II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP CHĨP
5. Những trường hợp riêng của phương trình tởng qt:
▪ (P) qua gốc tọa độ D=0
Chuyên đề ôn thi THPT QG Tốn 12 – quyển 7 – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn
FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng. Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 294
▪ (P) song song hoặc trùng (Oyz) B=C=0
▪ (P) song song hoặc trùng (Ozx) A=C=0
▪ (P) song song hoặc chứa Ox A=0
▪ (P) song song hoặc chứa Oy B=0
▪ (P)song song hoặc chứa Oz C=0
▪ (P) cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c)
(P) có phương trình x + + =yz (a b c ) abc 1 , , 0 6.Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng: Cho M x y z( 0; ;0 0)và (P):Ax +By Cz+ +D =0; AxByCzD d M P ABC 000 222 ( ,( )) + + + = + + 8. Chùm mặt phẳng
• Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là mợt chùm mặt phẳng
• Gọi ( )d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) :A x1 +B y C z1 + 1 +D1 = 0 và ( ) :A x2 +B y C z2 + 2 +D2 =0.
Khi đó nếu ( )P là mặt phẳng chứa ( )d thì mặt phẳng ( )P có dạng ( )Pm A xB y C zDn A xB y C zD m2 n2
11112222
: .( + + + )+ .( + + + )= 0, + 0
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng ( ) ta cần xác định một điểm thuộc ( ) và một VTPT của nó.
Dạng 1: ( ) đi qua điểm M x y z( 0; ;0 0) có VTPT n =(A B C; ; ):
( ) : A x( −x0) (+B y y− 0) (+C z −z0)= 0
Dạng 2: ( ) đi qua điểm M x y z( 0; ;0 0) có cặp VTCP a b, :
Khi đó một VTPT của ( ) là n = a b, .
Dạng 3: ( ) đi qua điểm M x y z( 0; ;0 0) và song song với mặt phẳng ( ) :Ax +By Cz + + D = 0 :
( ) : A x( −x0) (+B y y− 0) (+C z −z0)= 0
FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng. Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 295
Dạng 4: ( ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A B C, ,
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của ( ) là: n = AB AC,
Dạng 5: ( ) đi qua một điểm M và một đường thẳng ( )d không chứa M:
– Trên ( )d lấy điểm A và VTCP u. – Một VTPT của ( ) là: n = AM u,
Dạng 6: ( ) đi qua mợt điểm M, vng góc với đường thẳng ( )d :
VTCP u của đường thẳng ( )d là một VTPT của ( ) .
Dạng 7: ( ) chứa đường thẳng cắt nhau d d1, 2 :
– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d d1, 2.. – Một VTPT của ( ) là: n = a b, .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 M ( ) .
Dạng 8: ( ) chứa đường thẳng d1và song song với đường thẳng d2( d d1, 2chéo nhau) :
– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d d1, 2.
– Một VTPT của ( ) là: n = a b, . – Lấy một điểm M thuộc d1 M ( ) .
Dạng 9: ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d d1, 2 :
– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d d1, 2.
– Một VTPT của ( ) là: n = a b, .
Dạng 10: ( ) chứa mợt đường thẳng ( )d và vng góc với một mặt phẳng ( ) :
– Xác định VTCP u của ( )d và VTPT n của ( ) .
Chun đề ơn thi THPT QG Tốn 12 – quyển 7 – Thầy Hoàng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn
FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng. Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 296
– Lấy một điểm M thuộc d M ( ) .
Dạng 11: ( ) đi qua điểm M và vng góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( ) ( ) , :
– Xác định các VTPT n n, của ( ) và ( ) .
– Một VTPT của ( ) là: n = u n, .
Dạng 12: ( ) chứa đường thẳng ( )d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử ()có phương trình: Ax +By Cz+D+ = 0 (A2 +B2 +C2 0).
– Lấy 2 điểm A B, ( )d A B, ( ) (ta được hai phương trình ( ) ( )1 , 2 ).
– Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( )) =k, ta được phương trình ( )3 .
– Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn cịn lại).
Dạng 13: ( ) là tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm H :
– Giả sử mặt cầu ( )S có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của ( ) là: n =IH
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và Khi đó: cắt VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
( )P :Ax+By Cz+ +D=0 ( )P :Ax+By+ +CzD =0. ( )P ( )P A B C:: A B C::. ( ) ( )P // P ABCD. A = B =CD ( ) ( )P P ABCD. A = B =CD = ( ) ( )P ⊥ P n( )P ⊥n( )P n( ) ( )P .nP = 0 AA+BB+CC=0.
FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng. Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 297 Hình chiếu của mợt điểm trên mặt phẳng .
Điểm đối xứng của mợt điểm qua mặt phẳng.
• Khoảng cách từ điểm M x y z0( 0; 0; 0) đến mặt phẳng ( ) : Ax +By Cz+ +D = 0 () AxByCzD d M ABC 000 0,( ) = +2 +2 2+ + +
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng khơng song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
• Điểm H là hình chiếu của điểm M trên ( ) MH n cung phuong
HP P , ( )
• Điểm M' đối xứng với điểm M qua ( )P MM=2MH
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) , có phương trình:
( ) :A x1 +B y C z1 + 1 +D1 =0 ( ) :A x2 +B y C z2 + 2 +D2 =0
Góc giữa ( ) ( ) , bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n n1, 2.
() n nA AB BC C n nABCABC 121 21212 222222 12 1 1 1 2 2 2 . cos ( ),( ) . . = = + + + + + + Chú ý: 0 () 0 0 ( ),( ) 90 ; ( ) ⊥( ) A A1 2 +B B1 2 +C C1 2 = 0
VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng ( ) :Ax +By Cz+ +D =0 và mặt cầu ( )Sx a 2 y b 2 z c 2 R2
: ( − ) +( − ) +( − ) = có tâm I
Chuyên đề ôn thi THPT QG Tốn 12 – quyển 7 – Thầy Hồng ĐT 0978.102.720 Chương : Sổ tay cơng thức tốn
FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng. Thầy Cơng Hồng ĐT 0978.102.720 Page 298
• ( ) tiếp xúc với ( )S d I( ,( )) =R ( ) là tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của ( )Svà vng góc với ( ) . – Tìm toạ độ giao điểm H của d và ( ) . H là tiếp điểm của ( )Svới ( ) .
• ( ) cắt ( )Stheo một đường tròn d I( ,( )) R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường trịn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau: – Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của ( )Svà vng góc với ( ) . – Tìm toạ độ giao điểm H của d và ( ) .
H là tâm của đường tròn giao tuyến của ( )Svới ( ) . Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r = R2 −IH2
ĐƯỜNG THẲNG