Dãy số là một trong những đối tượng đầu tiên và cơ bản nhất của Toán học. Nó được trình bày đơn giản nhất ở khối Phổ thông Trung học và được nghiên cứu chi tiết và tường minh ở ngay năm nhất không chỉ ở các trường đại học chuyên sâu về toán học mà còn ở hầu hết các trường đại học về khối kỹ thuật, công nghệ, kinh tế, triết học, . . . . Một trong các bài toán đầu tiên về dãy số là khảo sát sự hội tụ của dãy số, nó luôn xuất hiện trong tất cả các đề thi học sinh giỏi và Olympic các cấp về toán học cho học sinh và sinh viên. Để giải quyết bài toán này, chúng ta có rất nhiều phương pháp khác nhau. Trong luận văn này sẽ trình bày một phương pháp để khảo sát sự hội tụ của một số dãy số đặc biệt là dùng các định lí về nguyên lí ánh xạ co. Hơn nữa, luận văn sẽ đưa ra một số bài tập tương tự có lời giải chi tiết để làm tài liệu tham khảo cho đọc giả.
Khái niệm cơ bản của dãy số và hàm số
Dãy số
Cho tập hợp số nguyên dươngN ∗ :={1,2,3 .}, một ánh xạ u:N ∗ →R xác định bởiun:=u(n)được gọi là mộtdãy số thực Ta kí hiệu dãy đó bằng một trong các cách sau:
Dãy số thực {u n } n≥1 là một tập hợp vô hạn các số thực u 1 , u 2 , u 3 , , u n , Mỗi phần tử u n được gọi là số hạng tổng quát của dãy số Giới hạn của dãy số {u n } n≥1 là một số thực a, ký hiệu là lim n→∞ u n = a, nếu với mọi số dương ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho: |u n − a| < ε với mọi n ≥ N.
{u n } n≥1 nếu với mọiε >0cho trước bao giờ cũng tồn tại một sốn 0 (phụ thuộc vào a,ε) sao cho với mọin≥n 0 ta đều suy ra được
Khi đó ta nói rằng dãy {u n }hội tụ đếnahay tiến đến giới hạnavà ta viếtun→a khin→+∞hay n→+∞lim un =a.
Một dãy không có giới hạn được gọi là dãy phân kì.
Cho dãy số thực{u n } n≥1 và dãy số nguyên{n k } k≥1 sao cho n 1 n 0 thìa≤b.
Dãy số thực {u n } n≥1 được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu đáp ứng điều kiện với mọi số thực dương ε tùy ý cho trước, luôn tồn tại một số thực dương n 0 chỉ phụ thuộc vào ε sao cho với mọi cặp chỉ số nguyên dương m, n lớn hơn hoặc bằng n 0 bất kỳ, ta luôn có:
Một số tính chất của dãy cơ bản:
1 Mọi dãy cơ bản là dãy bị chặn.
2 Nếu dãy cơ bản {u n } n≥1 có một dãy con {u n k } k≥1 hội tụ đến giới hạna∈Rthì dãy{u n } n≥1 cũng hội tụ đếna. Định lí 1.3(Nguyên lí hội tụ Cauchy) Dãy số thực{u n } n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.
Dãy{u n } n được gọi là dãy tăng (tương ứng dãy tăng thực sự) nếu un≤u n+1 với mọi n∈N(tương ứng nếuunu n+1 với mọin∈N). Định lí 1.4 Ta có các khẳng định sau:
1 Nếu dãy{un} n≥1 là một dãy tăng bị chặn trên thì nó hội tụ đếnsup n∈ N un
2 Nếu dãy{u n } n≥1 là một dãy giảm bị chặn dưới thì nó hội tụ đến inf n∈ N un
Sốa∈Rđược gọi là giới hạn riêng của dãy{u n } n∈ N nếu có một dãy con{u n k } k∈ N của dãy{u n } n∈ N hội tụ tớia Tức là, với mọiε>0, trong khoảng (a−ε,a+ε)chứa vô số số hạng của dãyun.
Hàm số
Cho x 0 ∈Rvà số thực dươngε >0, khoảng mở(x 0 −ε,x 0 +ε)được gọi làε-lân cậncủax 0 ,kí hiệu làU ε (x 0 ) Tập hợpV ⊂Rđược gọi làlân cậncủa điểmx 0 nếu tồn tạiε >0sao choU ε (x 0 )⊂V. Điểm x 0 ∈Rđược gọi là điểm tụ của tập hợpA⊂Rnếu mọi lân cậnV củax 0 , ta cóV∩(A\ {x 0 })̸= /0 Tức là,x 0 là điểm tụ của tập hợp Akhi và chỉ khi mọi lân cận củax 0 đều chứa vô số điểm củaA Tập hợp tất cả các điểm tụ của tập hợpAđược gọi làtập hợp dẫn xuấtcủaAvà kí hiệuA ′
Điểm x0 ∈ A được gọi là điểm cô lập của tập hợp A nếu tồn tại một lân cận V của x0 sao cho V ∩ A = {x0} X0 ∈ R là điểm tụ của tập hợp A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho mọi x ∈ A mà 0 < |x - x0| < δ thì x ∈ B(x0; ε) Khi đó, với hàm số f: A → R, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho đối với mọi x ∈ A mà 0 < |x - x0| < δ thì |f(x) - b| < ε thì b là giới hạn của hàm số f khi x tiến tới x0, ký hiệu là limx→x0 f(x) = b.
|f(x)−b|0nên ta có a n +2≥0 hay an≥ −2 (2.4) với mọin∈N.Chú ý rằng a 1 =√ 3
Giả sử a k ≤0 vớik∈N Kết hợp với bất đẳng thức (2.4), ta thu được
Tóm lại, ta có 2k < 4 nên a3k+1 = a2k −8 < 4−8=−4