bài tập toán cao cấp 1 iuh

KHOA KHOA HỌC co BẢN - Tồ TOÁN LẼ VĂN LAI chù biênBài tập TOÁN CAO CẤP 1Đồng tác giả:Nguyễn Ngọc ChươngĐoàn Vương NguyênTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP... Lời nói đâuĐượcsự chấp thuận của

Định nghĩa đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý 1.3 Nếuhaihàm số f,g xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại X £ (a; b) thì các hàmsố f + g, x/(x € R) và/ • £cóđạohàm tạĩ

4 Hơnnữa,nếu g(x) ^ 0trong một lân cận của Xthì hàm số — có đạo hàm tại X, và

Đạo hàm của hàm số hợp

Định lý 1.4 Nếu f cóđạo hằm tại Xo, g xác địnhtrong một lân cận của yo = y(x0) và có đạo hàmtại y0 thìgofcó đạo hàm tại Xo- Khi đó,

Hơn nữa,nếu giả thiếttrờnđỳngvới mọiXo € (ô;b) thỡ hàm số hợp g of cú đạo hàm trong (ô;b\ Khiđú,

Ví dụ 1-23 lìm đạo hàm của hàmsố h{x) = (1— 3x)4.

Giải Ta xemf(x) = 1 — 3x vàg(y) = y\ ta cóy'(x) = —3, g'{y) =

4y3 Ap dung công thức đạo hàm củahàmsố hợp,ta được

Trang 16 Chương 1 Phép tính vi phân hàm mộtbiếr

Bảng công thức đạo hàm •

1.4.5 ứng dụng đạo hàm trong bài toán giới hạn

Hàm sơ cấp Hàm hợp tương ứng

7 (cosx)' = — sinx (cosu)' = —u' sin lí

8 (tanx)' = 1+ tan2x (tanu)' = u'(l+tan2 lí)

12 (arctan xỴ = ^ (arctanu)' 13 (arccotx)' = ~ĩ^ĩ (arccotu)' =-^

Chú ý Quy tắcL'Hopital có thể được sử dụng liên tiếp nhiều lần nếu các điều kiện của quy tắc được thỏa Nếu vận dụng quy tắc L'Hopital và kếthợp thay thếhàmtương đương VCB một cách hợp

Cho f{x),g (x) là haihàm liên tụcvà có đạo hàm trong lân cận điểm a thỏa điều kiện limf(x) = lim v(x) = 0 (hoặc ±oo). x-^a x-ìa

Nếutồntại lim 4W = L thì cũng tồntại lim 44 = L.

1.4 Đạo hàm Trang 17 líthì một số bài toán giới hạn phức tạp sẽ được tính đơn giản và nhanh hơncách vận dụng thông thường.

Giải Ẩp dựng Quy tắcUHôpital, ta có

In(cosx) lim ——„-—- = lim x->0 xz x->0 cosx sinx 2x

Giải Áp dụng Quy tắc UHôpitalhai lần, ta có

X — sin X X — sin X , n 5 lim—„ „— = lim - 3 - , ísin X ~ X , X —> 0;

Vídụ 1.27 Tính lim x->ú+ln(ex — ea) tool

Giải.Ta có x->fl+ln(ex — e'5) s-^4 ^“7 X-J1+(x — đ) en XHO+I.e"

Trang 18 Chương 1 Phép tínhví phânhàm một biến

Vídụ 1.28 Tính lim x-n-ln(l —x) \oo/

Giải Ta có ln(l - x) 2 Z->1~ cos2(^)

Xét giới hạn lịm/(x)g(x) trong đó /(x) —> 0 và g(x) —> co khi

X —> a Ta có haicáchkhử như saư:

Cách1: Bằng cách viết lim/(x)g(x) = lim —I /ta thu được vô định ( “ L đãbiết cách khử.

Cách 2: Bằng cách viết lim/(x)g(x) = lim'-p , ta thu được dạng vô định ( — )/ đã biềt cáchkhử.

Vídụ1.30 Tính lim xlnx, (O-oo) x->0+

Giải.Ta có lim xlnx= lim —Ị— = lim -7- = lim (—x) =0 x^ũ+ X—>0+ A X—>0+ -4 x->0+

Vídụ1.31 Tính lim sin(x — 1) tan ^, (0 ■ co)

T z nx T sin(x— 1) lim sin(X — 1Jtan -— = lim —^7'= - ô1 v ' 2 cosTO cos(x — 1) _ 2

Xét giới hạn lim[/(x) — g(x)] với fl e R;/(x) 4 ±co và, tươngứng,

Ta viết lim[/(x)- g(x)] = lim/(x) 1 - z ° x-^ã L f\x) và đi tính giới hạnL= lim77 7, — )

LÚC này xảy ra các trường hợp sau

• Nếu L / 1 thì giới hạn limy(x)

L là dạng xác định; códạng OO.0.

• Nếu không tồn tại L thì giới hạn lim/(x) 1 _ ÉỊ1 ctog không tồntại.

Trang 20 Chương 1 Phép tính viphân hàm một biến

Ví dụ 1.32 Tính lim (x — ln2x),(oo —oo) x->+oo'

T ln2x 21nx| 21nx 2“ lim — = lim —-—- = lim —— = lim ^ = 0

X->+co X X—>4-00 1 X—>4-00 X X—>+oo 1 nên lim (x — ln2 x) = lim X

Giải Vì lim^ũ = limwo ^^ — 1 nên khi ta viết lim ( cotx — — = lim cotx I 1 ——— x->0 V XJ x->0 V X thì giới hạn có dạngco.O.Do đó, ta có

tanx\ 1 — ỉ^ X —tanx limcot X 1— —— = lim— -— = lim———— x->0 \ X J x->0 tan X x-40 X tan X

Xét giới hạn lim[f(x)]^x) với ữ € IR vàkhi X -+ Hthì

Doe“ liên tục,tacó lim[/(x)]#w = lime^^*^^)

Giới hạn ở mũ, lim g(x) ln/(x), có dạng0■ 00.

1 Inh'-I ĩ Ị ., lim xDớ = lim eV / = eumx-ằi 1-X m x

Vớ dụ1.35 Tớnh lim (x + 2x)x (tằ°)

Giải.Ta có lim (%+ 2x)í = elìm^+“* M*+2X) x-Ỷ+w

Tính giới hạn ở mũ. lim - ln(x + 2X) = lim

2X ln32 lim =-ị^=ln2 x4+co 2*11? 2 l±2ỊỊn2

Trang 22 Chương 1 Phép tính vi phânhàmmôt biến

Vi phâncủahàm y = f(x} ày - t tại X được địnhnghía và ký hiệu là lf(x) = f'(x)dx

Ví dụ 1.36 Tính viphân của hàm sốy(x) = X2+ xex.

Giải Ta có f^x) =2x +ex + xex Vậy df^x} = (2x + ^ + xex)dx

Ví dụ 1.37 Tính vi phâncủa hàm số f(x) = X2ổ3x tại điểmX = —1.

Giải Vìy'(x) = 2xe3x + 3x2e3x, nên ta có /(-1) = ổ~3 Vậy

1.6 Bài tập trắc nghiêm chương 1

Hàm tươngđương củay(x) khi X —> 0 là cứô~ị A D./w~ 0 là

Câu 1.4 Cho hàm số y(x) =1 (? — 1 Alnicos xì + 71 + 2sỉrrx_—1

Hàm tương đương của /(x) khi X —> 0 là

/(x) — 1 —cos X + ln2(l + sm22xj +2arcsin3x

Hàmtương đương củay(x) khi X —> 0 là Ạ.y(x) ~ ^ B /(x) ~ 2x3 c /(x) ~2x3 D /(x) ~2x3

Câu 1.6 Cho hàm số y(x) = ln(l + 3x) 4 pl 4- 2 sinx -J Xf tan3x + X4.

Hàm tương đương củay(x) khi X —>.0 là Á y(x) ~ X2 B /(x) ~ X3 c /(x) ~X3 D./(x) ~ X3

Hàm tươngđương của /(x) khi X —> 0 là

Trang24 Chương 1 Phép tínhvi phân hàm một biến Câu1.8 Chohàm số f(x) = ln(l + tan23x) + VT+Õ sinx— ex

Hàm tương đương của f(x) khi X —> 0 là

Câu 1.9 Cho hàm số y(x) =ln(cos2x)-arctanx2 Hàm tương đương của f(x) khiX —> 0 là

Câu 1.10 Cho hàm số f{x) = ựcosx — ựcos2x + X arcsinX Hàm tựcíRg)đươngcủa f(x) khi X —> 0 là

Câu 1.11 Cho hàm số f(x) = (a2 + tanlx^ (1 — cos2x) + ^e2*—1^

Hàmtương đương của f(x) khi X—> 0 là

Câu1.13 Chohàmsốy(x) = e^1^ — cos x + X2 Hàmtươngđương của f(x) khi X —> 0là

Câu 1.14 Cho hàm sốf(x) = ^x + 1— ộ'! — X Hàmtương đương của f(x) khi X —> 0 là

1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1 Trang 25

Câu 1.15 Cho hàm số /(x) = (cos2x-l) (x + arcsinx2) Hàm tương đương của /(x) khi X -Ạ 0là

Câu1.16 KhiX -> 0, hàmsố f(x) tương đương với

Câu1.17 Giá trị của lim / (x)là x->0

Cho hàm số /(x) = ex— ựcosX

Câu1.18 KhiX -t 0, hàm số/(x) tương đương với Ậ/w~^ pw/w! ộ/ô~^ D-/W~s

Câu1.19 Giá trị của lim /(x) là

Trả lời 2 câu hỏi sau: ln(l +X + X2) + ựl + 2sm2x- 1Chohamsof(X) = :—1 - -; -

Trang 26 Chương 1 Phép tính viphân hàm một biến

Câu 1.20 Khi X-ì 0, hàm số f (x) tương đươngvới

Câu1.21 Giá trị của lim/ (x) là

Trả ỉờỉ 2câu hỏi sau:

In(cosx) + ựì +2smx — 1 Cho hàm so fix) = —1 -H—T—-—= -

Cằu 1.22 Khi X —> 0,hàm số /(x)tương đương với

A sinx cosx +2 sjix w ~ sin2x+x2 w -Sin 2x7 cosx+2sinx n cosr+2smx w ~ ■ sin2x— J W sm2x

Câu 1.23 Giá trị của lim /(x)là x->0

Trà lời 2 câu hỏi sau:

Chohàm số /(x) sin23x + e^2 -1 ln(l + 2x2)+ sin2x

Câu 1.24 Khi X—> 0, hàm số /(x) tương đương với

Câu1.25 Giá trị củalim f (x) là

Cho hàm số/(x) sin23x+ e^2 — 1 ln(l + 2x2) +sin2x

Câu1.38 Khi X—> 0, hàmsố /(x) tươngđương với

Câu1.39 Giá trịcủa lim / (x) là x->0

■ Tính giới hạnhàm chứa tham số

Câu 1.40 Chohằng số thực0 < k,tínhgiá trị của giới hạn h(i + ^) lint—^—T—~ x-40 sin2x

Câu 1.41 Chohằng số thực 0 < k, tính giátrị củagiới hạn

cos Vkx — \/kx2 +1 lim -7 - X-4Õ Xarcsin X

Câu 1.42 Chohằng số thực0 < k, tính giá trị của giớihạn

Câu 1.43 Chohằng số thực ữ 1.

Chocỏc hàm số 0 < f(x) < g(x) với mọi X Ễ [ô; 4-co), và khả tích trênđoạn [a; ỉ?]. f + cQ r4”°0

Nếu / g(x)dx hội tụ thì / /(x)dx hội tụ.

Giải.Vì °-77^2-^ *g[1;+k>) XV1+X2 * và f ^ hội tụ nên tích phân ĩhội tụ.

Cho cỏc hàm số ũ < /(x);g(x) với mọi X 6 [ô; 4-00), và khả tích trên đoạn [a; b] Giả sử tồntại giới hạn

1 Nếu K= 0 và Jn+°°g(x)ảxhội tụ thì Jn+o° f (x)dxhộitụ.

2 Nếu 0 < K < 4-00 thì Ị^g^dx và f^°° f{x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3 Nếu K = 4-00 và /a^gíxịdx phấn kỳ thì Ị^ f{x}dx phân kỳ.

4*00 4-00 j f(x)dxvà ị gi^dx a a cùng hội tụhayphân kỳ.

Vídụ 2.4 Khảo sát tính hộitụ củatíchphân / —7===.

Giải Khi X —> 4-00,ta có Ị1 xựl4-X2 X2 mà A1 ™ hội tụnên A+co —hộihạ. v • Jl XV1+F ' ■

Ví dụ 2.5 Khảo sáttínhhội tụ của tích phân / —p==-dx.

Giải KhiX —> 4-00, ta có xarctanx TC X _ 7Ĩ 1 ựl 4- X3 2 Ựx3 2 ựx mà J1+cq ^ phân kỳ nên j^™ ^ệ^-dx phân kỳ.

Cho hàm sốf(x) xỏc địnhvà khảtớch trờn đoạn [ô; ờ], với mọi b > a Nếu Ị*00 |/(x)|dxhội tụ thì f(x)dx hộitụ.

Vídụ 2.6 Khảo sát tínhhội tụ của tích 1 - 4“ cosxdx

I X7 I X2.và C'™ # hội tụ nên ự^ ^^-hội tụ.

2.4 Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa 2.4 Cho hàm số /(x) xỏc định trờn (ô; b] và /(x) khả tích trênđoạn [a1;b], {a! > ữ)và lim /(x) = oa Tíchphân x->n+ rb fb

Ja a'^a+ Ja1 được gọilà tích phân suy rộng củahàmsốf(xỴ

• Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn, ta nóitích phân I hội tụ;

• Ngược lại, ta nói tích phấn ỉ phân kỳ.

Giải.Hàm f(x) = ợ^xác địnhvà liên tụctrên (1;2] Ta có lim = 2

Vậy tíchphânđã cho hội tụ.

Vídụ 2.8 Khảo sát tính hội tụtích phân / , - lo VI - X2

Giải.Hàm f(x) — 1 j xác định và liên tục trên [0; 1).Tacó

= lim arcsinx “ = — tMl" X 10 / 2Vậy tích phân đã cho hội tụ.

Tích phânI =Ị —^1 dx hội tụ khi vàchỉ khi X ị c.ít 0, hàm f(x) = làhàm khôngâm, liêntục và giảm trên [1,00) nên, theo tiêu chuẩntích phân Maclaurin- Cauchy, chuỗi

4-00 2 r+oo 2 y —- hộitụ / —~dx hộitụ ^ a > 1. n“ Jỵ xa n=l

Vídụ 3.14 Khảo sát tính hội tụ củachuỗi y —7^—.1

Giải Hàm /(x) = ~i~ không âm, liên tục trên [2; 4-oo), và giảm bởivì

Trang64 Chương 3 Chuỗi số Hơn nữa,tacó

/ ■ /— ãx — / r—d(lnx) = ln(lnx)|2 = +co.

Do đó, theo tiêu chuẩn tíchphânMaclaurin- Cauchy, chuỗi đãcho phânkỳ.

Cho haichuỗi số dương: ^ Un và £2 vn thỏađiều kiện n=l n=l

2ô0 ÊN,Vn > no ■ un +oo, ta có

Mà chuỗi p — phân kỳ nên chuỗi đãchophân kỳ n=l n

Ví dụ 3.17 Khảo sáttính hội tụ của các chuỗi sốsau:

Giải Đâylà một chuỗisốdương.Khin ~> 4-00, tacó n24- 3n 4- 2 n2 _ 1 n3 y/ĩĩ +'in2 + 3 n3ỵ/n nị

Mà chuỗi £ — hộitụ, nên theo Tiêu chuẩnsosánh 2,chuỗi đã cho

Vídụ3.18 Khảo sáttínhhộitụ, tùy theo giá trị tham sốthựca,của chuỗisố sau: t^ r? + 3n^+l

Giải.Đây là mộtchuỗi số dươngcó un = ^^^^.Khi n —> +co, ta có n2 + 3na un 7i X

• Nếu a < 2 thì un ~ = À, chuỗi đã cho hộitụ.

• Neu ít = 2 thì wn ~ ^r = Á.chuỗiđãcho hội tụ.

• Nếu a > 2thì u„ ~ ^ = -Ậ7 Màchuỗi nt*! “4^ hội tụ khi vàchỉ khi a < 3,chuỗi đã cho hội tụ nếu 2 < a < 3.

Tóm lại,chuỗi hộitụ nếu a < 3,vàphân kỳ nếua > 3.

Vídụ3.19 Khảo sáttính hội tụ, tùy theo giá trịtham sốthực a, của chuỗisố sau: t^ n2 + 3n + 2

Giải Đây là một chuỗisốdươngcó un = „1^^■ Khi n -ị +00,ta có n2 n3 + 4n“

• Nếu ít < 3thì un ~ ^ = |, chuỗi đã chophân kỳ.

• Nếu a = 3 thì un ~ ^ = —, chuỗi đã chophân kỳ.

• Nếu ít > 3 thì un ~ Ểs 4^- Mà chuỗi ^„=1 4^ hội tụ khi vàchỉ khia > 3,chuỗiđã cho hộitụ khi a > 3.

Tóm lại,chuỗi hội tựnếua > 3,vàphânkỳ nếu a < 3.

Xét chuỗi số dương £2un- Giả sử tồn tại giới hạn (hữu hạn

>7=1 hoặc vôhạn) lim n-l+oo un

Ví du3.20 Khảo sáttínhhội tụ của chuôi ) , —. n=l

Giải Đâylàchuỗi số dương.Tacó ĩGựĩ _ = ằ! 5^22 = 5 0 ! un ^ (ô+ l)!’ 5" n+ 1

Vídụ3.21 Khảo sát sự hộitụ củachuỗi V

Giải Đây là chuỗi sốdương Tacó

Vậy,chuỗi đã chophân kỳ.

Chú ý Tiêu chuẩnd'Alembert không có kết luận trongtrường hợp

Ví dụ 3.22 Với chuỗi 52^ n ta có ^2 = n+T 4 1 và ^ chuỗi s HĩảĩJta cũns có ^ = ^ -4 1 NhưngE^ i phân kỳ còn thìhội ^ (ví dụ3J)-

+oo Xét chuỗi số dương V un Giả sử tồn tại giới hạn (hữu hạn n=l • hoặc vô hạn) lim = c n—ằ+oo Khi đó/

2 Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ.

Ví dụ3.23 Khảo sáttínhhội tụ củachuôi V —. n=l 2"

Ví dụ3.24 Khảo sáttínhhộitụ củachuỗi F, 1 + -

Chiíý Tiêuchuẩn Cauchy không có kếtluậntrong trườnghợp c 1.Trong trườnghợpnàythì chuỗicó thểhội tụ hoặc cóthể phân kỳ, phảikhảosát bằng phương pháp khác.

Ví dụ 3.25 Chuỗi E^^^ phân kỳ vàcó ựũ^ = -^ —> 1; còn chuỗi

3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ Trang 69

3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ

3.3.1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa 3.2 Cho (un) là dãy số dương Các chuỗi y, ( — l)”+1Un = Uỵ — U2 + ô3 — ô4 + • ■ • , )1=1 và

52 (—l)”wn = ~U1 + ^2 — U3 + u4 “ ■ ■ n=l đượcgọilà cấc chuỗi đan dấu.

Nếu (u„) giảm và tiến về 0 thì E£5l(—l)"+1Mn hộitụ.

Ví du3.26 Chuỗi r -——- hội tụ theo tiêu chuẩnLeibnizdo dãy í 1] giảm và hội tụ về 0.

4-00 ví dụ 3.27 Khảo sát tính hội tụcủa chuỗi 52 (-1)” n=l n n2+n + 1

Giải Xét hàm/(x) = ^f~Ỵy/x £ R Tacó

Do đó,/(x) giảm trên [1; +00) Suy ra, với mọi n > 1,f(n + 1) < f(n) hay n +1 n

(n+ I)2+ (n+1)+ 1 n2 + n + 1Nghĩa là, dãy số ^2+” ^ J giảm Mặt khác, limn-n-co ^Ĩ^ỊĨ = 0 Vậy, chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz.

• NếuE^ |u„ị hộitụ thì s = ^=1 un hội tụ và s được gọi là hộitụtuyệtđối.

• Nếu s = Ệ unhội tụ mà Ê \un I không hộitụthì s được gọi là bán hội tụ.

1 ■ mà 2' —2 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.

Chú ý Nếu dùng tiêuchuẩnd'Alembert hoặc Cauchy mà biếtđược chuỗi E,t~i |uô| phõn kỳthỡ chuỗi En ^1 un cũng phõnkỳ Thật vậy nếu biết E^ỉ Iun I phân kỳbằng tiêu chuẩn d'Alembert hoặc Cauchy thì |un| -^ 0, do đó, un -^ 0 Vậy chuỗi E^ un phân kỳ.

Ví dụ 3.30 Biệnluậntheo thamsố thực p về tính hội tụ của chuỗi sốsau: t^ (p2 - iỵn2

Giải Sụhạng tốngquỏtcủa s cú dạng un = -^3ằ—■

• Nếu p2,= 1 thì chuỗi này hội tụ.

* nếu |p2— 1| 3, tức |p| > 2, thì chuỗi các trị tuyệt đối phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert nên chuỗi đã cho phânkỳ;

* nếup = ±2, thì chuỗi trởthành £^1nz chuỗinàyphân kỳ.

Vậy, chuỗi E,"^ & 37^ 1 hội tụ khi và chỉ khi —2 Ithìchuỗi phân kỳ n—>00 1 c Nếu lim ^^ — 1 thì chuỗihoặchộitụhoặc phânkỳ n-ằ00 uằ J

Câu 3.4 Cho chuỗi số dương r un Giả sử lim = C Trong

_ ° „=1 điều kiện nào sau đây chuỗi trênhội tụ?

Câu 3.5 Cho haichuỗisố dương ^ un (1) và E vn(2) thỏaun < vn n=l n=l với mọi n Mệnhđề nào sauđây đúng?

3.4 Bàitập trắc nghiệm chương 3 Trang 73 Á Nếu chuỗi (1) hội tụ thìchuỗi (2) cũng hộitụ

B Nếu chuỗi (1)phân kỳ thì chuỗi (2) cũng phânkỳ c Chuỗi(1) hội tụ khi và chi khi chuỗi(2) hộitụ

Câu 3.6 Cho hai chuỗi số dương £2 u„ và £ ^n thỏa lim ^ = k

(k G R) Trongđiều kiện nàosauđâyhaichuỗi này sẽ đồng thời hội tụ hay phân kỳ?

Câu3.7 Chohaichuỗi số dương £2 un (1)và £2 Un (2)thỏa n=l n=l lim — = 0

Mệnh đề nào sau đâydúng?

A Nếuchuỗi (1) hội tụ thìchuỗi (2) cũnghộitụ

B Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) cũngphânkỳ c Chuỗi (1) hội tụkhi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ

D Các mệnh đềtrên đều sai

Câu 3.8 Cho hai chuỗi số dương £2 un (1) và £2 vn (2) thỏa n=l n=l

Mệnhđề nào sau đây đúng?

A Nếu chuỗi (1) hộitụthì chuỗi(2) cũnghộitụ

B Nếu chuỗi (1) phân kỳ thìchuỗi (2) cũngphân kỳ c Chuỗi(1) hộitụkhi và chỉ khi chuỗi (2) hộitụ

D Các mệnh đề trên đềusai

Câu 3.9 Chochuỗi £2 un Mệnh đềnào sau đây đúng? n=l

B Nếu Un —> 0 khi n—> 00 thì chuỗi trênhộitụ c Nếu chuỗitrên phân kỳ thì Un —> 0 khi n —> 00

D NếuUn —> 0 khi n —> oo thi chuỗi trên phân kỳ

Tràlời hai câu hỏi sau:

Câu 3.10 Khăng định nào sau đây là đúng?

Trả lời 2 câu hỏi sau:

Xét tổng riêng thứn của chuỗisố S:

Câu 3.13 Suy ra chuỗi số sbằng

Câu 3.14 Chọn khẳng định đúng

Câu 3.15 Suy ra chuỗi sốsbằng Ă ĩ if

Trả lời 2câu hỏi sau:

Xéttổngriêng thứ n của chuỗi số S:

Câu3.17 Suy ra chuỗisố s bằng

Xét tổng riêng thứ n của chuỗi số S:

3.4 Bàitập trắc nghiệm chương3 Câu 3.21 Suyra chuỗi số s bằng s, = ả+ả+'"

■Xét tính hội tụ của chuỗi dương

Câu 3.26 Bằngcách so sánh với chuỗi ^ , mệnh đề nàosau đây đúng nhất?

Câu 3.27 Bằng cách sosánh vớichuỗi £2 a 1 z mệnh đề nào sauđây

A tó hội'tụ B £+” u^-r phân kỳ. C’ ^1(3+5) phân kỳ- D £+“ ^^^ phânkỳ.

Câu3.28 Chuỗi V 7-—Bội tụ khivà chỉ khi

Câu 3.29 Chúỗi ; , ' - hộitụ khi vàchỉ khi

+2? H2 + 2n Câu 3.30 Chuỗi V —7——7-—hhội tụ khivàchỉ khi n4+nô + 1

’í2' +n“+2!i , Câu 3-31 Chuôi ) , -7-7 -hộitụ khi vàchỉkhi

A.ơí > 1 Ba a < 3 c ít € R D ít > 3 Câu 3.32 Chuôi ) -3 + 1— phân kỳ khi và chi khi

3.4 Bàitập trắc nghiệm chương 3 Trang 79

Câu3.33 Chuỗi V [ —- - H—1 hội tụkhi vàchỉ khi

Câu 3.34 Chuỗi 57 I - _Y + 3” I phân kỳ khi vàchỉkhi

Câu 3.35 Chuỗi 57 / n 3 hội tụ khí và chỉ khi

Câu3.36 Chuỗi 57 —— hội tụkhi và chỉ khi

Câu3.37 Chuỗi 57 f(p+ l)2n +^ì hộitụ khi và chỉ khi

■ Xét tínhhội tụ của chuỗi đan dấu

Câu 3.38 Xét chuỗiđan dấu s := 57 „— •Mệnh đề nào sau đây £i3n + l đúng nhất?

B s hội tụtheotiêu chuẩn Leibniz c s hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy

D s hộitụ tuyệt đối theo tiêuchuẩn d'Alembert và Cauchy

Câu3.39 Xét chuôi đan dấu s := 57

-T ' Mệnh đề nào sau đây

A shội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối

B shộitụ tuyệt đối c s phân kỳ

0 8hội tụ tuyệtđối nhưng phân kỳ ■

Câu 3.40 Xét chuỗi đan dấu s := V(—1)" , " - Mệnh đề

■ “ ằ(V?+3) ’ nào sau đây đúng nhất?

A shội tụnhưng khônghộitụ tuyệt đối

B s hội tụ tuyệt đối c s phân kỳ

D s hội tụtuyệt đốinhưng phân kỳ

Câu 3.41 Xét chuỗi đan dấu s := J2 (—1)" arctan í ——4 I• Mệnh n=l \n + 3/ đề nào sau đây đúng nhất?

A s hội tụnhưng không hộitụ tuyệt đối

B s hội tụ tuyệt đối c s phânkỳ theotiêu chuẩn Leibniz

■ Xéttính hội tụ của chuỗi đan dấu theo thamsố

- hội tụkhi và chỉ khi c.a > 1 D ô 6 R

'—— -hội tụ khi và chỉ khi n“ T nT2 c a > 1 D a eR

1 ' —y hộitụ khi và chỉ khi n3 T Wĩz c m > 1 D m € R

3.4 Bài tập trắc nghiệm chương3 Trang 81

A Sivà ỗ2hội tụ c %hội tụ, Sj.phân kỳ

A S1 và Ỗ2hệi-tự JLki> c S1 hội tụ, Ỗ2 phân kỳ

A S1 và s2hộitụ c S1 hội tụ, ỗ2 phân kỳ

A S1 và $2 hộitụ c S1 hội tụ, Ỗ2 phân kỳ

D Sị hội tụ, $2 phân kỳ

Trang 82 Chương 3 Chuỗi số -■ Câu 3.49 Xét hai chuỗi: sl=| +

A $1 và s2 hội tụ c S1 hội tụ, s2phân kỳ

B Sị hội tụ, s2 phân kỳ

A S1 vàs2 hội tụ c S1 hộitụ, s2 phân kỳ

A $1 và s2 hội tụ c S1 hộitụ, s2 phân kỳ

3.4Bàitập trắc nghiệm chương 3 Trang 83

A 51 và s2hội tụ c 51 hộitụ, s2 phân kỳ

A 51 và s2 hội tụ c 51 hội tụ, s2 phânkỳ

A 51 và s2hội tụ c 51 hội tụ, s2 phânkỳ

A 51 và s2 hội tụ ơ 51 hội tụ, s2 phân kỳ

Trang 84 Chương 3 Chuỗi số Câu 3.57 Xét hai chuỗi:

3.4 Bài tập trắc nghiệmchương3 Trang 85

A S1và s2 hội tụ c S1 hộitụ, s2phân kỳ

A $1 và $2 hội tụ c S1 hộitụ, s2 phân kỳ

Sj hội tụ, S2 phân kỳ S} hội tụ, S2 phân kỳ

A S1 và S2 hội tụ c S] hội tụ, S2 phân kỳ

A S1 và S2 hội tụ c S1 hội tụ, S2 phân kỳ

A S1 và s2 hội tụ c S] hội tụ, s2 phân kỳ

D Su hội tụ,s2 phân kỳ

Trang 86 Chương 3 Chuỗisố Câu3.67 Cho hai chuỗi

D, Sị hội tụ, S2 phân kỳ.

Chọn khẳng định đúng nhất.

B S1bán hộitụ, s2 hội tụtuyệt đối. c Si, S2 cùng phân kỳ.

D S1 hội tụ tuyệtđối, S2 bán hội tụ.

A Si, S2 cùng hội tụ tuyệtđối.

B S1 phân kỳ, S2 bán hội tụ.

C S1 hội tụtuyệt đối, S2 bán hộitụ.

A Si, S2 cùng hội tụtuyệt đối.

B $1 bấn hội tụ, S2 hội tụtuyệtđối. c slzS2 cùng phân kỳ.

D S1 hội tụ tuyệt đối, S2 bán hội tụ.

B S1 bánhộitụ, $2 hội tụtuyệt đối. c S1, ỗ2 cùng phân kỳ.

D S1 hội tụ tuyệtđối,$2 bán hộitụ.

■ Xét tính hội tụcủachuỗi códấu bất kỳtheo tham số

Câu 3.72 Chuỗi -—- hội tụ khi và chỉ khi

Câu 3.73 Cho chuỗi số 22 — - - ,với p là tham số.Mệnh n=l 2 đề nào sauđây đúng?

B Chuỗi phân kỳvới mọi Ipị > 1 c Nếu |p| > v3-thì chuỗi phân kỳ

— ? pn®-Ị- n2 Câu 3.74 Chuỗi ), -——; -hội'tụ khi và chỉ khi

’ Câu 3.75 Chuỗi ) -—T -hội tụ khi và chỉ khi

(r)_1 ìn® -ỉ-n2 -I-1 Câu3.76 Chuỗi V — -^—— -hội tụ khivà chỉ khi

—57—7— hội tụ khi và chí khi pn2 +3 7

Phép tính vi phân hàm hai biến

Khi tínhcác đậohãm riêng củahàm số f(x; y) ta cần chú ý:

• Đạohàm riêng của f(x; y) theo biến X, fx^y) = ịỵ^y^'

• Đạo hàmriêng củaf(x; y) theo biến y,

^y^Ịy^^' (xem x là hằng số)

• Các quy tắc tính đạo hàmcủa hàm sốmột biến đều đúng cho đạo hàm riêng của hàm số hai biến.

Ví dụ 4.1 Tính cácđạo hàm riêng củahàm số f(x;y) = x2y5.

Giải Theo định nghĩa, ta có: fx^y) = (^V)x = W/ fy^y) = (^Y)i = ^y^-

Trang 90 Chương 4 Phéptính vi phân hàm haibiến

Vídụ 4.2 Tính các đạohàm riêng của hàm số

Giải.Ta có fx&y) = (x4 - 3x3y2 +2y3 - 3xy)^ = 4x3 - 9x2y2 -3y, f^y) = (x4- 3*v+ 2y3 - 3xy)ý = -6x3y + 6y2 - 3x.

Thayx = —1, y= 2 vào/^.(x;y) và/ý(x;y) ta được/^(—1,2) = —46 và/;(-l,2)9.

Ví dụ 4.3 Tính các đạo hàmriêngcủa hàm số

Giải Ta có fx&yi = (x4 - 3x3y2 +2y3 - 3xy)^ =4x3 - 9x2y2 - 3y, /ý(x;y) = (x4 - 3x3y2+2y3 - 3xy)ị = -6x3y+ 6y2 - 3x. Thay X = —1, y = 2 vàofx^x^y) và fý(x;y) ta được:

Vídụ 4.4 Tính các đạo hàm riêngcủahàmsố f(x;y) = sm(x2y).

Giài Tacó fx^y) = [sin(x2y)]* = (x2y)^ cos(x2y) = 2xycos(x2y), fý&y) = [sin(x2y)]ị = (x2y)ýcos(x2y) = x2cos(x2y).

Vídụ 4.5 Tính cácđạohàmriêng của z(x;y) = ey!nx.

Giải Ta có: zx(x;y) = feylnxi = (y lnx)'.eylnx = —eylnx,

Ví dụ 4.6 Tíhh các đạo hàmriêng củahàm số z Giải Tacó

Ví dụ 4.7 Tính cácdạo hàm riêng của hàm số z =■ In tại (2; —1).

Giải.Tronglân cận của điểm (2; —1),tacó:

Cho hàm/(x; y) có đạo hàmriêng fx và fý.Đạo hàmriêng(nếu có) của fx vàfý được gọilà đạo hàm riêng cấp hai của f, và được ký

Trang92 Chương 4- Phép tính vi phân hàmhaibiến hiệu là dx\dxj dx2' dy\dx) dydx'

Wx dx\dy) dxdy' ị wv 3y2‘

Chú ý Tất cả cáchàm số /(x;y) trong chương trình đềucó fỵy = fyX, do đóta chỉcần tính đạo hàm riêng fry.

Vídụ 4.8 Tínhcácdạo hàm riêng cấp 2của hàm số

Giải Đạo hàmriêng cấp 1 của f^x;^, ta được: Ấ(x 0 mà A/ có thể viếtđược dưới dạng A/ = y£(xo,yo)Ạx +/ý(xo,yo)Ay + o(p) thì ta nói rằng hàm số f(x:y~) khả vi tại điểm-(xo,yo).

• Đại lượng /i(xO/yo)Ax +/ý(xo,yo)Ay, ký hiệu là d/(x0,y0), được gọi là vi phân của hàm số f (x; y) tại điểm (xq,yo).

• Tương tựnhưhàm số mộtbiến,nếu Xvà y làbiến độc lập thì dx = Ax và dy— Ay.

Vậy, ta có côngthứcvi phân của f(x; y) tại (x; y)là d/(x;y) = /xO;y)dx + /ý(x;y)dy (4.3)

Ví dụ4.12 Cho hàm sốf^y) = 2x3y2 — x2y, tính d/(x;y).

Giải: Ta cócác đạo hàm riêng là: fx^y) = 6x2y2 -2xy fi&y) =4x3y-X2

4.2 Viphân.Trang 95 Vậyd/(x;y) = (6x2y2 — 2xy)dx+ (4x3y —x2)dy.

Ví dụ 4.13 Tính vi phân củahàm số /(x;y) = tan(x2y).

Giải Tacó các đạo hàm riêng là: Ấ(*;y) = IMẠ/)t = ^^ỹ)

/ý(x;y) = [tan(x2y)K 1 v cos2(xzy) Vậy d/(x;y) = ^g^dx+ ^Ệ^dy.

Ví dụ 4.14 Cho hàm số /(x;y) = e^"7 cos(x2y), tínhd/(l, —7ĩ).

Giải, Ta có cácđạo hàm riêng là: fx(x;y) = “ixe^^Jcosfx2!/) +ysin(x2y)], ffaiy} = ey_*2[cos(x2y) -x2sin(x2y)].

Vậy d/(l, —7r) =/x(l,—7t)dx +/ý(l, —7r)dy — (2dx — dy)e“7ĩ-1.

Vi phânnếu có của d/(x;y) đượcgọilà vi phân cấp hai của /(x;y) và ký hiệu là d2f (x; y).Công thức vi phâncấp 2

Vídụ4.15 Tính vi phân cấp hai củahàm số z = sin(xy2)

Giải Ta có các đạohàmriêng cấp 1 z\ = y2 cos(xy2) z'y = 2xycos(xy2).

Trang 96 Chương 4 Phép tính vi phân hàmhaibiến Các đạohàmriêng cấp 2 z"x2 = -y4sin(xy2)

, ^'xy = 2y cos(xy2) —2xy3 sin(xy2) z^yZ = 2xcos(xy2) — 4x2y2sm(xy2).

Vậy d2z(x;y) = —y4sin(xy2)dx2 + 4y[cos(xy2) — xy2sm(xy2)]dxdy

+ 2x[cos(xy2) — 2xy2sin(xy2)]dy2.

Ví dụ4.16 Cho hàm số f& y) = X2/ + xy2- 3x3y5, tínhd2/(2;-l).

Giải Ta có cácđạo hàm riêngcấp 1 fx^y) = 2xy3+y2 - 9x2y5, fy^y) = 3x2y2 +2xy-15x3y4.

Các đạo hàm riêngcấp 2 fx2^y) = 2y3- 18xy5 Ấỉ(x;y) = 6xy2+2y - 45x2y4 fyi&y') = 6x2y+2x - 60x3y3

4.3 Phương pháp tìm cựctrị tự do Trang 97

4.3 Phương pháp tìm cực trị tự do

Giả sử hàmsố f(x;y) có đạo hàm riêng cấp hailiên tục trênD c ]R Để tìm cực trị tự do của f{x; y),ta thực hiệncác bướcsau

Bước 1 Tìm điểm dừng Mo(xo;yo) € D bằngcách giảihệ phương trình

Bước 2 Giả sử (xo;yo) là mộtnghiệm của hệvà Mo(xo;yo') € D,ta tính:

A =f"x2(x0;y0ỵ B =f"x^x0;yữỵ c = /"y2 (xo;yo), và suy raA = AC— B2.

Bước 3 Tacó các trường hợp:

1 nếuA > 0 và A > 0 thì /(x;y) đạt cực tiểu tạiđiểmMo;

2 nếu A > 0 và A < 0 thìf(x; y) đạt cực đại tạiđiểm Mq;

3 nếuA < 0thì f{x;y} không đạt cực trị tạiMo;

4 nếuA = 0 thì ta chưa thể kết luận

Ví dụ 4.17 Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(l— X — y).

Giải Điểm dừng lànghiệm của hệ phươngtrình iz'x(x;y) = o ịy-2xy-y2 = 0 ì z/y(x;y) = 0 lx —2xy —x2 = 0 í(x2-y2) - (x-y) =0 _ í(x-y)(x+ y-i) =0 lx— 2xy — xz = 0 lx — 2xy— —0.

Vậyhàm số đã cho có 4 điểm dừng là Mị(0;0); MĩĨƠ;!); MsITO); vàM4 (Hy

Vídụ4.18 Tìm cực trị của hàm số z = X2 + y2 + 4x— 2y+ 8

Trang 98 Chương 4 Phép tính viphân hàm hai biến Bước 1 Điểm dừng lànghiệm của hệ phương trình í z'x(x; y) = 2x +4 = 0 t2'y(*;y) =2y-2 = 0

Bước 3 Tại điểm M(—2;1) có △ > 0 và A > 0 nên M(—2^1) là điểm cực tiểu và Zct = 3.

Ví dụ 4.19 Tìm cực trị của hàmsố f(x; y) = X3+ y3 —3xy — 2.

Bước 1 Điểm dừng là nghiệm của hệ phươngtrình

SuyraM1(O; 0), AÍ2(1; 1) là hai điểm dừng.

Bước 2 Tínhcác đạo hàm riêngcấp2

Vậy Mỵ (0,0) khônglà điểmcực trị.

4.3 Phương pháp tìmcựctrị tụ’ do Trang99

Ví dụ4.20 Tìm điểm cực trị củahàm số

Bước 1 Điểm dừng lànghiệmcủahệ phương trình zV (x; y) = 6xy — 6x = 0

Suy ra hàmsố có 4 điểm dừng là: Ml (0,0),M2(0,2), Ms(l, 1) và M4(—1,1).

Bước 2 Tính các đạo hàm riêngcấp 2 z\2(x;y) = 6y - 6, ^(xíy) = 6x, z"y2(x;y) = 6y - 6.

• Tại điểm Ml (0,0), ta có A = c = —6 < 0, 3 = 0 và

Suyra Ml là điểmcực đại.

• Tại điểm M2(0,2), ta cóA = c = 6 > 0, B = 0 và

• Tại điểm Mg(l, 1), ta cóA = c = 0, B = 6và

Suy ra M3 không là điểmcực trị.

Trang 100 Chương 4.Phép tính viphân hàmhai biến

• Tại điểm M4(—1,1),ta có A = c = 0, B = —6 và

Suyra M4 không là điểm cực trị.

Um điểmcực trịcủa hàm số/(x;y) trênD = {(x;y) € lR2|y > 1}.

Bước1 Điểm dừnglà nghiệm của hệphương trình

Suy ra hàm sốcó3 điểm dừnglà: Ml(1; 1), M2(2; 2), M3(3; 1). Bước 2 Tínhcác đạo hàm riêng cấp2

• Tại điểm M1(1,1), ta có: A = OyC = —6, B = —12 và

Suy ra Ml khônglà điểm cực trị.

• Tại điểm M2(2,2), ta có: Á = 12, c = 1'8, B = 0 và

Suy ra M2 là điểm cực tiểu.

• Tạiđiểm Ms(3,1), ta có: A = 24, c = —6, B = 12 và

4.4Phương pháp tìm cựctrịcóđiềukiện Trangĩ01

4.4 Phương pháp tìm cực trị có diều kiện

Giả sử cần tìmcực trị của hàm số z — f(x;y) liêntục trênmiền D thỏa điều kiện cp(x; y) = 0((p(x; y}khảvi), ta thựchiện các bước sau

Bước1 Từ phươngtrình (p(x;y) = 0, ta giải Ị/ theo X (hoặc X theo y) và thế vào hàm số 2 = f(x;y).

Bước 2 Ta tìm cực trịcủahàmhợp một biếnz = /(x,'y(x)).

Vídụ 4.22 Tìm cực trịcủahàmsốz = x2y thỏađiều kiện ỹ(x;y) X— y4- 3=0.

Giải Hàm số z = x2y có miền xác định D = R2.

Bước 1 Từ điềukiện (p(x;y) = 0 ta suy ra y = X 4- 3 Thay y vào z tađược z = X3 4* 3x2

Bước 2 Ta có: 2z(x) = 3x2 4-6x = 0 có 2 nghiệm X = —2 V X = 0. Tínhđạo hàm-cấp 2 z"(x) = 6x 4- 6

• Với X = —2, tacó y = 1và z"(—2) < 0.Suyra hàm số đạt cực đạitại điểm Mi (—2; 1) và zcW = 4.

• VớiX = 0, ta có y = 3 và z" (0) > 0 Suy ra hàm số đạt cựctiểu tại điểm M2(0,3) và ZCT = 0.

■ Phương pháp nhân tử Lagrange Để tìm cực trịcủa hàm số Z = f(x;y) thỏa điềukiện ỹ(x; y) = 0, ta thựchiện các bước sau:

Bước 1 Lập hàm phụ (hàm phụ còn được gọi là hàmLagrange)

Trang 102 Chương 4.Phéptính vi phân hàmhaibiến Bước 2 Um điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình í^x(%;y) = f'^y) +A^Jx;y) = 0 s L'y(x;y) = f^x;y) + ẢyỌx;y) = 0 lõ ln(l+ 2x2) + arcsữrx

A L = -2/9 B L = -4/9 c L = 0 D L = 8/9 Câu1.55 Tính giới hạn = lim xỉ

Câu 1.56 lìm giới hạn = lim X(Inx — ln(x+ 1))

Câu 1.57, lìm giới hạn — lim xex

Câu 1.59 Tìm giới hạn = lim ° ■ X-41 Inx

2sinx—sin2x Câu1.60 lim giới hạn— lim„ ’ L _ ° x4Õ 2 tan X — tan 2x A.L = 1 B.L=-1 c L = l/2 D L = -1/2

Câu 1.61 Tìm giới hạn — lim ísinx)1^105111^

Trang 32 Chương 1 Phéptính viphânhàm một biến

/^-JX *2+3 Câu 1.62 Tính = lim I , , ~ I x-ioo ỵxz +1 y

A L = e“2 B L = e"1 c L = e D L = c3' ổ* —ổ * — 2x Câu1.63 Tính giới hạn = lim -————

Câu 1.65 lìm giúi hạn = hill cos X +ln(l + X2)

Câu1.67 lìm giới hạn = lim -5—

Câu1.68 lìmgiới hạnL = lim (cotx)ln^1+ ) x->0+

Câu1.69 Tìm giới hạnL = lim (2 — x/x-2)

Câu 1.70 Tính giới hạn L = lim (x)sinx

5* —4X Câu 1.71 lìm giới hạnL = lim —S—■—

Câu1.73 Tìm giới hạn L = lim X Inx ° : X-+0+

1.6 Bài tập trắcnghiệm chương 1 Trang 33

Câu 1.74 Tính giới hạnL = lim X2 InX

— 1 — X Câu 1.76 Tìm giới hạn L = lim -—7 - x-ằ0 sirrx

Câu 1.78 Tìm giới hạn L = lim -— -

A L = 1 B L = -1 c L= 1/2 D L = -1/2 Câu 1.79 Tim giới hạn L = lim X (ẽ^x —lì

Tích phân bất định

■ Nguyên hàm Định nghĩa 2.1 Cho hàm /(x) xác định trên (a;b').Hàm F{x} xác định trờn (ữ;b) được gọi là nguyờn hàm của hàm f(x) trờn (ô; b) nếu

■Tích phân bất định Định nghĩa 2.2 ChoF(x) là nguyênhằm củahàm f(x) trên (a;b).

Tập hợp tất cả cácnguyên hàmcủaf^x) trên (a; b) đượcgọi là tích phân bất định của f(x) trên (a; b),kýhiệù là Ị f(x)dx Vậy f(x)đx = F(x) + c, vớic là hằngsốtùy ý.

Tích phân bất định cóhai tính chất cơbản:

1 Nếu /(x) có nguyên hàm trên (a;ờ) và k là một hằng số thực thì f r Ị k.f(x)dx= k.Jf(x)dx.

Tích phân xác định

2 Nếu /(x) vàg(x) cúnguyờnhàm trờn (ô; &) thỡ Ị[fW+zW\dx= j f^dx + Ị g(x)d

■ Bảng các tích phân bấtđịnhcơ bản

Từ bảng cácđạo hàm cơ bản tasuy racác tích phân bất định cơ bản. ỉ Y®+1

1 Phương pháp đổi biến (xem giáo trình).

2 Phương pháp tích phân từng phần (xemgiáo trình).

■ Công thức Newton - Leibniz Định lý 2.1 Nếu f(x) liên tục trong [a;b] và p(x) là một nguyên hàm của/(x) trên đó thì x)dx = F(b) - F(a) (2.1)

■ Phương pháp tíchphân xác định

Tích phân suy rộng loại 1

Địnhnghĩa2.3 Cho hàm số fix') xác định trên [a; +oo) và /(x)khả tích trên đoạn [a; b] Tích phân

Ja b—>-Ị-°° Jũ đượcgọi là tíchphân suyrộng của hàmsố/(x).

• Nếu giới hạntrên tồn tại và hữuhạn, ta nóitíchphân Ihộitụ;

• Ngượclại, ta nói tích phân ĩphân kỳ. y+co

Vídụ 2.1 Khảo sát tính hội tụ của tích phân J e~xdx.

Giải Hàm f(x) = e x xác định và liên tục trên [0;+oo) nên khảtích trên [0; bl.Do

/ e~xdx= lim / e~xăx= lim |“Cx|j

= lim (1 — e~b) = 1, b-too nêntích phânđã cho hội tụ.

Ví dụ 2.2 Khảosáttínhhội tụ của tích phân /

Giải Hàmf(x) = ^ĩ xác định và liên tục trên (—oo;0] nên khả tíchtrên [b;0] Ta có f° 1 , f0 1 ,

/ ^—^dx = lim / ——-^dx J—oo 1 + X2 È—4—oo Jb 1 T X^

Vậy tích phân đãcho hội tụ.

2.3 Tíchphân suy rộng loại '1 Trang37

Tích phân 2 = /f dx-^ hội tụkhivà chỉkhi a :> 1.