skkn phương trình hàm với phép biến đổi đối số

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN THÙY DUNG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: VŨ THỊ VÂN

LẠI THU HẰNG

Bắc Giang, tháng 03 năm 2023

I.2 Một số kiến thức về phương trình hàm……….… 4

Chương II MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM TUẦN HOÀN, PHẢN TUẦN HOÀN CỘNG TÍNH 9 II.1 Kiến thức cần nhớ……… 9

II.2 Bài tập……… 10

II.3 Một số bài tập tự luyện……… 20

Chương III HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG 21 III.1 Phương trình hàm sinh bởi phép đối xứng, phép nghịch đảo Các bài toán liên quan đến hàm chẵn, hàm lẻ ……… 21

III.2 Phương trình hàm dạng f x(a) ( )f x b……… 24

III.3 Phương trình hàm dạng f a x( ) ( )f x b……… 28

III.4 Phương trình hàm dạng f ax(b)c f x ( )d……… 33

III.5 Một số bài tập tự luyện……… 43

Chương IV HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH 44 IV.1 Một số kiến thức cơ bản……… 44

IV.2 Ví dụ và phương pháp giải……… 44

IV.3 Một số bài tập tự luyện……… 53

Kết luận……… 53

Tài liệu tham khảo……… 54

2

MỞ ĐẦU

Phương trình hàm là một nội dung không thể thiếu trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT, cũng là một chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trong các trường THPT chuyên Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, hay và thường rất khó, bao gồm nhiều mảng kiến thức sâu rộng Nó đòi hỏi người đọc không những nắm vững các kiến thức về số học, đại số, giải tích mà còn phải có những kỹ thuật và tư duy tốt để giải một bài toán về phương trình hàm Với bản thân em, phương trình hàm là một chuyên đề tuy khó nhưng rất thú vị, khiến em muốn tìm hiểu Được sự đồng ý và giúp đỡ của các thầy cô bộ môn, em đã nghiên cứu và viết

chuyên đề “Phương trình hàm với phép biến đổi đối số” Đây không chỉ là những tích

lũy của em sau khi tìm hiểu mà còn là một phương tiện để em có thể trao đổi, trau dồi kiến thức nhờ sự góp ý của mọi người Sự góp ý ấy giúp cho chuyên đề hoàn thiện hơn, để việc học tập của em ngày càng tốt và hiệu quả

Trong chuyên đề này, em tập trung nghiên cứu sự tác động của biến đổi đối số trong việc giải phương trình hàm một biến Chương I gồm một số kiến thức cơ bản nhất về ánh xạ cũng như phương trình hàm, cung cấp một số kỹ thuật giải quyết phương trình hàm cho bạn đọc Chương II đề cập một số bài toán liên quan đến hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính Chương III gồm các dạng phương trình hàm được xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng và chương IV nghiên cứu về hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến tính Ở mỗi chương, em đều đưa vào các ví dụ minh họa với lời giải ngắn gọn, rõ ràng; có định hướng cho mỗi bài với những chú ý, nhận xét em rút ra được khi nghiên cứu Đặc biệt, em đã tổng quát được hầu hết các dạng toán được đề cập trong chuyên đề này Điều đó giúp cho người đọc có cái nhìn bao quát hơn, hiểu được bản chất, có thể giải được các bài toán tương tự Ở cuối mỗi chương, em đều đưa vào một số bài toán để bạn đọc có thể luyện tập, từ đó hiểu sâu hơn, cũng như có thể có những phát hiện mới về chuyên đề này

Trong quá trình từ lựa chọn đề tài cho chuyên đề đến thực hiện chuyên đề, em đã nhận được sự hướng dẫn, cổ vũ, động viên của cô Vũ Thị Vân và cô Lại Thu Hằng, giáo viên Toán trường THPT Chuyên Bắc Giang Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến hai cô với sự giúp đỡ to lớn cho em khi thực hiện chuyên đề này

Do trình độ và thời gian có hạn, chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót cả về mặt nội dung cũng như hình thức, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý bạn đọc

Bắc Giang, tháng 03, năm 2023 Người thực hiện Nguyễn Thùy Dung

fX Y) là một quy tắc cho mỗi phần tử x X tương ứng với một phần tử xác định

yY, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x

Ánh xạ f :X Y được gọi là đơn ánh nếu x x1, 2X x, 1 , ta cóx2 f x( )1  f x( )2

Chú ý: Ánh xạ f :X Yđược gọi là đơn ánh nếu f x( )1  f x( )2 kéo theo x1 x2

4 Ánh xạ f :X Y được gọi là toàn ánh nếu    yY, xX sao cho f x( ) y

Ánh xạ f :X Y được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh

Chú ý: Ánh xạ f :X Yđược gọi là song ánh nếu    yY, !xX sao cho f x( )y

I.1.3 Hàm số

Định nghĩa: Cho X  và Y  Khi đó ánh xạ f :X Yđược gọi là một hàm số từ

tập X đến tập Y

Chú ý Tập X gọi là tập xác định của hàm số f

Tập hợp y y|  f x x( ), Xđược gọi là tập giá trị của hàm số f

I.2 Một số kiến thức về phương trình hàm

I.2.1 Khái niệm phương trình hàm

- Một phương trình hàm là một phương trình trong đó các ẩn số là các hàm số chứ không phải các số đơn giản

Chẳng hạn các phương trình sau là các phương trình hàm: f x( ) f x(3)2x  5, x ; f x( ) f y( ) f x(y) 2, x y,.

5

I.2.2 Một số tính chất của hàm số thường sử dụng khi giải phương trình hàm

- Tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh - Tính liên tục của hàm số

- Tính chẵn, lẻ của hàm số - Tính đơn điệu của hàm số - Hàm cộng tính, nhân tính

- Tính trù mật, khả vi, của hàm số

I.2.3 Một số kỹ thuật giải phương trình hàm

Kỹ thuật 1:

- Tìm các nghiệm riêng đơn giản như hàm hằng, hàm bậc nhất

- Dựa vào các nghiệm đó để hiểu hơn về hàm cần tìm, từ đó có thể có phương hướng tìm ra cách giải

Kỹ thuật 2:

- Tìm các giá trị đặc biệt của f x( ) VD: f(0); f(1); f ( 1);

- Nếu không tính được các giá trị đó ( f(0); f(1); f ( 1); ), ta có thể đặt chúng bằng tham số

Kỹ thuật 3:

- Nghiên cứu các tính chất đặc biệt của hàm số: đơn ánh, toàn ánh, tính liên tục, tính đơn điệu, tính chẵn, lẻ,

Kỹ thuật 4:

- Khai thác tính đối xứng trong phương trình hàm

I.2.4 Phương pháp thế giá trị đặc biệt

6 Cho y 0 vào (1), ta được:

2 ( )f x  f x( ) 2 (0) f , xx2    f x( )x2,  x

    , t  Hay f x( )x3x2 x 1, x 

Thử lại, ta được hàm số f x( )x3x2 x 1, x  thỏa mãn bài toán

Nhận xét: Ở bài toán này, việc thế ẩn đưa phương trình hàm với biến x  về một 1phương trình hàm mới với biến t giúp ta dễ xử lí hơn

f x( ) 2 ( )f 1 3xx

  ,  x \{0} (1)

Hướng dẫn giải:

Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài

Đặt t 1x

Thay x bởi t vào (1), ta được:

f( ) 2 ( )1 f t 3

t   t ,  t \{0}

2( )

f xxx

Thử lại, ta được f x( ) 2 xx

  ,  x \{0} thỏa mãn bài toán

Nhận xét: Khi trong phương trình hàm, hàm số tác động đến nhiều đối số khác nhau, ta

thường đặt ẩn phụ, thế vào phương trình hàm ban đầu để tạo ra các phương trình mới; từ hệ phương trình hàm có được để tìm ra hàm số thỏa mãn

(0) 1

f xxf

  

8 ( ) ( ) ( )

f x f  f, x 

 ( ). ( ) 1 02

ff x   , x 

Mà ( ) 02

f  , x  Do đó, f x ( )1, x 

Thử lại, ta được hàm số f x ( )1, x  thỏa mãn đề bài

Vậy các hàm số thỏa mãn đề bài là: f x( )  0, x ; f x ( )1, x 

TxD x TDf x Tf xxD

TxD x TDf x Tf xxD

là hàm tuần hoàn chu kì 2T trên D

10 Nếu hàm số f tuần hoàn với chu kì T (T > 0) trên D thì x  và nD   :

f x(nT) f x( )

Nếu f x( ) tuần hoàn với chu kì T (T > 0) thì f ax() tuần hoàn với chu kì T

a (a  ) 0Nếu hàm số f không tăng hoặc không giảm trên D; đồng thời tuần hoàn trên D với chu kì T (T > 0) thì hàm số f là hằng số trên D

II.1.3 Một số hướng giải bài toán

- Đưa phương trình hàm đã cho về dạng F x(a)F x( ), từ đó tìm được hàm số thỏa mãn

- Chứng minh được hàm số không tăng hoặc không giảm trên D, kết hợp với tính

tuần hoàn để suy ra hàm số f là hàm hằng

Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài

Dễ thấy hàm số f x( ) tuần hoàn với chu kì T 1 Khi đó, theo tính chất của hàm tuần hoàn, ta được:

()( )

f xn  f x, x  , n  Do đó: f x( ) f    x  x  f   x, x  (2) Đặt: g : 0;1 

x g x( ) f x( ) Từ (2), ta được: f x( )g  x, x 

11 Ngược lại, nếu f x( )g  x, x  , trong đó g x( ) là hàm số tùy ý, xác định trên

0;1 thì:

Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài

Trong (1), cho x bởi ax , ta được:

f ax(a) f ax(), x  ,a  (2) 0Đặt g x( ) f ax() x  f x( ) gx

Nhận xét: Hai bài toán trên là hai bài toán quan trọng, giúp chúng ta giải được tất cả

các hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn với chu kì cho trước

()( )( )

f xa  f x h x, x  (1) Với h x( )là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a trên

Mà h x(a)h x( ), x  do h x( )là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a trên

Khi đó, dễ thấy phải đưa (1) về dạng:

f x(a)k x(a h x) (a) f x( )kx h x ( ), x  ()() ( )( ) ( )

f xak xa h xf xkx h x

 , x 

  , x  , a  0

Khi đó, phương trình (2) thành:

g x(a)g x( ), x  , a  0Dễ dàng chứng minh được g x( ) kx

   

 , x  , a  0

Tổng quát bài toán:

Cho a 0, tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn: ()( )( )

f xa  f x h x, x  (1)

Với h x( )là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì b trên (với b và ab  ) 0

rất hay được sử dụng, chúng ta nên nhớ

- Nếu h là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì a , ta đưa về h là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 2a trên rồi làm tương tự bài 3

()( )( )

f xa  f x h x, x  (1)

Với h x( )là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì b  trên

Hướng dẫn giải:

Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài

Ta có: h x( )là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kì b  trên

h x( )là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 2b trên

Đặt lcm a b( ; 2 )k, (k )

ka akb b



15 Khi đó, từ (1), ta được:

  , x  , k , ta được: g x(k)g x( ), x  , k 

Thử lại, ta được hàm số 1

( ) ( ) 2 x

f x g x   , x  ( g là hàm tuần hoàn chu kì 1, tùy ý

trên ) thỏa mãn đề bài

Chú ý: Để xuất hiện dạng g x( 1) g x( ), ta chú ý các đồng nhất thức sau:

(a1)ax ax  ax

xg xf xx

  , x  , ta được:

(2 )( )

g x  g x, x  Suy ra ( ) ( ) cos

xf xg xx

  , x  , g x( )là hàm tuần hoàn chu kì 2 , tùy ý trên

Thử lại, ta được hàm số ( ) ( ) cos2

xf xg xx

f m f m f m ,  m *,m (3) 2Từ (2) và (3) suy ra:

   thỏa mãn đề bài Vậy hàm số thỏa mãn là: f m ( )1,   m *

yx

19 ()( )

f xyf y

 , x y,   Suy ra hàm số f là hàm không tăng trên  Ta xét các trường hợp:

TH1: Nếu   để y0 0 f y  ( ) 10Trong (1), cho y , ta được: y0

Thử lại, ta được hàm số f x ( )1 x  thỏa mãn đề bài TH2: Nếu 0 f y( )1, y  

 ( ) ( ) ( )

f x f yf yf y

  , x y,   Hay f x(y) f y( ), x y,  

 Hàm số f giảm thực sự trên  Đặt f(1)a ( 0  ) a 1

Trong (1), cho y 1, ta được:

f ax a f x ,  x  Ta có: f x( 1) f x( 1 axax),  x 

( 1) ( 1 ) ( ) ( )

     ,  x  Mà f ax a(). f x(1),  x 

20 Suy ra a f (x 1 ax f ax) ( ),  x 

(1) ( 1 ) ( )

    ,  x  1(x 1 ax f ax) ()

  ,  x  vào (1), ta được hàm số trên thỏa mãn (1)

Vậy các hàm số thỏa mãn đề bài là: f x(a) ( )f x b, x 

II.3 Một số bài tập tự luyện.

Chứng minh rằng hàm số g x( ) f x( )x là hàm tuần hoàn

III.1.1 Một số kiến thức cơ bản

- Hàm số f được gọi là hàm lẻ trên D nếu:

III.1.2 Bài tập

i f(  x) f x( ), x  ii f x( 1) f x( ) 1 , x  iii f 1 f x( )2

   

  , x  , x  0

22

Hướng dẫn giải:

Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài Do f(  x) f x( ), x  nên f là hàm lẻ Ta có:

f xx

f xxx

f xx

 ,   x 0

Ta có: f(  x) f x( ), x  Cho x 0, ta được: f(0) f(0)

 Khi đó, ta được: f x( )x, x 

Thử lại, hàm số f x( )x, x  thỏa mãn đề bài Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là: f x( )x, x 

Nhận xét: Ở bài này, ngoài sử dụng tính chất hàm lẻ, ta còn sử dụng tính nghịch đảo

của các ẩn mà hàm tác động; dựa trên dữ kiện, tính hàm số bằng 2 cách để đưa về phương trình hàm đơn giản hơn

 

 ,   thỏa mãn đề bài x 0Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là: f x( ) x33 x2 1

 

 ,   x 0

Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài

Trong (1) cho x bởi

f x( ) x2 f(0), x  Trong (1), cho y 0, ta được:

( ) 3

f x  , xx  

III.2 Phương trình hàm dạng f x(a) ( )f x b

  , x  Ta được:

()( )

g xa g x, x  Vậy f x( ) g x( ) b.x

bg xf x

bf xg x

 , x  Khi đó, thay vào (1), ta được:

26 () ( )

g xa g x

 , x 

g x  h x, x  Khi đó, ta được:

h x

 , x  Như vậy: Với   , 0   , 1 ( ) ( )

27 (3)( )

f xg xx

   x  Khi đó, (1) thành:

( 2022) 5 ( 2022) ( ) 5 5

g x  x g x  x , x  (2022)( )

 , x 

Suy ra ( ) ( ) 5 2022

f x g x  x, x  , với g x( ) là hàm số tùy ý sao cho (2022)( )

28 Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài

Đặt ( ) ( ) sin2

g x  f x  , x  Khi đó, thay vào (1), ta được:

f a x  f x c, x  (2) Trong (2), cho x 0, ta được:

c 

29 Khi đó: f ax() f x( ), x  hay f là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì a trên

Đặt ( ) ( )1

cg xf x

 , x  ( ) ( )1

cf xg x

 , x  Thay vào (1), ta được:

g axb g x

 , x  (3) Trong (3), cho x 0, ta được:

Với b  , 0 b  , 1 ( ) log ( )1

Với b  , 0 ( ) log ( )1

Thử lại, ta được các hàm số tìm được đều thoả mãn đề bài

Đặt ( ) ( )2

g x  f x  ,  x Thay vào (3), ta được:

Suy ra g x( ) là hàm lẻ bất kỳ trên Khi đó, ( ) ( )

cg xf x

 ,  x , ta được:

31 g( x) b g x ( ),  x

cf x

f x g x  ,  x , với g x( ) là hàm lẻ bất kỳ trên

Khi b  1, ( )1

cf x

ba

32 Do đó, ( )( ) log1

f x g x  x ,  x0, với g x( ) là hàm số tuỳ ý sao cho g ax( )g x( ) Thử lại, ta được hàm số ( )( ) log1

f x g x  x ,  x0, với g x( ) là hàm số tuỳ ý sao cho g ax( )g x( ) thoả mãn đề bài

g x(5 ) 5 3  g x( ) 1  2,  x

gxg x

  ,  x (2) Trong (2), cho x 0, ta được:

g  f(0)1 Với x 0, đặt log 35

g x  xh x , ta được: f ax() f x( )  b x 0,   x 0

 thoả mãn đề bài

với h x( ) là hàm số tuỳ ý sao cho h(5 )x h x( ),   x 0

34 ()( )

f axb  f x d, x  (2) Cho

f axb  f x, x  Đặt ( )

bf xh x

bf xh x

dg xf x

 , x  ( ) ( )1

df xg x

 , x  Khi đó, (1) thành:

 vào (2), ta được:

35

 

Thử lại, ta được các hàm số tìm được đều thoả mãn đề bài

Bài 2: Cho a  \ {1; 0; 1} , b  \ 0 , c  Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn:

()( )

f axb  f x c,

bx

36 Đặt ( )

bf xg x

h x g x  x,   x 0 ( )( ) log1

ca

f xg x

   , x  Khi đó, (1) thành:

g( 3) 2 ( 3)g  ( 3)0

 ,    x 3

Hay h(2 )x h x( )   x 0 h(2 )x h x( ), x  Do đó, 9 log (5)2

f  

x   (1)

39 Thử lại, ta được hàm số trên thoả mãn đề bài

Vậy hàm số f x( ) thoả mãn đề bài xác định: 1 32

f     và

202220222023

gx  g x  , x  (35)( )

g x h x  

 , x  Khi đó, (2) thành:

t x

40 Do đó, hàm số f x( ) xác định: 5 2022

Bài 6: Cho a  \ {1; 0; 1} , b  \ 0 ,p0,q Tìm tất cả các hàm số f :thỏa mãn:

 bởi x , ta được:

()( ).1

pb q aqa

pbqa 

Trường hợp 2: Nếu 01

pbqa 

 thoả mãn điều kiện

 có nghiệm kép x  1

Trong (1), cho x 1, ta được: (1)2 (1) 3

f  f  f(1)3 Xét x  1

Đặt h x( ) f x( ) 3 ,  x 2, thay vào (1), ta được: 1 3 ( ) 3

45

( )2

 , ta được t  , 0 t  và 1

k tk t

  ,   ,t 0 t  1Như vậy, hàm số f x( ) xác định như sau:

 1

 có 2 nghiệm phân biệt: x  và 1 x  2

Trong (1), lần lượt cho x  và 1 x 2, ta được: