skkn một số bài toán sử dụng hàm đặc trưng tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ lôgarit có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT CÓ NGHIỆM THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 1... LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương pháp sử dụng hàm số đặc t

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ I KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

1 Hàm số mũ: ya x với a  0, a  1 a Tập xác định:  b Tập giá trị:  0;   c Đạo hàm: Với a  0, a  1 và u  u x   ta có:

Nếu a  1 thì hàm số ya x đồng biến trên , tức là a  a  , ,  Nếu a  1 thì hàm số ya x nghịch biến trên , tức là a  a  , , 

2 Hàm số lôgarit: ylog a x với a  0, a  1 a Tập xác định: D   0;   b Tập giá trị: R c Đạo hàm: Với a  0, a  1 và u  u x   ta có:

 u  sao cho u x    0 d Tính đơn điệu:

Nếu a  1 thì hàm số ylog a x đồng biến trên  0;   , tức là log a log a  , , 0 Nếu a  1 thì hàm số ylog a x nghịch biến trên  0;   , tức là log a log a  , , 0

3 Một vài tính chất của lôgarit:

- Các tính chất: Cho a b ,  0, a  1, ta có: log a a1, log 1 0 a  , a log a b b, log ( a a  )

- Lôgarit của một tích: Cho ba số dương a b b, 1 , 2 với a  1, ta có

- Lôgarit của một thương: Cho ba số dương a b b, 1 , 2 với a  1, ta có

5 Đặc biệt: với a b ,  0, a  1 thì log a 1 log a b b  

- Lôgarit của lũy thừa: Cho hai số dương a b , và a  1, với mọi , ta có log a b  log a b Đặc biệt: log a n b 1 log a b

- Công thức đổi cơ số: Cho ba số dương a b c , , với a  1, c  1, ta có: log log log c a c b b

 a Đặc biệt: log 1 a log c c a và log a  b 1 log a b

4 Cơ sở lý thuyết của phương pháp hàm số đặc trưng:

Cho hàm số y  f x   liên tục trên tập D

- Nếu f x   đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì  u v ,  D f u ,    f v    u  v

- Nếu f x   đồng biến trên D thì  

- Nếu f x   nghịch biến trên D thì  

II MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó sử dụng phương pháp thể đưa về hàm một biến và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm một biến đó, chủ yếu dựa vào phương pháp đạo hàm

 log c u  au 2  bu  log c v  av 2  bv , 1   trong đó a b c , ,   , c  0, c  1 và u v , là 2 biểu thức của biến

- Tìm điều kiện D để   1 xác định

- Xét hàm đặc trưng: f t    log c t  at 2  bt trên D Chứng minh f t   luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

 c u  au 2  bu  c v  av 2  bv , 2   trong đó a b c , ,   , c  0, c  1 và u v , là 2 biểu thức của biến

- Tìm điều kiện D để   2 xác định

- Xét hàm đặc trưng: f t    c t  at 2  bt trên D Chứng minh f t   luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

 Để tìm u v , , xuất phát từ các biểu thức trong lôgarit, mũ

 Nếu đề bài chỉ có 1 lôgarit, tách lôgarit đó thành hiệu 2 lôgarit khác bằng cách dùng các tính chất

  log log log ; log log log 1; log 1 log log a a a a a a a a a u u v v uv u v au u v v

Bài 1 (TN THPT QG 2017) Xét các số thực dương x y , thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y

Lời giải: Điều kiện: xy  1 Ta có

 t     Suy ra f t   đồng biến trên  0;   Do đó

Ta có bảng biến thiên y 0 1 11

Bài 2 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 1 2 x y

 log 3  2 x  y  1   2 x  y   1 log 3  3  x  y    3  x  y    , * Xét hàm số f t    log 3 t  t trên  0;    f t   đồng biến trên  0;  

Do đó h a   nghịch biến trên 0; 1

  hay phương trình h a    0 vô nghiệm trên 0; 1

  Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 6

Bài 3 Cho a b , là hai số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  a 2  b 2

Bài 4 Xét các số thực dương x y ; thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2 1

 log 3  3 x  3 y   3 x  3 y  log 3  x 2  y 2  xy  2   x 2  y 2  xy  2, 2   Đặt   log 3 , 0   1 1 0 0   ln 3 f t t t f t t f t t

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 5 0 2

Vậy P max 1 đạt được khi và chỉ khi x  2, y  1

Bài 5 Cho các số thực x y, thỏa mãn 0 x y, 1 và log 3  1  1  2 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P2x y

Lời giải: Với điều kiện biểu thức đề bài có nghĩa, ta có

Xét hàm số f x    log 3 t  t trên  0; 2  , f   t 1 ln 3 1 0, t  0;2 

  t     nên f t   đồng biến trên  0; 2  Do đó từ   * ta có

Bài 6 Cho các số thực dương x y z , , thay đổi thoả mãn

Gọi M và m lần lưượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xét hàm đặc trưng f t    log 2 t  t ,   t 0 có   1 0, 0 f t ln 2 t t

Thay vào biểu thức , ta được

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

Bài 7 Cho hai số thực dương x y , thỏa mãn

2 2 log x  x x  y  log 6  y  6 x Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 3 3y là

Lời giải: Điều kiện: x  0, 0  y  6 Ta có

 log 2 x  log 2 x  x 2  log 2  6  y   log 2 x  6 x  xy

Xét hàm số f t    log 2 t  t trên  0;  ,   1 1 0,  0; 

       nên f t   đồng biến trên  0;  Khi đó

Xét hàm số g x    x 3  3 x  18 trên  0;   Ta có

Từ bảng biến thiên suy ra

T  g x  g  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  1, y  5

Bài 8 Xét các số thực dương a b , thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất P min của P  a  b

Lời giải: Điều kiện 1  ab  0  ab  1 Ta có

  log 1 2   ab   log 2  a  b    a  b   2 1   ab   1  log 2  1  ab    1 2 1   ab   log 2  a  b    a  b 

Xét hàm số f t    log 2 t  t , t  0 có   1 1 0, 0

  t     nên f t   đồng biến trên  0;   Ta có

Ta có bảng biến thiên a 0 1 5

Bài 9 Cho các số thực x y , thỏa mãn

Hỏi giá trị nhỏ nhất của P  x 2  y 2  xy là bao nhiêu?

Lời giải: Điều kiện xác định:

Theo bài ra ta có:

2 2 log (2 ) log ( 2) log 2( 2) ( 2) 1 log (4 2 ) (4 2 ) log ( 2) ( 2). x x y x y x x x y x y x

 t     Suy ra f t ( ) đồng biến trên

P  x  y  xy  4 x  y nên thay vào P ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có y min  4 2  4 khi xy2 22

Bài 10 Xét các số thực dương x y , thỏa mãn

Khi x  4 y đạt giá trị nhỏ nhất, x y bằng

2 4 8 1 log log 1 4 8 x y xy x y xy 2 xy xy

Xét hàm số f t    2 t 2  log 2 t với t   0;    Khi đó

   t    Suy ra f t   đồng biến trên  0;    Lúc đó   1 có dạng:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài 11 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

Giá trị lớn nhất của biểu thức 5 3 2

Do đó hàm số f t   đồng biến trên  0;  Lúc đó   1 có dạng:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 2

Bài 12 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xét hàm số f t( )log 3 tt trên (0;) Ta có

t     Suy ra f t( ) đồng biến trên khoảng (0;) Từ (1) suy ra

Dấu "" xảy ra  x  1 Vậy P min 2.

Bài 13 Xét các số thực x y ; với x  0 thỏa mãn

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x  2 y Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với

Xét hàm số f t    2018 t  2018  t  t trên R, f    t  2018 ln 2018 2018 ln 2018 1 t   t   0

 là hàm số đồng biến trên  Do đó

Do đó g x   là hàm đồng biến trên  0;  

16 Gọi M m , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với

Suy ra f t   đồng biến trên đoạn [0;1] Phương trình (1) trở thành:

Bài 15 Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x1) lnx(y1) lny

A P max  10 B P max  0 C P max  1 D P max  ln 2

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với ln( ) ln 2 ln( ) ln 5 ln( ) ln( ) ln 5 ln 2

Do đó P   x  1 ln  x   3  x   ln 2  x  Xét hàm số f x( )(x1) lnx(3x) ln(2x) có

Do đó f    x  0 có nhiều nhất một nghiệm trên  0; 2  Mà x  1 là một nghiệm của phương trình f    x  0 nên phương trình f    x  0 có nghiệm duy nhất là x  1

Bài 16 Cho các số thực x y, thuộc đoạn  0;1  thỏa mãn

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với

Do vậy f t  đồng biến trên   0;1 Suy ra f  1  y   f x    x   1 y  y   1 x

Bài 17 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T   x y

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với

 f t là hàm số đồng biến trên , mà

Ta có f  1  3    3 2 3 và lim y  1 f y    lim y  f y     Do đó T   3 2 3.

Bài 18 Gọi S là tập hợp các số thực  x y ;  sao cho x    1;1  và thỏa mãn điều kiện

    2018 ln x  y x  2017 x  ln x  y y  2017 y  e Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P  e 2018 x  y  1   2018 x 2 với  x y ;   S đạt được tại

 x y 0; 0  Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương

 là hàm số đồng biến trên  0;   Mà f e  2018   0   t x  y  e 2018 Khi đó

Nên g x    là hàm nghịch biến trên   1;1  , mà g     1  e  2018  2018  0 và

19 nên tồn tại x 0  1;0 sao cho g x  0 0 Vậy

  hay giá trị lớn nhất của P đạt được khi x 0  1;0 

Bài 19 Xét các số thực a b x , , thoả mãn a  1, b  1, 0  x  1 và log b x log a x 2 a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pln 2 aln 2 bln(ab).

Lời giải: Đẳng thức đã cho tương đương với

 log   log ( 2 )  n b x ln a x l a  b log b x.lna 2.log a x.lnb

Thay ln a  2 ln b vào biểu thức P ta được

2 2 2 2 ln ln ln( ) 3ln 2 1 ln 3 2 1

P a b ab  b  b t   t(với t  ln b  0) Đặt f t ( )  3 t 2   2 1   t Ta có f t '( )  6 t   2 1    0   t 2 1 6   (0;   )

Ta có bảng biến thiên t 0

Dựa vào BBT, suy ra

   Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 2 2

Bài 20 Cho x y , là các số thực lớn hơn 1 sao cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Plog x xylog y x

  ln t 1 t g t  te  te có g t '     ln t  e t   1 te t  '   1 t te t  0,   t 1

Nên g t    g   1    1 f '   t  0;   t 1  y  f t   là hàm nghịch biến trên  1;  

Khi đó    trở thành f x    f y    y  x  1 Vậy

Bài 21 Cho x y; là hai số thực dương thỏa mãn x  y và

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 luôn nghịch biến trên khoảng  0;    Lại có f x    f y    x  y Đặt t x

Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 6 khi t  3 hay x  3 y

1 Cho các số thực x y , thỏa mãn log3 2 2  9  9

Tìm giá trị lớn nhất của 3 2 9

2 Cho các số thực dương x y , thỏa mãn log 3 3 3 1.

Tìm giá trị lớn nhất của P x 1

3 Cho các số thực dương x y , thỏa mãn 2   

4 Cho các số thực dương x y , thỏa mãn log 1 1 1 2

Khi 1 2 1 2 x  y đạt giá trị nhỏ nhất, tìm xy Đáp số: 0, 01

5 Cho các số thực dương x y , thỏa mãn log3 x 2 2  y1   y  1  9 x 2  y1 

Tìm giá trị nhỏ nhất của Px 2 2y Đáp số: 6 2  2

6 Cho các số thực dương x y , thỏa mãn log5 x2 y1 y  1 125 x1 y1 

Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  5 y Đáp số: 43

7 Cho hai số x y , dương thỏa mãn 2 y y2xlog2  x2 y  1 

22 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x

8 Xét các số thực dương x y , thỏa mãn log 3 2 2  3   3 

Tìm giá trị lớn nhất của 5 4 4

9 Xét các số thực dương x y, thỏa mãn 3 1 log 3 3 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y

10 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn 2 2 xy x y 8 8 xy x y

  Khi P  2 xy 2  xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức 3 x  2 y bằng

III MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT CÓ NGHIỆM THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Bài 22 (TN THPT 2018) Cho phương trình 1  

5 x  m  log x  m  0, m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m    20;20  để phương trình đã cho có nghiệm thực?

Lời giải: ĐKXĐ: xm Ta có:

5 x  m  log x  m   0 5 x  log x  m  m  0 1 Đặt tlog5  x m , ta có x m   5 t Khi đó ta có hệ phương trình

Xét hàm số f u    5 u  u , u   , f  u 5 ln 5 1 0, u   u suy ra hàm số f u    5 u  u đồng biến trên  Do đó   2  f x    f t    x  t

Thay vào phương trình   * ta có m   x 5 x   3 Ta có x  m  5 x  0 , do đó phương trình   1 có nghiệm  phương trình   3 có nghiệm x  

Bảng biến thiên x   5 log 1 ln 5

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệmnkhi và chỉ khi

Vì m    20;20  và là số nguyên, nên m  20; 19; ; 1 

Vậy có 19 giá trị của m

Bài 23 Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm

Lời giải: Điều kiện: x   1 Bất phương trình   1 tương đương với

Xét hàm số f t    2.3 t  2017 t , có f    t  2.3 ln 3 2017 t   0, nên f t   đồng biến trên

    Để phương trình (*) có nghiệm trên   1;1  thì

Bài 24 Tìm tập hợp S gồm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình

2 x  log x 2x3 4 x m  log 2 x m 2 có đúng ba nghiệm phân biệt?

2 x  log x 2x3 4 x m  log 2x m 2 2 x  log x1 2 2 x m  log 2x m 2 , 1 Xét hàm số y  f t    2 log t 2  t  2  trên  0;   :

 Hàm số đồng biến trên  0;   Phương trình

Với m   1 phương trình trở thành  x  1  2  x  1

Khi đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt do đó m   1 đúng

Bài 25 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

  có hai nghiệm phân biệt?

Xét hàm số f t    log 2 t  t trên khoảng  0;  , có

Do đó hàm số f t   đồng biến trên  0;   Hay

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

  2  4  3 0 f x  x  m  x   có hai nghiệm phân biệt lớn hơn  2 Suy ra:

Do m   * nên m   1;2;3;4  Vậy có 4 giá trị của m

Bài 26 Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

  có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1?

Lời giải: Điều kiện: 3 x 2  3 x  m   1 0 Phương trình đã cho trở thành

Xét hàm số f t     t log 2 t trên D   0;   ta có

Do đó f t   đồng biến trên D Khi đó   1 tưương đương với

26 Xét hàm số g x    x 2  5 x trên R, có   2 5 0 5 g x   x    x  2 Bảng biến thiên x

Dựa vào bảng biến thiên: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi

Bài 27 Cho x y , là hai số thực dương thỏa mãn 5 x  y  4 Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Vì x y ,  0 nên x  y  0 Xét hàm số f t  log3 t t , đồng biến trên  0;   Khi đó

Kết hợp với điều kiện 5 x  y  4  y  4 5  x Vì , 0 0 4 x y    x  5 Ta có

Hàm số y x 2 2x4 nghịch biến trên 0;4

Do vậy m   2;3 là các giá trị cần tìm Vậy tổng tất cả các giá trị m thỏa mãn là 5

Bài 28 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

Lời giải: Phương trình tương đương  

Xét hàm đặc trưng f t    3 ln , t t t  2 là hàm đồng biến nên từ phương trình (*) suy ra

 Xét các trường hợp sau:

TH1: m  0 ta có bảng biến thiên của g x   như sau: x  m 0 2 

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thoả mãn

TH3: 0  m  2, bảng biến thiên g x   như sau: x  1 0 m 2 

Phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi

Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tổng của chúng bằng 3

Bài 29 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm:

Lời giải: Đặt t  x 2  4 x  5, khi đó t  1 Thế vào phương trình đã cho ta được

2 ln t t  1  2 m ln m  1   t m  x  4 x   5 m (Do hàm đặc trưng f u    2 ln u  u  1  có

 Suy ra f u   đồng biến trên   0;   ) Vậy 2 2  4   5 2 log 2 4 6  2 1

  x x m x x m có đúng 1 nghiệm  x 2  4 x   5 m 2  0 có đúng 1 nghiệm     m 2   1 0  m   1.

Vậy tổng tất cả các giá trị m thoả mãn bằng 0

Bài 30 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn   10;10  để phương trình

    ln 1 ln 1 x a x e  e  x a  x có nghiệm duy nhất?

Lời giải: Điều kiện xác định 1 0

Phương trình đã cho tương đương với

 ln 1 ln 1  0 x a x e  e   x a  x  Đặt f x    e x a   e x , g x    ln 1    x a   ln 1   x  , Q x    f x    g x  

Phương trình đã cho viết lại thành Q x    0

+) Với a  0 thì Q x    0 (luôn đúng với mọi x thoả mãn (*))

+) Với a  0 có (*) tương đương với x   1, f x   đồng biến và g x   nghịch biến với 1 x   Khi đó, Q x   đồng biến với x   1, 1   Ta có

1 1 1 lim lim ln1 lim ln 1

Kết hợp (1), (2) thì phương trình Q x    0 có nghiệm duy nhất

+) Với a  0 có (*) tương đương với x    1 a , g x   đồng biến và f x   nghịch biến với x    1 a Khi đó, Q x   nghịch biến với x    1 a , 3   Ta có:

1 1 1 lim lim ln1 lim ln 1

Kết hợp (3), (4) suy ra Q x    0 có nghiệm duy nhất Do a là số nguyên trên đoạn

  10;10  nên kết hợp 3 trường hợp trên ta có 20 giá trị của a thoả mãn điều kiện của bài

Bài 31 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc   2020; 2020  để phương trình

Xét hàm số f t    e t  t với t    f    t  e t   1 0,  t Suy ra hàm số f t   đồng biến trên  Do đó

Từ bảng biên thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 1 1 m m2

Vậy có 2019 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn đề bài

Bài 32 Gọi m 0 là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình

  có nghiệm Chọn khẳng định đúng

Lời giải: Điều kiện xác định:

Với điều kiện trên bất phương trình:

Ta thấy các nghiệm của   1 thuộc   1;2  luôn thỏa mãn   * Với x    1;2  đặt

Suy ra khi x    1;2  thì t   3;3   Ta có

  1 có nghiệm x    1;2     2 có nghiệm t   3;3   Xét y  g t    t 2  8 t  4 trên

Do đó bất phương trình   2 có nghiệm t   3;3   khi và chỉ khi 2 19 19

1 Cho phương trình 7 x mlog7  x m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m    25;25  để phương trình đã cho có nghiệm?

2 Cho phương trình 2 x mlog2  x m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m    18;18  để phương trình đã cho có nghiệm?

4   x m log x  2 x  3  2 x x  log 2 x  m  2  0, m là tham số Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là