Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình (hệ bpt) được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình ta phải tìm các giá trị[r]
(1)Chương I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
1 Mệnh đề:
Mệnh đề khẳng định sai Mệnh đề vừa đúng vừa sai
Ví dụ: i) + = mệnh đề đúng. ii) “ 2 số hữu tỉ” mệnh đề sai. iii) “Mệt !” mệnh đề 2 Mệnh đề chứa biến:
Ví dụ:Cho mệnh đề + n = với giá trị n ta đề sai. Mệnh đề gọi mệnh đề chứa biến
3 Phủ định mệnh đề:
Phủ định mệnh đề P kí hiệu P Nếu mệnh đề P P sai, P sai Pđúng
Ví dụ: P: “3 số nguyên tố”
P: “3 không số nguyên tố” 4 Mệnh đề kéo theo:
Mệnh đề “nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Kí hiệu
PQ
Mệnh đềPQ sai P Q sai
Ví dụ:Mệnh đề “ 3 ( 3)2 ( 2)2” sai Mệnh đề “ 32 3 4” đúng
Trong mệnh đề PQ thì: P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q) Q: kết luận (điều kiện cần để có P)
(2)Hãy phát biểu mệnh đề PQ dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc 600 điều kiện cần tam giác
ABC tam giác đều”
ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC tam giác điều kiện đủ tam giác ABC có hai góc 600”
5 Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.
Mệnh đề đảo mệnh đề PQ mệnh đề QP
Chú ý:Mệnh đề PQ mệnh đề đảo QP chưa đúng.
Nếu hai mệnh đề PQ QP ta nói P Q hai mệnh đề tương đương nhau Kí hiệu PQ
6 Kí hiệu , :
: Đọc với (tất cả)
: Đọc tồn (có hay có một)
7 Phủ đỉnh :
* Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x X P x, ” “ x X P x, ” * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x X P x, ” “ x X P x, ”
Ghi nhớ:
- Phủ định - Phủ định - Phủ định = - Phủ định > - Phủ định <
Ví dụ: P: “ n Z n: 0” : " : 0"
(3)ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
1 Định lí chứng minh định lí:
- Trong tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng x X P x, Q x (1)
Trong P x Q x , mệnh đề chứa biến, X tập hợp
- Chứng minh định lí dạng (1) dùng suy luận kiến thức biết để khẳng định mệnh đề (1) đúng, tức cần chứng tỏ với x thuộc X mà P(x) Q(x)
Có thể chứng minh định lí dạng (1) cách trực tiếp gián tiếp
* Phép chứng minh trực tiếp gồm bước:
- Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng;
- Dùng suy luận kiến thức toán học biết để Q(x) đúng.
* Phép chứng minh phản chứng gồm bước:
- Giả sử tồn x0Xsao cho P x 0 đúng Q x 0 sai, tức mệnh đề (1) mệnh đề sai
- Dùng suy luận kiến thức toán học biết để điều mâu thuẫn. 2 Điều kiện cần, điều kiện đủ:
Cho định lí dạng: " x X P x, Q x " (1) - P(x) gọi giả thiết Q(x) gọi kết luận định lí - Định lí (1) cịn phát biểu dạng:
+ P(x) điều kiện đủ để có Q(x), + Q(x) điều kiện cần để có P(x)
3 Định lí đảo, điều kiện cần đủ:
(4) ,
x X P x Q x
(3)
(5)TẬP HỢP
I TẬP HỢP:
- Tập hợp khái niệm toán học
- Cho tập hợp A Phần tử a thuộc tập A ta viết aA Phần tử a không thuộc tập A ta viết aA
1 Cách xác định tập hợp:
a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất phần tử tập hợp
Ví dụ: A 1,2,3,4,5
b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ tính chất đặc trưng phần tử tập
Ví dụ: AxR: 2x2 5x 3 0
Ta thường minh hoạ tập hợp đường cong khép kín gọi biểu đồ Ven
2 Tập hợp rỗng:Là tập hợp khơng chứa phần tử Kí hiệu Vậy: A x x: A
3 Tập con: AB x x( A x B)
Chú ý: i) AA,A ii) A,A
iii) AB B, CAC
4 Hai tập hợp nhau: AB x x( A x B)
II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1 Phép giao: ABx x/ A vaøxB
B
(6)Ngược lại: x A B x A
x B
2 Phép hợp: ABx x/ A xB Ngược lại: x A B x A
x B
3 Hiệu hai tập hợp: A B\ x x/ A vaøxB Ngược lại: x A B\ x A
x B
4 Phần bù:Khi AE E\A gọi phần bù A E Kí hiệu:C BA Vậy: C AE = E\A AE
(7)III CÁC TẬP HỢP SỐ:
Tập số tự nhiên: N 0,1,2,3,4, ; N * 1,2,3,4, Tập số nguyên: Z , 2, 1,0,1,2,
Tập số hữu tỉ: Q x m/ ,m n Z n, 0
n
Tập số thực: kí hiệu R, gồm số hữu tỉ số vô tỉ Tập số thực biểu diễn trục số
Quan hệ tập số:
+ Các tập thường dùng R:
(8)Chú ý:Cách biểu diễn phép hợp, giao, hiệu tập hợp trục số:
Vẽ trục số, biểu diễn số biên tất tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Sau biểu diễn tập hợp theo qui tắc sau:
Phép hợp: Muốn lấy hợp hai tập hợp A B Tô đậm bên hai tập hợp, phần tơ đậm hợp hai tập hợp
Phép giao: Muốn lấy giao hai tập hợp A B Gạch bỏ phần bên tập A, tiếp tục gạch bỏ bên ngồi tập B phần khơng gạch bỏ giao hai tập hợp A B
(9)SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1 Số gần đúng:
Trong đo đạc, tính tốn ta thường khơng biết giá trị đại lượng ta quan tâm mà biết giá trị gần
2 Sai số tuyệt đối sai số tương đối:
a) Sai số tuyệt đối:
Giả sử alà giá trị đại lượng a giá trị gần
a Giá trị a a phản ánh mức độ sai lệch a a Ta gọi a a sai số tuyệt đối số gần a kí hiệu a, tức là: a a a
Trên thực tế nhiều ta a nên tính xác a Tuy nhiên, ta đánh giá akhông vượt số dương
* Nếu a dthì: a a d da a d a d a a d
Khi ta qui ước viết: aa d
Như viết: aa d ta hiểu số anằm đoạn ;
a d a d
Vì vậy, d nhỏ độ sai lệch
b) Sai số tương đối:
Sai số tương đối số gần a, kí hiệu a, tỉ số a
a
Tức là:
a a
a
(10)Nếu d
a nhỏ chất lượng phép đo đạc hay tính tốn
cao
Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm 3 Số qui tròn:
Nguyên tắc qui tròn số:
* Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số
* Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn
Chú ý:
1 Khi qui tròn số ađến hàng ta nói số gần a nhận xác đến hàng đó.
2 Nếu kết cuối tốn u cầu xác đến hàng 10n q trình tính tốn, kết phép tính trung gian ta cần lấy xác đến hàng 10n1 3 Cho số gần a có độ xác d (tức aa d ) Khi yêu cầu qui tròn số a mà khơng nói rõ qui trịn đến hàng ta qui trịn số a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị của hàng đó.
4 Chữ số cách viết chuẩn số gần đúng:
a) Chữ số chắc:
Cho số gần a số a với độ xác d số a, chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d khơng vượt q đơn vị hàng có chữ số
* Nhận xét:Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không chắc.
b) Dạng chuẩn số gần đúng:
(11)* Nếu số gần số thập phân khơng ngun dạng chuẩn dạng mà chữ số chữ số
* Nếu số gần số nguyên dạng chuẩn .10k
A , A số nguyên, k hàng thấp có chữ số k N
Chú ý: Với qui ước dạng chuẩn số gần hai số gần 0,14 0,140 viết dưới dạng chuẩn có ý nghĩa khác Số gần 0,14 có sai số tuyệt đối khơng vượt q 0,005 cịn số 0,140 có sai số tuyệt đối khơng vượt q 0,0005
5 Kí hiệu khoa học số:
(12)Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
1 Khái niệm hàm số:
a) Hàm số:
Cho tập hợp khác rỗng D
Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f(x); số f(x) gọi giá trị hàm số f x
Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm số f
Để rõ kí hiệu biến số, hàm số f cịn viết y f x
b) Hàm số cho biểu thức: Cho hàm số y f x , ta nói hàm số cho biểu thức f(x)
* Tập xác định hàm số:
Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số biểu thức y = f(x), khơng nói thêm tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất giá trị x để biểu thức y = f(x) có nghĩa (hay giá trị biểu thức f(x) xác định) Kí hiệu là: D
Vậy: Tập xác định DxR y/ f x có nghóa( ) * Tập xác định hàm số thường gặp:
( ) ( )
P x y
Q x
có nghĩa Q x( ) 0 ( )
y P x
có nghĩa P x( ) 0
( ) ( )
P x y
Q x
(13)( ) ( )
y P x Q x
có nghĩa ( )
( )
P x Q x
Các hàm đa thức như: y = ax2 + bx + c, y = ax + b, có tập xác định
c) Đồ thị hàm số: Cho hàm số y=f(x) có TXĐ D
Đồ thị (C) hàm số tập hợp điểm M x f x , trên mặt phẳng tọa độ Oxy với xD Vậy C M x f x , y f x x , D
Lưu ý giải toán: Điểm thuộc đồ thị tọa độ điểm phải thỏa mãn phương trình đồ thị.
2 Sự biến thiên hàm số:
Ta kí hiệu K khoảng, nửa khoảng hay đoạn Ta có:
* Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) K nếu: 1, : ( )1 ( )2
x x K x x f x f x
* Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) K nếu: 1, : ( )1 ( )2
x x K x x f x f x
Nhận xét:
- Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải - Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải. * Phương pháp khảo sát biến thiên hàm số
B1: Lấy x x1, 2K x, 1 x2
B2: Lập tỉ số:
2
( ) ( )
f x f x T
x x
B3: Nếu tỉ số T > hàm số tăng K
Nếu tỉ số T < hàm số giảm K
3 Tính chẵn lẻ hàm số:
(14)* Hàm số y = f(x) gọi hàm số lẻ
( ) ( )
x D x D f x f x
* Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ.
B1: Tìm tập xác định D hàm số
B2: Chứng minh tập D tập đối xứng (cần c/m: xD x D)
B3:Tính f(-x)
Nếu f(-x) = f(x) hàm số hàm số chẵn Nếu f(-x) = - f(x) hàm số hàm số lẻ
* Lưu ý: Hàm số không chẵn không lẻ
4 Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ:
(15)HÀM SỐ y = ax + b
1 Hàm số bậc nhất: yax b a 0 a Tập xác định D =
b Sự biến thiên:
- Nếu a > hàm số đồng biến - Nếu a < hàm số nghịch biến
c Đồ thị: Đồ thị đường thẳng không song song, không trùng với hai trục toạ độ cắt trục Ox A b; 0
a
, Oy B(0; b)
* Chú ý:
- a gọi hệ số góc đường thẳng.
- Nếu gọi là góc tạo đường thẳng y=ax+b chiều dương trục Ox atan - Nếu a>0 đường thẳng y=ax+b nghiêng bên phải
- Nếu a< đường thẳng y=ax+b nghiêng bên trái.
- Cho hai đường thẳng d :yax b d , ' :ya x b' ' Ta có: + / / ' '
'
a a d d
b b
+ ' '
'
a a d d
b b
+ d cắt d' aa' + d d' a a ' 1
2 Hàm số y = b
- Tập xác định D =
- Hàm số hàm số chẵn
(16)- Tập xác định D =
- Hàm số y x hàm số chẵn Đồ thị đối xứng qua trục tung - Hàm số đồng biến khoảng 0; nghịch biến khoảng ;0
Bảng biến thiên:
x
y
Đồ thị:
x y
(17)HÀM SỐ BẬC HAI
1 Định nghĩa:
Hàm số bậc hai hàm số cho biểu thức có dạng
yax bxc, a, b, c số thực vàa 0
2 Đồ thị hàm số bậc hai:
- Tập xác định D =
- Đồ thị đường parabol có đỉnh ;
2 4 b I a a
, nhận đường thẳng
2
b x
a
làm trục đối xứng, có bề lõm quay lên a > 0, quay xuống a <
3 Sự biến thiên hàm số:
Nếu a > hàm số nghịch biến khoảng ; 2 b a
đồng
biến khoảng ; 2 b a
Nếu a < hàm số đồng biến khoảng ; 2 b a
nghịch biến
khoảng ; 2 b a
Bảng biến thiên:
x b a
y
(18)x
2
b a
y
4a
- -
4 Dạng toán:
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai:
- Các bước vẽ đồ thị hàm số bậc hai: + Xác định đỉnh parabol: ;
2 4
b I
a a
+ Xác định trục đối xứng hướng bề lõm parabol
+ Xác định số điểm cụ thể parabol, chẳng hạn: giao điểm parabol với hai trục tọa độ điểm đối xứng với chung qua trục đối xứng
+ Căn vào tính đối xứng, bề lõm hình dáng parabol để “nối” điểm lại
Dạng 2: Lập phương trình parabol (P) thỏa điều kiện K:
Bước 1: Giả sử parabol (P) có phương trình (P): yax2bx c a 0 Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c
Trong bước ta thường có điều kiện thường gặp sau: * Điểm A x y 0; 0 P y0 ax02bx0c
* (P) có đỉnh
0
0
2 ;
4
b x
a I x y
y f x
a
* (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0
(19)0 0
4
a y
a
0 0
4
a y
a
* (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) điểm có hồnh độ x0
0 0
2
a
b x
a
hoặc
0 0
2
a
b x
a
* (P) nhận đường thẳng xx0làm trục đối xứng 0
2
b x
a
(20)Chương III PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I Khái niệm phương trình.
1 Phương trình ẩn x mệnh đề có dạng f(x) = g(x) (1)
Nếu hai hàm số y f x y , g x có tập xác định ,
f g
D D , DDf Dg gọi tập xác định phương trình (1)
Nếu có số x0D cho f(x0) = g(x0) x0 gọi nghiệm phương trình f(x) = g(x)
Giải phương trình ta tìm tất nghiệm
Phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm
Chú ý: Các nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số
&
y f x yg x Phương trình (1) gọi phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x &yg x .
2 Điều kiện phương trình: Là điều kiện ẩn x để hai vế phương trình có nghĩa
* Chú ý: Khi giải phương trình, việc tìm tập xác định phương trình đơi cịn khó hơn việc giải phương trình đó, nên giải ta cần ghi điều kiện phương trình đủ Khi giải xong ta việc thay nghiệm vào điều kiện để loại nghiệm ngoại lai
3 Phương trình chứa tham số:Là phương trình ngồi ẩn x cịn có chữ số khác xem số gọi tham số
Ví dụ: x2 + 2x – m = Với m tham số
4 Phương trình tương đương: Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm (kể tập rỗng)
Kí hiệu: “f x1 g x1 f x2 g x2 ”
Chú ý: Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có tập xác định D tương đương với nhau, ta nói “Hai phương trình tương đương điều kiện D”
(21)Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương
* Phép cộng (trừ): f(x) =g(x) f(x) h(x) = g(x) h(x)
Cộng trừ vào hai vế phương trình với biểu thức h(x) mà khơng làm thay đổi điều kiện phương trình ta phương trình tương đương
* Phép nhân (chia): f(x) =g(x) f(x).h(x) = g(x).h(x) f(x) =g(x)
f x g x
h x h x với h(x) 0
Nhân chia vào hai vế phương trình với biểu thức h(x) 0
mà khơng làm thay đổi điều kiện phương trình ta phương trình tương đương
Chú ý: Phép chuyển vế: f x h x g x f x g x –h x . 6 Phương trình hệ quả:
Cho hai phương trình: f(x) = g(x) (1) f1(x) = g1(x) (2)
Phương trình (2) gọi phương trình hệ phương trình (1) nếu tập nghiệm phương trình (2) chứa tập nghiệm phương trình (1) Kí hiệu: (1)(2)
* Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế phương trình ta phương trình hệ phương trình cho.
(22)PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
1 Giải biện luận phương trình: ax + b = (1)
0 (1)
ax b
Hệ số Kết luận
0
a
(1) có nghiệm x b a
a=0 b 0 (1) vô nghiệm
0
b (1) nghiệm với x
2 Giải biện luận phương trình: ax2 + bx + c = (2)
* Trường hợp 1: Với a=0, ta có phương trình bx c 0, phương trình có hệ số cụ thể nên kết luận nghiệm phương trình (2)
* Trường hợp 2: Với a 0, ta tính biệt thức: b24ac
+ Nếu 0: phương trình (2) vơ nghiệm + Nếu 0: phương trình (2) có nghiệm kép 0
2
b x
a
+ Nếu 0: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1,2
2
b x
a
Kết luận: (tùy theo giá trị m ta kết luận tập nghiệm phương trình) Chú ý: Ta dùng ’
2
0( 0)(2)
ax bx c a
2 ' b' ac
Kết luận
'
(1) có nghiệm phân biệt x1,2 b' '
a
'
(2) có nghiệm kép x b'
a
(23)'
(2) vô nghiệm
Chú ý: Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a 0) đưa phương trình bậc hai cách đặt t = x2 (t 0)
3 Định lí Viet:
- Cho phương trình bậc hai có hai ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm x1,
x2 Khi đó:
1 2 b x x a c x x a
- Ngược lại có hai số u v mà có tổng u + v = S, tích u.v = P u v nghiệm phương trình: t2St P 0 (3)
* Chú ý:
+ Nếu phương trình (3) có hai nghiệm t t1, 2 thì u t v t hoặc u t v t
+ Nếu đa thức f x ax2 bx c có nghiệm x x1, 2thì f(x) phân tích thành
1 2
f x a x x x x
4 Dạng toán:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai:
Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 bx c 0 Ta có số biểu thức thường gặp sau:
* x12x22 x1x22 x x1 2 S22P
* x13x23 x1x233x x x1 2 1x2S33PS
* 2
1 2
1 x x S
x x x x P
*
2 2
1
2 2 2
1 2
1 x x S 2P
x x x x P
(24)Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử m):
Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
0 a
Bước 2: Áp dụng định lí Viét ta
1
1
x x f m
x x g m
Bước 3: Khử m từ hệ ta hệ thức cần tìm
Dạng 3: Sử dụng định lí Viét xét dấu nghiệm phương trình bậc hai:
2
0 0
ax bx c a
* Nếu P c 0
a
phương trình có hai nghiệm trái dấu x10x2
* Nếu
0 P
phương trình có hai nghiệm dấu
* Nếu 0 0 0 P S
phương trình có hai nghiệm dương 0x1x2
* Nếu 0 0 0 P S
(25)PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Các dạng bản: i) A B, ii) A B
Cách giải 1: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối để bỏ trị tuyệt đối:
0
A neáu A A
A neáu A
Cách giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai
Cách giải 3: Dùng công thức:
II Phương trình chứa ẩn dấu căn: Các dạng bản: i) A B, ii) AB
Cách giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai
Cách giải 2: Dùng công thức:
A B A B
A B
0
B
A B A B
A B
A B A (hoặc B 0) A B
2 0
B
A B
A B
(26)1 Phương trình bậc hai ẩn:ax + by + c = (2) Trong a, b, c hệ số, a b không đồng thời
Cặp (x0;y0) gọi nghiệm phương trình (2) chúng nghiệm phương trình (2)
2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: 1
2 2
a x b y c
a x b y c
Cách giải: Có cách:
1 Dùng phương pháp cộng đại số Dùng phương pháp
3 Dùng định thức: Đặt 1
2
a b
D
a b
, 1
2
x
c b
D
c b
, 1
2 y a c D a c
* Nếu DDx Dy 0 hệ cĩ vơ số nghiệm * Nếu D0,Dx 0hoặc Dy 0 hệ vơ nghiệm
* Nếu D 0 hệ có nghiệm
x y D x D D y D
3 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn:
1 1
2 2
3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
Cách giải:Khử dần ẩn số để đưa hệ phương trình trình dạng tam giác:
1
2 2
3 3
a x d
a x b y d
a x b y c z d
(pp Gausse)
(27)Ví dụ:
2
3 4
2 4
x x y y
x y Cách giải:
- Từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình bậc hai ta phương trình bậc hai ẩn
- Giải phương trình bậc hai ta tìm nghiệm, thay nghiệm vừa tìm vào phương trình bậc ta tìm nghiệm ẩn cịn lại.
5 Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Dạng: Là hệ phương trình mà thay x y y x phương trình hệ khơng thay đổi
Ví dụ:
2
8 6
x x y y
xy x y
Cách giải:
- Đặt S x y
P xy
, thay vào hệ phương trình ta hệ phương trình theo ẩn S, P Giải hệ ta tìm S,P
- x,y hai nghiệm phương trình X2SX P 0 (nếu có)
* Chú ý: Nếu (x;y) nghiệm (y;x) nghiệm. 6 Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Dạng: Là hệ phương trình mà thay x y y x phương trình hệ trở thành phương trình hệ, ngược lại
Ví dụ: 2 2 3 2 3 x y y x Cách giải:
- Trừ vế hai phương trình ta phương trình
- Phân tích phương trình thành dạng
. ; 0
; 0
x y
x y f x y
f x y
(28)Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I Bất Đẳng Thức:
1 Bất đẳng thức có dạng: A > B, A < B, AB A, B.
2 Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề ABCD ta nói BĐT C < D BĐT hệ BĐT A < B
3 Bất đẳng thức tương đương:Nếu BĐT A < B hệ BĐT C < D ngược lại ta nói hai BĐT tương đương Kí hiệu: ABCD
4 Các tính chất:
Tính chất
Tên gọi
Điều kiện Nội dung
a b vaø b c a c Bắc cầu
aba c b c Cộng hai vế bất đẳng thức với số
c > abacbc Nhân hai vế bất đẳng thức với số
c < abacbc
a b vaøc d a c b d Cộng hai bất đẳng thức chiều
a > 0, c> a b vaø c dacbd Nhân hai bất đẳng thức chiều
n nguyên dương 2n 2n
a b a b
Nâng hai vế bất đẳng lên lũy thừa
2
0a b a n b n
A > a b a b
Khai hai vế bất
đẳng thức
3
ab a b
5 Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a b khơng âm: Ta có: a b 2 ab Đẳng thức xảy a = b
6 Các hệ quả:
1
) 2, 0
i a a
a
(29)ii) Cho hai số x > 0, y > Nếu x + y khơng đổi x.y lớn x = y
iii) Cho hai số x > 0, y > Nếu x.y khơng đổi x + y nhỏ x = y
7 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:
) 0, ,
) ,
) ,
)
i x x x x x ii x a a x a a
iii x a x a x a a iv a b a b a b
8 Các phương pháp chứng minh BĐT:
i) Dùng định nghĩa: Muốn chứng minh A > B ta cần chứng minh: A – B >
ii) Phương pháp chứng minh tương đương:
1 2 n n
ABA B A B A B Trong đó: A > B bđt cần chứng minh
An > Bn bđt biết
iii) Dùng bất đẳng thức biết: BĐT Côsi, BĐT chứa giá trị tuyệt đối…
II Bất phương trình hệ bất phương trình ẩn: 1 Khái niệm bất phương trình ẩn:
Bất phương trình ẩn x có dạng: f(x) < g(x), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )
f x g x f x g x f x g x Trong f(x) g(x) biểu thức chứa x
2 Điều kiện bất phương trình:là điều kiện ẩn x để hai vế f(x) g(x) có nghĩa
TXĐ: D = xR f x g x có nghóa/ ( ), ( )
(30)Mỗi giá trị x đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình cho
Phương pháp giải hệ bất phương trình: Giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm
4 Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình (hệ bpt) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu:
5 Các phép biến đổi tương đương: Cho bất phương trình P(x) < Q(x) có TXĐ D
a) Phép cộng (trừ): Nếu f(x) xác định D thì: P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
b) Phép nhân (chia):
i) Nếu f(x) > 0, x D thì: P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) ii) Nếu f(x) < 0, x D thì:P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x)
c) Phép bình phương: Nếu P(x) 0, Q(x) 0, x D thì: P(x) < Q(x) P2(x) < Q2(x)
6 Các ý giải bất phương trình:
i) Khi biến đổi hai vế bất phương trình làm thay đổi điều kiện bất phương trình Vì vậy, để tìm nghiệm bất phương trình ta phải tìm giá trị x thoả mãn điều kiện bất phương trình nghiệm bất phương trình
VD: Giải bpt: 5 2 3 1 4 3
4 4 6
x x x x
ii) Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức f(x) ta cần lưu ý dấu của f(x) Nếu f(x) nhận giá trị dương lẫn âm ta phải xét hai trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình
iii) Khi giải bất phương trình có ẩn mẫu ta quy đồng mẫu không bỏ mẫu và phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm
VD: Giải bpt: 1 1
1
x
iv) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế phải xét hai trường hợp:
TH1: P(x) Q(x) không âm ta bình phương hai vế bất phương trình TH2: P(x) Q(x) âm ta viết P(x) < Q(x) - Q(x) < - P(x) bình phương hai vế bất phương trình
VD: Giải bpt: 17 1
4 2
(31)III Dấu nhị thức bậc nhất:
1 Nhị thức bậc nhất: Là biểu thức có dạng: f(x) = ax + b a, b số (a 0)
2 Dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b: Bảng Xét Dấu:
x
b
a
f(x) = ax + b a > - +
a < + -
Quy tắc: Phải – Trái trái
3 Phương pháp lập bảng xét dấu nhị thức:
B1: Tìm nghiệm nhị thức
B2: Lập bảng xét dấu
B3: Kết luận dấu nhị thức
4 Dấu tích, thương nhị thức bậc nhất:
Phương pháp xét dấu: Tìm nghiệm nhị thức có mặt biểu thức Lập bảng xét dấu chung cho tất nhị thức có mặt biểu thức Từ ta suy dấu biểu thức
VD: Xét dấu biểu thức: ( ) (4 1)( 2)
3 5
x x
f x
x
5 Áp dụng vào việc giải bất phương trình:
a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu:
Phương pháp giải:
B1: Đưa bất phương trình dạng f(x) > f(x) <
B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x)
B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm bất phương trình
VD: Giải bất phương trình: a) (4 1)( 2) 0
3 5
x x
x
b)
(32)Chú ý: 2 neáu 0 ) neáu 0 ) ,
) , 0
) hoặc , 0
A A
i A
A A
ii A A A
iii x a a x a a
iv x a x a x a a
Phương pháp giải:
Phương pháp: Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối
B1: Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối
B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối giải bất phương trình
trên miền xác định bất phương trình
B3: Nghiệm bất phương trình hợp tập nghiệm miền xác
định
Phương pháp: Dùng công thức
7 Bất phương trình chứa ẩn bậc hai:
( ) ( ) , 0
f x a a f x a a
( )
( )
( )
f x a
f x a a
f x a
2
A B A B
2 0 B A B A B 2 0 0 B
A B B
(33)IV Dấu tam thức bậc hai:
1 Tam thức bậc hai x có dạng: f(x) = ax2 + bx + c (a 0)
2 Dấu tam thức: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có
4
b ac
TH1: Nếu 0: Bảng xét dấu:
x
f(x) Cùng dấu với a với x R
TH2: Nếu 0
Bảng xét dấu: x
2
b a
f(x) Cùng dấu với a Cùng dấu với a
TH3: Nếu 0
Bảng xét dấu:
x x1 x2
*
2 0 0 0
B A
A B
B
A B
*
2 0 0
B
A B A
A B
* A B A
A B
(34)B1: Tính v tìm nghiệm tam thức (nếu cĩ)
B2: Lập bảng xét dấu biểu f(x)
B3: Kết luận dấu tam thức
VD: Xét dấu tam thức sau: a f(x) = -x2
+ 3x - b f(x) = 2x2
- 5x + c f(x) = 9x2
- 24x + 16 d f(x) = (2x -5)(3 - 4x) e f(x) =
2
2
2 1
4
x x
x
f f(x) = (x2
+ 3x – 4)(-3x - 5)
* Chú ý: Khi xét dấu thương cần xác định điều kiện để phân số có nghĩa. 3 Bất phương trình bậc hai ẩn:
Dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f x( ) 0; ( ) 0 f x với f(x) = ax2 + bx + c (a 0) @ Cách giải:
B1: Đưa bất phương trình dạng f(x) > 0,
f(x) < 0, f x( ) 0; ( ) 0 f x B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x)
B3: Nhận nghiệm ứng với dấu bất phương trình
VD: Giải bất phương trình sau:
a 2x2 - 5x + > 0 b 9x2 - 24x + 16 > 0
c x2 + x +2 0 d x2 + 12x + 36 0
e x2 + 12x + 36 0 f (2x -5)(3 - 4x) >
g (x2 + 3x – 4)(-3x - 5) 0 h
2
2
2 1
0 4
x x
x
4 Các ứng dụng tam thức bậc hai:
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có b24ac
o Phương trình f(x) = có hai nghiệm 0
o Phương trình f(x) = có nghiệm kép 0
o Phương trình f(x) = vơ nghiệm 0
o Phương trình f(x) = có hai nghiệm trái dấu
0
a P
(35)o Phương trình f(x) = có hai nghiệm dấu 0 a P
o Phương trình f(x) = có hai nghiệm âm
0 0 a S P
o Phương trình f(x) = có hai nghiệm dương
0 0 a S P
o f(x) > 0
0 a x
f(x) 0
0 a x
o f(x) < 0
0 a x
f(x) 0
0 a x
o f(x) > vô nghiệm f(x) 0 x 0 a
o f(x) vô nghiệm f(x) 0 x 0 a
o f(x) < vô nghiệm f(x) 0 x 0 a
(36)Chương V: THỐNG KÊ
I BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ & TẦN SUẤT.
1 Giả sử dãy n số liệu thống kê cho có k giá trị khác (kn) Gọi xi giá trị k giá trị Ta có:
Số lần xuất giá trị xi dãy số liệu cho gọi tần số giá trị đó, kí hiệu ni
Số fi ni
n
gọi tần suất giá trị xi
2 Giả sử dãy n số liệu thống kê cho phân bố vào k lớp (k<n) Xét lớp thứ i (i = 1, 2, 3,…,k) k lớp đó, ta có:
Số ni số liệu thống kê thuộc lớp i gọi tần số lớp Số fi ni
n
gọi tần suất lớp thứ i
Chú ý:Trong bảng phân bố tần suất, tần suất tính dạng tỉ số phần trăm. II BIỂU ĐỒ.
1 Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột. a/ Cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột
Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp trình bày số liệu thống kê, có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột sau:
Chọn hệ trục tọa độ vng góc Oxy với đơn vị trục hồnh Ox dấu hiệu X nghiên cứu, đơn vị trục tung Oy 1% Để đồ thị cân đối, đơi phải cắt bỏ đoạn trục hoành (hoặc trục tung) Trên trục hoành, đặt khoảng có mút biểu diễn cho mút lớp bảng phân bố tần suất (độ dài của khoảng bề rộng lớp) Ta gọi khoảng lớp tương ứng với Lấy khoảng làm cạnh đáy, vẽ hình chữ nhật có độ dài đường cao tần suất lớp tương ứng nằm vế phía chiều dương trục tung Các hình chữ nhật vừa vẽ lập thành biểu đồ tần suất hình cột
b/ Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột tương tự 2 Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số.
(37)Trong bảng phân bố ghép lớp, ta gọi số trung bình cộng hai mút lớp thứ i giá trị đại diện lớp đó, kí hiệu ci
b/ Cách vẽ đường gấp khúc tần suất
Cũng mơ tả bảng phân bố ghép lớp cách vẽ đường gấp khúc tần suất sau:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy (hệ tọa độ Oxy nói trên), xác định điểm
c fi; i i = 1, 2,…,k, ci fi lận lượt giá trị đại diện, tần suất lớp của bảng phân bố (gồm k lớp) Vẽ đoạn thẳng nối điểm c fi; i với điểm
ci1;fi1, i = 1, 2,…,k – 1, ta thu đường gấp khúc, gọi đường gấp khúc
tần suất
c/ Cách vẽ đường gấp khúc tần số tương tự 3 Biểu đồ hình quạt:
B1: Vẽ đường trịn, xác định tâm
B2: Tính góc tâm hình quạt theo cơng thức a0=f.3,6 (trong f
là tần suất)
III SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT 1 Số trung bình cộng (hay số trung bình)
x số trung bình cộng số liệu thống kê
a/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
1 2
1
k k
x n x n x n x
n
f x1 1 f x2 2 f xk k ni, fi tần số, tần suất giá trị xi, n số số liệu thống kê
1 k
n n n n
b/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
1 2
1
k k
x n c n c n c
n
(38)Định nghĩa: Giả sử có mẫu gồm n số liệu xếp theo thứ tự không giảm
Nếu n số lẻ số liệu đứng thứ 1 2
n
(số liệu đứng giữa) gọi số trung vị
Nếu n số chẵn, ta lấy số trung bình cộng hai số liệu đứng thứ
2
n
2
n
+1 làm số trung vị Số trung vị, kí hiệu Me
3 Mốt:
Khái niệm: Mốt bảng phân bố tần số giá trị có tần số lớn kí hiệu MO
IV PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN: 1 Cơng thức tính phương sai:
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
Trong n fi, i tần số, tần suất giá trị x ni; số liệu thống kê (n= n1+n2+ … +nk); x số trung bình cộng số liệu cho
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
2
x
s 1 n x1 1 x2 n x2 2 x2 n xk k x2 n
2 2 2
1 2 k k
f x x f x x f x x
2
x
s 1 n c1 1 x2 n c2 2 x2 n ck k x2 n
2 2 2
1 2 k k
f c x f c x f c x
(39)Trong c n fi, ,i i giá trị đại diện, tần số, tần suất giá trị
;
i
x n số liệu thống kê (n= n1+n2+ … +nk); x số trung bình cộng các số liệu cho
Ngồi ra, người ta cịn chứng minh công thức sau: s2x x2 ( )x x2 trung bình cộng bình phương số liệu thống kê, tức
(đối với bảng tần số, tần suất)
(đối với bảng tần số, tần suất ghép lớp)
2 Độ lệch chuẩn sx sx2
Phương sai sx2 độ lệch chuẩn sx dùng để đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) Nhưng cần ý đến đơn vị đo ta dùng sx, sxcó đơn vị với dầu hiệu nghiên cứu
2 2
1 2 1
k k
x n x n x n x
n
f x1 12 f x2 22 f xk k2
2 2
1 2 1
k k
x n c n c n c
n
(40)Chương VI: LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT KIẾN THỨC
1 Độ radian:
1800 (rad); 10 180
(rad);
0 180 1(rad)
2 Các hệ thức bản:
* tan sin cos 0 cos
; * cot cos sin 0
sin
* sin2 cos2 1,;
*1 tan2 12 ,
2
cos k k
Z
* 1 cot2 12 ( , )
sin k k
Z
* tan cot 1 ,
2 k k Z
3 Các hệ cần nhớ:
sin( 2 ) sin ; cos( 2 ) cos
tan( ) tan ; cot( ) cot
k k k k
tan xác định , 2 k k Z
cot xác định k,kZ
1 sin
1 cos
(41)Dấu giá trị lượng giác:
Góc phần tư
GTLG I II III IV
sin + + – -
cos + - – +
tan + – + –
cot + – + –
4 Các cung liên kết: a Cung đối:
b Cung bù:
c Cung phụ: 2
d Cung sai :
sin( ) sin ; cos( ) cos
tan( ) tan ; cot( ) cot
cos( ) cos ; sin( ) sin
tan( ) tan ; cot( ) cot
sin cos ; cos sin
2
tan cot ; cot tan
2
(42)e Cung nhau
2
: 2
5 Các công thức biến đổi: a Công thức cộng:
Lưu ý:
a Khi tính GTLG góc khơng đặc biệt ta phân tích góc thành tổng, hiệu của hai góc đặc biệt dùng công thức cộng
b Khi c/m đẳng thức lượng giác tam giác ta thường dùng tính chất:
,
2 2 2 2
A B C
A B C sau dùng cơng thức cộng cung liên kết để c/m
b Công thức nhân đôi:
sin cos ; cos sin
2
tan cot ; cot tan
2
sin(a b) = sina cosb cosa sinb cos(a b) = cosa cosb sina sinb tan(a b) = tan tan
1 tan tan
a b
a b
cot(a b) = 1 tan tan tan tan
a b
a b
sin2a = sina cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan2a = 2 tan2
1 tan
a a
; cot2a = cot 1
2 cot
a a
(43)c Công thức hạ bậc:
Lưu ý:
* Dạng đặc biệt:
A = cosa.cos2a.cos4a…cos2na (1) B = sina.cos2a.cos4a…cos2na (2)
Cách tính:
- Nhân hai vế (1) với sina hai vế (2) cho cosa
- Dùng công thức sin cos 1sin 2
2
a a a nhiều lần
- Cuối dùng liên kết để rút gọn.
* Khi c/m hay rút gọn đẳng thức, biểu thức lượng giác ta thường chọn một góc chuẩn, đổi góc khác góc chuẩn cơng thức nhân đơi Sau dùng hệ thức để làm
* Khi tính GTLG góc khơng đặc biệt, ta nhân đơi góc để góc đặc biệt sau dùng cơng thức nhân để tính
d Cơng thức biến đổi tích tổng:
e Cơng thức biến đổi tổng tích:
cos2a = 1 cos 2 2
a
; sin2a = 1 cos 2 2
a
; tan2a = 1 cos 2 1 cos 2
a a
cosa.cosb = 1[cos( ) cos( )] 2 a b a b sina.sinb = 1[cos( ) cos( )]
2 a b a b
(44)f Giá trị lượng giác cung đặc biệt:
Góc
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6
sin 1
2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2
cos
3
2 22 12 –12 – 2
2 –
3
2 1
tan 1
3 || 1 –
1
3
cot || 1
3
1 3
1
– ||
sinA + sinB = 2sin cos
2 2
A B A B
sinA – sinB= 2cos sin
2 2
A B A B
cosA + cosB = 2cos cos
2 2
A B A B
cosA – cosB = –2sin sin
2 2
A B A B
tan tan = sin( ) cos cos
; ,
2 k k
(45)(46)Chương I: VECTƠ CÁC ĐỊNH NGHĨA
1 Để xác định vectơ cần biết hai điều kiện sau: - Điểm đầu điểm cuối vectơ
- Độ dài hướng Hai vectơ a
b
gọi phương giá chúng song song trùng
Nếu hai vectơ a b phương chúng hướng ngược hướng
3 Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ
4 a
=b
a b
a
, b
hướng
5 Với điểm A ta gọi AA vectơ – không Vectơ – khơng kí hiệu 0 quy ước 0
vectơ 0 phương hướng với vectơ
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Xác định vecto, phương hướng hai vecto
@ Phương pháp:
- Để xác định vecto a 0 ta cần biết a hướng a biết điểm đầu điểm cuối a
Chẳng hạn,với hai điểm phân biệt A B ta có hai vecto khác vecto 0 AB vaø BA
- Vecto a vecto – không a
= aAA
với A điểm
(47)@ Phương pháp: Để chứng minh hai vecto ta dùng ba cách sau:
* a b a b
a b hướng
* Tứ giác ABCD hình bình hành ABDC BCAD
* Nếu ab b, c ac
(48)TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTO 1 Định nghĩa tổng hai vecto quy tắc tìm tổng.
Cho hai vecto tùy ý a vaø b
Lấy điểm A tùy ý, dựng
,
ABa BCb
Khi a b AC
Với ba điểm M, N P tùy ý ta ln có: MNNPMP
(quy tắc điểm)
Tứ giác ABCD hình bình hành, ta có: AB AD AC
(quy tắc hình bình hành)
2 Định nghĩa vecto đối.
* Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng với a gọi vectơ đối vectơ a
, kí hiệu a
* Mỗi vectơ có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối AB
BA
, nghĩa
AB BA
* Vectơ đối 0 0
3 Định nghĩa hiệu hai vecto quy tắc tìm hiệu.
a b a b
Quy tắc ba điểm phép trừ vectơ: Với ba điểm O, A, B ta có
AB OB OA
Lưu ý:
A
B
D
(49)Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tổng hai vecto tổng nhiều vecto
@ Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng hai vecto, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành tính chất tổng vecto
Dạng 2: Tìm vecto đối hiệu hai vecto
@ Phương pháp:
Theo định nghĩa, để tìm hiệu a b
, ta làm hai bước sau: - Tìm vecto đối b
- Tính tổng a b
Vận dụng quy tắc OB OA AB
với ba điểm O, A, B Dạng 3: Tính độ dài a b a b ,
@ Phương pháp:
Đầu tiên tính a b AB a b CD,
Sau tính độ dài đoạn thẳng AB CD cách gắn vào đa giác mà ta tính độ dài cạnh phương pháp tính trực tiếp khác
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto
@ Phương pháp:
Mỗi vế đẳng thức vecto gồm vecto nối với phép toán vecto Ta dùng quy tắc tìm tổng, hiệu hai vecto, tìm vecto đối để biến đổi vế thành vế đẳng thức biến đổi cà hai vế đẳng thức để hai vế Ta biến đổi đẳng thức vecto cần chứng minh tương đương với đẳng thức vecto công nhận
I trung điểm AB IA IB 0
(50)TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ 1 Định nghĩa: Cho số k 0 vecto a 0.Tích vecto a
với số k vecto, kí hiệu ka, hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài k a
2 Các tính chất.a b, ;h k,
, ta có:
1 Hai vecto a b với b ,
cùng phương có số k để
akb
Cho hai vecto a vaø b
phương, b 0 Tìm số k để
akb
số k tìm
2. Áp dụng:
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Xác định vecto ka
@ Phương pháp: Dựa vào định nghĩa vecto ka
* ka k a
- Nếu k > 0, ka a hướng
k a b ka kb
; h k a ha ka
;
h ka hk a
; 1.aa; 1 a a
0.a0,a
; k00, k
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ABk AC
với số k xác định
I trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 2MI,M
G trọng tâm tam giác ABC MA MB MC 3MG,M
(51)- Nếu k < 0, ka a ngược hướng * k00, k
0.a0,a
* 1.aa; 1 a a
Dạng 2: Phân tích (biểu thị) vecto theo hai vecto khơng phương.
@ Phương pháp:
a/ Để phân tích vecto xOC
theo hai vecto khơng phương
a OA b OB
ta làm sau:
Vẽ hình bình hành OA’CB’ có hai đỉnh O, C hai cạnh OA’ OB’ nằm hai giá OA OB,
Ta có: xOA'OB' Xác định số h để OA'hOA
Xác định số k để OB'hOB
Khi
xha kb
b/ Có thể sử dụng linh hoạt công thức sau:
* AB OB OA
, với ba điểm O, A, B
* ACAB AD
tứ giác ABCD hình bình hành
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
@ Phương pháp: Dựa vào khẳng định sau:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB vaø AC
cùng phươngABk AC
Nếu ABkCD
hai đường thẳng AB CD phân biệt AB // CD
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto có chứa tích vecto với số
@ Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích vecto với số
(52) AB0AB
; Cho điểm A cho a
Có điểm M cho AMa AB ACB C A B , 1 AB A1A
(53)HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1 Trục độ dài đại số trục:
Cho điểm A B trục O e; Khi có số a cho
ABae
Ta gọi a độ dài đại số vecto AB
trục cho kí hiệu: aAB
Nếu AB
hướng với e
AB AB, AB
ngược hướng với e
AB AB
Nếu hai điểm A B trục O e; có tọa độ a b
ABb a
2 Tọa độ vecto, điểm mặt phẳng tọa độ Oxy:
3 Tọa độ vecto u v
, u v
, ku
Cho uu u1; 2
, vv v1; 2
Khi đó: * ux y; uxi y j
* M(x;y) OM xi y j
với O gốc tọa độ
* Cho hai điểm Ax yA; Avaø B x y B; B, ta có: B A; B A
AB x x y y
u v (u1v u1; 2 v2)
u v (u1v u1; 2v2)
ku(ku ku1; 2),k
u c.phươngvu v1 2u v2 10
(54)4 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Toạ độ trọng tâm tam giác:
a) Cho A x y A; A, B x y B; Bvà I x y I; I trung điểm đoạn thẳng AB
Ta có:
2 A B I A B I x x x y y y
b) Cho tam giác ABC có A x y A; A, B x y B; B, C x y C; C, Ta có toạ độ trọng tâm G x y G; G tam giác ABC tính theo cơng thức:
3
A B C
G
A B C
G
x x x x
y y y y
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vecto trục O e;
@ Phương pháp: Căn vào định nghĩa tọa độ điểm độ dài đại số vecto
Điểm M có tọa độ a OM ae
với O điểm gốc Vecto AB
có độ dài đại số mABABme
Nếu M N có tọa độ a b MN b a
Dạng 2: Xác định tọa độ vecto điểm mặt phẳng tọa độ Oxy
@ Phương pháp: Căn vào định nghĩa tọa độ moat vecto tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy
Để tìm tọa độ vecto a ta làm sau: Vẽ vecto OMa
Gọi hai điểm M vaøM1 2 hình chiếu vng góc M Ox Oy Khi aa a1; 2
(55) Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vecto OA Như A có tọa độ (x;y) xOA y OA1, 2 ; A1 A2 tương ứng chân đường vng góc hạ từ A xuống Ox Oy
Nếu biết tọa độ hai điểm A, B ta tính tọa độ vecto AB theo công thức: ABxB x yA; ByA
Dạng 3: Tìm tọa độ vecto u v u v k u ; ;
@ Phương pháp:
Tính theo cơng thức tọa độ u v u v k u ; ;
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song tọa độ
@ Phương pháp: Sử dụng điều kiện can đủ sau:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ABk AC
Hai vecto a b , 0 phương có số k để ak b
Dạng 5: Tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác
@ Phương pháp: Sử dụng công thức sau:
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng trung bình cộng tọa độ tương ứng hai đầu mút
(56)Chương II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTO VÀ ỨNG DỤNG
1 Định nghĩa.
Với góc (00 1800) ta xác định điểm M đường tròn đơn vị cho xOM giả sử điểm M có toạ độ M x y( ;0 0) Khi ta định nghĩa:
* sin góc y0, ký hiệu sin y0; * cơsin góc x0, ký hiệu cos x0; * tang góc 0
0
( 0)
y x
x , ký hiệu
0
0
tan y
x
;
* côtang góc 0
( 0)
x y
y , ký hiệu
0
0
cot x
y
;
Các số sin, cos, tan, cot gọi giá trị lượng giác góc
Chú ý: + Nếu góc tù cos<0, tan<0, cot<0
+ tan xác định 900, cot xác định 00
0 180
2 Các hệ thức lượng giác.
0
0
0
0 sin sin(180 ) cos cos(180 ) tan tan(180 ) cot cot(180 )
a a
a a
a a
a a
(57)3 Giá trị lượng giác góc đặc biệt.
Giá trị lượng giác
0
(00) 6
(300) 4
(450)
3
(600)
2
(900)
(1800)
sin 1
2
2 2
3
2
cos 3
2
2 2
1
2 -
tan 1
3
cot
1
3
4 Góc hai vecto.
Cho hai vectơ a b khác vectơ 0 Từ điểm O ta vẽ
OAa
OBb
Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a b,
Nếu
a b , =900 ta nói a
b
vng góc với nhau, kí hiệu ab
ba
5 Tích vơ hướng hai vecto:
a/ Định nghĩa: Cho hai vectơ a b khác vectơ 0 Tích vơ hướng alà số, kí hiệu a b . , xác định công thức sau: a b a b cos a b,
(58)*Với a
b
khác vectơ 0
ta có: a b. 0ab
* Khi ab
tích vơ hướng a a.
kí hiệu
a số gọi bình phương vơ hướng vectơ a
b/ Các tính chất tích vô hướng:
Với ba vectơ a
, b
, c
số k ta có: * a b. b a.
(tính chất giao hoán) * a b c a b a c
(tính chất phân phối) * ka b k a b . a kb
*
2
. 0 0
a a a a
c/ Biểu thức toạ dộ tích vơ hướng:
Trong mặt phẳng toạ độ O i j; , cho hai vectơ a( ; )a a1 2
,
1 ( ; )
b b b
Khi tích vơ hướng a b . a b a b. 1 1a b2 2
* Nhận xét: Hai vectơ a( ; )a a1 2
, b( ; )b b1 2
khác vectơ - khơng vng góc với nhau a b1 1a b2 20
1 2 0
aba b a b
d/ Độ dài vectơ: Cho a( ; )a a1 2
, đó: a a12a22
e/ Góc hai vectơ:
Cho a( ; )a a1 2
, b( ; )b b1 2
khác vectơ - khơng, đó:
1 2
2 2
1 2
. cos ,
. .
a b a b
a b a b
a b a a b b
(59)Khoảng cách hai điểm A x y( ;A A) B x y( ;B B) tính theo cơng thức: AB (xBxA)2(yByA)2
6 Các hệ thức lượng tam giác:
a/ Định lí sin:
Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:
Hệ quả:
2 2
cos
2
b c a
A
bc
;
2 2
cos
2
a c b
B
ac
;
2 2
cos
2
a b c
C
ab
@ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến tam giác
Cho tam giác ABC có cạnh BC=a, CA=b, AB=c Gọi m m ma, b, c độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác Ta có:
b/ Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c R bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
a2 b2c22 cosb c A
b2 a2c22 cosa c B
c2 a2 b22 cosa b C
2 2
2 2( )
4
a
b c a
m
2 2
2 2( )
4
b
a c b
m
2 2
2 2( )
4
c
a b c
(60)Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Tính giá trị lượng giác số góc đặc biệt
@ Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y0và hoành độ x0 điểm M nửa đường trịn đơn vị với góc xOM từ ta có giá trị lượng giác:
0
0
0
sin y ; cos x ; tan y ; cot x
x y
Dựa vào tình chất: Hai góc bù có sin có cơsin, tang, côtang đối nhau.
Dạng 2: Chứng minh hệ thức giá trị lượng giác
@ Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác góc 00 1800
Dựa vào tính chất tổng ba góc moat tam giác 1800
Sử dụng hệ thức:
2 sin 1
sin cos 1; tan ; tan
cos cot
Dạng 3: Cho biết giá trị lượng giác góc , tìm giá trị lượng giác cịn lại
@ Phương pháp:
1 . 1 . 1 .
2 a 2 b 2 c
S a h b h c h
1 sin 1 sin 1 sin
2 2 2
S ab C bc A ca B
4
abc S
R
S pr
(61) Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc hệ thức liên hệ giữa giá trị như:
Dạng 4: Tính tích vơ hướng hai vecto
@ Phương pháp:
Áp dụng công thức định nghĩa: a b a b cos a b,
Dùng tính chất phân phối: a b c a b a c
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức vecto có liên quan đến tích vơ hướng
@ Phương pháp:
Sử dụng tính chất phân phối tích vô hướng phép cộng vecto
Dùng quy tắc ba điểm phép cộng trừ vecto
Dạng 6: Chứng minh vng góc hai vecto
Dạng 7: Biểu thức tọa độ tích vơ hướng ứng dụng: tính độ dài vecto, tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vecto
@ Phương pháp:
Cho hai vecto aa a1; 2 vaø bb b1; 2
Ta có:
1 2 .
a b a b a b
Độ dài vecto: a( ; )a a1 2
, đó: a a12 a22
Góc hai vecto a( ; )a a1 2
, b( ; )b b1 2
là:
1 2
2 2
1 2
. cos ,
. .
a b a b
a b a b
a b a a b b
2 2 2 sin cos
sin cos 1; tan ; cot
cos sin
1 1
1 tan ; cot
(62) Khoảng cách hai điểm A x y( ;A A) B x y( ;B B) tính theo cơng thức: AB (xBxA)2(yB yA)2
Dạng 8: Tính số yếu tố tam giác theo yếu tố cho trước (trong có cạnh)
@ Phương pháp:
Sử dụng trực tiếp định lí cơsin định lí sin
Chọn hệ thức lượng thích hợp tam giác để tính số yếu tố trung
gian cần thiết để việc giả toán thuận lợi
Dạng 9: Giải tam giác
@ Phương pháp: Một tam giác thường xác định biết ba yếu tố Trong toán giải tam giác, người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau:
Biết cạnh hai góc kề cạnh (g, c, g)
Biết góc hai cạnh kề góc (c, g, c)
Biết ba cạnh (c, c, c)
(63)Chương III:PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương trình tham số.
Phương trình tham số đường thẳng qua điểm
0 0;
M x y có vecto phương uu u1; 2
là:
0
0
x x tu
y y tu
Phương trình đường thẳng qua điểm M x y0 0; 0và có hệ số góc k là: y y 0 k x x 0
Nếu có vecto phương uu u1; 2
với u 1 hệ số góc
1
u k
u
Nếu có hệ số góc k có vecto phương u 1;k
2 Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm
0 0;
M x y có vecto pháp tuyến na b;
là:
0 0 0
a x x b y y
Hay ax + by + c = với c ax0by0
Đường thẳng cắt Ox Oy A(a;0) B(0;b) có
(64)* Chú ý: Mối liên hệ VTCP VTPT đường thẳng: Nếu na b;
VTPT thì VTCP u b a;
ub a;
3 Vị trí tương đối hai đường thẳng:
Xét đường thẳng 1:a x b y c1 1 1 0 ; 2:a x b y c2 2 2 0 Toạ độ giao điểm 1, 2 nghiệm hệ phương trình : 1
2 2
0 0
a x b y c a x b y c
(I) Ta có trường hợp sau :
a) Hệ (I) có nghiệm (x0;y0), 1 cắt 2 M0(x0 ;y0) b) Hệ (I) có vơ số nghiệm, 1 trùng 2
c) Hệ (I) vơ nghiệm, 1//2
Chú ý : Nếu a b c 2, ,2 2 :
1
1
2
1 1
1
2 2
1 1
1
2 2
* * / / * a b caét a b
a b c
a b c
a b c
a b c
4 Góc hai đường thẳng :
Cho đường thẳng : 1:a x b y c1 1 1 0 có vecto pháp tuyến n1
2:a x b y c2 2
có vecto pháp tuyến n2
Đặt 1, 2 đó: 1 2 2
2 2
1 2
cos cos n n, a a b b
a b a b
Chú ý :
(65)+ Nếu 1 2 có phương trình y=k1x+m1 y= k2x+m2 1 2 k k1 2 1
5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax+by+c=0 điểm M0(x0;y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu d(M0,
), tính công thức:
0
0, 2 2
ax by c
d M
a b
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Viết phương trình tham số (PTTS) đường thẳng
@ Phương pháp: Để viết PTTS đường thẳng ta thực bước sau:
Tìm VTCP uu u1; 2
đường thẳng . Tìm điểm M x y 0; 0 thuộc .
Phương trình tham số là:
0
x x tu
y y tu
Chú ý:
Nếu có hệ số góc k có VTCP u 1;k
Nếu có VTPT na b;
thì cĩ VTCP u b a u; b a;
Dạng 2: Viết phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng
@ Phương pháp: Để viết PTTQ đường thẳng ta thực bước sau:
Tìm VTPT na b;
đường thẳng Tìm điểm M x y 0; 0 thuộc .
Viết phương trình theo cơng thức: a x x 0b y y 00
(66) Nếu đường thẳng phương với đường thẳng d: ax+by+c=0 có PTTQ: ax+by+c’=0
Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng d: ax+by+c=0 có PTTQ: -bx+ay+c”=0
Dạng 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng
@ Phương pháp: Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng
1:a x b y c1 1
; 2:a x b y c2 2 2 0 ta xét trường hợp sau :
1
1
2
1 1
1
2 2
1 1
1
2 2
* * / / * a b caét a b
a b c
a b c
a b c
a b c
Toạ độ giao điểm 1, 2 nghiệm hệ phương trình :
1 1
2 2
0 0
a x b y c a x b y c
Góc hai đường thẳng 1 2 tính cơng thức :
2
1 2 2 2 2
1 2
cos , a a b b
a b a b
Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
@ Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng :
0
ax by c ta dùng công thức: 0 0
2
, ax by c
d M
a b
(67)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 1 Phương trình đường trịn:
Phương trình đường trịn tâm I(a;b), bán kính R :
2 2
x a y b R
Nếu a2 b2 c 0thì phương trình x2 y2 2ax2by c 0 phương trình đường trịn tâm I(a;b), bán kính R a2b2 c Nếu a2b2 c 0 có điểm I(a;b) thỏa mãn phương trình
2
2
x y ax by c
Nếu a2 b2 c 0 khơng có điểm M(x;y) thỏa mãn phương trình x2y2 2ax2by c 0
2 Phương trình tiếp tuyến đường trịn:
- Cho điểm M0(x0;y0) nằm đường tròn (C) tâm I(a;b) Gọi tiếp tuyến với (C) M0 có phương trình:
x0 a x a y0b y b 0
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc hai phương trình đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn
@ Phương pháp: Cách 1:
- Đưa phương trình vế dạng: x2y2 2ax2by c 0 (1) - Xét dấu biểu thức: ma2b2c.
- Nếu m > (1) phương trình đường trịn tâm I(a;b), bán kính:
2
R a b c
(68)- Nếu m > (2) phương trình đường trịn tâm I(a ;b), bán kính R m
Dạng 2: Lập phương trình đường trịn.
@ Phương pháp: Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I(a ;b) đường trịn (C)
Tìm bán kính R (C)
Viết phương trình (C) theo dạng :
2 2
x a y b R (1)
Chú ý :
(C) qua A, B IA2 IB2 R2
(C) qua A tiếp xúc với đ.thẳng A IAd I , (C) tiếp xúc với hai đ.thẳng 1 2
, 1 , 2
d I d I R
Cách :
Gọi phhương trình đường tròn (C)
2
2
x y ax by c (2)
Từ điều kiện đề đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
Giải hệ phương trình tìm a, b, c vào (2) ta phương trình đường trịn
(C)
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn
@ Phương pháp:
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0;y0) thuộc đường trịn (C)
Tìm tọa độ tâm I(a;b) (C)
Phương trình tiếp tuyến với (C) M0(x0;y0) có dạng:
x0a x a y0b y b 0
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến với (C) chưa biết tiếp điểm: Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định : tiếp xúc với đường trịn (C) tâm I, bán kính R
,
d I R
(69)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1 Định nghĩa.
Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho: F1M+F2M=2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1F2=2c gọi tiêu cự elip
2 Phương trình tắc elip (E).
* Cho elip (E) có tiêu điểm F1(-c,0), F2(c;0) Điểm M thuộc elip MF1+MF2=2a
2
2
( ; ) ( ) x y 1
M x y E
a b
(1), b2=a2-c2 Phương trình (1) gọi phương trình tắc elip
3 Các thành phần elip (E) là:
- Hai tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ; 0
- Bốn đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B1b; , B b2 ;0 - Độ dài trục lớn: A A1 2 2a
- Độ dài trục nhỏ: B B1 2 2b - Tiêu cự: F F1 22c
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Lập phương trình tắc elip biết thành phần đủ để xác định elip
@ Phương pháp:
Từ thành phần biết, áp dụng cơng thức liên quan ta tìm phương
trình tắc elip
Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức:
2
2
( )E x y 1
a b
(70)- c2=a2-b2
- Độ dài trục lớn: A A1 2 2a. - Độ dài trục nhỏ: B B1 2 2b
- Tiêu cự: F F1 2 2c
- MF1+MF2=2a
Ta có tọa độ điểm đặc biệt elip (E)
- Hai tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ; 0
- Bốn đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B1b; , B b2 ;0
Dạng 2: Xác định thành phần elip biết phương trình tắc elip
@ Phương pháp:
Các thành phần elip
2
2
( ) :E x y 1
a b
- Độ dài trục lớn nằm Ox: A A1 2 2a.
- Độ dài trục nhỏ nằm Oy: B B1 2 2b
- Hai tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ; 0 với c a2b2
- Tiêu cự: F F1 2 2c
- Bốn đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B1b; , B b2 ;0
- Tỉ số c 1
a (tâm sai (E))
- Phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật sở là:
;
(71)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL 1 Định nghĩa.
Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định F1, F2 có khoảng cách F1F2=2c Hypebol (H) tập hợp điểm M mặt phẳng cho: | F M F M | 2a1 2 , a số dương nhỏ c
Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm hypebol Độ dài F1F2=2c gọi tiêu cự hypebol
2 Phương trình tắc hypebol (H).
* Cho hypebol (H) có tiêu điểm F1(-c,0), F2(c;0) Điểm M thuộc hypebol |MF1-MF2|=2a
2
2
( ; ) ( ) x y 1
M x y E
a b
(1) (a>0, b>0), b2 c2a2
Phương trình (1) gọi phương trình tắc hypebol
3 Các thành phần hypebol (H) là:
- Hai tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ; 0
- Bốn đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B1b; , B b2 ;0 - Độ dài trục thực: A A1 2 2a
- Độ dài trục ảo: B B1 2 2b - Tiêu cự: F F1 22c
Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Lập phương trình tắc hypebol biết thành phần đủ để xác định hypebol
(72) Lập phương trình chính tắc của hypebol theo công thức:
2
2
( )H x y 1
a b
Ta có hệ thức:
- a,b>0
- c2=a2+b2
- Độ dài trục thực: A A1 2 2a - Độ dài trục ảo: B B1 2 2b
- Tiêu cự: F F1 2 2c
- |MF1-MF2|=2a
Ta có tọa độ điểm đặc biệt hypebol (H)
- Hai tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ; 0
- Bốn đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B1b; , B b2 ;0
Dạng 2: Xác định thành phần hypebol biết phương trình tắc hypebol
@ Phương pháp:
Các thành phần hypebol
2
2
( ) :H x y 1
a b
- Độ dài trục thực nằm Ox: A A1 2 2a
- Độ dài trục ảo nằm Oy: B B1 2 2b
- Hai tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ; 0 với c a2b2
- Tiêu cự: F F1 2 2c
- Bốn đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B1b; , B b2 ;0
- Tỉ số e c 1
a
(tâm sai (H))
- Phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật sở là:
;
(73)- Phương trình đường tiệm cận là: y bx
a