skkn sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán tìm gtln gtnn của mô đun số phức nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi thpt quốc gia năm học 2023 2024

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

GIA NĂM HỌC 2023 – 2024

TẠI TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

Người thực hiện: Lại Thu Hằng Đỗ Thị NhungChức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

Năm thực hiện: 2023 – 2024

C NG HÒA XÃ H I CH NGH A VI T NAMỘ Ộ Ủ Ĩ Ệ

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến Trường THPT Chuyên Bắc Giang

Chúng tôi ghi tên dưới đây:

TTHọ và tênNgày tháng năm sinh

Nơi công tác

Chức danh

Trình độchuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việctạo ra sáng kiến

Tỷ lệ (%)

Nội dung đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến

1 Lại Thu Hằng

30/8/1977 Tổ Toán - Tin

Giáo viên THPT hạng 2

Thạc sĩToán học

70 Nghiên cứu giải phápmới, ứng dụng và đánh giá kết quả ứng dụng giải pháp mới.

2 Đỗ Thị Nhung

24/6/1971 Tổ Toán - Tin

Giáo viên THPT hạng 2

Cử nhân Toán - Tin

30 Đánh giá tình trạng nhược điểm, hạn chế gủa giải pháp cũ thường làm và sự cầnthiết áp dụng giải pháp sang kiến mới.

Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số phương pháp chứng minhbất đẳng thức”.

1 Điện thoại liên hệ của đại diện nhóm tác giả sáng kiến- Họ và tên: Lại Thu Hằng

- Điện thoại: 0982087768

- Email: lthang.cbg@bacgiang.edu.vn

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo – áp dụng giảng dạy môn Toán 3 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: ngày 31/08/2018

4 Các tài liệu kèm theo:

4.1 Thuyết minh mô tả giải pháp và kết quả thực hiện sáng kiến: 01 cuốn4.2 Quyết định công nhận sáng kiến:

Quyết định số / ngày / / của Hội đồng sáng kiến cấp 4.3 Biên bản họp Hội đồng sáng kiến cấp :

Bắc Giang, ngày 28 tháng 02 năm 2024

Đại diện nhóm tác giả sáng kiếnLại Thu Hằng

THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

4 Mô tả các giải pháp cũ thường làm

Thông thường giải các bài toán về số phức bằng phương pháp đại số Với cácbài toán liên quan đến modun của số phức và các bài toán cực trị liên quan đến sốphức thông thường dung các bất đẳng thức đề làm Trong thực tế, các bài toán bấtđẳng thức đại số là khó mà học sinh lại không được luyện nhiều nên không làm được.Vì thế, các cách làm cũ là khó khăn.

5 Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến

Từ năm học 2016-2017, Đề thi môn Toán trong Kỳ thi THPT quốc gia, nay là Kỳ thiTHPTQG đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chínhđiều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường Để đạtđược điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản,làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng tư duy logic cao để tiếp cậnvấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất để tìm ra đápán.Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: các bài toán vận dụngcao tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức nếu học sinh tiếp cận theo hướng tự luậnquen thuộc sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn.

Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảngdạy của mình và nghiên cứu Đề thi THPT Quốc gia từ năm 2018 đến năm 2023 và Đềtham khảo của Bộ giáo dục và đào tạo các năm qua, chúng tôi quyết định chọn đề tài :

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂGIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC NHẰM NÂNGCAO HIỆU QUẢ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2023 - 2024 TẠITRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG” Đề tài nhằm đưa ra phương án tối ưu nhất

giúp học sinh giải quyết được các bài toán ôn thi THPTQG trong năm 2024 và nhữngnăm tiếp theo.

6 Mục đích của giải pháp sáng kiến

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệutham khảo nhỏ giúp các em học sinh trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cậnnhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức nhằmgiúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi THPT QG năm 2024.

I Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Qua trao đổi với các thầy cô giáo trong bộ môn toán nhà trường, tôi nhận thấy việccác thầy cô vẫn đang còn dạy các em tìm lời giải cho các bài toán: Tìm GTLN, GTNNcủa mô đun số phức theo phương pháp biến đổi trực tiếp rồi dùng phương pháp hàm sốhoặc dùng bất đẳng thức để đánh giá Vì vậy, tôi nhận thấy với cách làm như vậy sẽ đưahọc sinh vào một số thử thách trong việc làm bài thi Tốt nghiệp THPT như sau:

Một là, thời gian các em dành để tìm ra đáp số của bài toán mất nhiều thời gian.Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định hướng

tìm lời giải Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài toán thì không đủ thời gian đểtìm lời giải nên dẫn đến tình huống đoán mò.

Từ thực tế đó, đòi hỏi cần có cách tư duy bài toán theo cách giải toán trắc nghiệm,trong đó việc khai thác tối đa tính trực quan của việc biểu diễn số phức bằng hình họcviệc giải toán là việc làm rất cần thiết trong việc ôn thi Tốt nghiệp THPT của nhà trườngtrong giai đoạn hiện nay.

II Giải pháp thực hiện

Trong quá trình dạy học ôn thi THPT trong 3 năm gần đây, qua nghiên cứu đề thichính thức của Bộ giáo dục và đào tạo năm và đề minh họa các năm, Tôi xin đưa ra cáchhướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hình học để tìm lời giải cho một số bài toánvận dụng cao về tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức sau:

DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN 1 SỐ PHỨC CÓĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT ĐƯỜNG TRÒN, ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 1 Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất của là

Lời giải

Giả sử

Vì tìm nên xét và là đường tròn tâm

Từ giả thiết là đường tròn tâm bán kính Vậy để lớn nhất thì hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau và

Ví dụ 2. Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của Khi đó bằng

Lời giải

thì ta có M thuộc đường tròn tâm , bán kính là nên có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

khi M là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn nên hiệu

Xét điểm A(- 1; 1) thì và lớn nhất khi AM = R + AI =

Gọi , Để IM lớn nhất thì vị trí M cần tìm tại H

Gọi thì M thuộc đường tròn (C), tâm I(3; 4), R = và ta có:

Để T lớn

nhất thì d tiếp xúc với đường tròn (C), khi đó

(lấy t > 0) Ta có M(5; 5) nên Chọn D.Cách 2 (Hình học véc tơ)

Gọi thì M thuộc đường tròn (C), tâm I(3; 4), R =

bởi thuộc đường tròn tâm , bán kính R

Mặt khác ta có suy ra

là đường thẳng nên IM nhỏ nhất khi IM vuông góc với tại M.

, chứng tỏ Chọn A.Cách 2 (Trắc nghiệm - Công thức tính nhanh)

Ta có và đường thẳng là khi đó trong Mode 2 ta

ghi

Nhận xét: Qua các ví dụ trên giúp học sinh củng cố kiến thức và luyện tập kỹ năng về

Đặt , ta cần tìm và Thế z vào giả thiết ta có:

3-3 O

Ví dụ 9 Cho hai số phức , thỏa mãn và Gọi a, b lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Khi đó bằng

Gọi là điểm biểu diễn là vectơ biểu diễn ; là điểm biểu diễn là vectơ biểu diễn ; là điểm biểu diễn là vectơ biểu

cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1 Gọi A, B biểu diễn các số

thì từ suy ra OAB là tam giác đều Không giảm tổng quát chọn

Ký hiệu , giải sử M biểu diễn z, A, B biểu

diễn và là tâm đường tròn Gọi H là trungđiểm AB Ta có và:

Nhận xét: Đôi khi ta xem như Elip (thay đổi) hoặc đường tròn (thay đổi) và nhìn nhận

theo cách mở rộng xem như elip ảo hay đường tròn ảo để giải toán nhanh hơn.

Nghĩa là nên hai đường thẳng , hơn nữa

Rõ ràng ta có nhỏ nhất khi P, Q thuộc các đoạn MI, MK và do

tính đối xứng nên = 2MK Vậy

Gọi là điểm biểu diễn số phức z, thì giả thiết:

nên M thuộc elip có phương trình

(1) Hoàn toàn tương tự M thuộc elip (2) Quy đồng và cân

việc thay số:

Chọn A.

Nhận xét Cách giải trên có thể một số em còn băn khoăn, sau đây ta có thể giải như sau

Theo quy tắc hình bình hành thì thế vào (1)ta có

(2) Hoàn toàn lập lại với giả thiết thứ hai: (3).Đặt thì từ (2) và (3) suy ra hay

Gọi là điểm biểu diễn số phức w và biểu diễn các số khi đó từ (1) ta có Mà ta có

Gọi biểu diễn z,

tích M là một Elip Nhận xét rằng là trung điểm của và ta cần tính độ dài lớn nhất của KM, khi đó vị trí cần tìm tại D, mà sao cho (không đổi)nên suy ra

Điểm M chạy trên một elip ảo (trục lớn 2m thay đổi) Vị trí của M tại H, sao cho

Gọi và là điểm biểu diễn của số phức z.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là

xy

Gọi là điểm biểu diễn của số phức , suy ra

Gọi là điểm biểu diễn của số phức , suy ra Gọi là điểm sao cho Suy ra tứ giác là hình bình hành.

Do từ giả thiết , suy ra Dùng định lí cosin trong tam giác ta tính được

Đặt , suy ra điểm biểu diễn là thuộc đường tròn tâm bán kính Gọi điểm là biểu diễn số phức Khi đó , bài toán trở thành tìm biết điểm trên đường tròn Dễ thấy điểm nằm trong đường tròn nên

Đặt (với )Theo bài ra ta có:

Theo tính chất ta có:

Cách 2:

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức , M thuộc đường tròn tâm O bán kính

Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức , N thuộc đường tròn tâm O bán kính

Suy ra là điểm biểu diễn cho

Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức , P thuộc đường tròn tâm O bán kính

Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức ,

Dựng hình bình hành ta có R là điểm biểu diễn cho sốphức

Ta có:

T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng

bằng

Lời giải

Đặt suy ra Và thế vào

Gọi là hai điểm biểu diễn cho hai số phức thuộc đường tròn tâm

thuộc đường tròn tâm

Ta có Suy ra

Mặt khác Suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính.

Ta có không cắt đường tròn.Khi đó

thì

Do nên loại.

Thay vào ta có

Câu 2. Cho số phức thỏa mãn Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giảiChọn B

Ta có: nên biểu diễn bởi nằm trên đường tròn , tâm, bán kính 3.

 Gọi thoả mãn Điểm biểu diễn của là Ta có

Ta có:

.Khi đó:

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: ta được:

.Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Câu 10. Cho số phức thỏa mãn Mô đun của bằng

Lời giảiChọn D

Vậy:

Câu 11. Trên mặt phẳng tọa độ Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điềukiện

là đường nào sau đây?

A Elip B Đường thẳng C Đường tròn D Parabol

Lời giảiChọn B

Xét số phức Ta có

là số thực khi

+ thay vào tìm được + thay vào tìm được

+ thay vào tìm được

+ thay vào ta có:

Vậy có số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 2 nghiệm

Lời giảiChọn A

+ TH1: , phương trình có 2 nghiệm , khi đó

Thỏa mãn điều kiện

+ TH2: , phương trình có 2 nghiệm , khi đó

Thỏa mãn điều kiện

Vậy có 4 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14. Cho số phức thỏa mãn Mô đun lớn nhất của số phức bằng

Lời giảiChọn C

Lời giải

Câu 18. Xét các số phức thoả mãn Trên mặt phẳng toạ độ , tậphợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn có tâm ,bán kính Tính

Lời giảiChọn C

Từ giả thiết suy ra

.Vậy: nên có 1 số phức thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điềukiện là đường nào sau đây?

A Elip B Đường thẳng C Đường tròn D Parabol

Lời giải

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện trên là đường thẳng

Câu 25. Số phức thoả mãn hệ thức và là

Lời giảiChọn A

Giả sử Ta có:

Từ và ta có hệ phương trình:

Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Câu 26. Số thực để hai số phức và là liên hợpcủa nhau.

Lời giảiChọnB.

Ta có Vậy

Câu 27. Cho số phức thỏa mãn Tính giá trị biểu thức

Lời giảiChọn C

Cách 1: Gọi số phức w cần tìm có dạng:

Khi đó ta có

Gọi và lần lượt là điểm biểu diễn của và trên mặt phẳng tọa độ Khi

Nhận xét: cân tại Khi đó:

Câu 31. Cho số phức có phần ảo âm, biết thỏa mãn và là số thực Giá trị của bằng

Lời giảiChọn C

Câu 33. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ?

Lời giảiChọn C

.Vậy có một số phức thỏa mãn là

Câu 35. Có tất cả bao nhiêu số phức mà phần thực và phần ảo của nó trái dấu đồng thời

Lời giảiChọn C

Gọi điểm là điểm trên mp tọa độ biểu diễn số phức

Vậy có 2 điểm biểu diễn thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa và ?

Lời giảiChọn A

Gọi điểm là điểm trên mp tọa độ biểu diễn số phức

: Tập hợp là trung trực của đoạn thẳng với

: Tập hợp là hình tròn (kể cả biên) có bán kính vàtâm

Do đó có vô số só phức thỏa yêu cầu bài toán.

A B C D Lời giải

Chọn D

Gọi Ta có

Theo đề ta có hệ phương trình

Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 38. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thuần ảo?

Lời giảiChọn D

Gọi Ta có

Theo đề ta có hệ phương trình

Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 39. Cho hai số phức thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa

Lời giảiChọn C

Ta có:

Câu 41. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và là số thuần ảo?

Từ thay vào (1) ta được Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.

Câu 42 Cho hai số phức thỏa mãn Số phức thỏa mãn và là các số thuần ảo Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giảiChọn A

Gọi

Khi đó điểm biểu diễn hình học của các số phức lần lượt là

Do nên điểm thuộc đường tròn Do nên điểm thuộc đường tròn Ta có:

là số thuần ảo nên

Suy ra điểm là giao điểm của hai đường thẳng lần lượt là tiếp tuyến của tại

là khoảng cách giữa và

Dựa vào hình vẽ ta thấy

Câu 43 Cho các số phức thỏa mãn điều kiện số phức là một số

thuần ảo Trong các số phức đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giảiChọn A

 Giả sử Khi đó có điểm biểu diễn là

 Suy ra tập hợp các điểm là đường thẳng

 Có nhỏ nhất khi ngắn nhất, tức là

Câu 44 Cho số phức , là các số phức cùng thoả mãn điều kiện Biết rằng giá trị lớn nhất có thể đạt được của là số thực Giá

A B .

Lời giảiChọn D

* TH2: Đặc biệt hoá như sau (*)

 Ta có

Biểu diễn miền nghiệm của hệ phương trình

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác với

Ta biết đạt GTNN tại 1 trong các đỉnh của tứ giác Thay tọa độ các điểm vào ta được:

Vậy GTNN của bằng

Câu 48 Cho thỏa mãn Giá trị bằng:

Lời giảiChọn A

Gọi là điểm biểu diễn số phức (với ) trên mặt phẳng phức.

Dễ thấy ;

Câu 49 Cho số phức

 , biết các số phức thỏa mãn z  2. Tìm giá trị lớnnhất của w

A 20 B 20 34. C 34 D 34 20

Lời giảiChọn B

Đặt .Theo bài ra ta có:

Vậy tập hợp số phức là một đường tròn tâm , bán kính

Khi đó giá trị lớn nhất của là :

Câu 50 Xét các số phức thỏa mãn Gọi , lần lượt là giátrị nhỏ nhất, lớn nhất của Tính

Lời giảiChọn C

Suy ra: điểm chạy trên đoạn

+ Lại có với là điểm biểu diễn số phức

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 (SGD Nghệ An - THPT Liên trường) Cho số phức và gọi là hai

nghiệm phức của phương trình ( có phần thực dương) Giá trị nhỏ nhất

Câu 4 Xét các số phức thỏa mãn Tính khi đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5. (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp) Gọi S là tập hợp các sốphức thỏa mãn Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S có mô đun nhỏnhất Giá trị biểu thức là:

Câu 13 (THPT Thăng Long - Hà Nội) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ, gọi I3; 4 và M là điểm biểu diễnsố phức z Khi a thay đổi thì MI đạt nhỏ nhất là:

Câu 14 (THPT Chuyên Đại học Vinh) Giả sử là hai trong các số phức z thỏa

mãn là số thực Biết rằng Giá trị trị nhỏ nhất của bằng:

Câu 17 (SGD Lào Cai) Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

và biểu thức đạt giá trị lớn nhất Tính mô đun của số phức z +i.

Câu 18 (THPT Chuyên Quang Trung) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để

tồn tại 4 số phức z thỏa mãn và là số thuần