Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Vân TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH NHI PHAN MU KHÔNG ĐỀU LUẬN VAN THAC SĨ KHOA HOC Hà Nội - 2012... DAI HỌC QUỐC

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Bùi Thị Vân

TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

NHI PHAN MU KHÔNG ĐỀU

LUẬN VAN THAC SĨ KHOA HOC

Hà Nội - 2012

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Bùi Thị Vân

TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

NHI PHAN MU KHÔNG ĐỀU

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Huy Tiễn

Hà Nội - 2012

1 Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều 5

nee 5

1.2 Khái niệm nhị phan mũ không đều 6

1.3 Quan hệ giữa nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều | 7

3.1.2 Cấu trúc của nghiệm bị chặn 19

3.1.3 Phép chiếu va tính bất biến của toán tử tiến hóa 22

3.1.4 Đặc trưng của nghiệm bị chặn 23

3.1.5 Cac ước lượng bổ sung| co 25

¬ 27

3.1.7 Chứng minh các định lý| 29

3.2_ Tính vững của nhị phân mũ không đều trên toàn truc| 32

3.2.2 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên toàn truc|

Kết luận

32 35 42

43

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những tinh chất quan trọng của nhị phân mũ là tinh ỡng Tính

vững nghĩa là không bị thay đổi bởi nhiễu của ma trận hệ số Nội dung chính

của luận văn nghiên cứu về tính vững của nhị phân mũ không đều Nhị phân

mũ không đều là trường hợp suy rộng rất mạnh của nhị phân mũ đều

Gần đây, từ năm 2005 Luis Barreira và Claudia Valls đã nghiên cứu một cách

hệ thống khái niệm nhị phân mũ không đều (xem [5] và [10])

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều Chương

này sẽ nêu ra định nghĩa của nhị phân mũ đều, nhị phân mũ không đều, mối

quan hệ giữa chúng và định nghĩa về tính vững của nhị phân mũ đều và nhịphân mũ không đều

Chương 2 Tính vững của nhị phân mũ đều Chương này trình bày

tính vững của nhị phân mũ đều trên nửa trục dương và tính vững của nhị phân

mũ đều trên toàn trục số R

Chương 3 Tính vững của nhị phân mũ không đều Đây là nội dung

chính của luận văn Trong chương này trình bày tính vững của nhị phân mũ

không đều trên từng nửa khoảng vô hạn và tính vững trên toàn trục số R thông

qua việc chứng minh chi tiết các định lý về tính vững của nhị phân mũ khôngđều

Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2012.

Chương 1

Nhị phân mũ đều và nhị

phân mũ không đều

1.1 Khái niệm nhị phân mũ đều

Trong không gian R”, xét một ánh xạ liên tục t A(t) sao cho A(t) là toán

tử tuyến tính bị chặn trên R” với mỗi t > 0 và phương trình

ii) ||X(s,t)Q()|| < Ke~°"-*) với s >t.

Trong đó, Q = Id — P là phép chiếu bù của phép chiếu P

Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 Phương trinh có nhi phân mũ đều khi va chỉ khi Ñ" = S@U

va tồn tại K, a > 0 sao cho:

i) ||X(Œ)X~†(s)z||< Ke~#ữ—=®)||z|| vit > s, z € S,

ii) ||X()X~†(s)w||< Ke~*(S—9||u|| uới s >t, y EU.

Mệnh đề 1.3 Phương trình có nhị phân mt đều khi va chỉ khi tồn tại

họ các phép chiếu P(t) thỏa mãn sup ||P(t)|| < co vdi P()X(t,s) = X(t, s)P(s)

Vt > s va ton tại các hệ số K, a oO sao cho

i) \|X(t,s)a|| < Ke~*—®)||z|| uới t > s, 2 € Im P(s),

ii) \|X(t,s)a|| < Ke~*ữ—*)||lz|| vdi s >t, z € Im Q(s),

trong đó Q(t) = Id — P(t).

1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều

Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A: J > B(X) là một hàm liên

tục trong khoảng mở J C R, và B(X) là tập các toán tử tuyến tính bi chặn trên

X Ta xét bài toán giá trị ban đầu:

Định nghĩa 1.4 Chúng ta nói phương trình (1.2) có nhị phân mũ khong đều

trên J nếu tồn tại phép chiếu P: J + B(X) với:

P(t)T(t, s) = T(t, s)P(s) Vt > s, (1.4)

6

hoặc b|t| Mọi hệ nhị phân mũ đều đều là hệ nhị phân mũ không đều Điều ngược

lại không đúng Để minh họa cho điều này, ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 1.6 Cho w > a> 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R?

uˆ = (—w — a‡sin t)u,

Giả sử P(t) là phép chiếu P(t)(u,v) = u, rõ ràng P thỏa mãn điều kiện (1.4).

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại D sao cho

U(t,s) < Devt VE-9) +2481 với £ > s, (1.8)

7

V(s,t) < De~(0+4)(—s)+24|f| với t> s,Trước tiên chúng ta viết lai U(£, s) như sau:

U(t, s) — ef w+a)(t—s)+at(cos t—1)—as(cos s—1)+a(sin s sint)

Cuối cùng nếu s < f < 0 thi từ (1.10) suy ra

U(t, s) < e2te(—wta)(t—s)+2al¢| < e2te(—wta)(t—s)+2a/s|_

Từ việc thỏa mãn (1.8), (1.9) thì hệ (1.7) là hệ nhị phan mũ không đều Lai

theo (1.11) va (1.12) thì không thể bỏ được e24!*! và e2“lfÌ bằng cách cho D hoặc

w —a đủ lớn, điều này suy ra hệ (1.7) không là nhị phân mũ đều Như vay ta

hoàn toàn kết thúc chứng minh mệnh dé

định lý đồ thị đóng Coppel (1967) đã đưa ra một cách chứng minh đầy đủ Ông chỉ ra rằng trường hợp tổng quát có thể được đưa về trường hợp riêng đơn giản

hơn rất nhiều mà trong đó ma trận hệ số A(£) giao hoán với phép chiếu của

nhị phân mũ với mỗi f Đó là một kết quả rất hữu ích, tuy nhiên chứng minh là

không trực tiếp Một chứng minh cơ bản và trực tiếp được đưa ra bởi Daleckii

va Krein (1970), nhưng dưới giả thiết A(t) là bị chặn Ở đây, chúng ta sẽ chỉ ra

rằng giả thiết đó có thể được loại bỏ một cách dễ dàng.

2.1 Một số bổ đề kỹ thuật

Bổ đề 2.1 Cho o(t) là một hàm giá trị thục liên tục, bị chặn sao cho:

o(t) < Ke" + 0œ / c~#Ì!=*l#4(w)du Vt > 0.

Chứng minh Xét phương trình tích phân tương ứng

œ

w(t) = Ke + 0a feel" (u)du.

0

Bằng cách tách khoảng lấy tích phân [0,00) thành [0,] và [t,0o), chúng ta

thấy mọi nghiệm (£) liên tục, bị chặn là khả vi và

w(t) = Ce~! (với hằng số Ở nào đó).

Thay vào phương trình tích phân đầu tiên ta được Ở = øK Vậy phươngtrình tích phân có nghiệm duy nhất:

w(t) = pKe

lién tuc va bi chan.

Dé thấy với mọi hằng số L > Ø~1K,

œ

L> Keo“ + 0a fee báu Ví >0.

0

Nếu chọn 7 > sup ¢(t), bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp phương trình tích

phân có một nghiệm w(t) sao cho:

ó()<()<L — Vt30.

Do (£) xác định duy nhất nên ta suy ra điều phải chứng minh L]

10

Ap dụng Bổ đề |2.1|đói với j(s — t), chúng ta thu được Bổ đè |2.2]

Bổ đề 2.2 Cho g(t) là một hàm giá trị thực liên tục sao cho

Bay giờ xét A(t) là một hàm ma trận liên tục với t > 0, X(t) là ma trận cơ

bản của phương trình vi phân tuyến tính

\|X (t)(I — P)X~1(s)|| < Ke~*^(=Đ với s > t 2.2)

Cho B(t) là ham ma trận liên tục, bi chặn, chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu

ổ = sup|B(t)| đủ nhỏ thì phương trình nhiễu

ITY || < K +2a7! KO||Y ||.

Tương tự ta thu được

ITY — TY||< 2œ~1K8||Ÿ — Y]].

Do đó theo nguyên lý co nếu

(2.3) Do đó Yi (t)P cũng là một điểm bất động của 7, ta có Yi()P = Vi).

Trường hợp riêng nếu Q = Y¡(0) thì

QP =Q.

Từ (2.4) thay t bởi s ta có

XŒ)PX~'(s)Yi(s) = X()P+ [ X@Px WB WY (wae (2.5)

0

Kết hợp với (2.4) ta thu được

Yi() = XŒ)PX~}!(s)Yi(s) + [ XIĐPX: `00)B(0)Yi(n)au

_ / X(t)(I — P)X~!(u) B(w)¥i(w)du.

12

Mặt khác, cho # = s = 0 trong (2.5) ta được

PQ =P.

Suy ra Y¡()Q cũng là một điểm bat động của T, do đó

Yi(t)Q = Yi(t).

Cho t = 0 ta thấy Q là một phép chiếu

Nếu Y¡()Q là một ma trận cơ bản của phương trình (2.3) sao cho Y(0) =I

thi

Yi(t) =Y(0)9.

Dat

Y2) = Y(t) — Q)

vậy thi Y(t) = Y(t) + Yo(t) Theo công thức biến thién hằng số,

Y2(t) = X(t)(I — Q) + [xox ~†(w)B(u)Ya(u)du (2.7)

0

Thay t bằng s và sử dung (I — P)(T— Q)= I- Q ta có

X)Œ = P)X"'(sJYa(s) = X(9Œ = Q) = [ XU = P)X”'(0)B(0)Y5(u)au

0

Kết hợp với đẳng thức trước ta thu được

Y(t) = X(t)(I — P)X Ya(s) + [ X(QPX u)B(u)Y›(u)du

Thay € bằng Y1()£ trong (2.10) và, (2.11) với € tùy ý, ta được

+I.3a < (1 = 2) 71K.

Néu trong (2.9) ta thay € bằng Y~!(s)£ thì thu được nhị phan mũ:

IY()QY~†}(s)|< Le~?~®) với t > s > 0,

ly (t)(I — Q)Y~}(s)| < he~#®=Đ với s > t > 0,

trong đó L = (1— 2)~1eK2.

` 1 l 1 `

Điều kiện 7 < 5 là thỏa mãn nêu Ø < TK: Do đó cần k > 1

Mệnh dé 2.3 Giả sử phương trình vi phan có nhị phân mi trên

lY (t)(I — Q)Y~1(s)| < gi ta206-0 uới s > £ > 0,

trong đó Y(t) là ma trận cơ ban của (2.3 sao cho Y(0) =I va phép chiếu Q có

cùng không gian nhân uới phép chiếu P Hơn nữa

IYŒ@)QY—*(0)T— X(t{)PX*(t)| < 4a! K°S Ví > 0.

15

2.3 Tính vững của nhị phân mũ đều trên toàn

trục

Tính vững của nhị phân mũ trên R được suy ra từ Mệnh đề Giả sử có

trên R và

œ

ô= Bit)| sup | (I< tp< —=s

thi phuong trinh nhiéu (2.3) có nhị phân mũ trên mỗi nửa đường thang R,, IR_

tương ứng với phép chiếu Q’, Q“” Hơn nữa Q’ có cùng không gian nhân với P,

I — Q" có cùng không gian nhân với I — P (theo chứng minh Mệnh đè |2.3) và

Suy ra Q có cùng miền giá trị với Q’ và có cùng không gian nhân với Q”

Kết quả là phương trình có nhị phân mũ trên mỗi nửa đường thang R„,

R_ với cùng phép chiếu Q và bởi vậy có nhị phân mũ trên R với phép chiếu Q

( và số mũ a — 2/3)

16

Sau đây là những kết quả chính của tinh vững Chúng ta xét tinh vững trong

khoảng J = [ø,+o) với ø < 0.

Dinh ly 3.1 (Xem /10])

Cho A,B: J — B(X) là các ham liên tục sao cho:

17

1) phương trình có nhị phân mũ không đều trong khoảng J tới 0 < c,

Cho A,B: J > B(X) là các hàm liên tục sao cho phương trinh có nhị

phân mt không đều trong khoảng J uới 0 < c va giả sử rằng

lB()||< 6e"? »ới mỗi t € J.

Định Iý|3.1| được suy ra từ Định Iý|3.2| Ta sẽ phân chia chứng minh của Định

lý |3.2|thành nhiều bước Trước hết ta chứng minh một số kết quả phụ trợ.

18

3.1.2 Cau trúc của nghiệm bị chặn

Đặt G = {(t,s)€ Jx J:t > s} và xét không gian

C={U:G— B(X): U là liên tục và ||U|| < co} (3.7)

với chuẩn

IIDII = sup {I|U(,.s)|Je—P: (ts) eG}, (3.8)

Bổ đề 3.3 Phương trình Z' = [A(t) + B()]Z có nghiệm duy nhất U € © sao

cho uới mỗi (t,s) € G,

Chứng minh Giả sử ham U € @ thỏa mãn thì hàm £ — U(t, s) là khả vi

(do hàm t+ T(t, s) là khả vi) Lay đạo hàm theo f trong dễ chỉ ra đượcrằng # —— U(t, s)€, t > s là một nghiệm của phương trình (1.13) với mỗi € € X

Do đó, chúng ta phải chỉ ra rằng toán tử L định nghĩa bởi:

có một điểm bat động trong không gian € Ta có:

(LU) (t, s)|| < |T0 s)P(s)il+ [lft.z)P0)l -JBŒ)|| - |IUŒ s)||dr

: (3.11)

+ | lIữ0.z)@(0)|lIIBt)ll- [WO s)llar

19

Do vậy, ta có thé định nghĩa toán tử L : C > @ Sử dung đồng nhất thức

(3.10) với U;, U2 € © va tiễn hành tương tự như (3.11) ta thu duoc:

|| LU; — LU9|| < 8||U, — Val].

Theo (3.3), L là một phép co và tồn tai duy nhất U € € sao cho LU = U.

U(t,7)U (7, s) =T(t, s)P(s) + [Xu (us)du

+ | Xtt.)U( 2) s)du — [Y0,u)U(w.z)UŒ, s)du.

T t

20

Sử dụng (3.9) một lan nữa suy ra

U(t,T)U(r,s) — U(t, s) = [X00 s)du

Z(u) = U(u,T)U(r, 8) — U(u s),

ta có thể viết lại đồng nhất thức trên dưới dang:

Theo có

t

VW) (EIS D feel) B(u)| - ||W(u)||du

+ D feo orem B(u)| -||[W(u)||du < 6||W |

và do đó W(€) C € Hơn nữa tiến hành một cách tương tự với Wy, We, ta có

|LNWI — NWa|| < 0||W¡ — Wall.

Theo giả thiết (3.3), N là phép co Do đó có duy nhất hàm W € € thỏa mãn (3.13) Mặt khác 0 € € cũng thỏa mãn (3.13) Vậy W = 0.

Theo Bồ đề hàm Z trong (3.12) là trong €, do đó nó cũng thỏa mãn

(3.13) Chúng ta kết luận rằng với mọi t > 7 > s trong J,

Z(t) =U(.r)U(, s) — U(t, s) = 0.

Vậy U(t,7)U(r, s) = U(t, s).

3.1.3 Phép chiêu và tính bất biến của toán tử tiễn hóa

Ta vẫn ký hiệu T(t, s) là toán tử tiến hóa kết hợp của phương trình (1.13).

Với mỗi t € J ta định nghĩa toán tử tuyến tính

P(t) = T(t,0)U(0,0)T(0,t) va Q(t) = Id — P(t) (3.16)

Chúng ta muốn chi ra rằng toán tử tiến hóa xác định một nhị phân mũ khong

đều với phép chiếu P(t) Ta bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng toán tử tuyến tínhP(t) là một phép chiếu bất biến đối với T(t, s)

Bổ đề 3.5 Toán tử P(t) là một phép chiếu uới moit € J va dung.

Chứng minh Dat R = U(0,0), theo Bo dé [3.4] có R? = R Do T(t, t) = 1d,

3.1.4 Dac trưng của nghiệm bị chan

Bồ đề 3.6 Cho s € J, néuy : [s,+oo) > X là nghiệm bị chặn của phương

trinh (??) uới y(s) = € thà:

[ito BOM lutr)lidr < DIC fee -Odr = PECc

Lấy giới hạn (3.19) khi t + +00, doa > ¥ ta thu được

23

Từ SUY ra

Q(t)y(t) = / T(t, r)Q(r)B(r)y(r)dr + / T(0.z)Q(z)B(z)y()dr

Cộng đồng nhất thức trên với (3.17) ta suy ra điều phải chứng minh L]

Chứng minh Theo Bo đề 3.3} ham £ ——>› U(t,0)€, £ > 0 là nghiệm của phương

trình (??) với điều kiện ban đầu tại thời gian 0 bằng U(0,0)£ Vì vậy

3.1.5 Các ước lượng bổ sung

Chứng minh Chúng ta sé chỉ ra rằng x(t) < ¢(t) với ¢(t) là ham liên tục bị

chặn thỏa mãn phương trình tích phân

Chú ý rằng —¢ = —c\/1 — Ø là nghiệm âm của phương trình đặc trưng Vì ó

là hàm bị chặn khi ¢ = +00 nên có ở(#) = ó(s)e—°Œ=®) (khi ¢ < +00 ta lấy đơn

Đặt z = supz(f) Do hàm z và ¢ là bị chặn, z là hữu han va lấy cận trên

t>sđúng trong bất đẳng thức trên ta thu được

Chứng minh Tién hành tương tự như trong chứng minh Bo đề|3.8|ta có thể chỉ

ra rằng y(t) < w(t) trong đó w(t) là hàm bị chặn, liên tục thỏa mãn:

t S

w(t) = Des H+ 9s, + sD | ee u(r)ar + sD | ee u(rjdr

0 t

với t < s Chú ý rang w(t) cũng thỏa man phương trình vi phan (3.23) Thay

thế W(t) = W(s)e~°— trong đẳng thức trên và t = s ta thu được:

Tiến hành một cách tương tự như trong Bồ đề |3.§|ta CÓ:

ult) <0) < Dye err

Bồ đề được chứng minh xong.

3.1.6 Ước lượng chuẩn cho toán tử tiến hóa

Chúng ta sẽ ước lượng chuẩn của T(t, : ImP(s) vit > s va T(t, ø)|Im Q(s)

với t < s, các hằng số ¢ va D cho trong (3.2)

Bổ dé 3.10 Bat đẳng thúc đúng uới mọi t > s trong J.

Chứng minh Cho £ € X, dat x(t) = ||P(t)T(t, s)£|| với t > s và + = ||P(s)El].

Từ Bổ đề và (1.4) suy ra rằng hàm x bị chặn và thỏa mãn bất đẳng thức

(3.21) với ø = +© Vì vậy theo Bổ đè|3.8|

IIP)Ÿ@,s)£||< De MII P(s)E lI, £ > s.

Theo Bồ đè |3.5|ta có:

Đặt „ = P(s)€, thì

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 3.11 Bat đẳng thúc đứng 0uới mọi t < s trong J.

Chứng minh Dau tiên chúng ta chứng minh hệ thức cho Q(t) Theo công thức

y(t) = ||T(t, s)Q(s)é|| với t < s trong J

va + I|@(s)£ll Từ (3.33) va (3.32) dễ dàng suy ra hàm y thỏa mãn bat đẳng

thức (3.24) Sử dụng Bồ đề |3.9| và tiến hành tương tự như Bồ đề ta thu

được bat dang thức cần chứng minh.

3.1.7 Chứng minh các định lý

Với các kết quả bổ trợ trên, chúng ta có thể chứng minh hai định lý chính.

Chứng minh định lý Chúng ta có thể chỉ ra tồn tại phép chiếu P(t)

(theo (3.16) rời bất biến toán tử tiến hóa T(t,s) (theo Bổ dé b3 Các ước

lượng chuẩn cho T(t, s)|Im P(t) và T(t, s)|Im Q(t) tương ứng được cho trong Bổ

đè|3.10| và|3.11Ì Dinh lý được chứng minh.

Chứng minh Dinh lý Áp dụng Định vb ta thu vn Bh chiéu

(3.6)

P(t) thoa man (3.4) cũng như các ước lượng chuẩn trong (3.5) va 3.6 Chúng

ta cũng thu được các ước lượng chuẩn cho các phép chiếu Chú ý rằng giả

thiết ||B(t)|| < äe~°!l trong Dinh lý |3.2| phải được thay thế bằng giả thiết mới

Theo Bồ đề và Bồ đè|3.5| với T >t trong J có:

P(r) T(r, t)|| < De OPE).

Theo (3.35), sử dung bat dang thức thứ hai trong (1.4) ta thu được:

|Q(t) P(2)|| < SDD||P [ere “OVle Arlee

IIô0)II < IIP@) = POM + QO

< PP (IIÊ9||+ llÔ0)l) + Der"

Vậy thì

8 A 25DD /,~ ^

|LP()|| + |Il@()1| < chev (IPO + (1) + Dell,

va

Cho 6 đủ nhỏ sao cho _

26DD < 1

c+ế-0 2

chúng ta thu được:

IIP@)II+ IIÔ(0|| < 4De”"

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Bồ đề được chứng minh xong.

Kết hợp va với 7 > f trong J có:

IIÊ(z)Ÿ(.9)||< Der BHI] < 4ÐÕe~8ữ~9*29i,

Tương tự kết hợp (3.39) và (3.34) với r < f trong J có:

lÔ()Ÿ(z.1)J|< Õe-ứ~?)+?!l||Ô()||< 4DÕe-ứ~z)+20M),

Dinh lý được chứng minh xong.

Bài

3.2 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên

toàn trục

Dé phát biểu tính vững của nhị phân mũ không đều trên R, đầu tiên chúng

ta cần xem xét các trường hợp riêng biệt của nhị phân mũ trên các khoảng

J = [o,+o) với 0 < 0, và J = (—oe,€] với > 0 Các khoảng có dạng thứ nhất

ta đã xét trong Định ly [3.1] Bây giờ chúng ta nghiên cứu các khoảng có dang

thứ hai đơn giản bằng cách đảo ngược thời gian trong chứng minh của định lý

này Chúng ta tiếp tục sử dụng các hằng số ế và D trong (3.2).

3.2.1 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên nửa trục

âm

Định lý 3.13 Các phát biểu trong Định lý |3 Í đứng uới khoảng J = (—œ,€|

uới € > 0.

Chứng minh Cách chứng mình tương tự như chứng minh của Dinh lý

và vì vậy chúng ta sẽ chỉ chỉ ra những điểm khác biệt chính Đặt

H={(t,s)eJx J: t<s},

va xét không gian Banach

D={V:H— B(X): V là liên tục và ||V|| < oo} (3.43)

với chuẩn

|IVII = sup{||V ( s)||e~”!°!: (t, 8) € HY.

Lập luận tương tự như trong chứng minh của Bồ đề |3.3|và Bo đề [3.4] thành

lập kết quả dưới đây