Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 75 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Dự án tài tập toán Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn Chương §1 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Tóm tắt lý thuyết 1.1 Phương trình hệ hai phương trình bậc hai ẩn 1 với a, b khơng đồng thời Phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng ax by c ax by c với a, b không đồng thời Hệ phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng a x b y c a, b không đồng thời x0 ; y0 x ;y Cặp số 0 Cặp số 1 x0 ; y0 thỏa 1 x0 ; y0 thỏa mãn hai phương trình gọi nghiệm gọi nghiệm Ví dụ Kiểm tra cặp số sau có phải nghiệm phương trình a) (1;1) ; b) (0,5;3) x y 0 hay không? Lời giải y 1 Thay x 1 vào phương trình, ta có 2.1 0 Vậy (1;1) nghiệm phương trình Thay x 0,5 y 3 vào phương trình, ta có 2.0,5 0 Vậy (0,5;3) không nghiệm phương trình 1.2 Tập nghiệm phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ln có vơ số nghiệm biểu diễn đường thẳng ax by c 3 x a c y x 3 có nghiệm tổng quát b b N ế u a 0 b 0 3 có nghiệm tổng quát N ế u a 0 b 0 x c y 3 có nghiệm b Nếu a 0 b 0 c x a y Dự án tài tập tốn Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt phương trình sau a) 3x y 2 ; b) x y 0 c) x y d) x y 5 Lời giải x a) 3x y 2 y 3x Vậy phương trình có nghiệm tổng qt y 3x x y x y x y b) Vậy phương trình có nghiệm tổng qt y x y c) x y Phương trình có nghiệm tổng qt x y d) x y 5 Phương trình có nghiệm tổng qt Các toán nâng cao Dạng 48 Xét xem cặp số có phải nghiệm phương trình khơng Áp dụng tảng kiến thức BÀI TẬP MẪU Thực hành tốt kĩ tính tốn biểu thức BÀI TẬP MẪU Ví dụ Trong cặp số (2;1) , (3; 1) , (0;5) cặp số nghiệm phương trình x y 0 Lời giải (2;1) ( 2;1) Với , ta có nghiệm Với ( 3; 1) , ta có ( 1) 0 (3; 1) không nghiệm Với ( 0;5) , ta có 5 6 0 ( 0;5) không nghiệm Dạng 49 Tìm nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình Biến đổi biểu thức để đưa theo theo Dự án tài tập tốn Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn BÀI TẬP MẪU Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau a) x y 0 ; b) x y 3 Lời giải x 3 y y b) x y 3 x y 3 x ; a) x y 0 y 3x Dạng 50 Xác định tham số biết nghiệm phương trình Thực hành tốt kĩ tính biểu thức BÀI TẬP MẪU Ví dụ Tìm m trường hợp sau 1; Điểm nghiệm phương trình mx y 0 ; A(0;3) thuộc đường thẳng x my 0 Lời giải Thay x 1, y 2 vào phương trình ta có m.1 0 m 3 Thay x 0, y 3 vào đường thẳng, ta có 4.0 m.3 6 m 2 Dạng 51 Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình bậc BÀI TẬP MẪU Xét hệ Nếu Ví dụ hệ phương trình có nghiệm m trường hợp sau Tìm hệ phương trình vơ nghiệm 1; hệ phương trình có vơ số mx y 0 ; nghiệm phương trình nghiệm Điểm A(0;3) thuộc đường thẳng x my 0 Dự án tài tập tốn Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn Lời giải x 1, y Thay vào phương trình ta có m.1 0 m 3 Thay x 0, y 3 vào đường thẳng, ta có 4.0 m.3 6 m 2 BÀI TẬP MẪU Ví dụ Khơng vẽ đồ thị, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau x y 1 x y 1 a) x y 2 x y 3 b) a) Lời giải x y 2 b) x y 3 x y 1 x y 1 Ta có nên hệ có nghiệm 1 Ta có 2 nên hệ vô nghiệm Dạng 52 Hai hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có chung tập nghiệm Hai hệ phương trình vơ nghiệm coi tương đương BÀI TẬP MẪU Ví dụ Xét tương đương hệ phương trình sau: x y 1 x y 1 1 x y x y 0 x y 12 x y 1 3 x y 5 2 x y 0 Lời giải x y 1 x y 1 x y x y 0 x y 1 x y 1 x y x y (2 x y ) x y 1 2 x y 1 x y x y Vậy x y 12 3 x y 5 x y 1 x y 1 3 x y 0 x y 0 1 0 hai hệ tương đương x y 1 2 x y 0 Dự án tài tập toán Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn 3 không thỏa Ta thấy cặp số (2;1) thỏa x y 1 x y 1 3 2 x y 5 2 x y 0 không tương đương Vậy Luyện tập Bài Cho phương trình mx (m 1) y 3 Với m 1 , xét xem cặp số sau, cặp số nghiệm phương trình i) (3; 2) ii) (0;1) iii) ( 1;0) Tìm nghiệm tồng quát phương trình ứng với i) m ii) m 2 Tìm giá trị m tương ứng phương trình nhận cặp số sau làm nghiệm i) (3;1) ii) (2;3) Lời giải Với m 1 , ta có phương trình x y 3 i) Thay x 3, y vào phương trình, ta có 3 ( 2) 6 3 nên ( 3; 2) không nghiệm phương trình ii) Thay x 0, y 1 vào phương trình, ta có 0 1 3 nên (0;1) nghiệm phương trình iii) Thay x 1, y 0 vào phương trình, ta có ( 1) 0 3 nên ( 1;0) khơng nghiệm phương trình Tìm nghiệm tổng quát i) Với m ta có phương trình 1x ( 1) y 3 x x y Vậy phương trình có nghiệm tổng quát y x 1 ii) Với m 2 ta có phương trình x y 3 x y x Vậy phương trình có nghiệm tổng qt 3 x y 2 y 3 y 2 Vậy phương trình có nghiệm tổng qt Hoặc: m Tìm giá trị tương ứng phương trình nhận cặp số sau làm nghiệm m i) Thay x 3, y 1 vào phương trình, ta có 3m (m 1) 1 3 ii) Thay x 2, y 3 vào phương trình, ta có 2m ( m 1) 3 3 m 0 x y 3 x Bài Không vẽ đồ thị, đoán nhận số nghiệm hệ phương trình sau x y 5 x y 5 a) x y 1 b) x y 3 Dự án tài tập toán Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn 2 x y 5 3 y 8 d) 3x y 2 c) x y Lời giải x y 5 a) x y 1 Do 1 nên hệ có nghiệm x y 5 b) x y 3 2 Do nên hệ vô nghiệm 2 x y 5 3 y 8 d) 3x y 2 x y c) 1 Do nên hệ có vơ số nghiệm Do nên hệ có nghiệm Các tập nâng cao 3 x ay 5 Bài Cho hệ phương trình x y b Tìm a , b để hệ a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; c) Vơ số nghiệm Lời giải Hệ có nghiệm a a 2 3 a a a 2 b 5 b 10 b Hệ vô nghiệm 3 a a a 10 b b b Hệ có vơ số nghiệm Dự án tài tập tốn Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn §2 Phương pháp giải hệ phương trình Tóm tắt lý thuyết 1.1 Phương pháp Để giải hệ phương trình phương pháp ta thực theo bước sau: Bước Biểu thị ẩn (giả sử ẩn x ) theo ẩn lại (ẩn y ) từ phương trình hệ Bước Thay biểu thức x vào phương trình cịn lại tìm giá trị y Bước Thay giá trị y vừa tìm vào biểu thức x để tìm giá trị x Bước Kết luận nghiệm hệ phương trình Ví dụ Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp x y 3 x y 5 a) 7 x y 1 x y 6 b) x y 0 x y 1 d) 5 x y 1 x y c) Lời giải x y 3 x 5 y x 5 y x y 3 4(5 y ) y 3 x y 5 x 5 y x 5 y x 5 ( 1) 2 17 y 17 y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) (2; 1) 7 x y 1 x y y 6 3x 7 x y 1 y 6 x 7 x 2(6 x) 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) (1;3) 5 x y 1 x y y x y x 5 x y 1 5 x 3( x) 1 y 6 3x 13 x 13 y 3 x 1 Dự án tài tập toán Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn y x y ( 4) 7 x x Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) ( 4;7) x y 0 x y 1 x y x y 1 x y y 5 y 1 5 x y x 2 1 y y 1 5 1 ( x; y ) ; 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1.2 Phương pháp cộng đại số Để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số ta thực bước sau: Bước Nhân hai vế phương trình hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ cho hệ mới, hệ số ẩn (hoặc đối nhau) Bước Trừ ( cộng ) vế phương trình hệ để khử bớt ẩn Bước Giải phương trình ẩn vừa thu Bước Thay giá trị tìm ẫn vào phương trình hệ để tìm ẩn cịn lại Bước Kết luận nghiệm hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số x y 1 x y 11 a) x y 3 x y 1 b) 3 x y 18 x y c) x y 1 x 3 y 4 d) Lời giải x y 1 x y 11 3x 12 x y 1 x 4 4 y 1 x 4 y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) (4;1) x y 3 x y x 2 x y x 2 x 2 2 y 1 y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) (2;1) Dự án tài tập tốn Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn 3 x y 18 x y 12 x 16 y 72 12 x y 25 y 75 12 x y y 3 12 x 3 x 2 y 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) (2;3) x y 1 x x y 11 y 11 y x 2 x 3 y 4 x y 12 x y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( 3; 2) 1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Để giải hệ phương trình ta cịn dùng phương pháp đặt ẩn phụ thông qua ẩn cho Với dạng ta cần nhận biết tương đồng ẩn từ chọn ẩn phụ đặt cho hợp lý để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn áp dụng phương pháp phương pháp cộng dại số để giải Sau tìm nghiệm theo ẩn mới, sau ta thay lại ẩn ban đầu đễ tìm nghiệm hệ cho Ví dụ Giải hệ phương trình 1 x y 1 5 x y a) x x b) 2 y 1 y 4 1 1 3 x y 2 x y 15 c) Lời giải Điều kiện xác định x 0, y 0 1 a ,b x y , hệ phương trình cho trở thành Đặt a b 1 a b a 1 b 3a 4b 5 a 1 b a 1 b a 1 b 7b 2 3(1 b) 4b 5 a b Khi ta có 1 x x 1 y 7 y 7 7 ( x; y ) ; 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (nhận) Dự án tài tập tốn Chương 3: Hệ hai phương tình bậc hai ẩn Điều kiện xác định x 2, y 1 a Đặt 1 ,b x y , hệ phương trình cho trở thành a b 2 2a 3b 1 a 2 b 2(2 b) 3b 1 a 2 b 5b a 2 b b a b 19 x a y 1 1 b (nhận) Từ thay vào ta tìm 19 ( x; y ) ; 5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Điều kiện xác định x 0, y 0 1 a ,b x y , hệ phương trình trở thành Đặt 4a 4b 3 1 a b 15 4a 4b 3 5a 6b 4 b 20a 20 15 20a 20b 15 20a 24b 16 b a Khi ta có 4b 1 20a 20b 15 1 x x 2 1 y 4 y (nhận) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) (2; 4) Các dạng toán BÀI TẬP MẪU 10