Chuyên đề ôn thi THPT QG toán 12 – SỔ TAY CÔNG THỨC TÍNH NHANH TOÁN

Chuyên đề ôn thi THPT QG Toán 12 – Chương Sổ tay công thức toán HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số ( )=y f x xác định trên K ta có + Hàm số ( )=y f x được.

Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA PHẦN HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f x xác định K ta có: ( ) ( ) + Hàm số y = f x gọi đồng biến (tăng) K nếu: ( ) ( ) x1, x  K , x  x  f x  f x ( ) + Hàm số y = f x gọi nghịch biến (giảm) K nếu: ( ) ( ) x1, x  K , x  x  f x  f x Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét: ( ) + Hàm số f x đồng biến K  ( ) ( )  0  x , x f x − f x1 x − x1 Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải + Hàm số f x nghịch biến K ( )  ( )  K ,  x  x ( )  0  x , x f x − f x1  K ,  x  x x − x1 Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải + Nếu f  x  0, x  a;b  hàm số f x đồng biến khoảng a;b ( ) ( ) + Nếu f  ( x )  0, x  ( a; b )  hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b ) + Nếu f  ( x ) = 0, x  (a;b )  hàm số f ( x ) không đổi khoảng (a;b ) + Nếu f ( x ) đồng biến khoảng (a;b )  f  ( x )  0, x  (a;b ) + Nếu f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b )  f  ( x )  0, x  (a;b ) + Nếu thay đổi khoảng (a ;b ) mợt đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm giả thiết “hàm số f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” ( ) ( ) Quy tắc cơng thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u x ; v = v x ; C : số ( ) ( ) ) = u   v  (u.v ) = u .v + v .u  (C u ) = C u  ( Tổng, hiệu: u  v Tích: FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 213 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn  u  u .v − v .u  C  C u  , v0   =− Thương:   = v u v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f u , u = u x  yx = yu ux ( ) ( ) ( ) Bảng cơng thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm sơ cấp (C ) = (C số) (x ) = .x  Đạo hàm hàm hợp (x ) = .x   −1 (u ) =  u  −1   −1 u     = − (x  0) x x    u   =− u  u u  ( x ) = 1x (x  0) ( u ) = 2uu (u  0) ( sin x ) = cos x ( sin u ) = u .cos u ( cos x ) = − sin x ( cos u ) = −u .sin u ( tan x ) = cos1 x ( tan u ) = cosu ( cot x ) = − sin1 x ( cot u ) = − sinu u (e ) = e (e ) = u.e (  u  x x u u (a ) = a ln a (a ) = u.a ln a ( ln x ) = x1 ( ln u ) = uu ( log x ) = x ln1 a u ( log u ) = u.ln a x ) x u a u a Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 214 Chun đề ôn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức toán a    b a    c b    c x +2 x+  d    e d    f e    f  ax + bx + c    = 2  dx + ex + f  dx + ex + f  ax + b  ad − bc ;   =  cx + d  cx + d ( ( ) ) Đạo hàm cấp : + Định nghĩa: f  ( x ) =  f  ( x ) () + Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f t ( ) thời điểm t0 là: ( ) a t0 = f  t Đạo hàm cấp cao: f (n )  (x ) =  f ( ) (x ) , (n  n −1 ) ,n 2 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K ( ) ( ) + Nếu f ' x  với x  K f ' x = một số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K ( ) ( ) + Nếu f ' x  với x  K f ' x = một số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = hàm y  không xảy ( ) ax + b  d  x  −  dấu " = " xét dấu đạo cx + d  c ( ) Giả sử y = f x = ax + bx + cx + d  f  x = 3ax + 2bx + c Hàm số đồng biến ( )  f  x  0; x  Hàm số nghịch biến  a        a =   b =   c  ( )  f  x  0; x   a        a =   b =   c  ( ) Trường hợp hệ số c khác a = b = c = f x = d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau: + Bước 1: Tính y  = f  x ; m = ax + bx + c ( FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng ) Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 215 Chun đề ơn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn ( ) + Bước 2: Hàm số đơn điệu x 1; x  y  = có nghiệm phân biệt    (* ) a   + Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có đợ dài l (  x1 − x = l  x + x ) () − 4x 1x = l  S2 − P = l (* *) ( ) + Bước 4: Giải * giao với * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước ( ) Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f x ; m = ax + bx + cx + d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: + Bước 1:  Tập xác định: D =  Đạo hàm: y  = 3ax + 2bx + c = Ax + Bx + C + Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y  = có hai nghiệm phân biệt y  đởi dấu qua nghiệm  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt A = 3a  a     m  D1  2 y  = B − 4AC = 4b − 12ac  b − 3ac  + Bước 3: Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình y  =  B 2b x + x = − = − A 3a Khi đó:  C c x x = =  A 3a Bước 4: Biến đổi điều kiện K dạng tởng S tích P Từ giải tìm m  D2 Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1  D2 ( ) * Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d a  Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c Điều kiện Kết luận b − 3ac  Hàm số cực trị FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 216 Chun đề ôn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn Hàm số có hai điểm cực trị b − 3ac  ➢ Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu ▪ Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt trái dấu  AC = 3ac   ac  ▪ Hàm số có hai cực trị dấu  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt dấu ▪ ▪ ➢  y     C 0 P = x 1.x =  A Hàm số có hai cực trị dấu dương  phương trình y  = có hai nghiệm dương phân biệt   y    B  S = x + x = −  A  C P = x x = 0  A Hàm số có hai cực trị dấu âm  phương trình y  = có hai nghiệm âm phân biệt   y '   B  S = x + x = −  A  C P = x x = 0  A Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x ▪ Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x    x ( )( ) ( )  x −  x −    x 1.x −  x + x +   ▪ Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x  x   ▪    x1 −  x −   x 1.x −  x + x +     x + x  2 x + x  2     Hai cực trị x 1, x thỏa mãn   x  x ▪  x −  x −   x x −  x + x +   2   x + x   x + x   2   Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cợng ( ( )( )( ) FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng ) ( ( ) ) Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 217 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn có nghiệm x = −b , có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm 3a d a Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: x = −3 ( ) ( ) Cho điểm A x A ; yA , B x B ; yB đường thẳng  : ax + by + c = ( )( ) Nếu ax A + byA + c ax B + byB + c  hai điểm A, B nằm hai phía so với đường thẳng  Nếu ax A + byA + c ax B + byB + c  hai điểm A, B nằm cùng ( )( ) phía so với đường thẳng  Một số trường hợp đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị dấu  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y  = có hai nghiệm trái dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ + yCT  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ + yCT  + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  FB: Học trò thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 218 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn (áp dụng khơng nhẩm nghiệm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt  phương trình hồnh đợ giao điểm f x = có nghiệm phân biệt (áp dụng ( ) nhẩm nghiệm) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị  2c 2b  y.y bc y .y  g x = y − g ( x ) = y − g x = − x + d − 18a 9a  9a 3y  3 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ( ) ( ) 4e + 16e b − 3ac với e = a 9a AB = CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y = ax + bx + c, a  ( ) MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ + Hàm số có mợt cực trị  ab  + Hàm số có ba cực trị  ab  a  + Hàm số có mợt cực trị cực trị cực tiểu   b  a  + Hàm số có mợt cực trị cực trị cực đại   b   a  + Hàm số có hai cực tiểu một cực đại   b  a  + Hàm số có mợt cực tiểu hai cực đại   b   Giả sử hàm số y = ax + bx + c có cực trị:  b   b  A(0;c), B  − − ; −  ,C  − ; −   2a 4a   2a 4a   tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab  FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 219 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn y Tổng quát: cot2  = A −b 8a O x B C MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab  0; c  Tam giác ABC vuông cân A b = −8a Tam giác ABC b = −24a Tam giác ABC có diện tích S ABC = S 32a (S )2 + b = Tam giác ABC có diện tích max (S ) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp rABC = r0 S0 = − r = b5 32a b2  b3   a 1 + −  8a    Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp RABC = R R= Tam giác ABC có đợ dài cạnh BC = m am 02 + 2b = Tam giác ABC có đợ dài AB = AC = n 16a 2n 02 − b + 8ab = Tam giác ABC có cực trị B,C  Ox b − 8a 8ab b = 4ac Tam giác ABC có góc nhọn b(8a + b )  Tam giác ABC có trọng tâm O b = 6ac Tam giác ABC có trực tâm O b + 8a − 4ac = Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b = 2ac Tam giác ABC có O tâm đường trịn nợi tiếp b − 8a − 4abc = FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 220 Chun đề ôn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn Tam giác ABC có O tâm đường trịn ngoại tiếp b − 8a − 8abc = Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b k − 8a(k − 4) = Trục hoành chia tam giác ABC thành b = ac hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành b = 8ac ( ) Đồ thị hàm số C : y = ax + bx + c cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C : y = ax + bx + c trục hồnh có diện tích ( ) b2 = 100 ac b2 = 36 ac phần phần Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC là: 2   2   x + y2 −  − + c y + c  − =0  b 4a   b 4a  GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Định nghĩa ( ) Cho hàm số y = f x xác định tập D  f (x )  M , x  D + Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f x D nếu:  Kí hiệu: x  D, f (x ) = M M = max f ( x) ( ) xD  f (x )  m, x  D + Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f x D nếu:  Kí hiệu: x  D, f (x ) = m m = f (x ) ( ) x D Phương pháp tìm GTLN,GTNN * Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp + Bước 1: Tính f  ( x ) tìm điểm x 1, x , , x n  D mà f  x = hàm số khơng có ( ) đạo hàm + Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số * Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn + Bước 1:  Hàm số cho y = f x xác định liên tục đoạn a;b  ( )  ( ) ( ) ( ) Tìm điểm x 1, x , , x n khoảng a ;b , f  x = f  x khơng xác định FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 221 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức toán () ( ) ( ) ( ) () + Bước 2: Tính f a , f x , f x , , f x n , f b + Bước 3: Khi đó:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x ) = f ( x ) , f (x ) , , f (x ) , f (a ) , f (b ) ( ) max f x = max f x , f x , , f x n , f a , f b a ,b  a ,b  n * Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f (x )  Bước 2: Tìm tất nghiệm x i  (a;b) phương trình f (x ) = tất điểm i  (a;b) làm cho f (x ) không xác định  Bước Tính A = lim+ f (x ) , B = lim− f (x ) , f (x i ) , f (i ) x →a  Bước x →b So sánh giá trị tính kết luận M = max f (x ) , m = f (x ) (a ;b ) (a ;b ) Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Chú ý: ( ) () ( ) () min f x = f a  a ;b  + Nếu y = f x đồng biến a;b     max f x = f b  a ;b    min f (x ) = f b  a ;b  + Nếu y = f x nghịch biến a;b     f (x ) = f a max  a ;b  + Hàm số liên tục một khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng ( ) () () ( ) ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y = f (x ) xác định một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; + , −;b ( ( −; + ) ) Đường thẳng )( ) y = y đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f (x ) mợt điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x ) = y 0, lim f (x ) = y x →+ x →− Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x) mợt điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x ) = +, lim− f (x ) = −, lim+ f ( x) = − , lim− f ( x) = + x →x 0+ x → x0 x →x Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = y= ax + b cx + d x → x0 (c  0; ad − bc  ) ln có tiệm cận ngang a d tiệm cận đứng x = − c c FB: Học trò thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 222 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M (x ; y ; z ) nhận a = (a1; a2 ; a ) làm VTCP :  a z x = x + ta  () : y = y + ta2 z = z + ta  () M0 M ( x, y , z ) y (t  ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Phương trình chính tắc đường thẳng () qua điểm M (x ; y ; z ) nhận a = (a1; a2 ; a ) làm VTCP : () : x − x y − y0 z − z = = a1, a2, a  a1 a2 a3 ( ) II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : PP HÌNH HỌC M ( ) a  a  n  a ( )  n M a  n a M  a ( ) x = x + a t (1)  Định lý: Trong Kg Oxyz cho: đường thẳng () : y = y + a2t (2) có VTCP a = (a1; a2 ; a ) qua z = z + a t (3)  ( ) M (x ; y ; z ) mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n = (A; B;C ) Khi : FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 299 Chuyên đề ôn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn () cat (  )  a.n   Aa1 + Ba2 + Ca  a.n = Aa + Ba2 + Ca =    Ax + By + Cz + D  M  (P )   a.n = Aa + Ba2 + Ca =    Ax + By + Cz + D = M  (P )  () // (  ) ()  (  )  a (  ) ⊥ (  )  a n cùng phương Đặc biệt:   n a1 : a2 : a = A : B : C a pt() PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M   ta giải hệ phương trình:  tìm x, y, z Suy ra: pt( ) ( ) ( ( ) ) M x , y, z   ( ) ()()( ) Thế , , vào phương trình mp P rút gọn dưa dạng: at + b = (*) ( ) () • d cắt mp P mợt điểm  Pt * có mợt nghiệm t ( ) () • d song song với P  Pt * vơ nghiệm ( ) () • d nằm P  Pt * có vơ số nghiệm t ( ) • d vng góc P  a n cùng phương Vị trí tương đối hai đường thẳng: M M0 ' 1  a  b  u M0  u' 2 1 2 ' 1 M M  u  u' M0 2 M M 0' FB: Học trò thầy Hồng – Đan Phượng  u Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 ' 1  u' 2 Page 300 Chuyên đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn PP HÌNH HỌC Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian Cho hai đường thẳng:  qua M có mợt vectơ phương u1  qua N có một vectơ phương u2 1    u1 , u2  = u1 , MN  =   + 1 //   u , u  =     u1 , MN   +  u , u    2  cắt     u , u  MN =    +   chéo  u1 , u2  MN  +  pt(1 ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm x, y, z Suy pt (  )  ( ) ra: M x , y, z   3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: x = x + a t (1)  Cho đường thẳng d: y = y + a2t (2) mặt cầu S : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R có tâm z = z + a t (3)  I (a;b; c) , bán kính R ( ) PP HÌNH HỌC ( ) B1 Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu S đến đường thẳng d h = d (I , d ) = IM a    a B2 So sánh d (I , d ) với bán kính R mặt cầu: ( ) ● Nếu d(I , d )  R d không cắt S ( ) ● Nếu d(I , d ) = R d tiếp xúc S ( ) ● Nếu d(I , d )  R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 301 Chun đề ơn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn ( ) (2 ) , ( ) vào phương trình (S ) rút gọn đưa phương trình bậc hai theo PP ĐẠI SỐ: Thế , t (*) ( ) () ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt S ( ) () ● Nếu phương trình * có mợt nghiệm d tiếp xúc S ( ) () ● Nếu phương trình * có hai nghiệm d cắt S hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d  n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) III Góc khơng gian:  n2 = ( A2 ; B2 ; C ) Góc hai mặt phẳng: ( ) Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai mặt a 0    90 phẳng ,  xác định phương trình : b ( ) : A1x + B1y + C 1z + D1 = ( ) : A2x + B2y + C 2z + D2 = Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: cos  = A1A2 + B1B2 + C 1C A + B +C A + B +C 2 2 2 ( ) 2  a = (a; b; c)  n = ( A; B; C ) Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng () : x − x0 a = y − y0 b = z − z0 a c 0    90 mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin  = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 302 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn 3.Góc hai đường thẳng :  a1 = (a; b; c) Cho hai đường thẳng : 1 x − x y − y0 z − z = = a b c x − x 0 y − y 0 z − z 0 (2 ) : = = a' b' c' (1 ) : 2  a = ( a ' ; b' ; c ' ) 0    90 Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có cơng thức: cos  = aa ' + bb ' + cc ' a + b + c a '2 + b '2 + c '2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = điểm M (x ; y ; z ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính : M ( x0 ; y ; z ) d(M ; ) = H a Ax + By + Cz + D A2 + B + C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng () qua điểm M (x ; y ; z ) có VTCP u = (a;b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến () tính cơng thức: M1  u ( ) d (M 1, ) = M ( x0 ; y ; z ) H M M ; u    u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ( ) Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng chéo : FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 303 Chun đề ơn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn (1 ) co VTCP u = (a;b; c) va qua M0 (x ; y ; z ) (2 ) co VTCP u ' = (a ' ;b ' ; c ' ) va qua M0' (x 0' ; y 0' ; z 0' ) u, u '  M M '   1 0 u Khi khoảng cách (1 ) va ( 2 ) tính cơng thức d (1, 2 ) = M u; u '    M  u' ' 2 CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M (x ; y ; z ) có VTCP a = (a1; a2 ; a ) : x = x + a t o  (d ) : y = yo + a2t z = z + a t o  ( t  R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M (x ; y ; z ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d ( ) Dạng 4: d qua điểm M (x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng P ( ) cho trước: Vì d ⊥ P nên ( ) VTPT P VTCP d ( ) (Q ) : Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng P , • Cách 1: Tìm điểm VTCP  (P ) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị (Q )   cho ẩn) – Tìm VTCP d : a = nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M (x ; y ; z ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 304 Chuyên đề ôn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad   2 Dạng 7: d qua điểm M (x ; y ; z ) , vng góc cắt đường thẳng  • Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  H    M 0H ⊥ u  Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H • Cách 2: Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với d ; (Q ) mặt phẳng qua A chứa d ( ) ( ) Khi d =   P  Q Dạng 8: d qua điểm M (x ; y ; z ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : • Cách 1: Gọi M  d1, M  d2 Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi ( P ) = (M , d1 ) , (Q ) = (M , d2 ) Khi d = ( P )  (Q ) Do đó, VTCP d chọn a = nP , nQ  Dạng 9: d nằm mặt phẳng ( ) (P ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm giao điểm ( ) A = d1  P , B = d2  P Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2 : ( ) Viết phương trình mặt phẳng P ( ) chứa  d1, mặt phẳng Q chứa  d2 Khi ( ) ( ) d = P  Q Dạng 11: d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  MN ⊥ d1 , ta tìm M , N Khi đó, d MN ⊥ d2   • Cách 1: Gọi M  d1, M  d2 Từ điều kiện  đường thẳng MN • Cách 2: – Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad   2 ( ) – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d d1, cách: FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 305 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn + Lấy điểm A d1 ( ) + Một VTPT P là: nP = a , ad    ( ) – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d d2 ( ) ( ) Khi d = P  Q ( ) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng P : • Lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa  vng góc với mặt phẳng ( P ) cách: – Lấy M   ( ) ( ) – Vì Q chứa  vng góc với P nên nQ = a  , nP  ( ) ( ) Khi d = P  Q Dạng 13: d qua điểm M, vng góc với d1 cắt d2 : • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: ( ) – Viết phương trình mặt phẳng P qua M vng góc với d1 ( ) – Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M d2 ( ) ( ) Khi d = P  Q VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 306 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: Cho đường thẳng d qua M có VTCP a M M , a    d (M , d ) = a • Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d ( ) – d M , d = MH • Cách 3: ( ) – Gọi N x ; y; z  d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN nhỏ ( ) – Khi N  H Do d M , d = MH Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M có VTCP a d (d1, d2 ) = a1, a2  M 1M a1, a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng ( ) chứa d song song với d1 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 307 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức toán Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách giữa đường thẳng mặt phẳng song song ( ) Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng  song song với khoảng cách từ ( ) điểm M d đến mặt phẳng  VẤN ĐỀ 6: Góc Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos (a1, a2 ) = a1.a2 a1 a Góc giữa đường thẳng mặt phẳng ( ) Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a ) mặt phẳng  có VTPT n = (A; B;C ) ( ) Góc đường thẳng d mặt phẳng  góc đường thẳng d với hình chiếu d ' ( )  ( ) sin d,( ) = Aa1 + Ba2 + Ca A2 + B + C a12 + a22 + a 32 MẶT CẦU I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: ( ) ( ) ( 1) Phương trình mặt cầu S tâm I a;b; c , bán kính R là: (S ) : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R () Phương trình gọi phương trình chính tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O (C ) : x + y + z = R2 Phương trình tởng qt: FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 308 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn Phương trình : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ( ) ( ) với a + b + c − d  phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , bán kính R = a + b2 + c2 − d II Giao mặt cầu mặt phẳng: ( ) Cho mặt phẳng ( ) mặt cầu S có phương trình : ( ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R ( ) Gọi d(I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng  Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) ( ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P )  d = IH = d I , ( P ) dR dR d=R Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu ( P ) mặt phẳng tiếp diện mặt cầu Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung ( ) ( H: tiếp điểm Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I  bán kính r = R2 − IH ) Dạng 1: S có tâm I a;b; c bán kính R : (S ) : (x − a ) ( ) ( + (y − b)2 + (z − c)2 = R ) Dạng 2: S có tâm I a;b; c qua điểm A : Phương pháp: Khi bán kính R = IA FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 309 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn ( ) Dạng 3: S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Phương pháp: • Tâm I trung điểm đoạn thẳng x + xB y + yB z + zB AB : x I = A ; yI = A ; zI = A 2 AB • Bán kính R = IA = Dạng 4: S qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) ( ) Phương pháp: • ( ) Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: () x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = * () • Thay toạ đợ điểm A, B,C , D vào * , ta phương trình • Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b, c, d  Phương trình mặt cầu S ( ) ( ) ( ) Dạng 5: S qua ba điểm A, B,C có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng ( ) ( ) Dạng 6: S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: Phương pháp: • ( ) Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu T • Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu S (Xét hai trường hợp tiếp xúc ngoài) ( ) ( ) Chú ý: Với phương trình mặt cầu S : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( ) ( ) với a + b + c − d  S có tâm I –a; –b; –c bán kính R = a + b + c − d ( ) ( ) Cho hai mặt cầu S1 I 1, R1 S I , R2 ( ) (S ) • I 1I  R1 − R2  S1 , • I 1I  R1 + R2  S1 , • I 1I = R1 − R2  S1 , FB: Học trò thầy Hoàng – Đan Phượng ( ) (S ) ( ) (S ) tiếp xúc Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 310 Chun đề ôn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn ( ) (S ) tiếp xúc ngồi • I 1I = R1 + R2  S1 , • R1 − R2  I 1I  R1 + R2  S1 , ( ) (S ) cắt theo mợt đường trịn (đường trịn giao tuyến) ( ) ( ) ( ) Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước ( ( )) Phương pháp: Bán kính mặt cầu R = d I ; P ( ) ( ) ( ) Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến mợt đường trịn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp: • Từ cơng thức diện tích đường tròn S =  r chu vi đường trịn P = 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r • Tính d = d I , P ( ( )) • Tính bán kính mặt cầu R = d + r • Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với mợt đường thẳng  cho trước có tâm I a;b; c ( ) ( ) cho trước Phương pháp ( ) ( ) Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S ta có R = d I,  ( ) tiếp xúc với một đường thẳng Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu S (  tiếp điểm M xo , yo , zo ) tḥc  có tâm I tḥc đường thẳng d cho trước Phương pháp ( ) • Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M vng góc với đường thẳng  • Toạ đợ tâm I = P   nghiệm phương trình ( ) ( ) • Kết luận phương trình mặt cầu (S ) Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b; c ) cắt đường thẳng  hai điểm A, B • Bán kính mặt cầu R = IM = d I,  thoả mãn điều kiện: FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 311 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn a Đợ dài AB mợt số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp ( ) Xác định d I ,  = IH , IAB cân I nên HB = AB a Bán kính mặt cầu R = IH + HB b Bán kính mặt cầu R = IH sin 45o c Bán kính mặt cầu R = IH sin 60o MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ( ) ( ) Cho P hai điểm A, B ( ) ( Tìm M  P để MA + MB + Nếu A B trái phía so với P ) ( )  M , A, B thẳng hàng  M = AB  P ? ( ) + Nếu A B phía so với P ( ) Tìm B ' đối xứng B qua P ( )  M , A, B ' thẳng hàng  M = AB ' P ( ) ( ) Cho P hai điểm A, B ( ) Tìm M  P để MA − MB + Nếu A B phía so với P max ( )  M , A, B thẳng hàng  M = AB  P ? ( ) + Nếu A B trái phía so với P ( ) Tìm B ' đối xứng B qua P  MA − MB ' = AB ' ( Cho điểm M x M ; yM ; z M ) không thuộc trục mặt phẳng tọa đợ Viết phương trình P qua M cắt tia (P ) : 3xx ( ) Ox,Oy,Oz A, B,C cho FB: Học trò thầy Hoàng – Đan Phượng M + y z + =1 3yM 3z M Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 312 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn VO ABC nhỏ nhất? ( ) Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , cho khoảng cách từ điểm M  d đến P lớn nhất? ( ) Qua  A  d  P :    n (P ) =  u d , AM  , u d  ( ) ( ) Qua  A P : n (P ) = AM Viết phương trình mặt phẳng P qua A ( ) cách M một khảng lớn ? ( ) Viết phương trình mặt phẳng P chứa ( ) đường thẳng d , cho P tạo với  (  không song song với d ) mợt góc lớn lớn ? ( ) Qua  A  d  P :    n (P ) =  u d , u   , u d  ( ) Cho  / / P Viết phương trình đường Lấy A   gọi A hình chiếu thẳng d nằm (P) song song với  cách  một khoảng nhỏ ? vng góc A P Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng P cho trước cho khoảng cách ( ) ( ) Qua  A d: u d = u  Qua  A  d  d:   u d = n (P ) , AM  từ điểm M cho trước đến d lớn ( AM khơng vng góc với P ) ? ( ) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng P cho trước ( ) Qua  A  d  d:    u d =  n (P ) , AM  , n (P )  cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ ( ) ( AM khơng vng góc với P ) ? Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  P cho trước, cho d nằm ( ) ( ) P tạo với đường thẳng  một Qua  A  d  d:    u d =  n (P ) , AM  , n (P )  góc nhỏ (  cắt khơng vng góc với P )? ( ) FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 313 ... – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 219 Chuyên đề ôn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn y Tởng qt: cot2  = A −b 8a O x B C MỘT SỐ CÔNG... Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 214 Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay. .. rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 237 Chun đề ôn thi THPT QG Toán 12 – – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay