Bài viết trình bày phát biểu và chứng minh nguyên lý cực đại cho lớp hàm điều hòa dưới trên một số hình quạt không bị chặn trong mặt phẳng phức C. Đây là những kết quả được mở rộng từ phiên bản nguyên lý cực đại của Phragmén và Lindelöf trong cho lớp hàm điều hòa dưới xác định trên các miền không bị chặn trong mặt phẳng phức với điều kiện độ tăng tại điểm vô cực trong mặt phẳng phức của hàm điều hòa dưới không vượt quá độ tăng của hàm logarit tại điểm đó.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 65 NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI CHO HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI TRÊN MỘT SỐ MIỀN ĐẶC BIỆT TRONG ℂ THE MAXIMUM PRINCIPLE FOR SUBHARMONIC FUNCTIONS ON SOME SPECIAL DOMAINS IN ℂ Huỳnh Thị Oanh Triều*, Vũ Thị Kim Phương, Hoàng Nhật Quy Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: htotrieu@ued.udn.vn (Nhận bài: 30/6/2021; Chấp nhận đăng: 27/8/2021) Tóm tắt - Trong báo này, phát biểu chứng minh nguyên lý cực đại cho lớp hàm điều hòa số hình quạt khơng bị chặn mặt phẳng phức ℂ Đây kết mở rộng từ phiên nguyên lý cực đại Phragmén Lindelöf [1] cho lớp hàm điều hòa xác định miền không bị chặn mặt phẳng phức với điều kiện độ tăng điểm vô cực mặt phẳng phức hàm điều hịa khơng vượt độ tăng hàm logarit điểm Các kết nguyên lý cực đại báo phát biểu cho lớp hàm điều hòa xác định hình quạt khơng bị chặn yêu cầu độ tăng điểm vô cực không vượt độ tăng hàm đa thức điểm tương ứng Abstract - In this paper, we are going to state and prove the maximum principle for the subharmonic functions class on some unbouded sectors in the complex plane ℂ These are the results that are extended from the maximum principle version of Phragmén and Lindelöf in [1] for the unbounded domains in the complex plane with the request of the very rapid growth at the complex infinity point of the subharmonic function (namely not pass over the growth of the logarit function at the same point) Our results just request the increase at the complex infinity point of the subharmonic function does not exceed the growing of the complex polynomial at respective point Từ khóa - Hàm điều hòa dưới; hàm điều hòa trên; nguyên lý cực đại; giải tích phức; lý thuyết vị Key words - Subharmonic functions; superharmonic functions; the maximun principle; complex analysis; potential theory Giới thiệu Bài báo nghiên cứu nguyên lý cực đại cho lớp hàm điều hòa Đây đối tượng nghiên cứu lý thuyết vị lý thuyết đa vị - nhánh lĩnh vực giải tích phức, cịn mẻ Việt Nam Nguyên lý cực đại ban đầu phát biểu chứng minh dựa tô pô mặt phẳng phức mở rộng Do mặt phẳng phức mở rộng đồng phôi với mặt cầu Riemann nên thân tập compact (vì mặt cầu Riemann tập compact không gian mêtric ℝ3 ) Điều làm cho phép chứng minh nguyên lý cực đại đơn giản (Định lý 2.7) Tuy nhiên, biết tính chất tơ pô điểm vô cực độ tăng hàm điểm vô cực thường phức tạp điểm bình thường khác mặt phẳng phức Vì vậy, việc tách riêng điểm thường điểm vô cực nghiên cứu liên quan tới số phức nói chung nghiên cứu nguyên lý cực đại nói riêng cần thiết với hi vọng có kết Trong [1], Phragmén Lindelöf chứng minh nguyên lý cực đại cách tách điểm vô cực khỏi biên miền không bị chặn mặt phẳng phức đưa vào điều kiện kiểm soát độ tăng hàm điều hịa điểm vơ cực (Định lý 2.9) Trong báo này, sử dụng kỹ thuật giải tích phức [2, 3, 4, 5] để áp dụng phiên nguyên lý cực đại Phragmén Lindelưf vào miền hình quạt không bị chặn mặt phẳng phức Các kết báo trình bày Mục Trong kết này, nhóm tác giả cải tiến đáng kể độ tăng (chi tiết có lời dẫn bình luận trước sau kết quả) hàm điều hịa q trình tiến vô cực biến số phức Một số kiến thức chuẩn bị Ta ký hiệu tập số phức (còn gọi mặt phẳng phức) ℂ mặt phẳng phức mở rộng ℂ∞ Ta biết, mặt phẳng phức mở rộng đồng phôi với mặt cầu Riemann không gian mêtric ℝ3 (xem [2]), điểm vơ cực ∞ tương ứng với điểm cực bắc mặt cầu Riemann Do mặt cầu Riemann tập compact ℝ3 nên mặt phẳng phức mở rộng tập compact Trong báo này, ta gọi miền tập mở, liên thông khác rỗng ℂ ℂ∞ Giả sử 𝐷 miền, ̅ biên 𝜕𝐷 𝐷 ln hiểu lấy bao đóng 𝐷 ℂ∞ Như vậy, 𝐷 miền không bị chặn ̅ ℂ ∞ ∈ 𝐷 ℂ∞ tập compact nên 𝐷 tập compact Ta ký hiệu ∆(𝜔, 𝜌) đĩa mở ℂ, tức là: ∆(𝜔, 𝜌) = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧 − 𝜔| < 𝜌} Sau ta giới thiệu khái niệm hàm nửa liên tục nửa liên tục số kết lớp hàm Định nghĩa 2.1 (xem [6]) Cho 𝑋 không gian tô pô Hàm 𝑢: 𝑋 → [−∞, ∞) gọi hàm nửa liên tục tập {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑢(𝑥) < 𝛼} tập mở 𝑋 với 𝛼 ∈ ℝ Hàm 𝑣: 𝑋 → (−∞, ∞] gọi hàm nửa liên tục hàm −𝑣 hàm nửa liên tục Một hàm liên tục vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục Sau ta cho tiêu chuẩn tính nửa liên tục The University of Danang - University of Science and Education (Huynh Thi Oanh Trieu, Vu Thi Kim Phuong, Hoang Nhat Quy) Huỳnh Thị Oanh Triều, Vũ Thị Kim Phương, Hoàng Nhật Quy 66 Mệnh đề 2.2 Với giả thiết Định nghĩa 2.1, hàm 𝑢 nửa liên tục với 𝑥 ∈ 𝑋 ta có limsup 𝑢(𝑦) ≤ 𝑢(𝑥) 𝑦→𝑥 Chứng minh: Xem [2] Từ Định nghĩa 2.1 ta thấy rằng, tính nửa liên tục yếu tính liên tục Tuy nhiên, kết hàm liên tục bị chặn, đạt giá trị lớn tập compact cho hàm nửa liên tục Cụ thể ta có kết sau Định lý 2.3 Cho 𝑢 hàm nửa liên tục trên không gian tô pô 𝑋 𝐾 tập compact 𝑋 Khi đó, 𝑢 bị chặn trên 𝐾 đạt giá trị cận trên 𝐾 Chứng minh: xem [6] Sau ta nhắc lại hàm điều hòa số kết lớp hàm này, chuẩn bị cho việc phát biểu mở rộng nguyên lý cực đại cho lớp hàm hình quạt mặt phẳng phức Định nghĩa 2.4 (xem [3, 6]) Cho 𝑈 tập mở ℂ Hàm 𝑢: 𝑈 → [−∞, ∞) gọi điều hịa hàm nửa liên tục thỏa mãn bất đẳng thức trung bình địa phương, tức với 𝜔 ∈ 𝑈, tồn 𝜌 > cho 𝑢(𝜔) ≤ 2𝜋 ∫ 𝑢(𝜔 2𝜋 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡 (0 ≤ 𝑟 < 𝜌) Hàm 𝑣: 𝑈 → (−∞, ∞] gọi hàm điều hòa hàm −𝑣 hàm điều hòa Kết sau cho ta liên hệ lớp hàm chỉnh hình lớp hàm điều hịa Và phương pháp để ta xây dựng ví dụ hàm điều hòa Định lý 2.5 Nếu 𝑓 hàm chỉnh hình tập mở 𝑈 ℂ hàm log|𝑓| hàm điều hịa 𝑈 Chứng minh: xem [3, 6] Kết sau phương pháp giúp ta xây dựng ví dụ hàm điều hịa từ hàm điều hòa biết Kết chứng tỏ rằng, tập hàm điều hòa nón lồi, khơng phải khơng gian vectơ Mệnh đề 2.6 Cho 𝑢, 𝑣 hàm điều hòa tập mở 𝑈 ℂ Khi đó: Hàm max (𝑢, 𝑣) hàm điều hòa 𝑈; Hàm 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 hàm điều hòa 𝑈 với 𝛼, 𝛽 ≥ Chứng minh: Xem [6] Sau ta phát biểu phiên gốc nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa Để tiện cho việc theo dõi kết ta trình bày phép chứng minh Định lý 2.7 ([3, 6]) Cho 𝑢 hàm điều hòa miền 𝐷 ℂ Khi đó: a) Nếu 𝑢 đạt cực đại tồn cục 𝐷 𝑢 số 𝐷; b) Nếu limsup 𝑢(𝑧) ≤ với 𝜉 ∈ 𝜕𝐷, 𝑢 ≤ 𝐷 𝑧→𝜉 Chứng minh: (a) Giả sử 𝑢 đạt giá trị cực đại 𝑀 𝐷, tức tồn 𝑧0 ∈ 𝐷 cho: 𝑢(𝑧) ≤ 𝑀, ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑢(𝑧0 ) = 𝑀 Đặt: 𝐴 = {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) < 𝑀} 𝐵 = {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) = 𝑀} Do 𝑢 hàm nửa liên tục nên 𝐴 tập mở Ta chứng minh 𝐵 tập mở Thật vây: Lấy 𝜔 ∈ 𝐵, theo Định nghĩa 2.4, tồn 𝜌 > cho 2𝜋 𝑀 = 𝑢(𝜔) ≤ ∫ 𝑢(𝜔 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡 ∀0 ≤ 𝑟 < 𝜌 2𝜋 Suy 2𝜋 ∫ 𝑢(𝜔 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡 = 𝑀 ∀0 ≤ 𝑟 < 𝜌 2𝜋 Do 𝑢(𝜔 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 ) ≤ 𝑀 ∀𝑟 ∈ [0, 𝜌) ∀𝑡 ∈ [0,2𝜋), nên ta phải có 𝑢(𝜔 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 ) = 𝑀 ∀𝑟 ∈ [0, 𝜌) ∀𝑡 ∈ [0,2𝜋) Từ suy ∆(𝜔, 𝜌) ⊂ 𝐵 Vậy 𝐵 tập mở Như vậy, 𝐴 𝐵 môt phân hoạch mở 𝐷 𝐷 liên thông nên suy 𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐷 Do 𝐵 ≠ ∅ (vì 𝑧0 ∈ 𝐵) nên 𝐵 = 𝐷 Vậy 𝑢 = 𝑀 𝐷 (b) Ta thác triển hàm 𝑢 tới biên 𝜕𝐷 cách đặt: 𝑢(𝜉) ≔ limsup 𝑢(𝑧), ∀𝜉 ∈ 𝜕𝐷 𝑧→𝜉 ̅ Do 𝐷 ̅ tập Khi đó, 𝑢 hàm nửa liên tục trên 𝐷 compact nên theo Định lý 2.3, hàm 𝑢 đạt giá trị lớn ̅ Ta xét trường hợp sau: 𝜔∈𝐷 - Nếu 𝜔 ∈ 𝜕𝐷 theo giả thiết ta có 𝑢(𝜔) ≤ 0, suy 𝑢 ≤ 𝐷 - Nếu 𝜔 ∈ 𝐷 theo ý (a) suy 𝑢 số 𝐷 ̅ , suy 𝑢 ≤ 𝐷 số 𝐷 Nhận xét 2.8 (i) Trong giả thiết Định lý 2.7 (a) yêu cầu hàm 𝑢 đạt cực đại toàn cục 𝐷 Nếu hàm 𝑢 đạt cực đại địa phương cực tiểu toàn cục 𝐷 kết luận khơng cịn Ta xét ví dụ sau Vi dụ: Xét hàm: 𝑢(𝑧) = max (𝑅𝑒𝑧, 0) ℂ Khi đó, hàm 𝑢 vừa đạt cực đại địa phương cực tiểu toàn cục ℂ 𝑢 số ℂ (ii) Trong Định lý 2.7(b), 𝐷 miền không bị chặn ℂ, tức ∞ ∈ 𝐷 lấy biên 𝐷 ta có ∞ ∈ 𝜕𝐷 Kết sau ta loại điểm vơ cực khỏi biên tập 𝐷 cần thêm giả thiết khống chế độ tăng hàm 𝑢 tiến tới vô cực để đảm bảo kết luận Đây phiên nguyên lý cực đại Phragmén Lindelöf Định lý 2.9 ([1]) Cho 𝑢 hàm điều hịa miền khơng bị chặn 𝐷 ℂ cho limsup 𝑢(𝑧) ≤ (𝜉 ∈ 𝜕𝐷\{∞}) (a) 𝑧→𝜉 Giả sử tồn hàm điều hòa giá trị hữu hạn 𝑣 𝐷 cho 𝑢(𝑧) liminf 𝑣(𝑧) ≥ ∞ (𝑏) 𝑣à limsup ≤ (𝑐) 𝑧→∞ 𝑧→∞ 𝑣(𝑧) Khi 𝑢 ≤ 𝐷 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 Chứng minh: Ta xét trường hợp sau - Trước hết ta xét trường hợp 𝑣 > 𝐷: Lấy 𝜀 > Từ (c) suy tồn 𝑅 > cho 𝑢(𝑧) ≤ 𝜀, ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑣à |𝑧| > 𝑅 ⇒ 𝑢(𝑧) − 𝜀𝑣(𝑧) ≤ (∗) 𝑣(𝑧) Đặt: 𝑢𝜀 = 𝑢 − 𝜀𝑣 Ta có 𝑢𝜀 hàm điều hòa 𝐷 với 𝜉 ∈ 𝜕𝐷 ta có ≤ 𝑛ế𝑢 𝜉 ∈ 𝜕𝐷\{∞} (𝑑𝑜 (𝑎)) limsup 𝑢𝜀 (𝑧) = { ≤ 𝑛ế𝑢 𝜉 = ∞ (𝑑𝑜 (∗)) 𝑧→𝜉 Áp dụng Định lý 2.7(b) ta suy 𝑢𝜀 ≤ 𝐷 Do hàm 𝑣 hữu hạn nên cho 𝜀 → ta nhận 𝑢 ≤ 𝐷 - Giả sử 𝑣 hàm thỏa mãn giả thiết định lý Lấy 𝛿 > Đặt: 𝐹𝛿 = {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) ≥ 𝛿} Suy ra, 𝐹𝛿 tập đóng 𝐷 (do hàm 𝑢 nửa liên tục trên) Vì 𝑣 hàm nửa liên tục thỏa mãn (b) nên suy 𝑣 bị chặn 𝐹𝛿 Do đó, cần cộng thêm số phù hợp, ta giả sử 𝑣 > 𝐹𝛿 Đặt: 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑣(𝑧) > 0} Suy 𝑉 tập mở (do 𝑣 hàm nửa liên tục dưới) Khi đó, với 𝜉 ∈ 𝜕𝐷\{∞} ta có limsup(𝑢(𝑧) − 𝛿) ≤ 𝑧→𝜉 limsup 𝑢(𝑧) , 𝑛ế𝑢 𝜉 ∈ 𝜕𝐷\{∞} 𝑧→𝜉 }≤0 𝑢(𝜉) − 𝛿, 𝑛ế𝑢 𝜉 ∈ 𝐷 ∩ 𝜕𝑉 Áp dụng trường hợp cho hàm 𝑢 − 𝛿 tập 𝑉 ta suy 𝑢 − 𝛿 ≤ 𝑉 Vì 𝐹𝛿 ⊂ 𝑉 nên suy 𝑢 = 𝛿 𝐹𝛿 Và hiển nhiên 𝑢 ≤ 𝛿 𝐷\𝐹𝛿 Tóm lại ta có 𝑢 ≤ 𝛿 𝐷 Cho 𝛿 → ta nhận 𝑢 ≤ 𝐷 Hệ sau cho thấy, độ tăng điểm vô cực hàm 𝑢 khơng vượt q hàm logarit kết luận Định lý 2.9 Hệ 2.10 ([1]) Cho 𝑢 hàm điều hòa miền thực không bị chặn 𝐷 ℂ thỏa mãn với 𝜉 ∈ 𝜕𝐷\{∞} 𝑢(𝑧) limsup 𝑢(𝑧) ≤ 𝑣à limsup ≤0 log |𝑧| 𝑧→𝜉 𝑧→∞ ≤{ Khi đó, 𝑢 ≤ 𝐷 Chứng minh: Lấy 𝜔 ∈ 𝜕𝐷 ∩ ℂ áp dụng Định lý 2.9 cho hàm 𝑣(𝑧) = log |𝑧 − 𝜔| ta có điều phải chứng minh Các kết Kết sau áp dụng nguyên lý cực đại phiên Phragmén Lindelöf (Định lý 2.9) miền hình quạt Chúng ta thấy rằng, kết yêu cầu độ tăng hàm điều hịa vơ cực khơng vượt q đa thức, nhẹ so với Hệ 2.10 Định lý 3.1 Cho 𝑇𝛾 hình quạt: 67 𝑇𝛾 = {𝑧 ∈ ℂ\{0}: |arg(𝑧)| < 𝜋 }, 2𝛾 với 𝛾 > 𝑢 hàm điều hòa 𝑇𝛾 thỏa mãn tồn số 𝐴, 𝐵 < ∞ 𝛼 < 𝛾 cho: 𝑢(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵|𝑧|𝛼 Khi đó, limsup 𝑢(𝑧) ≤ 0, ∀𝜉 ∈ 𝜕𝑇𝛾 \{∞}, 𝑧→𝜉 Thì 𝑢 ≤ 𝑇𝛾 Chứng minh: Chọn 𝛽 > cho 𝛼 < 𝛽 < 𝛾 Ta xét hàm 𝑣: 𝑇𝛾 → ℝ xác định 𝑣(𝑧) = 𝑅𝑒(𝑧 𝛽 ) = 𝑟 𝛽 cos(𝛽𝑡) , 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝑡 ∈ 𝑇𝛾 Khi ta có 𝑣 hàm điều hòa 𝑇𝛾 Và từ giả thiết ta suy ra: cos(𝛽𝑡) ≥ 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝛽 2𝛾 Ta kiểm tra rằng, hàm 𝑣 thỏa mãn điều kiện (b) (c) Định lý 2.9 Thật vậy: 𝜋𝛽 liminf 𝑣(𝑧) ≥ limsup [𝑟 𝛽 𝑐𝑜𝑠 ] = ∞ 𝑧→∞ 2𝛾 𝑧→∞ Và 𝑢(𝑧) 𝐴 + 𝐵𝑟 𝛼 limsup ≤ limsup = 𝜋𝛽 𝑧→∞ 𝑣(𝑧) 𝑧→∞ 𝑟𝛽 𝑐𝑜𝑠 2𝛾 Vậy áp dụng Định lý 2.9 ta có điều phải chứng minh Chú ý 3.2 Trong Định lý 3.1, giả thiết yêu cầu tồn 𝛼 < 𝛾 hàm 𝑢 bị chặn đa thức bậc 𝛼 Nếu thay đổi giả thiết chọn 𝛼 = 𝛾 định lý khơng xét hàm 𝑢(𝑧) = 𝑅𝑒(𝑧 𝛾 ) điều kiện (c) khơng thỏa mãn Tuy nhiên, thay đổi đảm bảo cho kết luận 𝛼 = 𝛾 = với miền hình quạt đặc biệt nửa mặt phẳng phức Cụ thể ta có kết sau Định lý 3.3 Cho 𝑢 hàm điều hòa nửa mặt phẳng phức 𝐻 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑅𝑒(𝑧) > 0} thỏa mãn tồn số 𝐴, 𝐵 < ∞ cho 𝑢(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵|𝑧|, 𝑧 ∈ 𝐻 (𝑑) Khi đó, limsup 𝑢(𝑧) ≤ 0, 𝜉 ∈ 𝜕𝐻\{∞} (𝑒) 𝑧→𝜉 limsup 𝑥→∞ 𝑢(𝑥) 𝑥 = 𝐿, (𝑓) 𝑢(𝑧) ≤ 𝐿(𝑅𝑒(𝑧)) với 𝑧 ∈ 𝐻 Chứng minh: Lấy 𝐿′ > 𝐿 Xét hàm số 𝑢̃: 𝐻 → [−∞, ∞) xác định 𝑢̃(𝑧) = 𝑢(𝑧) − 𝐿′ (𝑅𝑒(𝑧)), 𝑧 ∈ 𝐻 Khi đó, 𝑢̃ hàm điều hịa 𝐻 Ta xét hàm sau đây: - Xét hàm: 𝑖𝜋 𝜋 𝜋 4 𝑣̃(𝑧) = 𝑢̃(𝑧𝑒 ) với 𝑧 ∈ 𝐻′ = {− < arg(𝑧) < } ′ Với 𝜉 ∈ 𝜕𝐻 \{∞} ta có 𝑖𝜋 limsup 𝑣̃(𝑧) = limsup 𝑢̃ (𝑧𝑒 ) ≤ (𝑑𝑜 (𝑒) 𝑣à (𝑓)) 𝑧→𝜉 𝑧→𝜉 Huỳnh Thị Oanh Triều, Vũ Thị Kim Phương, Hoàng Nhật Quy 68 - Với 𝜉 ∈ 𝜕𝐻′ \{∞} Ta xét trường hợp sau: Mặt khác, với 𝑧 ∈ 𝐻′ ta có 𝑖𝜋 𝑖𝜋 + Nếu arg(𝜉) = = 𝑢 (𝑧𝑒 ) − 𝐿′ 𝑅𝑒 (𝑧𝑒 ) 𝑣̃(𝑧) từ giả thiết (3.1h) ta có limsup 𝑣̃(𝑧) ≤ − 𝛼 𝐼𝑚(𝜉) − 𝐴 + 𝛼 𝐼𝑚(𝜉) ≤ 𝑖𝜋 ≤ 𝐴 + 𝐵|𝑧| − 𝐿′ 𝑅𝑒 (𝑧𝑒 ) (𝑑𝑜 (𝑑)) 𝑧→𝜉 𝜋 𝐴 + 𝐵|𝑧|, 𝑛ế𝑢 𝐿′ ≥ ≤{ 𝐴 + (𝐵 − 𝐿′ )|𝑧|, 𝑛ế𝑢 𝐿′ < Vậy áp dụng Định lý 3.1 cho hàm 𝑣̃ với 𝛾 = 2, 𝛼 = ta suy 𝑣̃ ≤ 𝐻′, tức là: 𝜋 𝑢̃ ≤ 𝐻 + = {0 < arg(𝑧) < } (*) + Nếu arg(𝜉) = − từ giả thiết (3.1g) ta có limsup 𝑣̃(𝑧) ≤ (𝐴 + 𝐵 𝑅𝑒(𝜉)) − 𝐴 − 𝐵 𝑅𝑒(𝜉) = 𝑧→𝜉 Vậy áp dụng Định lý 3.1 cho hàm 𝑣̃ (với 𝛾 = 2) ta suy 𝑣̃ ≤ 𝐻′ Điều suy 𝑢̃ ≤ 𝐻 + , tức 𝑢(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵(𝑅𝑒(𝑧)) − 𝛼(𝐼𝑚(𝑧)), 𝑧 ∈ 𝐻 + - Xét hàm: 𝑖𝜋 𝑤 ̃(𝑧) = 𝑢̃(𝑧𝑒 − ) với 𝑧 ∈ 𝐻′ Lập luận tương tự trường hợp hàm 𝑣̃ trên, áp dụng Định lý 3.1 ta dẫn tới 𝑤 ̃ ≤ 𝐻′, tức là: 𝜋 𝑢̃ ≤ 𝐻 − = {− < arg(𝑧) < 0} (**) Từ (*), (**) điều kiện (f) ta suy hàm 𝑢̃ bị chặn trên 𝐻, tức 𝑢̃ ≤ 𝐶 𝐻, với 𝐶 số Hơn nữa, với 𝜉 ∈ 𝜕𝐻\{∞} ta có limsup 𝑢̃(𝑧) = limsup[𝑢(𝑧) − 𝐿′𝑅𝑒(𝑧)] ≤ 𝑧→𝜉 𝜋 𝑧→𝜉 Vậy lại áp dụng Định lý 3.1 cho hàm 𝑢̃ (với 𝛾 = 1, 𝐴 = 𝐶, 𝐵 = 0, 𝛼 = 0) ta suy 𝑢̃ ≤ 𝐻, tức là: 𝑢(𝑧) ≤ 𝐿′ 𝑅𝑒(𝑧), ∀𝑧 ∈ 𝐻, 𝐿′ > 𝐿 Cho 𝐿′ → 𝐿+ ta suy 𝑢(𝑧) ≤ 𝐿 𝑅𝑒(𝑧), ∀𝑧 ∈ 𝐻 Sau kết nguyên lý cực đại nửa mặt phẳng phức Định lý 3.4 Cho 𝑢 hàm điều hòa 𝐻 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝑅𝑒(𝑧) > 0} giả sử tồn số 𝐴, 𝐵 < ∞ 𝛼 > cho 𝑢(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵|𝑧|, 𝑧 ∈ 𝐻 (𝑔) (3.1) {limsup 𝑢(𝑧) ≤ −𝛼|𝜉| , 𝜉 ∈ 𝜕𝐻\{∞} (ℎ) Bổ đề 3.6 Với giả thiết Định lý 3.4, chứng minh hàm 𝑢 bị chặn trên 𝐻 𝐵 Chứng minh: Gọi 𝜃 ∈ ℝ cho 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝛼 Khi ta có tia 𝑙 = {𝑧 ∈ ℂ: arg(𝑧) = 𝜃} ⊂ 𝐻 + Ta chứng minh hàm 𝑢 bị chặn trên 𝑙 Thật vậy: lấy 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃) ∈ 𝑙 Áp dụng Bổ đề 3.5 ta có 𝑢(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵 𝑅𝑒(𝑧) − 𝛼 𝐼𝑚(𝑧) (*) = 𝐴 + 𝐵𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝛼𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝐴 - Đặt: 𝑣(𝑧) = 𝑢(𝑧) − 𝐴 𝜋 Với 𝑧 ∈ 𝐷1 = {− < arg(𝑧) < 𝜃} Ta xét hàm sau đây: 𝑣̃(𝑧) = 𝑣 (𝑧𝑒 𝜋 𝜃 −𝑖( − ) ),𝑧 ∈ 𝐷′ 𝜋 𝜃 𝜋 𝜃 4 Với 𝐷′1 = {− − < arg(𝑧) < + } Ta chứng minh hàm 𝑣̃ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1 Thật vậy: + Từ giả thiết (3.1h) hàm 𝑢 bị chặn trên 𝑙 ta suy với 𝜉 ∈ 𝜕𝐷′1 \{∞} ta có 𝑧→𝜉 Khi đó, 𝑢 ≡ −∞ 𝐻 Để chứng minh Định lý 3.4 ta cần bổ đề sau 𝜋 Bổ đề 3.5 Đặt 𝐻 + = {𝑧 ∈ ℂ: < arg(𝑧) < } Với giả thiết Định lý 3.4, chứng minh + 𝑢(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵(𝑅𝑒(𝑧)) − 𝛼(𝐼𝑚(𝑧)), 𝑧 ∈ 𝐻 Chứng minh: Không tính tổng qt ta giả sử 𝐴, 𝐵 ≥ Đặt: 𝑢̃(𝑧) = 𝑢(𝑧) − 𝐴 − 𝐵(𝑅𝑒(𝑧)) + 𝛼(𝐼𝑚(𝑧)) với 𝑧 ∈ 𝐻 + Ta xét hàm sau 𝜋 𝜋 < arg(𝑧) < } 4 Ta chứng minh hàm 𝑣̃ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1 Thật vậy: - Với 𝑧 ∈ 𝐻′ ta có 𝑖𝜋 𝑣̃(𝑧) = 𝑢̃ (𝑧𝑒 ) , 𝑧 ∈ 𝐻′ = {− 𝑣̃(𝑧) 𝑖𝜋 𝑖𝜋 𝑖𝜋 = 𝑢 (𝑧𝑒 ) − 𝐴 − 𝐵 𝑅𝑒 (𝑧𝑒 ) + 𝛼 𝐼𝑚(𝑧𝑒 ) ≤ (𝐴 + 𝐵|𝑧|) − 𝐴 + 𝛼|𝑧| = (𝐵 + 𝛼)|𝑧| limsup 𝑣̃(𝑧) = limsup 𝑣 (𝑧𝑒 𝑧→𝜉 𝜋 𝜃 −𝑖( − ) ) ≤ 𝑧→𝜉 + Từ giả thiết (3.1g) ta suy với 𝑧 ∈ 𝐷′1 ta có 𝑣̃(𝑧) = 𝑢 (𝑧𝑒 𝜋 𝜃 −𝑖( − ) ) − 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵|𝑧|) − 𝐴 = 𝐵|𝑧| Vậy áp dụng Định lý 3.1 cho hàm 𝑣̃ hình quạt 𝐷′1 ta suy 𝑣̃ ≤ 𝐷′1 hay nói cách khác 𝑢 ≤ 𝐴 𝐷1 (**) - Đặt: 𝑤(𝑧) = 𝑢(𝑧) − 𝐴 𝜋 Với 𝑧 ∈ 𝐷2 = {𝜃 < arg(𝑧) < } Ta xét hàm sau đây: 𝑤 ̃(𝑧) = 𝑤 (𝑧𝑒 𝜋 𝜃 𝑖( + ) ),𝑧 ∈ 𝐷′ 𝜃 𝜋 𝜋 𝜃 4 Với 𝐷′2 = { − < arg(𝑧) < − } Lập luận tương tự hàm 𝑣̃ cho hàm 𝑤 ̃, áp dụng Định lý 3.1 ta đưa đến kết sau: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 𝑢 ≤ 𝐴 𝐷2 (***) Từ (*), (**) (***) ta suy 𝑢 ≤ 𝐴 𝐻 Chứng minh Định lý 3.4: Từ kết Bổ đề 3.6 giả thiết (3.1h), ta áp dụng Định lý 3.1 cho hàm 𝑢 (với 𝛾 = 1, 𝐵 = 0, 𝛼 = 0) ta suy 𝑢 ≤ 𝐻 Lấy 𝑀 > tùy ý Đặt: 𝑢̃(𝑧) = 𝑢(𝑧) + 𝑀 𝑅𝑒(𝑧) với 𝑧 ∈ 𝐻 Ta chứng minh 𝑢̃ thỏa mãn điều kiện (3.1) Thật vây: - Ta kiểm tra điều kiện (3.1g): Với 𝑧 ∈ 𝐻 ta có 𝑢̃(𝑧) = 𝑢(𝑧) + 𝑀 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 𝐴 + 𝐵|𝑧| + 𝑀|𝑧| = 𝐴 + (𝐵 + 𝑀)|𝑧| - Ta kiểm tra điều kiện (3.1h): Với 𝜉 ∈ 𝜕𝐻\{∞} ta có limsup 𝑢̃(𝑧) = limsup[𝑢(𝑧) + 𝑀 𝑅𝑒(𝑧)] ≤ −𝛼|𝜉| 𝑧→𝜉 𝑧→𝜉 Áp dụng Bổ đề 3.5 Bổ đề 3.6 cho hàm 𝑢̃ ta dẫn tới kết 𝑢̃ ≤ 𝐻 hay nói cách khác 𝑢(𝑧) ≤ −𝑀 𝑅𝑒(𝑧) với 𝑧 ∈ 𝐻 Cho 𝑀 → 0+ ta nhận 𝑢 ≡ −∞ 𝐻 69 Kết luận Bài báo nghiên cứu áp dụng nguyên lý cực đại phiên Phragmén Lindelöf miền hình quạt khơng bị chặn mặt phẳng phức, với kết Định lý 3.3 Định lý 3.4 Đây kết có ý nghĩa mặt khoa học giảm nhẹ yêu cầu độ tăng hàm điều hòa q trình tiến điểm vơ cực TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phragmén E., Lindelöf E., “Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d’un point singulier”, Acta Math, 31(1) (1908), 381 – 406 [2] Khue N V, Hai L M., Hàm biến phức, NXB ĐH QG Hà Nội, (1997) [3] Hiep P H., Singularities of plurisubharmonic functions, Pub Hou Sci and Tec 2016 [4] Hai L M., Hiep P H., Quy H N., “Local property of the class ℰ𝜒,𝑙𝑜𝑐 ”, J Math Anal Appli 402 (2013), 440 – 445 [5] Quy H N., “The topology on the space 𝛿ℰ𝜒 ”, Univ Iagel Acta Math 51 (2014), 61 – 73 [6] Klimek M., Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford, (1991) ... Sau ta nh? ?c lại hàm điều hòa số kết lớp hàm này, chuẩn bị cho vi? ?c phát biểu mở rộng nguyên lý c? ? ?c đại cho lớp hàm hình quạt mặt phẳng ph? ?c Định nghĩa 2.4 (xem [3, 6]) Cho