dạy học chủ đề hàm số lượng giác phương trình lượng giác theo hướng phát triển năng lực mô hình toán học cho học sinh lớp 11

Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học gắn liền với việc làm rõ tính ứng dụng của Toán học trong thực tiền và trong các môn học khác43 học găn liên với phát triên các năng lực Toán học

ĐẠI HỌC QUOC GIA HA NỌI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỎ THỊ YẾN

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SÔ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIÉN NĂNG LỤC

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VÃN THẠC sĩ sư PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140209.01

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS LÊ NGỌC SƠN

HÀ NỘI - 2024

LỜI CAM ĐOAN

r

Tôi xin cam đoan nội dung luận văn là kêt quả nghiên cứu của cá nhân tôi,dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Ngọc Sơn Những kết quả trong đề tài đảm bảo tính trung thực, chưa từng công bổ ở công trình khác

Người cam đoan

Đỗ Thị Yến

1

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn tập thề các Thầy Cô giáo là giảng viên cùa Khoa sư phạm, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học

Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy giáo

- TS Lê Ngọc Sơn, người đã trực tiếp hướng dẫn cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài Với sự quan tâm sâu sắc, chỉ dạy đầy tâm huyết, tận tình, Thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu, định hướng cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Xin cảm ơn Ban Giám đốc cùng các Thầy cô giáo của Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp - Giáo dục thường xuyên Thị xã Mỹ Hào, Hưng Yên đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Toán cùng các em học sinh khối 11 của Trường THPT Mỹ Hào, Trường THPT Nguyễn Thiện Thuật, Mỹ Hào, Hưng Yên đã tạo điều kiện đề quá trình thực nghiệm đề tài diễn ra thuận lợi

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình vì đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khởi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Quý Thầy Cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Tác giả

Đỗ Thị Yến

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các chữ viết tắt vi

Danh mục các bảng vii

Danh mục các biểu đồ viii

Danh mục các hình vẽ X Danh mục các sơ đồ xi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THựC TIỄN CÙA VIỆC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NÀNG Lực MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH LỚP 11 .7

1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 7

1.2 Năng lực mô hình hóa Toán học 1.2.1 Năng lực 11

1.2.2 Năng lực mô hình hóa Toán học 13

1.2.3. Ý nghĩa cùa việc dạy học mô hình hóa và phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh 1

1.3 Thành tố năng lực mô hình hóa Toán học 20

1.4 Dạy học Toán bằng mô hình hóa 22

1.5 Quy trình mô hình hóa Toán học 23

1.6 Nội dung chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác trong chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018 và tiềm năng dạy học mô hình hóa 28

1.6.1 Nội dung chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018 28

• • •

ill

1.6.2 Tiêm năng dạy học mô hình hóa chủ đê Hàm sô lượng giác - Phương

trình lượng giác trong chương trình Giáo dục phô thông 2018 31

1.7 Thực trạng của việc dạy học mô hình hóa trong trường phô thông hiệnnay

1.7.1 Mục đích khảo sát

r

Đôi tượng khảo sátPhương pháp khảo sátKết quả khảo sát

Tiểu kết Chương 1 42

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NHẲM PHÁT TRIỂN NĂNG Lực

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 11 43

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 43

2.1.1 Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học gắn liền với việc làm rõ tính ứng dụng của Toán học trong thực tiền và trong các môn học khác43

học găn liên với phát triên các năng lực Toán học khác 44

2.1.4 Việc tố chức dạy học mô hình hóa cần đảm bảo tính khả thi, phù hợp các yêu cầu cần đạt của chương trình, điều kiện thực hiện của Giáo viên và đồng thời lấy người học làm trung tâm 44

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng huy động kiến thức để làm việc trên

mô hình khi giải các bài toán về Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

2.2.3 Biện pháp 3: Tăng cường thiết kế các hoạt động có nội dung là các bài toán thực tiên và các bài toán giải băng đô thị hàm sô lượng giác, đường

tròn lượng giác 63

Tiểu kết Chương 2 78

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 79

3.1 Mục đích của việc thực nghiệm sư phạm 79

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 79

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 79

3.4 Ket quả thực nghiệm sư phạm 81

Tiểu kết Chương 3 88

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

PHỤ LỤC

V

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Tổng hợp nội dung và yêu cầu cần đạt về việc dạy học chủ đề hàm số

theo chưong trình Giáo dục phố thông (BGD, 2018) 28

Bảng 1 2 Tổng hợp nội dung và yêu cầu cần đạt về việc dạy học chủ đề hàm số theo chương trình Giáo dục phổ thông (BGD, 2018) 31

Bảng 3.1 Nội dung bài dạy thực nghiệm 79

Bảng 3.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 80

Bảng 3.3 Ke hoạch thực nghiệm sư phạm 80

Bảng 3.4 Ke hoạch kiểm tra, đánh giá sau thực nghiệm 80

Bảng 3.5 Bảng tần suất (ghép lớp) kết quả bài kiểm tra cùa học sinh 83

Bảng 3.6 Bảng tần suất (ghép lớp) kết quả bài kiểm tra của học sinh 84

vii

Biểu đồ 1.4 Biểu đồ về việc đánh giá tầm quan trọng của mô hình hóa Toán họctrong dạy học Toán ở trường THPT của Giáo viên 35

Biểu đồ 1.5 Biểu đồ về việc đánh giá các năng lực, kĩ năng mà hoạt động mô hình hóa Toán học giúp Học sinh THPT phát triển 35

Biểu đồ 1.6 Biểu đồ về việc đánh giá các thành tố của năng lực mô hình hóaToán học của Giáo viên 36

Biểu đồ 1.7 Biểu đồ về mức độ thường xuyên của việc áp dụng mô hình hóa trong dạy học Toán của Giáo viên ở trường THPT 36

Biểu đồ 1.8 Biểu đồ về những khó khăn của Học sinh mà Giáo viên quan sát được trong giờ học mô hình hóa 37

Biểu đồ 1.9 Biểu đồ về mức độ Học sinh thường xuyên cùa việc tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn hoặc trong các môn học khác38Biểu đồ 1.10 Biểu đồ về mức độ thường xuyên của việc được tiếp xúc với các bài toán có nội dung liên quan tới các vấn đề thực tiễn hoặc liên quan tới các môn học khác của Học sinh 38

Biểu đồ 1.11 Biểu đồ về mức độ hứng thú khi được tiếp xúc với các bài toán có nội dung liên quan tới các vấn đề thực tiễn hoặc tới các môn học khác của Họcsinh 39

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh tần suất (ghép lớp) kết quả bài kiểm tra 84

Biểu đồ 3.2 Biểu đồ cơ cấu tần suất (ghép lớp) kết quả bài kiểm tra 84

Biểu đồ 3.3 Biểu đồ so sánh tần suất (ghép lớp) kết quả bài kiểm tra 85

Biểu đồ 3.4 Biểu đồ cơ cấu tần suất (ghép lớp) kết quả bài kiểm tra 85

Biểu đồ 3.5 Biểu đồ hình quạt về cơ cấu kết quả bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm 85

Biểu đồ 3.6 Biểu đồ hình quạt về cơ cấu kết quả bài kiểm tra của học sinh lóp đối chứng 86

ix

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình vẽ 1.1: Bài tập 4, Bài 41 - Phép chia, Toán 2 18

Hình vẽ 1.2: Mô hình toán học của một gàu xúc 19

Hình vẽ 2.1: Đường tròn lượng giác 61

Hình vẽ 2.2: Đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn -7Ĩ\7Ĩ 66

Hình vẽ 2.3: Đồ thị hàm số y = cosx trên tập xác định 66

7 Hình vẽ 2.4: Đường tròn lượng giác thê hiện công thức nghiệm của phương trình sin X - m Hình vẽ 2.5: Đường tròn lượng giác 70 Hình vẽ 2.6: Đường tròn lượng giác 72 Hình vẽ 2.7: Đồ thị hàm số y = sin X- 74 Hình vẽ 2.8: Sử dụng đường tròn lượng giác đê loại nghiệm phương trình : : 77

X

DANH MỤC CÁC sơ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ về quy trình mô hình hóa toán học theo Pollak (1970) 23

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quy trình MHH Toán học theo Swetz và Harder (1991) 24

Sơ đồ 1.3 Quy trình MHH của Bhirn 25

Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa Toán học của Lê Thị Hoài Châu (2014) 26

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ MHH của Lê Ngọc Sơn - Nguyễn Dương Hoàng (2020) 27

Sơ đồ 2 1 Sơ đồ tư duy về tính chất của một số hàm số lượng giác 54

xi

MỎ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Vai trò của môn Toán ở trường phổ thông

Môn Toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong chương trình giáo dục ở trường phổ thông Chương trình giáo dục phổ thông (2018) khẳng định:

“Môn Toán góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội đê học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiền; tạo lập sự kết nối giữa các ỷ tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giảo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoả học, Sinh học, Công nghệ, Tin học đê thực hiện giảo dục STEM" [3],

Môn Toán góp phần hình thành và phát triến cho học sinh năng lực toán học, bao gồm các năng lực cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ - phương tiện học toán

1.2 Vai trò của năng lực mô hình hóa Toán học trong việc phát triển tư duy

toán cho học sinh

Mô hình hóa Toán học là năng lực đặc thù quan trọng cần được chú trọng phát triển trong quá trình dạy và học Toán ở trường phổ thông

Phát triển các năng lực Toán học, đặc biệt là gắn Toán học với thực tiễn, là một trong các quan điểm xây dựng chương trình Giáo dục phổ thông mới 2018 của Việt Nam và cũng là xu thế giáo dục hiện đại cùa thế giới So với chương trình Giáo dục phổ thông 2006, nội dung các môn học chủ yếu truyền tải nội dung kiến thức, chương trình Giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng theo hướng phát triển năng lực của người học, giúp người học linh hoạt, sáng tạo trong việc

1

áp dụng kiên thức đã học vào giải quyêt các vân đê trong cuộc sông Chương trình môn Toán được xây dựng "đảm bảo tính tinh giản, thiết thực, hiện đại” [3] Trong

đó "đặc biệt chủ trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn hay các môn học, hoạt động giáo dục khác"'’ [3] Theo quan điểm trên, các bộ Sách giáo khoa môn Toán

đều có lồng ghép các bài toán mang tính thực tiễn vào trong mồi nội dung kiến thức Đe giải quyết các vấn đề trên, chúng tôi cho rằng việc nâng cao năng lực MHH Toán học cho học sinh là rất cần thiết

Mặt khác, việc dạy học theo hướng phát triển năng lực MHH cũng giúp người học phát triền các năng lực khác như: năng lực tư duy và lập luận Toán học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học, Đồng thời, việc này góp phần tạo hứng thú, động cơ thúc đấy người học thấy được nguồn gốc tự nhiên và nhiều ứng dụng thực tiễn của Toán học

1.3 Chủ đề Hàm so lượng giác - Phương trình lượng giác là nội dung tiềm

năng để phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh

Lượng giác được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, có thể kể đến như: thiên văn học, khoa học vũ trụ, điều hướng, đo đạc, xây dựng và thiết kế, quân sự, Thậm chí, lượng giác còn có mặt trong các ngành công nghiệp giải trí hiện đại như Âm nhạc giúp con người xử lí âm thanh theo ý muốn [19], Do các ứng dụng rộng rãi và to lớn của nó trong đời sống, khoa học và công nghệ mà lượng giác được nghiên cứu như một ngành Toán học Đây cũng là chủ đề thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học, nhà khoa học trên thế giới

Chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông là chủ đề nằm trong mạch kiến thức lượng giác từ lớp 9 đến lớp 11 Ở lớp 9, học sinh đã được biết về các tỉ số lượng giác của góc nhọn, biết giải thích

được một sô hệ thức vê cạnh và góc trong tam giác vuông Từ đó, áp dụng được vào các bài toán đơn giản gắn với tỉ số lượng giác của góc nhọn Ớ lớp 10, học

2

sinh được tìm hiểu về các hệ thức lượng trong tam giác, cách giải tam giác và mở rộng kiến thức từ việc nhận biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đến giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Đặc biệt, ở lớp 11, học sinh được học khái niệm

về các hàm số lượng giác Trong đó, nhiều tính chất của các hàm số này được khám phá thông qua MH là các đồ thị, bảng biểu Ngoài ra, do được tăng cường các bài toán thực tiễn, tích họp với các môn học khác nên đây cũng là nội dung tiềm năng để phát triển năng lực MHH cho học sinh

Năm học 2023 - 2024 là năm học đầu tiên triển khai chương trình lớp 11 ở cấp trung học phổ thông theo chương trình Giáo dục phổ thông 2018 Những thay đổi về nội dung chương trình và thời lượng dành cho các nội dung đã gây không

ít khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, đứng trước những đổi mới trong chương trình, tôi mong muốn có lí luận sâu sắc và quy trình dạy học rõ ràng giúp học sinh phát triển được các năng lực cần hình thành và phát triển, đặc biệt là năng lực MHH Toán học Với những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học chủ

đề Hàm số lượng giác — Phương trình lượng giác theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lóp 11

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH Toán học trong dạy học nội dung Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác cho học sinh lóp 11

3 Nhiệm vụ nghiên cún

- Nghiên cứu lí luận về MHH Toán học, năng lực MHH Toán học của học sinh THPT, vai trò của việc phát triển năng lực MHH Toán học trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018 và dạy học bằng MHH

3

- Nghiên cứu thực tiễn về vị trí, vai trò của chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác ở chương trình Toán lớp 11; thực trạng dạy học môn Toán cấp THPT nói chung và chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác lóp 11 nói riêng theo hướng MHH.

- Đề xuất một số biện pháp dạy học chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác theo hướng phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh

- Bước đầu thử nghiệm sư phạm minh họa tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Neu xác định được quy trình MHH và các thành tố cơ bản của năng lực MHH Toán học của học sinh và có các biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học thì

sẽ phát triến được năng lực MHH cho người học

5 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.7 Khách thể nghiên cứu

Dạy học nội dung Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác lớp 11 theo chương trình Giáo dục phổ thông 2018

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về phương pháp MHH trong dạy học Toán, việc vận dụng quy trình MHH vào nội dung Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác cho học sinh lóp 11 trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018

5.3 Phạm vỉ nghiên cứu:

Học sinh lớp 11 trường THPT Mỹ Hào, Thị xã Mỹ Hào, tính Hưng Yên.

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Thiết kế nghiên cún

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, đặc biệt về phát triển năng lực MHH cho học sinh THPT

4

- Phương pháp điêu tra, quan sát: điêu tra việc dạy và học toán ở trường THPT nói chung và việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực MHH cho học sinh nói riêng.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm sư phạm minh họa tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

- Phương pháp thống kê Toán học: phân tích các số liệu điều tra thực trạng

và số liệu thực nghiệm để rút ra kết luận

6.2 Công cụ nghiên cứu

- Thiết kế bảng hỏi cho giáo viên và học sinh

- Thiết kế bài kiểm tra kết quả học tập chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác của học sinh lóp 11

6.3 Thu thập và phân tích dữ liệu

- Thu thập số liệu

- Phân tích số liệu (định tính, định lượng)

7 Đóng góp của luận văn

- về lí luận: Trình bày một số vấn đề về lí luận có liên quan đến việc tồ chức hoạt động dạy học MHH Phân tích rõ các thành tố cơ bản của năng lực MHH Toán học với đối tượng là học sinh THPT

- về thực tiễn: Đề xuất được một số biện pháp giúp người học phát triển năng lực MHH Toán học khi học nội dung Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác theo chương trình Giáo dục phổ thông 2018

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung của luận văn được trình bày thành ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

5

Chương 2: Một sô biện pháp dạy học chủ đê Hàm sô lượng giác - Phương

trình lượng giác nhàm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh lớp

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

6

CHƯƠNG 1 CO SÒ LÝ LUẬN VÀ THỤC TIỄN CỦA VIỆC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIÉN NĂNG Lực MÔ HÌNH HÓA TOÁN

HỌC CHO HỌC SINH LỚP 11

1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cún

Eykhoff (1974) định nghĩa một mô hình toán học như một biếu diễn cho các phần quan trọng cũa một hệ thống có sẵn (hoặc sẳp hình thành) với mục đích biểu diễn tri thức về hệ thống đó dưới một dạng có thể dùng được [28] Theo Blum và Borromeo (2009), MHH Toán học là quá trình chuyển đổi giữa thế giới thực và toán học theo cà hai hướng [26] Chủ đề MHH đặc biệt quan trọng trong các kỳ thi mang cấp độ quốc tế như PISA để đánh giá sự thành công của học sinh trong môn Toán Cùng với sự phát triển như vũ bão về kinh tế và khoa học công nghệ, nhiệm vụ mang tri thức khoa học tiệm cận với đời sống thực tiễn đã trở thành mục tiêu hàng đầu của giáo dục Mặt khác, từ lâu MHH Toán học đã được coi là cầu nối giữa Toán học với thực tiễn Chính vì vậy sau nhiều năm được nghiên cứu, đây vẫn là đề tài thu hút các nhà Toán học, nhà Giáo dục học và người yêu khoa học trên toàn thế giới

Khái niệm MHH Toán học chính thức được đưa ra thảo luận trong Hội nghị Quốc tế về Giáo dục Toán học (ICME) lần thứ nhất năm 1969 Trong hội nghị này, nhiều vấn đề quan trọng về MHH được đưa ra thảo luận như: tại sao phải dạy toán mang tính thực tiễn? Tại sao nhiều học sinh có thành tích học tập tốt nhưng không thể giải quyết những vấn đề thực tế? cần dạy học Toán như thế nào giúp Học sinh áp dụng được Toán học vào các tình huống thực tế đơn giản? [34], Tiếp

đó, trong Hội nghị lần thứ 3 và 4, Aristides Camargo Barreto (Brazil) đã báo cáo

về việc sử dụng MHH Toán học trong lớp học của ông tại PUC - RI, Rio de Janeiro, Brazil [25], Năm 1976, Pollak công bố công trình nghiên cứu của mình

7

vê ảnh hưởng của Toán học lên các môn học khác ở trường học [31] Ong khăng định trách nhiệm to lớn của Toán học trong nhà trường là dạy cho học sinh cách

sứ dụng Toán học trong cuộc sống hàng ngày

Đặc biệt phải kể đến Hội nghị lần thứ 14 năm 2007 được tổ chức tại New York của Hội đồng quốc tế về giảng dạy Toán học ICMI với chủ đề “Mô hĩnh

hóa và ứng dụng trong giáo dục Toán học Ket quả Hội nghị đã cho thấy cái

nhìn khá toàn diện về việc cần thiết phải tăng cường MHH trong dạy học Toán, năng lực MHH Toán học, đánh giá các giai đoạn của quá trình MHH, áp dụng MHH trong nhà trường, áp dụng MHH trong chương trình đánh giá học sinh quốc

tế PISA, [33]

Gần đây nhất, hội nghị ICME-14 tổ chức tại Thượng Hải - Trung Quốc năm

2021 đã công bố nhiều nghiên cứu chuyên sâu về MHH TSG #22 do các tác giã

G Greefrath ( Đại học Muenster - Đức) và s Careira (Đại học Algarve và UIDEF, Viện Giáo dục, Đại học Lisbon - Bồ Đào Nha) đã trình bày chủ đề về việc giảng dạy MHH Toán học, giáo dục giáo viên, các quy trình và năng lực MHH của học sinh phố thông và đại học Các hướng nghiên cứu trong tương lai

dự kiến sẽ xem xét việc xây dựng lí thuyết, nghiên cứu thực nghiệm, bao gồm việc phát triển các công cụ nghiên cứu tiêu chuẩn hóa và việc sử dụng công nghệ

Cũng trong hội nghị, nhiều kết quả khảo sát về dạy học MHH cũng được công bố Đáng chú ý trong đó là kết quả do Survey Team 4 trình bày Nội dung chủ yếu tập trung vào việc làm rõ mối quan hệ giữa Toán học và thế giới thực làm nền tảng cho các vấn đề liên ngành, tính liên ngành trong các nhóm nghiên cứu và giảng dạy, cac vấn đề thách thức trong mối quan hệ giữa mô hình Toán học - Toán học - thế giới thực - vấn đề liên ngành Đặc biệt, khảo sát cũng chỉ

rõ cần đảm bảo chiều sâu Toán học trong tích họp STEM Trước đó năm 1989,

8

D’Ambrosio đề xuất rằng MHH Toán học chính là sợi chỉ liên kết các môn học riêng lẻ với nhau để thúc đấy tích hợp chương trình giảng dạy.

Như vậy, nhiều công trình nghiên cứu trên thế giới đều đã khẳng định về mối liên hệ chặt chẽ giữa Toán học và thực tiễn, giữa Toán học với các khoa học khác,

là một phần quan trọng để chỉ ra việc cần thiết phải dạy học MHH cho học sinh Đồng thời, cho thấy cái nhìn đa chiều về MHH, trong đó bao gồm định nghĩa về năng lực MHH Toán học, các thành tố của năng lực MHH Toán học, quy trình MHH Toán học và việc áp dụng vào dạy hoc bộ môn Toán Đây cũng chính là các

cơ sờ quan trọng đế chúng tôi đề xuất các biện pháp trình bày trong Luận văn

Tại Việt Nam, MHH Toán học đã bước đầu nhận được sự quan tâm, nghiên cứu và phát triển của nhiều nhà Giáo dục Các công trình nghiên cứu chủ yếu tập trung vào việc làm cách nào để đưa MHH vào quá trinh dạy học một cách hợp lí

và hiệu quả

Tác giả Nguyễn Thị Tân An trong bài “Sự cần thiết của mô hĩnh hóa trong

dạy học Toán ” (2012) [1] đã trinh bày các khái niệm cơ bản liên quan đến MHH

cũng như nhiều ý nghĩa thiết thực của hoạt động MHH trong dạy học Toán Đồng thời, chỉ ra các yếu tố cơ bản cúa quá trình MHH và minh họa cho các yếu tố đó

Bàn về phương pháp MHH trong dạy học môn toán, trong cuốn “Giáo dục

Thanh Hải - Nguyễn Chí Thành “giúp người giáo viên chuẩn bị kĩ hơn về kể hoạch dạy học, biết cách phát triển chương trình dạy học đáp ứng mục tiêu phát triển năng lực, dự đoản những khó khăn của học sinh và thiết kể dạy học bằng MHH toán học’’ [16].

Tác giả Nguyễn Danh Nam cũng có bài “Quy trình mô hình hóa trong dạy

hiếu sâu hơn các kiến thức toán học, hình dung được mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn, có được động cơ đúng đắn trong việc sử dụng các kiến thức trong

9

sách giáo khoa để giải quyết các vấn đề thực tiễn Bài báo cũng khẳng định tính khả thi của việc áp dụng MHH trong dạy học toán, góp phần to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học và năng lực giải quyết vấn đề.

Nhóm tác giả Lê Ngọc Sơn - Nguyễn Dương Hoàng trong “Một so vẩn đề

về lí luận và thực hành dạy học môn Toán ” [22] đã tống kết một cách cô đọng các

vấn đề bản chất về MHH toán học, phân tích sâu sắc các quy trình MHH trong dạy học Toán trong nhà trường

Các công trình nghiên cứu nối bật khác như luận án tiến sĩ “Bồi dưỡng năng

lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học phô thông trong dạy học đại sỏ ”

của tác giả Lê Hông Quang (2020) [20], "phát triên năng lực mô hình hóa cho Học sinh trong dạy học hàm sổ ở lớp 10 trung học phổ thông” của nhóm tác giả

Cao Thị Hà - Nguyễn Xuân Dung (2023) [8], tác giả Bùi Huy Ngọc (2003) [18]

CÓ nghiên cứu "Tăng cường khai thác nội dung thực tê trong dạy học sô học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng Toán học vào thực tiền cho học sinh Trung học cơ sở”, tác giả Phan Anh Tuyến (2020) [23] có nghiên cứu "Thực

10

(2002), nhà tâm lý học người Pháp cho răng: “năng lực là khả năng hành động,

đạt được thành công vù chứng minh sự tiến bộ nhờ vào khả năng huy động và sử dụng hiệu quả nhiều nguồn lực tích hợp của cá nhân khỉ giải quyết các vấn đề của cuộc sống" [45] Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD (2003) [40] cho

rằng “năng lực là khả năng cả nhãn đáp ứng yêu cầu phức họp và thực hiện thành

công nhiệm vụ trong bối cảnh cụ thê " Khái niệm này được gần 100 quốc gia trên thế giới sử dụng để đánh giá năng lực của học sinh, trong đó có Việt Nam

Từ điển Tiếng Việt giải thích: “năng lực là khả năng làm việc tốt, nhờ có

phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn " Nhóm tác già tác giả Nguyễn Quang

Uẩn [24], cho rằng “năng lực " là tống hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân

phù họp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy Năng lực được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn

đề cụ thể

Như vậy, có thể hiểu một cách khái quát: năng lực là tổng hòa của kiến thức,

kì năng, thái độ và các yếu tố tự nhiên của mồi cá nhân đảm bảo cho cá nhân đó thực hiện tốt một nhiệm vụ cụ thể trong một bối cảnh xác định Năng lực không chỉ tiềm ẩn dưới dạng khả năng mà phải thể hiện được dưới dạng hoạt động

Có thể chia năng lực thành hai nhóm là năng lực chung và năng lực đặc thù

Năng lực chung là các năng lực thiết yếu, cơ bản, cần có mà bất kỳ cá nhân nào cũng sử dụng trong quá trình sống, học tập và làm việc Các hoạt động giáo dục với các khả năng và cách thức khác nhau nhưng đều hướng tới hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực chung Năng lực đặc thù môn học là năng lực được hình thành và phát triển do đặc thù, ưu thế mà môn học mang lại Một năng lực chung nào đó cũng có thể trở thành năng lực đặc thù của một môn học

12

1.2.1.2 Năng lực Toán học

Theo tác giả Trân Luận, câu trúc năng lực và khái niệm năng lực Toán học nên được giãi thích dựa trên hai phương diện Một là khả năng sáng tạo khoa học, chính là việc mà cá nhân, dựa trên khả năng Toán học, sáng tạo được ra kêt quả hay thành tựu gì có ý nghĩa với khoa học, với loài người Hai là khả năng học tập, lĩnh hội các kiến thức toán học và đạt được các kiến thức, kĩ năng toán học nhất định

Theo Niss (2004) [39], năng lực toán học có nghĩa là khả năng hiêu toán, phán đoán, làm và sử dụng toán học trong một loạt các bối cảnh và tình huống trong toán và ngoài môn Toán, trong đó, kiên thức toán học đóng một vai trò quan trọng

Còn theo nhóm tác giả Lê Ngọc Sơn - Nguyên Dương Hoàng (2020) [22]thì “năng lực toán học là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bôi cảnh nhất định nhờ sự huy động tông hợp các kiến thức, kĩ năng về môn Toán và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, ”, Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sử dụng khái niệm “năng lực toán học” dựa theo quan diêm này

Chương trình tông thê vê giáo dục trung học phô thông do Bộ giáo dục và Đào tạo Việt Nam ban hành (2018) đã xác định các yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù môn Toán cho học sinh gồm năm thành phần cốt lõi là: năng lực tư duy

và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiêp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học [3]

1.2.2 Năng lực mô hình hóa Toán học

1.2.2.1 Mô hình và mô hình hóa

Có nhiêu quan diêm khác nhau vê MH Theo Swetz và Hartzler (1991) [44],

MH là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách

13

vận hành của một sự vật hiện tượng, một hệ thông hay một khái niệm Niss (1991) [39] đưa ra quan niệm cho rằng MH thực của một tình huống thực tế là tình huống thực tế sau khi đã được đon giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào

đó của tình huống thực tế ban đầu

Như vậy, MH có thể coi là đại diện thay thế mà có các đặc điểm cốt lõi của đối tượng thực Dựa trên MH ta có thể thao tác, khám phá các thuộc tính của đối tượng thực mà không cần làm việc trực tiếp trên đối tượng thực đó MHH chính

là quá trình chuyển đổi từ các vấn đề thực tể thành các MH và giải quyết các vấn

đề đó

Thực tế là ý tưởng về việc sử dụng MHH trong dạy học đã xuất hiện từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước bởi Aristides c Barreto Ông quan niệm rằng MHH là chính quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó MHH trong giáo dục thường được tiếp cận theo hai hướng: MHH như một phương pháp dạy học giúp học sinh hiểu khái niệm của vấn đề, nhận diện, thiết lập và thao tác được mô hình từ vấn đề thực tiễn; và MHH như một phương pháp nghiên cứu khoa học giúp Học sinh biết cách nghiên cứu các vấn đề khác nhau

từ các lĩnh vực khác nhau dựa trên MHH MHH vừa là công cụ, vừa là môi trường

để học sinh lĩnh hội, khám phá các kiến thức Toán học cũng như các kiến thức của các môn học khác

1.2.2.2 Mô hình toán học và mô hình hóa toán học

Các MH toán học đã được sử dụng từ lâu và gắn liền với lịch sử toán học Các tác giả trong báo cáo GAIMME định nghĩa MH toán học là một quá trình có

sử dụng toán học để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đoán hoặc cung cấp cái nhìn sâu sắc vào các hiện tượng thực tế (GAIMME 2016) Tác giả Lê Hồng Quang

14

(2020) [20] cho răng MH toán học bao gôm các đôi tượng và môi liên hệ của chúng thông qua ngôn ngữ toán học Như vậy, có thể hiểu đơn giản MH toán học

là hình thức biểu diễn của một vấn đề thực tiễn cụ thể bằng các đối tượng toán học và ngôn ngữ toán học

Theo Blum và Borromeo (2009) [26], MHH Toán học là quá trình chuyển đối giữa thế giới thực và toán học theo cả hai hướng Haines và Crouch (2007) cho rằng MHH toán học như một quá trình tuần hoàn, trong đó các vấn đề thực

tế được dịch sang ngôn ngữ toán học, được thể hiện thông qua một hệ thống ký hiệu; và các giải pháp sau đó được đề xuất và thử nghiệm Verschaffel, Greer và

De Corte (2002) lập luận thêm rằng MHH toán học là một quá trình trong đó các vấn đề thực tế và mối quan hệ giữa các vấn đề này được thể hiện bằng ngôn ngữ toán học

ở Việt Nam, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) [5] cho rằng “quá trình MHH

toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vẩn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề bằng ngôn ngữ toán học trong mô hình đó, rồi kiêm tra và đánh giá kết quá trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thê chấp nhận Tác giả Cao Thị Hà và Nguyễn Xuân Dung (2023) [8] quan niệm

rằng MHH Toán học là việc sử dụng các công cụ Toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ Toán học, đưa bài toán thực tiễn thành bài toán Toán học phù hợp

Trong khuôn khố luận văn và dưới góc nhìn để phù hợp với công việc giảng dạy môn Toán trong nhà trường phổ thông, chúng tôi nhất trí với quan niệm của nhóm tác giả Cao Thị Hà - Nguyễn Xuân Dung

15

1.2.2.3 Năng lực mô hình hóa toán học

Được coi là một trong năm thành phần cốt lõi của năng lực Toán học, trang

bị và bồi dưỡng cho học sinh năng lực MHH Toán học cũng chính là mục tiêu hướng đến của các nhà sư phạm Sau đây, ta xem xét một vài quan điểm về năng lực này:

Theo Jensen và cộng sự (2007), “năng lực mô hình hóa là khả năng thực

hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước ” Maab (2006) [38] định nghĩa “năng lực mô hĩnh hóa bao gồm các kĩ năng

và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định ”

Một cách cụ thể hơn, Niss (2007) [39] cho rằng năng lực MHH Toán học là khả năng nhận diện được câu hòi có liên quan, các biến, các mối quan hệ hoặc các giả định về một tình huống thực tế rồi dần dắt vào Toán học để giải thích và kích hoạt các giải pháp, ờ Việt Nam, các tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014), Nguyễn Danh Nam (2015) coi năng lực MHH Toán học như khả năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, chính là khả năng chuyển đối một tình huống thực tiễn sang một tình huống Toán học và giải quyết tình huống đã đặt ra [5] [15]

Nhiều tác giả cũng lập luận rằng năng lực MHH Toán học không phát triển một cách độc lập khỏi các năng lực Toán học hoặc các năng lực chung khác, mà

có mối liên hệ với các năng lực đó, thậm chí là các lĩnh vực khác nhau trong xã hội

Các tác giả cũng đồng quan điểm khi cho rằng các thành tố chủ yếu của năng lực MHH Toán học của học sinh THPT bao gồm: năng lực nhận diện tình huống toán học từ tình huống thực tiễn, năng lực định hướng đến các yếu tố bản chất của tình huống, năng lực sử dụng ngôn ngừ tự nhiên và ngôn ngữ Toán

16

học, năng lực thiêt kê mô hình toán học, năng lực làm việc với mô hình toán học

và năng lực kiểm tra - đánh giá - điều chỉnh mô hình

1.2.3 Ỷ nghĩa của việc dạy học mô hình hóa và phát triển năng lực mô hình

hóa Toán học cho học sinh

Theo quan điểm duy vật biện chứng, “phát triển’’ là một quá trình tiến lên

từ thấp đến cao Quá trình đó diễn ra dần dần, nhảy vọt đưa tới sự ra đời của cái mới thay thế cái cũ, không phải lúc nào sự phát triển cũng diễn ra theo đường thẳng, mà rất quanh co, phức tạp, thậm chí có những bước lùi tạm thời Sự phát triển là kết quả của quá trình thay đổi dần dần về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất, là quá trình diễn ra theo đường xoáy ốc và hết mỗi chu kì sự vật lặp lại dường như sự vật ban đầu nhưng ở cấp độ cao hơn Quan điểm biện chứng cũng khẳng định nguồn gốc cùa sự phát triển nằm trong bản thân sự vật Phát triển cũng là quá trình phát sinh và giải quyết mâu thuần khách quan vốn có của sự vật, hiện tượng; là quá trình thống nhất giữa phủ định các nhân tố tiêu cực và

kế thừa, nâng cao nhân tố tích cực từ sự vật, hiện tượng cũ trong hình thái cùa

sự vật, hiện tượng mới

Trong giáo dục, việc phát triển năng lực Toán học cho học sinh có thể hiểu

là việc tổ chức hoạt động học nhằm tạo môi trường thích họp để học sinh vận dụng các kiến thức, kĩ năng Toán học vào giải quyết một nhiệm vụ cụ thể, từ đó biểu hiện và nâng cao năng lực Toán học mà người dạy hướng đến ở người học

Như vậy, có thể hiểu việc phát triển năng lực MHH Toán học cho học sinh chính là quá trình tổ chức các hoạt động học để học sinh áp dụng các kiến thức,

kĩ năng của môn Toán nhàm thực hiện tốt quy trình MHH để giải quyết một nhiệm vụ cụ thể • • •

Việc phát triển năng lực MHH Toán học cho học sinh trong nhà trường có

ý nghĩa quan trọng trong việc dạy và học Toán, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay Các nguyên nhân chính để chúng tôi khẳng định điều này là:

nhận thức sâu sắc về mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn Từ đó, tạo động

cơ đúng đắn và tăng cường hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập

17

Thứ hai, nâng cao năng lực MHH Toán học cho học sinh đông thời giúp học sinh nâng cao được các năng lực Toán học khác, đặc biệt là năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp Toán học (thông qua việc sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu Toán học), năng lực sử dụng công cụ - phương tiện học Toán Trong quá trình giải bài toán, học sinh đồng thời được rèn luyện các thao tác tư duy quan trọng như phân tích, tống hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.

tốt để triển khai các dự án học tập, tạo tình huống có vấn đề trong dạy học, tăng cường hợp tác trong giờ học và thúc đẩy đồi mới các phương pháp dạy học

Thứ tư, MHH Toán học tạo điều kiện tốt để tăng cường tính tích hợp, liên môn trong dạy học, làm sáng tò ý nghĩa thực tiễn cùa Toán học

Ví dụ 1.1: Bài tập 4, Bài 41 - Phép chia, Sách giáo khoa Toán 2, Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 2, trang 17

o Chia 20 kg gạo vào các túi mỗi

túi 5 kg Hỏi đươc bao nhiêu túỉ

gạo như vây?

Hình vẽ ỉ.ỉ: Bài tập 4, Bài 4ỉ - Phép chia, Toán 2

Trong chương trình Toán tiểu học, để phù hợp với tư duy trực quan của học sinh, rất nhiều các bài toán được thiết kế có lồng ghép các yếu tố thực tế cùng với hình ảnh sinh động, ngôn ngữ tự nhiên, dễ hiểu Ở ví dụ nêu trên, tình huống thực tiễn là chia đều 20 kg gạo vào các túi sao cho mồi túi có 5kg gạo Nhờ năng lực MHH, học sinh liên hệ được kiến thức liên quan là “phép chia”

và xây dựng được mô hình là phép chia 20 : 5, kết hợp năng lực tính toán đưa

ra được kết quả bằng 4 và liên hệ với tình huống ban đầu để kết luận: chia được

4 túi gạo như vậy Bài tập được thiết kế như trên làm kiến thức Toán học trở nên đơn giản, gần gũi, thiết thực, tăng hứng thú cho học sinh Sau quá trình giải bài tập, học sinh có thêm kiến thức và kĩ năng để giải quyết các vấn đề tính toán

18

đơn giản trong cuộc sông.

Ví dụ 1.2: Gàu xúc của một xe xúc có dạng gần như một hình lăng trụ đứng

tam giác với kích thước đã cho trong hình Để xúc hết 40m3cát, xe phải xúc ít nhất bao nhiêu gàu?

Hình vẽ 1.2: Mô hình toán học của một gàu xúc

(Nguồn: SGK Toán 7 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 61)Trong ví dụ 1.2, tình huống thực tiễn liên quan đến việc xác định thể tích một vật thể thường gặp Từ đó tính số lần để xe xúc hết lượng cát nhất định

Bài toán trên giúp học sinh thấy được lợi ích thực tiễn của việc học Toán,

từ đó tăng cường hứng thú cho học sinh và bước đầu giúp học sinh có định hướng nghề nghiệp nhất định Trong quá trình giải bài tập, học sinh phát triến nhiều năng lưc quan trọng: năng lực MHH Toán học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán Đồng thời, khi dạy học bằng MHH, giáo viên

có cơ hội tổ chức nhiều phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực như phương pháp thảo luận nhóm, phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp vấn đáp, kĩ thuật công não, kĩ thuật nhóm cặp đôi,

Ví dụ 1.3: Một viên bi rơi từ độ cao 19,6m xuống mặt đất Độ cao h (mét)

so với mặt đất của viên bitrong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: /1 = 19,6-4,9r;h,t>0

a) Hỏi sau bao nhiêu giây kế từ khi rơi viên bi chạm đất?

b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h

(Nguồn: SGK Toán 10 tập 2, Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 2, trang 12)

Ví dụ 3 đã cho thấy rõ ràng mối liên hệ giữa Toán học với các môn học

19

khác (Vật lí), làm nôi bật vai trò công cụ của Toán học Quá trình dạy học bài toán trên giúp học sinh nhận ra tính phố biến của hàm số, không chỉ ờ những con số Toán học với hai ẩn X, y thường gặp mà ta còn bắt gặp hàm số giữa những đối tượng thực tiễn như độ cao viên bi với thời gian rơi cùa nó và được biểu thị bằng các chữ mới, ẩn mới Đe giải quyết tốt tất cả các yêu cầu trên không thể thiếu vai trò của MHH.

1.3 Thành tố năng lực mô hình hóa Toán học

Sau đây, dựa vào quan điểm của các nhà nghiên cứu ở trên, chúng tôi tống hợp thành sáu năng lực thành phần của năng lực MHH Toán học:

- Năng lực nhận diện tình huống chứa đựng mô hình Toán học từ bối cảnh thực tiễn: Đây là năng lực đầu tiên cần có ở người thực hiện quá trình MHH, cũng là năng lực cần hướng đến ở học sinh trong dạy học MHH Biểu hiện cụ thể của năng lực này là học sinh có khả năng quan sát tình huống thực tiễn; phân tích, đánh giá tình huống kết hợp với trí tưởng tượng, tư duy Toán học để chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang tình huống Toán học, dự đoán được các kết quả xảy ra đối với tình huống

- Năng lực định hướng đến các yếu to cốt lõi của tình huống: Năng lực này

cho phép người thực hiện loại bỏ được những dấu yếu tố không bản chất, giữ lại được các yếu tố bản chất của tình huống Đồng thời nhận ra mối quan hệ giữa các yếu tố đó

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Năng lực này thể hiện ở việc người thực hiện

có kĩ năng thành thạo trong việc chuyến đối từ ngôn ngữ tự nhiên (trong tình huống thực tiễn) sang ngôn ngừ Toán học (chuyển đổi từ bài toán thực tiễn thành bài toán Toán học) và chuyển từ kết quả Toán học về ngôn ngữ tự nhiên (tình huống thực tiễn ban đàu)

thể hiện ở việc học sinh thể hiện được mối liên hệ giữa các yếu tố cốt lõi của tình huống thực tiễn bằng các MH Toán học như biểu thức chứa biến, mệnh đề Toán học, phương trình, bất phương trình, đồ thị, bảng biểu, Năng lực này còn thế hiện ở việc học sinh có khả năng khái quát hóa các vấn đề thực tiễn cụ

20

thể thành các vấn đề Toán học.

- Năng lực làm việc trên mô hĩnh Toán học: Năng lực này thể hiện ở việc học sinh huy động các kiến thức, kĩ năng đã học để giải quyết tốt bài toán trên MH; học sinh dựa vào lời giải của bài toán nêu ra được kết quả của MH; học sinh sáng tạo trên MH theo ý muốn cá nhân và phỏng đoán các tình huống thực tiễn trên MH

- Năng lực kiểm tra, đảnh giá, cải tiến mô hình: Biểu hiện cụ thể của năng

lực này là học sinh có khả năng kiểm tra kết quả, đánh giá được hiệu quả của

MH, từ đó cài tiến để phù hợp hơn với thực tiễn hoặc tìm ra được MH tối ưu

Đe cụ thể hóa yêu cầu về mức độ và biểu hiện của năng lực MHH Toán học với từng cấp học, Bộ Giáo dục đã chỉ rõ trong bảng tồng hợp sau:

Sừ dụng được các mô hình (gồm công thức,

sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương

trình, hình biểu

1 • A \ -Ị /\

diên, ) đê mô

tả tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn không quá phức tạp

Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ

đồ, hình vẽ, bảng biểu,

đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một

số bài toán thực tiễn

toán học trong

mô hình được thiết lập

Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa, ) để đưa đến được những bài toán giải được

Bảng ỉ ỉ: Bảng yêu câu cân đạt vê năng lực mô hình hóa Toán học ở học sinh

1.4 Dạy học Toán bằng mô hình hóa

Mục tiêu quan trọng của môn Toán chính là cung cấp cho học sinh các tri thức Toán học, đồng thời giúp học sinh biết cách sửa dụng các tri thức này vào giải quyết các vấn đề thực tiễn Để làm được điều đó, tất yếu phải xây dựng được

MH toán học từ thực tiễn

Việc dạy học Toán có định hướng sử dụng các yếu tố thực tiễn (hoặc bắt nguồn từ thực tiễn) làm nảy sinh hai xu hướng:

Một là, người dạy cung cấp tri thức Toán học sẵn cho người học, người học

sử dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn, làm xuất hiện mô hình Toán học Cách thức dạy học này được gọi là dạy học mô hình hóa Dạy học mô hình

22

hóa tuy giúp học sinh giải quyết được các vấn đề thực tiền nhưng làm mất đi ý nghĩa về động cơ, nguồn gốc của Toán học.

Hai là, người dạy xuất phát từ bài toán thực tiễn, bằng các gợi ý hướng người học đến việc xây dựng một mô hình Toán học Việc giải quyết vấn đề dựa trên mô hình làm xuất hiện câu trả lời cho bài toán thực tiễn, đồng thời củng cố tri thức toán để giải quyết các vấn đề thực tiễn tương tự khác Cách thức dạy học

này được gọi là dạy học hằng mô hình hóa Dạy học bằng mô hình hóa đã cho

thấy rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học, cho thấy tri thức Toán nảy sinh từ thực tiễn và quay lại giải quyết các vấn đề thực tiễn

Trong khuôn khổ của Luận văn, chúng tôi dùng quan điểm dạy học bằng MHH để trình bày các vấn đề tiếp theo

1.5 Quy trình mô hình hóa Toán học

Là một trong các chủ đề trọng tâm của giáo dục trong suốt vài thập kĩ qua, MHH ngày càng được áp dụng sâu rộng trong dạy học và nghiên cứu khoa học

Do đó, quy trình MHH như thế nào để vừa cụ thể, dễ thực hiện lại không mất tính tổng quát của nó cũng trở thành vấn đề quan tâm hàng đầu của các nhà giáo dục

Quy trình đầu tiên về sự chuyển đổi giữa Toán học và thế giới thực được

H o Pollak đưa ra năm 1970 141]:

Sơ đô 1.1 Sơ đô vê quy trình mô hình hóa toán học theo Pollak (1970)

Từ sơ đồ trên có thể thấy một cách khái quát mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn Tuy nhiên, quy trình trên chưa cho thấy được cụ thể các thao tác quan

23

trọng cần có để chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang bài toán Toán học.

Nhằm cụ thể hóa quy trình trên, năm 1991, Swetz và Hartler [44] đã đưa ra quy trình bốn giai đoạn để mô hình hóa một bài toán thực tiễn Có thể mô tả bằng sơ đồ sau:

Sơ đô 1.2 Sơ đô quy trĩnh MHH Toán học theo Swetz và Harder (1991)

Trong đó:

Giai đoạn 1: Xây dựng mô hình Có thể nói đây là giai đoạn rất quan trọng

trong quá trình MHH Trong giai đoạn này người thực hiện tập trung nghiên cứu tình huống thực tiễn, nhận ra các yếu tố bản chất của tình huống, lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các đối tượng, sử dụng ngôn ngữ Toán học và trí tưởng tượng hoặc kiến thức Toán học để thiết lập MH phù họp

Giai đoạn 2: Nghiên cứu mô hình Toán học Ở giai đoạn này, người thực

hiện nghiên cứu MH đã xây dựng ở trên bằng các phương pháp nghiên cứu lí thuyết và thực nghiệm MH được xem xét về mức độ phù họp với tình huống thực tiễn và đưa đến giai đoạn tiếp theo

Giai đoạn 3: Xử lí kết quả Người thực hiên vận dụng các phương pháp và

công cụ Toán học phù hợp để giải quyết MH Toán học, sau đó đối chiếu MH với thực tiễn và rút ra kết luận để trả lời cho tình huống thực tiễn

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả và điều chinh mô hình Từ kết quả thu được

24

_ _ ~ _ 9 A z ->

dựa trên nghiên cứu MH toán học, ta chuyên vê đôi tượng nghiên cứu ban đâu,

từ đó điều chỉnh MH để phù hợp với đối tượng

Càng về sau các quy trình được đưa ra càng cụ thể các thao tác nhằm giúp người dạy và người học dễ thực hiện quá trình MHH Sau đây, ta cùng xem quy trình MHH gồm bảy bước của Blum (2005):

Tinh IkUÓnư

dìirc lè

loán hoc

Sơ đô 1.3 Quy trĩnh MHH của Bỉum

thực của tình huống

Bước 4: Làm việc trong môi trường Toán học để đạt kết quả Toán học.

Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế

Bước 6: Xét tính phù hợp của kết quả Nếu phù hợp, đi đến bước 7 Nếu không phù hợp, thực hiện lại quy trình

Bước 7: Trình bày cách giải quyết.

Ờ Việt Nam, nhằm mô tà chi tiết quy trình MHH để áp dụng trong dạy và học Toán, dựa theo lí thuyết của Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu đã đưa ra sơ đồ sau:

25

MỎ HÌNH THỰC TIỂ N PHẠM VI NGOÀI TOÁN HỌC

Sơ đô ì.4 Quy trình mô hình hóa Toán học của Lê Thị Hoài Châu (20ỉ4)

(Nguồn: Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, số 65 năm 2014)

Bước 1 Xây dựng MH phỏng thực tiễn của vấn đề: xác định các yếu tố có

ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật, mối liên hệ giữa các đối tượng

Bước 2 Xây dựng MH toán học cho vấn đề: diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho MH phỏng thực tiễn Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể

có nhiều MH toán học khác nhau, tùy theo chồ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng

Bước 3. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai

Bước 4 Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được: xác định mức độ• < 1 • • •

phù hợp của MH và kết quả tính toán với vấn đề thực tế Nếu kết quả không thể chấp nhận được thì phải lặp lại quá trình để tìm câu trà lời phù hợp cho bài toán ban đầu

về việc tổ chức hoạt động MHH trong dạy học Toán, nhóm tác giả Lê Ngọc Sơn - Nguyễn Dương Hoàng [22] đưa ra bảy bước thực hiện, thể hiện qua sơ đồ sau:

cho bải toán toán hoc

26

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ MHH của Lê Ngọc Sơn — Nguyễn Dương Hoàng (2020)

Theo Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp MHH trong dạy học môn

Toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học Thái Nguyên, quy trình dạy học bằng

MHH được tiến hành theo các bước sau đây:

Bước 1: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn.

Bước 3: Trả lời cho bài toán thực tiễn

Bước 4: Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định

27

hình vẽ, đô thị, phương trình,

Giải Toán: người thực hiện quá trình MHH làm việc trong môi trường Toán học, huy động các kiến thức, kĩ năng Toán học đề giải bài toán Toán học Kết quả nhận được là kết quả Toán học

Chuyên đôi: xem xét kết quả Toán học trong ngữ cảnh của tình huống thực

tế ban đầu

Phản ánh: xem lại các giả thuyết và các hạn chế của MH, các phương pháp cũng như công cụ để giải quyết vấn đề Điều này dẫn đến một sự cải tiến trong

MH, trong lời giải hoặc tạo ra MH mới nếu cần thiết

Nhận thấy các bước mà các tác già đưa ra đều chứa đựng các giai đoạn và yếu tố cốt lõi của vấn đề MHH và xem xét về điều kiện thời gian khi lên lớp, trong khuôn khố của Luận văn này, chúng tôi chủ yếu sử dụng sơ đồ quy trình MHH Toán học theo Swetz và Harder để phân tích một số ví dụ điển hình

1.6 Nội dung chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác trong

chương trình Giáo dục phố thông môn Toán 2018 và tiềm năng dạy học

mô hình hóa

1.6.1 Nội dung chủ đề Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác trong

chương trình Giáo dục phổ thông 2018

Giữ nguyên quan điểm trên, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (BGD, 2018) xây dựng nội dung dạy học chủ đề hàm số được tồng họp trong bàng 1.2 sau:

Lóp

9

Hệ thức lượng trong tam giác

vuông

- Nhận biết được các giá trị sin (sine), côsin (cosine),

tang (tangent), côtang (cotangent) của góc nhọn.

- Giải thích được tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt (góc 30°, 45°, 60°) và của hai góc phụ nhau

- Tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) tỉ sổ lượng giác của góc nhọn bằng máy tính cầm tay

- Giải thích được một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (cạnh góc vuông bàng cạnh huyền

28

nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề).

- Giãi quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với tỉ số lượng giác của góc nhọn (ví dụ: Tính độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc và áp dụng giải tam giác vuông, )

Lớp

10

Hệ thức lượng trong tam giác

- Nhận biết được giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

- Tính được giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° bằng máy tính cầm tay

- Giải thích được hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau

- Giải thích được các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác: định lí côsin, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác

- Mô tả được cách giải tam giác và vận dụng được vào việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp, )

Lớp

11

Góc lượng giác Đường tròn lượng

giác Giá trị lượng giác của góc

lượng giác,

- Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác: khái niệm góc lượng giác; số đo cùa góc lượng giác; hệ thức Chasles cho các góc lượng giác; đường tròn lượng giác

- Nhận biết được khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác

29