SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP CÁC HÀM SỐ
ĐẶC BIỆT NHÓM THỰC HIỆN:
Tô Trang Nhung Nguyễn Hà Phương Lưu Thu Thủy Hà Thủy Anh
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: VŨ THỊ VÂN LẠI THU HẰNG
Bắc Giang, tháng 03 năm 2023
Trang 21.2.1 Các khái niệm cơ bản………
1.2.2 Một số lưu ý………
1.2.3 Ví dụ minh họa………
6 6 7 7 1.3 Tính đơn điệu của hàm số………
HÀM SỐ LIÊN TỤC 69 2.1 Hàm số liên tục………
2.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm………
2.1.2 Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn………
69 69 69 2.2 Phương trình hàm trên lớp hàm liên tục……
2.2.1 Phương trình với một ẩn hàm………
2.2.2 Phương trình với hai ẩn hàm………
2.3 Một số bài toán vận dụng………
69 69 71 82 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN CÁC LỚP HÀM SỐ CÓ ĐẠO HÀM 84 3.1 Sử dụng định nghĩa đạo hàm……… 84
3.2 Sử dụng phương pháp lấy đạo hàm theo từng biến…
3.3 Bài tập vận dụng………
89 92
Trang 3Lời mở đầu
Phương trình hàm là một lĩnh vực khó trong chương trình Chuyên Toán THPT Các phương pháp giải các bài toán phương trình hàm vô cùng đa dạng, thường không theo một quy tắc nào và phụ thuộc nhiều vào giả thiết của từng bài toán cụ thể Và chúng em muốn đề cập tới một mảng phương trình hàm khá quan trọng trong chương trình chuyên, đó là "Phương trình hàm trên các tập đặc biệt" để giúp các bạn hiểu rõ hơn về lĩnh vực này
Ở chuyên đề này, chúng mình sẽ đưa ra những khái niệm cũng như tính chất về hàm chẵn lẻ, tính đơn điệu của hàm số, hàm đơn ánh, song ánh, hàm liên tục, Qua đó để các bạn hiểu hơn và có những cách giải cụ thể cho từng bài toán
Trong quá trình tự lựa chọn đề tài cho chuyên đề đến thực hiện chuyên đề, chúng em đã nhận được sự hướng dẫn, động viên và ủng hộ nhiệt tình từ cô Vũ Thị Vân và cô Lại Thu Hằng Qua đó, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến hai cô và các thành viên trong nhóm đã cùng nhau đóng góp để xây dựng nên chuyên đề hoàn chỉnh Dù đã cố gắng hết sức, nhưng do kiến thức và thời gian có hạn, chúng em không thể tránh khỏi được những thiếu sót nhất định Chúng em rất mong nhận được từ góp ý chân thành từ cô và các bạn để có thể hoàn thiện hơn!
Trang 4* Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ 1.1.2 Tính chất
Hàm số f x có tính chẵn lẻ trên D thì nếu ta biết f x trên D [0;)thì ta biết được f x trên [ ;0) D
1.1.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chox0R Xác định tất cả các hàm sốf x thỏa mãn: 0 ,.
xg t f t
Trang 5xf x g x
aa xt
Trong đóg x là hàm số lẻ tùy ý trên R
Ví dụ 3: (Đề nghị thi Olympic 30/4/2011) Tìm tất cả các hàm sốf R: R, biết rằng
Trang 6và y bởi 2
1.2 Tính chất đơn ánh, song ánh, toàn ánh
1.2.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1.1: Cho hai tập hợp A và B Với mỗi a ∈ A tương ứng với đúng một phần tử thì b ∈ B, ta nói flà một ánh xạ từ A đến B, kí hiệu là f A: B Phần tử b gọi là ảnh của a và viết là b f a( )
Trang 7Định nghĩa 1.2.1.2: Ánh xạ f A: B là đơn ánh nếu với mọi a a1, 2Asao cho
Nếu f R: R là đơn ánh thì từ f x( ) f y( ) suy ra xy.
Nếu f R: R là toàn ánh thì với mọi yR, luôn tồn tại x ∈ R để cho f x( ) y,
tức là phương trình ( ẩn x ) y f x( ) luôn có nghiệm
Nếu f là một hàm số mà đơn ánh thì ta rất hay dùng thủ thuật tác động f vào hai vế, hoặc tạo ra
f g x ( ) f h x ( )g x( )h x( ).
Nếu f là toàn ánh thì ta hay dùng: Tồn tại một số b sao cho f b ( ) 0
Nếu hàm số f R: R thỏa mãn f f x( )a x. b, xR a(0) thì f là song ánh
Chứng minh:
Giả sử f x( )1 f x( 2) Khi đó
ax1 bf f x( )1 f f x(2)ax2 bx1x2. Vậy f là đơn ánh Với mọi yR, luôn tồn tại xfy bR
Trang 8Vậy f là toàn ánh, do đó f là song ánh
Thay xa f (0)b
Trang 9Ví dụ 1.2.3.1.2 (Slovenie-1999) Tìm tất cả các hàm số f R: R thỏa mãn điều kiện f x( f y( )) 1 x y, x y R,
Hướng dẫn: Ví dụ này là một trường hợp riêng của ví dụ 2
Ví dụ 1.2.3.1.3: Tìm các hàm số f : 0; 0; thỏa mãn :
( ( )) , , 0; .1
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Từ giả thiết suy ra f x( ) 0, x 0.
Trang 10
Trang 11Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Từ giả thiết suy ra f x( ) 0, x 0.
Trang 12 , vì với x 100thì (100) 2 265 0,300204
Thay y 0 vào (1) ta được f x( f(0)) f f x( ( )), x R
xf(0) f x( ), x R ( do f là đơn ánh ) f x( ) x c, x R ( c f(0) là hằng số ) Thử lại vào (1) thấy thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm là
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
+)Trường hợp 1 : f(0) 0 Từ (1) cho x 0, ta được f y( ) 0, y R
Trang 13+)Trường hợp 2 : f(0) 0 Đặt f(0)c Từ (1) cho y 0 , ta được (x2)c f(2 ( ))f x f x( ), x R (2)
Giả sử tồn tại x x1, 2 sao cho f x( )1 f x( )2 , từ (2) suy ra (x12)c(x22)c x1 x2 Vậy f là đơn ánh Từ (2) cho x 2 ta được
f x
f x
và kết hợp với (3), ta được
000
2 ()
2( )( )0,() 1
f x
, kết hợp với (3) suy ra f(1) 0 Thay y 1 vào (1) ta được
f(1 2 ( )) f x f x( f x( )), x R
1 2 ( )f x xf x( ), x R ( do f là đơn ánh ) f x( ) x 1, x R.
Thử lại, ta được các hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là f x( ) 0, xR; f x( ) x 1, x R.
Trang 14Cách 2: Với mọi x 2 ta có f x ( ) 1 Trong (1) cho 2 ( )
( ) 1
f xxy
f x
Trang 15f x( ) ( a 1)x a , x R (2) Thay (2) vào (1) ta được
(a1).x f y( )x f y ( ) axxy y, x y, R.
(a 1).x (a 1).y a x a ( 1).y x a ax xyy, x y, R Cho x y 0 ta được
( 1) 0 02.
Ví dụ 1.2.3.1.8: (Argentina Team Selection Test 2008; Czech And Slovak
Mathematical Olympiad, Round III, 2004.) Tìm tất cả các hàm số f : (0; ) (0; )
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Giả sử tồn tại hai số dương x x1, 2 sao cho x1 x2 và f x( )1 f x( 2) a 0.
Trang 16Trong (1) lần lượt cho xx x1,x2 ta được
, mâu thuẫn Vậy f là đơn ánh trên (0;).
Thay yx vào (1) ta được
2x f x( )2 x f xf x( )x f x ( ) f xf x( ) , x 0. (2) Thay x 1 vào (2) ta được f(1) f f(1) f(1)1. ( do f là đơn ánh ) Thay x 1 vào (1) ta được
xyxyf xf y
Trang 17Giả sử tồn tại hai số dương a b, sao cho f a( ) f b( ) Trong (1) lần lượt cho xa y, b ta được
ay f y f aa f f af yyby f y f bb f f bf yy
Điều này mâu thuẫn với f(1) (0; ), vậy câu trả lời là không tồn tại
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
+) Xét f là đơn ánh thì bài toán sẽ rất dễ dàng Thay y 1 vào (1) ta được
Trang 18f(1x f) (1) f 1 f x( ) , xR. (2)
Do f là đơn ánh nên từ (2) ta có (1x f) (1) 1 f x( ), x R, suy ra f có dạng như sau : f x( ) ax b, x R Thay vào (1) ta được
a(1x ay)(b) by a (1axb)b,x y,R. (3) Trong (3) lần lượt cho ( ; ) (0;0),( ; ) (1;0)x y x y ta được
0 0.
ab b
bab b
Thử lại ta thấy f x( ) 0, ( ) f x x thỏa mãn các yêu cầu đề bài
+) Xét f không là đơn ánh thì tồn tại y1 y2 sao cho f y( )1 f y( 2) Khi đó: y f1. 1 f x( ) f (1x f y) (1) f (1x f y) (2)y f2. 1 f x( ) , xR Kết hợp với y1 y2 suy ra f 1 f x( ) 0, xR. Thay vào (1) ta được f (1x f y) ( ) 0, x y,R. (4)
Nếu tồn tại y0R sao cho f y( 0)0 thì từ (4) ta có f x ( ) 0 , mâu thuẫn Vậy từ (4) phải có f x ( ) 0
Kết luận : các hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là f x( ) 0, ( ) f x x, x R.
1.2.3.2 Sử dụng toàn ánh và song ánh
Ví dụ 1.2.3.2.1 Tìm tất cả các hàm số f R: R thỏa mãn : 2
Trang 19Dễ thấy f x( ) 0, xR thỏa mãn (1) Tiếp theo giả sử f x ( ) 0, tức là tồn tại
Với mọi xR thì suy ra f là toàn ánh
Thay y z 0 vào (1) ta được f x( ) f f x( ( )) f(0), x R
f x( ) xf(0), x R ( do f là toàn ánh ) Từ đây cho x 0 ta được f(0) 0 f x( ) x, x R Thử lại thấy hàm số này không thỏa mãn (1)
Vậy có duy nhất một hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là f x( ) 0, x R.
Lưu ý Thay x u z , 0 vào (1) ta được 2
Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Nhận xét, hàm đồng nhất 0 không thỏa mãn bài toán Xét f x ( ) 0.
Giả sử tồn tại x x1, 2 sao cho f x( )1 f x( )2 Khi đó, từ (1) ta có:
f f x( ( )1 y) f f x( ( )2 y) x1 f y( )x2 f y( ) x1 x2. Suy ra f là đơn ánh
Trang 20Thay y 0 vào (1) ta được f f x( ( )) xf(0), x Q
0 0 0 0(0) 0
Thay y 0 vào (1) ta được f f x( ( )) x, xQ.
Đặt z f x( ) f z( ) f f x( ( ))x ( do f là toàn ánh ) Từ đây, ta có: f z(y) f z( ) f y( ),z y,Q.
Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Thay x 1 vào (1) ta được f f y( ( ) 1) yf(1) (2)
Giả sử tồn tại y y1, 2 sao cho f y( )1 f y( 2) Khi đó, từ (2) ta có: f f y( ( ) 1)1 f f y( ( 2) 1) y1 f(1) y2 f(1) y1 y2
Suy ra f là đơn ánh
Trang 21Với x 0 , đặt yf x( )x
( )1
f xf
với a là một số thực nào đó ( do f là toàn ánh )
Suy ra f x( ) ax, x 0 ( do f là đơn ánh ) , kết hợp với f(0)0 ta được f x( ) ax, xR
Thử lại vào (1) ta nhận f x( )x hoặc f x( ) x trên R
Trang 22 f m n() f n( ) f m( ),m n,N. lại có : f m( ) 0, mN
f m( )am, mN Thử lại vào (1) ta nhận f m( )m, mN
Nhận xét: Quan hệ đơn ánh của bài toán này không cần thiết trong lời giải Và bài
toán này có thể chứng minh bằng quy nạp trên N
Cách 2: Nếu xét trên Z thì ta có thể chứng minh bằng quy nạp f x( ) x, xN Tức là, dùng phương pháp, ta chứng minh không còn tồn tại hàm số khác
Trước tiên ta tính f(1) Giả sử f(1) t 1 , đặt s f t( 1)0 Nhận thấy rằng nếu f m( )n thì
f(2 )n f f m( ( ) f m( ))2m Như vậy f(2 )t 2, (2 )fs 2t 2 Nhưng khi đó thì
Trang 232s2t f f( (2 )s f(2 ))t f(2 )t 2 t 1, điều này vô lý Vậy f(1)1 Giả sử ta có f n( )n thì
f n( 1) f f n( ( ) f(1)) n 1 Vậy f n( ) n, nZ
Ví dụ 1.2.3.2.5: (VMO 1992) Tìm tất cả các hàm số f R:R thỏa mãn : 22
f x f y yfx x yR (1)
Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Giả sử tồn tại y y1, 2 sao cho f y( )1 f y( 2) Khi đó, từ (1) ta có:
f x f y f x f y yfx y fx yy Suy ra f là đơn ánh
Thay x 0 vào (1) ta được 2
Từ (2) và (3) suy ra x02 f2(0)0 0 0(0) 0
Trang 24Xét x0,yR f y: ( ) f y( xx) f y( x) f( x) f y( x) f x( ) f x(y) f x( ) f y( ),x y,R
Thử lại ta được : a 1 Vậy f x( ) x, xR.
Ví dụ 1.2.3.2.6: (Balkan 2000) Tìm tất cả các hàm số f R:R thỏa mãn điều kiện : 2
Trang 25Thay y 0 vào (1) ta được
, Mẫu thuẫn
Điều giả sử sai
f x( ) x, xR hoặc f x( ) x, xR. Thử lại vào (1) ta thấy thỏa mãn
Vậy f x( ) x, xR ; f x( ) x, xR.
Ví dụ 1.2.3.2.7: Tìm tất cả các hàm số f R:R thỏa mãn :
Trang 26+)Xét f x ( )1. Khi đó phải tồn tại y0R để f y( 0) 1. Khi đó vế phải của (1) là hàm bậc nhất của x nên có tập giá trị là R Điều này chứng tỏ f là toàn ánh Trong (1) cho x 0 ta được
Thử lại ta thấy hàm này không thỏa mãn
Vậy hàm số thỏa mãn bài toán là f x ( )1.
Trang 27f xxxfx
f xx
Cách 1: Giải tiếp như Ví dụ 1.2.3.2.6
Cách 2: Từ (2) suy ra f(1)1 hoặc f(1) 1 +Nếu f(1)1 thì thay x 1 vào (1) ta được
Trang 282 2 2 2
1 f y( ) (y 1) 2 ( )f yyy 2yf y( ) y, yR.
Vậy f x( ) x, xR. Thử lại thấy thỏa mãn (1)
Chú ý: Từ (2) chưa thể kết luận về biểu thức của hàm số Bạn đọc lưu ý rằng (2) chỉ
khẳng định với xR thì giá trị của hàm số tại điểm x là x hoặc x, chẳng hạn hàm
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
+) Nếu a 0 thì có hai hàm số thỏa mãn là f x ( )0 và f x ( )1. +) Nếu a 0
Vì vế phải của (1) là hàm bậc nhất của y nên có tập giá trị bằng R nên f là toàn ánh
Do f là toàn ánh nên tồn tại x0 sao cho f x( )0 0 Thay yx0 vào (1) ta được
2 2
0 ( ) 0
f x x fx a x (2) Từ phương trình trên ta thấy
2 2
0 ( ) 0
f x x f xa x Do đó ta được 22
Trang 292 a x0 f x 0 f x0 0 x0 0 Vậy f x( )0 0 x0 0. Thay y 0 vào (1) ta được
( )2
Trang 30f x(y) f x( ) f y( ),x y,R. Lại sử dụng 22
( )()
fxy fxy , khai triển và sử dụng tính cộng tính ta được
f xy() f x f y( ) ( ),x y,R.
Hàm f vừa cộng tính, vừa nhân tính nên f x( )x. Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn đề bài
Nhận xét : Một phần của bài toán trên xuất hiện đầu tiên trên tạp chí AMM, được đề
xuất bởi Wu Wei Chao, và là một bài toán chọn đội tuyển Bungari năm 2003 và chọn đội tuyển Iran 2007 trong đó chỉ giải quyết cho trường hợp a 2.
Ví dụ 1.2.3.2.10: (European Girl’s MO-2012 ) Tìm tất cả các hàm số f R:R thỏa mãn :
f y f x ( y) f x( )4x2 (y f xy),x y, R (1)
Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Từ (1) cho y 0 ta được : f f x ( )4 ,x xR (2) Từ (2) suy ra f là song ánh
Do đó tồn tại a b, sao cho f a( )2, ( )f b 4 a Từ (1) thay y x a, ta được
f 2( x a) f x( )4x 4( x a)4a f b( ), xR (3) Do f là đơn ánh nên từ (3) ta có 2x 2a f x( ) b, xR hay
Trang 31Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Đặt a f 1 f(1)0 Từ (1) cho y 1, ta được f x f x( )ax, xR (2) Từ (2), thay x bởi x f x( ), suy ra
f (1a x) f x( ) a x f x( ) , xR (3) + Nếu a 1, từ (1), thay x bởi (1a x) và y 1 a, khi đó
fa xf xa bxxR bffa
Kết hợp với (3) suy ra: a x f x( ) (1 a bx) , xR hay f x( )cx, xR.
Lúc này điều kiện f 1 f(1)0 nghĩa là c(1 c) 0 c 0,1
Suy ra f là đơn ánh Với mọi xR, khi đó tồn tại y xf x( )R sao cho f y( ) f x f x( )x.
Suy ra f là toàn ánh Vậy f là song ánh Dẫn tới tồn tại m 0 sao f 1 1,
Trang 32Kết hợp vơi (1) ta được: f xfx 0 f(0), xR.
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Kí hiệu P u v( , ) chỉ việc thay x bởi u và thay y bởi v vào (1) Do f là toàn ánh nên tồn tại R sao cho f( ) 0
P( , ) f(2 ) 0 f(4 ) 0.
P x( , ) f x f x( ) f(2 ),x xR (2) Do f là toàn ánh nên tồn tại R sao cho ( )
Giả sử uR tùy ý Khi đó tồn tại v sao cho ( ) 2
uf v
P x v( , ) f x f x( )u f(2 )x f(2 ),v xR
f x f x( )u f(2 )x f 2 ( ) ,f v xR
Trang 33 f x f x( )u f(2 )x f u ,x u, R (5) Kí hiệu Q m n( , ) chỉ việc thay x bởi m và thay u bởi n vào (5)
Thực hiện Q x( f x y( ), ), sau đó sử dụng (2) và (4), ta được
Như vậy f t( ) t, tR. Thử lại thấy hàm số f x( ) x, xR thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Ví dụ 1.2.3.2.13: Tìm tất cả các hàm số f R:R thỏa mãn:
f x f y( ) f x( xy)y f (1x),x y, R (1)
Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Kí hiệu P u v( , ) chỉ việc thay x bởi u và thay y bởi v vào (1)
Trang 34+) Trường hợp 1: f(1)0.
P(0, )x f f (0) f(0)x f (1), xR.
Suy ra f là đơn ánh
P(0, 0) f f (0) f(0), mà f là đơn ánh nên f(0)0. Với x 0:
Như vậy f x( ) 0, xR, thử lại thấy thỏa mãn
Vậy các hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là f x( )x f x, ( )0.
Lưu ý : Kỹ thuật “thế triệt tiêu” như trên được sử dụng nhiều, cần triệt tiêu
Trang 35f x f y ( ) f y f x ( )2xy,x y, R (1)
Lời giải:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Trong (1) cho x y 0 được f(0)0. Trong (1) cho x y được 2
f x f x x xR (2) Giả sử tồn tại x x1, 2 sao cho f x( )1 f x( 2) Khi đó
x f xx f xxf x f x
f f (1) 1 f(1).f f (1) f(1).
Suy ra f f (1).f f (1) f f (1) hay 2 (1) 1(1) (1) 1
(1) 1.
+) Trường hợp 1: f(1) 1. Trong (1) cho y 1 ta được
f x( ) f f x ( )2 ,x xR
f f x ( ) xxf x( ) xz, xR (3) với z xf x( ) f x( ) xz. (4)
Trang 36Từ (8) và do f là hàm lẻ trên R nên ta có:
f t( x) f f x ( ) x tf (x t) x tf x t( ) x t
f x t( ) x tf( x t) f f x t ( ) (x t) tx
f x( ) f f ( x t) ( x t) tx (9) Từ (8) và (9) suy ra t xxt 0 f x( ) x. Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy các hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là f x( ) x, xR và f x( ) x, xR
1.3 Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa 1.3.1.3: Hàm số tăng hoặc giảm trên một khoảng được gọi là hàm số đơn
điệu trên khoảng đó
Định nghĩa 4: Hàm số f được gọi là không giảm trên D:
x x1,2D x:1x2 f x 1 f x 2.
Trang 37Định nghĩa 5: Hàm số f được gọi là không tăng trên D:
x x1,2D x:1x2 f x 1 f x 2.
* Chú ý: Hàm số tăng (giảm) thực sự còn gọi là hàm số tăng (giảm) nghiêm ngặt
Hàm số không giảm nghĩa là hàm số tăng nhưng có thể tăng không nghiêm ngặt Hàm số không tăng là hàm số giảm nhưng có thể giảm không nghiêm ngặt
Định nghĩa 6: Hàm số tăng hoặc giảm thực sự trên một khoảng được gọi là hàm số
đơn điệu thực sự trên khoảng đó 1.3.2 Định lý và hệ quả
Định lý 1.3.2.1: Mọi hàm đơn điệu thực sự trên một khoảng đều là đơn ánh trên
khoảng đó
Định lý 1.3.2.2: Nếu f D:Rvàg D:Rlà hai hàm tăng thì f g cũng là hàm tăng
Định lý 1.3.2.3: Nếu f D:Rvàg D:Rlà hai hàm tăng và không âm thì
.
Định lý 1.3.2.4: Nếu f là hàm đơn điệu thực sự trên a b, thì phương trình f x m có nhiều nhất là một nghiệm trên khoảng đó
Định lý 1.3.2.5: Nếu f D: f Rvàg D: g Rlà hai hàm tăng và tập xác định của hàm
gchứa tập giá trị của hàm f thì hàm số hợpgf là hàm tăng
Hệ quả 1.3.2.6: Nếu f là hàm tăng thì hàm số hợp f f x cũng tăng
Hệ quả 1.3.2.7: Nếu f là hàm giảm thì hàm số hợp f f x là hàm số tăng
Chứng minh:
Giả sửx y.
Khi đó: f x f y f f x ff y . Vậy ff là hàm số tăng
Định lý 1.3.2.8 Hàm số không tăng (giảm) trên Dvà tuần hoàn trên Dvới chu kì Tthì hàm số đó là hằng số trên D
Chứng minh:
Trang 38Ta cần chứng minh: x x1, 2D x; 1x2. f x 1 f x 2 Không mất tính tổng quát ta giả sử: x1 x2.
f là không tăng f x 1 f x 2 (*) f là tuần hoàn với chu kì T 0: f x T f x xD
x1 nTx2
f x 1nT f x 2 ( vì f không tăng)
Mà f x 1 f x 1nT ( vì f tuần hoàn chu kì T)
f x 1 f x 2 (2*) Từ (*), (2*) f x 1 f x 2 f là hằng số trên D
Vậy f là hằng số trên D
1.3.3 Một số lưu ý khi giải toán
Lưu ý 1.3.3.1: Trong một vài trường hợp nếu ta dự đoán được công thức của hàm số,
chẳng hạn f x g x thì có thể xét f x g x và f x g x , sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm f để dẫn tới điều vô lý
Lưu ý 1.3.3.2: Nếu hàm f đơn điệu và ta đã có công thức của f trên tập số hữu tỉ Q thì dùng kỹ thuật chọn hai dãy hữu tỉ đơn điệu ngược nhau, rồi từ đó chuyển sang giới hạn
Lưu ý 1.3.3.3: Nếu f cộng tính và đơn điệu trênR(hoặcR) thì f x ax.
1.3.4 Ví dụ minh họa.
1.3.4.1 Sử dụng Định lý 1.3.2.8
Ví dụ 1.3.4.1.1: Tìm f R: R thỏa mãn:
Trang 39hay f x y f y x y,R. Mà x yy x y,R.
f x là hàm không tăng (1) +) Nếu y0 0 để f y 01
Trang 40hay f x f y 0 1 xR.
Thử lại: f x 1 xR.( Thỏa mãn (*) ) +) Nếu y0 0để f y 01
Thì y 0 : 0 f y 1.
f x y f y x y,0. hay f là hàm giảm (thực sự) trên R f là đơn ánh trên R
f ax
aaf x
xxa axxaax