Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word HH9 C3 CD6 T? GIÁC N?I TI?P docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com TỨ GIÁC NỘI TIẾP A TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác[.]
TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn - Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác -Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau: Cách Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đơì 180° Cách Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Cách Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Cách Tìm điểm cách đỉnh tứ giác 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1.1 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp 1.2 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp 2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp 2.2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp 3.1 Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AtìCK tứ giác nội tiếp; b) AHì.AB = AD2; c) Tam giác ACE tam giác cân 3.2 Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M OA (M khơng trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c.Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB; NME (H giao điểm AC d); c) NEH d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) 4.1 Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AHAK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K c) Kẻ DN CB, DM AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 4.2 Cho đường trịn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cơ' định III BÀI TẬP VỂ NHÀ CƠ BẢN (C ≠ AC lớn cung BC Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB cho cung B) Đường thăng vng góc vói AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M đường tròn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường tròn (O’) F Kẻ đường kính AE (O') cắt đưịng trịn (O) G Chứng minh: a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE AB đồng quy Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp 10 Cho tam giác ABC vuông A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác BCD c) Chứng minh ABED hình thang d) Tìm vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ 3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn 12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H a) Chứng minh AE song song CD b) Tìm vị trí M để MA MB c) Chứng minh HB phân giác CHD 13 Cho đường trịn tâm Obán kính R, hai điểm cvà D thuộc đường trịn, B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh: Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp; a) BM D BAC b) HK song song CD 14.Cho hình vng ABCD E di động đoạn CD (Ekhác c,D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh: CKF ; a) CAF b) Tam giác KAF vuông cân; c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF; d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vng góc với BC H, MI vng góc AC I ICM a) Chứng minh IHM b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK vng góc vói BK c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB 4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc vói EF HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Xét tứ giác AMHN có: AMH ANH 900 900 1800 ĐPCM Xét tứ giác BNMC có: BMC 900 ĐPCM BNC 1.2 HS tự chứng minh ) AD + sđ MB 2.1 Ta có: AED (sđ MCD DEP PCD 1800 sđ DM PEDC nội tiếp CHM 900 2.2 Ta có: MIC MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) 3.1 a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vng D, có đường cao DH AD2 = AH.AB KHC EDC sđ EC, EAC c) EAC (Tứ giác AKCH nội tiếp) KHC DF//HK (H trung điểm DC nên K EDC trung điểm FC) ĐPCM 3.1 a) Học sinh tự chứng minh 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com CBE sđ CE b) NEC NEC NBE (g.g) ĐPCM c) NCH NMB (g.g) NC.NB = NH.NM = NE2 NEH NME (c.g.c) EMN NEH EON (Tứ giác NEMO nội tiếp) d) EMN NOE EH NO NEH NOF OEF cân O có ON phân giác EON NEO 900 ĐPCM NEO = NFO NFO HKB 1800 4.1 a) HIB Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: AHI ABK (g.g) AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi) c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ ĐPCM 4.2 a) Chú ý: AMO AIO ANO 900 sđ MB b) AMB MCB AMB ACM (g.g) ĐPCM c) AMIN nội tiếp AMN AIN 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AMN BEN BE//AM BNM AIN Tứ giác BEIN nội tiếp BIE BEN BCM IE//CM Chứng minh được: BIE d) G trọng tâm MBC G MI Gọi K trung điểm AO MK = IK = AO Từ G kẻ GG'//IK (G' MK) GG ' MG MG ' IK AO không đổi (1) IK MI MK 3 MG ' MK G ' cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc ( G '; AO ) Học sinh tự chứng minh Học sinh tự chứng minh Học sinh tự chứng minh Gợi ý: Chứng minh BEFC hình thang cân AFE AHE (tính chất hình chữ nhật Gợi ý: ) AHE ABH (cùng phụ BHE 10 a) Học sinh tự chứng minh b) Học sinh tự chứng minh c) Học sinh tự chứng minh d) Chú ý: BMA , BMC BKC BIA Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) đường tròn ngoại tiếp BIK Trong (T), dây BC khơng đổi 7. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com mà đường kính (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ BC 900 I A M A Dấu "=" xảy BIC 11 HS tự làm 12 a) HS tự chứng minh b) OM R c) MC MD = MA2 = MH.MO MC MD = MH.MO MHC MDO (c.g.c) MDO Tứ giác CHOD nội tiếp MHC OHD Chứng minh được: MHC BHD (cùng phụ hai góc nhau) CHB 13 HS tự chứng minh 14 a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF BD trung trực AC phải qua I d) HS tự chứng minh 15 HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) MIH MAB MH IH EH EH MB AB FB FB MHE MBF 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com MEK (cùng bù với hai góc nhau) MFA = 900 KMEF nội tiếp MEF B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Kẻ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác CBMD tứ giác nội tiếp BCD không đổi b) Khi điểm D di động đường trịn BMD c) DB.DC DN AC Bài Cho hai đường tròn O O cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn O O cắt đường tròn O O theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABD CBA đồng dạng APB b) BQD c) Tứ giác APBQ nội tiếp Bài Cho hai vòng tròn O1 O2 tiếp xúc điểm T Hai vòng tròn nằm vòng tròn O3 tiếp xúc với O3 tương ứng M N Tiếp tuyến chung T O1 O2 cắt O3 P PM cắt vòng tròn O1 điểm thứ hai A MN cắt O1 điểm thứ hai B PN cắt vòng tròn O2 điểm thứ hai D MN cắt O2 điểm thứ hai C a) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng quy Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn O (M khác B C) Tiếp tuyến qua M cắt AB AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBEQ, OCFP tứ giác nội tiếp 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) Tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp c) Tỉ số PQ không đổi M di chuyển đường tròn FE Bài Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình tam giác song song với cạnh AB đường thẳng DE đồng quy Bài Cho đưòng tròn O; R đường kính AB cố định đường kính CD quay quanh điểm O Các đường thẳng AC AD cắt tiếp tuyến B đường tròn theo thứ tự E F Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh điểm I di động đường thẳng cố định đường kính CD quay quanh điểm O Bài Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh AC (Khác với A C) Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn D Gọi M trung điểm BC, N giao điểm BF AM Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn AN NF Bài Cho hai đường tròn O; R O; R cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB, vẽ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O M N (M, N khác với điểm) Đường thẳng DE cắt MN Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường DE ln qua điểm cố định Bài Cho đường tròn O; R dây AB cố định, AB R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi C; R1 đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn O; R A, D; R2 đường tròn qua P tiếp xúc với O; R B Hai đường tròn C; R1 D; R2 cắt điểm thứ hai M a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM //CD điểm C, D, O, M thuộc đường tròn; b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường trịn cố định đường thẳng MP qua điểm cố định N; 10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn nhất? Diện tích tam giác AMB lớn , tia AD Bài 10 Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường trịn O có AD phân giác góc BAC cắt đường trịn điểm E (E khác A) Kẻ đường kính EF đường trịn O Gọi P điểm nằm A D Tia FP cắt đường tròn O Q khác F Đường thẳng qua P vng góc với AD cắt CA, AB M, N a) Chứng minh tứ giác PQBN, PQCM tứ giác nội tiếp b) Giả sử QN PC cắt điểm thuộc đường tròn O Chứng minh QM PB cắt điểm thuộc đường tròn O Bài 11 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp O; R có AB AC Vẽ đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H, AD cắt O K cắt EF I a) Chứng minh rằng: BC trung trực HK IF IE IH IA ; b) Chứng minh : Các tứ giác DHEC, BFIK nội tiếp được; c) Chứng minh rằng: KC BK EF ; AC BA AI d) Đường thẳng qua E song song với AD cắt BK M Chứng minh rằng: điểm F, D, M thẳng hàng; Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn với AB AC có AD đường phân giác Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB F a) Chứng minh tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE b) Chứng minh đường thẳng BE, CF, AD đồng quy điểm, gọi điểm G c) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF Q Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC P khác E Chứng minh điểm A, P, G, Q, F thuộc đường tròn Bài 13 Cho 19 điểm nằm hay cạnh lục giác cạnh cm Chứng minh tồn số 19 điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt cm Bài 14 Cho hình thang ABCD vng góc A B, M trung điểm AB Đường thẳng qua A vng góc với MD cắt đường thẳng qua B vng góc với MC N Chứng minh 11. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Cho tam giác ABC AB AC có góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O Gọi M trung điểm cạnh BC, E điểm cung nhỏ BC, F điểm đối xứng E qua M a) Chứng minh EB EF EO ; b) Gọi D giao điểm AE BC Chứng minh điểm A, D, O, F thuộc đường tròn c) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC P điểm thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cho P, O, F không thẳng hàng Chứng minh tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác POF qua điểm cố định HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Bài (so le trong) DBC 90 Mặt ADB DBC a) AB đường kính đường tròn O ADB 90 mà 90 suy ra: DMC DBC 90 tứ giác CBMD nội tiếp đường trịn đường kính CD khác DMC Nhận xét Ngồi cách giải trên, giải theo hướng sau: DBN DAN MCB • Ta có: MDB Suy điều phải chứng minh DNB ; DAB DCB • Ta có: DMB DNB 180 Mà DAB Suy điều phải chứng minh b) Khi điểm D di động đường tròn O tứ giác CBMD ln tứ giác nội tiếp BCD 180 (điều phải chứng minh) Suy BMD ANB 90 thuộc O c) Do BAN (góc nội tiếp) mà (so le trong) Ta có: BDN ACD BAN BDN ACD DAN DBN (cùng chắn cung DN) Mặt khác DAC 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra: ACD ∽ BDN (g.g) AC CD AC.DN BD.CD BD DN Bài a) Áp dụng hệ góc tạo tia tiếp tuvến dây cung, ta có: CAB ADB , ACD BAD Suy ra: ABD ∽ CBA (g.g) b) Vì ABD ∽ CBA , suy ra: Mà DQ AD BD CA BA AD AC ; AP 2 BD DQ BA AP PAB Lại có: QDB Suy ra: BQD ∽ APB (c.g.c) BQD APB 180 , mà BQD AQB BQD APB AQB APB 180 c) Ta có: Suy tứ giác APBQ nội tiếp 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài a) Gọi O1 ; T; O2 thẳng hàng Các tam giác cân O1MB O3 MN có chung góc M suy O1MB ∽ O3 MN MB MO1 MN MO3 Tương tự suy O1MA ∽ O3 MP MA MO1 MP MO3 Vậy MB MA AB //PN MN MP Tương tự ta có CD //PM Gọi E giao điểm AB CD Tứ giác AEDP hình bình hành PNM ; ECB PMN nên EBC ∽ PNM (g.g) 1 Tacó: EBC EB PN EC PM PMT MPT chung, nên PAT ∽ PTM (g.g) Ta có: PTA PA PT PA.PM PT PT PM Tương tự, ta có: PD.PN PT PA.PM PD.PN nên PNM ∽ PAD (c.g.c) Mà APDE hình bình hành nên EDA PAD 3 EDA Từ 1 , (2), 3 suy ra: EBC ∽ EDA EBC Do tứ giác ABCD nội tiếp, 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) Gọi giao điểm PT AB I Tia IC cắt O2 D A BC ID Ta có: IA.IB IT IC ID suy IBC ∽ IDA I Do tứ giác ABCD nội tiếp mà ABCD nội tiếp nên D trùng D Vậy đường thắng AB, CD PT đồng quy Bài BOM ; a) Ta có EB, EM tiếp tuyến nên EOM COM EOF BOC ; Ta có FC, FM tiếp tuyến nên FOM 2 BOC sd BMC Mặt khác EOF EOQ Suy EBQ Từ ta có O B hai đỉnh liên tiếp nhìn EQ góc Vậy OBEQ tứ giác nội tiếp Chứng minh tương tự ta có OCFP tứ giác nội tiếp b) OBEQ tứ giác nội tiếp nên OQE 180 OQE 90 FQE 90 OBE OPF 180 OPF 90 EPF 90 OCFP tứ giác nội tiếp nên OCF EQF 90 Suy EPF 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp c) Kẻ OH vng góc với BC Ta có: PQFE tứ giác nội tiếp EFO Suy OPQ Do OPQ ∽ OFE (g.g) PQ OH EF OM Vì điểm A O cố định nên OH OM khơng đổi tỉ số đường tròn EDO Bài Tứ giác ADOE nội tiếp EAO Gọi tia BO cắt tia DE H thì: 180 HDB HBD 180 90 A B C BHD 2 C Mặt khác ACO nên tứ giác EOCH nội tiếp OEC 90 OHC Hay BH vng góc với CH Gọi M trung điểm BC Suy MB MC MH BHM cân MHB HBM ABH MHB Suy BH song song với AB Suy điều phải chứng minh Bài ABD AFB nên ACD ABD ; ACD AFB Ta có: Do tứ giác CDFE nội tiếp Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE 16. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com PQ khơng đổi M di chuyển FE Đường tròn I qua CD nên I thuộc trung trực CD Đường tròn I qua EF nên I thuộc trung trực EF Gọi H trung điểm EF Do I giao điểm hại đường trung trực CD EF AO //HI trùng với HI (cùng vng góc với EF) 1 Tam giác AEF vng, có AH trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HA HE HAE cân H HEA HAE HAE ADC ADC ACD 90 nên HAE ACD 90 Mà Suy AH CD Mà OI CD nên AH //OI 2 Từ 1 , suy tứ giác AOIH hình bình hành Do IH OA R Suy I cách EF khoảng không đổi R, nên I di động đường thẳng d song song với EF cách EF khoảng R BED BAD 90 Bài Ta có: BFD Do B, E, D, A, F thuộc đường tròn đường kính BD Trong tam giác vng ABC có AM lcà cạnh huyền nên MA MC MAC cân M MCA MAC Xét đường tròn qua năm điểm A, B, E, D, F DE DBE DBF Ta có DE DF nên DF 17. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com DAF MCA DBF MCA DBE BDA NFA NAF MAC Xét: NAF cân N NF NA Bài BAE (cùng chắn cung BE a) Ta có BDE đường tròn tâm O) BMN (cùng chắn cung BN đường BDE tròn tâm O ) BMN hay BDI BMN Tứ giác BDE BDMI nội tiếp MBI (cùng chắn cung MI) MDI Mà MDI ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) ABE MBI BAE Mặt khác: BMI MBI ∽ ABE (g.g) MI BI MI BE BI AE AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE Ta có OC DE Q OCD vng D , có đường cao DQ nên OQ.OC OD R 1 Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO DE, H giao điểm AB OO H 90 ; O chung) Ta có: OO AB H KQO ∽ CHO ( Q KO OQ OC.OQ KO.OH CO OH 2 Từ 1 , suy ra: KO.OH R OK R2 OH 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vì OH cố định R khơng đổi nên OK khơng đổi Do K cố định Bài a) Nối CP, PD Ta có A, C, O thẳng hàng; B, D, O thẳng hàng Ta có: ACP , OAB cân C, O nên CAP OBP CPA Do CP //OD 1 Tương tự, ta có OD //CP Từ 1 suy tứ giác ODPC hình bình hành Gọi H giao điểm CD MP, K giao điểm CD OP Do K trung điểm OP Theo tính chất hai đường trịn cắt CD MP H trung điểm MP Do HK //OM CD //OM Giả sử AP BP Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC DP ; DP DM R2 nên tứ giác CDOM hình thang cân Do điểm C, D, O, M thuộc đường trịn b) Ta có: OA2 OB R AB Do AOB vng cân O CMD 1 Vì điểm C, D, O, M thuộc đường tròn (Kể M trùng O) nên COB MCD (cùng sd MP đường trịn C ) Ta có: MAB MDC (cùng sd MP đường trịn D ) Vì MBP COD (tứ giác CDOM nối tiếp) Do MAB ∽ MCD (g-g) AMB AOB 90 mà CMD 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB Ta có: ACP BDP AOB 90 AMP ACP 45 (Góc nội tiếp góc tâm C ) BCP 45 (góc nội tiếp góc tâm D ) BMP AMB Mà Do MP tia phân giác AMB AOB 90 nên M thuộc đường tròn I ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn I N N trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định BPN ; (góc nội tiếp chắn cung) c) Ta có: MPA AMP PBN Do MAP ∽ BNP (g - g) PA PM AB R PA PB (không đổi) PM PN PA.PB PN PB Vậy PM.PN lớn R2 PA PB hay P trung điểm dây AB Tam giác AMB vuông M nên: S AMB 1 AB R 2 AM BM AM BM 4 Vậy S ABM lớn R2 PA PB hay P trung điểm dây AB Bài 10 90 a) EF đường kính nên EAF QFA Mà AE MN suy AF //MN QPN QBA 180 Mà AFQB nội tiếp nên QFA 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com QBN 180 QPN Suy tứ giác PQBN nội tiếp QFA QPN QCM Lại có QCA Suy tứ giác PQCM nội tiếp b) Giả sử QN PC cắt R thuộc O NQB BCP Từ tứ giác PQBN nội tiếp suy NPB Từ tứ giác PMCQ nội tiếp ta có: RPB PCB RPN NPB NPB RPN MPC MQC PBC Từ QM cắt BP điểm S SBQC nội tiếp hay S thuộc đường tròn O Bài 11 ACB (2 góc nội tiếp chắn cung AB) a) Ta có: BKA (cùng phụ với góc EBC) BKA BHK ACB BHK Mà tam giác BHK cân BH BK Lập luận tương tự ta có CH CK BC trung trực HK Ta có: AEH AFH 90 Tứ giác AFHE nội tiếp Xét tam giác AIE tam giác FIH ta có: (2 góc đối đỉnh), AIE FIH IFH (Tứ giác AFHE nội tiếp) IAE AIE ∽ FIH (g.g) AI FI AI HI EI FI EI HI BEC 90 Tứ giác DHEC nội tiếp b) Xét tứ giác DHEC ta có: HDC 21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com BEC 90 Tứ giác BFEC nội tiếp Xét tứ giác BFEC ta có: BFC AFE ACB mà ACB AKB (chứng minh trên) AFE AKB Tứ giác KBFI nội tiếp BHK mà BHK IHE (2 góc đối đỉnh) BKH IHE c) Theo ta có: BKH Xét tam giác HEI tam giác KAB ta có: IHE (cmt), IHE BAK (tứ giác AFHE nội tiếp) BKH HEI ∽ KAB (g.g) Chứng minh tương tự ta có: Từ suy KB HI AB EI KC HI AC FI KB KC EI FI IH EF EF IH IH AB AC EI FI AI HI AI EI FI (theo chứng minh ỏ câu a có IF IE IH IA ) BKH (2 góc vị trí đồng vị HK //ME ) d) Ta có: BME BHK ; BKH BME (2 góc vị trí đồng vị Mà BKH HK //ME ) BEM Tam giác BEM tam giác cân BME Ta có: AD BC mà EM //BC EM BC Trong tam giác cân BEM có BC đường cao tam giác (do BC ME ) BC trung trực ME Ta có D nằm đường trung trực ME DM DE Tam giác DME tam giác cân EDC MDC ADB AEB 90 Xét tứ giác ABDE ta có: 22. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Tứ giác ABDE nội tiếp BAC EDC AFC ADC 90 Xét tứ giác AFDC ta có: BDF Tứ giác AFDC nội tiếp BAC BDF Từ suy MDC MDC BDM BDF BDM FDM Ta có: 180 BDC Ba điểm F, D, M thẳng hàng Bài 12 a) Ta có ABF ; ACE tam giác cân F E BAD DAC ECA ABF ∽ ACE Và FBA b) Gọi G giao điểm BE CF Ta có: GF BF AB DB GC CE AC DC DG //BF Mặt khác DA//BF suy A, D, G thẳng hàng Suy điều phải chứng minh QGA GAE GAC c) Ta có BQG CAE GAB BAF GAF GAC Suy AGQF tứ giác nội tiếp GCE GFQ nên QGPF tứ giác nội tiếp Suy điều phải chứng minh Mặt khác QPG 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 13 Chia lục giác ABCDEF tâm O thành tam giác cạnh 4cm (hình vẽ) Theo nguyên lý Điriclê có điểm 19 điểm nằm hay cạnh tam giác Khơng tính tổng qt giả sử tam giác OAB Chia tam giác OAB trọng tâm G thành tứ giác nội tiếp (hình vẽ) với GM AB ; GN OB ; GP OA OAB cạnh có đường cao 4 GA Các tứ giác GMBN, GMAP, GPON nội tiếp đường trịn đường kính GB, GA, GO 3 Theo ngun lý Điriclê có điểm điểm xét nằm hay cạnh tứ giác nói trên, giả sử tứ giác GMBN khoảng cách hai điểm khơng vượt q đường kính GB giác điều phải chứng minh Bài 14 a) Ta có E, M, O, F thẳng hàng, ME MF (E, F đối xứng qua M) EF BC FEB BEF cân B BFE Mặt khác OB OE suy OBE cân O OEB OBE FEB OBE Ta có BFE BEF ∽ OBE (g.g) EB EF EB EF EO OB EB b) Khơng giảm tính tổng qt xét O nằm M F 24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com đường tròn ngoại tiếp tứ Dễ thấy FBD ∽ EAB (g.g) EB ED EB ED.EA EA EB Ta có ED.EA EF EO EB Xét EOD EAF có EO ED EA EF EO ED , OED chung EOD ∽ EAF (c.g.c) EA EF EAF , dẫn đến tứ giác DAFO nội tiếp Vậy điểm A, D, O, F thuộc đường tròn EOD , CBE EB EC , BAI ABI BAI c) Ta có EIB ABI IBC IBC CBE EIB EBI cân E EB EI EBI ABI BAI Mà EB EC nên EB EI EC E tâm đường tròn nội tiếp tam giác IBC Do EP EB nên EP EF EO Xét EPO EFP có EP EO , PEO chung EPO ∽ EFP (c.g.c) EF EP EFP EP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác POF EPO Vậy tiếp tuvến đường tròn ngoại tiếp tam giác POF qua điểm E cố định D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN NÂNG CAO = 1200 , B = 1000 Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O ) có A Tính C,D Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O ) vẽ dây DE vng góc với OA cắt cạnh AB, AC S , K Chứng minh rằng: tứ giác BCKS nội tiếp Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) vẽ Ax tiếp tuyến đường tròn (O ) Đường thẳng song song với Ax cắt cạnh AB, AC D, E Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) AB = BD Tiếp tuyến O A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB DC a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp đường trịn 25. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) Chứng minh AD QR Bài 5: Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn (O ) đường kính AI Gọi E trung điểm AB K trung điểm OI a) Chứng minh tam giác EKB tam giác cân b) Chứng minh tứ giác AEKC tứ giác nội tiếp Bài 6: Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp DABC ; P,Q, R hình chiếu M đường thẳng BC , CA Chứng minh rằng: a) Các điểm M , B, P, R thuộc đường tròn b) Các điểm R, P,Q thẳng hàng Bài 7: Từ điểm A ngồi đường trịn (O ) , kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C tiếp điểm) Trên tia đối BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O ) , tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B,O, K thuộc đường tròn Bài 8: Cho đường tròn (O ) , nội tiếp tam giác ABC , D, E , F điểm tiếp xúc (O ) với BC ,CA, AB Vẽ BB1 ^ OA(B1 Ỵ OA), AA1 ^ OB(A1 Ỵ OB ) Chứng minh D, B1, A1, E thẳng hàng Bài 9: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) M điểm thuộc cạnh đáy BC Vẽ đường tròn qua B M đồng thời tiếp xúc với AB B Vẽ đường qua C M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt điểm N (khác M ) Chứng minh rằng: a) N thuộc đường tròn tâm O b) Khi M di động cạnh BC đường thẳng MN qua điểm cố định = CAD Bài 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) E đường chéo BD cho BAE a) Chứng minh DBAE ∽ DCAD b) AB.CD + BC AD = AC BD Bài 11: Cho tam giác ABC , kẻ đường cao AH Gọi H 1, H điểm đối xứng H qua AB AC Đường thẳng H 1H cắt AB AC K I 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Chứng tỏ rằng: AH , BI CK đồng quy = 450 Bài 12: Cho hình vng ABCD , góc xAy Ax cắt BC BD E F Ay cắt CD, BD G H Chứng minh tứ giác EFHG nội tiếp Bài 13: Bốn đường thẳng cắt tạo thành bốn tam giác Chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp bốn tam giác có chung điểm (Điểm Miquel) Bài 14: Cho đường tròn (O ) , dây AB không qua O Gọi I trung điểm AB Qua I kẻ hai dây cung CD EF (C E thuộc cung AB ) CF ED cắt theo thứ tự M N Chứng minh IM = IN Bài 15: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) Gọi E , F ,G , H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , BCD,CDA, DAB Chứng minh EFGH hình chữ nhật Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O; R) có CD = AD + BC (BC > AD ) Chứng minh hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt điểm thuộc cạnh D Bài 17: Cho tứ giác nội tiếp đường trịn (O ) có AD cắt BC E AC cắt CD F Chứng minh EA.ED + FA.FB = EF HƯỚNG DẪN Bài 1: A Tứ giác ABCD nội tiếp (gt) D +B +C +D = 1800 A = 1200 = 1000 Mà A (gt), B (gt) Do đó: C = 1800 - 1200 = 600 = 1800 - 1000 = 800 D Bài 2: = AED OA ^ DE (gt) xAC AD = AE 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B C BSK = sđBCE + sđAD (góc có đỉnh bên đường trịn) sđA B (góc nội tiếp) B SK = A S D + sđAD + sđAB sđBCE + BC Do đó: BSK K = = E K O C B + sđAE + sđAB sđBCE 3600 = = 1800 2 x Tứ giác nội BCKS nội tiếp A Bài 3: D = ACD Ax DE (gt ) xAC (hệ góc tạo tia E O C B tiếp tuyến dây cung) = DBC Do đó: AED Suy tứ giác BCED nội tiếp Bài 4: = BAD a) QCR (vì tứ giác ABCD nội tiếp) QA R = sđA B ( QAR góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) BA D = sđB D ( BAD góc nội tiếp) Q AB = BD = BD AB = QAR Do đó: QCR A B O C Tứ giác AQRC nội tiếp đường tròn = QCA (tứ giác AQRC nội tiếp) b) QCA 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D R = QCA BAD (vì AB = BD ) = BAD mà QRA BAD so le Suy ra: QRA A Do đó: AD QR E Bài 5: a) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE B Ta có: E trung điểm AB , AB khơng qua O (gt) = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà ABI Vì OE ^ AB, BI ^ AB(ABI = 900 ) OE BI Do tứ giác BEOI hình thang Mà H , K trung điểm cạnh BE ,OI nên HK OE Ta có: HK OE ,OE ^ AB HK ^ AB DEKB có HK vừa đường cao vừa đường trung tuyến DEKB cân K b) OB = OC (= R) AB = AC (gt) O A thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC OA đường trung trực đoạn thẳng BC Mà K Ỵ OA nên KB = KC Xét DKBA DKCA có: AB = AC (gt) KB = KC ; AK (cạnh chung) Do đó: DKBA = DKCA (c.g.c) = KCA KBI = KEB ( DEKB cân K ) KBA 29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O H C K I = KCA Tứ giác AEKC nội tiếp Do đó: KEB Bài 6: A + BPM = 900 + 900 = 1800 a) BRM Q Tứ giác RBPM nội tiếp Các điểm M , P, B,C thuộc đường tròn B R b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp P C M + MCQ = 1800 MPQ = RPM (tứ giác Mà RBM RBPM nôi tiếp) = MCQ Và RBM (tứ giác ABMC nội tiếp) = MCQ Do đó: RPM + MPQ = MCQ + MPQ = 1800 Ta có: RPM R, P,Q thẳng hàng Bài 7: EK tiếp xúc với đường tròn (O ) M K EM , EC tiếp tuyến (O ) (gt) D B = MOC MOE M = MOC (hệ góc nội tiếp) Mà MBC E + MBC = 1800 (hai góc kề bù) Do đó: MOE + MBD = 1800 (hai góc kề bù) MBC = MBD Suy ra: MOD D,O, M , B thuộc đường tròn (1) = KBO = 600 Mà KMO 30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O C A tứ giác KBOM nội tiếp K ,O, M , B thuộc đườg tròn (2) Từ (1), (2) có điểm D, K ,O, M , B thuộc đường tròn D,O, K , B thuộc đường tròn D,O, K , B thuộc đường tròn Bài 8: = 900 AE AEO ( tiếp tuyến O nên AE ^ OE ) = 900 (AA ^ OB )) (AAO 1 = AAO = 900 Ta có: AEO Tứ giác AEAO nội tiếp đường tròn A + OA OAE E = 1800 E F AB1B = 900 (BB1 ^ OA) = 900 AB B = AAO 1 Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn = BAB BAB 1 = OAE (vì O tâm đường tròn nội tiếp DABC ) Mà BAB = OAE Do BAB + OA E = 1800 Ta có BAB 1 Ba điểm E , A1, B1 thẳng hàng Do bốn điểm D, B1, A1, E thẳng hàng Bài 9: 31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O B B1 A1 D C = ABC a) BNM (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) = ACB Tương tự: CNM D A + ABC + ACB = 1800 Mà BAC Do tứ giác ABNC nội tiếp đường tròn (O ) hay N thuộc đường tròn (O ) M B C b) Gọi D giao điểm MN đường tròn (O ) ( D khác N ) N = CND Ta có: CAD (góc nội tiếp cung CD ) = ACB (chứng minh câu a) Mà CND = ACB A, B,C cố định CAD D cố định hay đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 10: a) Xét DBAE DCAD có: = CAD ) BAE (hai góc nối tiếp chắn cung AD = CAD BAE (gt) Do DBAE ∽ DCAD b) Xét DEAD DBAC có: A D = BAC = CAD EAD (vì BAE ) = ACB (hai góc nội tiếp ADE ) chắn cung AB Do DEAD ∽ DBAC AD DE = AC BC BC AD = AC DE Từ DBAE ∽ DCAD (câu a) 32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com E B C CD AB BE = AB.CD = AC BE AC CD Do đó: AB.CD + BC AD = AC BE + AC DE = AC (BE + DE ) = AC BD Bài 11: Ta có: DAH 1H cân (AH = AH = AH ) AH H = AH H 2 I = AHI (vì H H đối xưng qua AC ) Ta có: AH 2 I = AHI Vậy AH H H nằm phía AI Do H H nằm cung chứa góc dựng đoạn AI A, H 1, H , I thuộc đường tròn A Mặt khác: H2 I K H1 H H đối xứng qua AB = 900 AH B = AHB B C x Do tứ giác AH 1BH nội tiếp đường trịn đường kính AB Từ ta có năm điểm A, H , B, H 1, I thuộc = 900 đường trịn đường kính AB BIA BI đường cao tam giác ABC Chứng minh tương tự CK đường cao tam giác ABC Vậy AH , BI ,CK đồng quy Bài 12: ABCD hình vng nên BDC = 450 lại có GAF = 450 (gt) A D phía GF nên A D H A, D nằm cung chứa góc 45 vẽ đoạn FG G = 900 nên Tứ giác ADGH nối tiếp, có ADG 33. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com F B E C AG đường kính đường trịn (ADGH ) = 900 = 900 Vì AFG hay EFG = 900 Chứng minh tương tự EHG Vậy tứ giác EFGH nội tiếp B P Bài 13: Với giả thiết bốn đường thẳng cắt tạo A D C E F thành bốn tam giác nên khơng có ba đường thẳng chúng cắt điểm Giả sử đường thẳng AB, BC ,CA cắt đường thẳng thứ tư D, E , F (hình vẽ) Gọi P (P ¹ C ) giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC CEF = BPC + CPE Ta có: BPE = 1800 - BAC = DAF ;CPE = CFE Trong đó: BPC = BPC + CPE = DAF + CFE = 1800 - ADE Suy ra: BPE + BDF = 1800 BPE Tứ giác BPED nội tiếp P nằm đường tròn ngoại tiếp, tam giác BDE Chứng minh tương tự: Điểm P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF Bài 14: = CDE ) (hai góc nội tiếp chắn cung CE Ta có: CFE = FED ) FCD (góc nội tiếp chắn cung DF 34. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Do DFIC ∽ DDIE CI FC (1) = EI DE F Vẽ OH ,OK vng góc với CF ED (H Ỵ CF , K Ỵ ED ) D Ta có H , K trung điểm FC DE H K (Định lí đường kính vng góc với dây cung) Do đó: A M C CI FC CH = = EI DE EK N I E Xét DCHI DEKI có: CI CH = ; HCI = KEI EI EK = NKI (2) = EKI hay MHI Do DCHI ∽ DEKI CHI Mặt khác I trung điểm AB nên OI ^ AB,OH ^ PC Tứ giác OHMI nội tiếp đường tròn đường kính MO = MOI (3) (góc nội tiếp chắn cung MI ) Ta có: MHI Tương tự: Tứ giác OKNI nội tiếp đường tròn = NOI Nên: NKI (4) = NOI Từ (2), (3) (4) ta có: MOI DMON cân có OI đường cao nên OI đường trung tuyến Do IM = IN Bài 15: Gọi tia đối tia FC tia Fx A H O G = ADC ,GCD = ACD GDC 2 (G tâm đường tròn nội tiếp DCDA ) + GCD = (ADC + ACD ) Do đó: GDC 35. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D B x E F C B = ) = 900 - DAC (1800 - DAC 2 = 1800 - (GDC + GCD ) = 900 + DAC DGDC có DGC = 900 + DBC Tương tự: DFC = DBC ) Mà DAC (hai góc nội tiếp chắn cung DC = DFC Do đó: DGC Tứ giác GFCD nội tiếp = GDC GFx = EBC Tương tự: xFE + EBC = ADC + ABC = 900 Mà GDC 2 = 900 , FGH = 900 Chứng minh tương tự ta có: HEF Do tứ giác EFGH hình chữ nhật Bài 16: Tia phân giác DAB cắt cạnh CD E Trên cạnh CD lấy F cho: DF = AD = Tam giác CBF cân C ( (CF = BC ) BFC 1800 - BCD ) Tứ giác ABCD nội tiếp nên: = BCD = ABC + CAD = 1800 DAB B A = DAB Do đó: BFC = DAB Mà EAB = EAB Suy ra: BFC 36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D F E C = ABE DAF (1) cân D (DF = AD ) AFD = 180 - CDA Tam giác DAF = ABC Nên AFD (2) = ABC ABE = EBC Từ (1) (2) có ABE Do hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt Vậy BE tia phân giác góc ABC điểm E thuộc cạnh CD Bài 17: = AEF Gọi M cạnh EF cho FBM = AEF Xét DFBM DFEA có FBM (chung), FBM E Do DFBM ∽ DFEA A FB FM = EF FA FA.FB = EF FM = AEF FBM Tứ giác AEMB nội tiếp = EBA EMA = EBA Mà EDF (tứ giác ABCD nội tiếp) = EDF Do đó: EMA = EDF , AEM Xét DEMA DEDF có EMA (chung) Do DEMA ∽ DEDF EA EM = EF ED EA.ED = EF EM 37. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B O D C M F Vậy EA.ED + AF FB = EF EM + EF FM = EF (EM + FM ) = EF -Toán Học Sơ Đồ 38. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ... điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp 2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp 2.2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp... rằng: a) Tứ giác OBEQ, OCFP tứ giác nội tiếp 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) Tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp c) Tỉ số PQ không đổi M di chuyển đường tròn FE Bài Cho tam giác ABC, D... giác DME tam giác cân EDC MDC ADB AEB 90 Xét tứ giác ABDE ta có: 22. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Tứ giác ABDE nội tiếp BAC EDC AFC ADC 90 Xét tứ giác