Btl ppđl nhóm 12

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH/ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRƯỜNG ĐHQG-ĐH BK TP.HCM VỀ CHỦ ĐỀ KINH TẾ VÀ QUẢN LÝ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

1.2 Bài toán phân công 3

1.3 Dạng quy hoạch tuyến tính của bài toán phân công 3

1.4 Phương pháp Hungarian 4

1.5 Bài toán phân công xét đến tính công bằng 7

1.6 Trường hợp đặc biệt hàm mục tiêu là MAX 8

PHẦN MỞ ĐẦU

Ngày nay lực lượng sản xuất ngày càng gia tăng dẫn đến quy mô mở rộng các nhà máy cũng tăng mạnh trong các năm qua Điều này dẫn đến là nhu cầu quy hoạch sản xuất, tối ưu hoá các quy trình rất quan trọng và gia tăng trong các năm qua, trong đó bài toán phân công trong việc làm là một thách thức đối với các doanh nghiệp Vì vậy,

nhóm đã chọn bài toán phân công để thực hiện trong bài tập lớn của bộ môn Phương pháp đại lượng

Bài tập lớn này sẽ tập trung vào việc nghiên cứu về phân công các giáo sư vào các bộ môn học sao cho tỉ lệ dạy đạt được tối đa hoá Trong phạm vi của bài tập, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết bài toán phân công, các phương pháp giải và mô hình giải và phần mềm giải, phân tích rủi ro cho bài toán Bằng cách tiếp cận từ nhiều góc độ khác nhau, nhóm hy vọng sẽ có cái nhìn toàn diện về bài toán phân công nói riêng và bộ môn

Phương pháp đại lượng nói chung Qua bài tập này, nhóm mong muốn có thể đưa ra

những kết luận cụ thể và đóng góp vào môn học này

Nhóm xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn của cô Võ Thị Ngọc Trân trong suốt

quá trình học đã giúp nhóm có những kiến thức cơ sở để hoàn thành bài tập lớn này Sự hướng dẫn tận tình và dữ liệu mà cô cung cấp đã giúp nhóm có cái nhìn sâu sắc hơn về chủ đề nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu cho bài toán phân công

ĐỀ BÀI

Dịch đề bài 9-41 sách Quantitative Analysis for Management trang 388:

Roscoe Davis, chủ tịch bộ môn Kinh doanh của trường đại học, đã quyết định áp dụng một phương pháp mới trong việc phân công giáo sư cho các khóa học vào học kỳ tới Với tiêu chí đánh giá dựa trên kết quả đánh giá giảng dạy của hai năm vừa qua - được sinh viên điền vào, Giáo sư Davis có thể ghi chép lại đánh giá cho mỗi khóa học đối với từng giảng viên Do một trong số bốn giáo sư đều đã giảng dạy mỗi khóa học ít nhất một lần trong suốt hai năm, Davis có thể ghi nhận được điểm đánh giá cho mỗi giảng viên Điểm đánh giá này được thể hiện trong bảng sau đây Hãy xác định phương án phân công giáo sư cho các khóa học sao cho tổng điểm đánh giá giảng dạy là cao nhất

1.2 Bài toán phân công

Bài toán phân công là bài toán tối ưu hóa việc phân công nguồn lực (nhân lực, máy móc, thiết bị…) cho các hoạt động (công việc, nhiệm vụ…) sao cho đạt được mục tiêu đề ra (như: tối thiểu chi phí, tối đa lợi nhuận, hoàn thành công việc trong thời gian ngắn nhất…) Bài toán phân công là trường hợp đặc biệt của bài toán vận tải Trong đó các công việc phải thực hiện tương ứng với các điểm đích có nhu cầu bằng 1, các bộ phận thực hiện công việc (công nhân, máy…) tương ứng với các điểm nguồn có khả năng cung cấp bằng 1 và chi phí thực hiện công việc tương ứng với chi phí vận tải

Tương tự bài toán vận tải, chỉ xét bài toán phân công ở dạng cân bằng Các bài toán phân công không cân bằng (số công việc ít hơn số bộ phận thực hiện, hay số công việc lớn hơn số bộ phận thực hiện) luôn có thể được chuyển thành bài toán phân công ở dạng cân bằng

Những nguyên tắc chuyển bài toán phân công về dạng cân bằng:

• Nếu số bộ phận thực hiện công việc lớn hơn số công việc: tạo ra các công việc giả với thời gian (hoặc chi phí) thực hiện công việc bằng 0 cho tất cả mọi bộ phận thực hiện công việc

• Nếu số bộ phận thực hiện công việc nhỏ hơn số công việc: tạo ra các bộ phận thực hiện công việc giả với thời gian (hoặc chi phí) thực hiện 1 công việc ở bất kỳ có 1 giá trị cực lớn

1.3 Dạng quy hoạch tuyến tính của bài toán phân công

Xét bài toán phân công n công việc cho n công nhân trong đó cij là chi phí để công nhân thứ i ( i=1,2,…n) thực hiện công việc thứ j ( j=1,2,…n)

Hình 1.1 Ma trận của bài toán phân công

• Các hàng sẽ biểu diễn cho các bộ phận thực hiện công ciệc( công nhân, máy) • Các cột sẽ biểu diễn cho các công việc phải được thực hiện

• Các ô biểu diễn cho chi phí từng công việc

Hình 1.2 Mô hình bảng phân công

→ Phương pháp Hungarian phương pháp giải bài toán phân công ở dạng bảng được đề nghị dựa trên một tính chất cả ma trận chi phí là: Nếu trừ đi một hằng số cho tất cả các chi phí trên cùng một hàng( hoặc một cột) của một ma trận chi phí thì nghiệm tối ưu của bài toán phân công không thay đổi

Hình 1.3 Flow chart của phương pháp Hungarian

Phương pháp Hungarian được thực hiện qua các bước:

• Bước 1: Đưa ra bảng chi phi từ đề bài đã cho:

Trong trường hợp đề bài chưa cho bảng, hàng, cột, hay số hàng chưa bằng số cột thì cần thêm hàng giả , cột giả để cho bằng nhau với các chi phí tại ô này bằng 0)

• Bước 2: Xác định chi phí cơ hội:

Xác định vị trí giá trị nhỏ nhất theo hàng Sau đó, lấy tất cả chi phí phí theo hàng trừ cho giá trị đó

Sau khi có ma trận rút giảm, thực hiện tương tự cho cột cho đến khi mỗi hàng, cột đều xuất hiện ít nhất một số 0

• Bước 3: Phân công công việc:

Kiểm tra các hàng liên tiếp cho đến khi thu được một hàng có đúng một số 0 không được đánh dấu

Đối với mỗi giá trị 0 được gán, hãy gạch bỏ tất cả các số 0 khác trong cùng hàng và/hoặc cột

Lặp lại cho đến khi mỗi cột cũng với chính xác một giá trị giá trị 0 tất cả những gì chưa được chỉ định Nếu một hàng và/hoặc cột có hai hoặc nhiều số 0 không được đánh dấu và không thể chọn được một số 0 bằng cách kiểm tra thì hãy chọn tùy ý ô số 0 được chỉ định Tiếp tục quá trình này cho đến khi tất cả các số 0 trong cột hàng được bao quanh hoặc bị gạch bỏ

• Bước 4: Tiêu chí tối ưu:

Nếu thành phần của ô được gán bằng số cột hàng thì đó là giải pháp tối ưu Tổng chi phí liên quan đến giải pháp này có được bằng cách cộng các số liệu chi phí ban đầu vào các ô đã sử dụng

Nếu một ô 0 được chọn tùy ý ở bước 3, thì sẽ tồn tại một giải pháp tối ưu thay thế Nhưng nếu không tìm được giải pháp tối ưu thì chuyển sang bước 5

• Bước 5: Điều chỉnh bảng chi phí cơ hội

Vẽ một tập hợp các đường ngang và dọc để bao gồm tất cả các số 0 trong bảng chi phí đã sửa đổi thu được từ bước bước 3 Đối với mỗi hàng không có phép gán nào được thực hiện, đánh dấu tích

Kiểm tra các hàng đã đánh dấu Nếu có bất kỳ số 0 nào xuất hiện trong các cột đó, hãy đánh dấu vào các hàng tương ứng chứa các số 0 được chỉ định đó

Lặp lại quá trình này cho đến khi không thể đánh dấu thêm hàng hoặc cột nào nữa Vẽ một đường thẳng đi qua từng cột đã đánh dấu và từng hàng không đánh dấu Nếu không có dòng nào được vẽ bằng số (hoặc cột) thì giải pháp hiện tại là giải pháp tối ưu, nếu không thì chuyển sang bước 6

• Bước 6: Xây dựng Bảng chi phí cơ hội sửa đổi mới:

Trong số các ô không có dòng nào, chọn phần tử nhỏ nhất, gọi giá trị này là K Trừ K khỏi mọi phần tử trong ô không có dòng nào

Thêm K vào chính phần tử trong ô được bao phủ bởi hai dòng, tức là giao điểm của hai dòng Các phần tử trong ô được bao phủ bởi một dòng không thay đổi

• Bước 7: Lặp lại từ bước 3 đến bước 6 là có thể nghiệm tối ưu

1.5 Bài toán phân công xét đến tính công bằng

Bài toán phân công công việc với hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng thời gian Nghiệm tối ưu là 1 giải pháp khó được chấp nhận, do có những bộ phận phải làm việc trong 1 khoảng thời gian rất dài để hoàn thành công việc Bên cạnh đó, một vài bộ phận khác lại có thời gian thực hiện công việc rất ngắn Khi gặp những tình huống như vậy, bài toán phân công có xét đến tính công bằng được đặt ra đối với người ra quyết định

Việc phân công có xét đến tính công bằng được thực hiện như sau:

• Bước 1: Thực hiện phân công như bình thường và xác định bộ phận có thời gian thực hiện công việc lớn nhất Tmax

• Bước 2: Loại bỏ tất cả các ô trong ma trận phân công có thời gian lớn hơn hoặc bằng Tmax và quay lại thực hiện Bước 1

Quy trình trên được thực hiện cho đến khi:

Sự công bằng tương đối đã đạt được: khi không có sự chênh lệch lớn về thời gian thực hiện công việc giữa các bộ phận

Không thể làm cho giải pháp công bằng hơn nữa: khi bài toán phân công tại thời điểm đó vô nghiệm

1.6 Trường hợp đặc biệt hàm mục tiêu là MAX

Trong một vài tường hợp, hàm mục tiêu của bài toán phân công là MAX( lợi nhuận, hiệu suất, hiệu quả ) Để giải bài toán này có thể thực hiện một trong hai cách sau đây:

• Chuyển bài toán về dạng MIN( chi phí): trong trường hợp này các hệ số lợi nhuận trong ma trận phân công phải được đổi dấu để có được ma trận dạng chi phí • Xác định ma trận “Chi phí cơ hội”: bằng cách thay đổi một phần tử bất kỳ của

ma trận bằng hiệu số của phần tử lớn nhất trong ma trận với phần tử đang xét Sau đó áp dụng phương pháp Hungarian để giải bài toán

Nhóm em đã chọn bài toán phân công tỉ lệ giờ dạy cho các giáo sư tối đa hoá- bài toán thuộc trường hợp đặc biệt với hàm mục tiêu là MAX Nhóm chọn hướng giải là xác định ma trận “Chi phí cơ hội”

PHẦN BÀI TẬP 1 Xây dựng mô hình

Như đã lập luận ở phần lý thuyết vì đây là bài toán phân công , nên nhóm em sẽ giải theo phương pháp Hungarian với hàm mục tiêu là MAX nên nhóm đã chọn hướng giải theo chi phí cơ hội

Bước 3: Vì bảng có số hàng =4 và số đường gạch =3 nên phương án này chưa tối ưu.Ta sẽ chọn giá trị nhỏ nhất không bị gạch (K=5), cộng K với các số tại giao điểm, trừ K với các số nằm ngoài đường gạch thì ta được bảng:

Vậy ta có thể thấy rằng nghiệm tối ưu mình đạt được là:

2 Dùng phần mềm để giải quyết bài toán

Dùng EXCEL SOLVER để giải bài toán phân công công việc với mục tiêu là tối đa hóa tổng điểm đánh giá, các bước thực hiện cụ thể như sau:

2.1 Nhập dữ liệu

Tạo một bảng trong Excel và nhập tất cả các giá trị từ bảng đánh giá vào bảng đó

2.2 Tạo bảng biến quyết định

Ngay cạnh bảng đánh giá, thiết lập một bảng mới gồm các ô trống sẽ đại diện cho việc gán giáo sư cho một môn học cụ thể Mỗi ô sẽ chứa một biến quyết định là 0 hoặc 1, với 1 có nghĩa là giáo sư đó được giao môn học và 0 có nghĩa là không

2.3 Tạo hàm mục tiêu

Phía dưới bảng này, tạo một ô sẽ đại diện cho hàm mục tiêu, tức là tổng điểm

đánh giá Sử dụng công thức SUMPRODUCT trong Excel để nhân các điểm đánh giá

với các biến quyết định tương ứng và cộng tổng tất cả các sản phẩm đó lại

Sau đó sẽ bắt đầu truy cập Solver từ tab Data trên thanh công cụ Excel Tại cửa sổ Solver,

1) Ở ô Set Objective chọn hàm mục tiêu đã thiết lập tại ô B18

2) Chọn "Max" để tối đa hóa giá trị của hàm mục tiêu (Vì đề bài là tối đa hoá giá tổng giá trị đánh giá của khoá học)

3) Thiết lập các biến quyết định trong "By Changing Variable Cells" Biến quyết định đã thiết lập tại vùng B12:E15

4) Thêm các ràng buộc (ở Bước 2.4) bằng cách sử dụng "Add" trong phần 'Constraints'

a) Ràng buộc về phân công:

• Mỗi giáo sư chỉ được phân công giảng dạy đúng một môn học • Mỗi môn học chỉ được phân công cho đúng một giáo sư

b) Ràng buộc về biến quyết định:

Biến quyết định cho mỗi sự phân công của giáo sư đối với một môn học là biến nhị phân, có giá trị là 0 hoặc 1, với 1 nghĩa là giáo sư đó được phân công giảng dạy môn học đó và 0 nghĩa là không được phân công

5) Đảm bảo chọn "Simplex LP" vì đó là một vấn đề tuyến tính

2.6 Chạy Solver

2.7 Xem kết quả

Trong bảng biến quyết định, mỗi ô sẽ chứa một biến quyết định là 0 hoặc 1, với 1 có nghĩa là giáo sư đó được giao môn học và 0 có nghĩa là không

Vậy kết quả của bài toán là:

sư McKinney ở môn Management có thể tăng đến vô cùng vẫn không ảnh hưởng đến kết quả phân công tốt nhất để tối đa hóa xếp hạng giảng dạy tổng thể

Các kết quả đánh giá giảng dạy của giáo sư Anderson ở môn Economics, của giáo sư Weeney ở môn Statistics và môn Management, của giáo sư Williams ở môn Management, của giáo sư McKinney ở môn Finance có thể giảm thoải mái mà vẫn không ảnh hưởng đến kết quả phân công tốt nhất để tối đa hóa xếp hạng giảng dạy tổng thể

Nếu chúng ta phân công sai lệch như: Anderson vào môn Economics thì sẽ làm giảm tỉ lệ dạy (giảm 25), Sweeney vào môn Statistics sẽ làm giảm tỉ lệ dạy ( giảm 15), William vào Management sẽ làm giảm tỉ lệ dạy ( giảm 20), MC Kinney vào môn Statistics và Finance sẽ lần lượt làm giảm tỉ lệ dạy ( giảm 25 và 10)

Từ đây ta có thể thấy rằng : Nếu ta phân công không hợp lý, chưa tối ưu có thể dẫn đến trường hợp là giảm tỉ lệ dạy có thể lên đến 85 Nếu ta tính hiệu suất so với phương pháp tối ưu thì chỉ có

335 = 75% ( giảm đến 25%)

Bên cạnh đó, nếu môn Economics của giáo sư Williams và môn Finance của giáo sư McKinney có kết quả đánh giá tăng hơn 10 hoặc Economics của giáo sư McKinney và môn Finance của giáo sư Anderson và giáo sư Williams có kết quả đánh giá giảm hơn 10 thì kết quả phân công tốt nhất để tối đa hóa xếp hạng giảng dạy tổng thể sẽ bị thay đổi và phải tính toán phân công lại

Nhìn chung, kết quả bài toán khá ổn định với hầu hết các thay đổi đơn lẻ của các ô Tuy nhiên, cần lưu ý đến những thay đổi ở những ô có giới hạn cho phép là 10 nếu đạt trên ngưỡng sẽ dẫn đến sự thay đổi lời giải tối ưu gây mất hiệu suất công việc cũng như làm gia tăng các chi phí

PHẦN KẾT LUẬN

Kết quả đã chứng minh sự hiệu quả của phương pháp này và điều này đã góp một phần nào đó trong việc tạo ra những triển vọng tích cực cho tương lai của các doanh nhiệp đang gặp khó khăn trong việc phân bổ công nhân Tuy nhiên, nhóm em cũng cần tiếp tục nghiên cứu sâu hơn để tối ưu hóa và mở rộng ứng dụng của phương pháp này Điều này sẽ giúp nâng cao hiệu quả và tính ứng dụng trong thực tế, góp phần vào sự phát triển bền vững của xã hội và kinh tế

Nhóm em xin chân thành cảm ơn Khoa Quản lý Công Nghiệp và Cô Võ Thị Ngọc

Trân đã cho nhóm em có cơ hội tiếp xúc với bộ môn Phương pháp định lượng, để nhóm

có thể nghiên cứu sâu về nhiều lĩnh vực thực tiễn ngành sản xuất nói riêng và cuộc sống nói chung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sengupta A.(n.d) Assignment Problem: Meaning, Methods and Variations Operations Research Engineering notes https://www.engineeringenotes.com/project-management-2/operations-research/assignment-problem-meaning-methods-and-variations-operations-research/15652

2 TS Huỳnh Trung Lương, ThS, Trương Tôn Hiền Đức (n.d) Phương pháp định lượng trong quản lý vận hành Tại Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM:

nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật ( trang 184 đến 186)