SKKN kinh nghiệm giải toán bằng phương pháp đồ thị

Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị A PHƯƠNG PHÁP I) BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ: 1) Cho phương trình: F(x, m) = (1), m tham số • Biến đổi phương trình (1) dạng f(x) = g(m) (2) • Trong hệ trục Oxy, vẽ đường (C): y = f(x) đường thẳng ∆: y = g(m) • Số hồnh độ giao điểm (C) ∆ số nghiệm phương trình (1) 2) Chú ý: a) Đường thẳng ∆ có ba dạng sau: • ∆: y = g(m) ⇒ ∆ đường thẳng // trục Ox • ∆: y = kx + m ⇒ ∆ đường thẳng có hệ số góc k • ∆: y = m(x - x0) + y0 ⇒ ∆ đường thẳng quay quanh điểm cố định A(x0; y0) b) Nếu F(x; m) = có nghiệm x thoả mãn điều kiện α ≤ x ≤ β • Ta vẽ đường (C): y = f(x) với x ∈ [α; β] • Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [α; β] c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau biện luận để tìm m II) ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1) Dạng tổng quát: • Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối nÕu A≥0 A • Dựa vào định nghĩa: A =  để bỏ giá trị tuyệt đối A0) ° Phần đối xứng phần đồ thị trục Oy c) Dạng đồ thị (C3) hàm số: y = f ( x )  f ( x) ≥ Ta có: y = f ( x ) ⇔   y = ± f ( x) (Do y = f ( x ) coi hàm đa trị y theo x) • Vẽ đồ thị (C) hàm y = f(x) • Đồ thị (C3) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh ° Phần đối xứng phần đồ thị qua trục Ox f ( x) d) Dạng đồ thị hàm số: y = g( x)  f ( x) nÕu f ( x) ≥  g ( x ) f ( x) Ta có: y = = g( x) - f ( x) nÕu f ( x) <  g ( x ) f ( x) • Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = g( x) • Đồ thị (C4) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) ứng với f(x) ≥ ° Phần đồ thị (C) ứng với f(x) < qua trục hoành f ( x) e) Dạng đồ thị (C5) hàm số: y = g ( x) • Các bước làm tương tự phần d) • Chú ý: g(x) ≠ f) Dạng đồ thị (C6) đồ thị hàm số: y = f ( x ) + g ( x ) Trang:2 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị nế u f ( x)  f ( x) + g( x) Ta có: y = f ( x ) + g ( x ) =  nÕ u f ( x) < - f ( x) + g( x) • đồ thị (C6) gồm hai phần: ° Phần đồ thị hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ ° Phần đồ thị hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < • Mở rộng: Vẽ đồ thị hàm số: y = f1 ( x ) + f ( x ) + + f k ( x ) + g ( x ) ° Ta vẽ đồ thị khoảng mà biểu thức dấu giá trị tuyệt đối khơng đổi dấu g) Dạng đồ thị (C7) hàm số: y = f ( x ) • Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) • Sau vẽ đồ thị (C2) hàm số: y = f( x ) • Tiếp thực cách vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = f ( x ) Tóm lại ta thực dần bước sau: y = f(x) ⇒ y = f( x ) ⇒ y = f ( x ) B CÁC BÀI TẬP MẪU: Bài số 1: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 - b) Với giá trị m phương trình: x − x − = log2m có nghiệm phân biệt? Giải: • TXĐ: D = R Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng • Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x x =  y = −1 ⇒ y' = ⇔ 4x(x2 - 1) = ⇔   x = ±1  y = −2 Bảng xét dấu y': x -∞ -1 +∞ y' + 0 + Hàm số đồng biến khoảng: (- ∞ ; -1) (0; 1) Hàm số nghịch biến khoảng: (-1; 0); (1; + ∞ ) • Cực trị: ° Hàm số đạt cực đại xCĐ = ± yCĐ = -2 ° Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCĐ = -1 • Giới hạn: lim = ± ∞ x →± ∞ Trang:3 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị th hm s khụng cú tiệm cận • Tính lồi lõm điểm uốn: 14 y" = 12x2 - = ⇔ x = ± ⇒y=9 x -∞ - y" + Đồ thị hsố lõm Bảng biến thiên: x -∞ -1 y' + + y +∞ 3 3 lồi + lõm 3 0 CĐ +∞ - +∞ - + +∞ U1 - CT 14 U2 - 14 CT • Vẽ đồ thị: ° Giao với trục Ox: y = ⇒ x4 - 2x2 - = ⇒ x = ± + ° Giao với trục Oy: x = ⇒ y = -1 ° Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng ° Các điểm khác: (± 2; 7)  14  ;−  (± 1; -2)  ± 9  b) Phương trình: x − x − = log m có nghiệm phân biệt đồ thị hàm số: y = x − x − cắt đường thẳng y = log2m điểm phân biệt • Vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = x − x Trang:4 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị f ( x) f ( x) Ta có: y = f ( x ) =  nÕu f ( x) < - f ( x) Vậy đồ thị (C1) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) ứng với f(x) ≥ có nghĩa phân đồ thị nằm phía trục Ox ° Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía trục hoành ° Vẽ đường thẳng D: y = log2m; D // Ox cắt trục Oy điểm có tung độ log2m Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đường thẳng D cắt đồ thị (C1) điểm ⇔ < log2m < ⇔ < m < 4 KL: Vậy phương trình: x − x − = log m có nghiệm phân biệt ⇔2 < m < Bài số 2: 2x x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2x b) Vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = f1(x) = (Vẽ hình riêng) x −1 c) Dùng đồ thị (C1) để biện luận theo tham số m số nghiệm x thuộc đoạn [-1; 2] phương trình: ( m − 1) x − m = (*) (ĐH QG HN - 1999) Giải: a) • TXĐ: D = R \ {1} • Sự biện thiên: < , ∀x ∈ D ° Chiều biến thiên: y' = ( x − 1) ⇒ hàm số nghịch biến với ∀x ≠ Cho hàm số: y = f(x) = Trang:5 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị Cc tr: Hm s khụng có cực trị ° Giới hạn: 2x 2x lim y = lim = −∞ lim y = lim = −∞ x →1− x→1− x − x →1+ x→1+ x − ⇒ đường thẳng x = tiệm cận đứng 2x lim y = lim = ⇒ đường thẳng y = tiệm cận ngang x →∞ x →∞ x − • Bảng biến thiên: x y' -∞ +∞ - +∞ - y -∞ • Vẽ đồ thị: ° Giao với trục Ox: (0; 0) ° Giao với trục Oy: (0; 0) 4  1  ° Các điểm khác: (2; 4);  − 2;  ; (3; 3);  ;−2  3  2  Nhận xét: Đố thị nhận giao điểm I(1; 2) đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Suy đồ thị (C1): y = f ( x ) = Trang:6 2x x −1 S¸ng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị 2x nÕ u x ≥ 0,x ≠  x − Ta có y = f ( x ) =  - 2x nÕ ux <  1- x Nhận xét: Đây hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng • Đồ thị (C1) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy ° Phần đối xứng đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy • Chú ý: ° Lấy đối xứng đường tiệm cận đứng qua trục Oy ta đường thẳng x = -1 Vẽ đồ thị (C1): c) Ta có: ( m − 1) x − m = ⇔ m x − x − m = ⇔ m( x − 1) = x 2x = m (*) với x ≠ ⇔ x −1 Vì x = m - - m = -2 = (Vơ lý) ⇒ phương trình khơng có nghiệm ± Số nghiệm phương trình (*) ∈ [-1; 2] số hồnh giao điểm đồ thị (C1) với đường thẳng d: y = , ta có d // Ox; với x ∈ [-1; 2] Nhìn vào đồ tịh ta có kết quả: • Nếu m < phương trình (*) có nghiệm đơn • Nếu < m < phương trình (*) vơ nghiệm • Nếu m = phương trình (*) có nghiệm kép • Nếu m > phương trình (*) có nghiệm đơn Bài số 3: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = -x3 + 3x Trang:7 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị b) Từ suy đồ thị (C1) hàm số: y = − x + x Giải: a) • TXĐ: D = R • Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y' = -3x2 + = -3(x2 - 1) x =  y = −2 ⇒ y' = ⇔   x = −1  y = Xét dấu y': x y' -∞ -1 - +∞ + - Hàm số đồng biến khoảng (-1; 1) Hàm số nghịch biến (- ∞ ; -1) ; (1; + ∞ ) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = ⇒ yCĐ = Hàm số đạt cực đại xCT = -1 ⇒ yCT = -2 ° Giới hạn: ( ) lim y = lim − x + 3x = ∞ ⇒ đồ thị khơng có tiệm cận x →± ∞ x→± ∞ ° Tính lồi lõm điểm uốn: y" = -6x ; y" = ⇔ x = ⇒ y = Bảng xét dấu y" x -∞ y" + Đồ thị h.số Lõm ° Bảng biến thiên: x -∞ -1 y' ∞ y + +∞ - Đ.uốn O(0; 0) Lồi + + CĐ +∞ - Đ.U CT -2 • Vẽ đồ thị: ° Giao với Ox: − 3;0 ; ° Giao vơi Oy: (0; 0) ( Trang:8 )( 3;0 ) -∞ S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị Cỏc im khỏc: (-2; 2); (2; -2) (1; 2); (-1; -2) Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn O(0; 0) làm tâm đối xứng b) Vẽ đồ thị: y = − x + x  y = ± f ( x) Ta có: y = f ( x ) ⇔   f ( x) ≥ Đồ thị hàm số (C1) gồm phần: • Phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh • Phần đối xứng phần đồ thị (C) nằm trục Ox qua trục Ox Bài số 4: ĐHKT QDân - 1999 ( x − 1) Cho hàm số: y = x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: (x - 1)2 = 2m x + Giải: Ta có y = x - + x+2 a) • TXĐ: D = R\{-2} • Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y ' = ( x + 2) Trang:9 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp ®å thÞ x = y' = ⇔ (x + 2)2 = ⇔   x = −5 Lập bảng xét dấu y': x -∞ -5 -2 y' + - - +∞ + Hàm số đồng biến khoảng (- ∞ ; -5); (1; + ∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (-5; -2); (-2; 1) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = -5 yCĐ = -12 Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCT = ° Giới hạn: lim y = lim x →−2 x →−2 cận đứng ( x − 1) x+2 = ∞ ⇒ x = -2 phương trình đường tiệm = ⇒ y = x - phương trình đường x →∞ x + lim [ y − ( x − ) ] = lim x →∞ tiệm cận xiên • Bảng biến thiên: x -∞ y' + y -5 -12 -2 - ∞ + +∞ + +∞ CĐ -∞ -∞ • Vẽ đồ thị: CT Nhận xét: Đồ thị hàm số qua điểm (1; 0);  0;  ; (-5; -12);  4;       2  2 nhận giao điểm I(-2; -6) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Ta có: ( x − 1) = 2m x + (*) Trang:10 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị ( x − 1) x+2 = 2m (*), x ≠ -2 • Nếu x ≠ -2 số nghiệm phương trình (*) số hồnh độ giao • Nếu x = -2 (*) ⇔ = 2m ⇔ m = điểm đồ thị hàm số: y = • Vẽ đồ thị (C1): y = ( x − 1) x+2 đường thẳng y = 2m ( x − 1) x+2 ( x − 1) nÕ ux > - ( x − 1)  x + Ta có: y = = x+2  ( x − 1) nÕ ux < - − x + Vậy đồ thị (C1) gồm phần: • Phần đồ thị (C) ứng với x > -2 • Phần đồ thị đối xứng đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox • Đường thẳng y = 2m đường thẳng song song trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ 2m Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả: • Nếu 2m < ⇔ m < phương trình (*) vơ nghiệm • Nếu m = phương trình (*) có nghiệm kép • Nếu < m < phương trình (*) có nghiệm đơn • Nếu m = phương trình (*) có nghiệm kép nghiệm đơn Trang:11 S¸ng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị ã Nu m > phương trình (*) có nghiệm phân biệt Bài số ĐHY Dược TPHCM - 93 x + mx + m Cho (Cm) đồ thị hàm số: y = x +1 Vẽ đồ thị (C-1) ứng với m = -1 Từ suy đồ thị (C) hàm số: x − ( x + 1) y= x +1 Giải: 2x − x − • Với m = -1 ta y = = 2x − + x +1 x +1 • TXĐ: D = R\{-1} • Sự biến thiên:   = 21 − ° Chiều biến thiên: y' = ( x + 1)  ( x + 1)  x = y' = ⇔   x = −2 Bảng xét dấu y': x y' -∞ -2 + -1 - - 0 +∞ + Hàm số đồng biến khoảng (- ∞ ; -2); (0; + ∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (-2; -1); (-1; 0) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = -2 yCĐ = -9 Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCT = -1 ° Giới hạn: lim y = ∞ ⇒ x = -1 phương trình đường tiệm cận đứng x →−1 = ⇒ y = 2x + phương trình đường x →∞ x + lim [ y − ( x + 3) ] = lim x →∞ tiệm cận xiên • Bảng biến thiên: x -∞ y' + -2 -9 -1 - +∞ 0 CĐ -∞ -∞ -1 CT Trang:12 + + + Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị ãV th: Giao vi trc Ox: (1; 0)  − ;0      Giao với trục Oy: (0; -1) đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng x − ( x + 1) = f ( x) x +1 ( x − 1)( x + 1) N Õux ≥ x − ( x + 1)  x +1 = Ta có: y = x +1 (1 − x )( x + 1) N Õux <  x +1 Vậy đồ thị (C) hàm số gồm phần: • Phần đồ thị (C-1) ứng với x ≥ • Phần đối xứng đồ thị (C-1) ứng với x < qua trục hoành Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = Trang:13 S¸ng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị Bi s 6: ĐH Mở HN - 99 x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Vẽ đồ thị (C*) hàm số y = x + + x −1 c) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x +1 + =m x −1 Giải: • TXĐ: D = R\{1} Cho hàm số: y = x + + • Sự biến thiên: y' = x − 2x ( x − 1) x = ° Chiều biến thiên: y' = ⇔ x2 - = ⇔  x = Bảng xét dấu y': x -∞ +∞ y' + 0 + ∞ ∞ Hàm số đồng biến khoảng (- ; 0); (2; + ) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 1); (1; 2) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCT = ° Giới hạn: lim y = ∞ ⇒ x = phương trình đường tiệm cận đứng x →−1 = ⇒ y = x + phương trình đường x →∞ x − lim [ y − ( x + 1) ] = lim x →∞ tiệm cận xiên • Bảng biến thiên: x -∞ y' + y 0 - ∞ + +∞ + +∞ CĐ -∞ -∞ CT Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox Oy: (0; 0) Trang:14 S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị th i qua điểm khác:  ;−   − 1;−   ;   ; (2; 4) 2  2  Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Giao với trục Ox Oy: (0; 0) b) Vẽ (C*): y = x + + x −1 (*) x −1 Vậy đồ thị phần (C) tương ứng với x ≥ -1 • Với x < -1 (*) có dạng: y2 = -x -1 + x −1 ° TXĐ: D = (- ∞ ; -1) ° Sự biến thiên: y2' = -1 phương trình (*) vơ nghiệm • Nếu - m = ⇔ m = phương trình (*) có nghiệm kép • Nếu < - m < ⇔ -1 < m < phương trình (*) có nghiệm phân biệt • Nếu - m = ⇔ m = -1 phương trình (*) có nghiệm kép nghiệm đơn • Nếu - m > ⇔ m < -1 phương trình (*) có nghiệm đơn C CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI: BÀI1: ĐH kỹ thuật công nghệ năm 1997 x + 3x + Cho hàm số: y = x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Từ suy đồ x + 3x + thị (C1) hàm số: y = (Vẽ hình riêng) x+2 x + 3x + b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: = 2m x+2 th Trang:18 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị BI2: HSP Vinh - Khi A,B - 2001 x2 − x −1 Cho hàm số: y = x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 - (1 + m) x - m - =0 BÀI3: Cho hàm số: y = -x4 + 3x2 - a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Suy đồ thị hàm số: y = − x + x − c) Biện luận số nghiệm phương trình: -x4 + 3x2 - + m = BÀI4: x+2 Cho hàm số: y = x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị biện luận phương trình: x − log 5m = x + BÀI5: Cho hàm số: y = x + + x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ (-4; 3) phương trình: x+3 + = 2m + x +1 BÀI6: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Từ suy đồ thị: y = − x + x − c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: − x + x − = -m +1 Trang:19 ... xứng phần đồ thị qua trục Oy • Vẽ xong đồ thị (C2) vẽ đồ thị (C1) Trang:17 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị Vậy đồ thị (C1) đồ thị (C2) đồ thị (C1) ứng với f(x) ≥ ∀x c) Số nghiệm phương. .. x + + - Đồ thị (C2) nhánh (β) Vậy đồ thị (C*) gồm hai phần: • Phần đồ thị (C1) Trang:15 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị • Phần đồ thị (C2) c) phương trình: x + + = m có ba nghiệm phân... Vậy đồ thị (C) hàm số gồm phần: • Phần đồ thị (C-1) ứng với x ≥ • Phần đối xứng đồ thị (C-1) ứng với x < qua trục hoành Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = Trang:13 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị