skkn cấp tỉnh sử dụng mối quan hệ giữa điểm để giải bài toán trong mặt phẳng toạ độ oxy

SỞ GIÁO D C VÀ ÀO T O THANH HOÁỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ẠO THANH HOÁ TR ƯỜNG THPT SẦM SƠN NG THPT S M S N ẦM SƠN ƠN SÁNG KI N KINH NGHI MẾN KINH NGHIỆM ỆM S D NG M I QUA

SỞ GIÁO D C VÀ ÀO T O THANH HOÁỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ẠO THANH HOÁ

TR ƯỜNG THPT SẦM SƠN NG THPT S M S N ẦM SƠN ƠN

SÁNG KI N KINH NGHI MẾN KINH NGHIỆM ỆM

S D NG M I QUAN H GI A I M Ử DỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI Ệ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ỂM ĐỂ GIẢI BÀI ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỂM ĐỂ GIẢI BÀI GI I B I ẢI BÀI ÀI

TO N TRONG M T PH NG TO ÁN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY ẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY ẲNG TOẠ ĐỘ OXY Ạ ĐỘ OXY ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỘ OXY OXY

Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế

Ch c v : Giáo viên ức vụ: Giáo viên ụ: Giáo viên SKKN thu c l nh v c (môn): Toán ộc lĩnh vực (môn): Toán ĩnh vực (môn): Toán ực (môn): Toán

THANH HOÁ N M 2024ĂM 2024

MỤC LỤC

Trang

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của SKKN 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Định nghĩa trục toạ độ 3

2.1.2 Định nghĩa hệ trục toạ độ 3

2.1.3 Tọa độ vectơ 3

2.1.4 Nhận xét 3

2.1.5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 4

2.1.6 Vectơ chỉ phương của đường thẳng 4

2.1.7 Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng 4

2.1.8 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 4

2.1.9 Phương trình tổng quát của đường thẳng 4

2.1.10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 4

2.1.11 Góc giữa hai đường thẳng 5

2.1.12 Công thức tính khoảng cảnh từ một điểm đến một đường thẳng 5

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6

2.3.1 Đặc điểm bài toán: 6

2.3.2 Bài tập không có hướng dẫn giải 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 15

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 16 3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Xu hướng phát triển nền kinh tế tri thức, Việt Nam càng coi trọng giáo dục, khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu để sáng tạo ra hệ thống giá trị hiện đại, đổi mới, làm nguồn lực thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội Những năm qua, với nhiều giải pháp thiết thực được triển khai và thực hiện có hiệu quả, nền giáo dục Việt Nam đã đạt được nhiều thành tựu to lớn trên lĩnh vực giáo dục, đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước và xã hội

Tuy nhiên, trước yêu cầu cấp bách của sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh toàn cầu hóa, đã nảy sinh một số bất cập đòi hỏi chúng ta phải có sự đổi mới căn bản trong chương trình giáo dục nói chung và giáo dục phổ thông nói riêng Trên cơ sở kế thừa và phát triển những ưu điểm của các chương trình giáo dục phổ thông đã có của Việt Nam; đồng thời, tiếp thu thành tựu nghiên cứu về khoa học giáo dục và kinh nghiệm xây dựng chương trình theo mô hình phát triển năng lực của những nền giáo dục tiên tiến trên thế giới và quá trình nghiên cứu, sáng tạo, đổi mới phương pháp của mỗi nhà khoa học và mỗi giáo viên gắn với nhu cầu phát triển của đất nước, những tiến bộ của thời đại khoa học - công nghệ để sáng tạo ra những sản phẩm trí tuệ, góp phần thực hiện có hiệu quả chủ trương đổi mới và phát triển nền giáo dục của đất nước

Đổi mới giáo dục phổ thông giữ vai trò then chốt, bởi vì “giáo dục phổ thông là nền tảng của cả hệ thống giáo dục quốc gia” Trong những năm gần đây thì nội dung, phương pháp đào tạo, chương trình môn Toán học ở bậc THPT đã có rất nhiều thay đổi về yêu cầu giáo dục, nội dung kiến thức và kỹ năng Cụ thể:

Về chương trình: đã có những quy định về Chuẩn kiến thức và người giáo viên phải dạy như thế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó

Về kỹ năng, hình thức và phương pháp dạy học: chuyển từ nền giáo dục THPT nặng về truyền thụ kiến thức một chiều sang nền giáo dục THPT chú trọng phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh, được tiến hành bằng cách đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực cá nhân người học, người giáo viên phải lấy học sinh làm trung tâm; áp dụng các phương pháp ,

kỹ thuật dạy học tích cực, chấm dứt hoàn toàn hiện tượng dạy học theo kiểu

áp đặt, truyền thụ kiến thức một chiều, thầy đọc- trò chép; chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu, giúp những học sinh có năng lực hoạt động trí tuệ, phát huy được tính tích cực trong học tập nói chung và học tập môn Toán nói riêng; tăng cường các hoạt động phát triển tư duy và tính sáng

tạo; biết vận dụng kiến thức đã được học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tế …

Trong quá trình học sinh tiếp cận với các bài toán hình học tọa độ phẳng, học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng cách giải, học sinh không biết cách sử dụng giả thiết cũng như mối liên hệ của giả thiết với yêu cầu bài toán đặt ra làm bước cản lớn trong việc giải toán Chính vì vậy, tác giả viết đề tài này nhằm một phần nào đó định hướng cũng như chỉ ra mối liên hệ của các điểm, các đường trong bài toán, từ đó vận dụng tính chất đặc trưng của điểm và đường vào việc tìm ra lời giải mà bài toán yêu cầu

Nhằm khắc phục phần nào những khó khăn, hạn chế đã nêu trên, bản

thân tôi lựa chọn và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Sử dụng mối quan hệ giữa điểm để giải bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu, cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồng nghiệp một số cách nhìn trong việc giải quyết các bài toán về tọa độ của hình học phẳng khó, dựa trên kiến thức đã được tìm hiểu ở bậc THCS thiết lập mối quan hệ của điểm và đường để từ đó giải quyết nhanh các bài toán tọa độ hình học phẳng

Rèn luyện cho các em học sinh THPT nói chung, học sinh các lớp 10 THPT chuẩn bị tham gia kỳ thi THPTQG hàng năm, kỳ thi HSG nói riêng khả năng thông hiểu, vận dụng , vận dụng cao các kiến thức cơ bản của Hình học 10 vào giải quyết các bài toán Hình học tọa độ phẳng

Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa

và thực tiễn cuộc sống

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 10 THPT, học sinh chuẩn bị tham dự kỳ thi THPTQG hàng năm

Giáo viên giảng dạy môn Toán THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa và tham khảo bài viết của các đồng nghiệp ở các tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài

Trao đổi với các đồng nghiệp trong Tổ Toán, trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh được trực tiếp giảng dạy ở trường để kiểm nghiệm và rút kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN

Trong nội dung của sáng kiến kinh nghiệm có đưa ra một số phương pháp giải cho loại toán về mối quan hệ giữa điểm đã cho với điểm cần tìm

trong mặt phẳng toạ độ Oxy

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong mục này tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của tọa độ hình học phẳng

2.1.1 Định nghĩa trục toạ độ

Trục tọa độ là ( còn gọi là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định

một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị i



Ta ký hiệu trục tọa độ là  O i;

Điểm M trên trục  O i;

biểu diễn số x nếu 0 OM  x i0

2.1.2 Định nghĩa hệ trục toạ độ

Hệ trục tọa độ O i j; , 

gồm hai trục ( ; )O i



và O j;

vuông góc với nhau Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tạo độ Trục ( ; )O i

 được gọi

là trục hoành và kí hiệu Ox, trục O j;

được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy

Các vectơ i và j



là các vectơ đơn vi trên Ox và Oy và i j 1

Hệ trục tạo

độ O i j; , 

còn được kí hiệu là Oxy

2.1.3 Tọa độ vectơ

Trong mặt phẳng Oxy , cho vectơ u



tùy ý Vẽ OA u 

và gọi A A lần1, 2

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy Ta có OA OA   1OA2

và cặp số duy nhất x y để ;  OA 1              x i OA , 2 y j

Như vậy u xi y j 

Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tạo độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết ux y;  hoặc u x y ;  Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai

y gọi là tung độ của vectơ u

Như vậy ux y;   u xi y j  

2.1.4 Nhận xét

Từ định nghĩa tọa độ vectơ , ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

Nếu ux y;  và u'x y'; ' thì

' '

x x

u v

y y





  





 

Như vậy, một vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tạo độ của nó

2.1.5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ O i j; , 

, cho hai vectơ aa a1; 2,bb b1; 2 Khi đó tích vô hướng a b  là a b a b   1 1a b2 2

2.1.6 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u

 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u  0

và giá của u song song hoặc trùng với 

2.1.7 Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  đi qua điểm M x y và 0; 0

nhận uu u1; 2 làm vectơ chỉ phương Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta có M M 0 x x y y 0;  0

Khi đó M   M M 0

cùng phương

với u M M0 t u



 

1



 



2.1.8 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n

 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n  0 và

n vuông góc với vectơ chỉ phương của 

2.1.9 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua M x y và nhận0 0; 0

 ; 

n a b làm vectơ pháp tuyến Với mỗi điểm M(x;y) bất kì thuộc mặt phẳng,

ta có: M M 0 x x y y 0;  0

Khi đó M x y ;    nM M0



 a x x  0b y y  0 0

 ax by ax  0  by0 0

 ax by c  0, c ax0  by0 (2)

Phương trình ax by c   với a, b không đồng thời bằng 0, được gọi là0 phương trình tổng quát của đường thẳng

2.1.10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  và 1  có phương trình tổng quát lần lượt là2

a x b y c   và a x b y c2  2  2  0

Tọa độ giao điểm của  và 1  là nghiệm của hệ phương trình: 2

0 0

a x b y c

a x b y c





Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm x y , khi đó 0; 0  cắt 1  tại 2 M x y0 0; 0

b) Hệ (I) vô số nghiệm, khi đó  trùng với 1 2

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó  không có điểm chung với 1  , hay 2 1

song song với 2

2.1.11 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1:a x b y c1  1  1  và 0  :2 a x b y c2  2  2  0 Đặt 1, 2



    

  thì ta thấy  bằng hoặc bù với góc giữa n 1

và n 2

trong đó n1, n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của   Vì 1, 2 cos 0 nên ta suy ra

1 2

1 2

n n

 

 

 

Do đó ta có

1 2 1 2

cos a a b b



 

2.1.12 Công thức tính khoảng cảnh từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình

0

ax by c   và điểm M x y Khoảng cách từ điểm 0 0; 0 M đến đường0

thẳng  , kí hiệu là d M  , được tính bởi công thức 0, 

 0,  ax0 2by0 2 c

d M

 



2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi học học sinh gặp bài toán có liên quan giữa toạ độ điểm đã cho với toạ độ điểm cần tìm, thường học sinh rất lúng túng và khó tìm ra ngay hướng

để xử lí bài toán đó

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Đặc điểm bài toán:

Trong phần này thông qua các bài toán, tôi trình bày một số dấu hiệu về mối qua hệ giữa điểm đã cho với điểm cần tìm, để từ đó xây dựng các công thức, phương trình cần thiết nhằm tìm ra tọa độ điểm mà bài toán yêu cầu

0;2

A , B   2; 2 và C4; 2  Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh

AB và BC , H là chân đường cao hạ từ B lên AC

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a)

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là

2 2

;

3 3

 

b

) Toạ độ AB    2; 4

c)

Toạ độ MN  2;2

d

) Trọng tâm G của tam giác MNH là

;

G  

Nhận xét và định hướng: Trong bài toán này rõ ràng chúng ta thấy

được nếu có tọa độ của M, N, H thì tìm được tọa độ trọng tâm Mà M, N là trung điểm của AB, BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ hai điểm đó Còn H là chân đường cao, ta dựa vào điều kiện tọa độ chân đường cao thì việc tìm tọa

độ H dễ dàng thực hiện được Cụ thể ta có lời giải bài toán như sau :

Hướng dẫn giải

a) Ta có toạ độ trọng tâm tam giác ABC

là

;



b) Toạ độ AB    2; 4

c) Ta có M  1;0 và (1; 2)N  nên

2; 2

d) Ta có M  1;0 và (1; 2)N  , AC 4; 4 



Giả sử H x y Ta có: ; 

   

1;1

H







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Do G là trọng tâm tam giác MNH nên ta có:

1 1

;

3 3

G   

 

Qua bài Bài toán 1 ý d) ta thấy việc tìm ra mối quan hệ giữa điểm được cho và điểm cần tìm là chìa khóa giải quyết bài toán này Ngoài yêu cầu là tìm trọng tâm G của tam giác NMH, chúng ta cũng có thể sử dụng giả thiết đó những với những yêu câu tương tự với những điểm đặc biệt khác Ví dụ sau đậy là minh chứng.

0;2

A , B   2; 2 và C4; 2  Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh

AB và BC , H là chân đường cao hạ từ B lên AC

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a)

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là

2 2

;

3 3

 

b

) Toạ độ AB    2; 4

c)

Toạ độ MN  2;2

d

)

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác MNH

là

;

I   

Hướng dẫn giải

a) Ta có toạ độ trọng tâm tam giác ABC là

;



b) Toạ độ AB    2; 4.

c) Ta có M  1;0 và (1; 2)N  nên MN  2; 2 

d) Giả sử I x y Ta có: ; 





1

1 1

2

x

I y





 



Đối với những bài toán cho điểm đặc biệt của tam giác và yêu cầu tìm đỉnh của tam giác ta sử dụng công thức biểu diễn về mối qua hệ điểm đó với điểm cần tìm mà học sinh đã được học nhiều ở bậc THCS Ví dụ như các bài toán sau:

trực tâm H  1;3, tâm đường tròn ngoại tiếp I3; 3  và trung điểm của

AC là M2; 2 

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a)

Toạ độ HI  4; 6 

b

) Toạ độ HM  3; 6 

c) Độ dài BH  2.

d

) Toạ độ các điểm A x y thì  0; 0 x y  0 0 5

Hướng dẫn giải

a) Toạ độ HI  4; 6 

b) Toạ độ HM  3; 5 

c) Độ dài BH 2IM 2 2

d) Gọi D là điểm đối xứng B qua I , ta có

HADC là hình bình hành Theo giả thiết

M là trung điểm AC , suy ra M cũng là trung điểm HD , do đó ta có





 hay D5; 7 

Kết hợp với





 , suy ra B 1;1 Gọi  T là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , phương trình của   T : x 32 y32 20

Mặt khác, do MI   1; 1

nênAC x y:   4 0 Toạ độ của A là nghiệm của

hệ:

 2  2

5

y







1 5

x y









Do đó A1;5 hoặc A   1; 5, suy ra x y  0 0 5

nhọn, không cân có trực tâm H   1; 1, nội tiếp đường tròn tâmI2;1,

bán kính R  và 5 

4 sin

5

BAC 

Biết rằng các điểm A B, có hoành độ âm Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a)

Toạ độ HI  3;3

b

)

Độ dài cạnh BC  8

c) Độ dài AH  3

d

) Toạ độ điểm B   2; 2.

Hướng dẫn giải

Gọi D là điểm đối xứng B qua I , ta có

HADC là hình bình hành Theo giả thiết

M là trung điểm AC , suy ra M cũng là

trung điểm HD

Do BC2 .sinR BAC  8 nên