Tóm tắt kiến thức và câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học (tài liệu tham khảo)

Quy tắc cộng – Quy tắc nhân

Quy tắc nhân

Tương tự như trên, nếu công việc đó được chia thành nhiều giai đoạn để thực hiện, cụ thể như sau: – Giai đoạn 1 cón 1 cách thực hiện.

– Giai đoạn 2 cón 2 cách thực hiện.

– Giai đoạnkcón k cách thực hiện.

Khi đó, số cách thực hiện công việc này được tính như sau: n =n 1 n 2 n k

Ví dụ 1.2 Giả sử rằng để đi từ A đến B chỉ có thể đi từ A qua B rồi qua C mới đến được D Cho biết để đi từ điểm A đến điểm B có 3 cách đi; đi từ điểm B đến điểm C có 5 cách đi; đi từ điểm C đến điểm D có 4 cách đi Hỏi có bao nhiêu cách đi từ điểm A đến điểm D?

Khi đó, số cách đi từ A−→D là n=n 1 ãn 2 ãn 3 = 3.5.4 = 60 cỏch.

Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Hoán vị không lặp

Cho một tập hợp gồmnphần tử (n ≥ 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tựnphần tử của tập hợp được gọi là một hoán vị củanphần tử đó.

Ký hiệu và công thức tính:

Ví dụ 1.3 Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 sinh viên vào một cái bàn dài có 4 chỗ ngồi?

Giải Theo yêu cầu bài toán, ta có

Chỉnh hợp không lặp

Cho một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là một nhómkphần tử không lặp và có thứ tự lấy ra từn phần tử đã cho Ký hiệu và công thức tính:

Trong trường hợpk =n, ta có

Ví dụ 1.4 Trong một giải đấu bóng đá, có các đội: A, B, C và D tham dự Hỏi có bao nhiêu trận đấu diễn ra? Biết rằng trong giải đấu này, hai đội bất kỳ gặp nhau hai lần theo quy định sân nhà, sân khách; sau đó tổng kết để trao giải.

• Quan tâm đến thứ tự lấy ra.

Khi đó, số trận đấu diễn ra là:

Ví dụ 1.5 Trong một lớp học có 45 sinh viên, giảng viên chọn ngẫu nhiên lần lượt 3 sinh viên để lập ra ban quản lý lớp bao gồm: lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách lập ban quản lý lớp như trên?

• Bài toán quan tâm đến thứ tự chọn.

Khi đó, ta có số cách lập ban quản lý là:

Tổ hợp không lặp

Cho một tập hợp gồmn phần tử (n ≥ 1) Tổ hợp chậpk củanphần tử (1≤ k ≤ n) là một nhómk phần tử không lặp và không thứ tự lấy ra từnphần tử đã cho Ký hiệu và công thức tính:

Trong trường hợpk =n, ta có

Ví dụ 1.6 Trong bộ đề thi có một chủ đề có 25 câu hỏi thi Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên ra 3 câu hỏi thi khác nhau của chủ đề này?

• Không quan tâm đến thứ tự chọn.

Khi đó, ta có số cách lập đề thi thoả mãn yêu cầu bài toán:

Ví dụ 1.7 Trong một lớp học có 45 sinh viên, giảng viên chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên để lập ra ban quản lý lớp Hỏi có bao nhiêu cách lập ban quản lý lớp như thế?

• Bài toán không quan tâm đến thứ tự chọn.

Khi đó, ta có số cách lập ban quản lý thoả mãn yêu cầu bài toán:

Bài tập tự luận

Bài 1 Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai?

Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho các chữ số đầu và chữ số cuối đều làm số chẵn?

Bài 3 Một cuộc họp có 15 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay 4 người Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

Bài 4 Một lớp có 40 sinh viên Giảng viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ Hỏi giảng viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp?

Bài 5 Một giảng viên có 10 cuốn sách Toán cao cấp khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số tuyến tính, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Xác suất Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 sinh viên sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn Hỏi giảng viên có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?

Bài 6 Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 5 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp Hỏi

(1) Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi trắng?

(2) Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 1 bi trắng?

(3) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng, 1 bi xanh?

Bài 7 Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 4 viên bi xanh và 6 bi vàng Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi từ hộp cho đến khi lấy được bi xanh thì dừng lại Hỏi

(1) Có bao nhiêu cách lấy đến bi thứ 2 thì dừng?

(2) Có bao nhiêu cách lấy đến bi thứ 3 thì dừng?

(3) Có bao nhiêu cách lấy đến bi thứ 3 thì dừng và các bi đều khác màu?

Bài 8 Năm người A, B, C, D, E sẽ phát biểu trong một hội nghị Có bao nhiêu cách sắp xếp để: (1) Người B phát biểu sau người A.

(2) Người A phát biểu xong thì đến người B phát biểu.

Bài 9 Có 7 sinh viên được sắp xếp ngồi vào 7 chỗ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài Tìm số cách xếp

(1) 7 sinh viên ngồi vào bàn này.

(2) 7 sinh viên ngồi vào bàn này sao cho 2 sinh viên A, B ngồi cạnh nhau.

(3) 7 sinh viên ngồi vào bàn này sao cho 2 sinh viên A, B không ngồi cạnh nhau.

Bài 10 Một hộp có 10 bi đỏ, 8 bi trắng, 6 bi vàng Người ta chọn ra ngẫu nhiên 6 bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

(2) Có 2 bi đỏ và tối đa 2 bi vàng.

(3) Có ít nhất 2 bi đỏ, ít nhất 1 bi trắng và ít nhất 1 bi vàng.

Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 Một địa điểm bán bánh trung thu có bán 8 loại bánh nhân ngọt và 6 loại bánh nhân mặn. Một người muốn mua một hộp có 4 cái khác loại nhau trong đó không có bánh nhân mặn nào, hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

Câu 2 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được một bi nhám và một bi trơn.

Câu 3 Một hộp gồm có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm Người thứ nhất lấy từ hộp ra một sản phẩm rồi để bên ngoài, người thứ hai sau đó mới lấy ra hai sản phẩm từ hộp Nếu người thứ nhất đã lấy được 1 chính phẩm từ hộp, thì người thứ hai có bao nhiêu cách lấy được ít nhất một chính phẩm?

Câu 4 Một địa điểm bán bánh trung thu có bán 8 loại bánh nhân ngọt và 6 loại bánh nhân mặn. Một người muốn mua một hộp có 4 cái khác loại nhau trong đó phải có một bánh dẻo nhân ngọt và một bánh thập cẩm nhân mặn có bán ở địa điểm trên, hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

Câu 5 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được một bi đỏ trơn và một bi nhám.

Câu 6 Một địa điểm bán bánh trung thu có bán 8 loại bánh nhân ngọt và 6 loại bánh nhân mặn. Một người muốn mua một hộp có 4 cái khác loại nhau trong đó có ít nhất một cái bánh nhân mặn, hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

Câu 7 Một địa điểm bán bánh trung thu có bán 8 loại bánh nhân ngọt và 6 loại bánh nhân mặn. Một người muốn mua một hộp có 4 cái khác loại nhau bao gồm 2 cái bánh nhân ngọt và 2 cái bánh nhân mặn, hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

Câu 8 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được một bi xanh nhám và một bi trơn.

Câu 9 Một địa điểm bán bánh trung thu có bán 8 loại bánh nhân ngọt và 6 loại bánh nhân mặn. Một người muốn mua hai hộp, mỗi hộp có 4 cái và đều khác loại nhau, trong đó hộp thứ nhất có 4 cái bánh nhân ngọt và hộp thứ hai có 4 cái bánh nhân mặn, hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

Câu 10 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được 2 bi cùng màu.

Câu 11 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Hãy xác định số bi xanh trơn có trong hộp?

Câu 12 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được 2 bi đỏ.

Câu 13 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được hai bi mà không có bi nào là bi xanh nhám.

Câu 14 Một hộp có 20 bi, mỗi bi là bi đỏ hoặc bi xanh, mỗi bi là bi trơn hoặc bi nhám Biết rằng hộp có 8 bi xanh, 11 bi trơn và 2 bi đỏ nhám Một người lấy ngẫu nhiên hai bi ra từ hộp, hỏi có bao nhiêu cách lấy được ít nhất một bi trơn.

Câu 15 Một địa điểm bán bánh trung thu có bán 8 loại bánh nhân ngọt và 6 loại bánh nhân mặn.Một người muốn mua hai hộp, mỗi hộp có 4 cái và tất cả các bánh trong hai hộp đều khác loại nhau trong đó mỗi hộp đều có 2 bánh nhân ngọt và 2 bánh nhân mặn, hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế – Albert Einstein

2.1.2 Quan hệ giữa các biến cố 14

2.2 Xác suất của một biến cố 17

2.3 Các công thức tính xác suất 18

2.3.1 Công thức xác suất có điều kiện 18

2.3.2 Công thức nhân và công thức cộng xác suất 19

2.3.3 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 21

2.3.4 Công thức xác suất Bernoulli 23

Mục tiêu: Sau khi học xong chương này, sinh viên có khả năng giải quyết các vấn đề sau:

1) Hiểu và mô tả khái niệm không gian mẫu và các biến cố trong xác suất.

2) Tính toán xác suất của các biến cố trong không gian mẫu rời rạc.

3) Hiểu và tính toán xác suất của các biến cố liên hợp và giao của các biến cố riêng lẻ.

4) Hiểu và tính toán xác suất có điều kiện của các biến cố.

5) Xác định tính độc lập của các biến cố và sử dụng tính độc lập để tính toán xác suất.

6) Sử dụng định lý Bayes để tính toán xác suất có điều kiện.

7) Vận dụng được công thức Bernoulli để tính xác suất.

Biến cố

Các khái niệm

1) Phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát về hiện tượng nào đó trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, trong một số điều kiện nhất định.

2) Một phép thử được gọi là phép thử ngẫu nhiên nếu thoả mãn:

• Có thể xác định được tất cả các kết quả có thể xảy ra;

• Không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra cụ thể.

3) Không gian mẫuΩcủa một phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra sau khi thực hiện phép thử.

4) Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) của phép thử là tập con của không gian mẫuΩcủa phép thử này.

Ví dụ 2.1 Tung một con xúc sắc cân đối lên một mặt phẳng và quan sát số chấm của mặt trên cùng của con xúc sắc sau khi nó dừng lại Ta thấy rằng:

• Hành động và quan sát trên là một phép thử ngẫu nhiên Lưu ý: Một hành động chưa thể hình thành một phép thử nếu chưa xác định được quan sát điều gì.

• Phép thử trên có không gian mẫu:Ω = {1,2,3,4,5,6}.

• Một số tập biến cố đơn cử là:A ={1,3,5},B ={2,4,6}, .

Chú ý 2.1 Ta có thể phát biểu các tập biến cố theo dạng một mệnh đề, đặc biệt trong những trường hợp các kết quả của phép thử "khó" có thể biểu diễn được theo hình thức liệt kê, hình học, Theo ví dụ trên, ta thấy biến cốA, B có thể được phát biểu lại dưới dạng mệnh đề như sau:

• A: "biến cố xuất hiện mặt lẻ".

• B: "biến cố xuất hiện mặt chẵn".

Ví dụ 2.2 Gieo hai con xúc sắc cân đối một lần và quan sát số chấm của các mặt trên cùng của chúng.

1) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử trên.

2) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

2) A: "biến cố tổng số chấm bằng 7".

Quan hệ giữa các biến cố

◆Biến cố tổng củaAvàB, ký hiệuA+B ≡ A∪B, xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong 2 biến cốAhoặcB xảy ra.

◆ Biến cố tích của A vàB, ký hiệu A.B ≡ A∩B, xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A và B cùng xảy ra.

Ví dụ 2.3 Một người thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con thú và con thú sẽ chết nếu nó bị trúng cả

2 viên đạn GọiA i : "viên đạn thứ itrúng con thú"(i = 1,2) Hãy biểu diễn các biến cố

• A: "biến cố con thú bị trúng đạn";

• B: "biến cố con thú bị chết" qua biến cốA i

Giải Theo yêu cầu bài toán, ta thấy

• A =A 1 +A 2 : "biến cố con thú bị trúng đạn".

• A =A 1 A 2 : "biến cố con thú bị chết".

Ví dụ 2.4 Có 3 sinh viên thi hết môn Xác suất Gọi

• A i : "biến cố sinh viên thứithi đậu môn Xác suất";

• B: "biến cố cả 3 sinh viên đều thi đậu";

• C: "biến cố có ít nhất một sinh viên thi đậu".

Ta có thể biểu diễn các biến cốA, B như sau:

◆Biến cố Ađược gọi là kéo theo biến cốB, ký hiệuA ⊂ B hay A =⇒ B , nếu biến cốA xảy ra kéo theo biến cốB xảy ra.

◆Biến cốAđược gọi là tương đương với biến cốB, ký hiệuA ⇐⇒B hayA =B, nếuA ⊂ B vàB ⊂ A.

Ví dụ 2.5 Sinh viên An mua một tờ vé số Gọi

• A: "biến cố sinh viên An trúng giải đặc biệt";

• B: "biến cố sinh viên An trúng số"

Ví dụ 2.6 Tung một con xúc sắc cân đối và quan sát số chấm của mặt trên của nó Gọi

• A: "biến cố xuất hiện mặt lẻ";

• B: "biến cố xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 3 chấm hoặc 5 chấm";

• C: "biến cố xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 3 chấm".

◆ Hai biến cốA vàB được gọi là độc lập với nhau, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cốAkhông phụ thuộc vào việc biến cốB xảy ra hay không xảy ra và ngược lại.

◆ Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau, nếu A, B không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.

Ví dụ 2.7 Trong một hộp có 2 loại sản phẩm (loại 1 và loại 2) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp Gọi:

• A: "biến cố lấy được sản phẩm loại 1";

• B: "biến cố lấy được sản phẩm loại 2".

Khi đó, ta thấy rằngAvàB là hai biến cố xung khắc vì không thể xảy ra đồng thời.

Ví dụ 2.8 Gieo riêng biệt 2 con xúc sắc cân đối và quan sát cố chấm của mặt trên của chúng Gọi

• A: "biến cố xuất hiện mặt 6 chấm ở con xúc sắc thứ 1";

• B: "biến cố xuất hiện mặt 6 chấm ở con xúc sắc thứ 2".

Khi đó, ta thấy rằngAvàB là hai biến cố không xung khắc vì có thể xảy ra đồng thời, nhưng chúng độc lập nhau vì không ảnh hưởng đến nhau.

◆ Hai biến cố A và A được gọi là đối lập với nhau, nếu biến cố A xảy ra thì biến cố A không xảy ra và ngược lại.

Ví dụ 2.9 Có 3 sinh viên thi hết môn Xác suất Gọi:

• A i : "biến cố sinh viên thứithi đậu môn Xác suất";

• B: "biến cố cả 3 sinh viên đều thi rớt môn Xác suất".

• C: "biến cố có 2 sinh viên thi đậu môn Xác suất".

Ta có thể biểu diễn các biến cốB, C như sau:

Tính chất 2.1 ChoA, B là các biến cố thuộc không gian mẫu Ω Ta có,

Xác suất của một biến cố

Xét 1 phép thử đồng khả năng 1 , có không gian mẫu là:

Ω = {ω 1 , ω 2 , , ω n }, |Ω| 0 Khi đó, ta có công thức tính xác suất có điều kiện như sau:

Chú ý 2.3 Về cơ bản, xác xuất có điều kiện có mọi tính chất như xác suất thông thường, và chú ý thêm là ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt thì nhìn chung

Ví dụ 2.15 An đã làm hai bài kiểm tra Xác suất để An vượt qua cả hai bài kiểm tra là 0,6 Xác suất để An vượt qua bài kiểm tra đầu tiên là 0,8 Tính xác suất để cô ấy vượt qua bài kiểm tra thứ hai, biết rằng cô ấy đã vượt qua bài kiểm tra đầu tiên.

Giải GọiA: "biến cố An vượt qua bài kiểm tra thứ hai";B: "biến cố An vượt qua bài kiểm tra thứ nhất" Ta có

Hoặc ta có thể giải như sau:

P(đậu lần 2|đậu lần 1) = P(đậu lần 1 và đậu lần 2)

Ví dụ 2.16 Một túi đựng các viên bi màu đỏ và xanh đồng chất Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi không hoàn lại ra 2 viên bi Xác suất chọn được viên bi đỏ trước và sau đó là viên bi xanh là 0,28. Xác suất chọn được viên bi đỏ trong lần rút đầu tiên là 0,5 Tính xác suất chọn được một viên bi xanh trong lần lấy thứ hai, biết rằng viên bi đầu tiên được lấy ra có màu đỏ.

P(xanh lần 2|đỏ lần 1) = P(đỏ lần 1 và xanh lần 2)

Công thức nhân và công thức cộng xác suất

Định nghĩa 2.1 ChoA i ,(i = 1, n) làn biến cố sao choP(A 1 A 2 A n ) > 0 Xác suấtn biến cố cùng xảy ra là:

Chú ý 2.4 Trong trường hợp các biến cốA 1 , A 2 , A n độc lập với nhau, ta có

Ví dụ 2.17 Trong một thùng hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại ra 2 sản phẩm từ thùng hàng Tính xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.

Giải Gọi A 1 : "biến cố lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất";A 2 : "biến cố lấy được chính phẩm ở lần thứ hai" vàA: "biến cố lấy được chính phẩm ở cả hai lần lấy" Ta có

Ví dụ 2.18 Trong một thiết bị có 3 bộ phận Sau một thời gian hoạt động, các bộ phận bị hỏng độc lập với nhau và xác suất hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0.3 Biết rằng: nếu một bộ phận bất kỳ bị hỏng thì thiết bị sẽ ngừng hoạt động Tính xác suất thiết bị hoạt động bình thường.

Giải Gọi A i : "biến cố bộ phận thứi hư hỏng" (i = 1,2,3) vàA: "biến cố thiết bị hoạt động bình thường" Ta có

= (1−0,1)×(1−0,2)×(1−0,3) = 0,504. Định nghĩa 2.2 Cho các biến cốA i ,(i = 1, n) Xác suất xảy ra ít nhất 1 trongnbiến cố là:

◆Trường hợp 1 Cho 2 biến cốAvàB Xác suất xảy ra ít nhất 1 trong 2 biến cố là

NếuAvàB xung khắc thìAB =∅ Khi đó, ta có

◆Trường hợp 2 Cho 3 biến cốA,B vàC Xác suất xảy ra ít nhất 1 trong 3 biến cố là

NếuA,B vàC từng đôi xung khắc thì

Ví dụ 2.19 Trong một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên giỏi tiếng Anh, 15 sinh viên giỏi tiếng Pháp, 7 sinh viên giỏi cả 2 thứ tiếng Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tính xác xuất chọn được một sinh viên giỏi ít nhất 1 trong 2 thứ tiếng trên.

Giải Gọi T A: "biến cố chọn được sinh viên giỏi tiếng Anh"; T P: "biến cố chọn được sinh viên giỏi tiếng Pháp" Ta có

Ví dụ 2.20 Trong một hộp có 10 cây viết bi, trong đó có 3 cây viết đỏ và 7 cây viết xanh Lấy ngẫu nhiên ra 2 cây từ hộp Tính xác xuất có lấy được cây viết xanh.

Giải Gọi A: "biến cố lấy được 2 cây viết xanh"; B: "biến cố lấy được 1 cây viết đỏ và 1 cây viết xanh" DoAvàB là 2 biến cố xung khắc, nên

Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

Định nghĩa 2.3 Hệ các biến cốA i ,(i= 1, n)gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu hệ thỏa mãn 2 điều kiện sau:

• Xung khắc từng đôi, nghĩa làA i A j =∅với mọii ̸=j.

• A 1 + .+A n = Ω. Định lý 2.3.1 Xét biến cốB và một hệ biến cố đầy đủA i ,(i = 1, n)vớiP(A i ) >0 Khi đó, ta có

Công thức này còn được gọi là công thức xác suất đầy đủ (CT XSĐĐ).

Chú ý 2.5 ◗Các xác suấtP(A i ),(i= 1, n)thường được gọi là xác suất của các giả thuyết hay các xác suất tiên nghiệm.

◗Có thể biểu diễn CT XSĐĐ dưới dạng biểu đồ cây (được gọi là cây xác suất) sau:

Khi đó,P(B)được tính theo nguyên tắc như sau:

1) Xác định hoặc tính các xác suất của các nốt.

2) Thực hiện phép nhân xác suất các nốt trên cùng một nhánh.

3) Cộng tất cả xác suất của các nhánh lại.

Ví dụ 2.21 Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là: 5%, 6%, 7% Chọn ngẫu nhiên một lô, rồi lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tính xác suất lấy được một phế phẩm?

Giải GọiA i : "biến cố chọn được lô thứi" vớii = 1,2,3;B: "biến cố lấy được phế phẩm" Ta có

P(B|A 3 ) = 0,07 Áp dụng CT XSĐĐ, ta được

Ví dụ 2.22 Có 2 hộp bút bi: hộp I có 10 cây bút bi trong đó có 1 cây bút hỏng và 9 cây bút tốt; hộp

II có 8 cây bút bi trong đó có 2 cây bút hỏng và 6 cây bút tốt Lấy ngẫu nhiên 1 cây bút từ hộp I bỏ sang hộp II, sau đó từ hộp II chọn ngẫu nhiên ra 2 cây bút Tính xác suất cả 2 cây bút lấy ra từ hộp

Giải GọiA: "biến cố lấy được bút hỏng từ hộp I";B: "biến cố lấy được 2 cây bút hỏng từ hộp II".

C 9 2 Áp dụng CT XSĐĐ, ta được

30. Định lý 2.3.2 Giả sử biến cốB đã xảy ra, xét hệ biến cố đầy đủA i ,(i = 1, n) vớiP(A i ) >0 Khi đó, ta có

Công thức này còn được gọi là công thức Bayes.

Chú ý 2.6 ◗ Các xác suất P(A i |B) được xác định sau khi biết được biến cố B đã xảy ra, nên thường được gọi là các xác suất hậu nghiệm

◗Dựa vào cây xác suất trên, ta thấy rằng

Ví dụ 2.23 Có 3 hộp đựng sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm, trong đó số sản phẩm loại I trong các hộp 1, 2, 3 lần lượt là 2, 3, 4 Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đã chọn, rút ngẫu nhiên ra

1 sản phẩm Biết rằng sản phẩm được rút ra là sản phẩm loại I Tính xác suất sản phẩm đó được rút ra từ hộp 2?

Giải GọiA i : "biến cố chọn được hộpi" với i = 1,2,3; B: "biến cố lấy được sản phẩm loại I".

10 Áp dụng CT XSĐĐ, ta được

10. Áp dụng CT Bayes, ta được

Công thức xác suất Bernoulli

◆Giả sử tiến hànhnphép thử thoả mãn:

• Các phép thử độc lập với nhau.

• Mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả: Hoặc biến cốAxảy ra hoặc biến cốAxảy ra.

• Xác suất biến cốAxảy ra trong mỗi phép thử đều bằng một hằng sốP(A) =p.

◆ Khi đó, n phép thử trên được gọi là dãy phép thử Bernoulli và xác suất biến cốA xảy ra k lần trongnphép thử là

Ví dụ 2.24 Một sinh viên thi hết môn Xác suất- Thống kê Trong đề thi có 25 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng Tính xác suất sinh trả lời đúng

12 câu hỏi trắc nghiệm, biết rằng sinh viên đó chọn trả lời một cách ngẫu nhiên cho từng câu hỏi trắc nghiệm?

Giải GọiA: "biến cố sinh viên trả lời đúng 12 câu trắc nghiệm" Ta có

Ví dụ 2.25 Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm để kiểm tra (biết rằng số sản phẩm của lô hàng là rất lớn) Tìm xác xuất có ít nhất 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra?

Giải GọiA: "biến cố có được ít nhất 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra" Ta có

Ví dụ 2.26 Trong một phân xưởng sản xuất có 5 máy hoạt động độc lập Trong một ca sản xuất, xác suất bị hỏng của mỗi máy là như nhau và bằng 0,1 Giả sử rằng trong một ca sản xuất có 2 máy hỏng Tính xác xuất máy 1 không hỏng trong ca sản xuất đó?

Giải GọiA i : "biến cố máy thứibị hỏng" (i = 1,5);B: "biến cố có 2 máy hỏng" Áp dụng công thức Bernoulli, ta được

P(B) =P 5 (2) =C 5 2 ×0,1 2 ×0,9 3 = 0,0729. Áp dụng công thức Bayes, ta được

Bài 11 Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, ta lấy ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp.

1) Xác định không gian mẫu của phép thử trên.

2) Liệt kê tất cả các phần tử của các biến cố sau:A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn";B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".

Bài 12 Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ màu đỏ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, thẻ màu xanh được đánh số 6 và các thẻ màu trắng được đánh số 7, 8, 9, 10 Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. 1) Xác định không gian mẫu.

2) Kí hiệuA, B, C là các biến cố sau:A: "Lấy được thẻ màu đỏ";B: "Lấy được thẻ màu trắng";C:

"Lấy được thẻ ghi số chẵn" Hãy biểu diễn các biến cốA, B, C theo các biến cố con khác rỗng nhỏ nhất của không gian mẫu.

Bài 13 Một hộp có 10 quả bóng bàn Ngày thi đấu thứ nhất lấy ngẫu nhiên 3 quả ra sử dụng, sau đó bỏ lại vào hộp Ngày thi đấu thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả ra sử dụng Tính xác suất trong 3 quả sử dụng ở ngày thứ hai có ít nhất 1 quả đã sử dụng ở ngày thứ nhất.

Bài 14 Có 2 hộp bi: Hộp 1 có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 6 bi vàng; hộp 2 có 5 bi đỏ, 4 bi xanh và 7 bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi Giả sử lấy được 2 bi không cùng màu đỏ Tính xác suất 2 bi đó cùng màu vàng.

Bài 15 Một người bắn vào một mục tiêu 2 phát đạn, biết rằng khả năng bắn trúng mục tiêu ở lần thứ nhất là 0,6 và lần thứ hai là 0,8 Biết rằng, nếu lần thứ nhất bắn trúng mục tiêu thì khả năng bắn trúng mục tiêu ở lần thứ hai là 0,9 Tính xác suất người này bắn trúng mục tiêu ở lần thứ hai, biết rằng lần thứ nhất người đó không bắn trúng mục tiêu.

Bài 16 Một công ty đấu thầu 2 dự án A và B Xác suất thắng thầu dự án A là 90%, xác suất thắng thầu dự án B là 77%, xác suất thắng thầu cả 2 dự án là 72%.

1) Tính xác suất công ty thắng thầu ít nhất 1 dự án.

2) Biết rằng công ty chỉ thắng thầu một dự án, tính xác suất công ty thắng thầu dự án A.

Bài 17 Hai công ty cùng kinh doanh một loại mặt hàng Xác suất để công ty A và B kinh doanh có lãi lần lượt là 0,6 và 0,65 Xác suất để cả hai công ty có lãi là 0,45.

1) Tính xác suất có ít nhất một công ty có lãi.

2) Biết công ty A có lãi, tính xác suất công ty B không có lãi.

Bài 18 Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 6 sản phẩm xấu Nhân viên cửa hàng lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 1 sản phẩm, nếu được sản phẩm tốt thì đem đi trưng bày (không bỏ lại vào trong lô), nếu được sản phẩm xấu thì nhân viên này lấy thêm một sản phẩm tốt khác ở ngoài rồi bỏ 2 sản phẩm này vào lô Sau đó một khách hàng lấy từ lô hàng ra 2 sản phẩm để mua Tính xác suất khách hàng mua được 2 sản phẩm tốt.

Bài 19 Một sinh viên muốn hoàn thành khóa học phải vượt qua 3 kỳ thi với nguyên tắc: đỗ kỳ thi trước thì mới được thi kỳ thi sau Xác suất để sinh viên đỗ kỳ thi thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7.

1) Tính xác suất sinh viên đó không vượt qua được kỳ thi nào.

2) Nếu sinh viên đó không vượt qua được tất cả 3 kỳ thi thì xác suất anh ta bị trượt ở kỳ thi thứ hai là bao nhiêu?

Bài 20 Hai người chơi trò bắn súng một cách độc lập, mỗi người bắn 10 phát đạn Biết rằng xác suất người thứ nhất bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0,3 và xác suất người thứ hai bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0,2.

1) Tính xác suất có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu.

2) Tính xác suất chỉ có một người bắn trúng mục tiêu, biết rằng có ít nhất 1 người bắn trúng mục tiêu.

Bài 21 Hai xạ thủ A và B, mỗi người bắn 2 viên đạn vào cùng một tấm bia một cách độc lập Xác suất bắn trúng hồng tâm của A, B ở mỗi lần bắn tương ứng là 0,6; 0,7 Tính xác suất xạ thủ A bắn trúng hồng tâm nhiều hơn xạ thủ B.

Bài 22 Có 3 xạ thủ cùng nhắm bắn độc lập vào một mục tiêu ở xa, mỗi người bắn một phát đạn. Xác suất bắn trúng mục tiêu của các xạ thủ 1, 2, 3 lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8 Biết rằng, nếu cả 3 phát bắn đều trúng mục tiêu thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt, nếu có 2 phát bắn trúng mục tiêu thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 0,75, nếu chỉ có 1 phát bắn trúng mục tiêu thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 0,6.

1) Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.

2) Tính xác suất mục tiêu không bị tiêu diệt, biết rằng nó bị trúng đạn.

Bài 23 Có 5 xạ thủ cùng bắn mỗi người 1 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi người đều là 0,6 Nếu mục tiêu bị trúng 1 viên đạn thì xác suất mục tiêu bị phá hủy là 0,5; nếu mục tiêu bị trúng 2 viên thì xác suất mục tiêu bị phá hủy là 0,8 và nếu có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu thì chắc chắn mục tiêu bị phá hủy Tính xác suất mục tiêu bị phá hủy.

Bài 24 Một hộp bóng đèn gồm 8 bóng tốt và 2 bóng lỗi Lấy đồng thời 3 bóng đèn ra để kiểm tra. 1) Tính xác suất lấy được đúng 3 bóng tốt.

2) Hộp bóng đèn sẽ không được phép xuất kho nếu trong 3 bóng đem kiểm tra có ít nhất 1 bóng lỗi Tính xác suất hộp bóng đèn được xuất kho.

Bài 25 Có 3 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại A; hộp thứ hai có 8 sản phẩm loại A; hộp thứ ba có 9 sản phẩm loại A; các sản phẩm còn lại là loại B Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm Biết rằng có 1 sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra, tính xác suất sản phẩm loại A này là của hộp thứ nhất.

Bài 26 Ba công nhân cùng sản xuất ra một loại sản phẩm Ngưởi thứ nhất sản xuất 25 sản phẩm, người thứ hai sản xuất 35 sản phẩm và người thứ ba sản xuất 40 sản phẩm Đối với mỗi sản phẩm được sản xuất, xác suất người thứ nhất, người thứ hai làm ra chính phẩm là 0,8, còn người thứ ba là 0,85 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong số các sản phẩm được sản xuất thì được phế phẩm, khả năng cao nhất phế phẩm này do công nhân nào sản xuất?

Câu 1 Một hộp chỉ chứa chính phẩm hoặc phế phẩm Người thứ nhất lấy từ hộp ra một sản phẩm rồi để bên ngoài, người thứ hai sau đó mới lấy ra một sản phẩm từ hộp GọiA i là biến cố người thứ ilấy ra được chính phẩm(i = 1; 2) Hãy chọn phân tích nào đúng choAlà biến cố cả hai người lấy ra được ít nhất một chính phẩm.

Câu 2 Có hai hộp sản phẩm, mỗi hộp chỉ gồm chính phẩm hoặc phế phẩm Lấy từ mỗi hộp ra một sản phẩm, gọiA i là biến cố lấy được chính phẩm từ hộp thứi,(i = 1; 2) Hãy chọn phân tích nào đúng choAlà biến cố không lấy ra được chính phẩm nào từ hai hộp.

Câu 3 Có hai hộp sản phẩm, mỗi hộp chỉ gồm chính phẩm hoặc phế phẩm Lấy từ mỗi hộp ra một sản phẩm, gọiA i là biến cố lấy được chính phẩm từ hộp thứi,(i = 1; 2) Hãy chọn phân tích nào đúng choAlà biến cố lấy ra được 1 chính phẩm từ hai hộp.

Câu 4 Có hai hộp sản phẩm, mỗi hộp chỉ gồm chính phẩm hoặc phế phẩm Lấy từ mỗi hộp ra một sản phẩm, gọiA i là biến cố lấy được chính phẩm từ hộp thứi,(i = 1; 2) Hãy chọn phân tích nào đúng choAlà biến cố lấy ra được ít nhất 1 chính phẩm từ hai hộp.

Câu 5 Có hai hộp sản phẩm, mỗi hộp chỉ gồm chính phẩm hoặc phế phẩm Lấy từ mỗi hộp ra một sản phẩm, gọiA i là biến cố lấy được chính phẩm từ hộp thứi,(i = 1; 2) Hãy chọn phân tích nào đúng choAlà biến cố lấy ra được 2 chính phẩm từ hai hộp.

Câu 6 Cho hai biến cốA, B thỏaP(A) = 0,3;P(B) = 0,4;P(AB) = 0,12 Điều nào sau đây là đúng?

A P(B|A) =P(B)/P(A) B AvàB là hai biến cố độc lập.

C AvàB là hai biến cố xung khắc D Đáp án khác.

Câu 7 Một xưởng có ba máy hoạt động độc lập Gọi Ai là biến cố máy thứ i bị hỏng trong một ngày làm việc,i = 1; 2; 3 Phân tích nào sau đây đúng choAlà biến cố trong một ngày làm việc có ít nhất một máy bị hỏng?

Câu 8 Hãy chọn phát biểu nào sau đây luôn đúng đối với hai biến cố AvàB?

A AB =A.B B A+B =AB C A+B =A.B D Đáp án khác.

Câu 9 Một xưởng có ba máy hoạt động độc lập Gọi A i là biến cố máy thứi bị hỏng trong một ngày làm việc,i= 1; 2; 3 Phân tích nào sau đây đúng choAlà biến cố trong một ngày làm việc cả

3 máy đều không bị hỏng?

Câu 10 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 8 sinh viên giỏi anh văn, 5 sinh viên giỏi toán và 3 sinh viên giỏi cả anh văn và toán Gặp ngẫu nhiên 3 sinh viên của lớp Tính xác suất để gặp được 1 sinh viên giỏi toán và 2 sinh viên không học giỏi môn nào trong hai môn toán và anh văn.

Câu 11 Biết các biến cố A, B thỏa P(A) = 0,3; P(B) = 0,4; P(A ∪B) = 0,6 Khẳng định nào dưới đây đúng:

Câu 12 Ba xạ thủ cùng bắn vào cùng 1 mục tiêu GọiA i (i = 0,1,2,3)là biến cố cóixạ thủ bắn trúng mục tiêu.C là biến cố xạ thủ thứ III bắn trúng mục tiêu.A 2 Clà biến cố

A cả 3 xạ thủ bắn trượt B xạ thủ thứ III bắn trượt.

C chỉ có xạ thủ thứ III bắn trượt D Đáp án khác.

Câu 13 Cho hai biến cốA vàB có P(A) = 1

2 Khẳng định nào sau đây đúng:

A A, B là 2 biến cố xung khắc B A, B là 2 biến cố không xung khắc.

C A, B là 2 biến cố đối lập D Đáp án khác.

Câu 14 Kiểm tra 3 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng Gọi A, B, C tương ứng là biến cố sản phẩm thứ nhất, thứ hai, thứ ba là sản phẩm tốt Khẳng định nào sau đây đúng:

A A, B, C là hệ biến cố đầy đủ B A, B, C là các biến cố xung khắc.

C A, B, C là các biến cố không xung khắc D Đáp án khác.

Câu 15 Một kiện hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 9 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B; Rút ngẫu nhiên từng sản phẩm một cho đến khi trong kiện chỉ còn lại 2 sản phẩm Tính xác suất để 2 sản phẩm còn lại trong kiện là 2 sản phẩm loại B

Câu 16 ChoAvàAlà hai biến cố đối lập Khẳng định nào sau đây đúng:

Câu 17 Một hộp chứa 10 viên bi cùng kích thước, gồm 6 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 2 viên bi Tính xác suất lấy được ít nhất 1 viên bi trắng.

Câu 18 Một hộp chứa 10 quả cầu cùng kích thước, gồm 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 quả cầu Tính xác suất có 2 quả cầu đen trong 4 quả cầu lấy được.

Câu 19 Quan sát hai cầu thủ bóng rổ ném bóng vào rổ Mỗi cầu thủ ném một quả bóng vào rổ. GọiA, Btương ứng là các biến cố cầu thủ thứ nhất, thứ hai ném bóng vào rổ.A∪B là biến cố:

A Cả hai cầu thủ đều ném vào rổ B Không có cầu thủ nào ném vào rổ.

C Có ít nhất một cầu thủ ném vào rổ D Đáp án khác.

Câu 20 Ở một khóa học, mỗi học viên muốn hoàn thành khóa học này đều phải vượt qua ba kỳ thi liên tiếp, nếu đậu kỳ thi trước mới được phép thi kỳ thi sau Cho biết tỉ lệ học viên thi đậu kỳ thi thứ nhất là 96,17%, tỉ lệ học viên đậu kỳ thi thứ hai là 89,23% và tỉ lệ học viên hoàn thành khóa học là 69,45% Biết rằng có một học viên ở mức học lực trung bình và không hoàn thành khóa học, hãy đánh giá khả năng học viên đó thi rớt ở lần thi thứ ba?

Câu 21 Giả sửA, B là hai biến cố trong đó P(B) ̸= 0 Chọn phát biểu luôn ĐÚNG về mối quan hệ giữaP(A|B)vàP(AB).

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Định nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên (BNN) là một biến mà giá trị của nó được xác định bởi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên hay một sự kiện không thể dự đoán trước được Ta thường dùng các kí hiệuX, Y, Z, để biểu thị cho BNN.

Ví dụ 3.1 Tung một con xúc sắc cân đối GọiX là số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc sắc.

Ta thấy rằngX là BNN vì trong các kết quả của phép thử,X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1, 2, 3,

Ví dụ 3.2 Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào một tấm bia có đường kính 20 cm GọiY là khoảng cách từ tâm đến vị trí viên đạn trên tấm bia Ta cũng dễ thấy rằngY là BNN.

Chú ý 3.1 Mỗi giá trị của BNN có một xác suất tương ứng, và việc xác định xác suất này là một phần quan trọng của mô tả biến ngẫu nhiên, kí hiệuP(X =x) =p.

Phân loại biến ngẫu nhiên

◆ Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu các giá trị của BNN có thể lập thành một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

Ví dụ 3.3 Trong một lớp 40 sinh viên, trong đó có 30 nam và 10 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên để lập thành ban cán sự lớp GọiX là số sinh viên nữ được chọn.X là BNN rời rạc với các giá trị có thể nhận được hữu hạn là: 0, 1, 2, 3.

◆Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu các giá trị của BNN có thể lấp đầy một khoảng hay nhiều khoảng trên trục số thực.

Ví dụ 3.4 Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào một tấm bia có đường kính 20 cm GọiY là khoảng cách từ tâm đến vị trí viên đạn trên tấm bia Ta cũng dễ thấy rằng Y là BNN liên tục vì không thể liệt kê tất cả các giá trị của nó, mà ta chỉ có thể nói rằng giá trị của nó nằm trong khoảng(0; 20)trong trường hợp xạ thủ không bắn trượt tấm bia trên.

Các quy luật phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất

Xét BNN rời rạcX nhận các giá trị có thể là x 1 , x 2 , , x n (n ≥ 2)với xác suất tương ứng p i P(X =x i ) Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạcX có dạng như sau:

Ví dụ 3.5 Tung một con xúc sắc cân đối GọiX là số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc sắc.

Ta thấyX chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Bảng phân phối xác suất của BNNX như sau:

Ví dụ 3.6 Một hộp có 10 viên bi, trong đó có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp Lập bảng phân phối xác suất của số viên bi đỏ lấy được?

Giải GọiX là số viên bi đỏ lấy được X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 0, 1, 2 Ta có

Ví dụ 3.7 Một xạ thủ có 3 viên đạn được yêu cầu bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi Tìm bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn, biết rằng xác suất bắn trúng đích của xạ thủ ở mỗi lần bắn là 0,85

Giải GọiX là số viên đạn đã bắn.X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1, 2, 3 Ta có

Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 3.2 Hàm phân phối xác suất của BNN X, ký hiệu là F(x), là xác suất để BNN X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằngx, vớixlà giá trị bất kỳ.

Chú ý 3.2 ◗Từ định nghĩa, ta thấy rằng hàm phân phối xác suất phản ánh mức tập trung xác suất từ số thựcxbất kỳ về bên trái nó.

◗Trong trường hợp X là BNN rời rạc thì hàm phân phối xác suất còn được gọi làm hàm phân phối tích luỹ.

Tính chất 3.1 Hàm phân phối xác suấtF(x)có tính chất sau:

2) Liên tục bên phải và có giới hạn tại mọi điểm;

Chú ý 3.3 ◗NếuX là BNN liên tục thìP(X =a) = 0và

◗BNN rời rạc có tập giá trị là{x 1 , , x n }, thì ta có hàm phân phối xác suất

Ví dụ 3.8 Túi hạt giống có 13 hạt trong đó có 10 hạt giống tốt Lấy ngẫu nhiên từ túi ra 4 hạt giống đem kiểm nghiệm GọiX là số hạt giống tốt có trong 4 hạt đã lấy ra Lập bảng phân phối xác suất củaX và hàm phân phối xác suất củaX.

Giải Ta thấy X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1; 2; 3; 4.

Bảng phân phối xác suất của BNNX:

210 715 Hàm phân phối xác suất củaX là:

Hàm mật độ xác suất

Định nghĩa 3.3 Hàmf(x)được gọi là hàm mật độ xác suất của BNN liên tụcX nếu: i) f(x) ≥0, ∀x; ii)

Nếu hàm phân phối xác suấtF(x)khả vi thìf(x)được xác định như sau: f(x) =F ′ (x).

Từ định nghĩa trên, ta có

Ví dụ 3.9 ChoX là BNN có hàm mật độ xác suất như sau: f(x) 

0 còn lại 1) Tìmk đểf(x)là hàm mật độ xác suất của BNNX.

2) Tìm hàm phân phối xác suấtF(x).

Giải 1)f(x)là hàm mật độ xác suất của BNNX khi

2) Ta chia bài toán này làm 3 trường hợp:

Hàm phân phối xác suất của BNNX là

Chú ý 3.4 Nếu BNNX có hàm mật độ xác suất f(x) 

Ví dụ 3.10 Choa >0vàX là BNN có hàm mật độ xác suất như sau: f(x) 

1) Tìmađểf(x)thỏa mãn các điều kiện của một hàm mật độ xác suất của BNN.

Giải 1)f(x)là hàm mật độ xác suất của BNNX khi

Khi đó, áp dụng tính chất của hàm phân phối xác suất dành cho BNN liên tục, ta được

Chú ý 3.5 Ngoài ra, nếu đã biết hàm mật độ xác suất của BNNX liên tục, ta có thể sử dụng tính chất

P(a ≤X ≤b) Z b a f(x)dx để tínhP(0,25π < X < π) Khi đó, ta có

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng

Định nghĩa 3.4 Kỳ vọng của BNNX, được ký hiệu là E(X), là một số được xác định như sau:

1) NếuX là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như trên thì

2) NếuX là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất làf(x)thì

Tính chất 3.2 1) E(C) =C, vớiC là hằng số;

4) NếuX, Y độc lập thìE(XY) =E(X)E(Y);

5) ChoY = g(X) NếuX là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như trên thì

X i=1 g(x i )p i ; NếuX là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất làf(x)thì

◗Kỳ vọng của một BNN chính là trị trung bình của BNN đó về mặt xác suất Trong thực tế, nếu quan sát các giá trị của BNNX nhiều lần và lấy trung bình cộng của các giá trị thu được, thì khi số quan sát càng lớn - số trung bình đó càng tiến gần tớiE(X), nghĩa làE(X)≈ X khi n đủ lớn.

Ví dụ 3.11 Cho BNNX có bảng phân phối xác suất sau:

Ví dụ 3.12 Cho BNN liên tụcX có hàm mật độ xác suất như sau: f(x) 

Ví dụ 3.13 Một công ty bảo hiểm, thống kê rằng một người Châu Âu 25 tuổi ở một khu vực A sẽ sống thêm trên một năm với xác suất là 0,992; còn xác suất để người đó chết trong vòng một năm là 0,008 Công ty đưa ra một chương trình bảo hiểm như sau: một người mua bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với giá là 100$, nếu chết thì công ty bảo hiểm chi trả là 10000$ Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty bảo hiểm nhận được là bao nhiêu, biết rằng chi phí cho một hợp đồng bảo hiểm loại này là 5$?

Giải Gọi X là lợi nhuận ($) công ty bảo hiểm nhận được khi bán bảo hiểm sinh mạng 1 năm cho một người Châu Âu 25 tuổi ở khu vực A (tính sau 1 năm từ khi bán).

Bảng phân phối xác suất của BNNX:

P 0,008 0,992 Lợi nhuận trung bình của công ty bảo hiểm nhận được là:

Ví dụ 3.14 Một lô hàng có 10 sản phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó, gọiX là số chính phẩm có trong 4 sản phẩm lấy ra Tính giá trị kỳ vọng của số chính phẩm lấy được.

Giải Do chỉ có 2 phế phẩm, nênX chỉ có thể nhận các giá trị sau: 2, 3, 4.

Bảng phân phối xác suất của BNNX là:

Trung bình số sản phẩm tốt lấy được là:

Ví dụ 3.15 Một trung tâm điện máy lãi 1,3 triệu đồng khi bán được 1 ti vi, nhưng nếu ti vi bị hỏng trước thời hạn bảo hành thì trung tâm bị lỗ trung bình 3,5 triệu đồng Biết rằng trung tâm lãi trung bình 960 ngàn đồng khi bán được 1 ti vi Tính xác suất một ti vi được mua phải bảo hành?

Giải Gọi X là số tiền lãi (triệu đồng) khi trung tâm bán một 1 ti vi vàplà xác suất ti vi phải bảo hành.

Bảng phân phối xác suất của BNNX là:

Theo yêu cầu bài toán, ta có

Phương sai

Định nghĩa 3.5 Phương sai của BNNX, được ký hiệu là V ar(X), là một số được xác định bởi:

NếuX là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như trên thì

NếuX là BNN liên tục có hàm mật độ xác suấtf(x) thì

Tính chất 3.3 1) V ar(C) = 0, vớiC hằng số;

4) NếuX, Y là hai BNN độc lập thìV ar(X ±Y) =V ar(X) +V ar(Y).

◗Phương sai chính là giá trị trung bình về mặt xác suất của các bình phương sai lệch giữa giá trị

X có thể nhận được so với giá trị trung bình nó Nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của BNN xung quanh giá trị trung tâm là kỳ vọng của nó.

◗Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho mức độ sai số của thiết bị Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của đầu tư.

Ví dụ 3.16 Cho BNNX có bảng phân phối xác suất như sau:

Ví dụ 3.17 Cho BNN liên tụcX có hàm mật độ xác suất: f(x) 

Ví dụ 3.18 Một nông dân đang cân nhắc mua một trong hai loại giống A hoặc B để trồng cho nông trại của mình Khả năng tạo ra thành phẩm tính theo trọng lượng (đơn vị là gram) của giống A, B lần lượt là các BNN có các bảng phân phối xác suất như sau:

P 0,18 0,3 0,25 0,02 0,08 0,12 0,05 Biết rằng số lượng thành phẩm của hai loại giống trên là gần như nhau Bạn hãy tư vấn cho nông dân đó là nên chọn loại giống nào để trồng cho nông trại của anh ấy?

Từ kết quả trên, ta thấy nếu sử dụng giống A thì trọng lượng trung bình cao hơn so với giống B nhưng không đáng kể, trong khi đó phương sai lại nhiều hơn gần 3 lần cho thấy sự phân tán về trọng lượng của giống A khá cao, thiếu sự ổn định Vì vậy nên chọn giống B để trồng. Định nghĩa 3.6 Độ lệch chuẩn của BNN, được ký hiệu làσ(X), là số σ(X) = q V ar(X).

Ta thấy rằng đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của BNN Vì vậy khi cần phải đánh giá mức độ phân tán của BNN theo đơn vị đo của nó người ta thường sử dụng độ lệch chuẩn chứ không phải là phương sai vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với BNN đang nghiên cứu.

Trung vị

Định nghĩa 3.7 Trung vị của BNNX, được ký hiệu làM edian(X)hayM ed(X), là giá trịmcủa

Nói cách khác, trung vị là giá trị nằm ở vị trí trung tâm của BNN, và thường được dùng khi BNN có các điểm dị biệt làm ảnh hưởng đến giá trị kỳ vọng của BNN Các điểm dị biệt là các điểm có giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với các giá trị còn lại trong tập giá trị của BNN.

◗ Từ định nghĩa, ta thấy để tìm trung vị m của BNN X liên tục, ta chỉ cần giải phương trình

F(m) = 0,5vớiF(x) là hàm phân bố xác suất củaX.

Ví dụ 3.19 TìmM ed(X) của BNNX rời rạc với bảng phân phối xác suất như sau:

Giải: Ta dễ thấy rằngM ed(X) = 5, vì

Ví dụ 3.20 ChoX là BNN liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) 

Khi đó,M ed(X)là nghiệm của phương trình

◗Trung vị còn có tên gọi khác là phân vị 50% của phân phối Trong trường hợp tổng quát, phân vị là một điểm (giá trị củaX) sao cho xác suất để BNNX nhận giá trị từ giá trị đó trở xuống bằng phần trăm cho trước của tổng phân phối xác suất.

Ví dụ 3.21 NếuF(3) = 75%thì ta nói 3 là phân vị 75% của BNNX.

Mode

Định nghĩa 3.8 Mode của BNNX, được ký hiệu làM ode(X) hay M od(X), là giá trị mà BNN

X nhận được với xác suất lớn nhất trong phân phối xác suất của nó.

NếuX là BNN rời rạc thì

NếuX là BNN liên tục có hàm mật độ xác suấtf(x)thì

Ví dụ 3.22 TìmM od(X)vớiX là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau:

Giải Từ bảng phân phối xác suất ta thấymaxp i = 0,25 =⇒ M od(X) = 3.

Ví dụ 3.23 ChoX là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) 

Giải Ta thực hiện các bước sau: i) f(x) = 12x 2 (1−x)với mọix∈ [0,1]. ii) f ′ (x) = 0 ⇐⇒12(2x−3x 2 ) = 0 ⇐⇒x= 0, x= 2

Giá trị tới hạn

Định nghĩa 3.9 Giá trị tới hạn (critical value) a% của một phân phối xác suất là giá trị mà chỉ có a% xác suất nằm từ nó trở lên (giá trị tới hạn bên phải) hoặc từ nó trở xuống (giá trị tới bạn bên trái).

Giá trị tới hạn bên trái mứcαchính là giá trị tới hạn bên phải mức1−α Giá trị tới hạn bên phải mứcαcủa BNNX liên tục, ký hiệu làx α , thoả mãn

Ví dụ 3.24 Tìm giá trị tới hạn bên phải mứcα = 5%của BNNX có hàm mật độ xác suất như sau: f(x) 

Giải Từ định nghĩa, ta có

Vậy ta có giá trị tới hạn bên phải mứcα = 5%của BNNX là 0,9873.

Cách khác, ta sử dụng hàm phân phối xác suấtF(x)và giải phương trình

Các luật phân phối xác suất

Phân phối nhị thức

Thực hiệnnphép thử độc lập, ở mỗi phép thử ta quan tâm đến việc biến cốAcó xảy ra hay không, giả sửP(A) = plà một hằng số Gọi X là số phép thử mà biến cố A xảy ra trongn phép thử đã thực hiện, khi đóX là BNN rời rạc tuân theo luật phân phối nhị thức với tham số nvà p, được ký hiệu là X ∼ B(n;p) Tập giá trị của X là X(Ω) = {0, , n} và công thức tính xác suất của X như sau:

Tính chất 3.4 NếuX ∼ B(n, p) thì i) E(X) =np; ii) V ar(X) =np(1−p); iii) (n+ 1)p−1≤M od(X) ≤ (n+ 1)p.

Ví dụ 3.25 Một máy sản xuất sản phẩm tự động với xác suất làm ra phế phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0,02 Biết rằng máy trên sản xuất các sản phẩm độc lập nhau, gọiX là số phế phẩm có trọng 100 sản phẩm do máy trên sản xuất ra Tính xác suất

1) Có 10 phế phẩm trong số đó;

2) Có từ 5 đến 11 phế phẩm trong số đó.

Giải Ta thấy X ∼ B(100; 0,02) Khi đó,

1) Xác suất có 10 phế phẩm trong số đó là:

2) Xác suất có từ 5 đến 11 phế phẩm trong số đó là:

Ví dụ 3.26 Tỷ lệ mắc một loại bệnh A ở một vùng là 10% Trong đợt khám bệnh cho vùng đó người ta đã khám ngẫu nhiên 100 người Tìm

1) Số người bệnh trung bình và phương sai tương ứng.

2) Số người bị bệnh A nhiều khả năng nhất là bao nhiêu? Tính xác suất tương ứng.

Giải GọiX là số người bệnh loạiAcó trong 100 người được khám Ta có X ∼ B(100; 0,1). 1) Số người bệnh trung bìnhE(X) =np= 10và phương saiV ar(X) =np(1−p) = 9.

=⇒ M od(X) = 10và xác suất tương ứng là:

Ví dụ 3.27 Đề thi trắc nghiệm một môn học có 25 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng thì được 4 điểm và nếu sai thì bị trừ 0,5 điểm Một sinh viên làm bài chắc chắn đúng được 10 câu và 15 câu còn lại chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu hỏi Tính số điểm mà sinh viên đó kỳ vọng sẽ đạt được?

Giải GọiX là số câu trả lời đúng của sinh viên,Y là số điểm sinh viên đạt được và Z là số câu trả lời đúng của sinh viên trong số 15 câu mà sinh viên đó trả lời ngẫu nhiên Ta cóX −10 = Z ∼ B(15; 0,25).

Ví dụ 3.28 Một thùng có 10 hộp đựng các bi với màu sắc khác nhau, mỗi hộp chứa 20 viên bi. Trong số đó có 3 hộp loại A: mỗi hộp có 12 viên bi đỏ; và 7 hộp loại B: mỗi hộp có 8 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp từ thùng và từ hộp đó lấy lần lượt ra 5 viên bi có hoàn lại Tính xác suất chọn được 3 viên bi đỏ?

Giải GọiX 1 , X 2 lần lượt là số viên bi đỏ lấy được từ hộp loại A, loại B Do lấy ngẫu nhiên có hoàn lại, nên xác suất chọn được 1 bi đỏ ở hộp loạiA, loạiB lần lượt là p A = C 12 1

Nếu chọn được hộp loại A thì ta cóX 1 ∼ B(5; 0,6)và

Nếu chọn được hộp loại B thì ta cóX 2 ∼ B(5; 0,4)và

P(X 2 = 3) = C 5 3 ×0,4 3 ×0,6 2 = 0,2304. Áp dụng công thức XSĐĐ, ta được xác suất chọn được 3 bi đỏ là: p= 0,3×P(X 1 = 3) + 0,7×P(X 2 = 3) = 0,265.

Phân phối siêu bội

Cho tập hợp cóN phần tử trong đó có N A phần tử có tính chấtA Lấy ngẫu nhiên n phần tử ra từ

N phần tử ban đầu, gọiX là số phần tử có tính chấtA có trongn phần tử được lấy ra Khi đó, X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, N A , n, được ký hiệu làX ∼ H(N, N A ;n) Tập giá trị củaX làX(Ω) = {max{0;n+N A −N}, ,min{n;N A }}và công thức tính xác suất của

Tính chất 3.5 NếuX ∼H(N, N A , n)thì i) E(X) =npvớip= N A

Ví dụ 3.29 Trong một hộp gồm có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên ra 5 bi từ hộp. GọiX là số viên bi đỏ có trong 5 viên bi đã lấy ra Hãy

1) Lập bảng phân phối xác suất củaX.

Giải.Ta cóX ∼H(10,4; 5)và tập giá trị của X làX(Ω) ={0,1,2,3,4}.

Bảng phân phối xác suất củaX là

Phân phối Poisson

BNNX được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, được ký hiệu là X ∼ P(λ) Tập giá trị củaX làX(Ω) ={0, , n}và công thức tính xác suất củaX như sau

Tính chất 3.6 NếuX ∼P(λ)thìE(X) =V ar(X) =λ.

Chú ý 3.6 Trong thực tế với một số giả thiết thích hợp thì các BNN đếm: số cuộc gọi đến một tổng đài; số khách hàng đến một điểm phục vụ; số xe cộ qua một ngã tư; số tai nạn (xe cộ); số các sự cố xảy ra ở một địa điểm, ., trong một khoảng thời gian xác định nào đó sẽ có phân phối Poisson với tham sốλ.

Ví dụ 3.30 Ở một tổng đài điện thoại, các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau với tốc độ trung bình là 2 cuộc gọi trong ba phút Tính xác suất

1) Có đúng 5 cuộc điện thoại trong vòng 6 phút;

2) Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 90 giây.

Giải 1) Gọi X là số cuộc gọi điện thoại đến tổng đài điện thoại trên trong vòng 6 phút=⇒ X ∼

2) GọiX là số cuộc gọi điện thoại trong vòng 90 giây=⇒X ∼ P(1) Ta có

Phân phối mũ

BNNX được gọi là có phân phân mũ với tham số λ >0, được ký hiệu làX ∼ E(λ), nếu BNNX có hàm mật độ xác suất có dạng: f(x) 

Tính chất 3.7 NếuX ∼ E(λ), thì i) E(X) = 1 λ; ii) V ar(X) = 1 λ 2

Chú ý 3.7 1) Phân phối mũ có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

2) Nếu số lần xuất hiện của biến cố A trong một khoảng thời gian có phân phối Poisson, thì thời gian giữa 2 lần xuất hiện biến cốAcó phân phối mũ Chẳng hạn: khoảng thời gian giữa 2 ca cấp cứu ở một bệnh viện, khoảng thời gian giữa 2 trận lụt hay động đất,

Ví dụ 3.31 Tuổi thọ (năm) của 1 một cái máy giặt là BNN có luật phân phối mũ với tuổi thọ trung bình là 10 năm Thời gian bảo hành của máy giặt này làm 3 năm Tính xác suất máy giặt phải bảo hành?

Giải GọiX là tuổi thọ của máy giặt (năm) Ta có X ∼ E(λ) Theo đề ta có

Xác suất máy giặt phải bảo hành là

Phân phối chuẩn

✭ BNN liên tụcX nhận giá trị trong khoảng R được gọi là có phân phối chuẩn, được ký hiệu là

X ∼ N(à;σ 2 ), nếu hàm mật độ xỏc suất của BNNX cú dạng f(x) = 1 σ√ 2πe −

Trong trường hợpà = 0vàσ 2 = 1, ta cú

✭BNN liên tụcX nhận giá trị trong khoảngRđược gọi là có phân phối chuẩn tắc, được ký hiệu làX ∼ N(0; 1), nếu hàm mật độ xác suất của BNNX có dạng f(x) = 1

◗Hàmf(x)trong trường hợp này còn được gọi là hàm Gauss.

✭Hàm phân phối xác suất của BNNX tuân theo phân phối chuẩn tắc có dạng:

◗Hàmφ(z)được gọi là hàm Laplace, giá trị của hàm số này được tính ở phần Phụ lục.

Chú ý 3.8 Khi sử dụng hàm Laplaceφ(z), ta cần chú ý

4) Hàmφlà hàm đơn điệu tăng. Định lý 3.4.1 Cho X ∼ N(à;σ 2 ) Nếu X−à σ ∼ N(0; 1)thì

Từ tính chất của hàmφ, ta có

Ví dụ 3.32 Cho BNNX có luật phân phối chuẩnN(2; 9) Tính các xác suất sau:

Giải 1) Ta cúà = 2,σ = 3 Áp dụng định lý trờn ta cú

Vớ dụ 3.33 Cho BNN X cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng à = 10 và P(10 < X < 20) = 0,4. Tính xác suấtP(X < 10).

Giải Theo đề ta cóX ∼N(10;σ 2 ) Từ đó ta được

Từ đó ta tính được

Ví dụ 3.34 Lãi suất đầu tư vào công ty A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, biết xác suất để đạt được lãi suất trên 20%/năm là 0,2 và dưới 10%/năm là 0,1 Tính xác suất để khi đầu tư vào công ty A được lãi suất ít nhất 14%/năm.

Giải GọiX là lói suất (%/năm) khi đầu tư vào cụng ty A Theo đề, ta cúX ∼N(à;σ 2 )và

Theo tính chất đơn điệu tăng của hàmφ, ta được

Từ đó ta tính được

= 0,5 + 0,1664 = 0,6664. Định lý 3.4.2 Nếu BNNX cú phõn phối chuẩn với kỳ vọngà, phương saiσ 2 và nếuY = aX+b,

(a, blà hằng số và a ̸= 0), thỡ BNNY cũng cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng làaà+bvà phương sai làa 2 σ 2

Ví dụ 3.35 ChoX ∼N(2; 4) vàY = 2X−3 ThìY ∼ N(2×2−3; 2 2 ×4) = N(1; 16). Định lý 3.4.3 Nếu các BNN X 1 , , X n độc lập với nhau và nếu X i có phân phối chuẩn với kỳ vọngà i và phương saiσ 2 i ,(i = 1,2, , n)thỡ tổngX 1 + .+X n cũng cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng làà 1 + .+à n và phương sai làσ 2 1 + .+σ n 2

Ví dụ 3.36 ChoX ∼ N(2; 4),Y ∼ N(0; 1), X và Y độc lập với nhau ThìX+Y ∼ N(2 + 0; 4 +1) =N(2; 5).

Phân phối Chi bình phương

Cho X là BNN có phân phối Chi bình phương với bậc tự do k, được ký hiệu là X ∼ χ 2 (k), nếu BNNX có hàm mật độ xác suất như sau f k (x) 

Tính chất 3.8 NếuX ∼χ 2 (k)thì i) M ed(X) ≈k

; ii) M od(X) = max{k−2; 0}; iii) E(X) =k; iv) V ar(X) = 2k. Định lý 3.4.4 Nếu BNNX i ,(i = 1, , n), độc lập vàX i ∼ N(0; 1)thì

Phân phối Student

BNNX được gọi là có phân phối Student vớik bậc tự do, được ký hiệu làX ∼ t(n), nếu BNNX có hàm mật độ xác suất như sau f(x) Γ n+ 1 2

Tính chất 3.9 NếuX ∼t(n)thì i) M ed(X) =M od(X) = 0; ii) E(X) = 0khin >1; iii) V ar(X) = n n−2 khin >2. Định lý 3.4.5 Nếu BNNX ∼N(0; 1),Y ∼ χ 2 (n) vàX, Y độc lập thì

Chú ý 3.9 i) Một trong những đặc điểm chính của phân phối Student là có đuôi "dày" hơn so với phân phối chuẩn Khi nói đến đuôi "dày," có nghĩa là phân phối Student có khả năng tạo ra giá trị cách xa giá trị trung bình (mean) hơn so với phân phối chuẩn trong trường hợp mẫu nhỏ Điều này xuất phát từ tính chất của phân phối Student, được thiết kế để xử lý khi chúng ta không biết đến độ lệch chuẩn của tổng thể và khi mẫu nhỏ. ii) Khi kích thước mẫu tăng lên, phân phối Student hội tụ về phân phối chuẩn, và đuôi của nó trở nên ít dày hơn Do đó, khi làm việc với kích thước mẫu lớn, ta thường chuyển từ sử dụng phân phối Student sang phân phối chuẩn trong các phân tích thống kê Nói cách khác, khi bậc tự do n tăng lên(n ≥ 30) thì phân phối Student tiến nhanh về phân phối chuẩn Vì vậy, khi n ≥ 30 ta có thể dùng phân phối chuẩn xấp xỉ cho phân phối Student.

Phân phối Fisher

BNN X được gọi là có phân phối Fisher với các bậc tự do tương ứng là m vàn, được ký hiệu là

X ∼ F(m;n), nếu BNNX có hàm mật độ xác suất như sau f(x) 

Tính chất 3.10 NếuX ∼ F(m;n)thì i) M od(X) = m−2 m ã n n+ 2,m >2; ii) E(X) = n n−2,n >2; iii) V ar(X) = 2n 2 (m+n−2) m(n−2) 2 (n−4),n >4. Định lý 3.4.6 Nếu BNNX ∼χ 2 (n),Y ∼χ 2 (m)vàX, Y độc lập thì

Mối quan hệ giữa các phân phối xác suất

Định lý 3.5.1 Giả sử BNNX có phân phối siêu bộiH(N, N A ;n)vànkhá nhỏ so vớiN thì khi đó

X sẽ xấp xỉ tuân theo luật phân phối nhị thứcX ∼ B(n;p)vớip= N A

Chú ý 3.10 Thông thường, nếuN >20n thìX ∼H(N, N A ;n)xấp xỉ vềX ∼ B(n;p).

Ví dụ 3.37 Một ao cá được thả 1000 cá da trơn, trong đó có 200 con cá tra, giả sử trong quá trình nuôi không xuất hiện cá chết nào Tính xác suất bắt ngẫu nhiên 20 con từ ao thì được 5 con cá tra.

Giải GọiX là số cá tra có trong 20 con bắt được Theo đề, ta cóX ∼H(1000,200; 20)và

DoN = 1000 >20.n= 400 =⇒X xấp xỉ tốt theo phân phối nhị thức:X ∼ B(20; 0,2)

Ta thấy rằng giá trị xấp xỉ 0,175 gần với giá trị thực 0,176 và sẽ còn tốt hơn nữa nếu N rất lớn so vớin.

Ví dụ 3.38 Một nhà sản xuất linh kiện điện tử cho rằng trong 20000 linh kiện sản xuất ra có 100 linh kiện bị lỗi Tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 10 linh kiện điện tử Tính xác suất có 3 linh kiện điện tử bị lỗi trong 10 linh kiện lấy ra.

Giải Gọi X là số linh kiện điện tử bị lỗi có trong 10 linh kiện được kiểm tra Theo đề, ta có

X ∼ H(20000,100; 10) DoN = 20000>20n = 200, nên ta có thể xấp xỉ tốtX về phân phối nhị thức

P(X = 3)≈ C 10 3 ×0,005 3 ×0,995 7 = 1,45×10 −5 Định lý 3.5.2 (Định lý De Moivre - Laplace) Giả sử BNN X có luật phân phối nhị thức B(n;p), vớip= P(A) là xác xuất biến cốAxuất hiện trong một phép thử của dãyn phép thử Bernoulli và

0< p 5vànq >5, ta có công thức xấp xỉ

Ví dụ 3.39 Trong một đợt thi tuyển công chức ở một thành phố có 1000 người dự thi, biết rằng tỉ lệ thi không đạt của các đợt thi trước đây là 20% Tính xác suất để có 172 người không đạt trong đợt thi này.

Giải Gọi X là số người thi không đạt trong đợt thi này Ta thấy np = 1000×0,2 = 200 > 5, nq = 1000×0,8 = 800 > 5thỏa mãn điều kiện xấp xỉ tốt vớinpq = 1000×0,2×0,8 = 160. Khi đó,X ∼N(200; 160) và

2 = 0,00247. Định lý 3.5.3 Giả sử BNN X có luật phân phối nhị thứcB(n;p), vớip = P(A) là xác xuất biến cốAxuất hiện trong một phép thử của dãy nphép thử Bernoulli và0< p < 1,q = 1−p Khi đó, ta có n→+∞lim P X −np

Chú ý 3.12 ◗Vớinkhá lớn vànp > 5vànq >5, ta có công thức xấp xỉ

◗Thông thường, để đạt độ chính xác cao trong việc tính toán xấp xỉ, ta thường dùng công thức có sự hiệu chỉnh như sau:

Ví dụ 3.40 Một dây chuyền sản xuất sản phẩm tự động với tỉ lệ sản phẩm loại A được đánh giá là 80%, còn lại là sản phẩm loại B, mỗi kiện hàng được đóng gói gồm có 20 sản phẩm, và một người thực hiện quy trình kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện hàng được kiểm tra, người đó lấy ngẫu nhiên ra

3 sản phẩm, nếu thấy cả 3 sản phẩm đều là loại A thì kiện hàng đó được thông qua Cho biết người đó kiểm tra 100 kiện hàng trong rất nhiều kiện hàng giao Tính xác suất có trên 45 kiện hàng được thông qua.

Giải Xác suất 3 sản phẩm lấy ra kiểm tra đều là loại A: p= 0,8 3 = 0,512.

Gọi X là số kiện hàng được thông qua trong số 100 kiện hàng được kiểm tra Ta thấy rằng X ∼ B(100; 0,512) Donp= 51,2>5,nq = 48,8>5vànpq = 100×0,512×0,488 = 24,986nên

Theo yêu cầu bài toán, ta có

Trong trường hợp tính chính xác theo phân phối nhị thức là

Trong trường hợp giá trị n càng lớn thỏa mãnnp, nq >5thì xấp xỉ sẽ càng chính xác. Định lý 3.5.4 (Bất đẳng thức Markov) Nếu BNN X chỉ nhận các giá trị không âm thì với mọi ϵ >0, ta có

P(X ≥ ϵ) ≤ E(X) ϵ Định lý 3.5.5 (Bất đẳng thức Tchebyshev) Áp dụng bất đẳng thức Markov nêu trên Xét BNNX cúE(X) =àvàV ar(X) =σ 2 , thỡ với mọiϵ > 0ta cú

Ví dụ 3.41 Thu nhập bình quân đầu người hàng năm của một vùng dân cư năm 2020 là 3700$ và độ lệch chuẩn là 250$ Sử dụng bất đẳng thức Tchebyshev xác định khoảng thu nhập bình quân hằng năm của cư dân vùng này quanh giá trị trung bình của nó, mà có ít nhất 95% cư dân vùng này thuộc về.

Giải Gọi X là thu nhập bình quân đầu người hàng năm ở dân cư trên Ta thấy E(X) = 3700,

V ar(X) = 250 2 Áp dụng bất đẳng thức Tchebyshev, ta được

Như vậy, khoảng thu nhập bình quân hàng năm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Bài 31 Cho BNNX có hàm mật độ xác suất f(x) 

1) Xác địnhkvà hàm phân phối xác suấtF(x) củaX.

2) Tìm kỳ vọng và phương sai củaX.

1) Xác địnhmvà hàm phân phối xác suấtF(x) củaX.

Bài 35 Tuổi thọ (năm) của một loại bóng đèn là BNN có hàm mật độ xác suất f(x) 

1) Hãy xác địnhkvà tính tỉ lệ bóng đèn có tuổi thọ không quá 30 tháng.

2) Tính tuổi thọ trung bình và phương sai tuổi thọ của loại bóng đèn trên Nếu muốn tỉ lệ bóng phải bảo hành là10%thì phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm?

Bài 36 Cho BNN liên tụcX có hàm mật độ xác suất là f(x) 

1) Xác địnhkvà hàm phân phối xác suấtF(x) củaX.

Bài 37 Thời gian phục vụ (phút) cho một khách hàng tại ngân hàngAlà BNN X có hàm mật độ xác suất f(x) 

1) Tính xác suất thời gian phục vụ một khách hàng nằm trong khoảng từ 0,4 phút đến 1 phút. 2) Tính thời gian trung bình phục vụ một khách hàng.

Bài 38 Tuổi thọX (giờ) của một loại van điện lắp trong một loại thiết bị là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) 

1) Tính xác suất một van điện bị thay thế trong 150 giờ đầu tiên.

2) Xác định giá trị trung vị củaX.

Bài 39 Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng đèn mới và 3 bóng đèn cũ Ta chọn ngẫu nhiên từng bóng đèn không hoàn lại cho đến khi thu được 2 bóng đèn mới GọiX là số bóng đèn đã lấy ra.

1) Lập bảng phân phối xác suất củaX.

2) Trung bình cần lấy bao nhiêu bóng đèn mới thu được 2 bóng đèn mới.

Bài 40 Một giảng viên gọi độc lập từng sinh viên trong một nhóm có 4 sinh viên lên bảng làm bài tập cho đến khi có sinh viên làm được bài tập hoặc cả nhóm không làm được thì thôi GọiX là số sinh viên lên bảng Lập bảng phân phối xác suất của X biết rằng khả năng giải được bài tập của mỗi sinh viên là 0,6

Bài 41 Một đề thi trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án trả lời đúng Thí sinh A đi thi nhưng không học bài, thí sinh này chọn ngẫu nhiên một phương án cho mỗi câu Tính xác suất thí sinh A trả lời đúng được từ 20 câu đến 45 câu.

Bài 42 Sản phẩm sản xuất xong được đóng thành hộp Mỗi hộp có 12 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt Người mua hàng tiến hành kiểm tra như sau: Từ hộp lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm để kiểm tra, nếu được cả 2 sản phẩm tốt thì mua hộp đó, ngược lại thì không mua.

1) Tính xác suất hộp sản phẩm được mua.

2) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu hộp để xác suất khách hàng mua được ít nhất 1 hộp không nhỏ hơn.

Bài 43 Sinh viên A đi từ nhà đến trường phải qua 3 ngã tư, xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là 0,2 ;0,3 ;0,4 GọiXlà số đèn đỏ mà sinh viên A gặp phải khi đi từ nhà đến trường. 1) Lập bảng phân phối xác suất củaX.

Bài 44 Cho BNN X chỉ có thể nhận 3 giá trị trong đó có 0 và 1 Biết rằng P(X > 1,5) 0,1;E(X 2 ) = 0,8vàE(X) = 0,6 Hãy lập bảng phân phối xác suất củaX.

Bài 45 Trọng lượng của một loại sản phẩm là BNN có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250 gram và độ lệch chuẩn là 25 gram Sản phẩm là loại I nếu trọng lượng của nó từ 240 gram trở lên.

1) Tính tỉ lệ sản phẩm loại I.

2) Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm loại này Tìm số sản phẩm loại I tin chắc nhất có trong 100 sản phẩm này.

Bài 46 Tỉ lệ sản phẩm loại I của một máy là 80% Cho máy này sản xuất 200 sản phẩm Tính xác suất trong 200 sản phẩm này có tối thiểu 150 sản phẩm loại I.

Bài 47 Lãi suất khi đầu tư vào công ty A là BNN có phân phối chuẩn Biết rằng xác suất đạt lãi suất trên 20% / năm là 0,1977 và dưới 10%/ năm là 0,0968.

1) Tính lãi suất trung bình và độ lệch chuẩn của lãi suất này.

2) Tính xác suất khi đầu tư vào công ty A được lãi suất ít nhất 15% /năm.

Bài 48 Doanh thu hàng tháng mà doanh nghiệp A đạt được là một BNN có phân phối chuẩn với doanh thu trung bình là 15,8 triệu USD/tháng Biết rằng khả năng đạt được doanh thu lớn hơn 18 triệu USD/tháng là 0,2912.

1) Xác định độ lệch chuẩn của doanh thu hàng tháng của doanh nghiệp.

2) Tính xác suất doanh nghiệp đạt được doanh thu ít nhất là 2/3 doanh thu trung bình.

Bài 49 Thu nhập hàng tháng (triệu đồng) của các nhân viên tại ngân hàng A là BNN có phân phối chuẩn Biết rằng có 2,27% nhân viên có thu nhập cao hơn 9,5 triệu và 30,85% nhân viên có thu nhập thấp hơn 7 triệu.

1) Xác định thu nhập trung bình và độ lệch chuẩn của thu nhập.

2) Nhân viên có thu nhập từ 9 triệu đồng/tháng trở lên thì phải đóng thuế thu nhập cá nhân Hãy tính tỉ lệ nhân viên ngân hàng A phải đóng thuế thu nhập cá nhân.

Bài 50 Trọng lượng X (đơn vị gram) của một sản phẩm do một máy tự động sản xuất là BNN có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 100 gram và độ lệch chuẩn là 1 gram Sản phẩm được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng của sản phẩm từ 98,04 gram đến 101,96 gram.

1) Tính tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn do máy này sản xuất.

2) Lấy ngẫu nhiên 500 sản phẩm do máy này sản xuất Tính xác suất có ít nhất 460 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.

Bài 51 Trọng lượng trẻ sơ sinh là BNN X có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 3kg và độ lệch chuẩn 0,2 kg.

1) Tính tỷ lệ trẻ sơ sinh cân nặng từ 3 kg đến 3,4 kg.

2) Trẻ sơ sinh thiếu cân nếu có trọng lượng nhỏ hơn 2,5 kg Tính tỷ lệ trẻ thiếu cân.

3) Người ta muốn có chế độ chăm sóc đặc biệt cho 10% tổng số trẻ thiếu cân Tính trọng lượng tối đa cho những đứa trẻ được chăm sóc đặc biệt.

Bài 52 Tuổi thọ sử dụng của một loại linh kiện điện tử là BNN cú phõn phối chuẩn vớià = 1000 giờ vàσ = 10giờ.

1) Thời gian bảo hành là 980 giờ Tính tỉ lệ linh kiện phải bảo hành.

2) Khi bán 1 linh kiện tiền lãi thu được là 50000 VNĐ Với thời gian bảo hành 980 giờ và chi phí bảo hành trung bình cho 1 linh kiện là 500000 VNĐ Hỏi tiền lãi trung bình cho mỗi linh kiện bán ra là bao nhiêu?

Bài 53 Có 3 hộp sản phẩm mỗi hộp có 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A có trong các hộp 1, 2, 3 tương ứng là 8, 7, 6; các sản phẩm còn lại trong mỗi hộp là loại B Chọn ngẫu nhiên 2 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đã chọn ra 1 sản phẩm để bán Tìm phân phối xác suất của số tiền có được khi bán 2 sản phẩm này Biết mỗi sản phẩm loại A giá 15000 VNĐ, mỗi sản phẩm loại B giá

Câu 1 Một xạ thủ có 3 viên đạn Người này bắn từng viên đạn cho đến khi bắn trúng bia hoặc hết đạn thì dừng Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần là 0,6 GọiX là số viên đạn đã bắn Bảng phân phối xác suất củaX là:

Câu 2 Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại 2 sản phẩm từ kiện hàng Gọi X là số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm được chọn Bảng phân phối xác suất củaX là:

Câu 3 ChoX là BNN có hàm mật độ xác suất như sau: f(x) 

Câu 5 Xét BNN rời rạc X với hàm phân phối xác suất F(x) = 2

3 x+1 , x = 0,1,2, Tìm xác suất của biến cố "X là số chẵn".

Câu 7 Cho BNNY có phân phối đều trên đoạn[0,1]vàY = X 2

4 GọiF(x)là hàm phân phối xác suất củaX Tìm giá trị củaF(2).

Câu 8 Cho BNN rời rạcX với hàm phân phối xác suất có dạng:F(x) = c

Câu 9 Xét hàm sốf(x) = c x 2 nếu1< x α=⇒chưa có cơ sở để bác bỏ H 0

Ví dụ 5.3 Cho thống kêZ có phân phối xác suất xác định Giá trị của Z được tính dựa trên mẫu quan sát W x = (x 1 , x 2 , , x n ) của tổng thể của biến X là z = Z(x 1 , x 2 , , x n ) Thì p−value của thống kêZ được xác định như sau: i) VớiH 1 : θ > θ 0 , ta cóp−value=P(Z ≥z); ii) Với H 1 : θ < θ 0 , ta cóp−value=P(Z ≤z); iii) VớiH 1 : θ ̸=θ 0 , ta có p−value 

Trong trường hợp thống kê Z có phân phối chuẩn tắc hoặc Student thì với H 1 : θ ̸= θ 0 , ta có p−value= 2P(Z ≥ |z|).

Kiểm định giả thuyết thống kê về tham số của một tổng thể

Kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của một tổng thể

◆Bài toỏn: Giả sử tổng thể củaX cú phõn phối chuẩn vớià = E(X)chưa biết Với mức ý nghĩa α, hóy tiến hành kiểm định cỏc cặp giả thuyết so sỏnhà vớià 0 trong cỏc trường hợp sau, trong đú à 0 là giỏ trị trung bỡnh của tổng thể đó được cho trước.

◆Các bước thực hiện kiểm định

★Trường hợp 1 Đã biết phương sai σ 2

1) Xác định cặp giả thuyếtH 0 , H 1

2) Tìm (các) giá trị tới hạn tương ứng.

3) Tớnh giỏ trị thống kờ kiểm định:z = x−à 0 σ

Giả thuyết không Giả thuyết đối Tiêu chuẩn bác bỏH 0

★Trường hợp 2 Chưa biết phương sai σ 2 vàn≥ 30

3) Tớnh giỏ trị thống kờ kiểm định:z = x−à 0 s

❀Các hình bên dưới biểu diễn các miền bác bỏ của các trường hợp trên. z α/2

Miền bác bỏ Miền bác bỏ z α α

★Trường hợp 3 Chưa biết phương sai σ 2 vàn < 30

3) Tớnh giỏ trị thống kờ kiểm định:t= x−à 0 s

❀Các hình bên dưới biểu diễn các miền bác bỏ của các trường hợp trên. t (n−1,α/2)

Miền bác bỏ Miền bác bỏ t (n−1,α) α

Ví dụ 5.4 Một loại nước ngọt đóng chai, trên nhãn ghi thể tích thực là 2 lít Người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 200 chai nước ngọt loại này, thì nhận thấy thể tích thực trung bình của một chai là 1,98 lít với độ lệch tiêu chuẩn là 0,06 lít Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về ý kiến cho rằng thể tích thực trung bình của một chai nước ngọt loại này không phải là 2 lít.

Giải Ta cú n = 200,x = 1,98và s = 0,06 Gọià là thể tớch thực trung bỡnh của một chai nước ngọt loại này (lít).

1) Xột cặp giả thuyết sau:H 0 : à = 2vàH 1 :à ̸= 2;

2) Tìm giá trị tới hạn:α = 0,05 =⇒ φ(z α/2 ) = 1−α

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: z = x−à 0 s

Miền bác bỏ Miền bác bỏ z

Kết luận: Có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là có cơ sở để cho rằng thể tích thực trung bình của một chai nước ngọt loại này không phải là 2 lít với mức ý nghĩa 5%.

Ví dụ 5.5 Một loại nước ngọt đóng chai, trên nhãn ghi thể tích thực là 2 lít Chủ hãng trên tuyên bố rằng thể tích thực trung bình trong một chai nước ngọt loại này còn cao hơn giá trị ghi trên nhãn, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 200 chai thì nhận thấy thể tích thực trung bình của một chai là 2,005 lít với độ lệch tiêu chuẩn là 0,04 lít Với mức ý nghĩa 3%, hãy cho kết luận về tuyên bố của chủ hãng.

Giải Ta cú n = 200, x = 2,005vàs = 0,04 Gọià là thể tớch thực của một chai nước ngọt loại này (lít).

1) Xột cặp giả thuyết sau:H 0 : à ≤2vàH 1 : à >2;

2) Tìm giá trị tới hạn:α = 0,03 =⇒ φ(z α ) = 0,5−α = 0,47 =⇒ z α = 1,88;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: z = x−à 0 s

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏ H 0 với mức ý nghĩa 3%; nghĩa là thể tích thực của chai nước ngọt không cao hơn 2 lít với mức ý nghĩa 3%.

Ví dụ 5.6 Một loại nước ngọt đóng chai, trên nhãn ghi thể tích thực là 2 lít Nghi ngờ thể tích thực trong một chai nước ngọt loại này thấp hơn so với giá trị ghi trên nhãn, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 200 chai thì nhận thấy thể tích thực trung bình của một chai là 1,98 lít với độ lệch tiêu chuẩn là 0,04 lít Với mức ý nghĩa 1%, hãy cho kết luận về nghi ngờ trên.

Giải Ta cún = 200,x = 1,98vàs = 0,04 Gọiàlà thể tớch thực của chai nước ngọt.

1) Xột cặp giả thuyết:H 0 : à ≥2vàH 1 : à 51;

2) Tìm giá trị tới hạn:α = 0,03 =⇒ t (n−1;α) =t (14;0,03) = 2,046;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: t= x−à 0 s

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa3%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng năng suất lúa trung bình ở xã B (thuộc tỉnh A) cao hơn 51 tạ/ha với mức ý nghĩa3%.

Ví dụ 5.9 Năng suất lúa trung bình của tỉnh A năm nay ước tính đạt 51 tạ/ha Có ý kiến cho rằng, năng suất lúa trung bình ở xã B (thuộc tỉnh A) thấp hơn năng suất lúa trung bình của tỉnh Để kiểm tra, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 15 ha ruộng lúa ở xã B và thấy rằng năng suất lúa trung bình là 50,5 tạ/ha và độ lệch chuẩn là 4 tạ/ha Biết năng suất lúa ở tỉnh A có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 1%, hãy cho kết luận về ý kiến trên.

Giải Ta cún = 15,x= 50,5vàs = 4 Gọiàlà năng suất lỳa trung bỡnh ở xó B.

1) Xột cặp giả thuyết:H 0 : à ≥51vàH 1 :à 0,02;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: z = f −p 0 q f(1−f)

Kết luận: Có cơ sở để bác bỏ H 0 với mức ý nghĩa 5%; nghĩa là có cơ sở để cho rằng tỉ lệ phế phẩm của lô hàng trên là cao hơn 2% với mức ý nghĩa 5%.

Ví dụ 5.12 Có ý kiến cho rằng tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng thấp hơn 4% Khảo sát ngẫu nhiên

400 sản phẩm của lô hàng này thì thấy có 14 phế phẩm Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho nhận xét về ý kiến trên.

400 = 0,035 Gọiplà tỉ lệ phế phẩm của lô hàng.

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : p≥0,04vàH 1 : p 0,2 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:χ 2 1 =χ 2 (n−1;α) = χ 2 (44;0,05) = 60,481;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: χ 2 = (n−1)s 2 σ 0 2 = (45−1)0,3 2

Kết luận: Có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là có cơ sở để cho rằng độ đồng đều về đường kính sản phẩm đã giảm so với lúc thiết kế với mức ý nghĩa 5%.

Ví dụ 5.15 Một dây chuyền được thiết kế với độ lệch chuẩn đường kính sản phẩm là 0,2 cm Khảo sát ngẫu nhiên 45 sản phẩm của dây chuyền thì nhận thấy độ lệch chuẩn đường kính là 0,18 cm Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng độ phân tán của đường kính sản phẩm đã giảm đi so với lúc thiết kế hay không?

Giải Gọiσ là độ lệch chuẩn đường kính sản phẩm (cm).

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : σ 2 ≥0,2 2 vàH 1 : σ 2 à 2 ;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: z = x 1 −x 2 v u u t s 2 1 n 1 + s 2 2 n 2

Kết luận: Có cơ sở để bác bỏ H 0 với mức ý nghĩa 5%; nghĩa là có cơ sở để cho rằng doanh thu trung bình theo ngày của chi nhánh A cao hơn chi nhánh B, với mức ý nghĩa 5%.

Ví dụ 5.18 Khảo sát doanh thu bán hàng theo ngày của hai chi nhánh A và B tại hai vùng khác nhau ta được kết quả như sau: i) Chi nhánh A: Khảo sát 156 ngày, doanh thu trung bình theo ngày là 124,5 triệu đồng, độ lệch chuẩn doanh thu theo ngày là 20,1 triệu đồng. ii) Chi nhánh B: Khảo sát 178 ngày, doanh thu trung bình theo ngày là 118,6 triệu đồng, độ lệch chuẩn doanh thu theo ngày là 14,2 triệu đồng.

Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho nhận xét về ý kiến cho rằng doanh thu trung bình theo ngày của chi nhánh A thấp hơn so với chi nhánh B Biết rằng doanh thu bán hàng theo ngày của chi nhánh A, chi nhánh B tại các vùng tương ứng là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Gọià 1 ,à 2 lần lượt là doanh thu trung bỡnh theo ngày của chi nhỏnh A, chi nhỏnh B (triệu đồng). 1) Xột cặp giả thuyết:H 0 : à 1 ≥à 2 vàH 1 :à 1 < à 2 ;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: z = x 1 −x 2 v u u t s 2 1 n 1 + s 2 2 n 2

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏ H 0 với mức ý nghĩa 5%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng doanh thu trung bình theo ngày của chi nhánh A thấp hơn chi nhánh B, với mức ý nghĩa 5%.

Ví dụ 5.19 Người ta ghi lại sản lượng lúa mì của một vùng (tạ/ha) của các mảnh ruộng sau khi đã bón lót 50 đơn vị đạm và 100 đơn vị đạm trên một héc-ta, kết quả thu được như sau: i) Bón lót 50 đơn vị đạm: 47,2; 43,1; 35,7; 47,0; 45,7; 42,6; 46,7; 42,3. ii) Bón lót 100 đơn vị đạm: 47,9; 48,9; 43,5; 53,1; 50,8; 46,1; 41,1; 43,0; 41,0; 48,5; 47,7.

Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng bón lót 50 đơn vị đạm và 100 đơn vị đạm trên một héc-ta cho năng suất như nhau hay không? Biết rằng sản lượng lúa mì của các mảnh ruộng sau khi đã bón lót 50 đơn vị đạm, 100 đơn vị đạm ở vùng trên là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Gọi à 1 , à 2 lần lượt là sản lượng lỳa mỡ trung bỡnh (tạ/ha) khi bún lút 50 đơn vị đạm, bún lút 100 đơn vị đạm trên một héc-ta.

1) Xột cặp giả thuyết:H 0 : à 1 =à 2 vàH 1 : à 1 ̸=à 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:α = 0,05 =⇒ t (n 1 +n 2 −2;α/2) =t (17;0,025) = 2,1098;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: t = x 1 −x 2 v u u t s 2 1 n 1 + 1 n 2

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng bón lót 50 đơn vị đạm và bón lót 100 đơn vị đạm trên một héc-ta cho năng suất lúa mì trung bình khác nhau ở vùng nêu trên, với mức ý nghĩa 5%.

Ví dụ 5.20 Người ta ghi lại sản lượng lúa mì của một vùng (tạ/ha) của các mảnh ruộng sau khi đã bón lót 50 đơn vị đạm và 100 đơn vị đạm trên một héc-ta, kết quả thu được như sau: i) Bón lót 50 đơn vị đạm: 47,2; 43,1; 35,7; 47,0; 45,7; 42,6; 46,7; 42,3. ii) Bón lót 100 đơn vị đạm: 47,9; 48,9; 43,5; 53,1; 50,8; 46,1; 41,1; 43,0; 41,0; 48,5; 47,7.

Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng bón lót 50 đơn vị đạm cho sản lượng lúa mì trung bình cao hơn so với bón lót 100 đơn vị đạm trên một héc-ta ở vùng trên hay không? Biết rằng sản lượng lúa mì của các mảnh ruộng sau khi đã bón lót 50 đơn vị đạm, 100 đơn vị đạm ở vùng trên là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Gọi à 1 , à 2 lần lượt là sản lượng lỳa mỡ trung bỡnh (tạ/ha) khi bún lút 50 đơn vị đạm, bún lút 100 đơn vị đạm trên một héc-ta.

1) Xột cặp giả thuyết:H 0 : à 1 ≤à 2 vàH 1 :à 1 > à 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:α = 0,05 =⇒ t (n 1 +n 2 −2;α) =t (17;0,05) = 1,740;

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: t = x 1 −x 2 v u u t s 2 1 n 1 + 1 n 2

So sánh Tỉ lệ của hai tổng thể

◆ Bài toán: Giả sử tổng thể I có tỉ lệ phần tử có tính chất A là p 1 ; tổng thể II có tỉ lệ phần tử có tính chất A làp 2 Từ tổng thể I ta lấy ra mẫu có kích thước mẫun 1 và tính được tỉ lệ phần tử có tính chất A của mẫu này làf 1 Từ tổng thể II ta lấy ra mẫu có kích thước mẫun 2 và tính được tỉ lệ phần tử có tính chất A của mẫu này làf 2 Hãy thực hiện kiểm định các cặp giả thuyết so sánh p 1 và p 2 trong các trường hợp, với mức ý nghĩaαcho trước Biết rằng chỉ tiêu đang đánh giá của tổng thể I, tổng thể II đều tuân theo luật phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Lưu ý: Các trường hợp kiểm định so sánh tỉ lệ của hai tổng thể chỉ đáng tin cậy khi các kích thước mẫu được khảo sát là khá lớn.

4) Tính giá trị thống kê kiểm định:z = f 1 −f 2 s f(1−f).( 1 n 1 + 1 n 2 )

Ví dụ 5.22 Để so sánh chất lượng sản phẩm của 2 dây chuyền sản xuất, người ta tiến hành các khảo sát như sau:

Số sản phẩm Số phế phẩm

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 dây chuyền này là như nhau hay không? Biết rằng chỉ tiêu đánh giá chất lượng sản phẩm của hai dây chuyền đều có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Gọip 1 ,p 2 lần lượt là tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền 1, dây chuyền 2.

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : p 1 =p 2 vàH 1 :p 1 ̸=p 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:α = 0,05 =⇒ φ(z α/2 ) = 1−α

3) Tính giá trị thống kê kiểm định: z = f 1 −f 2 v u u t f(1−f) 1 n 1 + 1 n 2

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 dây chuyền này là khác nhau với mức ý nghĩa 5%.

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền 1 cao hơn so với dây chuyền 2 hay không? Biết rằng chỉ tiêu đánh giá chất lượng sản phẩm của hai dây chuyền đều có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Gọip 1 ,p 2 lần lượt là tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền 1, dây chuyền 2.

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : p 1 ≤p 2 vàH 1 : p 1 > p 2 ;

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền 1 cao hơn so với dây chuyền 2 với mức ý nghĩa 5%.

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền 1 thấp hơn so với dây chuyền

2 hay không? Biết rằng chỉ tiêu đánh giá chất lượng sản phẩm của hai dây chuyền đều có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Gọip 1 ,p 2 lần lượt là tỉ lệ phế phẩm của 2 dây chuyền 1, dây chuyền 2.

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : p 1 ≥p 2 vàH 1 : p 1 < p 2 ;

2) Tính giá trị tới hạn:α = 0,05 =⇒ φ(z α ) = 0,5−α= 0,45 =⇒z α = 1,65;

Kết luận: Có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là có cơ sở để cho rằng tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền 1 thấp hơn so với dây chuyền 2 với mức ý nghĩa 5%.

So sánh Phương sai của hai tổng thể

◆Bài toán: Giả sử tổng thể I có phương saiσ 2 1 ; tổng thể II có phương saiσ 2 2 Từ tổng thể I ta lấy ra mẫu có kích thướcn 1 và tính được phương sai mẫu làs 2 1 Từ tổng thể II ta lấy ra mẫu có kích thước n 2 và tính được phương sai mẫu làs 2 2 Hãy thực hiện kiểm định các cặp giả thuyết so sánhσ 1 2 vàσ 2 2 trong các trường hợp, với mức ý nghĩa αcho trước Biết rằng các đại lượng được khảo sát để tính toán phương sai của tổng thể I, tổng thể II đều tuân theo phân phối chuẩn và độc lập nhau.

3) Tính giá trị thống kê kiểm định:F = s 2 1 s 2 2 4) Kết luận

Chỳ ý 5.2 Doà 1 , à 2 chưa biết nờn ta tớnhs 1 vàs 2 từ mẫu (sử dụng mỏy tớnh) nếu đề bài chưa cho.

Ví dụ 5.25 Để so sánh mức độ biến động giá của hai cổ phiếu A và B trong một giai đoạn, người ta so sánh độ lệch chuẩn giá niêm yết của 2 cổ phiểu này Biết rằng giá niêm yết của cố phiếu A, cố phiếu B là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và độc lập nhau.

Số phiên giao dịch Độ lệch chuẩn giá niêm yết (USD)

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng cổ phiếu A và B có mức độ biến động giá niêm yết như nhau trong giai đoạn trên hay không?

Giải Gọiσ 1 ,σ 2 lần lượt là độ lệch chuẩn giá niêm yết (USD) của cổ phiếu A, cổ phiếu B trong giai đoạn trên.

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : σ 2 1 =σ 2 2 vàH 1 : σ 1 2 ̸=σ 2 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:

3) Tính giá trị thống kê kiểm định:F = s 2 1 s 2 2 = 3,62 2

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng cổ phiếu A và B có mức độ biến động giá khác nhau với mức ý nghĩa 5%.

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng cổ phiếu A có mức độ biến động giá niêm yết cao hơn so với cổ phiếu B trong giai đoạn trên hay không?

1) Xét cặp giả thuyết:H 0 : σ 2 1 ≤σ 2 2 vàH 1 :σ 1 2 > σ 2 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:F (n 1 −1;n 2 −1;α) = F (24;26;0,05) = 1,95;

Kết luận: Chưa có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là chưa có cơ sở để cho rằng giá niêm yếu của cổ phiếu A có mức độ biến động cao hơn cổ phiếu B trong giai đoạn trên với mức ý nghĩa 5%.

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng giá niêm yết của cổ phiếu A có mức độ biến động thấp hơn giá niêm yết của cổ phiếu B trong giai đoạn trên hay không?

1) Xét cặp giả thuyết :H 0 : σ 2 1 ≥ σ 2 2 vàH 1 :σ 1 2 < σ 2 2 ;

2) Tìm giá trị tới hạn:F (n 1 −1;n 2 −1;1−α) =F (27;25;0,95) = 1

Kết luận: Có cơ sở để bác bỏH 0 với mức ý nghĩa5%; nghĩa là có cơ sở để cho rằng giá niêm yết của cổ phiếu A có mức độ biến động thấp hơn giá niêm yết của cổ phiếu B trong giai đoạn trên với mức ý nghĩa 5%.

Tính xác suất sai lầm loại II

Khi Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của tổng thể

Giả sử rằng giả thuyếtH 0 là sai, nghĩa là à =à 0 +δ, vớiδ >0.

Do đó, phân phối củazkhi biếtH 1 đúng là z ∼ N δ σ

Phân phối củazdưới giả thuyết khôngH 0 và giả thuyết đốiH 1 như hình bên dưới.

Từ hình vẽ, xác suất chưa bác bỏ đượcH 0 khi nó sai là: β =P −z α/2 < z < z α/2 , với z ∼N δ σ

Chú ý 5.3 Phương trình trên vẫn thoả trong trường hợp δ < 0 do tính đối xứng của phân phối chuẩn.

◆Tương tự, nếu xét cặp giả thuyết:

H 1 :à > à 0 , thì xác suất chưa bác bỏ đượcH 0 khi nó sai là: β = 0,5 +φ z α − δ σ

◆Nếu xét cặp giả thuyết:

H 1 :à < à 0 , thì xác suất chưa bác bỏ đượcH 0 khi nó sai là: β = 0,5−φ

Ví dụ 5.28 Giả sử chiều dài của một bộ phận máy có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0,05 cm và chiều dài trung bình là 2 cm Xét cặp giả thuyết sau:

H 1 :à ̸= 2, trên cơ sở giá trị trung bình của một mẫu ngẫu nhiên có kích thước 30 Nếu xác xuất xảy ra sai lầm loại I làα = 0,05thỡ xỏc suất xảy ra sai lầm loại IIβ là bao nhiờu vớià= 2,01cm.

Giải Theo đề, ta có α = 0,05 =⇒ φ(z α /2) = 1−α

Xác suất xảy ra sai lầm loại II là β =φ z α/2 − δ σ

Ví dụ 5.29 Người tiêu dùng muốn khiếu nại về cường độ âm thanh trung bình của một số máy hút bụi Giả sử rằng cường độ âm thanh là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 3,6 dB Xét cặp giả thuyết sau:

Nếu xác xuất xảy ra sai lầm loại I làα = 0,05thì xác suất xảy ra sai lầm loại IIβ là bao nhiêu với à = 77dB, biết rằng số mỏy hỳt bụi được khảo sỏt là 15.

Giải Theo đề, ta có α = 0,05 =⇒ φ(z α ) = 0,5−α= 0,45 =⇒ z α = 1,65. à =à 0 +δ ⇐⇒δ =à−à 0 = 77−75,2 = 1,8.

Xác suất xảy ra sai lầm loại II là β = 0,5 +φ z α − δ σ

Ví dụ 5.30 Khảo sát tuổi thọ trung bình của một loại bóng đèn Giả sử tuổi thọ có bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 5 giờ Người ta xét cặp giả thuyết sau

Nếu xác xuất xảy ra sai lầm loại I làα = 0,05thì xác suất xảy ra sai lầm loại IIβ là bao nhiêu với à = 369giờ, biết rằng số búng đốn được khảo sỏt ngẫu nhiờn là 35.

Giải Theo đề, ta có α = 0,05 =⇒ φ(z α ) = 0,5−α= 0,45 =⇒ z α = 1,65. à =à 0 +δ ⇐⇒δ =à−à 0 = 369−370 = −1.

Xác suất xảy ra sai lầm loại II là β = 0,5 +φ z α + δ σ

Khi Kiểm định giả thuyết về giá trị tỷ lệ của tổng thể

Sử dụng các kỹ thuật tính toán tương tự mục trên, ta được các kết quả sau:

◆Nếu xét cặp giả thuyết

Ví dụ 5.31 Xét cặp kiểm định giả thuyết sau:

Quan sát 100 mẫu và sử dụng α = 0,05, tính xác suất sai lầm loại II khi tỷ lệ tổng thể thực sự là p= 0,6.

Giải Theo đề, ta có α= 0,05 =⇒φ(z α/2 ) = 1−α

Xác suất xảy ra sai lầm loại II là β =φ

Ví dụ 5.32 Một nhà sản xuất bán dẫn sản xuất bộ điều khiển được sử dụng trong các ứng dụng động cơ ô tô Khách hàng yêu cầu rằng tỷ lệ sản phẩm bị loại bỏ hoặc tỷ lệ sản phẩm bị lỗi ở một bước sản xuất quan trọng không vượt quá 0,05 Tính xác suất xảy ra sai lầmβ cho một kiểm tra khả năng quy trình sử dụngn = 200vàα = 0,05.

Giải Xét cặp kiểm định giả thuyết sau:

Theo đề, ta có α = 0,05 =⇒ φ(z α ) = 0,5−α= 0,45 =⇒ z α = 1,65. Xác suất xảy ra sai lầm loại II là β = 1−φ

Xác định kích thước mẫu

Cho Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của tổng thể

Như đã trình bày ở phần trên, khi xét cặp giả thuyết

≈0 Từ phương trình trên, suy ra β ≈ φ z α/2 + δ σ

Từ hình vẽ, ta có β =φ(−z β ) ≈φ z α/2 + δ σ

Từ đây, suy ra n ≈ (z α/2 +z β ) 2 σ 2 δ 2 , trong đúδ = à−à 0

≈ 1 Từ phương trình trên, suy ra β = 1−φ

Từ hình vẽ, ta cũng có điều tương tự như sau β = 1−φ(z β ) ≈ 1−φ

Từ đây, suy ra n ≈ (z α/2 +z β ) 2 σ 2 δ 2 , trong đúδ = à−à 0

Do đó, kích thước mẫu cho Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của tổng thể được xác định bởi công thức như sau: n ≈ (z α/2 +z β ) 2 σ 2 δ 2 , trong đúδ = à−à 0

Trong trường hợp xét cặp giả thuyết

Thì kích thước mẫu cho Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của tổng thể được xác định bởi công thức như sau: n ≈ (z α +z β ) 2 σ 2 δ 2 , trong đúδ = à−à 0

Vớ dụ 5.33 Người ta muốn kiểm định giả thuyết H 0 : à = 370, H 1 : à ̸= 370 để kiểm tra một kết luận trong một tài liệu cho rằng: "tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn X là 370 giờ với độ lệch tiêu chuẩn 20 giờ", biết tuổi thọ trung bình của bóng đèn không quá 380 giờ Nếu muốn mức ý nghĩa của kiểm địnhα= 0,01và xác suất sai lầm loại 2 làβ không vượt quá0,05, thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu bóng đènX ?

Giải Theo đề, ta có β = 0,05 =⇒ φ(z β ) = 0,5−β = 0,45 =⇒ z β = 1,65 α = 0,01 =⇒ φ(z α/2 ) = 1−α

Khi đó, kích thước mẫu thoả yêu cầu bài toán là: n ≈ (z α/2 +z β )σ 2 δ 2 = (2,58 + 1,65) 2 ×20 2

Vớ dụ 5.34 Người ta muốn kiểm định giả thuyếtH 0 : à ≥ 370, H 1 : à < 370để kiểm tra một kết luận trong một tài liệu cho rằng: "tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn X là 370 giờ với độ lệch tiêu chuẩn 20 giờ", biết tuổi thọ trung bình của bóng đèn không quá 380 giờ Nếu muốn mức ý nghĩa của kiểm địnhα= 0,01và xác suất sai lầm loại 2 làβ không vượt quá0,05, thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu bóng đènX ?

Giải Theo đề, ta có β = 0,05 =⇒ φ(z β ) = 0,5−β = 0,45 =⇒ z β = 1,65 α= 0,01 =⇒ φ(z α ) = 0,5−α = 0,49 =⇒ z α = 2,33 δ = à−à 0 = 380−370 = 10.

Khi đó, kích thước mẫu thoả yêu cầu bài toán là: n ≈ (z α +z β )σ 2 δ 2 = (2,33 + 1,65) 2 ×20 2

Cho kiểm định giả thuyết về giá trị tỷ lệ của tổng thể

Thực hiện các kỹ thuật tính toán, tương tự như mục trên ta được

H 1 :p̸= p 0 , thì kích thước mẫu được xác định như sau: n ≈

H 1 :p < p 0 , thì kích thước mẫu được xác định như sau: n≈

Ví dụ 5.35 Xét cặp kiểm định giả thuyết sau:

Giả sử rằng xác suất sai lầm loại II làβ = 0,05khi tỷ lệ tổng thể thực sự làp= 0,6 Nếuα = 0,05 thì kích thước mẫu là bao nhiêu ?

Giải Theo đề, ta có β = 0,05 =⇒ φ(z β ) = 0,5−β = 0,45 =⇒z β = 1,65 α= 0,05 =⇒φ(z α/2 ) = 1−α

Khi đó, kích thước mẫu thoả yêu cầu bài toán là: n ≈

Ví dụ 5.36 Một nhà sản xuất bán dẫn sản xuất bộ điều khiển được sử dụng trong các ứng dụng động cơ ô tô Khách hàng yêu cầu rằng tỷ lệ sản phẩm bị loại bỏ hoặc tỷ lệ sản phẩm bị lỗi ở một bước sản xuất quan trọng không vượt quá 0,05 Giả sử nhà sản xuất bán dẫn sẵn sàng chấp nhận một lỗiβ lớn đến 0,10 nếu giá trị thực sự của tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là p= 0,03 Nếu nhà sản xuất sử dụngα= 0,05, kích thước mẫu yêu cầu là bao nhiêu?

Giải Xét cặp kiểm định giả thuyết sau:

Khi đó, kích thước mẫu thoả yêu cầu bài toán là: n ≈

Bài 1 Khảo sát thu nhậpX (triệu đồng/tháng) của một số người được chọn ngẫu nhiên từ công ty

A, ta thu được số liệu sau

1) Công ty A tuyên bố thu nhập trung bình của một người ở công ty này là 8,5 triệu đồng/tháng. Dựa vào số liệu thu được, hãy kết luận về tuyên bố này với mức ý nghĩa 1%.

2) Với mức ý nghĩa 3%, có thể kết luận tỉ lệ người có thu nhập dưới 8,5 triệu đồng/tháng và tỉ lệ người có thu nhập không dưới 8,5 triệu đồng/tháng bằng nhau hay không? Biết rằng thu nhập của một người ở công ty A là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.

Bài 2 Để đánh giá tác động của việc giảm lãi suất huy động vốn của ngân hàng H, ngân hàng này tiến hành điều tra lượng tiền mặt X (chục tỉ đồng) huy động được trong một tháng ở một số chi nhánh của ngân hàng H được chọn ngẫu nhiên và thu được bảng số liệu sau

1) Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết việc giảm lãi suất huy động vốn có ảnh hưởng đến việc huy động vốn hay không, biết lượng tiền mặt huy động được trung bình trong một tháng của một chi nhánh trước khi giảm lãi suất huy động vốn là 293 tỷ đồng/tháng.

2) Giám đốc ngân hàng H cho rằng, sau khi giảm lãi suất huy động vốn, tỉ lệ chi nhánh có lượng tiền mặt huy động được dưới 310 tỉ đồng/tháng gấp 4 lần tỉ lệ chi nhánh có lượng tiền mặt huy động được trên 310 tỉ đồng/tháng Có thể bác bỏ ý kiến của giám đốc ngân hàng H với mức ý nghĩa 5% hay không? Biết rằng lượng tiền mặt huy động được trong một tháng ở các chi nhánh của ngân hàng H là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.

Bài 3 Giám đốc một công ty nghi ngờ có sự khác nhau về năng suất giữa ca ngày và ca tối Một mẫu ngẫu nhiên 240 công nhân ca ngày thu được năng suất trung bình của một công nhân trong một giờ là 85,6 sản phẩm với độ lệch chuẩn mẫu là 12,5 sản phẩm Một mẫu ngẫu nhiên 220 công nhân ca tối thu được năng suất trung bình của một công nhân trong một giờ là 81,3 sản phẩm với độ lệch chuẩn mẫu là 13,6 sản phẩm Biết năng suất của công nhân ca ngày, ca tối đều có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 2%, hãy kết luận về nghi ngờ của giám đốc công ty.

Bài 4 Mẫu khảo sát về trọng lượng của một loại trái cây (đơn vị: gram) trong vùng A năm nay được kết quả như sau

Trọng lượng Số trái Trọng lượng Số trái

Cho biết trọng lượng của trái cây loại này trong vùng A năm nay là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Năm trước trọng lượng trung bình của trái cây loại này là 350 gram Có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình của trái cây năm nay tăng hơn năm trước Cho nhận xét về ý kiến đó với mức ý nghĩa 1%.

Bài 5 Tiến hành khảo sát lượng tiền mặtX (đơn vị: chục tỉ đồng/tháng) huy động được trong một tháng ở một số chi nhánh được chọn ngẫu nhiên của ngân hàng N, ta thu được bảng số liệu sau

Giám đốc ngân hàng N cho rằng tỉ lệ chi nhánh có lượng tiền mặt huy động được trên 290 tỉ đồng/tháng thấp hơn tỉ lệ chi nhánh có lượng tiền mặt huy động được không quá 290 tỉ đồng/tháng. Với mức ý nghĩa 5% có thể chấp nhận ý kiến của giám đốc ngân hàng N hay không? Biết rằng lượng tiền mặt huy động được trong một tháng ở các chi nhánh của ngân hàng N là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.

Bài 6 Mẫu điều tra về doanh thu X (đơn vị: chục triệu đồng/tháng) của các hộ kinh doanh mặt hàng C trong một vùng kết quả cho trong bảng sau

Biết rằngX là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Có báo cáo cho rằng doanh thu trung bình của một hộ kinh doanh mặt hàng C mỗi tháng là 39 triệu đồng Nếu bác bỏ được báo cáo đó thì mức ý nghĩa tối thiểu là bao nhiêu?

Bài 7 Khảo sát về mức lãi suất tiền gửi tiết kiệm X (đơn vị là %) của các ngân hàng trong một vùng, kết quả cho trong bảng sau

Cho biếtX là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Mức lãi suất tiền gửi tiết kiệm trên 16% là mức lãi suất cao Có báo cáo cho rằng tỉ lệ ngân hàng của vùng có mức lãi suất cao là 25% Với mức ý nghĩa 5% hãy xem tỉ lệ ngân hàng có mức lãi suất cao của vùng này có cao tới mức như trong báo cáo đó không?

Bài 8 Khảo sát về nhu cầu vay vốnX (đơn vị: triệu đồng) của một số hộ gia đình để thực hiện một dự án ở địa phương A, ta được kết quả sau:

Cho biết X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Có ý kiến cho rằng tỉ lệ hộ có nhu cầu vay vốn không quá 6 triệu đồng đối với dự án nói trên ở địa phương A là 28% Với mức ý nghĩa 2%, hãy xem tỉ lệ trong ý kiến đó có thấp hơn so thực tế không?

Bài 9 Doanh số (triệu đồng/tháng) trung bình một tháng của một đại lý của một công ty M trước nay là 35 triệu đồng Để nghiên cứu tác dụng của phương pháp tiếp thị mới, đã được áp dụng cho toàn bộ 3000 đại lý của công ty, công ty M tiến hành khảo sát ngẫu nhiên các đại lý của mình được số liệu như sau

Doanh số Số đại lý Doanh số Số đại lý

Cho biết doanh số hàng tháng của các đại lý của công ty M sau khi áp dụng phương pháp tiếp thị mới là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

Câu 1 Điều tra ngẫu nhiên 100 nhân viên của công ty A có 26 nhân viên co mức thu nhập phải đóng thuế thu nhập cá nhân Có ý kiến cho rằng tỉ lệ nhân viên ở khu công nghiệp A phải đóng thuế thu nhập cá nhân cao hơn 20 % Hãy cho nhận xét về ý kiến trên với mức ý nghĩa 5%.

A H 0 : p= 0,2;H 1 : p̸= 0,2; với mức ý nghĩa 5% chấp nhận ý kiến.

B H 0 : p= 0,2;H 1 : p̸= 0,2; với mức ý nghĩa 5% chấp nhận ý kiến.

C H 0 : p= 0,2;H 1 : p >0,2; với mức ý nghĩa 5% bác bỏ ý kiến.

Câu 2 Chất lượng của các sản phẩm do 2 phân xưởng A, B sản xuất là độc lập nhau và tuân theo luật phân phối chuẩn Khảo sát chất lượng của một số sản phẩm ở hai phân xưởng này ta được kết quả sau

Phân xưởng Số sản phẩm khảo sát Số phế phẩm

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng trên là như nhau hay không?

A z =−1,08; có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng trên là như nhau.

B z =−1,08; có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng trên là khác nhau.

C z =−1,80; có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng trên là như nhau.

D z =−1,80; có thể cho rằng tỉ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng trên là khác nhau.

Câu 3 Điều tra doanh thu kinh doanh mặt hàng A (triệu đồng) tại các cửa hàng của một công ty trong thời gian T thu được doanh thu trung bình là 100 triệu đồng và phương sai mẫu là 17,37, Có ý kiến cho rằng do áp dụng chiến dịch quảng cáo mới nên tình hình doanh thu thời gian này ổn định hơn trước Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho nhận xét về ý kiến trên Biết rằng trước đây độ biến thiên doanh thu mặt hàng A ở các cửa hàng 19,

A H 0 : σ 2 = 19;H 1 : σ 2 >19; với mức ý nghĩa 5% chấp nhận ý kiến.

B H 0 : σ 2 = 19;H 1 : σ 2 4; máy A phải được dừng lại và sửa chữa.

C H 0 : σ 2 = 2; H 1 : σ 2 0,3; với mức ý nghĩa 5% chấp nhận nhận định.

B H 0 : p= 0,3;H 1 : p 0,3; với mức ý nghĩa 5% bác bỏ nhận định.

Câu 11 Người ta đo ngẫu nhiên đường kính của 35 trục máy do máy X sản xuất và 37 trục máy do máy Y sản xuất (giả sử có phân phối chuẩn) tính được giá trị trung bình và độ lệch chuẩn lần lượt là:x= 251,7mm; s 2 x = 25vày = 249,8mm; s 2 y = 23Với mức ý nghĩa 1%, kiểm định giả thuyết

H 0 : “đường kính các trục máy do 2 máy sản xuất là như nhau” có trị tuyệt đối của giá trị thống kê và kết luận là

A 2,0963; đường kính trục máy X lớn hơn.

B 1,6439; đường kính trục máy X và Y khác nhau.

C 1,6439; đường kính trục máy X và Y như nhau.

Câu 12 Một công ty kinh doanh sữa muốn nhập về hai giống bò sữa A và B Khảo sát ngẫu nhiên

260 con bò giống A thu được lượng sữa trung bình là 15,126 lít/ngày, độ lệch chuẩn là 0,118 lít và

280 con bò giống B thu được lượng sữa trung bình là 15,230 lít/ngày, độ lệch chuẩn 0,229 lít Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng lượng sữa trung bình của giống bò B cao hơn giống A không? à 1 , à 2 lần lượt là lượng sữa trung bỡnh của giống bũ A, B

A H 0 : à 1 = à 2 ;H 1 : à 1 ̸= à 2 , z = −6,7; với mức ý nghĩa 5% chưa đủ cơ sở để cho rằng lượng sữa trung bình của giống bò B cao hơn giống A.

B H 0 : à 1 = à 2 ;H 1 : à 1 < à 2 , z = −6,70; với mức ý nghĩa 5% chưa đủ cơ sở để cho rằng lượng sữa trung bình của giống bò B cao hơn giống A.

C H 0 : à 1 = à 2 ;H 1 : à 1 < à 2 , z = −6,70; với mức ý nghĩa 5% cú thể cho rằng lượng sữa trung bình của giống bò B cao hơn giống A.

Câu 13 Tại một nông trường, để điều tra trọng lượng của một loại trái cây, người ta cân thử một số trái cây và được kết quả cho trong bảng sau

Sau đợt kiểm tra, người ta bón thêm một loại phân hóa học mới làm cho trọng lượng trung bình một trái cây là 70g Hãy cho kết luận về tác dụng của loại phân này với mức ý nghĩa 1%.

A Không thay đổi gì so với trước đây.

B Có thay đổi so với trước đây.

C Có thay đổi so với trước đây, vì trọng lượng trung bình giảm đi.

Câu 14 Trọng lượng của một hộp sản phẩm do một máy tự động đóng gói theo thiết kế ban đầu là 6kg với độ lệch chuẩn là 0,05kg Nghi ngờ sau thời gian hoạt động, máy đóng gói tự động hoạt độg không bình thường làm cho trọng lượng của các hộp sản phẩm tăng lên so với trước đây Khảo sát ngẫu nhiên 121 hộp sản phẩm, tính được trọng lượng trung bình của một hộp sản phẩm là 6,015kg. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về nghi ngờ trên Tính giá trị kiểm định và cho kết luận.

A z = 3,3; máy hoạt động không bình thường.

B z = 2,57; máy hoạt động bình thường.

C z = 2,57; máy hoạt động không bình thường.

Tiêu đề	Tóm Tắt Kiến Thức Và Câu Hỏi Trắc Nghiệm Khách Quan: Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học
Tác giả	TS Hồ Vũ, ThS Lê Thị Kim Anh, TS Nguyễn Thanh Hà, ThS Trần Thị Thu Hương, ThS Nguyễn Ngọc Phụng, ThS Nguyễn Phương
Trường học	Trường Đại Học Ngân Hàng TP.HCM
Thể loại	tài liệu tham khảo
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	226
Dung lượng	1,1 MB