nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dưới

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac s

Trang 1

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Trang 8

Trang 9

Mục lục

1.1.3Môđun và Argument của số phức 7

1.1.4Dạng lượng giác của số phức 8

1.1.5Dạng mũ của số phức 9

1.1.6Phép khai căn một số phức 10

1.1.7Biểu diễn Riemann của số phức và mặt phẳng phức mởrộng .11

1.2Sơ lược về tôpô trên mặt phẳng phức 12

1.2.1Các khái niệm cơ bản 12

1.2.2Tập bị chặn và tập compact .13

1.2.3Giả khoảng cách giữa hai tập hợp .15

1.2.4Đường và miền trong mặt phẳng phức 16

1.4.1Khái niệm và một số chú ý mở đầu 23

1.4.2Tính chất của hàm phân tuyến tính 25

Trang 10

2NGYÊN LÝ CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI452.1Hàm điều hòa và nguyên lý cực đại của hàm điều hòa .452.2Hàm nửa liên tục trên và một số kết quả .502.3Hàm điều hòa dưới và một số kết quả 532.4Nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dưới 54

Trang 11

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lớp hàm điều hòa dưới là đối tượng nghiên cứu chính của lĩnh vực giảitích phức nói chung và lĩnh vực lý thuyết thế vị nói riêng Với yêu cầu địnhnghĩa khá yếu là hàm nửa liên tục trên và khả tích địa phương, lớp hàm điềuhòa dưới có nhiều tính chất mềm dẻo và rộng hơn so với các lớp hàm điềuhòa và hàm chỉnh hình trong giải tích phức Đây cũng là lớp hàm có nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực của toán học như lý thuyết phương trình đạohàm riêng và trong các lĩnh vực khoa học khác như động lực phức.

Trong nhiều chủ đề nghiên cứu thú vị của lớp hàm điều hòa dưới, thìnguyên lý cực đại của lớp hàm này là chủ để quan trọng, được tập trungnghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng Phiên bản đầu tiên của nguyên lýcực đại được đề xuất và chứng minh bởi Phragmén và Lindel¨of vào năm1908 trong công trình nghiên cứu[5] Sau này, cùng với sự phát triển của lýthuyết các điểm kỳ dị của hàm điều hòa dưới, nguyên lý cực đại được mởrộng thành nguyên lý cực đại tổng quát và từ đây có rất nhiều ứng dụngtrong nghiên cứu lý thuyết thế vị (trong[3]) và lý thuyết đa thế vị (trong[6]).Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn lĩnh vực giải tích phức nói chung vàlớp hàm điều hòa dưới nói riêng, và góp nâng cao năng lực toán học chobản thân, cùng với sự hướng dẫn khoa học của TS Hoàng Nhật Quy, tôiquyết định chọn đề tài nghiên cứu: ”Nguyên lý cực đại của hàm điềuhòa dưới” Đề tài được kỳ vọng là tài liệu tham khảo tốt có các bạn sinhviên và học viên cao học nghiên cứu về lĩnh vực toán giải tích và giải tíchứng dụng Ngoài ra, đề tài cũng sẽ góp phần làm phong phú, sâu sắc hơnlĩnh vực toán học phổ thông khi biết triển khai ứng dụng một cách phù hợp.2 MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

2.1 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

•Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm biến phức.

•Nghiên cứu về lớp hàm điều hòa dưới nói chung và nguyên lý cực đại củalớp hàm này nói riêng.

2.2 Phương pháp nghiên cứu

Trang 12

•Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến lĩnh vực của đề tài.

•Xây dựng đề cương nghiên cứu và tiến hành viết các nội dụng chi tiết.Tham gia các seminar cùng nhóm nghiên cứu để bổ sung và hoàn thiệnnội dung nghiên cứu.

3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp hàm điều hòa dưới và các tính chấtcủa nó Trong đó đi sâu nghiên cứu về tính chất nguyên lý cực đại của lớphàm này.

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực giải tích phức Cụ thể lànghiên cứu về lớp hàm điều hòa dưới và các tính chất của nó.

4 NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN

•Trình bày các sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức, khái niệm và mộtsố kết quả của hàm chỉnh hình, hàm bảo giác, hàm phân hình, hàm phântuyến tính.

•Trình bày một số kết quả trên hàm điều hòa dưới, đặc biệt đi sâu nghiêncứu về nguyên lý cực đại của lớp hàm này.

5 BỐ CỤC DỰ KIẾN CỦA LUẬN VĂN

Phần mở đầu: Giới thiệu về tổng quan nghiên cứu và lý do chọn đề tàicủa luận văn nghiên cứu.

Phần nội dung: Dự kiến luận văn bao gồm hai chương với nội dung cụ thểnhư sau

Chương 1 NHẮC LẠI VỀ HÀM BIẾN PHỨC1.1 Sơ lược về số phức

1.2 Sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức1.3 Hàm chỉnh hình và một số kết quả1.4 Hàm phân tuyến tính

1.5 Nguyên lý module cực đại của hàm chỉnh hình

Chương 2 NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐIỀU HÒADƯỚI

2.1 Hàm điều hòa và nguyên lý cực đại của hàm điều hòa2.2 Hàm nửa liên tục trên và một số kết quả

2.3 Hàm điều hòa dưới và một số kết quả2.4 Nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dưới

Trang 13

6 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Kết quả của đề tài giúp tôi hiểu sâu sắc hơn về hàm điều hòa dưới, đặcbiệt là nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dưới và một số ứng dụng củanguyên lý này Kết quả của đề tài là tài liệu tham khảo tốt cho học viên caohọc chuyên ngành toán giải tích và các sinh viên năm cuối ngành sư phạmtoán.

Trang 14

Chương 1

NHẮC LẠI VỀ HÀM BIẾN PHỨC Chương này trình bày một số nội dung cơ bản liên quan tới số phức, hàmbiến phức Đặc biệt, về lớp hàm chỉnh hình và các tính chất cơ bản của lớphàm đó Đây là những công cụ và ý tưởng quan trọng trong việc nghiên cứulớp hàm điều hòa dưới ở chương 2 Nội dung của chương này được tham khảochọn lọc từ các tài liệu [1], [2], [3], [6], [4].

1.1Sơ lược về số phức

Ta biết rằng trường số thực R nhận được bằng cách làm “đầy” trường sốhữu tỷ Q mà nó được xây dựng từ vành số nguyên Z Việc làm đầy xuấtphát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỷ và giới hạncủa dãy các số hữu tỷ Tuy nhiên, trường R vẫn không đầy đủ, bởi vì ngaycả phương trình đơn giản như

x2 + 1 = 0

cũng không có nghiệm trong R Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong Rngười ta không thể giải thích được vì sao hàm số

f (x) =11 + x2

không thể khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trên toàn bộ đường thẳng.Với các lý do trên, buộc ta phải đi tìm kiếm trường K nào đó chứa R nhưmột trường con sao cho tối thiểu phương trìnhx2+ 1 = 0có nghiệm Ở đây,ta nói R là trường con của K nếu các phép toán trên R được cảm sinh bởicác phép toán trên K.

1.1.1Xây dựng trường số phức

Trước hết, ta hãy phác thảo con đường tìm kiếm trường C chứa R nhưmột trường con mà phương trìnhx2 + 1 = 0có nghiệm trong nó.

Trang 15

Nếu C là một trường như vậy, thì C phải có một phần tửiđểi2 = −1.Vì R⊂C nên C chứa tất cả các phần tử dạng

(i) Quan hệ bằng nhau:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = cvàb = d.(ii) Phép cộng:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).(iii) Phép nhân:

a2 + b2,−ba2 + b2

Trang 16

(iii) Cuối cùng phép cộng và phép nhân trong C thỏa mãn luật phân phốivốn có trong R.

(α, β) [(a, b) + (c, d)] = (α, β) (a + c, b + d)

= (α(a + c) − β(b + d), α(b + d) + β(a + b))= (αa + αc − βb − βd, αb + αd + βa + βc)= (αa − βb, αb + βa) + (αc − βd, αd + βc)= (α, β)(a, b) + (α, β)(c, d).

Hiển nhiên qua đồng nhấta = (a, 0), a ∈R,R được chứa trong C nhưmột trường con.

2) Bởi vì(0, 1)2 = (−1, 0) = −1nêni = (0, 1)là nghiệm của phương trìnhx2 + 1 = 0.

Định nghĩa 1.1.1 Trường C được xây dựng như trên được gọi là trườngcác số phức, còn mọi phần tử của C được gọi là số phức Sối ∈C gọi là đơnvị của C.

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b(0, 1) = a + binên mọi số phứcz ∈C ta viết duy nhất dưới dạng

Các đẳng thức sau được suy ra từ định nghĩa• z = z, ∀z ∈R⊂C.

• z = z, ∀z ∈C.• z1 + z2 = z1 + z2.• z.z = a2 + b2 ≥ 0.• z1z2 = z1 z2.Đặc biệt, ta có

λz = λz,∀λ ∈R, ∀z ∈C.

Trang 17

1.1.2Mặt phẳng phức

Giả sử trên mặt phẳng R2 cho một hệ toạ độ vuông gócxOy Như vậy,mỗi điểmM ∈R2 được xác định bởi hoành độxvà tung độ y của nó Điềunày cho phép ta lập được tương ứng1 − 1giữa các điểm của mặt phẳng R2với các số phứcz ∈C:

M (x, y) ∈R2 7→ x + iy = z ∈C.

Mặt phẳng R2 cùng với một tương ứng như vậy được gọi là mặt phẳngphức Như vậy một điểmM (x, y) ∈R2 có thể được coi là một số phức nếuđồng nhất nó vớiz = x + iy.

1.1.3Môđun và Argument của số phức

Ta đã biết mỗi số thựcx ∈R tương ứng với một số thực không âm|x|được gọi là giá trị tuyệt đối củax:

|x| =

(iii)|x + y| ≤ |x| + |y|.

Bây giờ ta muốn mở rộng hàm trị số tuyệt đối này thành một hàm mà sẽgọi là hàm môđun từ C tới R mà các tính chất tương tự như trên còn đượcgiữ nguyên đối với các số phức Muốn vậy, với mỗi sốz = x + iy ∈C ta đặt:

|z| =px2 + y2 =√z · z,

và gọi là môđun củaz.Về mặt hình học,|z|chẳng qua là khoảng cách từđiểmM (x, y) ∈R2 tương ứng vớizđến gốc toạ độO(0, 0).

Các khẳng định sau tương tự như(i) ÷ (iii)ở trên được suy trực tiếp từđịnh nghĩa trên:

a)|z| ≥ 0, ∀z ∈C và|z| = 0 ⇔ z = 0.b)|z1z2| = |z1||z2|.

c)|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.

Ngoài ra ta có thêm các tính chất sau:

d) Môđun của mọi số thựcx ∈R chính là trị số tuyệt đối của nó.

Trang 18

e)|z| = |z| =zz, ∀z ∈C.

Bây giờ ta chuyển sang định nghĩa argument của một số phứcz = x+iy ̸= 0.Muốn vậy chú ý rằng vớir = |z|ta có:

2= 1.

Vì vậy tổn tại duy nhất số thựcφ0(0 ≤ φ0 < 2π)sao chox

y= cos φ0,y

r= sin φ0hay

x = r cos φ0, y = r sin φ0.Nói cách khác

z = |z|(cos φ0 + i sin φ0), 0 ≤ φ0 < 2π.(1)Số thựcφ0 thoả mãn(1)được gọi là argument chính củazký hiệu làargz.Nói chung một số thựcφmà

z = |z|(cos φ + i sin φ)được gọi là argument củaz.

Rõ ràng đối với mọi argumentφcủaztồn tại số nguyênksao choφ = argz + 2kπ

Sau này nếu viếtArgzta hiểu đó là tập tất cả các argument củazArgz = {argz + 2kπ : k = 0, ±1, ±2, }.

1.1.4Dạng lượng giác của số phức

Với khái niệm môdun và argument của số phứcz ̸= 0, ta có thể viết sốphức ở dạng thuận tiện hơn

Dạng(2)được gọi là dạng lượng giác củaz.Từ các công thức lượng giácvà từ(2)ta có

Argz1z2 = Argz1 + Argz2.Argz1

z2 = Argz1 − Argz2.Bằng quy nạp ta có

Argz1· · · zn = Argz1 + · · · + Argzn.

Bây giờ, giả thiếtz1 = · · · = zn = z = ρ(cos φ + i sin φ) Khi đózn = ρn(cos nφ + i sin nφ).

Trang 19

Vớiρ = 1ta được công thứcM oivresau

(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ, ∀n ≥ 1.

Công thức Moivre còn đúng vớin = 0vànlà số nguyên âm Vớin = 0làhiển nhiên vì

(cos φ + i sin φ)0 = 1 = cos 0 + i sin 0.Nếuklà số nguyên âm, đặtk = −n, n ∈N,ta có

(cos nφ + i sin nφ)k = (cos nφ + i sin nφ)−n

(cos nφ + i sin nφ)n = cos nφ + i sin nφ, ∀n ∈Z.

Để kết thúc mục này, ta giải thích ý nghĩa hình học của phép nghịch đảo1

z, z = x + iy ̸= 0.

Đầu tiên giả sử|z| < 1 Ta kẻ đường vuông góc với tiaOztạiz(ta đồngnhấtzvới điểmM (x, y)) cắt đường tròn đơn vị{|z| = 1}tạiζ Từζkẻđường tiếp tuyến với đường tròn đơn vị này Giả sử tiếp tuyến cắt tiaOztạiω Hiển nhiênargω = argz, |ω| = |z|1 .Có nghĩaω = 1z (Hình1).

Số liên hợpωđó là 1z (đối xứng vớiωqua trục thực).

Nếu|z| > 1phép dựng 1z được tiến hành theo thứ tự ngược lại xuất pháttừz.

1.1.5Dạng mũ của số phứcVới mọi số thựcφđặt

Trang 20

Như vậy từ công thức Moivre ta thấy mọi số phứcz ̸= 0có thể viết dướidạng

và được gọi là dạng mũ củaz.

Từ cách viết(7), ta có các đẳng thức sau:z1z2 = ρ1ρ2ei(φ1+φ2)

z1z2 =

zn =ρneinφở đây:z1 = ρ1eiφ1; z2 = ρ2eiφ2; z = ρeiφ.

Ta có

cos φ= 12(eiφ + e−iφ)sin φ = 2i1(eiφ− e−iφ).Các công thức trên được gọi là công thứcEuler.

1.1.6Phép khai căn một số phức

Chonlà số tự nhiên vàz ∈C Ta nóiωlà căn bậcncủaznếuωn = z.Vớiz ̸= 0,đặtz = reiφ vàω = ρeiψ Khi đó

ρneinψ = reiφ.Từ đó ta có

cosφ + 2kπ

φ + 2kπn

k = 0, 1, · · · , n − 1.Ta có

√z =

cosφ + 2kπ

φ + 2kπn

\ k = 0, 1, · · · , n − 1

Trang 21

(ξ, η, ζ) : ξ2 + η2 +

ζ −12

1 + |z|2, η =y

1 + |z|2, ζ =|z|21 + |z|2ở đâyz = x + iy.

Suy ra tương ứng

z → π(z)

là đồng phôi giữa C vàS \{P }, ngoài ra nếu|z| → ∞thìπ(z) → Ptrong R3.Điểmπ(z)được gọi là biểu diễnRiemanncủa số phứczcònSđược gọilà mặt cầuRiemann.

Nếu bổ sung vào C một điểm mới∞ta nhận được tập hợp C, tức làC=C∪ {∞} Điểm∞sẽ gọi là điểm xa vô tận, còn C là mặt phẳng phứcmở rộng.

Dễ thấy rằng.π(z) → P(trong R3) Khi|z| → ∞ Trường hợp này ta nóizdần tới điểm, xa vô tận Như vậy tương ứngz → π(z)được mở rộng tớiđồng phôi giữa C vàSbằng cách đặt

π(∞) = P.

Trang 22

Chú ý rằngSlà tập con compact của R3 và vậy thì C là compact.

1.2Sơ lược về tôpô trên mặt phẳng phức

1.2.1Các khái niệm cơ bản

Vì mặt phẳng phức C có thể đồng nhất với R2 qua ánh xạz 7→ (Rez, Imz)nên tôpô trên mặt phẳng phức C chính là tôpô trên R2 Vì vậy, ở đây ta chỉnhắc lại và nói thêm một số điều cần thiết dưới ngôn ngữ số phức.

Trước hết lân cận của một điểma ∈C là tập bất kỳ bao hàm hình trònD(a, r)tâma, bán kínhr > 0, tức là

Từ định nghĩa suy ra hình trònD(a, r)là tập mở với mọia ∈C và mọir > 0.

Tập F⊂C được gọi là đóng nếu phân bù của nó CF=C\F là mở Từtính chất của các tập mở suy ra ngay hợp của một số hữu hạn và giao củahọ bất kỳ các tập đóng là tập đóng.

Cho X⊂C:

a)z0 ∈X gọi là điểm trong của X nếu X là lân cận củaz0 Nói cách khác,tồn tạiε > 0đểD(z0, ε) ⊂X Tập tất cả các điểm trong của X đượcgọi là phần trong của X và ký hiệu làIntX hayX˚.

b)z0 gọi là điểm tụ của X nếu mọi lân cận U củaz0 chứa ít nhất một điểmcủa X khácz0.

Tập tất cả các điểm tụ của X gọi là tập dẫn xuất (thứ1) của X và kýhiệu là X.

Trang 23

c)z0 gọi là điểm cô lập của X nếu tồn tại một lân cận U củaz0 chứa duynhất điểmz0 thuộc X.

d)z0 hoặc là điểm tụ hoặc là điểm cô lập của X được gọi chung là điểmdính của X.

Tập tất cả các điểm biên của X ký hiệu là∂X.Hiển nhiên∂X=X\ ˚X.

Dễ dàng kiểm tra lại các khẳng định sau:

a) Giao của một họ bất kỳ và hợp của một họ hữu hạn các tậpcompactlàcompact.

b) Tậpcompactlà tập đóng và bị chặn.

c) Mọi tập con đóng của một tậpcompactlàcompact.

Định lý sau là hệ quả trực tiếp của việc đồng nhất C với R2 và từ hệ thức|z|2 = |Rez|2 + |Imz|2 vớiz ∈C.

Xn ̸= ϕ.

Trang 24

Chứng minh Với mỗin ≥ 1, lấy điểmzn ∈ Xn Theo giả thiết dãy{zn}có một dãy con hội tụ tớiz Đặc biệt với mọik ≥ 1, zlà điểm tụ của dãy{zn}n≥k ⊂ Xk.Vậyz ∈

|zk − zm| < rta gặp mâu thuẫn vìzm ̸∈ Dk.

Định lý 1.2.3.(Heine − Borel) Giả sửXlà tập con của C Các điều kiệnsau là tương đương:

Ta nói phủ mở{Gi}i∈I chứa một phủ con hữu hạn nếu tồn tạii1, · · · , insao choX ⊂ Gi1 ∪ · · · ∪ Gin.

Chứng minh

(i) ⇒ (ii) Giả sử tồn tại phủ mở{Gi}i∈I củaXsao cho mọi hệ hữuhạn các tậpGi, không đủ phủX Vậy với mọin ≥ 1tồn tại hình trònDn,bán kính1/nsao choDn ∩ Xkhông thể phủ bởi một số hữu hạn các tậpGi Lấy tuỳ ýzn ∈ Dn ∩ X VìXcompact, tồn tạia ∈ Xlà điểm tụ củadãy{zn} Chọni0 ∈ Iđểa ∈ Gi0 DoGi0 là mở nên tồn tạir > 0đểD = D(a, r) ⊂ Gi0, Lấy N vàn0 đủ lớn để2/N< r,n1

0 < r4 và|zn0 − a| < N1

Trang 25

Với một điểmzbất kỳ củaDn0.ta có|z − a| < r, do đóDn0 ⊂ D ⊂ Gi0,Điều này mâu thuẫn với giá thiếtDn0 , không bị phủ bởiGi0.

(ii) ⇒ (iii): Lấy tuỳ ýz ∈ CX.ĐặtGk =C\D z,1k Khi đóGk là mở vàx

Gk ⊃ XTheo giả thiết tồn tạiGk, · · · , Gkn sao choX ⊂ Gk1∪· · ·∪Gkn VìvậyX ⊂ GN vớiN = max

1≤j≤nkj Điều này nghĩaD z,N1∩X = ϕtức làz ̸∈ X.Điều này chứng tỏXđóng Ta cần chứng minhXlà bị chặn PhủXbởi họ{D(z, 1) : z ∈ X} Từ giả thiết cóz1, · · · , zp sao cho{D(zi, 1) : 1 ≤ i ≤ p}phủX ĐặtR = max{|zi| : 1 ≤ i ≤ p}thì với mọiz ∈ X : |z| < R.

(iii) ⇒ (i) :Lấy tuỳ ý{zn} ⊂ Xvà viếtzn = xn + iyn.VìXbị chặnnên các dãy số thực{xn}và{yn}cũng bị chặn Theo bổ đềBolzano −W eierstrassDãy{xn}và{yn}có điểm tụ lần lượt làxvày Hiển nhiênz = x + iylà điểm tụ của dãy{zn}.DoXđóng nênz = x + iy ∈ X.

1.2.3Giả khoảng cách giữa hai tập hợpGiả sửAvàBlà các tập con củaC Ta gọi số

(i) Tồn tạia ∈ A, b ∈ Bđểd(A, B) = |a − b|;(ii) NếuA ∩ B = ϕthìd(A, B) > 0.

d(A, B) = limj→x|an

kj − bn

kj| = |a − b|.(ii) NếuA ∩ B = ϕthìa ̸= bDo đód(A, B) = |a − b| > 0.

Trang 26

1.2.4Đường và miền trong mặt phẳng phức

Giả sửφ(t)vàψ(t)là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn[a, b](a < b).Khi đó phương trình:

z = z(t) = φ(t) + iψ(t), a ≤ t ≤ b

cho biểu diễn tham số của đường cong liên tụcL = z([a, b])trong C.Đườngcong được gọi là trơn nếu nó có biểu diễn tham sốz(t) = φ(t) + iψ(t)saochoφvàψlà các hàm có đạo hàm liên tục với

|φ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 ̸= 0vớit ∈ (a, b)

Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn đượcgọi là đường cong trơn từng khúc Các điểmz(a)vàz(b)lần lượt gọi là cácđiểm đầu và cuối của đường congL.Sau này các đường cong ta luôn coi làliên tục.

Định lý 1.2.5 Với mọir > 0tồn tại các điểmz0, z1, · · · , zn ∈ Lsao cho

L ⊂n[j=0

2với mọis, t ∈ [a, b]mà|s − t| ≤ b−an

tj = a + j(b−a)n vàzj = z(tj), j = 0, 1, · · · , n − 1,ta chứng tỏ rằngzj ∈ Lthoả mãn điều kiện mong muốn.

Thật vậy, từ

|z(s) − z(t)| =q

Trang 27

Vậyz ∈ D(zj0, r),tức là

L ⊂n[j=0

D(zj, r).

Một đường congLcó điểm đầu và cuối trùng nhau được gọi là đường congkín Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tạit1, t2 ∈ (a, b)đểφ(t1) + iψ(t1) = φ(t2) + iψ(t2)vàφ(t1) + iψ(t1) ̸= φ(a) + iψ(a)đượcgọi là đường congJ ordan.Đường congJ ordankín còn được gọi là chu tuyến.

TậpΩ ⊂ Cđược gọi là một miền nếu nó thoả mãn hai điều kiện:(i)Ωlà tập mở.

(ii)Ωlà liên thông, tức là với hai điểm tuỳ ýa, b ∈ Ωtồn tại đường congL ⊂ Ωcó điểm đầu làavà điểm cuối làb.

Giả sửγlà một chu tuyến trong C Định lýJ ordannói rằngγchia mặtphẳng C thành hai miền Một trong hai miền đó là bị chặn (không chứa điểm∞) ký hiệu làΩγ hayΩ+γ và gọi là miên trong giới hạn bởiγ Miền còn lạiviết làΩ−γ và gọi là miề.n ngoài giới hạn bởiγ.

Hiển nhiên∂Ω = γ.Ta quy ước chiều dương của∂Ωlà chiều mà đi dọctheo∂ΩmiềnΩ+ luôn nằm về bên trái Mũi tên trong Hình3chỉ chiềudương của∂Ω.Khi có phân biệt đến chiều, ta viết∂Ω+ là biên củaΩvớichiều dương còn∂Ω− là tiên củaΩlấy theo chiều ngược lại (chiều âm).

MiềnΩđược gọi là đơn liên nếu với mọi chu tuyếnγ ⊂ Ωta đều cóΩγ ⊂ ΩNếu tồn tại các chu tuyếnγ1, γ2, · · ·sao cho các miềnΩγ1, Ωγ2, · · ·không bao hàm trongΩta nóiΩlà miền, đa liên Ta nhận thấy rằng nếu bổsung vào∂Ωcác đườngl1, l2, · · ·thì miền thu được sẽ là miền đơn liền.

Trang 28

zj+1 ∈ D(zj, r)vớij = 0, 1, · · · , n − 1vàL ⊂Snj=0D(zj, r) ⊂Snj=0D(zj, r) ⊂ Ω

1.3Hàm chỉnh hình và một số kết quả

Hàm của hai biến thực có thể xem như hàm của một biến phức Điều nàycùng với cấu trúc đại số của C dẫn ta đến một lớp hàm hết sức quan trọngđó là lớp hàm C-khả vi.

1.3.1Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 1.3.1 (Hàm biến phức) ChoΩ ⊂C là một tập mở Ta gọiánh xạf : Ω →C Hàm như vậy được ký hiệu là

ω = f (z), z ∈ Ω.là hàm biến phức trênΩ.

Giả sử,z = x + iy ∈ Ωvớix, y ∈R Khi đó, hàmf (z)có thể được biểudiễn bởi

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),vớiu(x, y)vàv(x, y)là các hàm thực hai biến.

Định nghĩa 1.3.2 (Đạo hàm phức) Cho hàmf (z)xác định trên tập mởΩ ⊂C Xét giới hạn

f (z + ∆z) − f (z)∆z

Trang 29

Định nghĩa 1.3.3 (Hàm C-khả vi và hàm R2-khả vi) Hàmf (z)xácđịnh trên tập mởΩđược gọi là C - khả vi trênΩnếu nó có đạo hàm phức tạimọiz ∈ Ω Và hàmf (z)được gọi làR- khả vi nếu các hàmu(x, y), v(x, y)là các hàm khả vi tại mọi điểm(x, y) ∈ Ω.

Định nghĩa 1.3.4 (Hàm chỉnh hình) Hàmfxác định trong miềnΩ ⊂Cvới giá trị trong C gọi là chỉnh hình tạiz0 ∈ Ωnếu tồn tạir > 0đểflà C- khả vi tại mọiz ∈ ∆(z0, r) ⊂ Ω Nếufchỉnh hình tại mọiz ∈ Ωta nóifchỉnh hình trênΩ.

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y).∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y).

Các hệ thức(1.1)được gọi là điều kiện Cauchy - Riemann.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sửflà C - khả vi tạiz = x + iy ∈ Ω.Khi đó tồn tại giới hạn

f′(z) = lim∆z→0

u(x + ∆x, y) + iy(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y)∆x

= lim∆z→0

u(x = ∆x, y) − u(x, y)

v(x + ∆x, y) − v(x, y)∆x

tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) vàf′(z) =∂u

∂x(x, y) + i∂v

∂x(x, y) (1.2)

Trang 30

Tương tự khi chọn∆z = i∆yta cóf′(z) = −i∂u

∂y(x, y) +∂v

∂y(x, y) (1.3)

TỪ (1.2) và (1.3) ta có∂u

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y).∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y).Lại có, vìflà C−khả vi tạiz, nên

∆f = f (z + ∆z) − f (z) = f′(z)∆z + o(∆z)vớio(∆z)là vô cùng bé bậc cao hơn∆z, tức là

∂x∆y + 0(∆z) =∂u

∂x∆x +∂u

∂y∆y + 0(|∆z|)

∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + 0(∆z) =∂v

∂x∆x +∂v

∂y∆y + 0(|∆z|)Điều đó có nghĩauvàvkhả vi tại(x, y).

•Điều kiện đủ Vìuvàvkhả vi tại(x, y)nên

∂x(∆x) +∂u

∂y∆y = 0(p

∆x2 + ∆y2)

∆v =∂v

∂x(∆x) +∂v

∂y∆y = 0(p

∆x2 + ∆y2)

Theo điều kiện 1.1 hai đẳng thức trên có thể viết thành:

∂x∆x −∂v

∂x∆y + 0(|∆z|)

∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + 0(|∆z|)

Trang 31

Từ hai đẳng thức trên ta có:∆f

∆z=∆u∆z+ i

∂x+ i∂v∂x+

0(∆z)∆zVì vậy

∂u∂x+ i

∂v∂xtức làflà C - khả vi tạiz = x + iy.

Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàmcủa hàm một biến thực, ta dễ dàng thiết lập các công thức sau.

Định lý 1.3.2 Nếuf (z)vàg(z)khả vi phức tạiz0 thìαf (z)+βf (z), f (z)g(z)vàf (z)/g(z)(g(z0) ̸= 0)cũng khả vi phức tạiz0 với mọiα, β ∈C

i)(αf + βg)′(z0) = αf′(z0) + βg′(z0)ii)(f g)′(z0) = f′(z0)g(z0) + f (z0)g′(z0)iii)(f /g)′(z0) =f

′(z0)g(z0) − f (z0)g′(z0)g2(z0)

(iv) Nếu doω = f (z)khả vi phức tạiz0, còng(ω)khả vi phức tạiω0 = f (z0)thì hàm hợpg • fkhả vi phức tạiz0.

f′(z) = na0zn−1+ · · · + an−1.b)Cho hàm

f (z) =z2

2z − 1, z ̸=12.Khi đó

f′(z) =(2z − 1)2z − 2z2(2z − 1)2 .

Trang 32

Như vậyflà C-khả vi tạiz ̸= 1.

c)Từ ví dụb)suy ra nếuf (z) = P (z)/Q(z)là hàm hữu tỉ, thì nó C-khả vịtại mọizmà nó xác định.

1.3.3Hàm giá trị phức biến thực

Giả sử trên đoạn[a, b] ⊂R cho hàm giá trị phức biến thực liên tụcz(t) : [a, b] →C Khitbiến thiên trên đoạn[a, b], điểmz(t)vạch nên tậphợp nào đó trên C Tập hợp đó cùng với thứ tự mà điểmz(t)biến thiên khitham sốttăng liên tục từađếnb(a < b)được gọi là đường cong liên tục,còn phương trình:

z = z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b](1.1)được gọi là phương trình tham số của đường cong.

Như vậy, đường cong liên tục(1.1)là tập hợp có thứ tự trên C, nghĩa lànó luôn luôn được định hướng theo hướng tăng của tham sốt Hướng chuyểnđộng của điểmz(t)dọc theo đường cong(1.1)tương ứng với hướng tăng củatham sốtđược gọi là hướng dương Hai phương trình tham số:

z = z(t), t ∈ [a, b],z = z1(t), t ∈ [a1, b1]

cùng xác định một đường cong liên tục khi và chỉ khi tồn tại hàm thựcφ(t)liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn[a, b]sao choφ(a) = a1, φ(b) = b1, z(t) =z1(t), t ∈ [a, b].

Đường cong liên tục(1.1)được gọi là đường congJ ordan(≡đường congkhông tự cắt) nếu∀t′, t′′; t′ < t′′; t′, t′′ ∈ [a, b)thìz(t′) ̸= z(t′′), z(t′′) ̸= z(b),Nếuz(a) = z(b)thì(1)là đường công đóngJ ordan,còn nếuz(a) ̸= z(b)thì(1.1)là đường cong không đóng Đường cong đóng Jordan trên mặt phẳngphức C thường được gọi là chu tuyến.

Đường cong liên tục(1.1)được gọi là:

i) Đường cong trơn nếu trên[a, b]hàmz(t)có đạo hàm liên tục khác0;ii) Đường cong trên từng khúc nếu nó được lập nên từ một số hữu hạn

đường cong trơn.

Ví dụ1 Tìm phương trình dưới dạng phức của đường trònΓ(a;R)với tâmtại điểma ∈C và bán kính R.

Giải: Ta ký hiệuz − a = ˜Reiφ Đối với các điểm củaΓ(a;R),ta có:˜

R= |z − a| =R

Do đó, phương trình cần tìm có dạng:z − a =Reiφ, trong đóacgumenφđóng vai trò tham số.

Trang 33

Ví dụ2 Cho phương trình đường cong dưới dạng phứcz = 3eit+ 2e−it Hãyxác định dạng của đường cong đã cho.

Giải: Ta có:z = x + iy = 3eit + 2e−it → x = 5 cos t, y = sin t Đó là :phương trình tham số của đường cong Khử tham sốtta có:

5= cos t; y = sin t ⇒x225+ y

2 = 1

Do đó, đường cong đã cho là đường elip với các bán trục bằng5và1.Ví dụ3 Đường congz = z(t), t ∈ [−π2, 2π] :

z(t) =

e(it),−π2 ≤ t ≤ 2π3t

π − 4, π ≤ t ≤ 2π

là đường cong không đóng với điểm tự cắt làz = 1 Theo đó, các điểmz1 = z(0)vàz2 = z 5π3 là những điểm khác nhau của đường cong mặc dùchúng là những điểm trùng nhau của mặt phẳng.

3) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền.

4) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành các điểm đốixứng.

Trang 34

Ta nêu ba công thức thường hay sử dụng:1) Ánh xạ phân tuyến tính:

w − w1w − w2

:w3 − w1w3 − w2 =

z − z1z − z2

Ở đây, hai đường congγ1, γ2, được gọi là trực giao tạiz0 ∈ γ1 ∩ γ2, nếuhai tiếp tuyến của chúng tạiz0 vuông góc với nhau.

Chứng minh Giả sửzvàωđối xứng qua ô∂D(z0,R) Ta có thể coiωnằm ngoài hình trònD(z0,R)GọiPlà một giao điểm của∂D(z0,R)vàS.Khi đó:

|z − z0||ω − z0| =R2 = |P − z0|2

Điều đó có nghĩa là bình phương khoảng cách từPtớiz0 bằng phươngtích của điểmz0 đối với đường trònS Vì vậy đường thẳng quaz0 vàPtiếpxúc vớiS, tứcS⊥∂D(z0,R) Ngược lại, nếu mọi đường tròn quazvàωđểutrực giao với∂D(z0,R)thì nói riêng đường thẳng quazvàωphải trực giaovới∂D(z0,R)tức làz0, zvàωthẳng hàng Từ giả thiết suy razvàωnằmtrên một tia xuất phát từz0 Xét đường trònStuỳ ý quazvàω, giả sửS

Trang 35

cắt∂D(z0,R)tạiP VìS⊥∂D(z0,R)nên tiếp tuyến vớiStạiPđi quaz0.Vì vậy

|z − z0||ω − z0| = |P − z0|2 =R2

Điều đó hoàn thành việc chứng minh tính đối xứng củazvàωqua∂D(z0,R)Trong R2 đường tròn có dạng phương trình

α(x2 + y2) + 2βx + 2γy + δ = 0, α ̸= 0(5)Bởi vì

x2 + y2 = zz, x =z + z

2, y = −iz − z

2nên phương trình(1)có thể viết dưới dạng.

αzz + β(z − z) + iγ(z − z) + δ = 0hay

αzz + β1z + β1z + γ = 0vớiβ1 = β + iγ(6)Một đường tròn bất kỳ trong C sẽ chia nó làm hại miền Mỗi một miềnđó được gọi là một hình tròn.

Cho bốn điểma, b, cvàd ∈C Tỷ số kép giữa chúng được định nghĩa là(a, b, c, d) =c − a

Điểmz0 ∈ Ωgọi là điểm bất động của ánh xạf : Ω → Ωnếuf (z0) = z0.Ví dụ, đối với ánh xạ đồng nhấtz → zmọi điểm đều là điểm bất động.Có thể chỉ ra mọi ánh xạ liên tục từ[0, 1]mọi điểm đều là điểm bất động.Giả sửl1 vàl2, là các đường cong đi qua điểm∞trong C và giả sửL1,vàL2 là ảnh của các đường cong đó qua ánh xạ nghịch đảo 1z Góc giữal1, vàl2 tại∞được hiểu là góc giữaL1 vàL2 tạiO.

1.4.2Tính chất của hàm phân tuyến tính

Định lý 1.4.2 Bằng cách đặtω(∞) = ac vàω −dc= ∞, hàm phân tuyếntính(4)là song ánh giữa C và C.

Chứng minh Vì với mỗiω ∈C, phương trình(4)luôn có dab nghiệm duynhấtz =dω − b

−cω + a

Trang 36

Định lý 1.4.3 Hàm phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trong C (tính bảogiác tại điểm∞được hiểu là sự bảo toàn góc).

Chứng minh Theo định lý1.1.6,ωbảo giác nếuz ̸= −c

dvàz ̸= ∞vì nếuzkhác hai điểm này thì

ω′(z) =ad − bc(cz + d)2 ̸= 0

Xét hai đường congl1 vàl2 , qua−d

c Qua ánh xạωchúng biến thành haiđường congL1 vàL2, qua điểm∞ Theo định nghĩa góc giữaL1 vàL2 làgóc giữa ảnh của chúng qua ánh xạ

cz + daz + b

tại0 NhưngW′

Định lý 1.4.4.i) Hàm ngược của một hàm phân tuyến tính là hàm phântuyến tính.

ii) Hợp thành của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.Chứng minh Hàm ngược của hàmω =az + b

cz + dlà hàmω

−1 =dz − b−cz + a, rõràng cùng là hàm phân tuyến tính.

Phần còn lại của định lý dễ dàng kiểm tra bằng cách thử trực tiếp.Định lý 1.4.5 Ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn đường tròn.

Chứng minh

a) Trường hợp(4)có dạngω = ax + b(c = 0, d = 1), Biểu diễnωdưới dạnghợp thành của các ánh xạ:ω1 = |a|z, ω2 = eiargaω1 vàω3 = ω2 + b.Chú ý rằng ánh xạ thứ1là phép vị tự tỉ số|a|, ánh xạ thứ2là phépquay một gócargavà ánh xạ thứ3là phép tịnh tiến một vectơb Rõràng qua mỗi ánh xạ trên ảnh của đường tròn vẫn là đường tròn.

b) Trường hợp(4)có dạngω = 1z(a = 0, b = 1, c = 1, d = 0) xét mộtđường tròn bất kỳ và viết phương trình của nó dưới dạng(2) Qua hàmω = 12 nghĩa làz = ω1 ảnh của đường tròn sẽ có phương trình là

ωω+ β11ω+ β1

ω+ δ = 0

Trang 37

bc − ad

c(cz + d)khi đó rõ ràngωlàhợp thành của3ánh xạ

ω1 = cz + d, ω2 =1

ω1 vàω3 =ac+

bc − adcω2

.Theo các trường hợp riêngω1, ω2 vàω3 bảo toàn đường tròn, vậy bảo toànđường tròn.

Định lý 1.4.6 Ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn hình tròn.

Chứng minh Cho hình tròn tuỳ ý|∆|với biênS Qua ánh xạ phân tuyếntínhωđường trònSbiến thành đường trònS∗ = ω(S) Lấya ∈ ∆cố địnhvà gọi∆∗ là phần trong của hình tròn giới hạn bởiS∗ mà nó chứaa∗ = ω(a).Giả sử tồn tạib ∈ ∆vàb∗ = ω(b) ̸= ∆∗.Lấy đường trònS1 ⊂ ∆, S1 chứaavàb Khi đó đường trònS1∗ = ω(S1)đi quaa∗ vàb∗ Doa∗ ∈ ∆∗ nên tồntạic∗ ∈ S1∗ ∩ S = ϕ Khi đó điểmc = ω1(c∗) ∈ S1 ∩ S = ϕ, ta gặp mâuthuẫn Vì vậyω(∆) ⊂ ∆∗ Chứng minh bao hàm thức∆∗ ⊂ ω(∆)hoàn toàntương tự bởi sự thay đổi vai tròωvàω−1.

Định lý 1.4.7 Ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng của các điểmqua đường tròn.

Chứng minh Giả sửz1 vàz2, đối xứng qua đường trònS Qua ánh xạphân tuyến tính :,ω :, ζ1 → z1∗, z2 → z2∗ vàS → S∗ Xét đường tròn tuỳý C∗ đi quaz1∗ vàz2∗ Qua ánh xạ ngượcω−1 :C∗ →C đi quaz1 vàz2.Theo Định lý1.4.1,C⊥S.Theo tính bảo giác củaω,C∗⊥S∗ Vì vậyz1∗ vàz2∗, đối xứng quaS∗ theo Định lý1.4.1

Định lý 1.4.8 Ánh xạ phân tuyến tính không phải là ánh xạ đồng nhất cónhiều nhất là hai điểm bất động.

Chứng minh Nếuzlà điểm bất động củaω =az + b

cz + dthiz =

az + bcz + d.Từ do

cz2 + (d − a)z + b = 0.

Nếu phương trình này có quá hai nghiệm thìc = 0, d − a = 0, b = 0nghĩa làω =az

z= z.

Trang 38

Định lý 1.4.9 Cho hai bộ ba điểm phân biệt{z1, z2, z3}và{ω1, ω2, ω3} ∈C.Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ phân tuyên tínhωbiếnz1 thànhω1(j =1, 2, 3).

Chứng minh Tính duy nhất: Nếuωvàξlà hai ánh xạ phân tuyến tínhbiếnzj thànhωj Khi đó ánh xạ phân tuyến tínhξ−1 • ωsẽ có ba điểmbất độngz1, z2, z3 Theo Định lý1.4.8, (ξ−1 • ω)(z) = zvới mọiz ∈C, hayω(z) = ξ(z)với mọiz ∈C.

Dễ dàng thấy rằng hàmωtheo biếnznhận được từ phương trình sau:ω − ω1

ω − ω2 :

ω3 − ω1ω3 − ω2 =

z − z1z − z2 :

z3 − z1

thoả mãn điều kiện của định lý.

Thật vậy, giải phương trình(1)ta cóωlà một ánh xạ phân tuyến tính theobiếnzmà nó biếnzj thànhωj.

Định lý 1.4.10 Hàm phân tuyến tính bảo toàn tỷ số kép.

Chứng minh Giả sử cho bốn điểm phân biệta, b, c, d.Qua ánh xạ phântuyến tínhωchúng biến thànhα, β, γ, δ Vì ba điểma, b, cbiến thànhα, β, γnên theo(5)hàmωsẽ thoả mãn.

ω − αω − β:

γ − αγ − β=

z − az − b:

c − ac − bKhíz = dthìω = δdo đó

δ − αδ − β:

γ − αγ − β=

d − ad − b:

c − ac − btức là

Vì các điểm trên đường tròn đơn vị biến thành các điểm trên đường trònđơn vị|ω| = 1, nên nếu viếtz = eiφ ta có

1 = |λα|

eiφ − αeiφα − 1

Trang 39

Bởi vì

eiφ− αeiφα − 1

iφ− α)(e−iφ− α)(eiφα − 1)(eiφα − 1)=

1 + |α|2 − eiφα − e−iφα|α|2 + 1 − eiφα − e−iφα= 1nên|λα| = 1 Nghĩa làλα = eiθ Từ đó ánh xạ cần tìm

ω = eiθ z − αzα − 1.

1.4.3Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm ảnh của góc phần tư thứ nhấtD = {z : Rez > 0, Imz > 0}qua ánh xạ

w =z − iz + 1

Giải: Từ biểu thức đối với w ta suy ra rằng:z = i • i+wi−w.Do do:

Rez =z + z

−2Imw|1 − w|2,Imz =z − z

1 − |w|2|1 − w|2,

Theo điều kiện bài toán, ta có:

Rez > 0 ⇔−2Imw

|1 − w|2 > 0 ⇔ Imw < 0,(2)Imz > 0 ⇔1 − |w|

Giải: Ánh xạ đã cho là hợp của ánh xạζ =z − i

z + ivàw = ζ2.Ta tìm ảnh củaDqua ánh xạζ =z − i

z + i Từ(1)trong ví dụ1suy ra rằngz = i1 + ζ

1 − ζVà

|z| ≤ 1 ⇔