Định nghĩa * Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn gọi tắt là tứ giác nội tiếp.. Định lí Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc
Trang 1Chuyén dé 16 TU GIAC NOI TIEP
A Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa
* Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn
được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ
giác nội tiếp)
Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
2 Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện
bằng 180°
3 Định lí đảo
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng
180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Hai đường tròn (@,) và (Ó,) cắt nhau tại M và P Vẽ dây MA của đường tròn
(O,) la tiếp tuyến của đường tròn (Ó,) Vẽ dây MB của đường tròn (@,) là tiếp tuyến của
đường tron (O,) Trén tia đối của tia PM lay diém H sao cho PH = PM Chimg minh rang
tứ giác MAHB nội tiếp
EK Đạo tụt Os don cia M&,MA
> BMEP o RAMEY 9) -
> Aber ee et cl)
Bw Q II TS
= BN + PAK + Spe + MPK
- Dye + Mop + LPM + Bet = 1K0°
KP Len Rate ats bey bil ae AMBI, AMAR
AiR
& > Ấ»b +ấn® = JRO”
nh hi?
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại C Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B)
Goi O; O,; O, lân lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiêp các tam giác ABC, AMC và
1) Chứng minh bon diém C, O,, M, O, cing nam trén mot đường tròn (7)
2) Chứng minh rằng đường tròn (7) đi qua O
3) Xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho đường tròn (7) có bán kính nhỏ nhất
(Tuyển sinh vào lớp 10, Chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 - 2009)
C
> Sid til hat anh 29 Gio Aaliny liên, ta co:
VON ay te C nữ CAN +GbM = 90°
=> CH + Wm - IZ | =
> Adm C,01,M, O02 fies dating ba
Trang 2CO kbs MR Aid hich de CHE AL
Ví dụ 3 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (G) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(B, C là các tiếp điểm) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D Gọi E là giao điểm của DO và
AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (0) tiếp tuyến này cắt đường thắng AB
tại K Chứng minh bốn điểm D, B, O,K cùng thuộc một đường tròn
HD
DOEK 3 pok = Oke OER - K+E
> DdK = g0- & Avia +K +E =180>
oN
Ne be Dek = ppc - 4Ê9-^
> 6&K eR
Vag Or Bik 0 oy ah k Men kế
C2: EKO - EDO
K ,Ô rủ CA dư tán
8, Oo chi Ef ấn ta
Ví dụ 4 Cho đường tròn tâm O đường kính 48=2£ và C là điểm chính giữa cung AB
Lây điệm M tùy ý trên cung BC (M khac B) Goi N la giao diém cua hai tia OC va BM;
H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thắng AO, AM; K là giao điểm các đường thắng
BM và HI
a) Chứng minh rằng A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn;
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho 4K = ¬ N
(Thi học an gioi lop 9, TP Ha Noi, nam hoc 2008 - 2009)
Ht
a) Tad C= CB, OR = OB nfm OC Le bume Wwe ova AB
Ma NG OC yes SN, cña dại NJ
K
=> ẤRK = ING _—®
> AH, KN cory ran ben { ding ten
by Tim vit ofa M TT T11 1T
t= Jaco: Alt = rene A9 _
HK eed op aC eet i pst ME- Kae MK =
Ap dang dls Uy Pra go ng cadidton gies mpg AM va AMG
Trang 3
Vi dụ 5 Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB Kẻ BN
và DM cùng vuông góc với đường chéo AC Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CBMD là tứ giác nội tiếp
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì tổng 2 góc BMD và BCD không đổi
c) DB.DC =DN.AC
rD
a) fie dire bur cáa wa APE =D pee Cte oh iret fo) AR = 50°
b) kt; ‡ø2 D di Co) th gk camp La,
> ANB - 30 ya we(o)
B
- BND = 5 sxtn)
> ĐRCĐ ® BĐN Cạ-d) => 4S -< & AC.DN = BD.cO
Vi du 6 Cho hai duong tron (O) và (Ø') cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của
đường tròn (Ø) và (Ø') cắt đường tròn (Ø') và (Ø) theo thứ tự tại C và D Gọi P và Q lần
lượt là trung điểm của các dây AC và AD Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác ABD và CBA đông dạng
b) Góc BQD = góc APB
c) Tứ giác APBQ nội tiếp