skkn cấp tỉnh sử dụng mối quan hệ giữa điểm để giải bài toán trong mặt phẳng toạ độ oxy

SỞ GIÁO D C VÀ ÀO T O THANH HOÁỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠNNG THPT S M S NẦM SƠNƠN

SÁNG KI N KINH NGHI MẾN KINH NGHIỆM ỆM

S D NG M I QUAN H GI A I M Ử DỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỐI QUAN HỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỆ GIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỮA ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI ỂM ĐỂ GIẢI BÀI ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỂM ĐỂ GIẢI BÀI GI I B IẢI BÀIÀITO N TRONG M T PH NG TO ÁN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXYẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXYẲNG TOẠ ĐỘ OXYẠ ĐỘ OXY ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀIỘ OXY OXY

Người thực hiện: Nguyễn Minh ThếCh c v : Giáo viênức vụ: Giáo viênụ: Giáo viên

SKKN thu c l nh v c (môn): Toánộc lĩnh vực (môn): Toán ĩnh vực (môn): Toánực (môn): Toán

THANH HOÁ N M 2024ĂM 2024

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của SKKN 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 32.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Định nghĩa trục toạ độ 3

2.1.2 Định nghĩa hệ trục toạ độ 3

2.1.3 Tọa độ vectơ 3

2.1.4 Nhận xét 3

2.1.5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 4

2.1.6 Vectơ chỉ phương của đường thẳng 4

2.1.7 Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng 4

2.1.8 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 4

2.1.9 Phương trình tổng quát của đường thẳng 4

2.1.10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 4

2.1.11 Góc giữa hai đường thẳng 5

2.1.12 Công thức tính khoảng cảnh từ một điểm đến một đường thẳng 5

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6

2.3.1 Đặc điểm bài toán: 6

2.3.2 Bài tập không có hướng dẫn giải 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bảnthân, đồng nghiệp và nhà trường 15

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 163.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Xu hướng phát triển nền kinh tế tri thức, Việt Nam càng coi trọng giáodục, khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu để sáng tạo ra hệ thống giá trịhiện đại, đổi mới, làm nguồn lực thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội Nhữngnăm qua, với nhiều giải pháp thiết thực được triển khai và thực hiện có hiệuquả, nền giáo dục Việt Nam đã đạt được nhiều thành tựu to lớn trên lĩnh vựcgiáo dục, đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước và xã hội

Tuy nhiên, trước yêu cầu cấp bách của sự phát triển kinh tế - xã hộitrong bối cảnh toàn cầu hóa, đã nảy sinh một số bất cập đòi hỏi chúng ta phảicó sự đổi mới căn bản trong chương trình giáo dục nói chung và giáo dục phổthông nói riêng Trên cơ sở kế thừa và phát triển những ưu điểm của cácchương trình giáo dục phổ thông đã có của Việt Nam; đồng thời, tiếp thuthành tựu nghiên cứu về khoa học giáo dục và kinh nghiệm xây dựng chươngtrình theo mô hình phát triển năng lực của những nền giáo dục tiên tiến trênthế giới và quá trình nghiên cứu, sáng tạo, đổi mới phương pháp của mỗi nhàkhoa học và mỗi giáo viên gắn với nhu cầu phát triển của đất nước, nhữngtiến bộ của thời đại khoa học - công nghệ để sáng tạo ra những sản phẩm trítuệ, góp phần thực hiện có hiệu quả chủ trương đổi mới và phát triển nền giáodục của đất nước

Đổi mới giáo dục phổ thông giữ vai trò then chốt, bởi vì “giáo dục phổthông là nền tảng của cả hệ thống giáo dục quốc gia” Trong những năm gầnđây thì nội dung, phương pháp đào tạo, chương trình môn Toán học ở bậcTHPT đã có rất nhiều thay đổi về yêu cầu giáo dục, nội dung kiến thức và kỹnăng Cụ thể:

Về chương trình: đã có những quy định về Chuẩn kiến thức và ngườigiáo viên phải dạy như thế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó

Về kỹ năng, hình thức và phương pháp dạy học: chuyển từ nền giáodục THPT nặng về truyền thụ kiến thức một chiều sang nền giáo dục THPTchú trọng phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh, được tiến hành bằngcách đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực cá nhân người học,người giáo viên phải lấy học sinh làm trung tâm; áp dụng các phương pháp ,kỹ thuật dạy học tích cực, chấm dứt hoàn toàn hiện tượng dạy học theo kiểuáp đặt, truyền thụ kiến thức một chiều, thầy đọc- trò chép; chú trọng rèn luyệnphương pháp tự học, tự nghiên cứu, giúp những học sinh có năng lực hoạtđộng trí tuệ, phát huy được tính tích cực trong học tập nói chung và học tậpmôn Toán nói riêng; tăng cường các hoạt động phát triển tư duy và tính sáng

tạo; biết vận dụng kiến thức đã được học để giải quyết các vấn đề nảy sinhtrong thực tế …

Trong quá trình học sinh tiếp cận với các bài toán hình học tọa độphẳng, học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng cách giải, học sinhkhông biết cách sử dụng giả thiết cũng như mối liên hệ của giả thiết với yêucầu bài toán đặt ra làm bước cản lớn trong việc giải toán Chính vì vậy, tác giảviết đề tài này nhằm một phần nào đó định hướng cũng như chỉ ra mối liên hệcủa các điểm, các đường trong bài toán, từ đó vận dụng tính chất đặc trưngcủa điểm và đường vào việc tìm ra lời giải mà bài toán yêu cầu.

Nhằm khắc phục phần nào những khó khăn, hạn chế đã nêu trên, bản

thân tôi lựa chọn và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Sử dụng mốiquan hệ giữa điểm để giải bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu, cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồngnghiệp một số cách nhìn trong việc giải quyết các bài toán về tọa độ của hìnhhọc phẳng khó, dựa trên kiến thức đã được tìm hiểu ở bậc THCS thiết lập mốiquan hệ của điểm và đường để từ đó giải quyết nhanh các bài toán tọa độ hìnhhọc phẳng.

Rèn luyện cho các em học sinh THPT nói chung, học sinh các lớp 10THPT chuẩn bị tham gia kỳ thi THPTQG hàng năm, kỳ thi HSG nói riêngkhả năng thông hiểu, vận dụng , vận dụng cao các kiến thức cơ bản của Hìnhhọc 10 vào giải quyết các bài toán Hình học tọa độ phẳng

Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các emphương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung,chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoavà thực tiễn cuộc sống

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 10 THPT, học sinh chuẩn bị tham dự kỳ thi THPTQGhàng năm.

Giáo viên giảng dạy môn Toán THPT.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa và tham khảo bài viết của cácđồng nghiệp ở các tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài.

Trao đổi với các đồng nghiệp trong Tổ Toán, trao đổi, thảo luận và phốihợp trực tiếp với các em học sinh được trực tiếp giảng dạy ở trường để kiểmnghiệm và rút kinh nghiệm.

1.5 Những điểm mới của SKKN

Trong nội dung của sáng kiến kinh nghiệm có đưa ra một số phươngpháp giải cho loại toán về mối quan hệ giữa điểm đã cho với điểm cần tìm

trong mặt phẳng toạ độ Oxy

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong mục này tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất cơ bảncủa tọa độ hình học phẳng.

2.1.1 Định nghĩa trục toạ độ

Trục tọa độ là ( còn gọi là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định

một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị i

.Ta ký hiệu trục tọa độ là  O i;

được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy.

Các vectơ i và j

là các vectơ đơn vi trên Ox và Oy và i j 1

Hệ trục tạođộ O i j; , 

còn được kí hiệu là Oxy

x xu v

y y

  

 

Như vậy, một vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tạo độ của nó.

2.1.5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u  0

và giá của u song song hoặc trùng với 

2.1.7 Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  đi qua điểm M x y và 0; 0

nhận uu u1; 2 làm vectơ chỉ phương Với mỗi điểm M bất kì trong mặtphẳng, ta có M M 0 x x y y 0;  0

 

 

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n  0 và

n vuông góc với vectơ chỉ phương của 

2.1.9 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua M x y và nhận0 0; 0

 ; 

n a b làm vectơ pháp tuyến Với mỗi điểm M(x;y) bất kì thuộc mặt phẳng,

ta có: M M 0 x x y y 0;  0Khi đó M x y ;    nM M0

 a x x  0b y y  0 0  ax by ax  0  by0 0

 ax by c  0, c ax0  by0 (2)

Phương trình ax by c   với a, b không đồng thời bằng 0, được gọi là0phương trình tổng quát của đường thẳng.

2.1.10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  và 1  có phương trình tổng quát lần lượt là2

a x b y ca x b y c

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm x y , khi đó 0; 0  cắt 1  tại 2 M x y0 0; 0

b) Hệ (I) vô số nghiệm, khi đó  trùng với 1 2

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó  không có điểm chung với 1  , hay 2 1

song song với 2

2.1.11 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1:a x b y c1  1  1  và 0  :2 a x b y c2  2  2  0Đặt 1, 2

2.1.12 Công thức tính khoảng cảnh từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình

ax by c   và điểm M x y Khoảng cách từ điểm 0 0; 0 M đến đường0

thẳng  , kí hiệu là d M  , được tính bởi công thức 0, 

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi học học sinh gặp bài toán có liên quan giữa toạ độ điểm đã cho vớitoạ độ điểm cần tìm, thường học sinh rất lúng túng và khó tìm ra ngay hướngđể xử lí bài toán đó.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giảiquyết vấn đề

2.3.1 Đặc điểm bài toán:

Trong phần này thông qua các bài toán, tôi trình bày một số dấu hiệu vềmối qua hệ giữa điểm đã cho với điểm cần tìm, để từ đó xây dựng các côngthức, phương trình cần thiết nhằm tìm ra tọa độ điểm mà bài toán yêu cầu.

A , B   2; 2 và C4; 2  Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh

AB và BC , H là chân đường cao hạ từ B lên AC

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là

2 2;3 3

Toạ độ MN  2;2.

Nhận xét và định hướng: Trong bài toán này rõ ràng chúng ta thấy

được nếu có tọa độ của M, N, H thì tìm được tọa độ trọng tâm Mà M, N làtrung điểm của AB, BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ hai điểm đó Còn H làchân đường cao, ta dựa vào điều kiện tọa độ chân đường cao thì việc tìm tọađộ H dễ dàng thực hiện được Cụ thể ta có lời giải bài toán như sau :

c) Ta có M  1;0 và (1; 2)N  nên

Do G là trọng tâm tam giác MNH nên ta có:

1 1;3 3

G    .

Qua bài Bài toán 1 ý d) ta thấy việc tìm ra mối quan hệ giữa điểm đượccho và điểm cần tìm là chìa khóa giải quyết bài toán này Ngoài yêu cầu là tìmtrọng tâm G của tam giác NMH, chúng ta cũng có thể sử dụng giả thiết đónhững với những yêu câu tương tự với những điểm đặc biệt khác Ví dụ sauđậy là minh chứng.

A , B   2; 2 và C4; 2  Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh

AB và BC , H là chân đường cao hạ từ B lên AC

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là

2 2;3 3

Toạ độ MN  2;2.

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác MNH

d) Giả sử I x y Ta có: ; 

 

Đối với những bài toán cho điểm đặc biệt của tam giác và yêu cầu tìmđỉnh của tam giác ta sử dụng công thức biểu diễn về mối qua hệ điểm đó vớiđiểm cần tìm mà học sinh đã được học nhiều ở bậc THCS Ví dụ như các bàitoán sau:

trực tâm H  1;3, tâm đường tròn ngoại tiếp I3; 3  và trung điểm của

) Toạ độ HM  3; 6 .

b) Toạ độ HM  3; 5 .

c) Độ dài BH 2IM 2 2.

d) Gọi D là điểm đối xứng B qua I , ta có

HADC là hình bình hành Theo giả thiết

M là trung điểm AC , suy ra M cũng là trung điểm HD , do đó ta có

 hay D5; 7  Kết hợp với

Do đó A1;5 hoặc A   1; 5, suy ra x y  0 0 5

nhọn, không cân có trực tâm H   1; 1, nội tiếp đường tròn tâmI2;1,

bán kính R  và 5 

Do BC2 .sinRBAC  8 nên

a) Toạ độ HI  3;3.

b) Ta có BC 2 .sinRBAC  8

 

G  

 , tâm đường tròn ngoại tiếp I1; 2 ,E10;6

thuộc trung tuyến AM và F9; 1 BC Biết B có tung độ nhỏ hơn 2.

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

Toạ độ EF  1;7.

b) Ta có

28 16;

u  EG 

.

c) Độ dài IE  9282

d) Do MI BC nên IM MF ; phương trình AM : 4x 7y  , suy ra 2 0

3 7 ;2 4 

M  m  m Ta có IM 7m2;4m4 , FM 7m 6;4m3;suy ra 7m2 7  m 6  4m4 4  m3  0 m hay 0 M3;2 Mà GA  2GM

nên A   4; 2 Lại có phương trình BC x: 2y 7 0 , kết

hợp với IA IB IC  ta được B5;1.

nhọn có A3; 7  và M  2;3 là trung điểm của BC Gọi H K, lần lượt

là chân đường cao hạ từ B C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

) Toạ độ trực tâm của tam giác ABC giác là E3; 1 .

Toạ độ AJ 3;0.

b) Gọi E là trực tâm tam giác ABC , suy ra

E đối xứng A qua J nên E3; 1 .

c) Toạ độ AJ 0;3.

d) Gọi E là trực tâm tam giác ABC , suy ra

E đối xứng A qua J , I là tâm đườngtròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC và D làđiểm đối xứng của A qua I Ta cóEBDC là hình bình hành nên trung điểm

M của BC cũng là trung điểm ED Ta có AE  2IM

và E3; 1  nên

  

các điểm M 1; 2 ,  N2;2 , 1;2 P lần lượt là chân đường cao hạ từ, ,

A B C lên cạnh đối diện.

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

Toạ độ MN    3;4.

) Toạ độ MP  0;4.

c) Diện tích tam giác MNP là 12.

) Toạ độ điểm A  1;4.

Nhận xét và định hướng: Bài toán này muốn làm được cần thiết lập

được mối liên hệ giữa các điểm M, N, P là chân đường cao với các điểm A, B,C thông qua biểu thức vectơ và các kiến thức của các điểm đã được học ởbậc học THCS

MP 

nên

3.4 0.4 62

d) Gọi H là trực tâm tam giác ABC , do B P N C, , , thuộc đường tròn đường

kính BC nên PNB PCB  và H N C M, , , thuộc đường tròn đường kính HC

nên HNM HCM , suy ra PNB BNM  Tương tự ta có MPH NPH,

 

hay H0;1 Ta có:

Suy ra tọa độ các đỉnh tam giác là A  1;4, B4; 1 , C   5; 4.

2.3.2 Bài tập không có hướng dẫn giải

A , trực tâm

2 10;3 3

H  

  và trọng tâm G 1;1 Xác định tọa độcác đỉnh B C, của tam giác ABC biết x  B 0

A B1;0 , C3;1 B B3;1 , C  1;1 .

C B1;1 , C3;1 D B1;1 , C3;0.

Bài tập 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh

 3;6

A  , trực tâm H2;1 và trọng tâm

4 7;3 3

G  

  Xác định tọa độcác đỉnh B C, biết xB xC

A B1; 2 ,  C6;3 B B1;2 , C6;3.

C B1; 2 ,  C6;3 D B1; 2 ,  C6;3.

Bài tập 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC có đỉnhB 1;1 ,trực tâm H  1;3 và tâm đường tròn ngoại tiếpI3; 3  Xác địnhtọa độ các đỉnh A C, biết xA xC.

G  

  và tâm đường tròn ngoại tiếpI  5;1.

Xác định tọa độ các đỉnh A B, biết xA xB

A A2;7 , B4;3. B A4;3 , B2;7.

C A7;2 , B3;4. D A3;4 , B2,7.

đường tròn ( )C có tâm I  2;1 vàAIB 900, D   là hình 1; 1

chiếu vuông góc của A lên BC , đường thẳng AC đi quaM  1;4.

Tìm tọa độ đỉnh B biết A có hoành độ dương.