Qua so sánh vàphân tích ưu nhược điểm của một số bộ điều khiển có thể sử dụng cho hệ xe hai bánh tự cân bằng, em đã quyết định sử dụng giải thuật điều khiển toàn phương tuyến tínhLQR Lin
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Đặc tính động lực học
Xây dựng hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống xe hai bánh tự cân bằng
Hình 2.5 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng trên mặt phẳng
Kí hiệu – [đơn vị] Ý nghĩa
[ ] m kg Khối lượng bánh xe
L m Khoảng cách từ trọng tâm robot đến trục bánh xe f w Hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt phẳng di chuyển f m Hệ số ma sát giữa robot và động cơ
J m kg m Moment quán tính của động cơ DC
R m Ohm Điện trở của động cơ DC
K b V rad Hệ số EMF của động cơ DC.
K t Nm A Moment xoắn của động cơ DC n Tỉ số giảm tốc
Góc trung bình của bánh trái và phải
Góc của bánh trái và phải
Góc nghiêng của phần thân robot
F F F Nm Moment phát động theo các phương khác nhau
F F Nm Moment phát động của động cơ bánh trái và phải , [ ] l r i i A Dòng điện động cơ bánh trái và phải , [ ] l r v v V Điện áp động cơ bánh trái và phảiBảng 2.1 Kí hiệu và ý nghĩa các đại lượng
Mô hình động học của robot được xây dựng theo phương pháp Euler-Lagrange Với điều kiện ban đầu tại thời điểm t = 0 robot di chuyển theo hướng trục x dương, hệ phương trình mô tả chuyển động của robot sẽ là:
Góc tịnh tiến trung bình của hai bánh xe và góc xoay của robot được xác định như sau:
Trong đó toạ độ trung bình của xe trong hệ quy chiếu: m m m m m x x y y z R
424\* MERGEFORMAT (.) Toạ độ bánh trái trong hệ quy chiếu:
Toạ độ bánh phải trong hệ quy chiếu:
Toạ độ tâm đối xứng giữa hai động cơ trong hệ quy chiếu: sin cos sin sin cos b m b m b m x x L y y L z z L
Phương trình động năng của chuyển động tịnh tiến:
Phương trình động năng của chuyển động quay:
10210\* MERGEFORMAT (.) là động năng quay của phần ứng động cơ trái và phải
U mgz mgz mgz 11211\* MERGEFORMAT (.) Phương trình Lagrange:
15215\* MERGEFORMAT (.) Lấy đạo hàm L theo các biến , , ta được:
Moment động lực do động cơ DC sinh ra:
Sử dụng phương pháp PWM để điều khiển động cơ nên chuyển từ dòng điện sang điện áp động cơ:
23223\* MERGEFORMAT (.) Xem điện cảm phần ứng tương đối nhỏ (gần bằng 0), có thể bỏ qua, suy ra:
Từ đó, các moment lực sinh ra:
28228\* MERGEFORMAT (.) Thu được phương trình động lực học mô tả chuyển động của xe như sau:
Phương pháp bộ điều khiển tối ưu sử dụng cho hệ thống
Một hệ điều khiển được thiết kế ở chế độ làm việc tốt nhất là hệ thống luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào đó (đạt được giá trị cực trị).
Có nhiều bài toán điều khiển tối ưu, tuỳ theo:
- Loại đối tượng điều khiển.
- Miền thời gian liên tục hay rời rạc.
- Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không.
Có hai phương pháp điều khiển tối ưu chính:
- Điều khiển tối ưu tĩnh: chỉ tiêu chất lượng không phụ thuộc thời gian.
- Điều khiển tối ưu động: chỉ tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian, có các phương pháp sau:
+ Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear Quadratic Regulator – LQR).
+ Bài toán điều khiển tối ưu H2.
Khảo sát ưu và nhược điểm của bộ điều khiển tối ưu sử dụng phương pháp toàn phương tuyến tính (LQR) như sau:
- Hệ thống vẫn ổn định ngay cả khi ta thay đổi đặc tính trên hệ thống.
- Có thể thiết kế với các hệ thống phi tuyến phức tạp.
- Kết quả cho ra tính ổn định cao.
- Tính toán ma trận của bộ điều khiển LQR rất phức tạp.
- Việc lựa chọn ma trận trọng lượng thích hợp ở chỉ tiêu chất lượng rất quan trọng vì nó ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả tính hoá.
- Nếu chịu ảnh hưởng của nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường tác động vào hệ thống thì sẽ gây khó khăn khi cân bằng, tín hiệu điều khiển không ổn định nhiều gai gây ảnh hưởng tới động cơ.
Qua phân tích về ưu nhược điểm của từng bộ điều khiển trình bày ở trên thì nhóm quyết định xây dựng và mô phỏng hệ xe hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển toàn phương tuyến tính (LQR) để thực hiện khảo sát trong đề tài.
Điều khiển toàn phương tuyến tính
Hình 2.6 Sơ đồ khối của bộ lọc Kalman Xét hệ tuyến tính liên tục:
Trong đó: w t ( ) là nhiễu hệ thống; v t ( ) là nhiễu đo lường.
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường có phân bố Gauss, không tương quan, có trung bình bằng 0 và phương sai là:
Bộ lọc Kalman liên tục: ˆ ( ) [ ( ) ˆ ( )] [ ( ) ˆ ( )] ˆ ( ) ˆ ( ) x t Ax t Bu t L y t y t y t Cx t
35235\* MERGEFORMAT (.) Trong đó L là độ lợi của bộ lọc Kalman:
Với là nghiệm của phương trình Ricatti:
A A C R C Q 37237\* MERGEFORMAT (.) Lời giải bộ lọc Kalman liên tục trên MATLAB: (với G là ma trận đơn vị)
2.3.2 Bài toán điều khiển toàn phương tuyến tính liên tục
Hình 2.7 Sơ đồ khối của bộ điều khiển toàn phương tuyến tính (LQR)
Trong đề tài này, chỉ xét bài toán LQR liên tục thời gian vô hạn. Đối tượng tuyến tính mô tả bởi phương trình trạng thái:
Chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương, trong đó thời điểm cuối tiến đến vô cùng:
40240\* MERGEFORMAT (.) Tín hiệu điều khiển tối ưu:
Và P là nghiệm bán xác định dương của phương trình đại số Ricatti:
PA A P Q PBR B P 43243\* MERGEFORMAT (.) Chú ý: trong trường hợp này K và P là không phụ thuộc vào thời gian
Giá trị cực tiểu của chỉ tiêu chất lượng: min T (0) (0)
Lời giải bộ điều khiển toàn phương tuyến tính liên tục:
NỘI DUNG
Tuyến tính hoá hệ thống
Từ 229, 230, 231 ta có hệ phương trình mô tả hệ thống xe hai bánh tự cân bằng có dạng như sau:
Nếu chọn điểm cân bằng là:
Ta có thể tuyến tính hoá hệ thống 246 về dạng: x Ax Bu 51251\* MERGEFORMAT (.)
Khảo sát tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống
Ma trận C quan sát được ba biến trạng thái là góc tịnh tiến trung bình của hai bánh xe , góc nghiêng của robot , góc xoay của robot được thể hiện như sau:
Ma trận điều khiển M c [ , B AB A B A B A B A B , 2 , 3 , 4 , 5 ]
Ma trận quan sát M o [ , C CA CA CA CA CA , 2 , 3 , 4 , 5 ] T
Kiểm tra, ta được rank M( c )rank M( o ) 6
Suy ra hệ thống điều khiển được và quan sát được.
Hàm chỉ tiêu chất lượng
Mục tiêu điều khiển là tìm vector điều khiển tối ưu K thoả mãn chỉ tiêu chất lượng J đạt cực tiểu:
66266\* MERGEFORMAT (.) Lúc này ta có các ma trận trọng số như sau:
Với các thông số Q Q Q Q Q Q R R 1 , , , , , , , 2 3 4 5 6 1 2 để tinh chỉnh cho bộ điều khiển.
Trong đó, thông số Q Q Q Q Q Q 1 , 2 , , 3 4 , , 5 6 lần lượt là các trọng số tối ưu cho các giá trị góc trung bình của bánh trái và bánh phải , vận tốc góc trung bình của bánh trái và bánh phải , góc nghiêng của robot , vận tốc góc nghiêng của robot , góc xoay của robot , vận tốc góc xoay của robot và thông số R R 1 , 2 là trọng số tối ưu cho tín hiệu điều khiển cho bánh trái v l và tín hiệu điều khiển cho bánh phải v r Nếu muốn biến trạng thái nào được ưu tiên trong việc điều khiển thì ta cho thông số trọng số tương ứng đó lớn hơn tương đối so với các trọng số còn lại trong hai ma trận Q và R
Sau khi chọn được thông số điều khiển tương ứng thì ta tiến hành xây dựng thông số hồi tiếp K với tín hiệu điều khiển u Kx t ( ) Thông số K được tính dựa vào phương trình đại số 242.
Thuật toán tính xung băm PWM mỗi bánh với giải thuật LQR và điều khiển động cơ
Hình 3.8 Lưu đồ thuật toán tính xung băm PWM mỗi bánh với giải thuật LQR Thuật toán tính xung băm PWM mỗi bánh:
Từ ma trận K tính toán được ở chương cơ sở lý thuyết, ma trận K sẽ có dạng:
Và tín hiệu điều khiển: l r u v v
70270\* MERGEFORMAT (.) Theo giải thuật LQR thì tín hiệu điều khiển cấp cho động cơ là:
( ) u Kx t 71271\* MERGEFORMAT (.) Suy ra tín hiệu điều khiển cho bánh trái và bánh phải lần lượt là:
Từ tín hiệu điều khiển, chuẩn hoá và giới hạn giá trị xung băm PWM: khi động cơ nghiêng 1 góc là 15 độ thì sẽ băm xung tối đa (tuỳ theo tần số băm xung cầu H sẽ có một mức giới hạn riêng).
Thuật toán điều khiển động cơ được thể hiện rõ trong lưu đồ:
Hình 3.9 Lưu đồ thuật toán điều khiển động cơ
MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ
Mô phỏng các trường hợp của hệ xe hai bánh tự cân bằng
Sơ đồ mô phỏng hệ thống trên MATLAB Simulink và mô phỏng hệ thống với thông số mô hình như sau:
Kí hiệu - [đơn vị] Giá trị
Bảng 3.2 Thông số mô hình Sau khi tuyến tính hoá hệ thống ta được hệ phương trình trạng thái dạng x Ax B với:
Xây dựng khối mô tả hệ thống với tham số mô hình như trên trong
Hình 3.10 Khối Two-wheeled Self Balancing Robot trong MATLAB
Trường hợp 1: Khi không điều khiển và hệ thống chịu tác động của nhiễu:
Hình 4.11 Sơ đồ mô phỏng hệ thống trong trường hợp 1
Trường hợp 2: Khi sử dụng bộ điều khiển LQR và hệ thống không chịu tác động của nhiễu:
Hình 4.12 Sơ đồ mô phỏng hệ thống trong trường hợp 2 Trường hợp 3: Khi sử dụng bộ điều khiển LQR và hệ thống chịu tác động của nhiễu:
Hình 4.13 Sơ đồ mô phỏng hệ thống trong trường hợp 3Trường hợp 4: Khi sử dụng bộ điều khiển LQR kết hợp với bộ lọcKalman để lọc nhiễu cho hệ thống:
Hình 4.14 Sơ đồ mô phỏng hệ thống trong trường hợp 4
Kết quả mô phỏng
Sơ đồ mô phỏng và thông số mô hình đã được nêu trên.
Tùy theo tỷ lệ tương đối giữa hai hệ số Q và R, hệ thống sẽ có đáp ứng quá độ và tiêu tốn năng lượng khác nhau Sau quá trình mô phỏng và điều chỉnh hệ thống để đảm bảo chất lượng vận hành, trọng số ma trận Q và R phù hợp với hệ thống đã được xác định.
Ma trận điều khiển toàn phương tuyến tính K tính toán được từ ma trận Q và R:
Lựa chọn ma trận QN và RN của hệ thống khi có nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường:
Giả sử các giá trị ban đầu của hệ thống là:
- Góc tới trung bình của hai bánh: 0.01.
- Vận tốc góc tới trung bình của hai bánh: 0.01.
- Vận tốc góc nghiêng của xe: 0.01.
- Vận tốc góc xoay của xe: 0.01
Trường hợp 1: Khi không điều khiển và hệ thống chịu tác động của nhiễu với thời gian mô phỏng 1s
Theo Hình 4.15, khi không có tín hiệu điều khiển cho hai bánh xe, xe sẽ mất cân bằng và ngã Để điều khiển xe di chuyển hay cân bằng, cần thiết lập mô hình toán học phù hợp cho hệ thống, ứng dụng các kỹ thuật điều khiển như vi tích phân tỉ lệ (PID), điều khiển mờ (Fuzzy Logic Controller), toàn phương tuyến tính (LQR).
Trường hợp 2: Khi sử dụng bộ điều khiển LQR và hệ thống không chịu tác động của nhiễu
Hình 4.16 Đáp ứng của góc tới, góc nghiêng, góc xoay của xe trong trường hợp 2
Hình 4.17 Tín hiệu điều khiển của xe trong trường hợp 2 Nhận xét: Trong trường hợp chưa có nhiễu tác động vào hệ thống thì chất lượng hệ thống đáp ứng tương đối tốt, các biến trạng thái của xe cân bằng tại 0, không có sai số xác lập, thời gian đạt xác lập nhanh, có xuất hiện vọt lố Tuy nhiên mục đích vọt lố để xe có thể đạt được trạng thái cân bằng nhanh hơn.
Trường hợp 3: Khi sử dụng bộ điều khiển LQR và hệ thống chịu tác động của nhiễu
Hình 4.18 Đáp ứng của góc tới, góc nghiêng, góc xoay của xe trong trường hợp 3
Hình 4.19 Tín hiệu điều khiển của xe trong trường hợp 3 Nhận xét: Khi có nhiễu tác động vào hệ thống thì chất lượng điều khiển của hệ thống bị ảnh hưởng đáng kể, tín hiệu điều khiển dao động với tần số cao Nếu trong thời gian dài có thể gây hư hỏng động cơ Đây cũng là nhược điểm của bộ điều khiển LQR khi hệ thống chịu tác động của nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường từ cảm biến.
Qua khảo sát bộ điều khiển LQR trong hai trường hợp trên, thì cho thấy được rằng trọng số ma trận Q ảnh hưởng tới chất lượng hệ thống Khi tăng trọng số ma trận
Tín hiệu ra tốt hơn, thời gian xác lập giảm đáng kể nhờ Q Trọng số R tác động đến tín hiệu điều khiển, giảm trọng số R sẽ làm tăng tín hiệu điều khiển, giúp xe cân bằng nhanh hơn.
Trường hợp 4: Khi sử dụng bộ điều khiển LQR kết hợp với bộ lọc Kalman để ước lượng trạng thái và lọc nhiễu cho hệ thống
Hình 4.20 Đáp ứng của góc tới, góc nghiêng, góc xoay của xe khi chịu tác động của nhiễu trong trường hợp 4
Hình 4.21 Đáp ứng của góc tới, góc nghiêng, góc xoay của xe sau khi qua bộ lọc
Bộ lọc Kalman đóng vai trò quan trọng trong việc giảm nhiễu từ hệ thống và cảm biến, mang lại tín hiệu điều khiển ổn định và mượt mà hơn Quá trình ước lượng trạng thái của hệ thống và lọc nhiễu giúp cải thiện hiệu suất hệ thống, giảm dao động và tăng độ ổn định, tạo ra động cơ hoạt động mượt mà hơn.
CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT
Kết luận
Qua quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài nhóm xin tổng hợp lại những thành quả đã đạt được:
- Tính toán mô hình toán học, hàm trạng thái cho hệ thống.
- Thực hiện mô phỏng hệ thống thành công trên MATLAB Simulink.
- Khá thành công trong thiết kế bộ điều khiển LQR cho xe 2 bánh tự cân bằng.Tuy vậy do thời gian thực hiện có hạn nên đề tài vẫn còn nhiều hạn chế.
Hướng phát triển
Qua các hạn chế được nêu ở trên, nhóm xin đề xuất một số hướng phát triển trong tương lai của hệ xe hai bánh tự cân bằng như sau:
- Khảo sát và xây dựng hoàn chỉnh đặc tính động học của mô hình đối tượng trong những điều kiện về địa hình khác nhau.
- Xây dựng giải thuật thông minh để nhận dạng những thông số chưa mô hình hoá được như đã đề cập ở trên.
- Kết hợp xe 2 bánh tự cân bằng dùng LQR và các bộ điều khiển thông minh.
- Mô hình này là tiền đề để phát triển thành xe hai bánh tự cân bằng có thể chở được người hay đồ vật linh hoạt hơn trong việc di chuyển với tải trọng lớn.
