Chuyén dé 16 TU GIAC NOI TIEP A Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa
* Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn
được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ
giác nội tiếp)
Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp 2 Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° 3 Định lí đảo Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn B Một số ví dụ Ví dụ 1 Hai đường tròn (@,) và (Ó,) cắt nhau tại M và P Vẽ dây MA của đường tròn (O,) la tiếp tuyến của đường tròn (Ó,) Vẽ dây MB của đường tròn (@,) là tiếp tuyến của đường tron (O,) Trén tia đối của tia PM lay diém H sao cho PH = PM Chimg minh rang
tứ giác MAHB nội tiếp
EK Đạo tụt Os don cia M&,MA Ta cd BMP - PARP, BP > BMEP o RAMEY 9) - Me” AM Me Fe > Aber ee et cl) Bw Q II TS \ TP i = BN + PAK + Spe + MPK
- Dye + Mop + LPM + Bet = 1K0°
KP Len Rate ats bey bil ae AMBI, AMAR AiR
& > Ấ»b +ấn® = JRO”
nh hi?
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại C Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B)
Goi O; O,; O, lân lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiêp các tam giác ABC, AMC và BMC ; 1) Chứng minh bon diém C, O,, M, O, cing nam trén mot đường tròn (7) 2) Chứng minh rằng đường tròn (7) đi qua O 3) Xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho đường tròn (7) có bán kính nhỏ nhất (Tuyển sinh vào lớp 10, Chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 - 2009) C
> Sid til hat anh 29 Gio Aaliny liên, ta co:
ừA - 9 CAN eo Oa” O,
VON ay te C nữ CAN +GbM = 90°
=> CH + Wm - IZ | =
> Adm C,01,M, O02 fies dating ba
» De DX Peay tu C vee © bay Atm cnn A B
Trang 2CO kbs MR Aid hich de CHE AL
Ví dụ 3 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (G) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D Gọi E là giao điểm của DO và AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (0) tiếp tuyến này cắt đường thắng AB
tại K Chứng minh bốn điểm D, B, O,K cùng thuộc một đường tròn HD lps ™ DOEK 3 pok = Oke OER - K+E LN ® đ - ^~ > DdK = g0- & Avia +K +E =180> oN Ne be Dek = ppc - 4Ê9-^ > 6&K eR Vag Or Bik 0 oy ah k Men kế C2: EKO - EDO C3: Kop = MED = ˆ K ,Ô rủ CA dư tán 8, Oo chi Ef ấn ta Ví dụ 4 Cho đường tròn tâm O đường kính 48=2£ và C là điểm chính giữa cung AB Lây điệm M tùy ý trên cung BC (M khac B) Goi N la giao diém cua hai tia OC va BM; H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thắng AO, AM; K là giao điểm các đường thắng BM và HI
a) Chứng minh rằng A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn;
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho 4K = ¬ N (Thi học an gioi lop 9, TP Ha Noi, nam hoc 2008 - 2009)
Ht
a) Tad C= CB, OR = OB nfm OC Le bume Wwe ova AB
Ma NG OC yes SN, cña dại NJ K => ANG +2NBA=180° = C4 HE pe a ce erate M 9M = 2 08M = 2 ME # => ẤRK = ING _—® Tw Om@® > ABNK + AK _= 180° Ltt
> AH, KN cory ran ben { ding ten
by Tim vit ofa M TT T11 1T
t= Jaco: Alt = rene A9 _
ME _ DK + to
HK eed op aC eet i pst ME- Kae MK =
Trang 3
Vi dụ 5 Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB Kẻ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CBMD là tứ giác nội tiếp
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì tổng 2 góc BMD và BCD không đổi c) DB.DC =DN.AC rD a) fie dire bur cáa wa APE =D pee Cte oh iret fo) AR = 50° => BC = 90° | LORE - gs > Oe ORS = 30° O Do dol yh gal CAMO we tap day ho A B Airy \unle “CD lý M
b) kt; ‡ø2 D di Co) th gk camp La,
bam gol nf Ay nfo? Ege ` |
> ANB - 30 ya we(o) B
- BND = 5 sxtn)
> ĐRCĐ ® BĐN Cạ-d) => 4S -< & AC.DN = BD.cO
Vi du 6 Cho hai duong tron (O) và (Ø') cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của
đường tròn (Ø) và (Ø') cắt đường tròn (Ø') và (Ø) theo thứ tự tại C và D Gọi P và Q lần
lượt là trung điểm của các dây AC và AD Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABD và CBA đông dạng