MỤC LỤC
Các vấn đề về tối thiểu hóa có thể được giả quyết thông qua đồ thị, bằng cách thiết lập vùng giải pháp khả thi và sau đó sử dụng phương pháp điểm góc hoặc phương pháp tiếp cận đường đẳng phí để tìm ra giá trị của các biến (VD: , ) để mang lại 𝑋. VD: Một trang trại xem xét mua 2 nhãn hiệu thức ăn khác nhau và trộn chúng để cung cấp chế độ ăn tốt, và tối thiểu chi phí. Đối với điểm a, chúng ta tìm tọa độ tại giao điểm của các ràng buộc thành phần C và B, nghĩa là tại đó đường thẳng X₁.
Chi phí tại các vấn đề về tối thiểu hóa có thể được giả quyết thông qua đồ thị, bằng cách thiết lập vùng giải pháp khả thi và sau đó sử dụng phương pháp điểm góc hoặc phương pháp tiếp cận đường đẳng phí để tìm ra giá trị của các biến (VD: , ) để 𝑋. Tiến hành di chuyển đường đẳng phí về phía dưới bên trái, trong mặt phẳng song song với đường nghiệm 54 cent. Điểm cuối cùng chúng ta chạm vào trong khi vẫn tiếp xúc với vùng khả thi giống như điểm góc b của.
Khi không có giải pháp nào cho bài toán quy hoạch tuyến tính thỏa mãn tất cả các ràng buộc đã cho thì không tồn tại giải pháp khả thi nào. Điều đó có nghĩa là không tồn tại vùng lời giải khả thi nào - một tình huống có thể xảy ra nếu bài toán được hình thành với các ràng buộc xung đột. Điều này thường xuyên xảy ra trong các bài toán quy mô lớn, ngoài đời thực, có liên quan đến hàng trăm ràng buộc.
Điều này có nghĩa là trong một bài toán tối đa hóa, một hoặc nhiều biến giải pháp và lợi nhuận có thể được tạo ra vô cùng lớn mà không vi phạm bất kỳ ràng buộc nào. Nếu chúng ta cố gắng giải quyết vấn đề như vậy bằng đồ thị, chúng ta sẽ lưu ý rằng vùng khả thi là vùng kết thúc mở. Sự hiện diện của các ràng buộc dư thừa là một tình huống phổ biến khác xảy ra trong các công thức quy hoạch tuyến tính lớn.
Sự dư thừa không gây khó khăn lớn trong việc giải quyết các vấn đề bằng đồ họa, nhưng chúng ta có thể xác định được sự xuất hiện của nó. Ràng buộc dư thừa chỉ đơn giản là một ràng buộc không ảnh hưởng đến vùng giải pháp khả thi. Nói cách khác, một ràng buộc có thể mang tính ràng buộc hoặc hạn chế hơn một hạn chế khác và do đó phủ nhận nhu cầu xem xét của nó.
Đôi khi, một bài toán quy hoạch tuyến tính có thể có hai hoặc nhiều giải pháp tối ưu thay thế. Về mặt đồ họa, đây là trường hợp khi đường đẳng lợi hoặc đẳng phí của hàm mục tiêu chạy song song hoàn toàn với một trong các ràng buộc của bài toán - nói cách khác, khi chúng có cùng độ dốc.
Một chức năng quan trọng của phân tích độ nhạy là cho phép người quản lý thử nghiệm các giá trị của tham số đầu vào. Phân tích độ nhạy cũng thường liên quan đến một loạt câu hỏi giả định như thế nào?. Điều gì sẽ xảy ra nếu mỗi công nhân ở lại thêm một giờ mỗi ngày với mức lương trả 1 lần để tăng năng lực sản xuất?.
Điều gì sẽ xảy ra nếu công nghệ mới cho phép kết nối một sản phẩm với thời gian chỉ bằng một phần ba so với trước đây?. Vì vậy, phân tích độ nhạy có thể được sử dụng để xử lý không chỉ các lỗi trong việc ước tính các tham số đầu vào cho mô hình LP mà còn với kinh nghiệm của ban quản lý.
Vì lượng nguyên liệu thứ i=1 → m dùng để sản xuất các loại sản phẩm không thể vượt quá lượng được cung cấp là nên:𝑏. Bi là nhu cầu tối thiểu về loại dinh dưỡng i Cj là giá mua một đơn vị thức ăn loại j. Vấn đề đặt ra là phải mua các loại thức ăn như thế nào để tổng chi phí bỏ ra ít nhất mà vẫn đáp ứng được yêu cầu về dinh dưỡng.
Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu được phải thỏa yêu cầu về dinh dưỡng loại đó 𝑏. Cước vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ kho i đến cửa hàng j là cij ≥ 0 đồng. Giả sử rằng tổng hàng hóa có ở các kho và tổng nhu cầu hàng hóa ở các cửa hàng là bằng nhau, tức là.
Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước là nhỏ nhât, với điều kiện là mỗi cửa hàng đều nhận đủ hàng và mỗi kho đều trao hết hàng.
Theo nguyên lí bắc cầu: QHTT chính tắc = QHTT tổng quát + hai điều kiện Điều kiện. - Nếu i có dạng thì cộng thêm vào vế trái của ràng buộc chính một biến phụ ≤ 𝑥. - Nếu i có dạng thì trừ thêm vào vế trái của ràng buộc chính một biến phụ ≥ 𝑥𝑗+𝑛≥0.
- Các biến phụ nó giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, nó không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên nó không xuất hiện ở hàm mục tiêu. - Chú ý trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm.
Điều này có nghĩa là để đạt được lợi nhuận tối đa, ta cần sản xuất 6 đơn vị của sản phẩm 1 và 4 đơn vị của sản phẩm 2. Cả hai ràng buộc đều có tính ràng buộc, được biểu thị bằng độ trễ bằng 0, nghĩa là chúng được đáp ứng chính xác trong giải pháp tối ưu. Lợi nhuận tăng thêm cho thấy sự thay đổi trong giá trị hàm mục tiêu khi tăng 1 đơn vị ở phía bên phải của ràng buộc với điều kiện là tất cả các tham số khác không đổi.
Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất từ 10 thành 11 và tìm giải pháp tối ưu mới. Điều này có nghĩa là để đạt được lợi nhuận tối đa, ta cần sản xuất 6 đơn vị của sản phẩm 1 và 5 đơn vị của sản phẩm 2. Chi phí giảm cho cả hai biến là 0, điều này có nghĩa là cả hai biến đều nằm trong cơ sở giải pháp và đang đóng góp cho hàm mục tiêu.
Mức tăng cho phép và giảm cho phép đối với các hệ số mục tiêu cho biết phạm vi trong đó các hệ số có thể thay đổi mà không làm thay đổi cơ sở của giải pháp tối ưu. Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất thành 6 (thay vì 10) và tìm giải pháp tối ưu mới. Khi giá trị bên phải giảm xuống dưới 6, vùng khả dĩ cũng thu hẹp lại nghĩa là không có giải pháp tối ưu nào thỏa mãn tất cả các ràng buộc.
Cả hai ràng buộc đều có tính ràng buộc, được biểu thị bằng độ trễ bằng 0, nghĩa là các ràng buộc được đáp ứng chính xác trong giải pháp tối ưu. Chi phí giảm cho cả hai biến là 0, điều này thường có nghĩa là việc tăng sản lượng X1 hoặc X2 từ 0 sẽ cải thiện hàm mục tiêu (lợi nhuận). Cứ tăng một đơn vị ở phía bên phải của ràng buộc, hàm mục tiêu (lợi nhuận) sẽ tăng theo số tiền đó, giả sử các tham số khác không đổi.
Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ thay đổi giá trị bên phải của ràng buộc thứ nhất thành 5 (thay vì 10) và tìm giải pháp tối ưu mới. Mức tăng cho phép và giảm cho phép đối với các hệ số mục tiêu cho biết phạm vi trong đó các hệ số có thể thay đổi mà không làm thay đổi cơ sở của giải pháp tối ưu. Kết quả đầu ra của máy tính chỉ ra rằng giá kép cho ràng buộc 1 là 5 đô la, nhưng giá này có giá trị đến giới hạn dưới là 6.
Đây là giá trị tối thiểu mà chúng ta có thể giảm RHS của ràng buộc 1 mà không làm thay đổi trạng thái của giải pháp tối ưu (giả sử tất cả các tham số bài toán khác vẫn giữ nguyên). Nếu chúng ta giảm RHS của Ràng buộc 1 xuống dưới 280 thì giải pháp hiện tại sẽ không còn tối ưu nữa và giá trị của hàm mục tiêu có thể giảm xuống.