skkn phương trình hàm trên tập số thực

0

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC

NHÓM THỰC HIỆN:

Nguyễn Thị Phương Thảo Nguyễn Trung Kiên

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: VŨ THỊ VÂN LẠI THU HẰNG

Bắc giang, tháng 03 năm 2023

1

MỤC LỤC

CHƯƠNG II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH

29

5.2 Phương trình hàm chuyển đổi các phép toán số học 62

2

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình hàm là một lĩnh vực khó trong chương trình nâng cao của toán sơ cấp, cũng như đối với chương trình chuyên Toán THPT Các phương pháp giải thường đa dạng và mang tính đặc thù, phụ thuộc nhiều vào giả thiết của từng bài toán cụ thể và rất khó phân lớp phương trình hàm theo phương pháp giải Lời giải của một bài toán về phương trình hàm thường đòi hỏi nhiều kỹ năng và kiến thức khác nhau của học sinh: kỹ năng biến đổi, các kiến thức về hàm số, nghiệm tổng quát của một số phương trình hàm cơ bản,…Với bài nghiên cứu này, nhóm em muốn đề cập đến một mảng phương trình hàm khá phổ biến trong chương trình chuyên, khá gần gũi với các bạn học sinh, đó

là “Phương trình hàm trên tập số thức” Nội dung đề tài trình bày theo năm chương

Chương 1: Đại cương về phương trình hàm

Ở phần 1, bài viết đưa ra một khái niệm tổng quan về phương trình hàm, đồng thời trình bày một số các phương pháp giải bài toán phương trình hàm Đây sẽ là một số hướng tư duy mà các bạn học sinh có thể tiếp cận Tuy nhiên, một bài toán thường là sự tổ hợp của nhiều phương pháp nên việc ghi nhớ một số phương pháp cơ bản sẽ giúp chúng ta dễ dàng tìm ra cách giải quyết những bài toán phức tạp

Chương 2: Giải phương trình bằng cách khai thác tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Trong chương trình chuyên toán ở các trường THPT chuyên, chúng ta không thể phủ nhận phương trình hàm là một mảng kiến thức quan trọng Hiện nay tài liệu về phương trình khá phong phú Tuy vậy, việc giải được phương trình hàm vẫn là vấn đề khó đối với nhiều học sinh Trong chuyên đề nhỏ này, chúng em trình bày một phương pháp thông dụng và quan trọng để giải phương trình hàm trên tập số thực, đó là phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ

Chương 3: Phương trình hàm Cauchy

Phương trình hàm Cauchy là một trong những dạng phương trình hàm cơ bản, đóng vai trò nòng cốt về phương pháp luận cũng như phương pháp giải các bài toán liên quan Chúng ta dễ dàng nhận thấy ở phương trình hàm Cauchy có một mối liên quan mật thiết với tính chất hàm cộng tính Đây là một trong những điểm đặc biệt, làm nên vẻ đẹp của phương trình hàm Cauchy Nó cũng là nội dung mà chúng em tìm hiểu trong chương 3 này

Chương 4: Phương trình hàm một biến

Dạng phương trình hàm một biến là một dạng bài chúng ta có thể bắt gặp khá nhiều khi các bạn học sinh mới học về phương trình hàm Từ dạng bài ấy, học sinh có thể khai thác sâu về những phương pháp giải như thế biến, quy nạp,… và làm quen với các tính chất của hàm số: tính liên tục, tính đơn điệu,… Đây có thể coi là phần “ Gốc rễ” giúp chúng ta làm quen và đồng thời hình thành tư duy giải bài tập phương trình

3 hàm cho nhiều dạng bài khác Chính vì vậy, ở chương 4, bài viết đem tới cho mọi người những kiến thức của phương trình hàm một biến và nghiên cứu sâu các phương pháp của từng dạng

Chương 5: Phương trình hàm nhiều biến

Đối với phương trình hàm 2 biến, 3 biến, hay nhiều biến, các bạn học sinh thường

gặp khó khăn trong việc tìm lời giải Thế nhưng, để có thể làm được dạng bài tập này, ta sẽ tập trung vào vận dụng những tính chất và phương pháp cơ bản mà ta đã học trước đó để đi sâu vào khai thác bài toán Cụ thể, bằng những phương pháp cơ bản như thế biến, áp dụng tính đơn ánh, song ánh, toàn ánh, chuyển đổi các phép toán số học,… từ một bài toán nhiều biến (phức tạp), ta có thể đưa về dạng một biến hoặc đưa về các dạng quen thuộc (đơn giản) với chúng ta như phương trình hàm Cauchy Đến đây, các bạn học sinh có thể dễ dàng tìm ra lời giải và hiểu thêm về dạng bài này Tất cả những điều ấy đều được chúng em đúc kết và tìm hiểu thông qua chương 5: Phương trình hàm với nhiều biến

Trong quá trình từ lựa chọn đề tài cho chuyên đề đến thực hiện chuyên đề, chúng em đã nhận được sự hướng dẫn, cổ vũ, động viên nhiệt tình của Cô Vũ Thị Vân và Cô Lại Thu Hằng Qua đó, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến hai cô cùng với các thành viên trong nhóm đã cùng nhau xây dựng nên một chuyên đề hoàn chỉnh

Dù đã cố gắng hết sức, nhưng do thời gian và khà năng có hạn, do đó khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Chúng em rất mong rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý bạn đọc gần xa để có thể ngày càng hoàn thiện hơn

* Phương trình hoặc hệ phương trình hàm

* Một số điều kiện bổ sung ( tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục khả vị,…) - Người ta phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: miền giá trị và số biến tự do

- Bài tập tổng quát: Cho 𝑋, 𝑌 là hai tập số xác định hàm số f X:Y thoả mãn một số điều kiện (∗) cho trước

Ví dụ: Xác định tất cả các hàm số f : thoả mãn

f xy  f x  f y x y

1.2 Một số phương pháp giải phương trình hàm

- Giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu)

- Một số kĩ thuật khi giải phương trình hàm:

* Kĩ thuật 1: Tìm các nghiệm riêng đơn giản như là hàm hằng, hàm bậc

nhất,…Dựa vào các nghiệm này để hiểu hơn về hàm cần tìm, có thể có phương hướng tìm ra cách giải

* Kĩ thuật 2: Tìm các giá trị đặc biệt củaf x( ), chẳng hạn:

* Kĩ thuật 4: Khai thác tính đối xứng của phương trình hàm

1.3 Các phương pháp giải phương trình hàm

 vào (1) ta được:

f f y   yf (2) Thay 𝑦 bởi f(1) 1 vào (1) suy ra

( ((1) 1) 1)1

f f f     Đặt a f(f(1) 1) 1  ta được f a  ( )1

Chọn ya

 

( )0

f xxa

f xxab aa

2(ax bx c ) a(1x)b(1  x) cx , x Do đó:

3ax  (b 2 )a x  a b 3cx , x Đồng nhất các hệ số, ta thu được:

a bc

 

Thử lại ta thấy hiển nhiênf x( )thỏa mãn điều kiện bài toán

Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f x( )sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán

Thật vậy giả sử còn hàm sốg x( )khác f x( )thỏa mãn điều kiện bài toán Do f x( )không trùng vớig x( )nên  x0 : ( )g x0  f x( )0

Dog x( )thỏa mãn điều kiện bài toán nên:

2 ( )g x g(1x)x , x Thayx bởi x0 ta được:

2 ( )g x g(1x )x Thayx bởi 1 x 0 ta được:

2 (1g x )g x( ) (1 x ) Từ hai hệ thức này ta được:

g x  f x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là:

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng f f x  f x( )x (1)

Vế phải của phương trình là một hàm số tuyến tính vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có dạng: f x( )ax b

Khi đó (1) trở thành:

a ax b  bax b   xx Hay

a2a x ab  x, x Đồng nhất hệ số ta được:

f x   x

Hiển nhiên thoả mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 4: Hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

) ( ( )),

a f f n   nn (1) b f) f n(  2) 2  n, n (2) c f) (0) 1 (3) Tìm giá trị f(1995), ( 2007)f 

 

 ta được f n( )n.Trường hợp này loại vì không thỏa mãn (2)

Với

  

 ta được f n( )  n b.Từ điều kiện (3)cho n 0 ta được b 1

Vậy f n( )  n 1

Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta phải chứng minh f n( )  n 1 là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện bài toán Thật vậy giả sử tồn tại hàm g n( ) khác f n( ) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán Từ (3)suy ra:

f g  Từ (1) và (3)suy ra:

8

f g  Sử dụng điều kiện (1)và (2)ta nhận được:

 

 2 2

g g n g g g n , n Do đó

 

g g g n g g g n , n Hay

g n g n   n (4) Giả sử n0là số tự nhiên bé nhất làm cho f n( )0 g n( )0 (5) Do f n( )cũng thỏa mãn (4) nên ta có:

xf x

Bài 5: Tìm tất cả các đa thức P x( )  x sao cho:

 thế vào (1):

( )

xf x

 Với giả thiết đó mới đảm bảo tính

chất: “Khi t chạy khắp các giá trị của t thì x cũng chạy khắp tập xác định của f” t

+ Trong ví dụ 1, nếu f : thì có vô số hàm f dạng:

f xx f x Mặt khác:

.

f x  f x x x xf x x f x x f x

10 Hay

x f xxf xxx

 

11 Đặt

 thoả mãn (1)

Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 4

xf x

f 

Cho x1;y0; ta được: f y( ) f 3y

   

  Thế lại (1) ta được:

()2 ( ) ( )

f xy  f x f y ,x y, 0; (2) Thay y bởi 3

( )2

f x  x đúng Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 1 0

f x   x

 Thế ẩn tạo hệ phương trình hàm mới

Ví dụ 1: Tìm hàm :\ 12

 , khi đó: (3)  f x( ) f x( ) 11  x.

xx

13

32

1.3.3.Phương pháp 3: Phương pháp xét giá trị

+ Đây là phương pháp cơ sở của mọi phương pháp khác

+ Khi vận dụng phương pháp cần chú ý kết quả vừa có được

Ví dụ 1: Tìm f : thoả mãn: ) ( ) 0,

 

 suy ra

(0) 0

(0) 0(0) 2 (0)

f x  x

Nhận xét:

+ Ví dụ 1 và ví dụ 2 là các bất phương trình hàm Cách giải nói chung là tìm các

giá trị đặc biệt- có thể dự đoán trước Sau đó tạo ra các BĐT “ngược nhau” về hàm số

cần tìm để đưa ra kết luận về hàm số

15

+ Việc chọn các trường hợp của biến phải có tính “ kế thừa” Tức là cái chọn

sau phải dựa vào cái chọn trước nó và thử các khả năng có thể sử dụng kết quả vừa có được

Lời giải

16 Ta tính fx 1

( 1)

f xx

Thay x 0 vào ( )b ta được: f(1) 1 f( 1)  1 thoả mãn f x( )x Thử lại thấy đúng

Vậy f x( )  x, x

Ví dụ 5: Tìm f :\ {0} thoả mãn:

f xx f x (3) Giả sử    *

0 1, 0

xx sao cho: f x( ) 00 

17 Thay x 1 x y x0; 0 vào ( )c ta được:

(1) 0

f ( mâu thuẫn với giả thiết f(1) 1 ) Vậy f x( ) 0,  x 0;x1

Vì f(1) 1 0  nên từ (3) suy ra:

1 

f xxx

Thử lại thấy đúng

Vậy hàm số cần tìm là: f x( )1, x 0

x

Ví dụ 6: Tìm f : thoả mãn:

( )b  f(2 ) 2 ( )t  f t 2t (1) Cho  1

(x2)(x  x 1)(x1)(x2) (x x1) (G x 1)(x2)(x  x 1) (x x1)(x1)(x2) ( ),G x x

19 Đặt ( ) 2 ( ) (x0, 1, -2)

G xR x

R xR xR xC

Chú ý :

Nếu ta xét P x x31x–1 Thì

  1 33232

P xxxxx Do đó

x33x23x2xP x x2–1x2–x1P x 1 Từ đó ta có bài toán sau

Ví dụ 2: Tìm đa thức P x  với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức:

Ví dụ 3: Tìm đa thứcP x  với hệ số thực thỏa mãn đẳng thức:

(4x 4x2)(4x 2 ) ( )x P x (x 1)(x 3x2) (2Px  1), x

(Các bạn có thể theo phương pháp này mà tự sáng tác ra các đề toán cho riêng mình.)

1.3.5.Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm  Nhắc lại kiến thức

Dãy số là một hàm của đối số tự nhiên:

xxxxx

20 :

b.Các tính chất của sai phân

 Sai phân các cấp đều được biểu thị qua các giá trị hàm số  Sai phân có tính tuyến tính:

k(af bg) akf  bkg

 Nếu xn là đa thức bậc m thì: k

21 Gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k (ở đây k n k  1)

  

  Từ đó 3 8.2 73

22 Vậy nghiệm tổng quát là : xn  c1 c n c2  35n

Để tìm c c c1, 2, 3 ta phải dựa vào x x x0, ,1 2 khi đó ta sẽ tìm được :

    

Từ đó ta được: 1 3 1 5

x   n

Chú ý : Với phương trình sai phân, ta có một số loại khác nữa như phương trình sai

phân tuyến tính không thuần nhất, phương trình sai phân phi tuyến và có cả một hệ thống phương pháp giải quyết để tuyến tính hóa phương trình sai phân Song liên quan đến phương trình hàm trong bài viết này, chỉ nhắc lại phương trình sai phân tuyến tính đơn giản nhất ( chưa xét đến phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất có nghiệm phức)

 Áp dụng sai phân để giải phương trình hàm

Nội dung của phương pháp này là chuyển bài toán phương trình hàm sang bài toán dãy số và sử dụng các kiến thức dãy số để tìm ra các hàm số cần tìm

Ta được phương trình sai phân:

Ta có:

Ví dụ 2: Tìm tất cả các hàm f xác định trên và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

2 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ), , ,(1) 1.

f n f knf knf n f kk nknf

Vậy f 0  2

Chọn n 1 ta được phương trình:

2 (1) (1) 2 (1)3 (1) ( ),2 (1) 2 (1)3 ( ),

ff kf kff kkf kf kf kk

          Vậy ( ) 12 2 1

f n c c  



Ta tìm c c1, 2 từ điều kiện f  0 2 , 1 1  f    Dễ tìm được c1 0,c2  2

Vậy ( )2 12

nf n   



1.3.6.Phương pháp 6: Đặc trưng hàm  Đặc trưng của hàm

Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của nó là hàm Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm

24 Những tính chất quan trắc được từ đại số sang hàm số, được gọi là những đặc trưng hàm

 Hàm tuyến tính f x   ax, khi đó f x  y  f x   f y  Vậy đặc trưng là f x  y  f x   f y với mọi x, y

 Hàm bậc nhất f x   ax  b, khi đó         

22

Đặc trưng là f xy   f x f y     Hàm mũ f x( )a ax(0,a1)

Đặc trưng hàm là f x  y  f x f y   , x y,  Hàm Logarit f x( )logax (a>0,a1)

Đặc trưng hàm là f xy   f x   f y .

 f x   cosx có đặc trưng hàm là f x  y  f x – 2y  f x f y    Hoàn toàn tương tự ta có thể tìm được các đặc trưng hàm của các hàm số

Đặt f x  2  x  g x 

25 Thay vào (*) ta được:

Vậy g x  là hàm tuần hoàn với chu kì 1

Đáp số : f x  2 x g x   với g x  là hàm tuần hoàn với chu kì 1 Qua ví dụ 1, ta có thể tổng quát ví dụ này, là tìm hàm f x thỏa mãn:

  

26 Coi 3 như g(1) ta được

    

( ) ( ) 2 ( ) (0) 2 (*)0

1.3.8.Phương pháp 8: Đặt hàm phụ

Mục đích chính của việc đặt hàm phụ là làm giảm độ phức tạp của phương trình hàm ban đầu và chuyển đổi tính chất hàm số nhằm có lợi hơn trong giải toán

+ Cho x y 0, từ ( )b ta được g 0 0, kết hợp ( )a suy ra: g 0 0.

+ Cho x y x, , từ ( )a ,( )b ta được : g x 0,g  x 0,0g x    g x Suy ra: g x   g x  0 f x 2007 ,x  x

x y ta được g t   0 t Cho x y 0 ta được:  

 

+ Nếu g 0 0thì (*) suy ra : g x    0 xf x    1 x Thử lại thấy đúng + Nếu g 0 1 thì giả sử tồn tại a để g a 0thì (*) suy ra g x   0 x (mâu thuẫn giả thiết g 0 1 )

Vậy g x   0 x

Đặt h x ln(g x ) ta được:

h x yh xh y

Từ f x( ) liên tục trên suy ra h x( ) liên tục trên

Theo phương trình hàm cosi ta được: h x cx(với c là hằng số)

28

 

 f x ecx   1 x Khi c0 thì f x( ) 1

Vậy f x ecx   1 x , thử lại thấy đúng

=>Một vài lưu ý:Sự khác nhau giữa phương trình hàm và giải phương trình:

Chằng hạn từ các giải thiết của một bài toán phương trình hàm, ta thu được:

29

CHƯƠNG II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH KHAI THÁC TÍNH

ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH

2.1 Lý thuyết cơ bản về ánh xạ

2.1.1 Ánh xạ  Định nghĩa

Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X

với một (và chỉ một) phần tử của Y Phần tử này được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

Ánh xạ f X:Y được gọi là đơn ánh nếu với aX b,X mà abthì f a  f b ,

tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai ảnh phân biệt

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với aX b,X mà   

2.1.3 Ánh xạ ngược của một song ánh

Nếu g A:B và f B:C và g A B thì ánh xạ hợp

fg AC được xác định bởi

fg a  f g a .Kí hiệu n

p  p pp

2.2 Một số bài toán áp dụng

Bài 1 T11/409 (THTT, THÁNG 07-2011) Tìm tất cả các hàm số f : , liên tục trên và thỏa mãn điều kiện

f xy  f x y f xy x f y ,x y,  (1)

Lời giải

Thay y 1 vào (1) ta được:

f x  f x  1 f  2x  f  1 , x (2)  f x  f x  1 f  2x  f  1

 f x  f x  1 f  2x  f  1  f x  1 f x  2 f 2x2  f 2x 2 f  2x  f x  2 f x , x

 2  2 2 2  0

f x n  f x n  f  f

31  2 2 2 4 2  0

f x 2n 1 n f 2  f  0  f x 1 ,    n 1, x (5) Thay y2n vào (1) và kết hợp với đẳng thức (4) ta được:

f 2n1x f  2n  f  2nx  f x 2n  f 2n1x f 2nx f x 2n f  2n

 f 2n1x f 2nxn f 2  f  0  f x  1 n f 2  f  0  f  1  f 2n1x f 2nx f x  f  0 (6) Tương tự ta có đẳng thức:

f 2nx f 2n1x f x  1 f  1 (7) Từ các đẳng thức (6) và (7) ta có:

2   2 1  0 ,

fnx nfx  nf  x

 f nx nf x   n 1  f 0 , x (8) Trong (8) thay n2,x1 ta được:

32 Khi đó với mỗi số nguyên dương n và từ đẳng thức (8) ta được:

Ta có 2n      n 1 n 1 n nf f n  1 f n 1 f f n  f n , và do f là đơn ánh nên f n  1 f n  1 2f n ,  n 2 (2)

Từ đẳng thức (2) ta có:

  1 1 2  2  1

f n  f n  f n  f n   f  f a, Suy ra

   1 1

f n  f  n aan b ; trong đó b f  1 a Thay f n an b vào phương trình ban đầu ta được a1,b0

,

f n n  n

Nhận xét: Bằng cách làm tương tự bài trên ta giải được các bài tập sau:

Bài 3 (Canada 2008): Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn đẳng thức:   

f m  f m   2  2  2  2  2222

ffm  fn  ffm  fn m  n m  n , suy ra m1m2 hay f là đơn ánh

Dế thấy với mọi *

 22221  2 2 22 1

ffn fn ffn fn , do f là đơn ánh nên ta có:

2 2 2 2

fn  fn  fn  fn (1) Từ đẳng thức (1) ta có:

 2  2

ffn  n (4) Từ (3) và (4) ta thu được b1,c d 0 Vậy f n n, với mọi *

n 

Nhận xét: Bằng cách làm tương tự ta giải được bài toán sau:

Bài 7 (Indonesia TST 2010) Xác định tất cả các số thực a sao cho có một hàm số

   1  

x f y af y  xa f y , với mọi y  (2) Từ đẳng thức (2) thì sẽ xẩy ra a 1 hoặc f y const

+) Nếu f y const thì không thỏa mãn phương trình ban đầu

+) Nếu a 1 thì lấy f x x, với mọi x  thỏa mãn bài toán Vậy a 1

Bài 8 (MEMO 2009) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn đẳng thức:  

f xf y  ff x  f y  yf x  f x f y ,với mọi x y ,

Lời giải

+) Nếu f x   0 với mọi x  , thử vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn

+) Nếu tồn tại a  sao cho f a   0 Khi đó với y y 1,2 sao cho f y 1  f y 2 , từ phương trình trên thay x bởi a và y lần lượt bởi y y1, 2 ta được:

 

 1   1  1   1 

f af y  ff a  f y  y f a  f a f y (1) và

 

 2   2  2   2 

f af y  ff a  f y  y f a  f a f y (2) Từ (1) và (2) ta được y f a1   y f a2   y1  y2 Vậy f là một đơn ánh

Thay x0,y1 vào phương trình ta được: f  0 f f  0 f  1  f  0 f f  1 , sử dụng f là đơn ánh ta được f  0 0

Mặt khác thay y 0 và phương trình và sử dụng f  0 0 ta được:

   

f 2t f  2t 2f  2t 2f  4t  f  4t 0 (2) Từ (1), (2) và do f là đơn ánh nên ta có:

g g x g x 2 , x  x (1) +) Ta chứng minh g là đơn ánh Thật vậy với x x 1, 2 sao cho g x 1 g x 2 suy ra

 

 1  1  2  212

g g x g x g g x g x  xx hay g là đơn ánh +) Ta chứng minh g là toàn ánh Thật vậy với mọi x  ta có:

f xf xf xf xf  f  

Bài 12 Xét tất cả các hàm f g h, , : sao cho f là đơn ánh và h là song ánh thỏa mãn điều kiện f g x h x , với mọi x 