Đề tài 3 tham số hóa mặt cong

3 Huỳnh Tuyết Nhi 2212427 100% 4 Phạm Nguyễn Ái Nhi 2212446 100%

6 Lê Văn Trí 2213642 100%

NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN NGỌC DIỄM

1 Tìm hiểu về tham số hóa mặt cong.

2 Trình bày cách tìm pháp vector và

viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số 3 Trình bày cách tính diện tích mặt cong cho dạng

tham số Liên hệ với công thức tính diện tích mặt cong trong phần tích phân mặt loại 1 và công thức tính diện tích mặt trụ trong tích phân đường loại 1.

NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN NGỌC DIỄM

4 Làm các bài tập 1-4, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40 phần 15.6 sách tham khảo.

5 Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong

mặt cong Viết một đoạn code để vẽ mặt trụ này, cho

phép người dùng nhập hàm số và

 

Tham số hóa mặt cong

01

điểm (x,y,z) có vectơ vị trí r(u,v) với (u,v)  D được gọi là mặt tham số S, được biểu diễn

bởi hàm vectơ cho bởi (*) Các phương trình:

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)

được gọi là các phương trình tham số của S Miền D được gọi là miền tham số.

a Định nghĩa a Định nghĩa

Hình 1: Khi (u,v) thay đổi trong miền D thì điểm ngọn của vectơ

vị trí r(u,v) sẽ biểu diễn điểm (x, y, z) chạy trong mặt cong S

Ví

dụ 1 Ví

dụ 1 Nhận diện và phác họa mặt cong S được tham số hóa bởi:

r(u, v) = u cosvi + u sinvj + u2 cos2vk,

b Biểu diễn tham số hóa mặt cong

b Biểu diễn tham số hóa mặt cong

Bắt đầu tham số hóa với những mặt cong dưới dạng

đồ thị hàm số F(x,y,z)=0 hay z = z(x,y)… có thể

được biểu diễn dưới dạng tham số cơ bản.

Do không có biến z trong ta phương trình (*)⟹ Phương trình thỏa với mọi giá trị của z

Phương trình hàm vectơ:

r(u,v)= 3cosui + 3sinuj + vk

Miền D ={ (u,v) | 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋, -∞ ≤ 𝑣 ≤ ∞ }

 

b Biểu diễn tham số hóa

x = u, y = f(u) cosv,z = f(u) sinv

hay tương đương

r(u, v) = ui + f(u) cosvj + f(u) sinvk (1)

Miền D ={ (u,v) | a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2 }

Các đường cong có thể thực hiện phép xoay quanh theo bất kỳ trục nào để tạo thành các mặt cong khác nhau

b Biểu diễn tham số hóa mặt cong

b Biểu diễn tham số hóa mặt cong

Hình 2: Mặt cong S được tạo bởi phép quay

hàm f(x) giữa x = a và x = b xung quanh trục Ox

Ví dụ 3

Ví dụ

3 Một mặt phẳng được tạo ra bằng cách quay đồ thị y=cos(x) quanh trục Ox Tìm phương trình tham số của mặt phẳng này

Với giá trị x giữ nguyên, ta được một đường tròn với bán kính là cos(x), ta sẽ dùng tọa độ cực trong mặt Oyz được phương trình:

r(u, v)= ui + rcos(v)j + rsin(v)k

Với u=x và r=cos(u) nên ta có thể thay vào phương trình trên và

Giả sử S là một mặt cong tham số được biểu diễn bởi một

hàm vectơ:

và P0 là điểm trên mặt cong S biểu điễn bởi vecto r(u0, v0),

tại (u0, v0) là điểm thuộc miền tham số D của r

Vecto tiếp tuyến với C1 tại P0 được cho bởi

Với vecto tiếp tuyến với C2 tại P0 được cho bởi

Với một mặt cong trơn, mặt phẳng tiếp tuyến với S tại P0

là mặt phẳng chứa vecto ru (u0, v0) và rv (u0, v0) có pháp vectơ được xác định bởi :

 

Hình 4

Từ đó ta dễ dàng tìm được vectơ pháp tuyến qua công thức: Phương trình mặt phẳng tiếp diện là:

 

Xét trường hợp đơn giản, giả sử mặt cong tham số S được xác định bởi:

r(u, v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

có miền tham số D là một hình chữ nhật (Hình 6) Phân hoạch

miền D thành mn hình chữ nhật nhỏ Hình chữ nhật con được

ánh xạ bởi r vào mảnh có diện tích kí hiệu là Ta có diện tích

của S được cho bởi:

S=

 

Hình 6: Hình chữ nhật con Rij là ánh xạ vào mảnh cong Sij

Tiếp theo, ta tìm giá trị gần đúng của Lấy () là điểm nằm ở góc

dưới bên trái của miền Điểm có vecto vị trị r() xem như là một

trong các góc của mảnh (Hình 6, 7) Đường biên của (với các điểm nằm phía góc được biểu diễn bởi r () được tính gần đúng

bởi a và b, với

a= r , b = r

 

Hình 7

Vì vậy có thể được tính gần đúng bởi diện tích của

hình bình hành với a và b là các cạnh kề nhau

Tuy nhiên ta có cách viết:

Nếu là một đại lượng rất nhỏ, khi đó:

Như vậy, khi cộng tất cả diện tích của những miền cong nhỏ, ta sẽ xấp xỉ được diện tích S cần tìm

S

Khi cho m, n ta sẽ thu được: S=

Đây là tổng Reiman của hàm 2 biến và theo định nghĩa của tích phân kép dẫn ta đến định nghĩa sau:

 

r(u, v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

Với miền tham số D Nếu S chỉ được “bao phủ” duy nhất với mọi giá trị (u,v) thay đổi trong D, thì diện tích mặt cong của S là:

A (S) = =

dS = được gọi là vi phân diện tích của mặt cong

 

Tìm diện tích mặt cong cho bởi:

r(u,v) = ( 2u+ 9v+ 1)i + ( u + v +6)j + ( 2u +

4v + 6)k

với 0 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 4

b Liên hệ với công thức tính

Như đã giới thiệu ở trên, công thức tính diện tích mặt cong theo dạng tham số là:

A (S) = =

Trong đó, (u, v) là vector vị trí của điểm trên mặt cong tương ứng với giá trị (u, v) D là miền xác định của u và

b Liên hệ với công thức tính

Sau đó tính toán giá trị của các đạo hàm riêng và áp dụng vào công thức diện tích mặt cong bằng cách tham số hóa Cụ thể, có thể sử dụng các công thức sau để tính giá trị của các đạo hàm riêng:

= = , = =

Sau đó, áp dụng vào công thức tính diện tích mặt cong theo dạng tham số như nêu ở trên.

 

c Liên hệ với công thức tính

Trong đó f(x) là phương trình đường mặt trụ, a và b là giới hạn của biến x

Để liên kết hai công thức này, có thể sử dụng phương pháp tham số để tính diện tích mặt trụ Giả sử rằng đường mặt trụ được xác định bởi hai hàm số g(u) và h(u), có thể sử dụng vector tham số (u, v) =

 

c Liên hệ với công thức tính

Khi đó, có thể tính diện tích mặt trụ bằng công thức tính diện tích mặt cong đã cho như sau:

Code Matlab

04

Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong Viết một đoạn code để vẽ

mặt trụ này, cho phép người dùng nhập hàm số và

Để tham số hóa mặt trụ đứng với biên nằm trên một đường cong r = r(φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta có thể sử dụng tọa độ trong không gian ba chiều (x, y, z) để biểu diễn các điểm trên mặt trụ.

Cụ thể, để tham số hóa mặt trụ đứng, ta có thể sử dụng các thông số sau:

- r: bán kính của đường tròn cơ sở của mặt trụ (r > 0)

- α, β: hai góc giới hạn của đường cong r = r(φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta ) (0 ≤ α < β ≤

Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong Viết một đoạn code để vẽ

mặt trụ này, cho phép người dùng nhập hàm số và

Giả sử rằng ta đã biết một hàm f(x, y) để mô tả biên trong mặt cong z = f(x, y) Ta có thể sử dụng các biến r, φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta và z để tính toán các tọa độ (x, y, z) của mỗi điểm trên mặt trụ như

Ví dụ Ví dụ

Viết code matlab để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong r = 2 + sin(4φ) (đường cong trong tọa độ cực φ) (đường cong trong tọa độ cực ) (đường cong trong tọa độ cực x = r cos(φ) (đường cong trong tọa độ cực ), y = r sin(φ) (đường cong trong tọa độ cực ), α ≤ φ) (đường cong trong tọa độ cực ≤ β, α = 0, β = 2π) trong mặt ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y) = +

 

f_func = input('Hàm số f(x, y): ');

% Thiết lập số lượng điểm và bước chia

n_phi = input('Số lượng điểm và bước chia góc φ): ': ');

n_xy = input('Số lượng điểm và bước chia mặt phẳng x-y: ');

Viết đoạn code

Viết đoạn code

% Tính toán các giá trị cần thiết

phi = linspace(alpha, beta, n_phi); r = r_func(phi);

theta = linspace(0, 2*pi, n_xy);

[theta, phi] = meshgrid(theta, phi);

if size(r,2)~=size(theta,2) r=r';

end

Kết quả code

Kết quả code

THANK FOR YOUR

ATTENTION!!