HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC1Baâi söëA – TÓM TẮT LÍ THUYẾT1.1.. Khái niệm góc lượng giác và
Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
Ta gọi cung tròn AB có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó bằng bán kính R Khi đó góc AOB cũng có số đo bằng 1 radian và được ký hiệu AOB' = 1 rad.
Liên hệ giữa độ và rad: 1 ◦ = π
Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.
Một cung của đường tròn bán kinh R và có số đoα rad thì có độ dàil=Rα.
Giá trị lượng giác của góc lượng giác
○ Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn.
○ Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đoα (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OM) =α x y
3.2 Các giá trị lượng giác của góc lượng giác
○ Hoành độ x của điêm M được gọi là côsin của α, ki hiệu là cosα. cosα=x
○ Tung độ y của điểm M được gọi là sin của α, ki hiệu là sinα. sinα=y
○ Nếu cosα ̸= 0, tỉ số sinα cosα được gọi là tang của α, ki hiệu là tanα tanα= sinα cosα = y x(x̸= 0)
○ Nếusinα̸= 0, tỉ số cosα sinα được gọi là côtang củaα, kỉ hiệu làcotα. cotα= cosα sinα = x y (y̸= 0).
○ Các giả trịcosα,sinα,tanα,cotαđược gọi là các giả trị lượng giảc củaα. x y
✓ Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
✓ Từ định nghĩa ta suy ra:
○ sinα, cosα xác định với mọi giá trị của α và ta có:
−1≤sinα≤1; −1≤cosα≤1; sin(α+k2π) = sinα; cos(α+k2π) = cosα (k∈Z).
○ Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.
Giá trị lượng giác I II III IV sinα + + − − cosα + − − + tanα + − + − cotα + − + − x y α (I) (II)
3.3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau sin 2 α+ cos 2 α= 1
4.2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt x y α
✓ Góc đối nhau (α và −α) cos(−α) = cosα
○ ○ sin(−α) =−sinα ○ tan(−α) =−tanα ○ cot(−α) =−cotα
✓ Góc bù nhau (α vàπ−α) sin(π−α) = sinα
○ ○ cos(π−α) =−cosα ○ tan(π−α) =−tanα ○ cot(π−α) =−cotα
✓ Góc hơn kémπ (α vàπ+α) sin(π+α) =−sinα
○ ○ cos(π+α) =−cosα ○ tan(π+α) = tanα ○ cot(π+α) = cotα
Xác định số đo góc lượng giác
Ví dụ minh hoạ
cVí dụ 1 Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong hình.
Cho góc hình họcuOv có số đo60 ◦ Xác định số đo của góc lượng giác (Ou,Ov) và (Ov,Ou). u v
. cVí dụ 3 Cho một góc lượng giác(Ox, Ou) có số đo−270 ◦ và một góc lượng giác(Ox, Ov)có số đo 135 ◦ Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).
. cVí dụ 4 Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 3π
4 , góc lượng giác(Ou, Ow)có số đo là 5π
4 Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).
. cVí dụ 5 Cho M ON÷ = 60 ◦ Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong hình vẽ và viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (OM, ON).
Trong hình vẽ bên, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác(Ox, ON). x y
Bài tập áp dụng
cBài 1 Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong hình.
. cBài 2 Cho góc lượng giác(Ou, Ov) có số đo là −11π
4 , góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là 3π
4 Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).
. cBài 3 Xác định số đo của các góc lượng giác(Oa, Ob) trong hình sau a b a) O a b
. cBài 4 Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?
Trong hình bên, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau Viết công thức tổng quát đo số đo của các góc lượng giác (Ox, ON) và (Ox, OP). x y
Liên hệ giữa độ và rađian
Sử dụng công thức chuyển đổi giữa số đo độ và số đo rađian:1 ◦ = π
1 Ví dụ minh hoạ cVí dụ 7. a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:45 ◦ ; 150 ◦ b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: π
. cVí dụ 8 Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 72 ◦ ; 600 ◦ ;−37 ◦ 45 ′ 30 ′′
. cVí dụ 9 Đổi số đo của các góc sau ra độ: 5π
. cVí dụ 10 Hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc đặc biệt sau Độ 30 ◦ ? 60 ◦ ? 120 ◦ ? 180 ◦
2 Bài tập áp dụng cBài 6 Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau. Độ 18 ◦ ? 72 ◦ ?
. cBài 7 Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại
. cBài 8 Đổi số đo của các góc sau ra rađian:54 ◦ ; 30 ◦ 45 ′ ;−60 ◦ ;−210 ◦
. cBài 9 Đổi số đo của các góc sau ra độ: π
Độ dài cung tròn
Cung tròn bán kính R có số đoα(0≤α≤2π), có số đoa ◦ (0≤a≤360)và có độ dài làl thì: l=Rα= πa
180.R do đó α π = a 180 Đặc biệt:1 rad Å180 π ã◦
1 Ví dụ minh hoạ cVí dụ 11 Một đường tròn có bán kính36 m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
. cVí dụ 12 Một hải lí là độ dài cung tròn xích đạo có số đo Å 1 60 ã◦
= 1 ′ Biết độ dài xích đạo là40.000km, hỏi một hải lí dài bao nhiêu km?
. cVí dụ 13 Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400km Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45 ◦ ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là6400km.
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
2 Bài tập áp dụng cBài 10 Tính độ dài cung tròn trong các trường hợp sau:
Bán kínhR= 5, có số đo72 ◦ a) b) Bán kínhR= 18, có số đo 150 ◦
. cBài 11 Cho đường tròn có đường kính R= 20cm Hãy tính độ dài cung tròn có số đo: π 15; a) b) 1,5; c) 37 ◦
. cBài 12 Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11vòng trong 5 giây. a) Tính góc (theo độ và theo radian) mà bánh xe quay được trong1 giây; b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của xe đạp là 680mm.
Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác
Ta thường sử dụng các kết quả sau:
○ Cung có số đo α (a ◦ ) và cung có số đo α+k2π (a ◦ +k360 ◦ ) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
○ Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo dạngα+k2π m (haya ◦ +k360 ◦ m ) (với klà số nguyên và m là số nguyên dương) là m điểm Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó, ta chok chạy từ0 đến m−1 rồi biểu diễn các cung đó.
1 Ví dụ minh hoạ cVí dụ 14 Xác định các điểm M vàN trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng 13π
. cVí dụ 15 Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo sau trên đường tròn lượng giác: 9π
. . . . . . . cVí dụ 16 Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo −765 ◦
. cVí dụ 17 Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn các góc lượng giác có số đo x = kπ với k là số nguyên tùy ý.
. cVí dụ 18 Cho góc lượng giác có số đo x= π
4 +kπ vớik là số nguyên tùy ý Có bao nhiêu giá trịk thỏa mãn x∈[2π; 5π]?
. cVí dụ 19 Cho góc lượng giác có số đo x=−π
3 +kπ 4 vớiklà số nguyên tùy ý Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn x∈ Å
. . . . . . cVí dụ 20 Biểu diễn các góc lượng giác có số đox= kπ
2 với klà số nguyên tùy ý.
2 Bài tập áp dụng cBài 13 Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuốiOv và có số đo510 ◦ ; b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuốiOv và có số đo−7π
. cBài 14 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
. cBài 15 Biểu diễn góc lượng giác có số đo x=−750 ◦
. cBài 16 Biểu diễn góc lượng giác có số đo x=−2π
. cBài 17 Cho góc lượng giác có số đo x =−π
4 +kπ 6 với số k tùy ý Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn x∈−π
. cBài 18 Biểu diễn góc lượng giác có số đo x= kπ
3 vớik là số nguyên tùy ý.
. cBài 19 Biểu diễn các góc lượng giác có số đox= π
3 +kπ vớik là số nguyên tùy ý.
. cBài 20 Biểu diễn các góc lượng giác có số đox=−π
4 +kπ 2 với klà số nguyên tùy ý.
. cBài 21 Biểu diễn góc lượng giác có số đo x=−π
6 +kπ 3 với klà số nguyên tùy ý.
. cBài 22 Khi biểu diễn các góc lượng giác có số đox=kπ và y=k2π lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là bao nhiêu?
. cBài 23 Khi biểu diễn các góc lượng giác có số đox= π
2 +k2π lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là bao nhiêu?
. cBài 24 Tìm tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đox= kπ
4 không trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác có số đoy =kπ.
. cBài 25 Tìm tất cả các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo x= 2π
3 +kπ 3 không trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo y= k2π
Dấu của các giá trị lượng giác
Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễnM trên đường tròn lượng giác.
1 Ví dụ minh hoạ cVí dụ 21 Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α=−3π
. . cVí dụ 22 Xác định dấu các biểu thức:
. cVí dụ 23 Xác định dấu các biểu thức:
2 Xét dấu các biểu thức sau:
2 Bài tập áp dụng cBài 26 Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giácα= 5π
. cBài 27 Xác định dấu củasinα,cosα,tanα, biết
. cBài 28 Cho 0 ◦ < α