phân tích ảnh hưởng của tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ đến ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

TÊN ĐỀ TÀI Tiếng Việt: Phân tích tấm ảnh hưởng của tải trọng di động điều hoà và nhiệt độ đến ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp phần tử chuyển đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -

NGUYỄN HOÀNG NHÂN

PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG ĐIỀU HOÀ VÀ NHIỆT ĐỘ ĐẾN ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN CÓ ĐỘ CỨNG BIẾN THIÊN SỬ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

2 Thư ký Hội đồng: TS Bùi Đức Vinh

3 Ủy viên Hội đồng: PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu

4 Cán bộ phản biện 1: TS Khổng Trọng Toàn

5 Cán bộ phản biện 2: TS Thái Sơn

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN HOÀNG NHÂN MSHV: 2170809 Ngày, tháng, năm sinh: 09/06/1998 Nơi sinh: Gia Lai

I TÊN ĐỀ TÀI (Tiếng Việt): Phân tích tấm ảnh hưởng của tải trọng di động điều hoà và nhiệt độ đến ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

TÊN ĐỀ TÀI (Tiếng Anh): Effects of the dynamic harmonically loads and thermals to the dynamic behavior of multilayer plates on the varying stiffness foundation by using moving element method

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) để phân tích tấm ảnh hưởng của tải trọng di động điều hoà và nhiệt độ đến ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên

2 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập công thức tính toán các ví dụ số 3 Kết quả của các ví dụ số sẽ đưa ra các kết luận về ứng xử của tấm nhiều lớp dưới tác dụng của tải trọng di động điều hoà và nhiệt độ cũng như độ tin cậy của phương pháp phần tử chuyển động MEM

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/09/2023 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 27/12/2023

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Lương Văn Hải

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

PGS.TS Lương Văn Hải

KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

LỜI CẢM ƠN

Với mong muốn có thêm kiến thức cho bản thân và bằng cấp phục vụ cho công việc trong tương lai, sau khi tốt nghiệp đại học Bách Khoa ĐHQG TP.HCM Tác giả đã đăng ký tham gia chương trình đào tạo thạc sĩ của trường, trải qua nhiều môn học bổ ích, để có thể đủ điều kiện thực hiện đề cương luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Trong quá trình học tập và trong khoảng thời gian làm đề cương luận văn thạc sĩ tác giả đã được sự giúp đỡ và chỉ dẫn nhiệt tình từ các thầy các cô trường Đại học Bách Khoa và Khoa Kỹ thuật Xây dựng, đã tiếp cho tác giả rất nhiều động lực để có thể hoàn thành chương trình học, hoàn thành đúng hạn và đầy đủ nhiệm vụ được giao Từ đó tác giả muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Lương Văn Hải Thầy đã đưa ra những định hướng để hình thành nên ý tưởng của đề tài, cũng như các phương pháp giải quyết các vấn đề quan trọng trong quá trình nghiên cứu

Đề cương luận văn đã hoàn thành trong thời gian quy định, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được quý Thầy Cô góp ý và chỉ dẫn thêm để có thể bổ sung thêm kiến thức và hoàn thiện đề tài luận văn vào kỳ tới

Xin trân trọng cảm ơn!

Tp HCM, ngày tháng năm 2024

Nguyễn Hoàng Nhân

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trong hoàn cảnh đời sống con người không ngừng tiến bộ, nhu cầu vận chuyển, trao đổi hàng hóa ngày càng tăng do đó hệ thống đường giao thông trong đó đường bộ được sự quan tâm nghiên cứu rất lớn tới từ các nhà khoa học trên thế giới cũng như trong nước Hiện nay các hệ thống đường bộ hiện đại với đã được xây dựng ở rất nhiều nước, kể cả ở Việt Nam

Các nghiên cứu trước đây chỉ tập trung vào yếu tố tải trọng, cũng như vật liệu của mặt đường, tuy nhiên trong tình cảnh khí hậu thế giới đang thay đổi phức tạp, nhiệt độ cũng sẽ là một yếu tố góp phần làm thay đổi ứng xử của mặt đường Bên cạnh đó cấu tạo nhiều lớp của mặt đường cùng thường được bỏ qua để đơn giản hóa quy trình tính toán Phần nền đàn hồi cũng thường được đơn giản hóa thành chỉ có một độ cứng xuyên suốt Trong thực tế thì mặt đường thường được cấu tạo bởi rất nhiều lớp vật liệu, nên việc mô phỏng chính xác kết cấu nhiều lớp của vật liệu sẽ tăng tính chính xác rất nhiều

Trong luận văn này sẽ tập trung phân tích ứng xử của tấm vật liệu nhiều lớp chịu đồng thời tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM - Moving Element Method) trên nền có độ cứng biến thiên (nền có độ cứng biến thiên) Luận văn sẽ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) với nhiều ưu điểm hơn phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM - Finite Element Method), khi đó các phần tử tấm sẽ được xem như di chuyển và tải trọng sẽ được xem là đứng yên trên nền đàn hồi có độ cứng biến thiên, bên cạnh đó có thể xem xét tác động của nhiệt độ lên kết cấu tấm Các kết quả phân tích sẽ được triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của tấm nhiều lớp

Luận văn được hy vọng sẽ góp phần nào đó trong nghiên cứu về ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp, qua đó đóng góp cho các công việc thiết kế, thi công và bảo trì các công trình trong thực tế

ABSTRACT

In the context of ongoing progress in human life, the demand for transportation and the exchange of goods is increasing Therefore, transportation infrastructure, particularly road systems, receives significant attention and research from scientists worldwide as well as domestically Currently, modern road systems have been built in many countries, including Vietnam

Previous studies mainly focused on load factors and road surface materials However, amidst the complex changes in global climate, temperature becomes a contributing factor influencing road behavior Additionally, the multi-layered structure of road surfaces is often simplified in calculation processes, with the subgrade commonly simplified to uniform stiffness In reality, road surfaces are composed of numerous material layers, thus accurately simulating the multi-layered structure will significantly enhance precision

This thesis concentrates on analyzing the behavior of multi-layered materials under simultaneous dynamic loading, temperature variation, utilizing the Moving Element Method (MEM) on a variable stiffness foundation MEM offers several advantages over the traditional Finite Element Method (FEM), as it considers plate elements as moving while loads are viewed as stationary on a variable stiffness foundation, allowing for the examination of temperature effects on plate structures The analysis results aim to understand the influence of critical factors on the behavior of multi-layered plates

This thesis is hoped that will contribute to the study of the dynamic behavior of multi-layered plates, thereby assisting in real-world design, construction, and maintenance projects

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày tháng năm 2024

Nguyễn Hoàng Nhân

1.1 Giới thiệu chung 1

1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 2

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước 2

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước 4

1.2.3 Tính cấp thiết của đề tài 5

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 5

1.4 Cấu trúc luận văn 5

CHƯƠNG 2 7

2.1 Mô tả bài toán 7

2.2 Lý thuyết tấm 9

2.2.1 Giới thiệu tổng quát 9

2.2.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị 11

2.2.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng 13

2.2.4 Phương trình năng lượng của tấm 16

2.2.5 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng xử tấm Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động 17

2.2.6 Hiện tượng “Shear locking” 22

2.3 Bài toán tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển 24

2.4 Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di động 30

2.4.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số 30

2.4.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đẳng tham số Q9 30

2.4.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss 34

2.4.4 Hệ tọa độ chuyển động và các mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động và hệ tọa độ cố định trong phương pháp MEM 35

2.5 Bài toán tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động 38

2.6 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng xử động tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển 46

2.7 Phương pháp số Newmark 51

2.8 Lưu đồ thuật toán 53

CHƯƠNG 3 54

3.1 Các thông số đầu vào 54

3.2 Các bài toán thực hiện 56

3.3 Kiểm chứng chương trình Matlab 57

3.3.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Bài toán kiểm chứng) 57

3.3.2 Bài toán 2: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động (Bài toán kiểm chứng) 59

biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi nhiệt độ thay đổi 62 3.3.4 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi tần số góc omega và nhiệt độ thay đổi đồng thời 68 3.3.5 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số n của đất nền thay đổi 72 3.3.6 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số ∝ của đất nền thay đổi 74 3.3.7 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi độ cứng 𝑘𝑤𝑓0 của đất nền thay đổi 76 3.3.8 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số cản 𝑐𝑓0 của đất nền thay đổi 77 3.3.9 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi chiều dày của tấm thay đổi 79 3.3.10 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi độ lớn của lực 𝑃0 thay đổi 82 CHƯƠNG 4 85 4.1 Kết luận 85

4.2 Kiến nghị 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….……….87

PHỤ LỤC……….……….……….91

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG….……….101

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.2 Mặt cắt nền đường nhiều lớp khác nhau 2

Hình 2.1 Mô hình tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng của tải di động và nhiệt độ 7

Hình 2.2 Tải trọng điều hòa 8

Hình 2.3 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff 10

Hình 2.4 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin 12

Hình 2.5 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay βx, βy của tấm Mindlin 12

Hình 2.6 Phân bố nhiệt độ tuyến tính theo chiều dày tấm (Tt > Tb) 18

Hình 2.7 Biến dạng của tấm chữ nhật không liên kết dưới tác động của phổ nhiệt độ 18

Hình 2.8 Mô hình nền Winkler (a) và Pasternak (b) 23

Hình 2.9 Mô hình nền có độ cứng biến thiên 23

Hình 2.10 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ địa phương 31

Hình 2.11 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên 31

Hình 2.12 Phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp gồm 90 bậc tự do 39

Hình 2.13 Lưu đồ tính toán 53

Hình 3.1 Chuyển vị lớn nhất khi chịu tác dụng của tải trọng 59

Hình 3.2 Chuyển vị của tấm trên dọc theo phương x 61

Hình 3.3 Chuyển vị của tấm dưới dọc theo phương x 61

Hình 3.4 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 64

Hình 3.5 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 64

Hình 3.6 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi 65

Hình 3.7 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi 65 Hình 3.8 Chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tấm trên thay đổi 66

Hình 3.9 Chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tấm trên thay đổi 66

Hình 3.10 Chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tấm dưới thay đổi 67

Hình 3.11 Chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tấm dưới thay đổi 67

Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi thay đổi nhiệt độ tấm trên ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi 69

Hình 3.13 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi thay đổi nhiệt độ tấm trên ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi 69

Hình 3.14 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi thay đổi nhiệt độ tấm dưới ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi 70

Hình 3.15 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi thay đổi nhiệt độ tấm dưới ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi 70

Hình 3.16 Chuyển vị của tấm trên khi tần số góc 𝜔̅ thay đổi 71

Hình 3.17 Chuyển vị của tấm dưới khi tần số góc 𝜔̅ thay đổi 71

Hình 3.18 Chuyển vị của tấm trên khi hệ số n của đất nền thay đổi 73

Hình 3.19 Chuyển vị của tấm dưới khi hệ số n của đất nền thay đổi 73

Hình 3.20 Chuyển vị của tấm trên khi hệ số ∝ của đất nền thay đổi 74

Hình 3.21 Chuyển vị của tấm dưới khi hệ số ∝ của đất nền thay đổi 75

Hình 3.22 Chuyển vị của tấm trên khi hệ số 𝑘𝑤𝑓0 của đất nền thay đổi 76

Hình 3.23 Chuyển vị của tấm dưới khi hệ số 𝑘𝑤𝑓0 của đất nền thay đổi 77

Hình 3.24 Chuyển vị của tấm trên khi hệ số 𝑐𝑓0 của đất nền thay đổi 78

Hình 3.25 Chuyển vị của tấm dưới khi hệ số 𝑐𝑓0 của đất nền thay đổi 78

Hình 3.26 Chuyển vị của tấm trên khi chiều dày ℎ𝑡 của tấm trên thay đổi 80

Hình 3.27 Chuyển vị của tấm dưới khi chiều dày ℎ𝑡 của tấm trên thay đổi 80

Hình 3.28 Chuyển vị của tấm trên khi chiều dày ℎ𝑏 của tấm dưới thay đổi 81

Hình 3.29 Chuyển vị của tấm dưới khi chiều dày ℎ𝑏 của tấm dưới thay đổi 81

Hình 3.30 Chuyển vị của tấm trên khi độ lớn lực 𝑃0 thay đổi 83

Hình 3.31 Chuyển vị của tấm dưới khi độ lớn lực 𝑃0 thay đổi 83

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss 34

Bảng 3.1 Thông số của tấm bên trên 54

Bảng 3.2 Thông số của tấm bên dưới 55

Bảng 3.3 Thông số liên kết giữa hai tấm 55

Bảng 3.4 Thông số nền có độ cứng biến thiên 55

Bảng 3.5 Thông số các loại tải trọng 55

Bảng 3.6 Thông số của tấm bên trên 57

Bảng 3.7 Thông số của tấm bên dưới 57

Bảng 3.8 Thông số liên kết giữa hai tấm 57

Bảng 3.9 Thông số nền 58

Bảng 3.10 Thông số các loại tải trọng 58

Bảng 3.11 Thông số của tấm bên trên 59

Bảng 3.12 Thông số của tấm bên dưới 60

Bảng 3.13 Thông số liên kết giữa hai tấm 60

Bảng 3.14 Thông số nền 60

Bảng 3.15 Thông số các loại tải trọng 60

Bảng 3.16 Thông số của tấm bên trên 62

Bảng 3.17 Thông số của tấm bên dưới 62

Bảng 3.18 Thông số liên kết giữa hai tấm 63

Bảng 3.19 Thông số nền có độ cứng biến thiên 63

Bảng 3.20 Thông số các loại tải trọng 63

DOF Bậc tự do (Degree of Freedom)

HSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-Order Shear Deformation Theory) FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-Order Shear Deformation Theory) Ma trận và vectơ

u Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của kết cấu tấm

Peff Ma trận tải trọng hiệu dụng

Keff Ma trận độ cứng hiệu dụng Ký hiệu

L Chiều dài tấm theo phương x

B Chiều dài tấm theo phương y

E Module đàn hồi của vật liệu 𝛼 Hệ số giãn nở nhiệt

𝛽xGóc xoay của mặt trung hòa tấm quanh trục y

𝛽yGóc xoay của mặt trung hòa tấm quanh trục x

CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu chung

Trong hoàn cảnh ngành xây dựng cần phải phát triển để đáp ứng nhu cầu của xã hội về nhiều mặt, trong đó có mặt giao thông đường bộ, để có thể xây dựng các công trình giao thông đường bộ một cách hiệu quả hơn, tiết kiệm hơn cũng như an toàn hơn, các tính toán đòi hỏi độ tin cậy cao hơn, do đó việc nghiên cứu các mô hình tính chính xác hơn là một nhu cầu cấp thiết Hiện nay có rất nhiều nghiên cứu về bài toán kết cấu tấm khác nhau, loại tấm được nghiên cứu và thành phần tải tác dụng lên chúng cũng rất đa dạng

Hình 1.1 Mô hình tải trọng di động và phần tử tấm cố định (FEM)

Những nghiên cứu trước đây phần lớn thường mô hình nền đường như là một tấm đồng nhất đặt trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển, sau đó sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM) (Hình 1.1) Thực tế kết cấu của nền đường được cấu tạo từ nhiều lớp đặt trên nền đất (Hình 1.2), các lớp này có sự tương tác với nhau, dẫn đến mô hìnhphần tử hữu hạn được yêu cầu có khả năng mô phỏng tương tác này và tính toán chính xác các lực tương tác giữa các lớp Ngoài ra với tải trọng di chuyển trên tấm, khi tải trọng di chuyển, phương pháp FEM sẽ gặp khó khăn khi tải trọng di chuyển đến vùng biên của tấm, vì mô hình tính toán là hữu hạn

Hình 2.1 Mặt cắt nền đường nhiều lớp khác nhau

Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) được cho là sẽ giúp giải quyết vấn đề của phương pháp FEM bằng cách mô hình kết cấu có chiều dài đủ lớn, sẽ được nghiên cứu và trình bày trong luận văn

1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Bài toán phân tích ứng xử của tấm cũng được nghiên cứu từ rất lâu XiangSheng [1] đã phân tích ứng xử động của kết cấu tấm mỏng các mặt tựa đơn trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di chuyển với vận tốc không đổi Sun [2] đã xây dựng lời giải giải tích cho tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải điều hòa bằng chuỗi Fourier Kim [3] đã phân tích mất ổn định và dao động của tấm mỏng trên nền đàn nhớt Winkler dưới tác dụng của tải trọng động bằng phương pháp biến đổi Double Fourier Transform Nghiên cứu phân tích ảnh hưởng của các thông số như vận tốc tải di chuyển, tần số, hệ số cản, hình dạng cũng như chuyển vị lớn nhất và xét đến ảnh hưởng của nén bề mặt tác động đến ổn định và dao động của kết cấu Tiếp theo đó, Kim và Rosset [4] đã nghiên cứu đến trạng thái ứng xử của một tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đổi Xiang và cộng sự [5] đã thực hiện phân tích dao động của tấm dày Mindlin biên tựa đơn trên nền có độ cứng biến thiên Nghiên cứu còn được ứng dụng trên nền Winkler khi giả thuyết ảnh hưởng biến dạng của lớp cắt bằng không Liew và cộng sự [6] đã giải quyết bài

toán tấm Mindlin trên nền Winkler bằng phương pháp DQM (Differential Quadrature Method) với điều kiện biên tựa đơn, tự do và ngàm Sau đó, Al-Hosani và cộng sự [7] đã phân tích tấm dày với hình dáng bất kỳ trên nền Winkler sử dụng bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier and Hankel Tiếp đó, Huang và Thambiratnam [8] đã sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích ứng xử của kết cấu tấm trên nền đàn hồi Xing và Liu [9] đã trình bày phương pháp giải quyết bài toán dao động của tấm chữ nhật Mindlin Lời giải của bài toán rất hữu ích cho việc thiết kế các thông số ban đầu cũng như phân tích nó trong thực tiễn Li và cộng sự [10] đã phân tích ứng xử động của tấm chữ nhật nền đàn nhớt dưới tác dụng vận tốc vật di chuyển thay đổi Trong các bài báo này các tác giả tập trung vào các yếu tố khác biệt trong trường hợp áp dụng tấm dày, dùng lý thuyết tấm dày Mindlin có kể đến biến dạng trượt, thực hiện so sánh với lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff

Để khắc phục những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di động, Koh và cộng sự [11] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Nghiên cứu này đã cho thấy rằng MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động lực học khi vận tốc biến đổi cũng như thay đổi các điểm tương tác so với phương pháp truyền thống FEM Sau đó, Koh và cộng sự [12] đã khảo sát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi sử dụng phương pháp MEM Tiếp đến, Ang và cộng sự [13] đã sử dụng MEM để khảo sát đến dao động của đường trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc và hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc [14] Sau đó, Thi và cộng sự [15] đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số Lei và Wang [16] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường ray, dựa trên phần tử xe và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Gần đây, Xu và cộng sự [17] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2D chuyển động

Ở Việt Nam, trong những năm gần đây, việc ứng dụng phương pháp MEM vào phân tích ứng xử của tấm ngày càng nhiều và đạt được nhiều kết quả đáng tin cậy Nguyễn [18] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt có xét đến khối lượng của vật chuyển động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM Nghiên cứu này đã lựa chọn được mô hình tính toán cụ thể để mô phỏng cho bài toán thực tế và biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm Mindlin Nguyễn và cộng sự [19] đã phân tích động lực học của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt biến thiên chịu khối lượng di động sử dụng phương pháp FEM Cao và cộng sự [20] đã phân tích ứng xử của tấm dày Mindlin trên nền Pastenak chịu tác dụng của tải trọng di chuyển Cao và cộng sự [21] đã phân tích ứng xử động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Cao và cộng sự [22] đã xây dựng phương pháp tấm chiều lớp chuyển động cho bài toán phân tích ứng xử của tấm trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển Cao và cộng sự [22] đã phát triển phương pháp MEM từ mô hình 1D tàu cao tốc cho mô hình 3D tàu cao tốc Lương và cộng sự [23] đã phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM Cao và cộng sự [24] đã sử dụng phương pháp MEM để phân tích động học tấm composite trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển Và gần đây nhất, Lương và cộng sự [25] đã phân tích ứng xử động của tấm biến đổi chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng điều hòa di chuyển

Một số luận văn Cao học Ngành Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh cũng đã giải quyết một số bài toán tải trọng chuyển động đối với dầm và tấm

Đỗ Duy Minh [26] đã phân tích động lực học kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM (Multi-Layer Plate Moving Methode) Nhi [27] đã phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử 2-D chuyển động Kiều [28] đã phân tích ứng xử động kết cấu dầm trên nền hai thông số chịu tải trọng động có xét đến ảnh hưởng của lực dọc Quí

[29] đã phân tích động lực học tấm chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không đều sử dụng phương pháp MEM cải tiến Phú [30] đã phân tích ứng xử kết cấu tấm nổi chịu tải trọng di động biến thiên tuần hoàn theo thời gian sử dụng phương pháp BEM-MEM

1.2.3 Tính cấp thiết của đề tài

Với tính ứng dụng rộng rãi của mô hình tấm, đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm Có nhiều đề tài đã phân tích và nghiên cứu tấm sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM), với đa dạng về các kết cấu tấm khác nhau, cũng như thành phần tải trọng tác dụng lên kết cấu Tuy nhiên, nghiên cứu về tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ chưa được thực hiện Vì vậy, luận văn sẽ thực hiện đề tài phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ trên nền có độ cứng biến thiên

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn nhằm phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ trên nền có độ cứng biến thiên bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM Để hoàn thành được mục tiêu đề ra phía trên cần thực hiện các bước sau:

• Thiết lập mô hình tấm nhiều lớp, thành lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản

• Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ Matlab để lập trình, xây dựng phương trình tính toán, giải phương trình tổng thể và phân tích kết quả

• Phân tích và đối chiếu các kết quả thu được với các kết quả của các bài báo của các tác giả trước đây để xác định được độ tin cậy và tính tối ưu

• Thay đổi các thông số của bài toán để khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng đến ứng xử động của bài toán, từ đó đưa ra kết luận

1.4 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM

Chương 3: Đưa ra một số ví dụ bài toán số Chương 4: Kết luận và kiến nghị

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong chương 3

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Mô tả bài toán

Trong luận văn này, ứng xử động học của tấm nhiều lớp gồm hai lớp có kích thước

giống nhau chiều dài L, chiều rộng B, tấm bên trên có chiều dày h và tấm bên dưới có t

chiều dày h được đặt trên nền đất hệ số độ cứng nền biến thiên kbwf (x), hệ số kháng cắt

ksf (x) và hệ số độ cản nền biến thiên cf (x), chịu tác dụng của tải trọng P di chuyển dọc

theo phương x qua tâm tấm, tác động của nhiệt độ lên tấm được thể hiện thông qua hàm

T(z) Hệ trục tọa độ O x y z ,ttt tO x y z của tấm bên trên và tấm bên dưới được chọn sao b bb b

cho mặt phẳng tọa độ O x y z ,ttt tO x y z trùng với mặt trung hòa của từng tấm và mô hình b bb b

từng tấm có miền hình học 2,

   với trục z z vuông góc với mặt phẳng tấm Gọi t, b

0t, 0t, 0t

uvw và u0b,v0b,w lần lượt là các chuyển vị theo phương x, y, z của một điểm ở mặt 0b

trung hòa của tấm bên trên và tấm bên dưới Ký hiệu   và xt, yt   lần lượt là các góc xb, ybxoay của phương pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục O y O x và tt, ttO y O x bb, b b

Hình 2.1 Mô hình tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng của tải di động và nhiệt độ

Tải trọng tác động lên tấm được khảo sát trong luận văn là tải trọng điều hòa Tải trọng điều hòa là tải trọng mà sự biến thiên theo thời gian của nó sẽ lặp lại sau một khoảng

thời gian T, và sự lặp lại này là giống nhau

Hình 2.2 mô tả sự thay đổi của độ lớn lực P theo hàm sin Độ lớn của tải trọng phụ thuộc vào phương trình:

Hình 2.2 Tải trọng điều hòa

Tấm nền bên dưới tấm nhiều lớp được xét trong luận văn sẽ là nền có độ cứng biến

thiên Mô hình nền gồm các lò xo đàn hồi có độ cứng kf và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số cf

phân bố trên bề mặt diện tích tấm:

Sự thay đổi đặc tính độ cứng nền dọc theo phương chiều dài của tấm theo quy luật như sau [31]:

𝑘𝑤𝑓(𝑥) = 𝑘𝑤0[1−∝ (𝑥𝐿)

trong đó:

𝑥 – tọa độ tổng thể tâm phần tử tấm; 𝑘𝑤𝑓 – độ cứng nền;

𝑘𝑤0 – hằng số của độ cứng nền;

∝ – là hệ số tương quan với 0 ≤∝≤ 1; 𝑛 – là giá trị hàm mũ 𝑛 > 0

Tương tự, sự thay đổi đặc tính độ kháng cắt và hệ số cản nền dọc theo phương chiều dài của tấm theo quy luật như sau:

𝑘𝑠𝑓(𝑥) = 𝑘𝑠0[1−∝ (𝑥𝐿)

𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐𝑓0[1−∝ (𝑥𝐿)

trong đó:

𝑘𝑠𝑓 – độ kháng cắt nền; 𝑐𝑓 – hệ số cản nền;

2.2 Lý thuyết tấm

2.2.1 Giới thiệu tổng quát

Theo bản chất của trạng thái ứng suất thì tấm có thể được phân làm ba loại sau: - Tấm dày (Tấm Reissner-Mindlin): là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn ℎ

- Tấm mỏng (Tấm Kirchhoff): là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất uốn khi biến dạng do tải trọng ngang Loại này gồm các tấm có tỉ lệ giữa chiều dày và kích thước cạnh ngắn1

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Tính đơn giản được thể hiện bằng các giả thiết được cho như sau:

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) khi biến dạng và độ dài của chúng là không đổi Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang (𝛾𝑦𝑧 = 𝛾𝑥𝑧 = 0)

- Khi tấm chịu uốn mặt trung bình không chịu kéo, nén hay trượt - Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Tuy nhiên, khi tỉ số ℎ

𝐵 (với B là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) không đủ nhỏ thì sự bỏ qua các biến dạng này sẽ dẫn đến kết quả không chính xác

Hình 2.3 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff

E Reissner [32] công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol qua chiều dày tấm Sau đó R.D Mindlin [33] đã đưa ra lý thuyết có kể đến ảnh hưởng của quán tính xoay và biến dạng trượt trong dao động của tấm đàn hồi đẳng hướng và hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong

y,v

x,u βx

w(x,y) w,x

w,x

γxz=0

Mặt trung bình

suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này lại vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng 0 tại biên tự do của tấm Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Lý thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng của lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung bình Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin được cho trong:

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

- Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo và nén - Bỏ qua ứng suất pháp z

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra

2.2.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị

Xét tấm nhiều lớp, mỗi lớp là tấm dày Mindlin được đặt trên nền có độ cứng biến thiên với chiều dài L, chiều rộng B, chiều dày h và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E, trọng lượng riêng , hệ số Poison  được thể hiện trong Hình 2.4 Trong đó, thành phần đàn hồi và thành phần đàn nhớt của nền được mô hình bởi các lò xo và các cản nhớt đặt trên bề mặt tấm, lần lượt được đặc trưng bởi các hệ số kf và cf

Hình 2.4 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin Với giả thiết tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyzđược chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung

  và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Mindlin, với w là độ võng tấm,   lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa x, yquanh trục Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương cho ở Hình 2.5,  là mặt trung hòa của tấm Các thành phần u, vvà w tương ứng là chuyển vị theo

phương x, y và z; w là chuyển vị tại mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng: 0

w(x,y)w,x

x,u Pz

βy

Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin được tạo bởi:

Và, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u , v và w được biểu diễn như sau:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0(𝑥, 𝑦) + 𝑧𝛽𝑥(𝑥, 𝑦)𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0(𝑥, 𝑦) + 𝑧𝛽𝑦(𝑥, 𝑦)𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤0(𝑥, 𝑦)

2.2.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm:

hay công thức (2.8) được viết cách khác:

,x,

   

(2.16)

Biểu thức của biến dạng cắt được viết lại:

1 00 1

 = là hệ số hiệu chỉnh cắt, G là module đàn hồi trượt

2.2.4 Phương trình năng lượng của tấm

Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:

Tav, tấm vẫn phẳng, tuy nhiên, nếu tấm không bị liên kết chịu sự chênh lệch nhiệt độ ΔT

giữa mặt trên và dưới, tấm sẽ giả định bị vồng lên như Hình 2.7 Khi một tấm tự do được làm nóng hoặc làm lạnh đồng đều, sẽ không có xuất hiện ứng suất pháp, chỉ có biến dạng theo phương vuông góc Tuy nhiên, nếu sự giãn nở hoặc các góc xoay bị hạn chế bởi điều kiện biên hoặc các lực thích hợp khác, ứng suất nhiệt sẽ xảy ra trong tấm Một nguyên nhân khác gây ra ứng suất nhiệt là sự thay đổi nhiệt độ không đồng đều Trong trường hợp đó, các lớp khác nhau có xu hướng giãn nở hoặc co lại nhưng do hạn chế của tính liên tục ngăn cản sự di chuyển tự do của chúng tương ứng với sự phân bố nhiệt độ theo chiều dày tấm, do đó tạo ra sự tự cân bằng ứng suất nhiệt

Hình 2.6 Phân bố nhiệt độ tuyến tính theo chiều dày tấm (Tt > Tb)

Hình 2.7 Biến dạng của tấm chữ nhật không liên kết dưới tác động của phổ nhiệt độ Sự co giãn của tấm xảy ra tỷ lệ thuận với sự thay đổi nhiệt độ, đối với hầu hết các loại vật liệu tấm Trong một phạm vi nhiệt độ nhất định, các mối quan hệ tuyến tính như vậy được thể hiện bằng hệ số giãn nở nhiệt αT, thể hiện sự thay đổi một đơn vị chiều dài khi

nhiệt độ tăng hoặc giảm T = 1°C Ứng suất được sinh ra do biến đổi nhiệt độ được gọi là

ứng suất nhiệt độ Như đã đề cập ở trên, ứng suất nhiệt σT trong tấm thường có khi các chuyển động bởi sự thay đổi nhiệt độ bị hạn chế; ngược lại chúng chỉ xuất hiện các biến

(2.26)

Sự thay đổi nhiệt độ không ảnh hưởng đến thành phần biến dạng cắt Giá trị của thành phần T(z) trong (2.22), giả thiết phổ nhiệt độ thay đổi tuyến tính, có thể được xác định bằng:

(2.28)

Thành phần nội lực moment uốn và lực cắt trong tấm được xác định thông qua chuyển vị w của tấm bằng công thức:

Biểu diễn moment uốn nhiệt tương đương trên một đơn vị chiều dài

Thay các phương trình nội lực vào phương trình cân bằng lực và moment theo các phương của một phân tố tấm, phương trình vi phân chủ đạo của tấm sẽ đạt được:

với: 𝑝𝑇 – tải nhiệt ngang tương đương

Tất cả các phương trình trên chỉ xem xét sự uốn nhiệt thuần túy của tấm Tuy nhiên, chúng ta cũng cần xét đến thành phần nội lực trong mặt phẳng của các vấn đề liên quan ứng suất hai chiều với thành phần nội lực trong mặt phẳng tương ứng NT

Các thành phần nội lực trong mặt phẳng được biểu diễn như sau:



2.2.6 Hiện tượng “Shear locking”

Khi chiều dày của tấm nhỏ hơn nhiều lần kích thước 2 cạnh của tấm, kết quả tính toán độ võng theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin, về mặt lý thuyết, phải trùng với kết quả khi sử dụng lý thuyết tấm Kirchoff Tuy nhiên, kết quả tính toán số cho thấy độ võng của tấm nhỏ hơn nhiều so với thực tế, hiện tượng này gọi là hiện tượng “shear locking” Về mặt lý thuyết, với tấm mỏng, biến dạng cắt 𝛾𝑥𝑧 và 𝛾𝑦𝑧 bằng 0 [34] hay:

𝜃𝑥 +𝜕𝑤

𝜕𝑥 = 𝜃𝑦+𝜕𝑤

+ 𝐻 (𝜃𝑥+𝜕𝑤𝜕𝑥)

Hiện tượng “shear locking ” cho thấy, trong tính toán số, biến dạng cắt 𝛾𝑥𝑧 và 𝛾𝑦𝑧không bằng 0 khi chiều dày của tấm mỏng Một cách đơn giản để giải quyết hiện tượng “shear locking” là sử dụng kỹ thuật tích phân giảm (reduced integration) Đây là phương pháp sử dụng phép cầu phương Gauss để tính các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động theo PP PTHH, trong đó các hệ số chứa được tính với số điểm Gauss ít hơn một bậc so với số điểm Gauss cần thiết

2.2.7 Mô hình nền có độ cứng biến thiên

Trong các nghiên cứu trước đây, mô hình nền Winkler (Hình 2.8 a) được sử dụng rộng rãi để mô hình nền đất với giả thuyết nền là hệ thống các lò xo độc lập mà không có

sự tương tác qua lại giữa các lò xo Bởi vì điều này nên mô hình Winkler có sự không liên tục trong chuyển vị của nền giữa bề mặt chịu tác động và bề mặt không chịu tác động Để khắc phục hạn chế này, mô hình nền Pasternak (mô hình nền hai thông số như Hình 2.8 b) phản ánh chính xác hơn chuyển vị của nền nhờ thiết lập sự liên kết giữa các lò xo bằng một lớp kháng cắt liên kết đỉnh của các lò xo

Hình 2.8 Mô hình nền Winkler (a) và Pasternak (b)

Tấm nền bên dưới tấm nhiều lớp được xét trong luận văn sẽ là nền có độ cứng biến thiên Mô hình nền gồm các lò xo đàn hồi có độ cứng kf và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số cf

phân bố trên bề mặt diện tích tấm:

Hình 2.9 Mô hình nền có độ cứng biến thiên

Sự thay đổi đặc tính độ cứng nền dọc theo phương chiều dài của tấm theo quy luật như sau:

𝑘𝑤𝑓(𝑥) = 𝑘𝑤0[1−∝ (𝑥𝐿)

trong đó:

𝑥 – tọa độ tổng thể tâm phần tử tấm;

𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐𝑓0[1−∝ (𝑥𝐿)

trong đó:

𝑘𝑠𝑓 – độ kháng cắt nền; 𝑐𝑓 – hệ số cản nền;

2.3 Bài toán tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển

Trường chuyển vị tại một điểm bất kì trong mặt phẳng trung hòa của tấm bên trên và tấm bên dưới được cho bỡi:

Tt = u t vt wt xt yt

Tb = u b v b wb xb yb

Các thành phần chuyển vị tại một điểm bất kì trong tấm phía trên , ,u v w và tấm phía ttt

dưới , ,u v w theo phương bbbx y z, , được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên trục của tấm phía trên và tấm phía dưới như sau:

tttttttu x y zux yzx yv x y zvx yzx y

w x y zwx y

