skkn cấp tỉnh vận dụng phép biến đổi lorentz giải bài tập động lực học tương đối tính bồi dưỡng hsg quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ

GIẢI BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNHBỒI DƯỠNG HSG QUỐC GIA

Người thực hiện: Nguyễn Hoàng HàChức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Vật lý

THANH HOÁ NĂM 2024

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Nhiệm vụ của đề tài 1

1.3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài 2

2.1.1 Sự hạn chế của cơ học cổ điển của Niutơn 2

2.1.2 Các tiên đề của Anhxtanh 3

2.1.3 Động học tương đối tính 3

2.2 Hệ quả của phép biến đổi Lorentz 4

2.2 1 Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả 4

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình ôn thi HSG quốc gia môn vật lý thì vật lý hiện đại làmột phần khó đối với học sinh, đặc biệt là đối với những học sinh có tham vọnglọt vào các vòng thi quốc tế (Apho, Ipho…) Do đó, bên cạnh việc chú trọngcung cấp đầy đủ hệ thống kiến thức nền liên quan đến phần vật lý hiện đại thì việcphân loại chi tiết cũng như cách áp dụng cụ thể các phần kiến thức trong việc giảiquyết các bài tập là hết sức cần thiết Qua tổng hợp nghiên cứu các tài liệu tôinhận thấy trong việc giải các bài toán động lực tương đối tính, những khó khănhọc sinh hay gặp phải là:

+ Phải sử dụng nhiều phép biến đổi toán học phức tạp+ Tư duy của vật lý hiện đại khác so với vật lý cổ điển.+ Các kiến thức khá triều tượng và đòi hỏi tư duy.+ Ít được luyện tập các bài tập liên quan.

+ Khó khăn trong việc tiếp cận bài toán

+ Vận dụng các phần kiến thức đã được học chưa nhuần nhuyễn.

Để khắc phục những khó khăn nói trên cũng như đạt kết quả tốt hơn trongviệc giải quyết các bài tập phần vật lý hiện đại tôi đưa ra sáng kiến “Vận dụngphép biến đổi Lorentz giải một số bài toán cơ học tương đối tính bồi dưỡng họcsinh giỏi Quốc gia”.

1.2 Nhiệm vụ của đề tài

- Tìm hiểu về phép biến đổi Lorentz và các hệ quả của nó

- Vận dụng phép biến đổi Lorentz và các hệ quả giải các bài tập có liên quan.

1.3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết về phép biến đổi Lorentz và các hệ quả để vận dụnggiải các bài tập của động lực học tương đối tính

+ Phạm vi nghiên cứu

Sau khi nghiên cứu, tôi đã áp dụng các phương pháp này trong quá trìnhgiảng dạy cho đội tuyển Vật lý của tỉnh tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia năm

học 2022 – 2023.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau :- Phương pháp điều tra giáo dục.

- Phương pháp quan sát sư phạm

- Phương pháp thống kê, tổng hợp, khái quát.- Phương pháp mô tả.

- Phương pháp vật lý.

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Việc giải các bài toán cơ học tương đối tính đòi hỏi học sin phải nắm vữngnhiều kiến thức vật lý và toán học Tuy nhiên việc hiểu biết sâu sắc về phép biếnđổi Lorentz và các hệ giúp cho học sinh có thêm một hướng để tiếp cận bài toánmột cách dễ dàng Qua đó giúp các em hiểu sâu hơn bản chất vật lý trong các bàitoán Qua đó không chỉ áp dụng với một số bài về động lực học tương đối tínhmà còn có thể áp dụng với nhiều bài khác Bên cạnh đó, các phương pháp sửdụng trong sáng kiến còn có thể hỗ trợ các em trong quá trình làm các bài tập cóliên quan về phần Vật lý hiện đại trong đề thi HSG Quốc gia, trong các kỳ thiApho, Epho, Ipho

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài

2.1.1 Sự hạn chế của cơ học cổ điển của Niutơn

- Cơ học cổ điển của Niutơn mà ta đang áp dụng quan niệm rằng khônggian, thời gian là tuyệt đối (bất biến) không phụ thuộc vào chuyển động cụ thểlà: Khoảng thời gian của một hiện tượng xảy ra, kích thước và khối lượng củavật thể có trị số như nhau trong mọi hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động.

- Nhưng đến cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20 với sự phát triển mạnh của

Khi đó xuất hiện những quan sát mâu thuẫn với quan điểm của cơ học cổ điển.Cụ thể là: không gian, thời gian, khối lượng đều phụ thuộc vào chuyển động Từđó rút ra kết luận là cơ học cổ điển của Niutơn chỉ áp dụng được cho những vật

có vận tốc v << c

tương đối tính (thuyết tương đối hẹp) của Anhxtanh.

2.1.2 Các tiên đề của Anhxtanh

Để xây dựng nên thuyết tương đối của mình Năm 1905 Anhxtanh đưa rahai tiên đề còn gọi là 2 nguyên lý sau:

a) Nguyên lý tương đối: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ

quy chiếu quán tính

Có nghĩa là các phương trình mô tả các định luật vật lý trong các hệ quychiếu quán tính khác nhau đều có chung một dạng

b) Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: Vận tốc ánh sáng

trong chân không có trị số như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính, nó có giá

Từ hai nguyên lý rút ra:

- Anhxtanh mở rộng nguyên lý tương đối của Galile từ các hiện tượng cơhọc sang các hiện tượng vật lý nói chung

- Trong tự nhiên các tương tác không truyền đi tức thời, vận tốc truyềntương tác trong các hệ quy chiếu đều bằng c

- Về mặt hình thức ta có thể chuyển thuyết tương đối Anhxtanh sang cơ

2.1.3 Động học tương đối tính

Xét hai hệ quán tính Oxyz và O’x’y’z’ gọi tắt là hệ K và K’ Giả sử banđầu hai hệ có gốc O trùng O’ Hệ K đứng yên còn hệ K’ chuyển động dọc theotrục Ox với vận tốc v so với hệ K.

a Phép biến đổi Galilê

Không gian là tuyệt đối:

Thời gian là tuyệt đối:

tt '

Công thức cộng vận tốc: ux' ux  v

 Mâu thuẫn trong công thức cộng vận tốc

b Phép biến đổi Lorentz

Từ hệ K’ theo hệ K

Từ hệ K theo hệ K’:

Galilê và thoả mãn vận tốc ánh sáng c là bất biến.

2.2 Hệ quả của phép biến đổi Lorentz

2.2 1 Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quảa Sự co ngắn của chiều dài theo phương chuyển động

Xét một cái thước đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục x’, độ dài củathước trong hệ K’ là:

'1'2 xx

Chiều dài của thước trong hệ K là (thấy thước chuyển động):

12 xxl

;

cvl

thước đó chuyển động < độ dài thước trong hệ mà thước đó đứng yên.Lấy ví dụ sự biến đổi hình dạng của vật: hình vuông, hình cầu ….

b Sự trôi chậm của đồng hồ chuyển động

Xét hai biến cố xảy ra ở cùng một điểm (có toạ độ x’) trong hệ K’.

2 xx

Như vậy: Khoảng thời gian xảy ra một quá trình xét trong hệ quy chiếuchuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian xảy ra quá trình đó xéttrong hệ quy chiếu K đứng yên Hay đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồnghồ đứng yên.

Lấy ví dụ nhà du hành vũ trụ ngồi trên con tàu có v = 299 960 m/s Giả sửmất 10 năm để tới một hành tinh rất xa thì trên Trái Đất đã 1000 năm trôi qua.Nếu nhà du hành đó trở về thì anh ta già đi 20 tuổi nhưng trên Trái Đất đã 2 000năm trôi qua).

c Định lý cộng vận tốc tương đối tính

Từ

và

và



Hoàn toàn tương tự:

Dễ thấy từ công thức trên vận tốc ánh sáng luôn là c trong các hệ quy chiếuquán tính

Theo cơ học tương đối tính của Anhxtanh trong quá trình chuyển động khốilượng thay đổi nên phương trình đúng phải là:

(5.1)Trong đó động lượng tương đối tính:

Thấy khối lượng của vật phụ thuộc vào vận tốc:

Khối lượng tăng lên khi vật chuyển động và ,ta thấy khối lượng phụ thuộcvào hệ quy chiếu

2.3.2 Năng lượng trong thuyết tương đối

Từ định luật bảo toàn năng lượng: độ tăng năng lượng của vật = công của

dsFdA

Theo (5.1): dscvvmdt

Mặt khác từ :

2221 

(5.4) Gọi là hệ thức AnhxtanhHệ quả rút ra từ hệ thức Anhxtanh

a Biểu thức động năng

Sự tăng năng lượng do chuyển động là do xuất hiện động năng:

cổ điển)

Thật vậy: khi v << c  2

2 mcc

b) Liên hệ giữa động lượng tương đối tính và năng lượng của vật

Từ

Bình phương 2 vế ta được:

 222

21 mcc

W   o

 222

W  o

 222

W  o

 222

2(mv) cmcW  o

 22 222 mcpc

2.4 Bài tập vận dụng

2.4.1 Một số bài tập giải chi tiết

Bài 1.5 : Thời gian sống trung bình của một mezon  được sinh ra ở tầng

mới được sinh ra, hạt có vận tốc 0,998c, chuyển động đi xuống mặt đất Hỏi đốivới một quan sát viên đứng trên mặt đất, khoảng cách trung bình mà hạt đó cóthể đi được trước khi bị biến mất bang bao nhiêu Tính theo cơ học cổ điển vàtheo thuyết tương đối

Theo cơ học cổ điển, quãng đường hạt đó đi được là:

s 0,998.(3.108).2.106598,8

Có nghĩa là hạt này không bao giờ tới được mặt đất (s < 6000 m)

Đối với quan sát viên trên mặt đất (hệ K) thời gian sống của hạt đó là:

Đối với quan sát viên trên mặt đất quãng đường hạt đó đi được trong thờigian tồn tại của nó là:

Bài 1.6: Đối với quan sát viên đứng yên so với hạt ở bài trên, khoảng cách

từ hạt đó tới mặt đất khi nó bị phân rã là bao nhiêu? So sánh khoảng cách đó vớikhoảng cách từ hạt tới mặt đất khi nó bắt đầu sinh ra.

Đối với quan sát viên đứng yên so với hạt mezon thì+ Trái Đất dịch chuyển với tốc độ là v = 0,998c+ Thời gian tồn tại của hạt là to 2.106(s)

Đối với quan sát viên đó (đóng vai trò là hệ K), Trái Đất (đóng vai trò hệK’) chuyển động nên khoảng cách ban đầu (đứng trên mặt đất nhìn) 6000 m làchiều dài riêng lo.

Khoảng cách đó đối với quan sát viên (thấy Trái Đất chuyển động sẽ bị co

lo 16000.1 0,998 379,3

Một lần nữa thấy rằng hạt này đi được đến mặt đất vì đối với quan sát sátviên: l d'

Bài 1.7

a) Số chỉ của đồng hồ nhà du hành (hệ quy chiếu K’) là thời gian riêng

Đồng hồ ở trạm là đồng hồ gắn với hệ quy chiếu K:

Số chỉ của đồng hồ này là: 0,6 37,51

phútVậy lúc đó đồng hồ trên chạm chỉ 12h 37,5 phút

b) Khoảng cách từ Trái Đất tới trạm do quan sát viên trên mặt đất đo được là

d .(0,6)(3.108)(37,5.60)4,05.1011

Khoảng cách từ Trái Đất tới trạm do nhà du hành đo được là

+ Vận tốc truyền tín hiệu là: c

Thời gian Trái Đất nhận được tín hiệu liên lạc với đồng hồ ở mặt đất:

Tính thời gian Trái Đất nhận được tín hiệu liên lạc với đồng hồ của nhà duhành vũ trụ

Tất cả là xét trong hệ quy chiếu gắn với nhà du hành+ K/c từ trạm đến Trái Đất là: d'3,24.1011m

+ Vận tốc truyền tín hiệu là: c

Thời gian Trái Đất nhận được tín hiệu liên lạc với đồng hồ ở mặt đất:

Bài 1.10:

a) Khi đầu A đi qua O ta mở cửa chập thì ánh sáng từ A từ vào máy luôn, còn

với O (vì phải là hiệu hai hoành độ ở cùng một thời điểm).

Trong khoảng thời gian từ (tB,0)đầu A đi được một đoạn là:

Vậy chiều dài của thước là: l 0,720,91,62(m)

1 2

b) Muốn máy ghi lại được chiều dài l thì phải chụp ở thời điểm nào

c) Khi đầu B’ đi qua O ta mở cửa chập thì ánh sáng từ B’ từ vào máy luôn,còn ánh sáng từ đầu A’ muốn vào máy cần khoảng thời gian là

Trong khoảng thời gian (tA,0)thì đầu A đi một đoạn là: x0,8c.tA 0,72(m)

Ta có phương trình: x + l = 0,9  l 0,18(m)

Bài 1.11

Chiều dài của nửa quãng đường là: so 2,2.9,46.10152,08.1016(m)

Đối với đồng hồ trên Trái Đất thời gian bay nửa quãng đường đầu là:

Đối với đồng hồ trên Trái Đất thời gian bay cả đi lẫn về là: t4to 81,6.107(s)

Gọi v là vận tốc trung bình cả đi lẫn về của tên lửa đối với Trái Đất.

Thời gian đo của nhà du hành là thời gian riêng: 1 22

Bài 1.12:

a) Đối với người B trên trạm vũ trụ thì thời gian người A đi là:

Thời gian cả đi lẫn về đối với người B là: 10 năm

36,01 2

Thời gian cả đi lẫn về đối với người A là: 6 năm

Khi hai người gặp nhau thì người B hơn người A 4 tuổi.

lúc với A.

Sau 10 năm phát được 10 tín hiệu, tín hiệu ở thời điểm 1 năm A bắt đầunhận được đường đi và 9 tín hiệu còn lại nhận được trên đường về.

Suy ra vận tốc tên lửa B đối với phi công A là: v 1,8.100,6c

Đó cũng là vận tốc của tên lửa A so với phi công trên tên lửa BĐối với phi công B chiều dài tên lửa A là:

Thời gian cần thiết để thấy mũi tên lửa của mình đi hết chiều dài của A là:

Bài 1.15

a) Đối với O dù hai tên lửa đi cùng chiều hay ngược chiều thì vận tốc ra xahay lại gần của chúng là:

ccc 0,61,48

Theo công thức cộng vận tốc tương đối tính

c) 1,4c

Thì đối với O: vận tốc tương đối là 2c

Bài 1.17

Động lượng tương đối tính:



Yêu cầu sai số:    0,01

99,01 2

 mcmccm

v 

Bài 1.19

chúng Bằng cách nào có thể kiểm tra lại giá trị của tổng động năng Lấy

1 u c 931,5(MeV)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng:

K  o 

K  o 

Kiểm chứng: khối lượng nghỉ đã giảm một lượng:

u (2,5724,572)2,856

Tương ứng với sự tăng động năng chính là tổng động năng các hạt sinh ra:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng:

Kiểm chứng: khối lượng nghỉ đã giảm một lượng:

Tương ứng với sự tăng động năng

0 mc  mc  MeV

Sai số là nhỏ

Bài tập bổ xung áp dụng phép biến đổi Lorentz

Bài 1: Một hạt chuyển động với vận tốc 0,8c và tạo với trục x một góc 300

đối với một quan sát viên O Xác định vận tốc của hạt đối với một quan sát viênO’ chuyển động dọc theo trục chung x-x’ với vận tốc

v = -0,6c

Đối với quan sát viên O ta có:

ux 0,432

Vận tốc của hệ K’ so với hệ K là v = - 0,6c

Các vận tốc theo phương x’ và phương y’ đối với quan sát viên O’

Vận tốc của hạt đối với quan sát viên O’:

u' x'2 y'2(0,913)2(0,226)20,941

Bài 2 (HSGQG 2009): Hãy cho biết sự thay đổi hướng của vận tốc khi

chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu quán tính khác Từ đó rút ra công

quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác

Từ hình vẽ ta có:

ux  ; ''.sin'

uuy 

Lại có công thức biến đổi vận tốc từ hệ K sang hệ K’:

và

2

Đối với ánh sáng ta thay u = c ta được:

Bài 3: Giả sử lực Ftác dụng lên hạt cùng hướng với vận tốc của hạt Tìmbiểu thức tương ứng của định luật hai Niutơn trong trường hợp tương đối tính.

* Cách 1:

2 1 1(/))

Bài 4: Áp dụng định luật hai Niutơn tìm biểu thức của vận tốc tương đối

tính của một hạt điện tích q chuyển động theo một đường tròn bán kính R vuông

(Đạo hàm vectơ)

Do trong từ trường hạt chuyển động tròn đều nên vận tốc và gia tốc vuông

)/(1 vc

Lại có lực tác dụng lên điện tích là lực Lorent:

F    F qvB (2)

mqBRv 

Bài 5: Hai vật giống nhau với khối lượng nghỉ mỗi vật là mochuyển động lạigần nhau với cùng tốc độ v và va chạm hoàn toàn không đàn hồi với nhau rồi tạothành một vật duy nhất Xác định khối lượng nghỉ của vật tạo thành xét trong hệ K.

Theo định luật bảo toàn năng lượng: Whệ đầu = Whệ sau

oo 

Ta thấy không có định luật bảo toàn khối lượng

Bài 6: Xác định khối lượng nghỉ của vật tạo thành trong bài trên theo quan

điểm của một quan sát viên đứng yên đối với một trong hai vật lúc đầu.

Trong hệ K thì vật tạo thành đứng yên, nên trong hệ K’ vật tạo thành phảicó vận tốc u1' v

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng xét trong hệ K’

Kết quả trùng với quan sát viên trong hệ K nhận được khi dùng định luậtbảo toàn năng lượng

Nhận xét: nhiều khi có thể rút ra vận tốc dựa trên việc chuyển hệ quy chiếu

Bài 7: Hai thanh có cùng độ dài riêng lochuyển động song song với mộttrục chung đến gặp nhau Trong hệ quy chiếu gắn với một trong hai thanh,khoảng thời gian giữa hai lần trùng nhau của các đầu bên trái và đầu bên phải

thanh kia

Xét hệ K gắn với thanh AB như hình vẽ, đối với hệ K thanh CD chuyểnđộng sang trái với vận tốc tương đối v.

Xét t = 0 là thời điểm đầu B trùng đầu C.

Do sự co lại của chiều dài nên toạ độ của đầu D tại thời điểm t = 0 là:

lo  o 

lo  o 1 2 .

Bài 8: Một thanh AB được định hướng dọc theo trục x của HQC K, chuyển

động với vận tốc không đổi v dọc theo chiều dương của trục x Đầu trước (theoquá trình chuyển động) là điểm A, đầu sau là điểm B Hãy tìm:

lúc tB toạ độ của điểm B là xB

b) Sau một khoảng thời gian bao lâu, cần phải ghi lại các toạ độ của đầu vàcuối thanh trong hệ K để hiệu các toạ độ bằng độ dài riêng của thanh

Tại thời điểm tA:

+ Toạ độ đầu B là: xA

)(tBtAv  :

( 11)

Bài 9: Hai thanh có cùng chiều dài riêng lo chuyển động dọc theo một

chiếu gắn với thanh kia.

Trước hết ta tìm vận tốc tương đối V của thanh này trong hệ quy chiếu gắnvới thanh kia

Gọi K’ là hệ quy chiếu gắn với thanh 1 (bay sang phải)

/1 vvc

22/.1 vc

2.4.2 Một số bài tập vận dụng tương tựBài 10: Đo vận tốc ánh sáng trong nước

Vận tốc ánh sáng trong nước đứng yên là c/n với n là chiết suất của nước (