SỔ TAY TÓM TẮT CÔNG THỨC NHANH Chuyên đề ôn thi THPTQG – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (3000 VND)

Chuyên đề ôn thi THPTQG Tóm tắt kiến thức chương hàm số và đồ thị TÓM TẮT KIẾN THỨC HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số ( )=y f x xác định trên K ta có + Hàm số ( )=y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ( ) ( )    x x K x x f x f.

Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị TÓM TẮT KIẾN THỨC HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f x xác định K ta có: ( ) ( ) + Hàm số y = f x gọi đồng biến (tăng) K nếu: ( ) ( ) x1, x  K , x  x  f x  f x ( ) + Hàm số y = f x gọi nghịch biến (giảm) K nếu: ( ) ( ) x1, x  K , x  x  f x  f x Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét: ( ) + Hàm số f x đồng biến K  ( ) ( )  0  x , x f x − f x1 x − x1 Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải + Hàm số f x nghịch biến K ( )  ( )  K ,  x  x ( )  0  x , x f x − f x1  K ,  x  x x − x1 Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải + Nếu f  x  0, x  a;b  hàm số f x đồng biến khoảng a;b ( ) ( ) + Nếu f  ( x )  0, x  ( a; b )  hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b ) + Nếu f  ( x ) = 0, x  (a;b )  hàm số f ( x ) không đổi khoảng (a;b ) + Nếu f ( x ) đồng biến khoảng (a;b )  f  ( x )  0, x  (a;b ) + Nếu f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b )  f  ( x )  0, x  (a;b ) + Nếu thay đổi khoảng (a ;b ) mợt đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm giả thiết “hàm số f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” ( ) ( ) Quy tắc cơng thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u x ; v = v x ; C : số ( ) ( ) ) = u   v  (u.v ) = u .v + v .u  (C u ) = C u  ( Tổng, hiệu: u  v Tích: Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 213 Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị  u  u .v − v .u  C  C u  , v0   =− Thương:   = v u v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f u , u = u x  yx = yu ux ( ) ( ) ( ) Bảng cơng thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm sơ cấp (C ) = (C số) (x ) = .x  Đạo hàm hàm hợp (x ) = .x   −1 (u ) =  u  −1   −1 u     = − (x  0) x x    u   =− u  u u  ( x ) = 1x (x  0) ( u ) = 2uu (u  0) ( sin x ) = cos x ( sin u ) = u .cos u ( cos x ) = − sin x ( cos u ) = −u .sin u ( tan x ) = cos1 x ( tan u ) = cosu ( cot x ) = − sin1 x ( cot u ) = − sinu u (e ) = e (e ) = u.e 2 x x (  u  u u (a ) = a ln a (a ) = u.a ln a ( ln x ) = x1 ( ln u ) = uu ( log x ) = x ln1 a u ( log u ) = u.ln a x x a ) u u a Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 214 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – a    b a    c b    c x +2 x+  d    e d    f e    f  ax + bx + c    = 2  dx + ex + f  dx + ex + f  ax + b  ad − bc ;   =  cx + d  cx + d ( Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị ( ) ) Đạo hàm cấp : + Định nghĩa: f  ( x ) =  f  ( x ) () + Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f t ( ) thời điểm t0 ( ) a t0 = f  t Đạo hàm cấp cao: f (n )  (x ) =  f ( ) (x ) , (n  n −1 ) ,n 2 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K ( ) ( ) + Nếu f ' x  với x  K f ' x = một số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K ( ) ( ) + Nếu f ' x  với x  K f ' x = một số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = hàm y  không xảy ( ) ax + b  d  x  −  dấu " = " xét dấu đạo cx + d  c ( ) Giả sử y = f x = ax + bx + cx + d  f  x = 3ax + 2bx + c Hàm số đồng biến ( )  f  x  0; x  Hàm số nghịch biến  a        a =   b =   c  ( )  f  x  0; x   a        a =   b =   c  ( ) Trường hợp hệ số c khác a = b = c = f x = d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau: + Bước 1: Tính y  = f  x ; m = ax + bx + c ( ) Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 215 là: Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị ( ) + Bước 2: Hàm số đơn điệu x 1; x  y  = có nghiệm phân biệt    (* ) a  + Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có đợ dài l (  x1 − x = l  x + x () ) − 4x 1x = l  S2 − P = l (* *) ( ) + Bước 4: Giải * giao với * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước ( ) Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f x ; m = ax + bx + cx + d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: + Bước 1:  Tập xác định: D =  Đạo hàm: y  = 3ax + 2bx + c = Ax + Bx + C + Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y  = có hai nghiệm phân biệt y  đổi dấu qua nghiệm  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt A = 3a  a     m  D1  2 y  = B − 4AC = 4b − 12ac  b − 3ac  + Bước 3: Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình y  =  B 2b x + x = − = − A 3a Khi đó:  C c x x = =  A 3a Bước 4: Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm m  D2 Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1  D2 ( ) * Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d a  Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c Điều kiện Kết luận b − 3ac  Hàm số khơng có cực trị Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 216 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị Hàm số có hai điểm cực trị b − 3ac  ➢ Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu ▪ Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt trái dấu  AC = 3ac   ac  ▪ Hàm số có hai cực trị dấu  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt dấu ▪ ▪ ➢  y     C 0 P = x 1.x =  A Hàm số có hai cực trị dấu dương  phương trình y  = có hai nghiệm dương phân biệt   y    B  S = x + x = −  A  C P = x x = 0  A Hàm số có hai cực trị dấu âm  phương trình y  = có hai nghiệm âm phân biệt   y '   B  S = x + x = −  A  C P = x x = 0  A Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x ▪ Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x    x ( )( ) ( )  x −  x −    x 1.x −  x + x +   ▪ Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x  x   ▪  x −  x −   x x −  x + x +   2   x + x   x + x   2   Hai cực trị x 1, x thỏa mãn   x  x ▪  x −  x −   x x −  x + x +   2   x + x  2 x + x  2 Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng ( ( )( )( ) ) ( ( ) ) Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 217 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – có nghiệm x = Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị −b , có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm 3a d a Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: x = −3 ( ) ( ) Cho điểm A x A ; yA , B x B ; yB đường thẳng  : ax + by + c = ( )( ) Nếu ax A + byA + c ax B + byB + c  hai điểm A, B nằm hai phía so với đường thẳng  Nếu ax A + byA + c ax B + byB + c  hai điểm A, B nằm cùng ( )( ) phía so với đường thẳng  Một số trường hợp đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị dấu  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy  hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y  = có hai nghiệm trái dấu + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Đặc biệt: + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ + yCT  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y   phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ + yCT  + Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  phương trình y  = có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 218 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị (áp dụng không nhẩm nghiệm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt ( )  phương trình hồnh đợ giao điểm f x = có nghiệm phân biệt (áp dụng nhẩm nghiệm) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị  2c 2b  y.y bc y .y  g x = y − g ( x ) = y − g x = − x + d − 18a 9a  9a 3y  3 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ( ) ( ) AB = 4e + 16e b − 3ac với e = a 9a CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y = ax + bx + c, a  ( ) MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ + Hàm số có mợt cực trị  ab  + Hàm số có ba cực trị  ab  a  + Hàm số có mợt cực trị cực trị cực tiểu   b  a  + Hàm số có mợt cực trị cực trị cực đại   b   a  + Hàm số có hai cực tiểu một cực đại   b  a  + Hàm số có mợt cực tiểu hai cực đại   b   Giả sử hàm số y = ax + bx + c có cực trị:  b   b  A(0;c), B  − − ; −  ,C  − ; −   2a 4a   2a 4a   tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab  Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 219 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị y A  Tổng quát: −b cot = 8a O B x C MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Dữ kiện Cơng thức thỏa mãn ab  0; c  Tam giác ABC vuông cân A b = −8a Tam giác ABC b = −24a Tam giác ABC có diện tích S ABC = S 32a (S )2 + b = Tam giác ABC có diện tích max (S ) Tam giác ABC có bán kính đường trịn nợi tiếp rABC = r0 S0 = − r = b5 32a b2  b3   a 1 + −  8a    Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RABC = R R= Tam giác ABC có đợ dài cạnh BC = m am 02 + 2b = Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n 16a 2n 02 − b + 8ab = Tam giác ABC có cực trị B,C  Ox b − 8a 8ab b = 4ac Tam giác ABC có góc nhọn b(8a + b )  Tam giác ABC có trọng tâm O b = 6ac Tam giác ABC có trực tâm O b + 8a − 4ac = Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b = 2ac Tam giác ABC có O tâm đường trịn nợi tiếp b − 8a − 4abc = Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 220 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị Tam giác ABC có O tâm đường trịn ngoại tiếp Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b − 8a − 8abc = b k − 8a(k − 4) = Trục hoành chia tam giác ABC thành b = ac hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành ( ) Đồ thị hàm số C : y = ax + bx + c cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cợng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị C : y = ax + bx + c trục hồnh có diện tích ( ) b = 8ac b2 = 100 ac b2 = 36 ac phần phần Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC là: 2   2   x + y2 −  − + c y + c  − =0  b 4a   b 4a  GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Định nghĩa ( ) Cho hàm số y = f x xác định tập D  f (x )  M , x  D + Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f x D nếu:  Kí x  D, f (x ) = M hiệu: M = max f ( x) ( ) xD  f (x )  m, x  D + Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f x D nếu:  Kí x  D, f (x ) = m hiệu: m = f (x ) ( ) x D Phương pháp tìm GTLN,GTNN * Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp + Bước 1: Tính f  ( x ) tìm điểm x 1, x , , x n  D mà f  x = hàm số ( ) khơng có đạo hàm + Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số * Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn + Bước 1:  Hàm số cho y = f x xác định liên tục đoạn a;b  ( ) Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 221 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị ( ) ( ) ( )  Tìm điểm x 1, x , , x n khoảng a ;b , f  x = f  x không xác định + Bước 2: Tính f a , f x , f x , , f x n , f b () ( ) ( ) ( ) () + Bước 3: Khi đó:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x ) = f ( x ) , f (x ) , , f (x ) , f (a ) , f (b ) ( ) max f x = max f x , f x , , f x n , f a , f b a ,b  a ,b  n * Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f (x )  Bước 2: Tìm tất nghiệm x i  (a;b) phương trình f (x ) = tất điểm i  (a;b) làm cho f (x ) không xác định  Bước Tính A = lim+ f (x ) , B = lim− f (x ) , f (x i ) , f (i ) x →a  Bước x →b So sánh giá trị tính kết luận M = max f (x ) , m = f (x ) (a ;b ) (a ;b ) Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết ḷn khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Chú ý: ( ) () ( ) () min f x = f a  a ;b    + Nếu y = f x đồng biến a;b     f x =f b max  a ;b  min f (x ) = f b  a ;b  + Nếu y = f x nghịch biến a;b     max f ( x ) = f a  a ;b    + Hàm số liên tục một khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng ( ) () () ( ) ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y = f (x ) xác định một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; + , −;b ( )( ) ( −; + ) ) Đường thẳng y = y đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f (x ) mợt điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x ) = y 0, lim f (x ) = y x →+ x →− Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x) mợt điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x ) = +, lim− f (x ) = −, lim+ f ( x) = − , lim− f ( x) = + x →x 0+ x →x x → x0 x → x0 Thầy Đồn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 222 Chun đề ơn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = y= ax + b cx + d (c  0; ad − bc  ) ln có tiệm cận ngang a d tiệm cận đứng x = − c c KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC: (a  ) a) HÀM SỐ BẬC BA y = ax + bx + cx + d TRƯỜNG HỢP a0 a 0 Phương trình y / = có y y nghiệm phân biệt O x 1 O Phương trình y / = có nghiệm kép x y y 1 O x O Phương trình y / = vô nghiệm x y y O x 1 O b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax + bx + c TRƯỜNG HỢP a 0 x (a  ) a0 Thầy Đoàn Cơng Hồng SĐT0978.102.720 FB: Học trị thầy Hồng – Đan Phượng Page 223 Chuyên đề ôn thi THPTQG 2020 – Tóm tắt kiến thức chương hàm số đồ thị Phương trình y / = có y y nghiệm phân biệt (ab