Chuyên đề ôn thi THPTQG Tóm tắt kiến thức và công thức giải nhanh KHỐI ĐA DIỆN PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện là hợp của hai khối đa diện , sao cho và không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện thành hai khối đa diện và , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện
Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh KHỐI ĐA DIỆN PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN: ( ) hợp hai khối đa diện ( H ) , ( H ) cho ( H ) (H ) khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H ) ( H ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H ) (H ) với để khối đa diện (H ) Nếu khối đa diện H 2 (H 1) (H) (H 2) KHỐI ĐA DIỆN LỒI I Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Khối đa diện lồi II Khối đa diện không lồi Khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: + Các mặt đa giác n cạnh + Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại n, p Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; , loại 4; , loại 3; , loại 5; 3 , loại 3;5 Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 117 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Loại Số MPĐX Số đỉnh Số cạnh Số mặt Tứ diện 3; 3 Khối lập phương 12 4; 3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5; 3 15 Hai mươi mặt 12 30 20 3;5 15 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ = 2C = nM Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 118 Chun đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI ➢ Kết 1: Cho khối tứ diện Khi đó: + Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều; + Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) ➢ Kết 2: Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện ➢ Kết 3: Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương ➢ Kết 4: Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: + Ba đường chéo cắt trung điểm đường + Ba đường chéo đôi vng góc với nhau; + Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối chóp: V = S h đáy + S đáy : Diện tích mặt đáy + h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD = d S (S,(ABCD )) ABCD Thể tích khối lăng trụ: V = S đáy h + S đáy : Diện tích mặt đáy + h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 119 Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c V = a3 Thể tích khối lập phương: * Chú ý: • Đường chéo hình vng cạnh a a • Đường chéo hình lập phương cạnh a : a • Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c : a + b + c • Đường cao tam giác cạnh a là: a Tỉ số thể tích: VS AB C = VS ABC SA SB SC SA SB SC S B’ A’ Hình chóp cụt ABC AB C ( h V = B + B + BB C’ ) A B C Với B, B , h diện tích hai đáy chiều Thầy Đoàn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 120 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh cao CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vuông A, đường cao AH • AB + AC = BC • AB = BH BC • AC = CH BC • AH BC = AB.AC • AH = BH HC • 1 = + 2 AH AB AC • AB = BC sinC = BC cos B = AC tanC = AC cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma, mb, mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p • Định lí hàm số cosin: a = b + c - 2bc.cos A; b = c + a − 2ca.cos B; c = a + b − 2ab.cosC • Định lí hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 121 Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – ma2 = • Độ dài trung tuyến: Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh b2 + c2 a c2 + a b2 a + b2 c2 − ; mb2 = − ; mc2 = − 4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 • S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 • S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C 2 abc •S = 4R S = pr • ( )( )( • S = p p −a p −b p −c • ABC vuông A: S = ) AB.AC BC AH = 2 • ABC đều, cạnh a: AH = a a2 , S = b) Hình vng: S = a S = ab c) Hình chữ nhật: (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy cao = AB.AD.sin BAD S = AB.AD.sin BAD = AC BD e) Hình thoi: f) Hình thang: S = a + b h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) S = AC BD g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: ( ) MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP TÍNH CHẤT HÌNH VẼ Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 122 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SAC vng góc với đơi một, ( )( )( A ) diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1, S2 , S3 S C 2S1.S2 S3 Khi đó: VS ABC = B ( ) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ABC , hai ( ) ( S ) mặt phẳng SAB SBC vng góc với nhau, BSC = , ASB = Khi đó: VS ABC = C A SB sin 2 tan 12 B Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC = a 3b − a 12 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc Khi đó: VS ABC = a tan 24 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Khi đó: VS ABC = 3b sin cos2 S C A G M B Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 123 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc a tan 12 Khi đó: VS ABC = S C A G M B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = b Khi đó: VS ABC = S a 4b − 2a D A M O C B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy Khi đó: VS ABCD = S a tan A D M O B C Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SAB = , với ; 4 2 S D Khi đó: VS ABCD = a tan2 − A M O C B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, góc tạo mặt bên mặt đáy với 0; 2 S A 4a tan Khi đó: VS ABCD = (2 + tan ) D M O B C Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 124 Chun đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song với BC S ( ) ( ) F N ( ) vng góc với SBC , góc P với mặt phẳng đáy A E C x G Khi đó: VS ABCD = a cot 24 M B Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a A' B' O' D' a3 Khi đó: V = C' O1 O2 O4 A O3 B O D C Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương S G2 D A G1 2a Khi đó: V = 27 N M C B S' CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN: ĐIỀU KIỆN TỨ DIỆN SA = a, SB = b, SC = c ASB = , BSC = ,CSA = CÔNG THỨC VS ABC = abc − cos2 − cos2 − cos2 + cos cos cos Công thức tính biết cạnh, góc đỉnh tứ diện AB = a,CD = b d AB,CD = d, AB,CD = ( ) ( ) VABCD = abd sin Cơng thức tính biết cạnh đối, khoảng cách góc cạnh VSABC = 2S1S sin S SAB = S1, S SAC = S2, SA = a 3a SAB , SAC = Cơng thức tính biết cạnh, diện tích góc mặt kề (( )( )) Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 125 Chun đề ôn thi THPTQG 2020 – SA = a, SB = b, SC = c SAB , SAC = ASB = , ASC = (( )( Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh VS ABC = )) abc sin sin sin Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh góc nhị diện Tứ diện VABCD = tất cạnh a Tứ diện gần AB = CD = a AC = BD = b AD = BC = c VABCD = 12 (a a3 12 )( )( + b2 − c2 b2 + c2 − a a + c2 − b2 ) MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU I MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN 1) Mặt nón tròn xoay Đường thẳng d , cắt O tạo thành góc với ( ) 00 900 , mp P ( ) chứa d , P quay quanh trục với góc khơng đổi mặt nón trịn xoay đỉnh O + gọi trục + d gọi đường sinh + Góc gọi góc đỉnh 2) Khối nón + Là phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón + Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón tương ứng gọi điểm khối nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng O h l I r M Thầy Đoàn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 126 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh tiếp điểm ( ) ( ) Lưu ý: Trong trường hợp cắt S điểm A, B bán kính R S ( ) d I ; = IH tính sau: AB 2 R = IH + AH = IH + Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu: + Giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu gọi kinh tuyến vótuyế n A + Giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu + Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu O kinh tuyeá n B * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện Cịn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 130 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Cịn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu S Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình S ABCD chóp OA = OB = OC = OD = OS = r O A B D ( Cho mặt cầu S I ; R C ) + Diện tích mặt cầu: S = 4 R2 + Thể tích khối cầu: V = R3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT NĨN Dạng Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón Thiết diện vng góc với trục hình nón đường trịn có tâm nằm trục hình nón Dạng Bài tốn liên quan đến thiết diện qua đỉnh hình nón Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 131 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện d Gọi M trung điểm AC Khi đó: + ( AC ⊥ SMI ) ( ) ( ) Góc (SAC ) SI góc MSI d ( I , (SAC ) ) = IH = d + Góc SAC ABC góc SMI + + Diện tích thiết diện: 1 SM AC = SI + IM 2 AI − IM 2 2 hd h 2d 2 = r − h + h − d2 h − d2 Std = S SAC = Dạng Bài tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp Hình nón nội tiếp hình chóp S ABCD hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Hình chóp tứ giác S ABCD S Khi hình nón có: + Bán kính đáy r = IM = AB , + Đường cao h = SI , đường sinh l = SM Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A D I M B C Hình chóp tứ giác S ABCD S Khi hình nón có: + Bán kính đáy: r = IA = + Chiều cao: h = SI + Đường sinh: l = SA AC AB = 2 A D I B C Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 132 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Hình nón nội tiếp hình chóp S ABC hình nón có đỉnh S , đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hình chóp tam giác S ABC S Khi hình nón có + Bán kính đáy: r = IM = + Chiều cao: h = SI + Đường sinh: l = SM AM AB = A C I M B Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC hình nón có đỉnh S , đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hình chóp tam giác S ABC S Khi hình nón có: + Bán kính đáy: r = IA = + Chiều cao: h = SI + Đường sinh: l = SA 2AM AB = 3 C A M I B Dạng Bài toán hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm hai mặt phẳng nói gọi hình nón cụt + Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với đáy mặt cắt hình trịn + Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với trục mặt cắt hình thang cân Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 133 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Cho hình nón cụt có Diện tích xung quanh hình nón cụt: R, r , h Sxq = l R + r bán kính đáy lớn, bán ( ) kính đáy nhỏ chiều Diện tích đáy (hình trịn): cao S đáy = r S đáy = R r h S đáy ( ) = r + R2 Diện tích tồn phần hình nón cụt: ( R ) Stp = l R + r + r + R2 Thể tích khối nón cụt: V = ( ) h R + r + Rr Dạng Bài tốn hình nón tạo phần cịn lại hình trịn sau cắt bỏ hình quạt ( Từ hình trịn O ; R ) cắt bỏ hình quạt AmB Độ dài cung AnB x Phần lại hình trịn ghép lại hình nón Tìm bán kính, chiều cao độ dài đường sinh hình nón Hình nón tạo thành có l = R 2 2 r = x r = x h = l − r MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ Dạng Thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng + Thiết diện vng góc trục đường trịn bán kính R + Thiết diện chứa trục hình chữ nhật ABCD AB = 2R AD = h Nếu thiết diện qua trục hình vng h = 2R + Thiết diện song song với trục khơng chứa trục hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là: Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 134 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – ( ( d OO '; BGHC Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh )) = OM O A B M G C D H Dạng Thể tích khối tứ diện có cạnh đường kính đáy Nếu AB CD hai đường kính hai đáy hình trụ thì: O A B AB.CD.OO '.sin AB,CD * Đặc biệt: Nếu AB CD vng góc thì: VABCD = AB.CD.OO ' ( VABCD = ) C O' D Dạng Xác định góc khoảng cách + Góc AB trục OO ' : A (AB;OO ') = A ' AB O O A A O' O' B A' A' + Khoảng cách AB trục OO ' : ( ) d AB;OO ' = OM A O O A M O B A I O' A' O' B A' M Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hoàng – Đan Phượng B D O' C Page 135 B D Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh + Nếu ABCD hình vng nội tiếp hình trụ O O đường chéo đường chéo hình vng A A hình trụ A O Nghĩa cạnh hình vng: AB = 4R + h I O' A' O' B B A' M B D O' C Dạng Xác định mối liên hệ diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối trụ tốn tối ưu Một khối trụ tích V khơng đổi + Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích tồn phần nhỏ nhất: V R = 4 Stp h = V 4 + Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ nhất: V R = S h = V Dạng Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đứng r l r + Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp hình trụ Thể tích khối lăng trụ 4V V thể tích khối trụ V(T) = + Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.A ' B 'C ' D ' ngoại tiếp hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ S diện tích xung quanh hình lăng trụ 2S S xq = MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm + Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 136 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh + Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng + Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 2/ Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, chính giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp + Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp 3/ Cách xác định tâm bán kính mặt cầu mợt số hình đa diện a/ Hình hợp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Tâm I , trung điểm AC ' - Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) AC ' A B Bán kính: R = A D C A I b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn C D Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 An A1' A2' A3' An' , C An A1 có đáy A1A2A3 An A1' A2' A3' An' nội tiếp ( ) I B O A2 ( ) A3 đường tròn O O ' Lúc đó, I mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: A’ A’ - Tâm: I với I trung điểm OO ' - Bán kính: R = IA1 = IA2 = = IAn' O A’2 A’ c/ Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại góc vng - Hình chóp S ABC có SAC = SBC = 900 + Tâm: I trung điểm SC S SC = IA = IB = IC + Bán kính: R = - Hình chóp S ABCD có S I SAC = SBC = SDC = 900 I A A C Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng B B Page 137 C Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh + Tâm: I trung điểm SC SC = IA = IB = IC = ID + Bán kính: R = d/ Hình chóp S ∆ M Cho hình chóp S ABC I - Gọi O tâm đáy SO trục đáy A - Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mp SAO , ta vẽ đường trung trực ( ) D O B C cạnh SA cắt SA M cắt SO I I tâm mặt cầu - Bán kính: Ta có: SMI R = IS = SOA SM SI = Bán kính là: SO SA SM SA SA2 = = IA = IB = IC = SO 2SO e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy ( ) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy ABC đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với ( ) mp ABC O ( S d M I A O ) ∆ - Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực cạnh SA , cắt SA M , cắt d I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R = IA = IB = IC = IS = C B - Tìm bán kính: Ta có: MIOB hình chữ nhật Xét MAI vng M có: Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 138 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh SA R = AI = MI + MA = AO + 2 f/ Hình chóp khác - Dựng trục đáy - Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên ( ) - ( ) = I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp mợt số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, chính đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tâm O đường trịn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng tốn O O O Hình vng: O là giao Hình chữ nhật: O là giao ∆ đều: O là giao điểm của điểm đường chéo điểm của hai đường chéo đường trung tuyến (trọng tâm) O O ∆ vuông: O là trung điểm ∆ thường: O là giao điểm của hai của cạnh huyền đường trung trực của hai cạnh ∆ II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP CHĨP Cho hình chóp S A1A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa S giác đáy Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác I đáy O D A C H Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hoàng – Đan Phượng Page 139 B Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) cạnh bên - Tâm O mặt cầu: mp( ) = O Lúc : ( ) - Bán kính: R = SA = SO Tuỳ vào trường hợp Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy M Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc A với mặt phẳng đáy H Tính chất: M : MA = MB = MC C B Suy ra: MA = MB = MC M Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng vng góc với mặt phẳng đáy VD: Một số trường hợp đặc biệt Tam giác Tam giác vuông B Tam giác H C B B C C H A H A A S Kỹ tam giác đồng dạng SMO đồng dạng với SIA Nhận xét quan trọng: SO SM = SA SI M O I A MA = MB = MC M , S : SM trục đường tròn ngoại tiếp ABC SA = SB = SC Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 140 Chun đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh * KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Cho hình chóp S A1A2 An (thõa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp mặt bên (dễ xác định) khối chóp Lúc đó: Δ + Tâm I mặt cầu: d = I ( S ) + Bán kính: R = IA = IS Tuỳ vào R trường hợp d I D C A B TỔNG KẾT CÁC DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Loại 1: Cạnh bên SA vng góc đáy ABC = 900 R = SC tâm trung điểm SC S S C A A B B Loại 2: Cạnh bên SA vuông góc đáy đáy hình gì, cần tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy RD , SA2 : R = R + + RD = S I C A O abc )( C K D ( D )( p p −a p −b p −c ) ( p : nửa chu vi) B Thầy Đoàn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 141 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh + Nếu ABC vuông A thì: R2 = ( ) AB + AC + AS + Đáy hình vng cạnh a RD = a , đáy tam giác cạnh a a Loại 3: Chóp có cạnh bên nhau: RD = SA = SB = SC = SD : R = S SA2 2SO + ABCD hình vng, hình chữ nhật, O giao hai đường chéo + ABC vng, O trung điểm cạnh huyền + ABC đều, O trọng tâm, trực tâm ( ) ( Loại 4: Hai mặt phẳng SAB ABC ) A D B S vng góc với có giao tuyến AB Khi ta gọi R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: C O I A C J K R2 = R12 + R22 − AB B Loại : Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường trịn ngoại tiếp đáy O Khi ta ( giải phương trình: SH − x ) + OH = x + RD2 Với giá trị x tìm ta có: R2 = x + RD2 Loại 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r = 3V Stp TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ( Chỏm cầu: ) S = 2 Rh = r + h xq h h 2 h + 3r V = h R − = 3 ( h ) r R Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 142 Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh ( Hình trụ cụt: Hình nêm loại 1: Hình nêm loại 2: Parabol bậc hai Paraboloid trịn xoay + Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip ) S = R h + h xq h1 + h2 V = R V = h2 h1 R R tan 2 V = − R tan 3 S' S parabol = Rh; S = 1 V = R h = Vtru 2 Selip = ab Vxoay quanh 2a = V = xoay quanh 2b 3 x a = h R ab a b R R h b a a b Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 143 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh R Diện tích hình vành khăn S = R2 − r ( + Hình xuyến r ) Thể tích hình xuyến (phao) R + r R − r V = 2 2 r R Thầy Đoàn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 144 ... FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 120 Chun đề ôn thi THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức công thức giải nhanh cao CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vuông A,... 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh Hình nón nội tiếp hình chóp S ABC hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC Hình chóp tam giác S ABC S Khi hình nón có + Bán... THPTQG 2020 – Chương 3: Tóm tắt kiến thức cơng thức giải nhanh + Nếu ABCD hình vng nội tiếp hình trụ O O đường chéo đường chéo hình vng A A hình trụ A O Nghĩa cạnh hình vng: AB = 4R + h I