽđược  = 60  Baá Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu  = 60 nên ta chọn B Chú ý: Nếu hai dao động thành phần có biên độ ta nên dùng phương pháp lượng giác: x = a cos (t + 1 ) + a cos (t + 2 ) = 2a cos 1 − 2  +   cos  t +    Ví dụ 6: Phương trình dao động tổng hợp dao động thành phần phương tần   số: x1 = 4cos (100t )( cm ) ; x2 = 4cos 100t +  ( cm ) là: 2    A x = 4.cos 100t +  cm 4    B x = 2.cos 100t +  cm 8    C x = 2.cos 100t +  cm 4  3   D x = 4.cos 100t +  cm   Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Hướng dẫn: Chọn đáp án B      x = x1 + x2 = 2.4.cos cos 100t +  = cos 100t +  ( cm ) 4 4   Ví dụ 7: Biên độ dao động tổng hợp ba dao động x1 = cos 4 t ( cm ) , x2 = 4cos ( 4 t + 0,75 )( cm ) x3 = 3cos ( 4 t + 0, 25 ) ( cm ) là: B cm A cm C cm D cm Hướng dẫn: Chọn đáp án A Cách 1: Phương pháp cộng hàm lượng giác x = x1 + x2 + x = cos t ( A1 cos 1 + A2 cos 2 + ) − sin t ( A1 sin 1 + A2 sin 2 + ) 3  3    x = cos 4 t  cos + 4cos + 3cos  − sin 4 t  sin + 4sin + 3sin  4 4     x = 3,5 cos5t − 3,5 sin 5t = 7.cos  4 t +  ( cm )  A = ( cm ) 3  Cách 2: Phương pháp cộng số phức x = x1 + x2 + = A11 + A22 + x = 20 + 4 3   + 3 = 7 4 Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm sau: SHIFT MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) SHIFT ( − ) + SHIFT ( − ) 3  + SHIFT ( − ) : 4 (Màn hình máy tính thị 4 20 + 4 3  + 3 ) 4 SHIFT = Màn hình kết quả: 7  Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu  =  (Pha ban đầu cần nhập + 4 nên ta chọn A 3  + 3 kết trên) 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Dùng máy tính Casio fx 570 – MS, bấm sau: SHIFT MODE = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc độ) MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức) + SHIFT ( − ) 135 + SHIFT ( − ) 45 Bấ m SHIFT + = sẽđược A =   m SHIFT = sẽđược  = 45  Baá Nghĩa biên độ A = pha ban đầu  = 45 nên ta chọn A Ví dụ 8: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa pha tần số có phương trình 5   x1 = 5cos ( 2 t +  )( cm ) ; x2 = 3cos ( 2 t −  )( cm ) ; x3 = 4cos  2 t −  ( cm ) , với   0   tan  = Phương trình dao động tổng hợp 5   A x = cos  2 t +  ( cm )   2   B x = 3 cos  2 t −  ( cm )   5   C x = 4cos  2 t +  ( cm )   5   D x = 3cos  2 t −  ( cm )   Hướng dẫn: Chọn đáp án A −5 5 5 arctan + 3 −  + 4 = 4 6 Ví dụ 9: Vật thực đồng thời hai dao động phương có phương trình     x1 = 8cos  20t −  ( cm ) x2 = 3cos  20t +  ( cm ) (với t đo giây) Tính gia tốc cực 3 3   đại, tốc độ cực đại vận tốc vật vị trí cách vị trí cực đại gần cm Hướng dẫn: Biên độ dao động tổng hợp: A = A12 + A22 + A1 A2 cos (2 − 1 ) = 64 + + 2.8.3.cos 2 = ( cm ) amax =  A = 202.7 = 2800 ( cm / s ) Gia tốc cực đại tốc độ cực đại:  vmax =  A = 20.7 = 140 ( cm / s ) Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân x = − = ( cm ) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Vận tốc tính theo công thức: v =  A2 − x = 20 − 52 = 40 ( cm / s ) Ví dụ 10: Một vật có khối lượng 0,5 kg thực đồng thời ba dao động điều hoà phương,     x1 = cos 10t +  ( cm ) ; x2 = 4cos 10t +  ( cm ) ; 3 6   tần số có phương trình:   x3 = 8cos 10t −  ( cm ) (với t đo s) Tính dao động độ lớn gia tốc vật 2  vị trí cách vị trí cực đại gần cm Hướng dẫn: Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: 3  + 4  + 8 − shift 23 = = 6 −  Biên độ dao động tổng hợp cm nên dao động : W= 1 m A2 = 0,5.102.0, 062 = 0, 09 ( J ) 2 Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân x = − = ( cm ) Độ lớn gia tốc vật tính theo cơng thức: a =  x = 102.4 = 400 ( cm / s ) Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời dao động điều hoà phương tần số vuông pha với Nếu tham gia dao động thứ vật đạt vận tốc cực đại v1 Nếu tham gia dao động thứ hai vật đạt vận tốc cực đại v2 Nếu tham gia đồng thời dao động vận tốc cực đại A 0,5 ( v1 + v2 ) C ( v12 + v22 ) B ( v1 + v2 ) 0,5 D 0,5 ( v12 + v22 ) 0,5 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Vì hai dao động vng pha nên biên độ dao động tổng hợp: A = A12 + A22 Vận tốc cực đại vật: v =  A = ( A1 ) + ( A2 ) 2 = v12 + v22 Ví dụ 12: (CĐ‒2011) Một vật nhỏ có chuyển động tổng hợp hai dao động điều hòa   phương Hai dao động có phương trình x1 = A1 cos t x2 = A2 cos  t +  Gọi E 2  vật Khối lượng vật A E  A +A 2 B 2E  A +A 2 C E  ( A12 + A22 ) D 2E  ( A12 + A22 ) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Hướng dẫn: Chọn đáp án D Vì hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp: A = A12 + A22 Cơ dao động vật: E = m A2 2E m= 2  ( A1 + A22 ) Chú ý: 1) Lực kéo cực đại: Fmax = kA = m A 2) Lực đàn hồi cực đại: Fdh max = k l0 + A mg  l0 = k Trong đó, l0 độ biến dạng lị xo vị trí cân bằng:  l = mg sin   k Ví dụ 13: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phương ngang, theo phương trình: x1 = 5cos  t ( cm ) x2 = 5sin  t ( cm ) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây, lấy  = 10 ) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật A 50 2N B 0,5 2N C 25 2N D 0, 25 2N Hướng dẫn: Chọn đáp án B  x1 = 5cos  t      x2 = 5sin  t = 5cos   t −  2    k = m = 10 ( N / m )   A = A12 + A22 + A1 A2 cos (2 − 1 ) = 0,05 ( m ) ( )  Fmax = k ( l0 + A) = 10 + 0,05 = 0,5 ( N ) Ví dụ 14: Con lắc lị xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, theo phương trình: x1 = cos10t ( cm ) x2 = sin10t ( cm ) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật A 10 N B 20 N C 25 N D 0,25 N Hướng dẫn: Chọn đáp án B Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ   x1 = cos10t      x2 = sin10t = cos 10t −  2    mg = 0,1( m ) k = m = 100 ( N / m )  l0 = k  2   A = A1 + A2 + A1 A2 cos (2 − 1 ) = 10 ( cm ) = 0,1( m )    Fmax = k ( l0 + A) = 100 ( 0,1 + 0,1) = 20 ( N ) Chú ý: Giả sử thời điểm x = A tăng (giảm) để tính giá trị x1 x2 có thể: n Dùng phương pháp vectơ quay; Giải phương trình lượng giác Ví dụ 15: Hai dao động điều hịa phương tần số có phương trình  5    x1 = 6cos 10t +  ( cm ) x2 = 6cos 10t +  ( cm ) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp 6    cm tăng li độ dao động thứ hai bao nhiêu? A 10 cm B cm D −3 cm C cm Hướng dẫn: Chọn đáp án C Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 6  + 6 5  = 6   = 6cos 10t +  (cm) 2  Vì x = tăng nên pha dao động (ở nửa vòng tròn) 10t +  =−   10t = − 5   x2 = 6cos 10t +  5   5 5 +  = 6cos  −     = ( cm )  Chú ý: 1) Hai thời điểm pha cách khoảng thời gian kT t2 − t1 = kT   = k 2  xt1 = xt 2) Hai thời điểm ngược pha cách khoảng ( 2k + 1) T   = ( 2k + 1)   xt1 = − xt2 3) Hai thời điểm vuông pha cách khoảng ( 2k + 1) T Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ t2 − t1 = ( 2k + 1) T   j = ( 2k + 1)  A = xt21 + xt22 Ví dụ 16: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa pha tần số có phương trình lượt lần 2   x1 = A1 cos  2 t +  ( cm ) , x2 = A2 cos ( 2 t )( cm ) ,   2   x3 = A3 cos  2 t −  ( cm ) Tại thời điểm t1 giá trị li độ x1 ( t1 ) = −10cm, x2 ( t1 ) = 40 cm ,   x3 ( t1 ) = −20cm Thời điểm t2 = t1 + T giá trị li độ x1 ( t2 ) = −10 cm, x2 ( t2 ) = cm, x3 ( t2 ) = 20 cm Tìm phương trình dao động tổng hợp?   A x = 30cos  2 t +  3    B x = 20cos  2 t −  3    C x = 40cos  2 t +  3    D x = 20 cos  2 t −  3  Hướng dẫn: Chọn đáp án B Hai thời điểm t2 t1 vuông pha nên biên độ tính theo cơng thức: A = xt21 + xt22 Với A1 = x12(t1) + x12(t 2) = 20 ( cm ) ; A2 = x22(t1) + x22(t 2) = 40 ( cm ) A3 = x32(t1) + x32(t 2) = 40 ( cm ) Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: x = x1 + x2 + x3 = A11 + A22 + A33 20 2 −2 −   + 40 + 40 = 20  x = 20cos  2 t −  ( cm ) 3 3  Chú ý: Nếu toán cho biết trạng thái hai dao động thành phần thời điểm đó, yêu cầu tìm trạng thái dao động tổng hợp làm theo hai cách (vòng tròn lượng giác giải phương trình lượng giác) Ví dụ 17: Hai dao động điều hòa (1) (2) phương, tần số biên độ cm Tại thời điểm đó, dao động (1) có li độ cm , chuyển động ngược chiều dương, dao động (2) có li độ cm theo chiều dương Lúc đó, dao động tổng hợp hai dao động có li độ chuyển động theo chiều nào? Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ A x = chuyển động ngược chiều dương B x = 5, 46 chuyển động ngược chiều dương C x = 5, 46 chuyển động theo chiều dương D x = chuyển động theo chiều dương Hướng dẫn: Chọn đáp án B Cách 1: Chọn thời điểm khảo sát thời điểm ban đầu t = phương trình dao động     x1 = cos  t +     chất điểm là:   x = cos  t −      3  Phương trình dao động tổng hợp (bằng phương pháp cộng hàm lượng giác):     x = x1 + x2 = 4cos  t +  + 4cos  t −  6 3       x = 2.4.cos cos  t −  12      x = cos  t −  ( cm ) 12   Tại thời điểm ban đầu li độ tổng hợp x0 = x01 + x02 = +  5, 46 ( cm ) Pha ban đầu dao động tổng hợp −  thuộc góc phần tư thứ IV nên vật chuyển động 12 theo chiều dương Cách 2: Li độ tổng hợp: x = x1 + x2 = +  5, 46 cm Véc tơ tổng hợp A = A1 + A2 nằm góc phần tư thứ IV nên hình chiếu chuyển động theo chiều dương Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ ... nghiệm: 1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hòa dùng ba cách Khi cần tổng hợp ba dao động điều hịa trở lên nên dùng cách cách 2) Phương pháp cộng số phức áp dụng trường hợp số liệu tường minh... Tại thời điểm đó, dao động (1) có li độ cm , chuyển động ngược chiều dương, cịn dao động (2) có li độ cm theo chiều dương Lúc đó, dao động tổng hợp hai dao động có li độ chuyển động theo chiều... dụ 15: Hai dao động điều hòa phương tần số có phương trình  5    x1 = 6cos 10t +  ( cm ) x2 = 6cos 10t +  ( cm ) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp 6    cm tăng li độ dao động