Xây dựng nguyên lý cực đại của hàm điều hoà dưới trên một số miền đặc biệt trong mặt phẳng phức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— VŨ THỊ KIM PHƯƠNG XÂY DỰNG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRÊN MỘT SỐ MIỀN ĐẶC BIỆT TRONG MẶT PHẲNG PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VŨ THỊ KIM PHƯƠNG XÂY DỰNG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRÊN MỘT SỐ MIỀN ĐẶC BIỆT TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nhật Quy Đà Nẵng - Năm 2022 Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Sơ lược số phức tôpô mặt phẳng phức Hàm chỉnh hình số kết 14 1.3 Hàm nửa liên tục số kết 21 Nguyên lý cực đại hàm điều hoà số miền đặc biệt mặt phẳng phức 2.1 Hàm điều hòa số tính chất 2.2 2.3 27 28 Nguyên lý cực đại hàm điều hòa phiên Phragmộn v Lindelăof 37 Xây dựng nguyên lý cực đại hàm điều hòa số miền đặc biệt 41 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Giải tích phức, hay cịn gọi lý thuyết hàm biến phức, nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức (các ánh xạ Cn Cm ) Khoảng 50 năm trước, dựa phát triển Giải tích hàm, Giải tích phức nghiên cứu ánh xạ không gian vectơ tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt khơng gian định chuẩn Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều ngành khác tốn học, có lý thuyết số số lĩnh vực khác toán ứng dụng toán, lý, Một đối tượng giải tích phức ánh xạ giải tích phức, thường gọi ánh xạ chỉnh hình Trong giải tích phức, hàm điều hoà, điều hoà đa điều hồ đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Nguyên lý cực đại cho lớp hàm điều hòa những chủ đề nghiên cứu thú vị lý thuyết vị lý thuyết đa vị - nhánh lĩnh vực giải tích phức, có kết đáng ý thập kỷ gần Việt Nam ([4], [5]) Nguyên lý cực đại ban đầu phát biểu chứng minh dựa tôpô mặt phẳng phức mở rộng Do mặt phẳng phức mở rộng đồng phôi với mặt cầu Riemann nên thân tập compact (vì mặt cầu Riemann tập compact khơng gian mêtric R3 ) Tuy nhiên, tính chất tôpô điểm vô cực độ tăng hàm điều hịa điểm vơ cực thường phức tạp điểm bình thường khác mặt phẳng phức Vì việc tách riêng điểm thường điểm vô cực nghiên cứu liên quan tới số phức nói chung nghiên cứu nguyên lý cực đại nói riêng cần thiết với hi vọng có kết ([6]) Từ lí trên, định chọn đề tài “XÂY DỰNG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƯỚI TRÊN MỘT SỐ MIỀN ĐẶC BIỆT TRONG MẶT PHẲNG PHỨC” làm đề tài nghiên cứu Đề tài kỳ vọng có số kết Ngồi ra, việc thực đề tài góp phần hồn thiện thêm kiến thức lực tốn học thân, góp phần nâng cao hiệu công tác dạy học, bồi dưỡng học tập suốt đời Mục đích nghiên cứu • Hệ thống hóa lại số kiến thức giải tích phức tôpô mặt phẳng phức, khái niệm tính chất liên quan tới hàm chỉnh hình, hàm nửa liên tục trên, hàm điều hịa • Xây dựng nguyên lý cực đại hàm điều hịa số miền đặc biệt hình quạt, nửa mặt phẳng phức phía trục thực mặt phẳng phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp hàm chỉnh hình, hàm điều hòa hàm điều hòa Cụ thể đề tài nghiên cứu hàm điều hoà dưới, nguyên lý cực đại hàm điều hòa di phiờn bn Phragmộn v Lindelăof v xõy dng nguyờn lý số miền đặc biệt mặt phẳng phức b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích phức nói chung cụ thể thuộc lĩnh vực lý thuyết vị Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: Phần nhằm giới thiệu sơ lược lớp hàm đối tượng nghiên cứu chun ngành Giải tích phức nói chung lý thuyết vị nói riêng hàm điều hịa, hàm nửa liên tục hàm điều hịa • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị: Chương trình bày số nội dung liên quan tới tập số phức C hàm chỉnh hình biến (mục 1.1 1.2) Ngoài ra, mục 1.3 nội dung hàm nửa liên tục số tính chất lớp hàm Đây chuẩn bị cần thiết để trình bày kết chương hàm điều hòa Chương Nguyên lý cực đại hàm điều hòa số miền đặc biệt mặt phẳng phức: Nội dung chương gồm ba mục Mục 2.1 trình bày hàm điều hịa số tính chất lớp hàm Mục 2.2 trình bày nguyên lý cực đại hàm điều hịa phiên Pharagmén Lindel´’of Nội dung chương mục 2.3 trình bày áp dụng nguyên lý cực đại phiên Pharagmén v Lindelăof trờn hỡnh qut v trờn na mt phc phía trục thực Các kết đạt có giảm nhẹ yêu cầu độ tăng điểm vơ cực khơng vượt qua đa thức • Kết luận • Tài liệu tham khảo Định lý 2.2.3 (Nguyên lý cc i Phragmộn v Lindelă of) Cho u l hàm điều hồ miền khơng bị chặn D C cho lim sup u(z) ≤ (ξ ∈ ∂D \ {∞}) (2.3) z→ξ Giả sử tồn hàm điều hoà giá trị hữu hạn v D cho lim inf v(z) ≥ ∞, (2.4) u(z) ≤ v(z) (2.5) z→∞ lim sup z→ξ Khi u ≤ D Chứng minh Ta xét trường hợp sau: - Trước hết ta xét trường hợp v > D: Lấy ε > Từ (2.5) suy tồn R > cho u(z) ≤ ε, ∀z ∈ D |z| > R ⇒ u(z) − εv(z) ≤ v(z) (2.6) Đặt: uε = u − εv Ta có uε hàm điều hoà D với ξ ∈ ∂D ta có ( ≤ ξ ∈ ∂D \ {∞} (do(2.3)) lim sup uε (z) = ≤ ξ = ∞ (do(2.6)) z→ξ Áp dụng Định lý 2.2.1(b) ta suy uε ≤ D Do hàm v hữu hạn nên cho ε → ta nhận u → D - Giả sử v hàm thoả mãn giả thiết định lý Lấy δ > Đặt: Fδ = {z ∈ D : u(z) ≥ δ} Suy Fδ tập đóng D (do hàm u nửa liên tục trên) Vì v hàm nửa liên tục thoả mãn (2.4) nên suy v bị chặn Fδ Do đó, cần cộng thêm số phù hợp, ta giả sử v > Fδ Đặt: V = {z ∈ D : v(z) > 0} 39 Suy V tập mở (do v hàm nửa liên tục dưới) Khi đó, với ξ ∈ ∂D \ {∞} ta có ( lim sup(u(z) − δ) ≤ z→ξ lim sup𭟋→ξ u(z) ξ ∈ ∂D \ {∞} u(ξ) − δ ξ ∈ D ∩ ∂V ) ≤ Áp dụng trường hợp cho hàm u − δ tập V ta suy u − δ ≤ V Vì Fδ ⊂ V nên suy u = δ Fδ Và hiển nhiên u ≤ δ D \ Fδ Tóm lại ta có u ≤ δ D Cho δ → ta nhận u ≤ D Hệ sau cho thấy độ tăng điểm vô cực hàm u khơng vượt q hàm logarit kết luận Định lý 2.2.3 Hệ 2.2.4 Cho u hàm điều hòa miền thực không bị chặn D C thỏa mãn với ξ ∈ ∂D\{∞} lim sup u(z) ≤ lim sup z→∞ z→ξ u(z) ≤ log |z| Khi đó, u ≤ D Chứng minh Lấy ω ∈ ∂D ∩ C đặt v(z) = log |z − ω| Khi đó, v hàm điều hịa D Và kết hợp với (2.6) thấy hàm v thỏa mãn điều kiện (2.3) (2.4) Định lý 2.2.3 Vậy áp dụng Định lý 2.2.3 cho hàm v ta có điều phải chứng minh Hệ 2.2.5 (Định lý Liouville) Cho u hàm điều hòa C cho lim sup z→∞ u(z) ≤ (∗) log |z| Khi đó, u số C Đặc biệt, hàm điều hòa C bị chặn trên C số Chứng minh Ta xét trường hợp hàm u sau đây: • u ≡ −∞ : hệ hiển nhiên • u ̸≡ −∞ : tồn ω ∈ C cho u(ω) > −∞ Xét hàm uω := u − u(ω) miền D = C\{ω} ta có: 40 ∂D\{∞} = {ω} lim supz→ω uω (z) = Từ điều kiện (∗) ta có: lim sup z→∞ uω (z) u(z) = lim sup ≤ log |z| z→∞ log |z| Vậy hàm uω thỏa mãn điều kiện Hệ 2.3.4 Theo Hệ 2.3.4 suy uω ≤ D hay u ≤ u(ω) D Từ suy u ≤ u(ω) C hàm u đạt cực đại toàn cục C (đạt z = ω ) Vậy theo Định lý 2.3.1(a), hàm u số C Khi u hàm bị chặn trên C điều kiện (∗) hiển nhiên thỏa mãn nên ta có điều phải chứng minh 2.3 Xây dựng nguyên lý cực đại hàm điều hòa số miền đặc biệt Kết sau áp dụng nguyên lý cc i phiờn bn Phragmộn v Lindelăof trờn hỡnh quạt Chúng ta thấy rằng, kết yêu cầu độ tăng hàm điều hòa vô cực không vượt đa thức, nhẹ so với Hệ 2.2.4 Định lý 2.3.1 Cho Tγ hình quat:   π , Tγ = z ∈ C \ : |arg(z)| < 2γ với γ > 21 u hàm điều hoà Tγ thoả mãn tồn số A, B < ∞ α < γ cho: u(z) ⩽ A + B|z|α Khi đó, lim sup u(z) ⩽ 0, ∀ξ ∈ ∂Tγ \ ∞, z→ξ u ⩽ Tγ Chứng minh Chọn β > cho α < β < γ Ta xét hàm v : Tγ → R xác định 41
v(z) = Re z β = rβ cos(βt) , z = reit inTγ Khi ta có v hàm điều hịa Tγ Và từ giả thiết ta suy ra: cos(βt) ≥ cos πβ · 2γ Ta kiểm tra rằng, hàm v thỏa mãn điều kiện (b) (c) Định lý 2.2.3 Thật vậy:   πβ =∞ lim inf v(z) ≥ lim sup rβ cos z→∞ 2γ z→∞ u(z) A + Brα lim sup ≤ lim sup = πβ z→∞ v(z) z→∞ β r cos 2γ Vậy áp dụng Định lý 2.2.3 ta có điều phải chứng minh Chú ý 2.3.2 Trong định lý 2.3.1, giả thiết yêu cầu tồn α < γ hàm u bị chặn đa thức bậc α Nếu thay đổi giả thiết chọn α = γ định lý không xét hàm u(z) = Re (z γ ) điều kiện (2.5) khơng cịn thỏa mãn Tuy nhiên, thay đổi đảm bảo cho kết luận α = γ = với miền hình quạt đặc biệt nửa mặt phẳng phức phía trục thực Cụ thể ta có kết sau Định lý 2.3.3 Cho u hàm điều hồ nửa mặt phẳng phức phía trục thực H = {z ∈ C : Re(z) > 0} thoả mãn tồn số A, B < ∞ cho u(z) ≤ A + B|z|, z ∈ H (2.7) lim sup u(z) ≤ 0, ξ ∈ ∂H ∞, (2.8) Khi đó, z→ξ lim sup x→∞ u(x) = L, x u(z) ≤ L (L(Re(z)) với z ∈ H 42 (2.9) Chứng minh Lấy L′ > L e : H → [−∞, ∞) xác định Xét hàm số u e(z) = u(z) − L′ (Re(z)), z ∈ H u e hàm điều hoà H Ta xét hàm sau đây: Khi đó, u - Xét hàm:  e ze ve(z) = u iπ  n π πo với z ∈ H = − < arg(z) < 4 ′ Với ξ ∈ ∂H ′ \ {∞} ta có  e ze lim sup ve(z) = lim sup u z→ξ iπ  ≤0 z→ξ (do (2.8) (2.9)) Mặt khác, với z ∈ H ′ ta có  iπ   iπ  ′ e v (z) = u ze − L Re ze ′  iπ  ≤ A + B|z| − L Re ze (do(d)) ( A + B|z|, L′ ≥ ≤ A + (B − L′ )|z|, L′ < Vậy áp dụng Định lý 2.3.1 cho hàm ve với γ = 2, α = ta suy ve ≤ H ′ , tức là: n πo e ≤ H = < arg(z) < (∗) u + - Xét hàm:  e e ze w(z) =u −iπ  với z ∈ H ′ Lập luận tương tự trường hợp hàm ve trên, áp dụng Định lý 2.3.1 ta e ≤ H ′ , tức là: dẫn tới w n π o − e ≤ H = − < arg(z) < (∗∗) u e bị chặn H , tức u e≤C Từ (∗), (∗∗) điều kiện (2.9) ta suy hàm u H , với C số Hơn nữa, với ξ ∈ ∂ \ {∞} ta có e(z) = lim sup [u(z) − L′ Re(z)] ≤ lim sup u z→ξ z→ξ 43 e (với γ = 1, A = C, B = 0, α = 0) ta Vậy lại áp dụng Định lý 2.3.1 cho hàm u e ≤ H , tức là: suy u u(z) ≤ L′ Re(z), ∀z ∈ H, L′ > L Cho L− → L+ , ta suy u(z) ≤ LRe(z), ∀z ∈ H Sau ta chứng minh số kết quả, chuẩn bị cho việc áp dụng nguyên lý cực đại lên nửa mặt phẳng phức phía trục thực Bổ đề 2.3.4 Cho u hàm điều hoà H = {z ∈ C : Re(z) > 0} giả sử tồn số A, B < ∞ α > cho ( u(z) ≤ A + B|z|, z ∈ H (a) (2.3.1) limsupz→ξ u(z) ≤ −α|ξ|, ξ ∈ ∂H \ {∞} (b) n πo Đặt H + = z ∈ C : < arg(z) < Khi ta có u(z) ≤ A + B (Re(z)) − α (Im(z)) , z ∈ H + Chứng minh Không tính tổng qt ta giả sử A, B ≥ Đặt: e(z) = u(z) − A − B (Re(z)) + α (Im(z)) với z ∈ H + u Ta xét hàm sau  iπ  n π πo e ze , z ∈ H ′ = − < arg(z) < ve(z) = u 4 Ta chứng minh hàm ve thoả mãn giả thiết Định lý 2.3.1 Thật vậy: - Với z ∈ H ′ ta có:  iπ   iπ   iπ  4 ve(z) = u ze − A − B.Re ze + α.Im ze ≤ (A + B|z|) − A + α|z| = (B + α) |z| - Với ξ ∈ ∂H ′ \ {∞} Ta xét trường hợp sau: π + Nếu arg(ξ) = từ giả thiết (b) ta có: lim sup ve(z) ≤ −α.Im(ξ) − A + α.Im(ξ) ≤ z→ξ 44 + Nếu arg(ξ) = − π từ giả thiết (a) ta có: lim sup ve(z) ≤ (A + B.Re(ξ)) − A − B.Re(ξ) = z→ξ Vậy áp dụng Định lý 2.3.1 cho hàm ve (với γ = 2) ta suy ve ≤ H ′ e ≤ H + , tức Điều suy u u(z) ≤ A + B (Re(z)) − α (Im(z)) , z ∈ H + Bổ đề 2.3.5 Với giả thiết Bổ đề 2.3.4, ta có hàm u bị chặn H β α Khi ta có tia l = {z ∈ C : arg(z) = θ} ⊂ H + Ta chứng minh hàm u bị chặn trên l Thật lấy z = r (cos θ + sin θ) ∈ l Áp dụng bổ đề 2.3.4 ta có Chứng minh Gọi θ ∈ R cho tan θ = u(z) ≤ A + B.Re(z) − α.Im(z) (∗) = A + Br cos θ − αr sin θ = A Đặt: v(z) = u(z) − A o n π Với z ∈ D1 = − < arg(z) < θ · Ta xét hàm sau đây:   −i( π4 − θ2 ) ve(z) = v ze , z ∈ D1′   π θ π θ Với D1′ = − − < arg(z) < + · 4 Ta chứng minh hàm ve thoả mãn giả thiết Định lý 2.3.1 Thật vậy: + Từ giả thiết (b) hàm u bị chặn trên l ta suy với ξ ∈ ∂D1′ \{∞} ta có   −i( π4 − θ2 ) lim sup ve(z) = lim sup v ze ≤ z→ξ z→ξ + Từ giả thiết (a) ta suy với z ∈ D1′ ta có   −i( π4 − θ2 ) ve(z) = u ze − A ≤ (A + B|z|) − A = B|z| 45 Vậy áp dụng định lý 2.3.1 cho hàm ve hình quạt D1′ ta suy ve ≤ D1′ hay nói cách khác u ≤ A D1 (∗∗) - Đặt w(z) = u(z) − A n πo · Ta xét hàm sau đây: với z ∈ D2 = θ < arg(z) <   π θ e w(z) = w zei( + ) , z ∈ D2′   θ π π θ với D2′ = − < arg(z) < − · 4 e, áp dụng Định lý 2.3.1 ta Lập luận tương tự hàm ve cho hàm w đưa đến kết sau: u ≤ A D2 (∗ ∗ ∗) Từ (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) ta suy u ≤ A H Từ Bổ đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.5 ta có kết sau áp dụng nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa xác định nửa mặt phẳng phức phía trục thực Định lý 2.3.6 Với giả thiết Bổ đề 2.3.4, u ≡ −∞ H Chứng minh Từ kết Bổ đề 2.3.4 giả thiết (b), ta áp dụng Định lý 2.3.1 cho hàm u (với γ = 1, B = 0, α = 0), ta suy u ≤ H Lấy M > tuỳ ý Đặt: e(z) = u(z) + M.Re(z) với z ∈ H u e thoả mãn điều kiện 2.3.1 Ta chứng minh u Thật vậy: - Ta kiểm tra điều kiện (a): Với z ∈ H ta có e(z) = u(z) + M.Re(z) u ≤ A + B|z| + M |z| = A + (B + M )|z| 46 - Ta kiểm tra điều kiện (b): Với ξ ∈ ∂H \ {∞} ta có e(z) = lim sup [u(z) + M.Re(z)] ≤ −α|ξ| lim sup u z→ξ z→ξ e ta dẫn tới kết u e≤0 Áp dụng Bổ đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.5 cho hàm u H hay nói cách khác u(z) ≤ −M.Re(z), với z ∈ H Cho M → 0+ ta nhận u ≡ −∞ H 47 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu ”Xây dựng nguyên lý cực đại hàm điều hòa số miền đặc biệt mặt phẳng phức” đạt số kết sau đây: • Hệ thống hóa khái niệm số kết liên quan tới số phức, lớp hàm chỉnh hình, hàm nửa liên tục trên, hàm điều hòa (chương mục 2.1) • Phát biểu chứng minh chi tiết số kết liên quan tới nguyên lý cực đại hàm điều hòa phiên Phragmộn v Lindelăof (mc 2.2) c bit, lun ó áp dụng nguyên lý cực đại phiên Phragmén Lindelăof cho mt s c bit nh hỡnh qut nửa mặt phẳng phức phía trục thực với kết đạt có tiến giảm nhẹ yêu cầu độ tăng điểm vô cực hàm điều hòa (mục 2.3) Và kết công bố báo [6] Chủ đề nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực giải tích phức, mẻ so với chương trình đạo tạo chun ngành Tốn giải tích hành Vì tác giả có nhiều cố gắng nghiên cứu chắn cịn có nhiều khiếm khuyết Tác giả mong nhận nhiều ý kiến góp ý Hội đồng đánh giá để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng! 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp (2013), Mở đầu giải tích phức khơng gian Banach, NXB ĐH Sư phạm [4] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2013), Cơ sở lý thuyết đa vị, NXB ĐH Sư phạm [5] Phạm Hoàng Hiệp (2016), Singularities of plurisubharmonic functions, Publishing house for Scie and Tech [6] Huỳnh Thị Oanh Triều, Vũ Thị Kim Phương, Hoàng Nhật Quy, Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa số miền đặc biệt C, Tạp chí KH CN-ĐHĐN, Vol.19, No 11 (2021), pp 65-70 Tiếng Anh [7] L Hormander (1994), Notions of Convexity, Progress in Mathematics 127, Birkhauser, Boston [8] M Klimex (1991), Pluripotential theory, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York [9] T Ransford (1995), Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press 49 [10] Rudin, Walter (1973), Functional analysis, McGraw - Hill 50 CONG HoA xA HOI CUU NGHIA ~T NAM -Dc)c l~p - Tty - H~llh phllC DAI HOC DA NANG TRU'ONG D~I HQC su PH~M s6: c&lS IQB-DHSP [)ClN6ng, ngcly1t)thang3 nd m 2022 QUYET -DINH vs vi~c giao d~ tai va tnich Ilhi~m htn)'ng drill hl~n van thac si HLE=UTRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~M - DHDN Can CIl'Nghi dinh h9CDti Niing: s6 321CP 041411994cua Chinh phu v~viec ldp Dai Can ctr Nghf quyet s6 08INQ-H[)DH 121712021 cua H(Ji dong [)qi h9C [)a N6ng v~ viec ban hanh Quy chi t6 chirc va hoat dong cua Dai hoc [)it Nang VCtNghi quyet s613INQ-H[)[)H 071912021ala H(Jia6ng Dai hoc Di: Nang v~ viec sua a61, b6 sung l11(Jts6 ai~u cua Quy chi t6 chicc VCthoat dong ala Dai h9C Ei« Niing; Can CIl'Nghi quyet s6 12INQ-H[)T 081612021 cua H(Ji dong truong Truong Dai hoc Sir phC;Z111 v~ viec ban hanh Quy chi t6 chuc vit hoat dong cua Truong [)C;Zi hoc Su pham - Dai h9C[)it Nang; Can CII'Thong tu s6 1512014ITT-BGD[)T 151512014c~laB(J GiGOd1;lCva [)ao tgo v~ vi¢c ban hanh Quy chi aCtotgo trinh ac)thgc sf; Can Cil'Quyit ajnh s6 1060IQ[)-DHSP 0111112016cLlaHi¢u trwyng Truong D(li h9CSu phc;zm- [)gi h9CDa Nang v~ vi¢c ban hanh Quy ainh aito tgo trinh ac}thgc sf; Can CLf: To trin17I1gity111312022cua Khoa TOGnh9C v~ vi¢c a~ nghf giao a~ tid lu¢n van thqc sf cho h9C Vie,l cao h9Cngitnh Toan giai tfch khoa 41; Xet a~ nghi cila Truong pi10ng Phong [)ao tgo QUYET -DINH: -Di~u Giao cho 17 hQc vien cao hQc nganh TO