skkn cấp tỉnh giải toán bằng phương pháp đồ thị

Như luật giáo dục có viết: “Phươngpháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạocủa học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡngphư

PHỤ LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Người thực hiện: Vũ Thị Hoài Yên

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2024

3 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

4.3 Giải và biện luận bất phương trình, hệ bất phương trình bằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay của Bộ giáo dục Trongquá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứutìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp ,với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục có viết: “Phươngpháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạocủa học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡngphương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tìnhcảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong đa phần các em có học lực trungbình, nên hầu hết các em sợ học môn toán đặc biệt là phần biện luận theo m sốnghiệm của phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình Là giáo viêndạy toán, đã có nhiều năm gắn bó với nghề, tôi rất trăn trở trước thực tế đó.Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tàiliệu tham khảo và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em họcsinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, tự tin bước vào kỳ thi tốt nghiệp THPT

và kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Nội dung dạy học chương khảo sát hàm số góp phần trang bị cho học sinhkhông chỉ các khái niệm, quy tắc, công thức biến đổi… mà còn cả kỹ năng vàphương pháp học toán Hệ thống tri thức đó không chỉ có trong các bài giảng líthuyết mà còn trong các bài tập tương ứng Một trong các ứng dụng của khảo sáthàm số là biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Đây là dạng toánhay, giúp ích cho học sinh lớp 12 và học sinh lớp 10 Rất nhiều bài toán muốnbiện luận số nghiệm của phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trìnhtheo tham số m nếu dùng phương pháp đại số các em gặp rất nhiều khó khăn vìphải xét nhiều trường hợp, nhưng nếu dùng đồ thị thì bài toán trở nên đơn giảnhơn nhiều

Dạy học bằng phương pháp đồ thị theo định hướng bồi dưỡng tư duy sángtạo là thiết thực góp phần thực hiện xu hướng đổi mới phương pháp dạy học.Tích cực hóa học tập của học sinh

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên tôi chọn

đề tài: “Giải toán bằng phương pháp đồ thị”.

2 Mục đích nghiên cứu

“Giải toán bằng phương pháp đồ thị” là phương pháp biện luận số nghiệmcủa phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình dựa vào đồ thị sẽ giúphọc sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập Toán 10, Toán 12 từ đó có

kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi học sinh gỏi và kỳthi tốt nghiệp THPTQG Làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vậndụng các bài toán có nội dung cơ bản mở rộng và phát triển gây sự hứng thú tìmtòi sáng tạo vào dạy và học môn toán THPT

- Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán họcthể hiện về mối liên hệ giữa vấn đề này với vấn đề khác Góp phần nâng cao tính

thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.

- Giúp các em hiểu rõ hơn và nắm vững kiến thức một cách có hệ thống

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp, tạo hứng thú học tập cho họcsinh Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giải toán bằng phương pháp đồ thi ” sẽ

góp phần vào việc hệ thống lại những kiến thức chương I của lớp 12, giúp họcsinh giải được phương trình chứa tham số m của lớp 12 Từ đó học sinh tự học,

tự ôn tập nhằm nắm vững trọng tâm của bài tập hơn

- Phân loại từng dạng bài tập, nêu được trọng tâm của chương học và cóbài giải mẫu cụ thể nhằm giúp học sinh tự học khi ở nhà

- Áp dụng việc dạy học trên sẽ nâng cao chất lượng học tập và làm tăngthêm hiệu quả dạy học môn Toán

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

a Về kiến thức

- Sách giáo khoa giải tích lớp 12, sách Toán 10 hiện hành

- Sách giáo khoa chuyên ban, các tài liệu tham khảo của NXBGD

- Các đề thi tốt nghiệp, đại học và các đề thi học sinh giỏi những nămtrước đây

b Về học sinh

Học sinh lớp 10A1,12C1, 12C2 trường THPT Lê Hồng Phong

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứutôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của giáo viên và học sinh)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinhthông qua trao đổi trực tiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong giảng dạy, việc phát huy tính tích cực của học sinh là điều quantrọng nhất của nội dung đổi mới phương pháp Để làm được điều này mỗi giáoviên chúng ta cần đầu tư thời gian, luôn tìm tòi và phát hiện những vấn đề mới

từ đó khơi dậy lòng đam mê Toán học ở các em Trong quá trình dạy học tôithấy có những bài tập trong sách giáo khoa nhìn qua thấy rất đơn giản, nhưngnếu chúng ta chịu khó tìm hiểu sẽ khám phá được nhiều điều thú vị từ những bàitoán đó

2 Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm

Trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Lê Hồng Phong tôi thấy rằngkiến thức chương khảo sát hàm số chiếm nhiều thời lượng Đây là phần kiến

thức trọng tâm trong chương trình sách giáo khoa.

Các bài toán có chứa tham số m xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinhgiỏi cấp tỉnh Đó cũng là một khó khăn cho các thầy cô giáo dạy THPT trongviệc áp dụng phương pháp giảng dạy nào cho phù hợp Học sinh thiếu tínhchủ động trong việc tiếp thu kiến thức Vì vậy kiến thức dễ quên, kết quả họctập của các em chưa cao "Vậy làm thế nào để học sinh học tốt hơn phần kiếnthức này?"

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh sẽ giúp các

em tự tin hơn, biết cách tự đánh giá việc học của mình cũng như biết đánh giákết quả học tập của các bạn khác Từ đó, các em có tính chủ động trong học tập

và biết phấn đấu thi đua nhau để việc học có kết quả cao hơn

Theo tôi khi dạy chương khảo sát hàm số giáo viên cần đưa kiến thức Định nghĩa, công thức, kiến thức mở rộng và bài tập áp dụng giúp họcsinh dễ học, dễ nhớ

3 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

* Thuận lợi:

- Các lớp học đều có máy tính, máy chiếu học sinh dễ thực hiện và quan sát

- Một số phần mềm được phổ biến rộng rãi nên đã hỗ trợ cho giáo viên vàhọc sinh khi trình bày một bài toán trên máy chiếu

* Khó khăn:

- Nhiều học sinh cảm thấy trừu tượng, không hứng thú khi học lượng giác

- Trong quá trình học chủ đề lượng giác học sinh thường gặp rất nhiềukhó khăn, sai lầm, nhưng các em lại không kiên trì, thiếu tự tin khi giải quyếtcác vấn đề giáo viên đưa ra Sự nhận thức của học sinh thể hiện:

+ Các em còn lúng túng trong việc vận dụng các công thức lượng giác+ Kiến thức cơ bản nắm chưa vững

+ Khả năng tư duy còn hạn chế

+ Kiến thức của các em không đồng đều nhau.

4 Các dạng toán giải bằng đồ thị

4.1 Giải và biện luận phương trình bằng đồ thị

Cho hai hàm số yf x( ) có đồ thị ( )C1 và y g x ( ) có đồ thị ( )C2 Khi đó

số nghiệm của phương trình f x( )g x( ) là số giao điểm của ( )C1 ) và( )C2

DẠNG 1: Cho phương trình f x( )m (1) Số nghiệm của phương trình(1) là vào số giao điểm của đường thẳng y m với đồ thị hàm số yf x( ).Trong đó đường thẳng y m song song hoặc trùng trục Ox

* Phương pháp 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số yf x( )

- Ta tịnh tiến của đường thẳng y m xem nó cắt đồ thị hàm sốyf x( ) tạimấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; hoặc vônghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m

* Phương pháp 2: Khi bài toán không cho đồ thị

- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số yf x( ) Sau đó ta

biện luận tương tự như cách 1

- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

m m

Do m   2;5 và m nguyên nên có 7 giá trị m cần tìm là

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4nghiệm phân biệt x42x2 3 2m0

A

3 2

2

m

   

D 3 m 4

Lời giải:

- Ta có:  x42x2  3 2m 0 x4  2x2 3 2 m

- Lập bảng biến thiên của hàm số y x 4 2x2 3

- Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số

+ Đồ thị hàm số y x 3 3mx3và đường thẳng y3x1 có duy nhất mộtđiểm chung  3m 0  m 0

+ Do m   và m   2018; 2019 nên có 2018giá trị

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

) 1 ( 0 )

2 (

x

Chú ý: Với ví dụ 5 nếu giải bằng phương pháp đại số thì các em dùng

định nghĩa để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối và đưa về việc giải và biện luậnphương trình bậc hai , cách làm này phức tạp hơn , nhưng nếu ta nhìn bài toán

này dưới dạng 1 thì bài giải lại đơn giản hơn.

thì pt(1) có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 6: Gọi m0 là số thực sao cho phương trình x3 12x m0 có banghiệm dương phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x1 x2 x3   1 4 3 Biết rằng m0 códạng a 3b với a; b là các số hữu tỷ Tính 4a2 8b:

3 0

a 

;

97 8

b 

DẠNG 2: Phương trình: f x( )g m( ) (2)trong đó g m( ) là biểu thức theo m

Đặt g m( )m, lưu ý điều kiện của m.Ta xem (2) là phương trình hoành

độ giao điểm của ( ) :C yf x( )và đường thẳng ( ) :d y m

Số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của ( )C và ( )d Dựa vào đồ thị của ( )C và ( )d ta tìm được số nghiệm của phương trình (2)

Ví dụ 7: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình



5 2

Ví dụ 8: Cho hàm số y x 4  2x2  3 có đồ thị như hình vẽ bên dưới Vớigiá trị nào của m thì phương trình x4  2x2  3 2  m 4 có 2 nghiệm phân biệt.

A

0 1 2

m 

1 0

m m

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trìnhx4  2x2  3 2  m 4 có hai nghiệm

phân biệt khi

m m

m m

Để phương trình x4 2x2 3 2 m1 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt

2

m m

DẠNG 3: Phương trình: f x( )f m( ) (3) trong đó f m( )là biểu thức theo mĐặt f m( )m, dựa vào bảng biến thiên của f x( )ta suy ra bảng biến thiêncủa f m( )

Ta xem (3) là phương trình hoành giao điểm của ( ) :C yf x( )và đườngthẳng ( ) :d y m /

( )d là đường thẳng cùng phương trục Ox và đi qua điểm ( , )o m Sốnghiệm của phương trình (3) chính là số giao điểm của ( )C và ( )d Dựa vào đồthị của ( )C và ( )d ta tìm được số nghiệm của phương trình (3)

Ví dụ 10: Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m đểphương trình x3  3x2  m3  3m2  0 có ba nghiệm phân biệt Tổng tất cả cácphần tử của T bằng

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt

4 f m( ) 0

0 2

m m m

Suy ra T  1 Vậy tổng tất cả các phần tử của T bằng 1

4.2 Giải và biện luận hệ phương trình bằng đồ thị

Ví dụ 11: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm

) 1 ( 2

2

2 2

y x

a y

x

f(x)=2-x f(x)=-2-x f(x)=[2-(x^2)]^(1/2) f(x)=-[2-(x^2)]^(1/2)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5 2 2.5

x y

Lời giải:

- Nếu 1  a 0 0 thì hệ vô nghiệm

- Nếu a  1 thì x2 y2 2(1a) là phương trình của đường tròn tâm O, bán kính R 2(1a)

)

y x

y x y

0 a ay x 2 2

(*)Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt

Lời giải:

Hệ đã cho có thể viết lại:

1 y ) 2

1 x (

) 1 ( 0 ) 1 y ( a x

2 2

R 

Do số giaođiểm của đường thẳng và đường tròn

chính là số nghiệm của hệ phương trình

Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

2

m y x

0 2 ) y x ( 3 ) y x (

y x

) 1 ( 0 ) 1 y x )(

2 y x (

2 2 2

Các điểm M x y( ; ) thỏa mãn (1)là

những điểm nằm trên hai đường thẳng như

hình vẽ

Các điểm M x y( ; ) thỏa mãn (2) là

những điểm nằm trên đường tròn tâm O(0;0))

bán kính Rm , do số giao điểm của đường

thẳng và đường tròn chính là số nghiệm của

hệ phương trình Vậy để hệ phương trình có

2 m

Ví dụ 14: Biện luận theo a số nghiệm của hệ phương trình

a 2 x (

2 y 2 x

x X

2

Hệ đã cho có thể viết lại:

2 (

1 2

a Y a X

Y X

Ta nhận thấy các điểm M x y( ; )thoả mãn (1) là hình vuông ABCD trong đó( 2;0), (0;2), (2;0), (0;2)

A  B C D Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên hai đường thẳng:

2 a 2

1 a

2 a 2 

1 a

1 a 2

2 a 2 2

1 a

1 a 1

1 a 2

1 a 2

1 a

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

Đồ thị ( ) :C y3x x 3 cắt đường thẳng y2x tại O(0;0)và A(1;2),

( )C cắt đường thẳng: y2x tại O(0;0) và B ( 5;2 5).Do đó tập nghiệm của bất phương trình: 3x x 3 2x

1 a 1 y x

2 2

2 2

(*)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

Lời giải:

Nghiệm của bất phương trình (1) là

những điểm nằm trên và trong đường tròn

tâm O2 (0; 1)  bán kính: R2  a (như hình

vẽ)

Nghiệm của bất phương trình (2) là

những điểm nằm trên và trong đường tròn

y x 1 m xy 2 1

y x

y x 1 m xy

OH 

2 1

Để kiểm chứng kết quả học tập của học sinh, tôi đã thu thập các dữ liệu ởhọc sinh qua bài kiểm tra

a Đề kiểm tra

Câu 1: Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x   1

Câu 2: Cho hàm số y x 3 3x23 có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giátrị nguyên của tham số m để phương trình x3 3x2  3 m có hai nghiệm thực

 

1 4

y x  x 

có đồ thị như hình dưới Tổng tất cảcác giá trị nguyên của tham số m để phương trình x4 8x212 m có 8 nghiệmphân biệt là:

Câu 9: Cho hàm số yx3  4x25x 1 có đồ thị (C) và đường thẳng

 d :y 2m 2 Số giá trị thực của tham số mđể đường thẳng  d cắt đồ thị (C)tại 6 điểm phân biệt:

Câu 10: Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ

x y

-4 -3

x y x

x

m x





 có hai nghiệm thực phân biệt khi

A 0 m 7 B 1 m 6 C   1 m 6 D m 4

y x

2 2

1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

A m  5 B  4 m 4 C m 4 D m 4

b Kết quả bài kiểm tra:

* Trước khi sử dụng đề tài ở lớp 12C2 (sĩ số 40), kết quả đạt được:

Từ 8 - 10 điểm Từ 5 - 7,5 điểm Từ 3,5 - 4,5 điểm Từ 0 - 3,0 điểm

5 Học sinh

chiếm 12,5%

23 Học sinhchiếm 57,5%

8 Học sinhchiếm 20%

4 Học sinhchiếm 10%

* Sau khi sử dụng đề tài ở lớp 12C1 (sĩ số 40, mặt bằng chất lượng hai lớpbằng nhau) nhưng kết quả làm bài có sự thay đổi rõ rệt:

Từ 8 - 10 điểm Từ 5 - 7,5 điểm Từ 3,5 - 4,5 điểm Từ 0 - 3,0 điểm

10 Học sinh

chiếm 25%

27 Học sinh chiếm 67,5%

3 Học sinhchiếm 7,5%

0 Học sinh chiếm 0%

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Việc viết đề tài: “Giải toán bằng phương pháp đồ thị” theo kinh nghiệm

của bản thân cũng như việc tham khảo ý kiến của nhiều đồng nghiệp, đó là mộtviệc làm rất có hiệu quả và gây hứng thú cho học sinh, nhất là trong giai đoạnhiện nay, khi việc tự hệ thống, tự học của học sinh đang có chiều hướng giảm sút

Qua kết quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy rằng chấtlượng giáo dục có sự tiến triển tốt hơn, các em tự tin hơn trong học tập và đạtđược kết quả cao khi làm bài kiểm tra và giải các đề thi Bởi vậy việc áp dụngnội dung sáng kiến sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của học sinhtrung học phổ thông

2 Kiến nghị

- Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa cần tổ chức bồi dưỡng thường xuyêncho giáo viên về các phương pháp dạy học tích cực và về việc đổi mới kiểm trađánh giá một cách sâu rộng và hiệu quả hơn nữa

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên cónhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứuhọc tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Trường THPT Lê Hồng Phong cần được hiện đại hóa cơ sở vật chất và

bổ sung đầy đủ các trang thiết bị để tạo điều kiện cho việc áp dụng các phươngpháp dạy học mới Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập củagiáo viên hàng năm để làm cơ sở nghiên cứu, phát triển chuyên đề

- Trong các buổi họp tổ, giáo viên toán cần trao đổi các phương pháp dạyhọc cho từng bài, từng chương

Thanh Hóa, ngày 05 tháng 5 năm 2024

CAM KẾT KHÔNG COPY

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Người viết sáng kiến

Vũ Thị Hoài Yên