xây dựng nguyên lý cực đại của hàm điều hoà dưới trên một số miền đặc biệt trong mặt phẳng phức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMVŨ THỊ KIM PHƯƠNGXÂY DỰNG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠICỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRÊN MỘT SỐMIỀN ĐẶC BIỆT TRONG MẶT PHẲNG PHỨCLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCĐà Nẵng, năm 2

Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ KIM PHƯƠNG

XÂY DỰNG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI

CỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRÊN MỘT SỐMIỀN ĐẶC BIỆT TRONG MẶT PHẲNG PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng, năm 2022

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

hghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitro

hghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitro

67Thursday, June 13, 20249:40:43 PM9:40:43 PM67Thursday, June 13, 20249:40:43 PM9:40:43 PM67Thursday, June 13, 20249:40:43 PM9:40:43 PM

hghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitrohghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitro

67hghieh euu xay duhg puy trihh hhah giohg eay rau meo orthoxiuhoh crixtctux blume mip bahg ki thuat huoi eay ih vitroThursday, June 13, 2024

Trang 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:TS Hoàng Nhật Quy

Đà Nẵng - Năm 2022

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 3

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 4

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 5

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 6

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 7

2Nguyên lý cực đại của hàm điều hoà dưới trên một số miền đặc

2.1Hàm điều hòa dưới và một số tính chất cơ bản 282.2Nguyên lý cực đại đối với hàm điều hòa dưới phiên bản Phragmén

và Lindel¨of 372.3Xây dựng nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dưới trên một số

miền đặc biệt .41

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 8

MỞ ĐẦU 1 Lý do lựa chọn đề tài

Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh củatoán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều làsố phức (các ánh xạ giữa Cn và Cm) Khoảng hơn 50 năm trước, dựa trên sựphát triển của Giải tích hàm, Giải tích phức đã nghiên cứu các ánh xạ giữacác không gian vectơ tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt là các không gian địnhchuẩn.

Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của toán học,trong đó có lý thuyết số và một số lĩnh vực khác của toán ứng dụng như toán,lý, Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các ánh xạ giảitích phức, thường gọi là các ánh xạ chỉnh hình Trong giải tích phức, các hàmđiều hoà, điều hoà dưới và đa điều hoà dưới đóng vai trò quan trọng trong việcnghiên cứu tính chất của các hàm chỉnh hình nhiều biến và thu hút nhiều sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Nguyên lý cực đại cho lớp hàm điều hòa dưới là một trong những những chủđề nghiên cứu thú vị của lý thuyết thế vị và lý thuyết đa thế vị - một nhánhcủa lĩnh vực giải tích phức, và đã có những kết quả đáng chú ý trong nhữngthập kỷ gần đây ở Việt Nam ([4], [5]).

Nguyên lý cực đại ban đầu được phát biểu và chứng minh dựa trên tôpôtrên mặt phẳng phức mở rộng Do mặt phẳng phức mở rộng đồng phôi với mặtcầu Riemann nên bản thân nó cũng là một tập compact (vì mặt cầu Riemannlà một tập compact trong không gian mêtric R3) Tuy nhiên, vì tính chất vềtôpô của điểm vô cực và độ tăng của hàm điều hòa dưới tại điểm vô cực thườngphức tạp hơn các điểm bình thường khác trên mặt phẳng phức Vì vậy việc672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 9

tách riêng điểm thường và điểm vô cực trong các nghiên cứu liên quan tới sốphức nói chung và nghiên cứu về nguyên lý cực đại nói riêng là rất cần thiếtvới hi vọng có những kết quả mới ([6]).

Từ các lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “XÂY DỰNG NGUYÊN LÝCỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRÊN MỘT SỐ MIỀN ĐẶC BIỆTTRONG MẶT PHẲNG PHỨC” làm đề tài nghiên cứu của mình Đề tài đượckỳ vọng sẽ có một số kết quả mới Ngoài ra, việc thực hiện đề tài này cũng sẽgóp phần hoàn thiện thêm các kiến thức và năng lực toán học của bản thân,góp phần nâng cao hiệu quả công tác dạy học, bồi dưỡng và học tập suốt đời.

2 Mục đích nghiên cứu

•Hệ thống hóa lại một số kiến thức cơ bản về giải tích phức như tôpô trên mặtphẳng phức, các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan tới hàm chỉnh hình,hàm nửa liên tục trên, hàm điều hòa dưới.

•Xây dựng nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dưới trên một số miền đặc biệtnhư hình quạt, nửa mặt phẳng phức phía trên trục thực trong mặt phẳng phức.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài là các lớp hàm chỉnh hình, hàm điềuhòa và hàm điều hòa dưới Cụ thể hơn là đề tài nghiên cứu về hàm điều hoàdưới, nguyên lý cực đại đối với hàm điều hòa dưới phiên bản Phragmén vàLindel¨of và xây dựng nguyên lý trên một số miền đặc biệt trong mặt phẳngphức.

b Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích phức nói chung vàcụ thể hơn là thuộc lĩnh vực lý thuyết thế vị.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 10

4 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

•Mở đầu: Phần này nhằm giới thiệu sơ lược về các lớp hàm là đối tượngnghiên cứu chính của chuyên ngành Giải tích phức nói chung và lý thuyết thếvị nói riêng như hàm điều hòa, hàm nửa liên tục trên và hàm điều hòa dưới.

•Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị: Chương này trình bày một sốnội dung liên quan tới tập các số phức C và hàm chỉnh hình một biến (mục 1.1và 1.2) Ngoài ra, ở mục 1.3 là các nội dung về hàm nửa liên tục trên và mộtsố tính chất cơ bản của lớp hàm này Đây là những chuẩn bị cần thiết để trìnhbày các kết quả ở chương 2 về hàm điều hòa dưới.

Chương 2 Nguyên lý cực đại đối với hàm điều hòa dưới trên mộtsố miền đặc biệt trong mặt phẳng phức: Nội dung của chương này gồmba mục Mục 2.1 trình bày về hàm điều hòa dưới và một số tính chất cơ bảncủa lớp hàm này Mục 2.2 trình bày về nguyên lý cực đại của hàm điều hòa dướiphiên bản Pharagmén và Lindel´’of Nội dung chính của chương này là mục 2.3trình bày về các áp dụng của nguyên lý cực đại phiên bản Pharagmén và Lin-del¨of trên hình quạt và trên nửa mặt phức phía trên trục thực Các kết quả đạtđược là có giảm nhẹ yêu cầu về độ tăng tại điểm vô cực không vượt qua đa thức.

•Kết luận

•Tài liệu tham khảo

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 11

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số nội dung liên quan tới tập các số phức C và hàmchỉnh hình một biến (mục 1.1 và 1.2) Ngoài ra, ở mục 1.3 là các nội dung vềhàm nửa liên tục trên và một số tính chất cơ bản của lớp hàm này Đây lànhững chuẩn bị cần thiết để trình bày các kết quả ở chương 2 về hàm điều hòadưới Các nội dung ở chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [7],[9], [10].

Trường số thực R nhận được bằng cách làm ”đầy” trường hữu tỷ Q Tuynhiên trường R vẫn không đầy đủ, vì ngay cả phương trình đơn giảnx2+ 1 = 0cũng không có nghiệm trong R Với lí do trên, người ta cần xây dựng mộttrường số mới (và gọi là trường số phức C) chứa R như một trường con vàphương trình

Trang 12

Trên C ta xét quan hệ bằng nhau và các phép toán như sau:(i) Quan hệ bằng nhau:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = cvàb = d.(ii) Phép cộng:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).(iii) Phép nhân:

a2 + b2,−ba2 + b2

(iii) Cuối cùng phép cộng và phép nhân trong C thoả mãn luật phân phối nhưsau:

(α, β)[(a, b) + (c, d)] = (α, β)(a + c, b + d)= (α(a + c) − β(b + d), α(b + d) + β(a + b))= (αa + αc − βb − βd, αb + αd + βa + βc)= (αa − βb, αb + βa) + (αc − βd, αd + βc)= (α, β)(a, b) + (α, β)(c, d).

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 13

Hiển nhiên qua đồng nhấta := (a, 0) ∈C vớia ∈R,R được chứa trong C nhưmột trường con.

2) Bởi vì(0, 1)2 = (−1, 0) = −1nêni := (0, 1)là nghiệm của phương trìnhx2 + 1 = 0.

Định nghĩa 1.1.2 (Trường số phức) Trường C như trong Định lý 1.1.1được gọi là trường các số phức, các phần tử của C được gọi là các số phức Sối ∈C gọi là đơn vị ảo của C.

Choz = a + ib ∈C Khi đó,z = a − ib ∈C được gọi là số phức liên hợpcủa số phứcz.

Định lý 1.1.3 Ta có một số tính chất đơn giản sau đây về số phức liên hợp.(i)z = z, ∀z ∈R⊂C;

(ii)z = z, ∀z ∈C;(iii)z1+ z2= z1+ z2;(iv)z · z = a2 + b2 ≥ 0;(v)z1z2 = z1 z2;

(vi)λz = λz, ∀λ ∈R, ∀z ∈C.Chứng minh Xem Định lí 1.1.3 trong [2].

Định nghĩa 1.1.4 (Mặt phẳng phức) Cho một hệ toạ độ vuông gócxOytrên mặt phẳng R2 Mỗi điểmM ∈R2 được xác định bởi hoành độxvà tungđộycủa nó Điều này cho phép ta lập tương ứng1 − 1giữa các điểm của mặtphẳng R2 với các số phứcz ∈C:

M (x, y) ∈R2 7→ x + iy = z ∈C.

Mặt phẳng R2 cùng với một tương ứng như vậy được gọi là mặt phẳng phức.Một điểmM (x, y) ∈R2 có thể được coi là một số phức nếu đồng nhất nó vớiz = x + iy.

Có thể nói một cách khác: mặt phẳng và các điểm của nó được dùng để môtả số phức gọi là mặt phẳng phức Các số thực được mô tả bởi các điểm trêntrụcOxnên trục đó được gọi là trục thực Các số thuần ảo được mô tả bởi cácđiểm trên trụcOynên trụcOyđược gọi là trục ảo.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 14

Định nghĩa 1.1.5 (Môđun của số phức) Choz = x + iy ∈C Môđun củazđược ký hiệu và xác định như sau

|z| =px2 + y2 =√z · ¯z.

Theo công thức ta có,|z|chính là khoảng cách từ điểmM (x, y)tới gốc tọađộO.

Số phức nghịch đảo của số phứcz (z ̸= 0)được kí hiệuz−1 Bởi địnhnghĩa số phức nghịch đảo ta có:

z−1 · z =1

a2 + b2(a − bi)(a + bi) =a

2 − b2i2a2 + b2 = 1.Vậy số phức nghịch đảo của số phứcz = a + bikhác0là số phức

z−1 =1z=

1a + bi=

a2 + b2(a − bi).Ví dụ 1.1.1.z = 3 + 4ikhi đó:

|z| = |3 + 4i| =√32 + 42 = 5vàz−1 =35−4

5i·Định lý 1.1.6 Môđun của số phứczcó một số tính chất sau:

(i)|z| ≥ 0, ∀z ∈C và|z| = 0 ⇔ z = 0;(ii)|z1z2| = |z1| |z2|;

(iii)|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;(iv)|z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||;

((iii) và (iv) được gọi là các bất đẳng thức tam giác)Ngoài ra:

(v) Môđun của mọi số thựcx ∈R chính là trị số tuyệt đối của nó;(vi)|¯z| = |z| =√

z ¯z,∀z ∈C.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 15

Chứng minh (i) Được suy ra từ định nghĩa.(ii) Ta có

|z1 · z2|2 = |z1 · z2| · |z1 · z2| = z1z¯1 · z2z¯2 = |z1|2|z2|2.

Do đó|z1z2| = |z1||z2|.(iii) Ta có

|z1 − z2| + |z2| ≥ |z1| ⇒ |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|,|z2 − z1| + |z1| ≥ |z2| ⇒ |z2 − z1| ≥ |z2| − |z1|.Từ đó suy ra|z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||.

(v) Vớiz = xta có|z| =√x2 = |x|.(vi) Ta có

|z| =√a2 + b2;|z| =

a2 + (−b)2 =√

a2 + b2;√

z · z =√

a2 + b2.Từ đó suy ra

|¯z| = |z| =√

z ¯z(∀z ∈C)

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 16

Định nghĩa 1.1.7 (Argument của số phức) Cho số phứcz = x + iy ̸= 0.Đặtr = |z|, ta có

2= 1.

Vì vậy tồn tại duy nhất số thựcφ0(0 ≤ φ0 < 2π)sao chox

r= cos φ0,y

r= sin φ0hay

φ =argz + 2kπ.Tập các argument củazký hiệu là Argz Ta có

Arg z = {arg z + 2kπ : k = 0, ±1, ±2, }.Trường hợpz = 0thì Argzkhông xác định.

Như vậy giữa phần thực, phần ảo, môđun và argument có mối liên hệ nhưsau:

x = r cos φ;y = r sin φ;r =px2 + y2;tan φ =yx;

arg z =

arctanyx khix > 0

π + arctanxy khix < 0, y ≥ 0−π + arctanyx khix < 0, y < 0.Vớix = 0từ định nghĩa ta có:

arg z =

2khiy > 0−π

2khiy < 0.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 17

Ngoài ra, dựa vào định nghĩa phép nhân ta có:

z1 · z2 = r1 · r2[(cos φ1cos φ2 − sin φ1sin φ2) − i (sin φ1cos φ2 + sin φ2cos φ2)]= r1 · r2[cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)]

|z1 · z2| = |z1| · |z2| ;arg(z1 · z2) =argz1 +argz2.Tương tự, nếuz2 ̸= 0thì:

z1z2 =

r2 [cos (φ1 − φ2) + i sin (φ1 − φ2)] Và do đó ta có

=argz1 −argz2.

Sau đây ta trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về tôpô trên mặtphẳng phức Nhờ cách minh họa vectơ đối với các số phức, về mặt hình họccó thể thực hiện phép cộng và phép trừ các số phức theo quy tắc cộng trừ cácvectơ Mặt phẳng phức C có thể đồng nhất với R2 qua ánh xạz 7→ (Rez, Imz)nên tôpô của mặt phẳng phức C chính là tôpô của R2 Ta gọi mặt phẳng phứcmở rộng là C:=C∪ {∞}.

Định nghĩa 1.1.8.•Ta gọiϵ- lân cận củaz0 ∈C là tập:∆(z0, ϵ) = {z ∈C: |z − z0| < ϵ}.

Đó là hình tròn với tâm tại điểmz0 và bán kínhϵ.∆(z0, ϵ)còn được gọi là đĩamở tâmz0 bán kínhϵ.

•Ta gọiϵ- lân cận của điểm∞là tập:

∆(∞, ϵ) =

z ∈C: |z| >1ϵ

Đó là phần ngoài hình tròn với tâm tại gốc tọa độ và bán kínhr =1ϵ·•Ta gọi đĩa thủng tâmz0bán kínhϵlà hình vành khăn

{z : 0 < |z − z0| < ϵ} = ∆(z0, ϵ) \ {z0}.

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử tập hợp conM ⊂C (hoặc C) Điểmz0 gọi là điểmtrong của M nếu∃ϵ > 0sao cho∆(z0, ϵ) ⊂ M.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 18

Định nghĩa 1.1.10 Tập conA ⊂C (hoặc C) được gọi là tập hợp mở nếu mọiđiểmz ∈ Ađều là điểm trong của nó.

Định lý 1.1.11 Họ các tập con mở của C thỏa mãn các tính chất sau đây(các tiên đề cấu trúc tôpô):

1.∅và C là những tập hợp mở.

2 Hợp của một số hữu hạn hay vô hạn bất kỳ các tập hợp mở là một tập hợpmở.

3 Giao của một số hữu hạn tập hợp mở là tập hợp mở.

Chứng minh 1 Có thể kiểm tra trực tiếp trong Định nghĩa 3.1 trong [1] Nêncác tập∅và C là mở.

2 Giả sử{Uλ}là họ các tập con mở nào đó Nếuz0 ∈ Uµ nào đó thì∃ϵ > 0sao choU (z0, r) ⊂ Uµ⊂ U :=S

Uλ VậyUlà tập mở.3 Giả sửU1, , Unlà những tập hợp mở ĐặtU0=

Ui•NếuU0 = ∅thìU0 mở (theo 1.).

•Giả sửU0 ̸= ∅vàz0 ∈ U0 Khi đó, với mỗi giá trịi (i = 1, 2, , n)sẽ tồn tạiϵi > 0sao cho

U (z0, ϵi) ⊂ Ui.Đặtϵ = min

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 19

Định nghĩa 1.1.15 (Phần trong, phần ngoài) ChoA ⊂C vàA ̸= ∅.•Phần trong củaA, ký hiệu là intAhay ˚A, là tập tất cả các điểm trong củanó.

•Phần ngoài củaAlà phần trong của tập C\ A, tức là int(C\ A).

Định lý 1.1.16 ChoA ⊂C vàA ̸= ∅ Khi đó, điểmz0∈C thuộc phần ngoàicủaAkhi và chỉ khi

d(z0, A) := inf

z∈A|z − z0| > 0.Chứng minh Xem Định lý 1.2.4 trong [2].

Định nghĩa 1.1.17 (Điểm tụ của một tập) Điểmz0 ∈C được gọi là điểmtụ của tậpA ⊂C nếu trong mọiϵ- lân cận củaz0 có vô số điểm củaA.

Định nghĩa 1.1.18 (Điểm tụ của một dãy) Dãy{zn} ⊂C được gọi là hộitụ tới điểmznếu với mọiϵ- lân cận∆(z, ϵ)tồn tạim0 ∈N sao cho∀m ≥ m0ta cózm ∈ ∆(z, ϵ) Khi đó,zđược gọi là điểm tụ của dãy{zn}.

Định nghĩa 1.1.19 (Biên của tập hợp) Tập hợp những điểm của C khôngthuộc phần trong và không thuộc phần ngoài của tập hợpA ⊂C được gọi làbiên củaAvà ký hiệu là∂A.

Định lý 1.1.20 Điểmz0∈ ∂Akhi và chỉ khi mọiϵ > 0ta có∆(z0, ϵ) ∩ A ̸= ∅và∆(z0, ϵ) ∩ (C\ A) ̸= ∅.

Chứng minh Xem Định lý 1.2.6 trong [2].

Định nghĩa 1.1.21 (Tập bị chặn, tập compact) TậpA ⊂C gọi là bị chặnnếu tồn tạiR > 0sao cho|z| ≤ Rvới mọiz ∈ A.

TậpAđược gọi là tập compact nếu mọi dãy trongAcó chứa một dãy conhội tụ tới một điểm thuộcA.

Định lý 1.1.22 (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass) Dãy vô hạn bất kì

{zn} ,n = 1, 2, (∗)

các điểm của tập hợp compactK ⊂C có ít nhất một điểm tụ.Chứng minh Xem Định lý 1.2.7 trong [2].

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 20

Định lý 1.1.23 Tập hợpA ⊂C là tập compact nếuAđóng và bị chặn.Chứng minh Xem Định lý 1.2.8 trong [2].

Định nghĩa 1.1.24 (Tập liên thông) Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợpliên thông nếu không tồn tại hai tập mởA1 vàA2 trong C sao cho:

1)A ∩ A1̸= ∅, A ∩ A2 ̸= ∅;2)A ∩ A1 ∩ A2 = ∅;

Định nghĩa 1.1.26 (Miền) 1) TậpD ⊂C được gọi là một miền nếu nó làtập mở và liên thông.

2) MiềnD ⊂C được gọi là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyếnγ ⊂ Dta cóDγ ⊂ D.

3) MiềnD ⊂C được gọi là miền đa liên nếu tồn tại chu tuyếnγ ⊂ Dsao choDγ̸⊂ D.

Sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm hàm chỉnh hình và điều kiện Cauchy - Riemann.Định nghĩa 1.2.1 (Hàm biến phức) ChoΩ ⊂C là một tập mở Ta gọi ánhxạf : Ω →C xác định bởi

w = f (z)(z ∈ Ω),là hàm biến phức trênΩ.

Giả sử,z = x + iy ∈ Ωvớix, y ∈R Khi đó, hàmf (z)có thể được biểudiễn bởi

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),vớiu(x, y)vàv(x, y)là các hàm thực hai biến.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 21

Định nghĩa 1.2.2 (Đạo hàm phức) Xét hàm sốfxác định trên tập mởU ⊂C Đạo hàm phức của hàmftạiz ∈ U, ký hiệuf′(z)hay dzdf(z), là giớihạn sau đây nếu nó tồn tại

f′(z) := lim∆z→0

∆z→0[f (z + ∆z) − f (z)] = lim∆z→0

Bằng quy nạp, ta viết

f(k) =f(k−1)′

nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k củaftrênU.

Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàmcủa hàm số một biến số thực nên ta dễ dàng thiết lập được các công thức sauđây.

Định lý 1.2.3 Nếuf (z)vàg(z)là các hàm khả vi phức tạiz0 thìαf (z) + βg(z), f (z)g(z)vàf (z)

g(z),(g(z0) ̸= 0)

cũng khả vi phức tạiz0 với mọiα, β ∈C và ta có các công thức sau đây:i.(αf + βg)′(z0) = αf′(z0) + βg′(z0);

ii.(f g)′(z0) = f′(z0)g(z0) + f (z0)g′(z0);iii.

(z0) =f

′(z0)g(z0) − f (z0)g′(z0)g′2(z0);

iv Nếuω = f (z)khả vi phức tạiz0, còng(ω)khả vi phức tạiω0 = f (z0)thì hàm hợpg ◦ fkhả vi phức tạiz0 và ta có công thức

(g ◦ f )′(z0) = g′(f (z0))f′(z0).

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 22

Hàm sốfxác định trênU Ta viết

f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ U.

Hàmfđược gọi là R2 - khả vi tạiz = x + iynếu và chỉ nếu các hàmu(x, y), v(x, y)khả vi tại(x, y)theo nghĩa của hàm thực nhiều biến.

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa hàm C - khả vi và hàm R2 - khả vi.Định lý 1.2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy-Riemann) Hàmflà C - khả vi tạiz = x + iy ∈ Unếu và chỉ nếuflà R2 - khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann sau đây:

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y),∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y).

Chứng minh.•Điều kiện cần: Giả sửflà C - khả vi tạiz = x + iy ∈ Ω Khiđó tồn tại giới hạn

f′(z) = lim∆z→0

u(x + ∆x, y) + iy(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y)

= lim∆z→0

Tương tự khi chọn∆z = i∆yta có

f′(z) = −i∂u

∂y(x, y) +∂v

Từ (1.4) và (1.5) ta có∂u

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y);∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y)·

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 23

Tức làfthoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann.Lại có, vìflà C - khả vi tạiz, nên

∆f = f (z + ∆z) − f (z) = f′(z)∆z + o(∆z),vớio(∆z)là vô cùng bé bậc cao hơn∆z, tức là

o(∆z)∆z= 0.Rõ ràng

∆f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y.Theo (1.4) ta có

∆u =∂u

∂x∆x −∂v

∂x∆y + o(∆z) =∂u

∂x∆x +∂u

∂y∆y + o(|∆z|);∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + o(∆z) =∂v

∂x∆x +∂v

∂y∆y + o(|∆z|).Điều đó có nghĩauvàvkhả vi tại(x, y).

•Điều kiện đủ: Vìuvàvkhả vi tại(x, y)nên∆u =∂u

∂x(∆x) +∂u

∂y∆y = o(p

∆x2 + ∆y2)

∆v =∂v

∂x(∆x) +∂v

∂y∆y = o(p

∆x2 + ∆y2).Theo điều kiện đã cho, hai đẳng thức trên có thể viết thành

∆u =∂u

∂x∆x −∂v

∂x∆y + o(|∆z|);∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + o(|∆z|).Từ hai đẳng thức trên ta có

∆u∆z+ i

∂x+ i∂v∂x+

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 24

Vì vậy

∂u∂x+ i

∂v∂xtức làflà C - khả vi tạiz = x + iy.

Sau đây ta sẽ định nghĩa một số toán tử vi phân phức.Vớiz = x + iy, ¯z = x − iy Ta đặt

dz = dx + idy, d¯z = dx − idy.Suy ra

dx =1

2(dz + d¯z),dy =1

2i(dz − d¯z).

Vớif (z) = u(x, y) + iv(x, y) Theo công thức vi phân toàn phân ta có

df =∂f∂xdx +

∂f∂ydy =

2(dz + d¯z) +∂f∂y

2i(dz − d¯z)=1

∂x− i∂f∂y

dz +12

∂f∂x+ i

∂x− i∂f∂y

∂ ¯z=12

∂f∂x+ i

·Khi đó, ta có công thức vi phân phức

df =∂f∂zdz +

∂f∂ ¯zd¯z.

Sau đây ta sẽ biểu diễn điều kiện Cauchy - Riemann dưới dạng đạo hàmriêng theo biến phức Ta có

∂f∂ ¯z=

∂f∂x+ i

∂u∂x+ i

+ i

∂u∂y+ i

+ i

·Theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có

+ i

= 0.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 25

Vậy điều kiện Cauchy - Riemann ở trên tương đương với điều kiện sau đây∂f

∂ ¯z(z) = 0.

Sau đây ta nhắc lại khái niệm hàm chỉnh hình trên tập mởU ⊂C.

Định nghĩa 1.2.5 (Hàm chỉnh hình) Hàmfxác định trên tập mởU ⊂Cvà nhận giá trị trong C được gọi là chỉnh hình tạiz0 ∈ Unếu tồn tạir > 0đểhàmflà C - khả vi tại mọiz ∈ B(z0, r) ⊂ U.

Hàmfđược gọi là chỉnh hình trên tập mởUnếu nó chỉnh hình tại mọiz ∈ U.Nhận xét 1.2.6 Chof (z)là một hàm chỉnh hình trên tập mởU Khi đó,theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có

∂x− i∂f∂y

x + ivx′) − i(u′y + ivy′)]=1

x + ivx′) − i(−vx′ + iu′x)]=1

(z + ∆z)n − zn = ∆z[(z + ∆z)n−1+ (z + ∆z)n−2z + + zn−1].

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 26

Từ đó suy ra

f′(z) = lim∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z= lim∆z→0

(z + ∆z)n− zn∆z

= lim∆z→0

∆z[(z + ∆z)n−1+ (z + ∆z)n−2z + + zn−1]∆z

= lim

∆z→0[(z + ∆z)n−1 + (z + ∆z)n−2z + + zn−1] = nzn−1.Vậy(zn)′ = nzn−1.

c) Từ các kết quả trên áp dụng cho hàm đa thức

f (z) = anzn + an−1zn−1 + + a1z + a0.Ta có công thức đạo hàm là

f′(z) = nanzn−1 + (n − 1)an−1zn−2 + + 2a2z + a1.d) Xét hàmf (z) = 3z−4z2 , z ̸= 43 Ta có công thức tínhf′(z)như sau:

f′(z) =2z(3z − 4) − 3z2

(3z − 4)2 =3z

2 − 8z

(3z − 4)2, ∀z ̸=43·Như vậy, hàmf (z) = 3z−4z2 là C - khả vi tại mọiz ̸= 43·

e) Xét hàmf (z) = ez.Ta có

(ez)′ =∞Xn=0

(n − 1)!= ez

f) Xét hàm

f (z) = lnz, z ∈ C \ [0, ∞].Ta có

1 = (z)′ = elnz′ = z(lnz)′ =⇒ (lnz)′ =1z·

Nhận xét 1.2.7 Từ các ví dụ trên ta có thể tổng quát rằng hàmf (z) = QPn(z)m(z)là C - khả vi trên tại mọiz ∈C màQm(z) ̸= 0.

Định lý 1.2.8 Giả sử miềnD ⊂C vàH(D)tập hợp mọi hàm chỉnh hìnhtrong miềnD Khi đó:

Trang 27

Chứng minh Xem Định lý 3 (trang 68, 69) trong [1].

Định lý 1.2.9 (Đạo hàm của hàm hợp) Nếuf (ω)là hàm chỉnh hình trongD∗ và nếug : D → D∗ là hàm chỉnh hình trongDthì hàm hợpf [g(z)]chỉnhhình trongD.

Chứng minh Xem Định lý 2.1.8 trong [2].

Định lý 1.2.10 ([1]) Giả sử chuỗi lũy thừaX

Chứng minh Xem Định lý 5 (trang 57) trong [1].

Sau đây ta đề cập tới hàm nửa liên tục trên và một số kết quả liên quan, đượctham khảo trong các tài liệu.

Định nghĩa 1.3.1 ChoXlà một không gian mêtric Ta nói rằng hàmu : X → [−∞, ∞)

là nửa liên tục trên nếu tập{x ∈ X : u(x) < α} = u−1([−∞, α))là mở trongXvới mọiα ∈R.

Mệnh đề 1.3.2 ChoXlà một không gian mêtric Hàmu : X → [−∞, ∞)lànửa liên tục trên nếu và chỉ nếu với mọix ∈ Xta có

lim supy→x

u(y) = u(x).

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 28

Chứng minh Ở đây ta chú ý

lim supy→x

u(y) = inf

ϵ>0(sup{u(y) : y ∈ ¯B(x, ϵ)}).Giả sử hàmulà hàm nửa liên tục trên Lấyx0 ∈ X.Ta xét hai trường hợp sau đây:

là tập mở trongX Dễ thấyx0 ∈ An, ∀n ∈N∗ nên tồn tại sốϵn > 0sao choB(x0, ϵn) ⊂ An Từ đó suy ra

u(x0) ≤ sup{u(y) : y ∈ ¯B(x0, ϵn)} ≤ u(x0) +1n·Ta có thể chọn dãy(ϵn)là dãy số dương, giảm tới0 Từ đó suy ra

lim supy→x0

u(y) = u(x0).

Giả sử với mọix ∈ Xta cólim supy→xu(y) = u(x) Ta cần chứng minhulà hàm nửa liên tục trên, tức là với mọiα ∈R ta cóA = {x ∈ X : u(x) < α}là tập mở.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 29

Thật vậy, lấyx0 ∈ Abất kỳ Hiển nhiênu(x0) < α.Dolim supy→x0u(y) = u(x0)nên tồn tạiϵ > 0sao cho

sup{u(y) : y ∈ B(x0, ϵ)} < α.Suy ra,B(x0, ϵ) ⊂ A Tức làAlà tập mở.

Định nghĩa 1.3.3 (Hàm nửa liên tục dưới) ChoXlà không gian mêtric.Hàmu : X → (ư∞, ∞]được gọi là hàm nửa liên tục dưới trênXnếu hàmưulà hàm nửa liên tục trên trênX.

Nhận xét 1.3.4 Hàmulà liên tục trênXnếu và chỉ nếuulà hàm vừa nửaliên tục trên vừa nửa liên tục dưới.

Ví dụ 1.3.1 ChoAlà một tập con của không gian mêtricX GọiχAlà hàmđặc trưng của tập hợpA, tức là hàm xác định như sau:

χA(x) =

1nếux ∈ A0nếux /∈ A

Tức là,X \ Alà tập mở trongX Suy ra,Alà tập đóng trongX.

Ngược lại, giả sửAlà một tập đóng trongX Ta sẽ chứng minh rằng hàmχA là nửa liên tục trên trênX.

Thật vậy, lấyα ∈R bất kỳ Khi đó ta có

{x ∈ X : χA(x) < α} =

X \ Anếu0 < α ≤ 1,Xnếuα > 1.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 30

Từ đó có thể thấy rằng, tập{x ∈ X : χA(x) < α}là mở với mọiα ∈R.Tức là, hàmχAlà hàm nửa liên tục trên trênX.

Nhận xét 1.3.5 Chú ý rằng, nếuAlà một tập đóng trongXthì hàmχAtrong Ví dụ 1.3.1 không phải là hàm liên tục.

Thật vậy, ta xét trường hợpA = [0, 1] ⊂ X =R thì hàmχ[0,1] gián đoạn loại1 tại các điểmx = 0vàx = 1.

Chúng ta đã biết rằng, một hàm số liên tục trên một tập compact trongkhông gian mêtric thì bị chặn và đạt giá trị lớn nhất trên tập compact đó Theođịnh nghĩa thì hàm nửa liên tục trên yếu hơn hàm liên tục Tuy nhiên, theođịnh lý sau đây, ta sẽ thấy rằng hai tính chất nói trên vẫn còn đúng cho hàmnửa liên tục trên.

Định lý 1.3.6 Choulà một hàm nửa liên tục trên trên không gian mêtricXvàKlà một tập con compact trongX Khi đó, hàmubị chặn trên và đạt giátrị lớn nhất trênK.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh hàmubị chặn trên trênK, tức làsup

u := sup{u(x) : x ∈ K} < ∞.

Thật vậy, đặtAn = {x ∈ X : u(x) < n}, n ∈N.Doucó tính nửa liên tục trên nênAnlà các tập mở.

DoKlà tập compact trongXvà dãy tập hợp(An)là tăng theo quan hệbao hàm nên tồn tạin0 ∈N sao cho:K ⊂ An0.

Từ đây suy rasupK u < ∞.

Ta sẽ chứng minh hàmuđạt giá trị lớn nhất trênK.

Thật vậy, doubị chặn trên trênKnên tồn tạiM = supKu < ∞ Theođịnh nghĩa củasupthì với mỗin ∈N, tồn tạixn ∈ Ksao cho

Trang 31

Từ dãy xấp xỉ trên, chok → ∞và theo Mệnh đề 1.3.2 ta cóM ≤ lim

k→∞u(xnk) ≤ lim supk→∞

(u(y) − nd(x, y)), x ∈ X.

Với mỗinvàx, x′ ∈ Xta có đánh giá sau đây

|ϕn(x) − ϕn(x′)| ≤ nd(x, x′), x, x′ ∈ X.Từ đó suy ra các hàmϕn là liên tục trênX.

Ta cũng có thể kiểm tra được rằng:ϕ1≥ ϕ2 ≥ ≥ unên suy ralim

n→∞ϕn(x)⩾u(x), ∀x ∈ X.

Mặt khác, đặt∆(x, ρ) = {y ∈ X : d(x, y) < ρ}là hình tròn tâmxbánkính làρta có

ϕn(x) ≤ maxsup∆(x,ρ)

u, supX

u − nρ!

, x ∈ X, ρ > 0.

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM

Trang 32

Từ đây suy ra

n→∞ϕn(x) ≤ lim

u, supX

u − nρ!

= sup∆(x,ρ)

u, ∀x ∈ X, ρ > 0.

Doulà hàm nửa liên tục trên nên ta có

ρ>0 sup∆(x,ρ)

Trang 33

Chương 2

Nguyên lý cực đại củahàm điều hoà dưới trênmột số miền đặc biệt

trong mặt phẳng phức

Nội dung của chương này gồm ba mục Mục 2.1 trình bày về hàm điều hòadưới và một số tính chất cơ bản của lớp hàm này Mục 2.2 trình bày về nguyênlý cực đại của hàm điều hòa dưới phiên bản Pharagmén và Lindel¨of Nội dungchính của chương này là mục 2.3 trình bày về các áp dụng của nguyên lý cựcđại phiên bản Pharagmén và Lindel¨of trên hình quạt và trên nửa mặt phứcphía trên trục thực Các kết quả đạt được là có giảm nhẹ yêu cầu về độ tăngtại điểm vô cực không vượt qua đa thức Các nội dung của mục 2.1 và 2.2 đượctham khảo trong các tài liệu [4], [5], [8], [9] Nội dung của mục 2.3 được côngbố trong bài báo [6].

672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM672413069:40:43 PM9:40:43 PM