bài tập toán cao cấp 1 iuh

KHOA KHOA HỌC co BẢN - Tồ TOÁN LẼ VĂN LAI chù biênBài tập TOÁN CAO CẤP 1Đồng tác giả:Nguyễn Ngọc ChươngĐoàn Vương NguyênTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP... Lời nói đâuĐượcsự chấp thuận của

KHOA KHOA HỌC co BẢN - TÓ TOÁN LÊ VĂN LAI (chủ biên)

KHOA KHOA HỌC co BẢN - Tồ TOÁN LẼ VĂN LAI (chù biên)

Bài tập

TOÁN CAO CẤP 1

Đồng tác giả:

Nguyễn Ngọc ChươngĐoàn Vương Nguyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP Hồ CHÍMINH

Lời nói đâu

Đượcsự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể

Giảng viên Tổ Toán, cuốn giáo trìnhToán caocap 1 của tácgiả Lê Văn Laiđược sử dụng làmgiáo trình chính thức kể từ năm học 2018 - 2019.Giáo trình đượcbiênsoạn công phu,các kiến thức được trình

bày một cáchlogic và đầy đủ.

Trong quá trình giảng dạymônToáncao cấp 1, Tập thể Giảng

viênTổ Toán nhận thấy rằng bên cạnh giáo trình chính đãgiới thiệu,

sinh viêncó nhucầu cần thêm‘một tài liệu bàitập hỗ trợ đểviệc học được hiệu quảhơn Do đó, trong năm học2019 -2010, TổToán chophát hành quyểnBài tập toán cao cấp 1 Trong tài liệunày,các kếtquả lý thuyết được trình bàydưới dạngtóm tắt kèmtheocácvídụ

minh họa có lờigiảichi tiết rõ ràng Hơn thếnữa, cuối mỗi chương chúng tôi đưa vào các dạngbài tập trắc nghiệm phongphú và sát vớichuẩnđầu ra của môn học.

Tài liệunày được thực hiện bởi nhóm tácgiả có nhiềunăm kinh

nghiệm tronggiảng dạy Toáncao cấp Cụ thể:

Chương 1 doHuỳnh Văn Hiếubiên soạn;

Chương 3 do NguyễnNgọc Chươngbiênsoạn;Chương 4 do Lê Văn Lai biên soạn;

Chương 5 do Đoàn Vương Nguyên biênsoạn.

Tập thểtác giảxin gửi lời chân thành đến banlãnh đạo Khoa, đặcbiệtTS Ngô Ngọc Hưng đã tạo mọi diều kiện tốtnhấtđểchúng tôi hoàn thành quyểnsách này Do tài liệu được xuất bảnlần đầu,nên

thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Nhómtác giả mong nhận đượcnhững ý kiến phê bình và góp ý củađộc giả.

TP HCM,tháng-8 năm 2019Nhómtácgiả

2.2 Tích phân xác định 35

2.3 Tích phân suy rộng loại1 ' -36

2.4 Tích phân suyrộng loại 2 39

2.5 Bài tập trắc nghiệm chương2 41

Tính tích phân suy rộng 41

Định thamsốđể tích phânhội tụ 49

Mục lục

3.1 Đại cương về chuỗi số 58

3.2 Chuỗi sôdương 61

3.2.1 Khái niệmchuỗi dương 61

3.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 62

3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ 69

3.3.1 Chuỗi dan dấu 69

3.3.2 Hội tụ tuyệt đối 70

3.4 Bài tập trắcnghiệmchương3 72

Câu hỏilý thuyết 72

Tính tổng riêngphần 73

Xéttính hội tụcủachuỗidương 78

Xét tính hộitụ củachuỗi dan dấu 79

Xét tínhhội tụ của chuỗi đan dấu theo thamsố 80

Xét tínhhộitụ của 2chuỗi số 81

Xét tính hộitụ của chuỗi có dấu bất kỳ theo tham số 874 Phép tínhvi phânhàmhai biến4.1 Đạohàm riêng

4.2 Vi phân

4.3 Phươngpháp tìmcựctrị tựdo

4.4 Phương pháp tìm cực trị có diều kiện

4.5 Bài tập trắcnghiệm chương 4

115

Chương 1

Phép tính vi phân hàm một biến

1.1 Giới hạn của hàm số

Định nghĩa1.1 (Giới hạn) L dược gọi là giới hạn của hàm số y =

f(x) tại điểm ft, lim = L,nếu với mọi E > 0 cho trước nhỏ tùy ý, ta

có thể tìm được J(e) > 0 cho trước sao chovới mọiXthuộcmiền xácđịnhthỏa điều kiện |x — ft| < í(c) thì bất dẳngthức |/(x) — L| < Eđược thỏamãn.

Địnhnghĩa 1.2 (Giới hạn một phía).

- Nếu f(x) cógiới hạn là L khi X —> ft vớiX > ft thì ta nói /(x)

có giới hạn phải tại a, ký hiệu lim = L

Trang2 Chương1.Phép tính vi phânhàm một biến

3-J^f/W-gW] = «-&/ ■

4- s^x)^x)l= ab' X—rX

5 ^?01 ( = ĩ' b /0, và g(x) /0trongmộtlân cận của a.A^ốkA2 u

Ví du 1.3 Tìm giới hạnlim

Giải Tacó

X4 — X2 + 3lim -=-—— = X-»Ô X2 + 1

1.1 Giớihạn của hàm số Trang 3■ Tínhchất kẹp

Choba hàmsố f,gvầh xác định trên (a; b) \ {íí} và ít e (a;bỴ Nếu/W ^ g(*) < /i(x),Vx e (a;b) \ {a},

lim f(x) = ổ = limh(x)

thì lim?(x) = B.

Ví dụ 1.4 'lìm lim X sin — x->ó X

Giải. Ta có

suy ra I

xsm -

X < ki/ Vx e R\{0},kl <xsin| < |x|, Vx eR\Mmà

Trang 4 Chương 1 Phép tính vi phân hàmmột biến— T x^ +X® + 5 7t • V3 „

Đo lim ——5-——^ = — và lim siny = +— nênxAÒ 2x2+l 3 y^f 3 2

■ Một số giới hạnquan trọng

1 lim 11+ —) = e.x->±co \ X J

„ , sin X _2 lim —— =1,

Giải Giớihạn códạngl00 Ta biến đổisao cho hàm ở cơsốcó dạng[1 +u(x)]"W,với u(x) —> 0 Ta biến đổi

1 - _ cosx — l

(cosx)? = (1+ cosx — * 5 lim Inx = +cò, lim Inx= —00

x->+oo Mo+

ln(l + x) , ex-l6 lim —-—-—- = 1; lim - = 1

7 Nếu limu(x} hữuhạn.dương và lim u(x) hữuhạn, ta có X-+X ' ° x+a ' '

lim [ư(x)]u^ x-»a J

1.2Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn Trang 5

Giải. Giới hạn CÓ dạng l00.Ta biến đổi

Mà lim

-2X2+ 3/

lim X—>4-00

1 1 \ x2 X + 1 \ x^ + 3/

= e,vàX2 + 1A

.2’ =e-2

—2, nên

1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn

Hàm tương đương

Cho hai hàm/(x),g(x) xác định trên lân cận của a G R

nóihàm /(x)vàg(x) tương đương khi X —t « nếu

Trang 6 Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến

Ví dụ1.8.

1 sin X, tan X, 1 — cosX lànhữngVCB khi X —> 0.2 cos X, cotX là nhữngVCB khi X—> y.

3 là VCBkhi X 4 ±00.x2 + 3

4 (l +x)“-llàVCBkhix->0.

5 In (1 + sin2(zr— x)^ làVCB khi X —> 7Ĩ.

1.2 Vô cùng bé,vôcùnglớn và giới hạn Trang7

•1 Nếu K = 0 thì ta nói /(x) là VCB cấp cao hon g(x), ký

hiệu/(x) = o(g(x)) khi X—> í?.

2 Nếu K = ±00 thì ta nói g(x) là VCB cấp cao hơn f(x),

ký hiệu g(x) = o(/(x)) khi x —^ a.

3 Nếu K Ể {0, ±00} thì ta nói/(x) và g(x) cùng cấp.

Chúý. Trong trường hợp dặcbiệt, nếu K = 1 thì ta nói f (x) vàg (x)

là hai VCB tương đương khiX —>đ, kí hiệu / (x) ~ g (x).

Vídụ 1.9.

1 Khi X —> 0, X2 và 1—cos X là haiVCB cùng cấp vì

, 1 —cosx 1lim——= = -.

Trang8 Chương 1 Phéptính vi phânhàm mộtbiến '

KhiX —> 0,ta có các VCB tương đương cơ bản sau đây:1.sinx ~X 6 ln(l + x) ~ X2 tanx ~ X 7-logn(l + x) ~ I^3 arcsinx ~ X 8 ữ*— 1 ^ xlna4 arctan X ~ X 9.^ -1 ~r

Cho/(x),g(x) làhaiVCB khi X—> ữ Khi đó:

1 Nếug(x) = 0(/(x)),cấp của g(x) lớn hơn cấp của/(x),thì

2 Giả sử y(x) ~ /i(x) và g(x) ~ gi(x) khi X -^ a. Nếu/(x) và g(x) cùngcấp nhưng không tươngđương,nghĩa là

lim = b, b £ {0,1, oo),thì/(*) -^(x) ~ /1 (x) - £1W/khi X -> a.

Ví dụ 1.10.

1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn Trang9

Ví dụ 1.11 Sử dụng quỵ tắc ngắt bỏ VCB cấp cao tìm hàm tương

khiX—t 0

Giải.Khi X 4 0, ta có

In (Ị+ tan (3x)) ~ tan (3x) ^ 3x

(ựl + 2sinx — 1) ^ỂỈ -lj ~ (sinx) (5) ~ YIn (1 +2x3) - 2x3

VìX2 — O(x) và X3 = o(x), theo quy tác ngắt bỏVCB cấp cao ta /(x) ~3x+ y + 2x3 ~ 3x

có-Trang 10 Chương1 Phép tính vi phânhàm một biến

Chú ý Khi X —> ữ, giả sử f(x) ~ /1 (x) vàg(x) ~ gi(x) Nếuf(x) và

g(x) là haiVCB tương đương thì

mà X — X = 0 nên

tan X — sin X ^ X—X.-r' , , „ X + 3 sin2 X

VÍdu 1.14 Tính lim —' ,—.x->0 5x + X3

Giải KhiX ^ 0,ta có3sin2 X~3x2 = 0(x) và X3 = 0(x), do đó,x + 3sm2x X

lim —-—■—=— = lim — = X >0 5x+ X3 X >0 5x

Ví dụ 1.15 Tính lim —-—-7-5—-.x^o X+ sin3 X

Giải. Khi X —> 0, ta có ln(l + tan x) ~ tan X ~ X và sin3 X ~ X3 =

0(x),do đó,

ln(l +tanx) X lim -——ĩ - = lim— = 1.x->0 X + sim X x->0 XVí dụ 1.16 Cho hàm số

1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn vàgiới hạn Trang 11

Trang 12 Chương 1.Phéptính vi phânhàm một biến

Ví dụ 1.19.

2 Khi X —> 4-00, v^x64-3x24- 1 và ^2r» 4- 3x+ 2x là hai VCL

cùng cấpvì

\/x6 4-3x2 4-1lim t;ị- ; - —

1 Khi X —> 4-00,X24- 1 là VCL cấp cao hơn ựx vì

1.3 Tính liêntục của hàm số Trang 13

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Chof(x),g(x) là haiVCLkhiX —> đ Khi đó:

1 Nếu cấp củaf{x)nhỏhơn cấp của g(x) thì

fM+g(x)^g(x), x^a.

2 Giả sửf{x) ~ /i(x) và g(x) ~ gi(x) khi X —> a. Nếu

/(x) và g(x) cùngcấp nhưngkhông tương đương, nghĩa

Giải Khi X —> 4 co ta có

73x2 4- 2x 4-1 — 75x 4- 2 ~ TTx2 4- 2x4-1 ~ 73x2

7x3 4-X 4- Tx3 ~ 7*3 4-X~ 77kDo đó,

73x24-2x 4-1 — 75* 4-2 73x2 4- 2x 4-1lim - —77= -= lim - = —x^+“ 7*34- X4- Tx3 x-»+w VX3 T X

= lim CL = 73.

X—>+oo Ợỵ3

1.3 Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa 1.3 Cho hàm số /(x) xácdịnh trên (a;b)và ae (a;bỴ

Tanóihàm số/(x) liên tục tại a nếu lim f(x) = f^Ỵ

Ví dụ1.21 Chohàm số

{, xtanx .,., khi X L 0

ln(l 4- X2)

Trang14 Chương 1. Phéptínhvi phân hàm’một biếnTim a đểhàm sốliên tục tạỉX = 0.

Định nghĩa1.4 (Hàm số liêntục một phía).

- Hàm số/(x) được gọi làliên tụctrái nếu lim f(x) = /(xo).

- Hàm số /(x) được gọi là liên tục phải nếu lim /(x) = /(xo)

Định lý1.2 Hàmsố /(x) liêntụctại Xo nếulim /w = ton /ơ) = 7(xo)X—»Xqx->xj

Định lý 1.4 Nếu f cóđạo hằm tại Xo, g xác địnhtrong một lân cận

của yo = y(x0) và có đạo hàmtại y0 thìgofcó đạo hàm tại Xo- Khi đó,

(£°/)'(xo) = g\yo)f(xo)= g'ư(.x0))f'(x0).

Hơn nữa,nếu giả thiếttrênđúngvới mọiXo € («;b) thì hàm số

hợp g of cóđạo hàm trong («;b\ Khiđó,(wmww»m

Ví dụ 1-23 lìm đạo hàm của hàmsố h{x) = (1— 3x)4.

Giải. Ta xemf(x) = 1 — 3x vàg(y) = y\ ta cóy'(x) = —3, g'{y) =

4y3 Ap dung công thức đạo hàm củahàmsố hợp,ta đượcW) = ỉ'(/«) 7'w = 4(1 - 3x)3 - (-3).

Trang 16 Chương 1 Phép tính vi phân hàm mộtbiếr1.4.4 Bảng công thức đao hàm

1.4.5 ứng dụng đạo hàm trong bài toán giới hạn

Hàm sơ cấp Hàm hợp tương ứng

1 (ex)' = ex (e“)' = u'eu

3 (x*)' = ax“-1 (uay = u'a.ua~ì

4 (^axỴ —axìna(auy=u'au]r\.a

5 (logj)' = 71k (log„ uy = u'i

7 (cosx)' = — sinx (cosu)' = —u' sin lí8 (tanx)' = 1+ tan2x (tanu)' = u'(l+tan2 lí)9 (cotx/ = —(1+ cot2 x) (cotlí)' = -u'(l+ cot2 ù)

10 (arcsinx)7 = 1 (arcsinu)/ = , “' ,

11 (arccosx)' = —, 1 A (arccosu)' = —, “ , ựl-»212 (arctan xỴ = ^ (arctanu)' =

13 (arccotx)' = ~ĩ^ĩ (arccotu)' =-^

Chú ý. Quy tắcL'Hopital có thể được sử dụng liên tiếp nhiều lần nếu các điều kiện của quy tắc được thỏa Nếu vận dụng quy tắcL'Hopital và kếthợp thay thếhàmtương đương VCB một cách hợp

Quy tắc L'Hopital

Cho f{x),g (x) là haihàm liên tụcvà có đạohàm trong lân

cận điểm a thỏa điều kiện

lim f(x) = lim v(x) = 0 (hoặc ±oo).

Nếutồntại lim 4W = Lthì cũng tồntại lim 44 = L.

VX + 1 — 1 — 7Ví dụ 1.25 Tính lim - —=

lim—„ „— = lim - 3 - , ísin X ~ X , X —> 0;

XHO X2 sin7 X XHO X4

2x —sin2x 2 —2cos2x= lim -—ĩ -= lim ■———5 -

Trang 18 Chương 1 Phép tínhví phânhàm một biếnVídụ 1.28 Tính lim

x-n-ln(l —x) \oo/

Giải. Ta có

ln(l - x) 2 Z->1~ cos2(^)

Vídụ 1.29 Tính limX—>4-00

■ Dạng vô định 0 ■ 00

Xét giới hạn lịm/(x)g(x) trong đó /(x) —> 0 và g(x) —> co khi

X —> a Ta có haicáchkhử như saư:

• Nếu L = 1 thì giới hạnlim/(x)

Trang 20 Chương 1 Phép tính viphân hàm một biến

Ví dụ 1.32 Tính lim (x — ln2x),(oo —oo)

Giải.Vì lim^ũ = limwo ^^ — 1 nên khi ta viếtlim ( cotx — — = lim cotx I 1 ———

-+ 0+-> 0.

= glinv-H ^ _ elim^_n i _ e~l

Ví dụ1.35 Tính lim (x + 2x)x (t»°)X-H-oo'

X->+00 1

Im ylnĩ2X—n-001 +2* ln2

lim (x + 2x)s =2.X—»+oo

Trang 22 Chương 1 Phép tính vi phânhàmmôt biến1.5 Vi phân

Ví dụ 1.37 Tính vi phâncủa hàm số f(x) = X2ổ3x tại điểmX= —1.

Giải.Vìy'(x) = 2xe3x + 3x2e3x, nên ta có /(-1) =ổ~3 Vậy ^/(~1) = y^—l)dx = e~3ãx

1.6 Bài tập trắc nghiêm chương 1

■ Tìmhàm tương đươngCâu 1.1 Cho hàm số

/(x) = 1 — cos X + ln2(l + tan22x) + 2ạrcsin3xHàm tươngđương củay(x) khi X —> 0 là

Câu 1.2 Cho hàmsố

/(x) = (cos 2x- ex)(x2 +1 - cos xì+ x(cos3x — cosx) ln(l +^x—cosậ;Hàm tươngđươngcủa /(x) khi X —> 0 là

1.6 Bài tập trắc nghiệmchương 1 Trang 23Câu 1.3 Cho hàm số

y(x) = (x2 + tan2x)(l — Cơs2x) + (e2x — 1^ ln(cos4x) + y/e* — 1.Hàm tương đươngcủay(x) khi.x —> 0 là

A /(x) ~ 5 „ Ỉ A*) ~ “ỉ

Câu 1.4 Cho hàm số

y(x) =1 (? — 1 Alnicos xì + 71 + 2sỉrrx_—1Hàm tương đương của /(x) khi X —> 0 là

c y(x) ~ —X2 D y(x) ~ —X2Câu 1.5 Cho hàmsố

/(x) — 1 —cos X + ln2(l + sm22xj +2arcsin3x

Hàmtương đương củay(x) khi X —> 0 là

Ạ.y(x) ~ ^ B /(x) ~ 2x3c /(x) ~2x3 D /(x) ~2x3Câu 1.6 Cho hàm số

y(x) = ln(l + 3x) 4 pl 4- 2 sinx -J Xf tan3x + X4.Hàm tương đương củay(x) khi X —>.0 là

Á y(x) ~ X2 B /(x) ~ X3

c /(x) ~X3 D./(x) ~ X3Câu 1.7 Cho hàm số

/(x) = ln(l + tan 3x) + (V1 +2sinx —1) (arcsin 2x +X2;.Hàm tươngđương của /(x) khi X —> 0 là

A/(x)~3x B./(x) -ị

Trang24 Chương 1 Phép tínhvi phân hàm một biến

f(x) = (a2 + tanlx^ (1 — cos2x) + ^e2*—1^

Hàmtương đương của f(x) khi X—> 0 là

A /(x) ~ 4x2 B f(x) ~ 2x

0 f(x) ~ 2x D f(x) ^ 2xCâu 1.12 Cho hàm số

■ f(x) = ln(l — X2 + 2x) + sinX —arctan2xHàm tươngđươngcủa f(x) khi X —> ũ là

1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1 Trang 25Câu 1.15 Cho hàm số /(x) = (cos2x-l) (x + arcsinx2) Hàm

tương đương của /(x) khi X -Ạ 0là

A /(x) ~ —2x3 B /(x) ~ 2x3c /(x) ~ 2x3 D./(x) ~ 2x3

■ Dùng VCB tínhgiớihạn

Trả lời 2 câuhỏỉsau:

„ , A A 1 — cosx—X3Chohàm sôf[x) = —7—— -X-

Câu1.18 KhiX -t 0, hàm số/(x) tương đương với

Trang 26 Chương 1 Phép tính viphân hàm một biếnCâu 1.20 Khi X-ì 0, hàm số f(x) tương đươngvới

Cằu 1.22 Khi X —> 0,hàm số /(x)tương đương với

Câu 1.24 Khi X—> 0, hàm số /(x) tương đương với

1.6 Bàitập trắcnghiệm chương 1 Trang 29Câu1.38 Khi X—> 0, hàmsố /(x) tươngđương với

■ Tính giới hạnhàm chứa tham số

Câu 1.40 Chohằng số thực0 < k,tínhgiá trị của giới hạnh(i + ^)

Câu 1.42 Chohằng số thực 0 < k, tính giá trị của giớihạn

In(coskx) 1^0 7^1)

6 B -k f ^ -2fc+612

Trang30 Chương 1 Phép tínhviphân hàmmột biếnCâu1.45 Chohằngsốthực0<k,tính giá trịcủa giới hạn

_ y/kx + 1 — y/kx T-1lim -. - ~ 9 -x->0 arcsin X + sin X

1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1 Trang31■ Quytắc UHopital

Câu 1.50 Tínhgiới hạn= lim xỉ

Câu 1.59 Tìm giới hạn = lim

° ■ X-41 Inx

A.L= 3 B L = 2 c L= 1 D L= 02sinx—sin2x

Câu1.60 lim giới hạn— lim„ ’ L _

° x4Õ 2 tan X — tan 2x

A.L = 1 B.L=-1 c L = l/2 D L = -1/2

Câu 1.61 Tìm giới hạn — lim ísinx)1^105111^

A L = e B L = e2 c L = 2ựẽ D L =

Trang 32 Chương 1 Phéptính viphânhàm một biến/^-JX *2+3

Câu 1.62 Tính= lim I , , ~ I x-ioo ỵxz +1 y

A L = e“2 B L = e"1 c L = e D L = c3'ổ* —ổ * — 2x

Câu1.63 Tính giới hạn = lim -———— ■ x->ó X — sin X

Câu 1.64 lìm = lim ■ „ —7 Ix-400 yxz — X — 1/

A.L = 0 B L = 2 c L = 1/2Câu1.68 lìmgiới hạn L = lim (cotx)ln^1+ )

A L = e B L = e2 c L = 2ựẽCâu1.69 Tìm giới hạnL= lim (2 — x/x-2)

5* —4XCâu 1.71 lìm giới hạnL = lim —S—■—

Câu1.73 Tìm giới hạn L = lim X Inx° :X-+0+

A L= o B L = oo C.L = 1 D L = 2

1.6 Bài tập trắcnghiệm chương 1 Trang 33Câu 1.74 Tính giới hạn L = lim X2 InX

/ 3x+2Câu 1.75 TìmL = lim I 1+ -7 Ị

x-xi \ 2x2 + X -1 7

A L = oo B L = e3 c L = e2 D L = 1— 1 — X

Câu 1.76 Tìm giới hạn L = lim -—7 - x-»0 sirrx

A L = 2 B L = 0 c L = 1 D L = 1/2 _ ,., _ , 2tan X —tan 2x

Câu 1.77 Tìm giớihạn L = lim -—5-———7——77“—7

0 X->Ò arcsin32x4 ln(l + X3) + X4A L = 2/9 B L= -2/9 c L =3/4 D L - _ .X — arcsin X

Câu 1.78 Tìm giới hạn L = lim -— -

0 ■ X-»Õ X —tanx

A L = 1 B L= -1 c L= 1/2 D L = -1/2Câu 1.79 Tim giới hạn L = lim X (ẽ^x —lì

A L = 0 B L = 1 c L = 2 D L = -1

Chương 2Tích phân

Định nghĩa 2.2 ChoF(x) là nguyênhằm củahàm f(x) trên (a;b).

Tập hợp tất cả cácnguyên hàmcủaf^x) trên (a; b) đượcgọi là tíchphân bất định của f(x)trên (a; b),kýhiệù là Ị f(x)dx.Vậy

f(x)đx = F(x) + c,

vớic là hằngsốtùy ý.■ Tính chất cơ bản

Tích phân bất định cóhai tính chất cơbản:

1 Nếu /(x) có nguyên hàm trên (a;ờ) và k là một hằng số thực

Ị k.f(x)dx= k.Jf(x)dx.

2.2 Tích phân xác định Trang 352 Nếu /(x) vàg(x) cónguyênhàm trên («; &) thì

z-J^^H+V r 'ax

4 / aãx= 7—— +C,0 < a 7^1;

6.J sin xdx = —cosX + C;8 / —ĩ~dx= tan X+ C;

J cosz X

10 ỉ —===dx = arcsinX+ c.

J V1 -X2

■Phươngpháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến (xem giáo trình).

2 Phương pháp tích phân từng phần (xemgiáo trình).

2.2 Tích phân xác định

■Định nghĩa và tínhchất

Xem giáotrình.

■ Công thức Newton -Leibniz

Định lý 2.1 Nếu f(x) liên tục trong [a;b] và p(x) là một nguyênhàm của/(x) trên đó thì

Trang 36 Chương 2 Tích phân■ Phương pháp tíchphân xác định

Xem giáo trình

2.3 Tích phân suy rộng loại 1

Địnhnghĩa2.3 Cho hàm sốfix') xác định trên [a;+oo) và /(x)khả tích trên đoạn [a; b] Tích phân

1=1f{x}dx= lim / f^dx Ja b—>-Ị-°° Jũ

đượcgọi là tíchphân suyrộng của hàmsố/(x).

• Nếu giới hạntrên tồn tại và hữuhạn, ta nóitíchphân Ihộitụ;

• Ngượclại, ta nói tích phân ĩphân kỳ.

Vídụ 2.1 Khảo sát tính hội tụ của tích phân J e~xdx.

Giải. Hàm f(x) = e x xác định và liên tục trên [0;+oo) nên khảtích

trên [0; bl.Do/

/ e~xdx= lim / e~xăx= lim |“Cx|j

= lim (1 — e~b) = 1,

nêntích phânđã cho hội tụ.

Ví dụ 2.2 Khảosáttínhhội tụ của tích phân /

= lim arc tan x “ = —

Vậy tích phân đãcho hội tụ.