BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH/ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRƯỜNG ĐHQG-ĐH BK TP.HCM VỀ CHỦ ĐỀ KINH TẾ VÀ QUẢN LÝ
Giới thiệu
Quy hoạch tuyến tính là một kỹ thuật giúp trong việc quyết định phân bổ nguồn lực Nhiều quyết định quản lý liên quan đến việc cố gắng sử dụng hiệu quả nhất nguồn lực của tổ chức Nguồn lực thường bao gồm máy móc, lao động, tiền bạc, thời gian, không gian kho, và nguyên liệu thô Những nguồn lực này có thể được sử dụng để sản xuất sản phẩm (như máy móc, đồ nội thất, thực phẩm hoặc quần áo) hoặc dịch vụ (như lịch trình cho hàng không hoặc chính sách quảng cáo hoặc quyết định đầu tư) Quy hoạch tuyến tính (LP) là một kỹ thuật mô hình hóa toán học được sử dụng rộng rãi nhằm giúp các nhà quản lý trong việc lập kế hoạch và ra quyết định liên quan đến phân bổ nguồn lực
Trong thế giới của khoa học quản lý, lập trình liên quan đến việc mô hình hóa và giải quyết vấn đề theo cách toán học Lập trình máy tính đã đóng một vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy và sử dụng LP Các vấn đề LP trong thực tế quá phức tạp để giải quyết bằng tay hoặc bằng máy tính.
Yêu cầu của bài toán quy hoạch tuyến tính
Tất cả các vấn đề đều tìm cách tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa một số lượng, thường là lợi nhuận hoặc chi phí Mục tiêu chính của một nhà sản xuất thông thường là tối đa hóa lợi nhuận Trong trường hợp của một hệ thống phân phối xe tải hoặc đường sắt, mục tiêu có thể là tối thiểu hóa chi phí vận chuyển Dù sao đi nữa, mục tiêu này phải được nêu rõ và định rõ một cách toán học Không quan trọng lợi nhuận được hưởng bởi ai hoặc chi phí được đo lường bằng cent, đô la, hay triệu đô la.
Tính chất thứ hai mà các vấn đề LP đều có chung là sự hiện diện của các hạn chế, hoặc ràng buộc, giới hạn mức độ mà chúng ta có thể theo đuổi mục tiêu của mình Ví dụ, khi quyết định sản xuất bao nhiêu đơn vị cho mỗi sản phẩm trong dòng sản phẩm của công ty, chúng ta bị giới hạn bởi nhân viên và máy móc có sẵn Việc lựa chọn chính sách quảng cáo hoặc danh mục đầu tư tài chính bị giới hạn bởi số tiền có sẵn để chi tiêu hoặc đầu tư Do đó, chúng ta muốn tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa một lượng (hàm mục tiêu) phụ thuộc vào nguồn lực giới hạn (các ràng buộc).
Mục tiêu và ràng buộc trong các vấn đề LP phải được biểu thị dưới dạng các phương trình hoặc bất đẳng thức tuyến tính Mối quan hệ toán học tuyến tính chỉ đơn giản là tất cả các thuật ngữ được sử dụng trong hàm mục tiêu và ràng buộc đều ở mức độ đầu tiên (tức là, không được bình phương, hoặc lên mũ ba hoặc cao hơn, hoặc xuất hiện nhiều hơn một lần) Do đó, phương trình 2A + 5B = 10 là một hàm tuyến tính chấp nhận được, trong khi phương trình 2A 2 + 5B 3 + 3AB = 10 không phải là tuyến tính vì biến A được bình phương, biến B được lập phương, và hai biến xuất hiện lại dưới dạng tích của nhau.
Thuật ngữ tuyến tính ngụ ý cả tỷ lệ và tính cộng Tính tỷ lệ có nghĩa là nếu sản xuất 1 đơn vị của một sản phẩm mất 3 giờ, thì sản xuất 10 đơn vị sẽ mất 30 giờ Tính cộng có nghĩa là tổng của tất cả các hoạt động bằng tổng của các hoạt động riêng lẻ.
BẢNG 7.1 Thuộc tính và giả định LP
THUỘC TÍNH CỦA CHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1 Một hàm mục tiêu 2 Một hoặc nhiều ràng buộc 3 Các giải pháp thay thế 4 Hàm mục tiêu và ràng buộc là tuyến tính - tỷ lệ và chia hết5 Sự chắc chắn6 Tính chia hết7 Biến không âm
Xây dựng bài toán quy hoạch tuyến tính
Định hình một chương trình tuyến tính liên quan đến việc phát triển một mô hình toán học để đại diện cho vấn đề quản lý Do đó, để định hình một chương trình tuyến tính, cần phải hiểu hoàn toàn vấn đề quản lý đang đối mặt Các bước trong việc định hình một chương trình tuyến tính như sau:
1 Hiểu hoàn toàn vấn đề quản lý đang đối mặt.
2 Xác định mục tiêu và các ràng buộc.
3 Định nghĩa các biến quyết định.
4 Sử dụng các biến quyết định để viết các biểu thức toán học cho hàm mục tiêu và các ràng buộc.
Một trong những ứng dụng LP phổ biến nhất là vấn đề kết hợp sản phẩm Thông thường, hai hoặc nhiều sản phẩm được sản xuất bằng các nguồn lực hạn chế như nhân viên, máy móc, nguyên liệu, v.v Lợi nhuận mà công ty tìm kiếm tối đa dựa trên đóng góp lợi nhuận cho mỗi đơn vị mỗi sản phẩm (Đóng góp lợi nhuận có thể nhớ chỉ là giá bán mỗi đơn vị trừ chi phí biến đổi mỗi đơn vị.*) Công ty muốn xác định số lượng đơn vị của mỗi sản phẩm mà nó nên sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận tổng thể với nguồn lực hạn chế của mình Một vấn đề của loại này được định hình trong ví dụ sau.
Công ty nội thất Flair BẢNG 7.2 Dữ liệu Công ty Đồ nội thất Flair
GIỜ BẮT BUỘC ĐỂ SẢN XUẤT 1 ĐƠN VỊ
BỘ PHẬN Bàn (T) Ghế (C) Giờ có sẵn tuần này
Lợi nhuận trên mỗi đơn vị
Công ty Đồ nội thất Flair sản xuất bàn và ghế giá rẻ Quá trình sản xuất cho mỗi sản phẩm đều tương tự nhau vì cả hai đều yêu cầu một số giờ làm việc nhất định trong công việc đồ mộc và một số giờ lao động trong bộ phận sơn và đánh bóng Mỗi chiếc bàn mất 4 giờ đồ mộc và 1 giờ sơn và đánh bóng Mỗi chiếc ghế yêu cầu 3 giờ đồ mộc và 1 giờ sơn và đánh bóng Trong giai đoạn sản xuất hiện tại, có 240 giờ đồ mộc và 100 giờ sơn/đánh bóng Mỗi bàn được bán mang lại lợi nhuận 70 đô la; mỗi chiếc ghế được sản xuất được bán với lợi nhuận 50 đô la.
Vấn đề của Công ty Đồ nội thất Flair là xác định sự kết hợp tốt nhất của bàn và ghế để sản xuất để đạt được lợi nhuận tối đa Công ty muốn tình huống kết hợp sản phẩm này được định hình như một vấn đề LP Tiếp theo, xác định mục tiêu và các ràng buộc
● Mục tiêu là: Tối đa hóa lợi nhuận
1 Số giờ làm việc của ngành mộc không được vượt quá 240 giờ mỗi tuần.
2 Số giờ làm việc của ngành sơn và đánh bóng không được vượt quá 100 giờ mỗi tuần.
Các biến quyết định đại diện cho các quyết định thực tế mà chúng tôi sẽ đưa ra được định nghĩa như:
T = số lượng bàn được sản xuất mỗi tuần C = số lượng ghế được sản xuất mỗi tuần Bây giờ có thể tạo hàm mục tiêu LP về T và C Hàm mục tiêu là
● Tối đa hóa lợi nhuận = $70T + $50C.
Bước tiếp theo là phát triển các mối quan hệ toán học để mô tả hai ràng buộc trong vấn đề này Một mối quan hệ chung là số lượng tài nguyên được sử dụng phải nhỏ hơn hoặc bằng (≤) số lượng tài nguyên có sẵn.
Trong trường hợp bộ phận mộc, tổng thời gian sử dụng là: (4 giờ mỗi bàn)(Số lượng bàn được sản xuất) + (3 giờ mỗi ghế)(Số lượng ghế được sản xuất)
Vì vậy, ràng buộc đầu tiên có thể được nêu như sau:
Thời gian làm mộc sử dụng ≤ Thời gian làm mộc có sẵn 4T + 3C ≤ 240 (giờ làm mộc)
Tương tự, ràng buộc thứ hai như sau:
Thời gian sơn và đánh bóng được sử dụng ≤ Thời gian sơn và đánh bóng có sẵn
(2)T + 1C ≤ 100 (giờ sơn và đánh bóng)
(Điều này có nghĩa là mỗi bàn sản xuất mất hai giờ của nguồn lực sơn và đánh bóng.)
Cả hai ràng buộc này đại diện cho các hạn chế về năng lực sản xuất và, tất nhiên, ảnh hưởng đến tổng lợi nhuận Ví dụ, Công ty Đồ nội thất Flair không thể sản xuất 80 bàn trong giai đoạn sản xuất vì T = 80, cả hai ràng buộc sẽ bị vi phạm Nó cũng không thể làm T = 50 bàn và C = 10 ghế Tại sao? Bởi vì điều này sẽ vi phạm ràng buộc thứ hai rằng không quá 100 giờ thời gian sơn và đánh bóng được phân bổ Để có được các giải pháp có ý nghĩa, các giá trị cho T và C phải là các số không âm Điều này có nghĩa là tất cả các giải pháp tiềm năng phải đại diện cho các bàn thật và các ghế thật
T ≥ 0 (số lượng bàn sản xuất lớn hơn hoặc bằng 0) C ≥ 0 (số lượng ghế sản xuất lớn hơn hoặc bằng 0) Vấn đề hoàn chỉnh có thể được nêu lại theo cách toán học như Tối đa hóa lợi nhuận = $70T + $50C tuân theo các ràng buộc
4T +3C ≤ 240 (ràng buộc mộc) 2T +1C ≤ 100 (ràng buộc sơn & đánh bóng)
T ≥ 0 (ràng buộc không âm đầu tiên) C ≥ 0 (ràng buộc không âm thứ hai)
Trong khi các ràng buộc không âm về mặt kỹ thuật là các ràng buộc riêng biệt, chúng thường được viết trên một dòng duy nhất với các biến được phân tách bằng dấu phẩy
Trong ví dụ này, điều này sẽ được viết là:
Giải pháp đồ thị cho bài toán quy hoạch tuyến tính
Ngoài việc biết giải pháp tối ưu cho một chương trình tuyến tính, sẽ rất hữu ích khi biết liệu tất cả các tài nguyên có sẵn có đang được sử dụng hay không Thuật ngữ slack được sử dụng cho số lượng tài nguyên không được sử dụng Đối với một ràng buộc nhỏ hơn hoặc bằng nhau,
Dư thừa = Số lượng tài nguyên có sẵn - Số lượng tài nguyên đã sử dụng Trong ví dụ về đồ nội thất Flair, có 240 giờ thời gian của nghề mộc có sẵn Nếu công ty quyết định sản xuất 20 bàn và 25 ghế thay vì giải pháp tối ưu, lượng thời gian của nghề mộc được sử dụng (4T + 3C) sẽ được 4(20) + 3(25) = 155 Vì vậy,
Thời gian dư thừa trong ngành mộc = 240 - 155 = 85 giờ Đối với giải pháp tối ưu (30,40) cho vấn đề về Đồ gỗ Flair, sự lỏng lẻo là 0 vì tất cả 240 giờ đều được sử dụng.
Thuật ngữ dư được sử dụng với các ràng buộc lớn hơn hoặc bằng để chỉ số lượng mà bên phải của một ràng buộc bị vượt quá Đối với một ràng buộc lớn hơn hoặc bằng,
Thặng dư = Số lượng thực tế - Số lượng tối thiểu Giả sử rằng trong ví dụ đã có một ràng buộc yêu cầu tổng số bàn và ghế phải ít nhất là 42 đơn vị (tức là, T + C ≥ 42), và công ty quyết định sản xuất 20 bàn và 25 cái ghế
Tổng số sản phẩm sẽ được sản xuất nên số dư sẽ là
Thặng dư = 45 – 42 = 3 có nghĩa là nhiều hơn 3 đơn vị so với mức tối thiểu đã được sản xuất Đối với giải pháp tối ưu (30, 40) trong bài toán Flair Furniture, nếu ràng buộc này nằm trong bài toán, thặng dư sẽ là 70 - 42 = 28.
BẢNG 7.4 Tóm tắt các phương pháp giải đồ họa
1 Biểu đồ tất cả các ràng buộc và tìm khu vực khả thi.
2 Chọn một đường lợi nhuận (hoặc chi phí) cụ thể và vẽ đồ thị để tìm độ dốc.
3 Di chuyển dòng chức năng mục tiêu theo hướng tăng lợi nhuận (hoặc giảm chi phí) trong khi duy trì độ dốc Điểm cuối cùng nó chạm vào trong khu vực khả thi là giải pháp tối ưu.
4 Tìm các giá trị của các biến quyết định tại điểm cuối cùng này và tính lợi nhuận (hoặc chi phí)
1 Biểu đồ tất cả các ràng buộc và tìm khu vực khả thi.
2 Tìm các điểm góc của khu vực khả thi.
3 Tính toán lợi nhuận (hoặc chi phí) tại mỗi điểm góc khả thi.
4 Chọn điểm góc có giá trị tốt nhất của hàm mục tiêu được tìm thấy trong bước 3 Đây là giải pháp tối ưu
Giải quyết vấn đề tối thiểu hóa
Các vấn đề về tối thiểu hóa có thể được giả quyết thông qua đồ thị, bằng cách thiết lập vùng giải pháp khả thi và sau đó sử dụng phương pháp điểm góc hoặc phương pháp tiếp cận đường đẳng phí để tìm ra giá trị của các biến (VD: , ) để mang lại 𝑋
VD: Một trang trại xem xét mua 2 nhãn hiệu thức ăn khác nhau và trộn chúng để cung cấp chế độ ăn tốt, và tối thiểu chi phí Giá mua đơn vị, lượng dưỡng chất trong mỗi đơn vị cho như sau:
Thành phần Loại sản phẩm
Dưỡng chất yêu Sản phẩm 1 Sản phẩm 2 cầu
Gọi số pounds thức ăn đã mua sản phẩm 1𝑋
𝑋 số pounds thức ăn đã mua sản phẩm 2
Sử dụng phương pháp điểm góc
Trong trường hợp này, có ba điểm góc: a, b và c Đối với điểm a, chúng ta tìm tọa độ tại giao điểm của các ràng buộc thành phần C và B, nghĩa là tại đó đường thẳng X₁
= 3 cắt đường thẳng 4X₁ + 3𝑋 = 48 Nếu chúng ta thay X₁ = 3 vào phương trình ràng
2 buộc B, ta có 𝑋 = 12 Như vậy điểm a có tọa độ ( = 3, = 12).
2 Để tìm tọa độ điểm b, ta giải hệ phương trình 4𝑋 + 3 = 48 và 5 + 10 = 90 Ta
Chi phí tại các vấn đề về tối thiểu hóa có thể được giả quyết thông qua đồ thị, bằng cách thiết lập vùng giải pháp khả thi và sau đó sử dụng phương pháp điểm góc hoặc phương pháp tiếp cận đường đẳng phí để tìm ra giá trị của các biến (VD: , ) để 𝑋
2 mang lại chi phí tối thiểu. Đánh giá hàm mục tiêu tại mỗi điểm góc:
Chi phí tại điểm a = 2(3) + 3(12) = 42 Chi phí tại điểm b = 2(8.4)2 + 3(4.8) = 31.2
Do đó, giải pháp chi phí tối thiểu là mua 8.4 pounds sản phẩm 1 và 4.8 pounds sản phẩm 2 Dẫn đến chi phí cho mỗi con gà là 31.2 cents.
Phương pháp tiếp cận đường đẳng phí
Tiến hành di chuyển đường đẳng phí về phía dưới bên trái, trong mặt phẳng song song với đường nghiệm 54 cent Điểm cuối cùng chúng ta chạm vào trong khi vẫn tiếp xúc với vùng khả thi giống như điểm góc b của Nó có tọa độ (X₁ = 8,4, 𝑋 = 4,8) và
2 chi phí liên quan là 31,2 cents.
Bốn trường hợp đặc biệt trong quy hoạch tuyến tính
Không có giải pháp khả thi
Khi không có giải pháp nào cho bài toán quy hoạch tuyến tính thỏa mãn tất cả các ràng buộc đã cho thì không tồn tại giải pháp khả thi nào Điều đó có nghĩa là không tồn tại vùng lời giải khả thi nào - một tình huống có thể xảy ra nếu bài toán được hình thành với các ràng buộc xung đột Điều này thường xuyên xảy ra trong các bài toán quy mô lớn, ngoài đời thực, có liên quan đến hàng trăm ràng buộc.
Tính không giới hạn
Đôi khi một bài toán tuyến tính sẽ không có nghiệm hữu hạn Điều này có nghĩa là trong một bài toán tối đa hóa, một hoặc nhiều biến giải pháp và lợi nhuận có thể được tạo ra vô cùng lớn mà không vi phạm bất kỳ ràng buộc nào Nếu chúng ta cố gắng giải quyết vấn đề như vậy bằng đồ thị, chúng ta sẽ lưu ý rằng vùng khả thi là vùng kết thúc mở.
Tính dư thừa
Sự hiện diện của các ràng buộc dư thừa là một tình huống phổ biến khác xảy ra trong các công thức quy hoạch tuyến tính lớn Sự dư thừa không gây khó khăn lớn trong việc giải quyết các vấn đề bằng đồ họa, nhưng chúng ta có thể xác định được sự xuất hiện của nó Ràng buộc dư thừa chỉ đơn giản là một ràng buộc không ảnh hưởng đến vùng giải pháp khả thi Nói cách khác, một ràng buộc có thể mang tính ràng buộc hoặc hạn chế hơn một hạn chế khác và do đó phủ nhận nhu cầu xem xét của nó.
Các giải pháp tối ưu thay thế
Đôi khi, một bài toán quy hoạch tuyến tính có thể có hai hoặc nhiều giải pháp tối ưu thay thế Về mặt đồ họa, đây là trường hợp khi đường đẳng lợi hoặc đẳng phí của hàm mục tiêu chạy song song hoàn toàn với một trong các ràng buộc của bài toán - nói cách khác, khi chúng có cùng độ dốc.
Phân tích độ nhạy
Một chức năng quan trọng của phân tích độ nhạy là cho phép người quản lý thử nghiệm các giá trị của tham số đầu vào Phân tích độ nhạy cũng thường liên quan đến một loạt câu hỏi giả định như thế nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu lợi nhuận của sản phẩm 1 tăng 10%? Điều gì sẽ xảy ra nếu ngân sách quảng cáo có ít tiền hơn? Điều gì sẽ xảy ra nếu mỗi công nhân ở lại thêm một giờ mỗi ngày với mức lương trả 1 lần để tăng năng lực sản xuất? Điều gì sẽ xảy ra nếu công nghệ mới cho phép kết nối một sản phẩm với thời gian chỉ bằng một phần ba so với trước đây? Vì vậy, phân tích độ nhạy có thể được sử dụng để xử lý không chỉ các lỗi trong việc ước tính các tham số đầu vào cho mô hình LP mà còn với kinh nghiệm của ban quản lý.
Các bài toán thực tế 15 1 Bài toán phối hợp sản xuất sản phẩm
Bài toán trộn sản phẩm/dinh dưỡng
Người ta cần có một lượng (tối thiếu) chất dinh dưỡng i=1,2,…,m do các thức ăn j=1,2,…,n cung cấp
A ij là số lượng chất dinh dưỡng loại i có trong 1 đơn vị thức ăn loại j
(i=1,2,…,m) và (j=1,2,…,n)Bi là nhu cầu tối thiểu về loại dinh dưỡng iC j là giá mua một đơn vị thức ăn loại jVấn đề đặt ra là phải mua các loại thức ăn như thế nào để tổng chi phí bỏ ra ít nhất mà vẫn đáp ứng được yêu cầu về dinh dưỡng Vấn đề được giải quyết theo mô hình sau:
Gọi xij ≥ 0 (j=1,2,…,n) là số lượng thức ăn thứ j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn là:
Vì chi phí bỏ ra để mua thức ăn phải là thấp nhất nên yêu cầu cần được thỏa mãn là:
Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 1 là 𝑎 (i=1→m)
Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 2 là 𝑎
Lượng dinh dưỡng i thu được từ các loại thức ăn là:
Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu được phải thỏa yêu cầu về dinh dưỡng loại đó 𝑏
𝑖 nên ta có ràng buộc sau:
Khi đó theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình toán sau:
Bài toán vận tải
Người ta cần vận chuyển hàng hóa từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ.
Lượng hàng hóa ở khi i là si (i=1,2,…m) và nhu cầu hàng hóa của cửa hàng j là dj
(j=1,2,…,n) Cước vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ kho i đến cửa hàng j là cij ≥ 0 đồng.
Giả sử rằng tổng hàng hóa có ở các kho và tổng nhu cầu hàng hóa ở các cửa hàng là bằng nhau, tức là
Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước là nhỏ nhât, với điều kiện là mỗi cửa hàng đều nhận đủ hàng và mỗi kho đều trao hết hàng.
Gọi xij ≥0 là lượng hàng hóa phải vận chuyển từ khi i đến cửa hàng j Cước vận chuển hàng hóa I đến tất cả các kho j là:
Cước vận chuyển tất cả hàng hóa đến tất cả kho sẽ là:
Theo yêu cầu của bài toán, ta có mô hình toán sau:
Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính 19 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
Theo nguyên lí bắc cầu: QHTT chính tắc = QHTT tổng quát + hai điều kiện Điều kiện
- Điều kiện 1: Ràng buộc chính (2) là các phương trình (=)
- Điều kiện 2: Ràng buộc dấu (3) 𝑥
𝑗 = 1, 𝑛( ) Để biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc áp dụng các quy tắc sau:
- Nếu i có dạng thì cộng thêm vào vế trái của ràng buộc chính một biến phụ ≤
𝑗+𝑛≥0 - Nếu i có dạng thì trừ thêm vào vế trái của ràng buộc chính một biến phụ ≥
𝑥𝑗+𝑛≥0 - Các biến phụ nó giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, nó không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên nó không xuất hiện ở hàm mục tiêu
- Nếu biến 𝑥 thì ta đặt rồi thế vào bài toán
- Biến 𝑥 mà tùy ý thì ta đặt
𝑗 ,, đề𝑢≥0 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑏à𝑖 𝑡𝑜á𝑛 - Chú ý trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm.
𝑗= 1, 3( ) Chuyển về dạng chính tắc
Chúng ta thêm vào bài toán 2 ẩn phụ 𝑥 ta được bài toán dạng công thức sau:
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
Theo nguyên lí bắc cầu: QHTT chuẩn = QHTT chính tắc + hai điều kiện A1 0 0 𝑎
- Điều kiện 1: các hệ số tự do 𝑏
𝑖≥0 - Điều kiện 2: Ma trận hệ số của ràng buộc chính (2) có đủ m vectơ Định nghĩa
- Các ẩn ứng với các vectơ đơn vị trong ma trận ràng buộc A được gọi là các ẩn cơ sở Ẩn cơ sở ứng với các vectơ cột đơn vị thứ i là ẩn cơ sở thứ i (i= (1,m))
Các ẩn còn lại được xem là các ẩn không cơ sở.
- Phương án mà ở đó các ẩn cơ sở đều bằng 0 được gọi là phương án cơ sở (pacb).
- Pacb không suy biến là là phương án có đủ m thành phần dương Nếu ít hơn m thành phần dương gọi là pacb suy biến.
Bài toán trên có dạng chính tắc với
3= 6 > 0 (2) Kiểm tra ma trận hệ số của ràng buộc chính (2)
Ma trận A có đủ ba cột đơn vị 𝑒
Bài toán đã cho có dạng chuẩn với các ẩn cơ bản là: Ẩn cơ bản (1): 𝑥
2= 6 Ẩn không cơ bản: = 0 Phương án cơ bản xuất phát của bài toán (PAXP)
Giải quyết đồ thị cho vấn đề sau:
Tối đa hóa lợi nhuận: 𝑍 = 8𝑋 phụ thuộc vào
(a) Giải pháp tối ưu là gì? Để giải quyết vấn đề tối ưu này, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị Dưới đây là cách giải quyết bằng đồ thị: Đặt: 𝑋 là số lượng của sản phẩm 1, là số lượng của sản phẩm 2.𝑋
Hàm mục tiêu cần tối đa là 𝑍 = 8𝑋
Vẽ đồ thị của các ràng buộc và hàm mục tiêu trên mặt phẳng và 𝑋
● Điểm cắt trên trục X1 là (6, 0).
Vẽ đồ thị và tìm điểm giao điểm của các ràng buộc để tìm ra giá trị tối ưu.
Giá trị các biến ở mỗi góc Lợi nhuận = 8𝑋
Từ đồ thị, có thể thấy rằng điểm giao điểm giữa hàm ràng buộc và đường thẳng Z là điểm (6, 4) Điều này có nghĩa là để đạt được lợi nhuận tối đa, ta cần sản xuất 6 đơn vị của sản phẩm 1 và 4 đơn vị của sản phẩm 2.
Vậy, giải pháp tối ưu là: 𝑋 , lợi nhuận = Z max=8×6+5×4H+20h
● Phân tích độ nhạy Ô mục tiêu tối đa: Cho thấy lợi nhuận tối đa mà mô hình đạt được là 68$ Để tối đa hóa lợi nhuận cần sản xuất 6 đơn vị ở sản phẩm 1 và 4 đơn vị ở sản phẩm 2 Cả hai ràng buộc đều có tính ràng buộc, được biểu thị bằng độ trễ bằng 0, nghĩa là chúng được đáp ứng chính xác trong giải pháp tối ưu Lợi nhuận tăng thêm cho thấy sự thay đổi trong giá trị hàm mục tiêu khi tăng 1 đơn vị ở phía bên phải của ràng buộc với điều kiện là tất cả các tham số khác không đổi.
(b) Thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc 1 thành 11 (thay vì 10) và giải quyết vấn đề Lợi nhuận tăng bao nhiêu do điều này? Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất từ 10 thành 11 và tìm giải pháp tối ưu mới Sau đó, so sánh lợi nhuận mới với lợi nhuận ban đầu để xác định lợi nhuận tăng bao nhiêu. Đặt: 𝑋 là số lượng của sản phẩm 1, là số lượng của sản phẩm 2.
Hàm mục tiêu cần tối đa là 𝑍 = 8𝑋
Vẽ đồ thị của các ràng buộc và hàm mục tiêu trên mặt phẳng và 𝑋
Ràng buộc 𝑋1 ≤6 Điểm cắt trên trục X1 là (6, 0).
Vẽ đồ thị và tìm điểm giao điểm của các ràng buộc để tìm ra giá trị tối ưu.
Giá trị các biến ở mỗi góc Lợi nhuận = 8𝑋
Từ đồ thị, ta thấy rằng điểm giao điểm giữa đường biên và đường thẳng Z là điểm (6,5) Điều này có nghĩa là để đạt được lợi nhuận tối đa, ta cần sản xuất 6 đơn vị của sản phẩm 1 và 5 đơn vị của sản phẩm 2.
Vậy, giải pháp tối ưu mới là: 𝑋 , lợi nhuận = $73 tăng lên 5 đơn vị khi
2 = 5 giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất tăng từ 10 lên 11.
Giá trị ban đầu và cuối cùng đều là 73, cho thấy giải pháp tối ưu đã được tìm thấy và lợi nhuận đạt tối đa ở mức 73 Có hai biến quyết định trong mô hình: Đơn vị được sản xuất X1 (Ô B23) với giá trị cuối cùng là 6 Đơn vị được sản xuất X2 (Ô C23) với giá trị cuối cùng là 5 Chi phí giảm cho cả hai biến là 0, điều này có nghĩa là cả hai biến đều nằm trong cơ sở giải pháp và đang đóng góp cho hàm mục tiêu Hệ số mục tiêu của đơn vị Sản xuất X1 là 8 và của đơn vị Sản xuất X2 là 5 Mức tăng cho phép và giảm cho phép đối với các hệ số mục tiêu cho biết phạm vi trong đó các hệ số có thể thay đổi mà không làm thay đổi cơ sở của giải pháp tối ưu Đối với đơn vị sản xuất X1, hệ số có thể tăng thêm 1E+30 (có nghĩa là nó có thể tăng không giới hạn) và có thể giảm 3 Đối với đơn vị sản xuất X2, hệ số có thể tăng 3 và giảm 5 Đối với Ràng buộc 1 LHS, bên R.H có thể tăng 1E+30 (thực tế là nó có thể tăng không giới hạn) và có thể giảm 5 mà không làm thay đổi cơ sở của giải pháp tối ưu Đối với Ràng buộc 2 LHS, bên R.H có thể tăng 5 và giảm 6.
(c) Thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc 1 thành 6 (thay vì 10) và giải quyết vấn đề Lợi nhuận giảm bao nhiêu do điều này? Nhìn vào đồ thị, điều gì sẽ xảy ra nếu giá trị bên phải giảm xuống dưới 6? Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất thành 6 (thay vì 10) và tìm giải pháp tối ưu mới Sau đó, so sánh lợi nhuận mới với lợi nhuận ban đầu để xác định lợi nhuận giảm bao nhiêu. Đặt: 𝑋 là số lượng của sản phẩm 1, là số lượng của sản phẩm 2.
Hàm mục tiêu cần tối đa là 𝑍 = 8𝑋
Vẽ đồ thị của các ràng buộc và hàm mục tiêu trên mặt phẳng và 𝑋
Ràng buộc 𝑋1 ≤6 Điểm cắt trên trục X1 là (6, 0).
Vẽ đồ thị và tìm điểm giao điểm của các ràng buộc để tìm ra giá trị tối ưu.
Giá trị các biến ở mỗi góc Lợi nhuận 8𝑋1 + 5𝑋
Từ đồ thị, ta thấy rằng điểm giao điểm giữa đường biên và đường thẳng Z là điểm (6,0) Điều này có nghĩa là để đạt được lợi nhuận tối đa, ta cần sản xuất 6 đơn vị của sản phẩm 1 và 0 đơn vị của sản phẩm 2
Lợi nhuận giảm 20$ Hàm ràng buộc thứ nhất bên phải giảm 4 đơn vị, lợi nhuận giảm 4x giá kép.
Khi giá trị bên phải giảm xuống dưới 6, vùng khả dĩ cũng thu hẹp lại nghĩa là không có giải pháp tối ưu nào thỏa mãn tất cả các ràng buộc Điều này có thể dẫn đến việc chỉ sản xuất sản phẩm 1 mà không sản xuất sản phẩm 2 để đạt được lợi nhuận tối đa Đồng thời dẫn đến việc lợi nhuận tối đa mà chúng ta có thể đạt được cũng sẽ giảm đi Làm cho hạn chế hơn về nguồn lực và khả năng tối ưu hóa lợi nhuận.
Giá trị ban đầu và cuối cùng đều là 48, cho thấy giải pháp tối ưu đã được tìm thấy và lợi nhuận đạt tối đa ở mức 48 Có hai biến quyết định, được biểu thị bằng các ô B24 (Đơn vị sản xuất X1) và C24 (Đơn vị sản xuất X2) Giá trị ban đầu và cuối cùng của X1 là 6, và của X2 là 0, cho thấy rằng trong giải pháp tối ưu, cần tạo ra 6 đơn vị X1 và không tạo ra X2 Có hai ràng buộc, được biểu thị bằng các ô D28 và D29 Cả hai ràng buộc đều có tính ràng buộc, được biểu thị bằng độ trễ bằng 0, nghĩa là các ràng buộc được đáp ứng chính xác trong giải pháp tối ưu Chi phí giảm cho cả hai biến là 0, điều này thường có nghĩa là việc tăng sản lượng X1 hoặc X2 từ 0 sẽ cải thiện hàm mục tiêu (lợi nhuận) Hệ số mục tiêu của X1 là 8 và của X2 là 5, lần lượt là những đóng góp vào lợi nhuận từ mỗi đơn vị của X1 và X2 Cột "Tăng cho phép" và "Giảm cho phép" hiển thị mức độ bạn có thể thay đổi hệ số mục tiêu trước khi giải pháp hiện tại không còn tối ưu nữa Đối với X1, hệ số có thể tăng thêm 1E+30 (một con số rất lớn có nghĩa là nó có thể tăng không giới hạn) và giảm đi 3 Đối với X2, hệ số có thể tăng 3 và giảm 5 Cứ tăng một đơn vị ở phía bên phải của ràng buộc, hàm mục tiêu (lợi nhuận) sẽ tăng theo số tiền đó, giả sử các tham số khác không đổi.
(d) Thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc 1 thành 5 (thay vì 10) và giải quyết vấn đề Lợi nhuận đã giảm bao nhiêu so với lợi nhuận ban đầu do điều này? Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất thành 5 (thay vì 10) và tìm giải pháp tối ưu mới Sau đó, so sánh lợi nhuận mới với lợi nhuận ban đầu để xác định lợi nhuận giảm bao nhiêu. Đặt: 𝑋 là số lượng của sản phẩm 1, là số lượng của sản phẩm 2.
Hàm mục tiêu cần tối đa là 𝑍 = 8𝑋
Vẽ đồ thị của các ràng buộc và hàm mục tiêu trên mặt phẳng và 𝑋
Ràng buộc 𝑋1 ≤6 Điểm cắt trên trục X1 là (6, 0).
Vẽ đồ thị và tìm điểm giao điểm của các ràng buộc để tìm ra giá trị tối ưu.
Giá trị các biến ở mỗi góc Lợi nhuận = 8𝑋
Từ đồ thị, ta thấy rằng điểm giao điểm giữa đường biên và đường thẳng Z là điểm (5,0) Điều này có nghĩa là để đạt được lợi nhuận tối đa, ta cần sản xuất 5 đơn vị của sản phẩm 1 và 0 đơn vị của sản phẩm 2
Lợi nhuận đã giảm đi 28$ so với lợi nhuận ban đầu khi thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất từ 10 thành 5 Hàm ràng buộc thứ nhất bên phải giảm 4 đơn vị, lợi nhuận giảm 4x giá kép Kết quả của sự thay đổi này là vùng khả thi trở nên nhỏ hơn
Giá trị ban đầu và cuối cùng đều là 40, cho thấy giải pháp tối ưu đã được tìm thấy và lợi nhuận đạt tối đa ở mức 40 Có hai biến quyết định trong mô hình: Đơn vị được sản xuất X1 (Ô B25) với giá trị cuối cùng là 5 Đơn vị được sản xuất X2 (Ô C25) với giá trị cuối cùng là 0 Hệ số mục tiêu của đơn vị sản xuất X1 là 8 và của đơn vị Sản xuất X2 là 3 Mức tăng cho phép và giảm cho phép đối với các hệ số mục tiêu cho biết phạm vi trong đó các hệ số có thể thay đổi mà không làm thay đổi cơ sở của giải pháp tối ưu Đối với đơn vị sản xuất X1, hệ số có thể tăng thêm (có nghĩa là nó có thể tăng không giới hạn) và có thể giảm 3 Đối với đơn vị sản xuất X2, hệ số có thể tăng 3 và giảm 1E+30 Đối với Ràng buộc 1 LHS, bên R.H có thể tăng 1 và giảm 5 mà không làm thay đổi cơ sở của giải pháp tối ưu Đối với Ràng buộc 2 LHS, bên R.H có thể tăng 1E+30 và giảm 1 Khi thêm (hoặc giảm) 1 đơn vị ở hàm ràng buộc 1 thì lợi nhuận tăng thêm (hoặc giảm) 8 đơn vị.
(e) Sử dụng kết quả xuất ra từ máy tính trên trang này, giá kép của ràng buộc 1 là gì? Giới hạn dưới của nó là gì?
