Bt hh9 c3

Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn Chương GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Góc tâm Số đo cung Bài Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Trong hình vẽ AOB   góc tâm, AmB cung nhỏ, AnB cung lớn Định nghĩa  Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung  Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)  Số đo nửa đường tròn 180  29 Chú ý  Cung nhỏ có số đo nhỏ 180  Cung lớn có số đo lớn 180  Khi hai mút cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo 0 cung đường trịn có số đo 360 Định nghĩa Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau:  Hai cung gọi chúng có số đo  Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Định lý 13 Nếu  C điểm nằm cung AB sđ AB =sđ AC +sđ CB H G D O C O     Trong hình AB CD; EF  GH E A B F Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn Các ví dụ  Ví dụ Cho đường trịn (O; R ) dây cung AB R Tính số đo hai cung AB  Lời giải B Xét OAB ta có AB 2 R OA2  OB Nên tam giác vuông O A O   Suy AOB 90 Vậy số đo cung nhỏ AB sđ AB 90 Và số đo cung nhỏ AB sđ AB lớn 360  90 270  Ví dụ Cho đường tròn (O; R ) dây cung MN R Tính số đo hai dây cung MN  Lời giải Kẻ OH  MN H  HM HN (định lí đường kính vng góc dây cung) Do HM HN  N MN R   2 H R MH cos HMO    MO R Ta có: O M   Nên HMO 30  MON 120   Suy số đo cung nhỏ sđ MN MON 120  Và số đo cung lớn sđ MN lớn 360  120 240  Ví dụ Trên đường trịn (O; R) lấy ba điểm A, B, C cho dây cung AB R, BC R BA BC Tính số đo cung nhỏ AB, BC AC  Lời giải OAB nên ta có AOB 60  90 BOC vuông cân O nên BOC  Suy sđ AB = sđ AOB 60 tia BO nằm hai tia Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn   sđ BC = sđ BOC 90   sđ AC  sđ AB + sđ BC 60  90 150  Ví dụ Hai tiếp tuyến B C nửa đường tròn (O; R ) cắt A Biết OA R Tính số đo cung BC  Lời giải C OB R cos AOB      AOB 45 OA R 2  Suy BOC 90 Vậy sđ A O  BOC  BC 90 B  Ví dụ Trên dây cung AB đường tròn (O) lấy hai điểm H K cho AH HK KB Vẽ bán kính OD qua H bán kính OC qua K Chứng minh rằng:   AD BC ; AD  DC   Lời giải   Tam giác OAB cân O nên OAH OBK D Do OAH OBK (c.g.c ) A    AOH BOK  AD  BC C H K B O Vẽ đường kính AE đường tròn (O ) Ta thấy OH đường trung bình tam giác AKE nên OH //KE     AOH OEK , HOK OKE   Xét OEK có OK  OE  OEK  OKE    AOH  HOK  AD  DC Luyện tập  Bài E Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường tròn Cho đường tròn (O; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA 2 R Từ A vẽ hai tiếp  tuyến AB; AC tới đường tròn ( B C tiếp điểm) Tính số đo cung lớn BC đường tròn (O)  Lời giải cos AOB  OB R    AOB 600 OA 2R 0    Suy BOC 120 Nên sđ BC nhỏ BOC 120 0  Vậy sđ BC lớn 360  120 240  Bài Cho (O ) đường kính AB dây cung AC Chứng minh  BAC   sđ BC  Lời giải  Mặt khác BOC góc ngồi tam giác cân OAC 1  BAC  BOC  BOC 2OAC   Suy 2 sđ BC Nên    Bài Cho tam giác ABC có B 70 ; C 50 Đường trịn (O ) nội tiếp tam giác tiếp xúc với    cạnh AB, BC , CA theo thứ tự D, E , F Tính số đo cung DE , EF FD  Lời giải 0 0  Tứ giác BFID có FID 360  90  90  70 110  Nên số đo cung nhỏ sđ FD 110 0 0  Tứ giác IDCE có EID 360  90  90  50 130  Nên số đo cung nhỏ sđ ED 130 0 0  Từ suy số đo cung nhỏ sđ EF 360  110  130 120  Bài Cho nửa đường tròn (O ) hai dây cung AB //CD nằm nửa đường trịn Chứng   minh AC BD  Lời giải Gọi H trung điểm CD ta có OH  CD Mà AB //CD nên OH  AB Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường tròn Hai tam giác OAB, OCD cân O nên   AOH BOH       AOH  COH BOH  DOH  AOC BOD    COH DOH Do AC B  D  Bài Cho nửa đường trịn (O ) đường kính 20cm , C điểm nửa đường trịn Lấy điểm H thuộc OA cho OH 6cm Đường vng góc với OA H cắt nửa đường tròn D Vẽ dây AE song song với CD Gọi K hình chiếu E AB Tính diện tích tam giác AEK  Lời giải     Theo tốn trên, DC //AE  AD CE  O1 O2   Vì OC //EK nên O2 OEK (hai góc so le trong)  OEK   O  HOD KEO (cạnh huyền – góc nhọn)  OK DH EK OH 6(cm) Mà DH  AH HB 4.16 64  DH OK 8(cm) S A EK  AK EK (10  8).6  54(cm ) 2 Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn Bài Liên hệ cung dây Tóm tắt lý thuyết Định lý 14 Với hai cung nhỏ đường tròn hai đường tròn Hai cung căng hai dây Hai dây căng hai cung   Nghĩa AB CD  AB CD Định lý 15 Với hai cung nhỏ đường tròn hai đường tròn Cung lớn căng dây lớn Dây lớn căng cung lớn   Nghĩa AB  CD  AB  CD Tính chất Trong đường tròn Hai cung bị chắn hai dây song song Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung ngược lại Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại Các ví dụ  Ví dụ Cho hai đường tròn  O   O ' cắt hai điểm A B Kẻ đường  O ' kính AOC , AO ' D Gọi E giao điểm thứ hai AC với đường tròn So sánh cung nhỏ BC , BD   Chứng minh B điểm cung EBD ( tức điểm B chia cung EBD thành hai   cung BE BD ) Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn  Lời giải Vì BAC BAD nội tiếp nửa đường tròn nên chúng tam giác vuông B AC = AD đườ ng k í nh Xét hai tam giác vng BAC BAD có AB c nh chung {   O Vậy BAC BAD Suy BC BD Mặt khác, hai đường tròn (O) nên hai dây   căng hai dây Vậy BC BD   Vì điểm E nằm đường trịn đường kính AD nên AED 90 Do BC BD (câu a) nên EB đường trung tuyến tam giác vuông   90 ECD E  Suy BE BD  O  ta có, BE BD suy BE  BD  Trong hay B điểm cung EBD   Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH , OK với BC BD ( H  BC , K  BD ) a) Chứng minh OH  OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC  Lời giải Trong tam giác ABC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có BC  AB  AC  AB  AD BD hay BC  BD Theo định lí dây cung khoảng cách đến tâm suy OH  OK   Vì BC  BD ta suy BC  BD Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn  Ví dụ Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng nửa đường trịn (O ) đường kính BC Trên nửa đường tròn lấy điểm D, E cho  DE  EC  BD Các đường thẳng AD, AE cắt đoạn thẳng BC M N Chứng minh BM MN  NC  Lời giải Từ  DE  EC  BD suy BD  DE EC Do theo tính chất góc  BOD 60  OBD AMC ∽ DMB tâm suy tam giác Ta có AC MC  MB suy DB Mặt khác, AC 2 BD suy MC 2 MB, BC BM  MC  BC 3BM Tương tự, BC 3CN Vậy BM MN  NC  Ví dụ Cho tam giác ABC không cân, từ đỉnh A kẻ đường cao AH , phân giác AD, trung tuyến AM Chứng minh điểm D nằm H M Giả sử tam giác ABC nhọn, chứng minh   MAD  DAH  Lời giải Không tính tổng quát giả sử AC  AB , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường   phân giác AD, I  BI IC  BI IC Tam giác ABC không cân, suy H , D, M ba điểm phân biệt Mặt khác, D nằm A I , AM trung tuyến  IM  BC , AH đường cao  AH  BC Do D nằm H M Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn    Tam giác ABC nhọn  BAC  90  BC nhỏ nửa đường tròn  M nằm O I  AM nằm hai tia AI AO    MAD  OAI      OAI OIA OA  OI      Mà AH //IM  OIA IAH Vậy MAD  DAH Luyện tập  Bài Cho đường trịn (O) Gọi I điểm cung AB (không phải cung nửa đường tròn) H trung điểm dây AB Chứng minh đường thẳng IH qua tâm O đường tròn  Lời giải   IB  , suy IA IB Vì I điểm cung AB nên IA Mặt khác, OA OB R bán kính Do đó, IO đường trung trực đoạn AB Lại có H trung điểm AB nên H thuộc IO Vậy IH qua tâm O đường tròn  Bài      Cho đường trịn tâm O bán kính R Vẽ góc tâm AOB 80 , vẽ góc tâm BOC 120 kề với AOB So sánh xếp độ dài AB, BC , CA theo thứ tự tăng dần  Lời giải       Ta có AOB 80 BOC 120 kề nên suy AOC 160 Vì số đo cung bị chắn số đo góc tâm nên suy AB  BC  CA  Bài Dự án tài tập tốn Chương 3: Góc với đường trịn Cho tam giác ABC có AB  AC Trên canh AB lấy điểm D cho AD  AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH , OK với BC BD ( H  BC , K  BD ) a) Chứng minh OH  OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC  Lời giải Trong tam giác ABC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có BC  AB  AC  AD  AB BD hay BC  BD Theo đinh lí dây cung khoảng cách đến tâm, từ BC  BD suy OH  OK   Từ bất đẳng thức dây cung BC  BD suy BC  BD  Bài Cho hình thoi ABCD Vẽ đường trịn tâm A bán kính AD Vẽ đường trịn tâm C bán kính CB Lấy điểm E đường trịn tâm A (khơng trùng với B D), điếm F đường tròn tâm C cho BF song song với DE So sánh hai cung nhỏ DE BF  Lời giải Theo giả thiết ta có     EDB FBD , suy EDA FBC Từ hai tam giác cân ADE CBF nhau, suy   EAD BCF Vậy hai cung DE BF  Bài Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường trịn đường kính AB lấy hai điểm C , D Từ C kẻ CH vuông góc với AB, cắt đường trịn tai điểm thứ hai E Từ A kẻ AK vng góc với DC , cắt đường trịn điểm thứ hai F Chứng minh rằng: Hai cung nhỏ CF DB Hai cung nhỏ BF DE DE BF  Lời giải CD FB vng góc với AK nên CD //FB   Suy CF DB (hai cung bị chắn hai dây song song) (1) 10