Đề tài 3 tham số hóa mặt cong

Trình bày cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số.. Liên hệ với công thức tính diện tích mặt cong trong phần tích phân mặt loại 1 và công thức tính diện tích mặt trụ trong tích

ĐỀ TÀI 3:

THAM SỐ HÓA MẶT CONG

Nhóm L36 - 06Giải tích 2 Tháng 5 - 2023

3 Huỳnh Tuyết Nhi 2212427 100%

4 Phạm Nguyễn Ái Nhi 2212446 100%

6 Lê Văn Trí 2213642 100%

NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN NGỌC DIỄM

1 Tìm hiểu về tham số hóa mặt

cong.

2 Trình bày cách tìm pháp vector và

viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số.

3 Trình bày cách tính diện tích mặt cong cho dạng

tham số Liên hệ với công thức tính diện tích mặt

cong trong phần tích phân mặt loại 1 và công thức

tính diện tích mặt trụ trong tích phân đường loại 1.

NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN NGỌC DIỄM

4 Làm các bài tập 1-4, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40 phần 15.6 sách tham khảo.

5 Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa

độ cực ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong

mặt cong Viết một đoạn code để vẽ mặt trụ này, cho

phép người dùng nhập hàm số và

 

của mặt cong dạng tham số

Diện tích

của mặt cong

Tham số hóa mặt cong

0

1

bởi hàm vectơ cho bởi (*) Các phương trình:

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)

được gọi là các phương trình tham số của S Miền D được gọi là miền tham số.

a Định

nghĩa

a Định

nghĩa

Hình 1: Khi (u,v) thay đổi trong miền D thì điểm ngọn của vectơ

vị trí r(u,v) sẽ biểu diễn điểm (x, y, z) chạy trong mặt cong S

Ví

dụ 1

Ví

dụ 1 Nhận diện và phác họa mặt cong S được tham số hóa bởi:

r(u, v) = u cosvi + u sinvj + u 2 cos2vk,

b Biểu diễn tham số hóa

mặt cong

b Biểu diễn tham số hóa

mặt cong

Bắt đầu tham số hóa với những mặt cong dưới dạng

đồ thị hàm số F(x,y,z)=0 hay z = z(x,y)… có thể

được biểu diễn dưới dạng tham số cơ bản

Do không có biến z trong ta phương trình (*)

⟹ Phương trình thỏa với mọi giá trị của z

Phương trình hàm vectơ:

r(u,v)= 3cosui + 3sinuj + vk

Miền D ={ (u,v) | 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋, -∞ ≤ 𝑣 ≤ ∞ }

 

b Biểu diễn tham số hóa

x = u, y = f(u) cosv, z = f(u) sinv

hay tương đương

r(u, v) = ui + f(u) cosvj + f(u) sinvk (1)

Miền D ={ (u,v) | a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2 }

Các đường cong có thể thực hiện phép xoay quanh theo bất kỳ trục nào để tạo thành các mặt cong khác nhau

b Biểu diễn tham số hóa

mặt cong

b Biểu diễn tham số hóa

mặt cong

Hình 2: Mặt cong S được tạo bởi phép quay

hàm f(x) giữa x = a và x = b xung quanh trục Ox

Ví dụ

3

Ví dụ

3 Một mặt phẳng được tạo ra bằng cách quay đồ thị y=cos(x) quanh trục Ox Tìm phương trình

tham số của mặt phẳng này

Với giá trị x giữ nguyên, ta được một đường tròn với bán kính là cos(x), ta sẽ dùng tọa độ cực trong mặt Oyz được phương trình:

r(u, v)= ui + rcos(v)j + rsin(v)k

Với u=x và r=cos(u) nên ta có thể thay vào phương trình trên và được phương trình:

r(u, v)= ui + cos(u)cos(v)j + cos(u)sin(v)

Gi

ải

Gi

ải

Pháp vecto

và phương trình mặt tiếp diện

của mặt cong dạng tham số

02

Giả sử S là một mặt cong tham số được biểu diễn bởi một

hàm vectơ:

và P 0 là điểm trên mặt cong S biểu điễn bởi vecto r(u 0 , v 0 ),

tại (u 0 , v 0 ) là điểm thuộc miền tham số D của r

Vecto tiếp tuyến với C 1 tại P 0 được cho bởi

Với vecto tiếp tuyến với C 2 tại P 0 được cho bởi

Với một mặt cong trơn, mặt phẳng tiếp tuyến với S tại P 0

là mặt phẳng chứa vecto r u (u 0 , v 0 ) và r v (u 0 , v 0) có pháp vectơ được xác định bởi :

 

Hình 4

Từ đó ta dễ dàng tìm được vectơ pháp tuyến qua công thức:

Phương trình mặt phẳng tiếp diện là:

 

Xét trường hợp đơn giản, giả sử mặt cong tham số S được xác định bởi:

r(u, v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

có miền tham số D là một hình chữ nhật (Hình 6) Phân hoạch

miền D thành mn hình chữ nhật nhỏ Hình chữ nhật con được

ánh xạ bởi r vào mảnh có diện tích kí hiệu là Ta có diện tích

của S được cho bởi:

S=

 

Hình 6: Hình chữ nhật con R ij là ánh xạ vào mảnh cong S ij

Tiếp theo, ta tìm giá trị gần đúng của Lấy () là điểm nằm ở góc

dưới bên trái của miền Điểm có vecto vị trị r() xem như là một

trong các góc của mảnh (Hình 6, 7) Đường biên của (với các điểm nằm phía góc được biểu diễn bởi r () được tính gần đúng

bởi a và b, với

a= r , b = r

 

Hình 7

Vì vậy có thể được tính gần đúng bởi diện tích của

hình bình hành với a và b là các cạnh kề nhau

Tuy nhiên ta có cách viết:

Nếu là một đại lượng rất nhỏ, khi đó:

Như vậy, khi cộng tất cả diện tích của những miền cong nhỏ, ta sẽ xấp xỉ được diện tích S cần tìm

r(u, v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

Với miền tham số D Nếu S chỉ được “bao phủ” duy nhất với mọi giá trị (u,v) thay đổi trong D, thì diện tích mặt cong của S là:

A (S) = =

dS = được gọi là vi phân diện tích của mặt cong

 

Tìm diện tích mặt cong cho bởi:

r(u,v) = ( 2u+ 9v+ 1)i + ( u + v +6)j + ( 2u +

4v + 6)k với 0 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 4

b Liên hệ với công thức tính

Công thức tính diện tích mặt cong trong tích phân mặt loại 1 là:

A(S) = Trong đó, z = f(x, y) là phương trình mặt cong, và D là miền xác định của x và y

 

b Liên hệ với công thức tính

theo dạng tham số như nêu ở trên

 

c Liên hệ với công thức tính

Để liên kết hai công thức này, có thể sử dụng phương pháp tham số để tính diện tích mặt trụ Giả sử rằng đường mặt trụ được xác định bởi hai hàm số g(u) và h(u), có thể sử dụng vector tham số (u, v) =

 

c Liên hệ với công thức tính

 

Code Matlab

0

4

Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong Viết một đoạn code để vẽ

mặt trụ này, cho phép người dùng nhập hàm số và

 

Để tham số hóa mặt trụ đứng với biên nằm trên một đường

cong r = r(φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta

có thể sử dụng tọa độ trong không gian ba chiều (x, y, z) để

biểu diễn các điểm trên mặt trụ

Cụ thể, để tham số hóa mặt trụ đứng, ta có thể sử dụng các

thông số sau:

- r: bán kính của đường tròn cơ sở của mặt trụ (r > 0)

- α, β: hai góc giới hạn của đường cong r = r(φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta ) (0 ≤ α < β ≤

2π))

- h: chiều cao của mặt trụ (h > 0)

Đề bài

Đề bài

Gi

ải

Gi

ải

Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong Viết một đoạn code để vẽ

mặt trụ này, cho phép người dùng nhập hàm số và

 

Giả sử rằng ta đã biết một hàm f(x, y) để mô tả biên trong

mặt cong z = f(x, y) Ta có thể sử dụng các biến r, φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta và z để

tính toán các tọa độ (x, y, z) của mỗi điểm trên mặt trụ như

Đề bài

Gi

ải

Gi

ải

f_func = input('Hàm số f(x, y): ');

% Thiết lập số lượng điểm và bước chia

n_phi = input('Số lượng điểm và bước chia góc φ): ': ');

n_xy = input('Số lượng điểm và bước chia mặt phẳng x-y: ');

Viết đoạn

code

Viết đoạn

code

% Tính toán các giá trị cần thiết

phi = linspace(alpha, beta, n_phi);

r = r_func(phi);

theta = linspace(0, 2*pi, n_xy);

[theta, phi] = meshgrid(theta, phi);

if size(r,2)~=size(theta,2)

r=r';

end

Kết quả code

Kết quả code

THANK FOR YOUR

ATTENTION!!