Tóm tắt kiến thức nhập môn các phương pháp tối ưu

Điểm cực biên x của tập M là điểm không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của 2 điểm phân biệt bất kỳ nào của M.. Đỉnh x0của 1 tập lồi đa diện P được gọi là đỉnh không suy biế

(Cảnh báo: Các proof đi kèm là nhà làm, đọc cho vui thôi chứ mình không chắc đúng sai do sản phẩmnày không phải là thuốc và không các tác dụng thay thế thuốc chữa bệnh, kiểu vậy :)).)

1 Tập lồi

1.1 Khái niệm

(Lưu ý: Một vector/điểm thuộc không gian Rn, n > 1 thì ký hiệu là xk thay vì xk để phân biệt vector với

scalar (điểm thuộc R) Các vector trong Rn đều xét là ma trận cỡ n × 1)

1 Đường thẳng đi qua x1, x2:x | x = λxi+ (1 − λ)x2, λ ∈ R

2 Tập Affine: M ∈ Rn: xi, x2∈ M, λ ∈ R ⇒ λxi+ (1 − λ)x2∈ M Giao của 1 họ hữu hạn các tập Affine

là 1 tập Affine

3 Tổ hợp Affine: x =Pki=1λixi với λi∈ R khi i = 1, k vàPki=1λ = 1

4 Bao Affine af f E của tập E ∈ Rn là giao của tất cả các tập Affine chứa E

5 Không gian con: L ∈ Rn : xi, x2∈ L, λ1, λ2∈ R ⇒ λ1xi+ λ2x2∈ L Không gian con là 1 tập Affinechứa vector không Không gian con song song với 1 tập Affine M là duy nhất và xác định bởi L = M −xvới x ∈ M dimM := dimL

6 Số chiều của 1 không gian E ∈ Rn: dimE = dim(af f E)

7 Điểm trong x: ∃ω ≥ 0 : x+B(x, ω) ∈ E Tập tất cả điểm trong của tập E: intE intE ̸= ∅ ⇔ dimE = n

8 Tập mở M : ∀x ∈ M, ∃ω > 0 : B(x, ω) ⊂ M M là tập mở ⇔ M = intM intM là tập mở lớn nhấtđược chứa bởi M

9 Tập đóng M là tập mà mọi dãy trong M đều hội tụ tới 1 điểm thuộc M Tập đóng và bị chặn là tậpcompact

10 Điểm trong tương đối x: ∃ω ≥ 0 : B(x, ω) ∩ af f E ∈ E Tập tất cả điểm trong của tập E: riE.intE ⊂ riE

11 Đoạn thẳng [x1, x2] nối x1, x2:x | x = λxi+ (1 − λ)x2, λ ∈ [0, 1]

12 Tập lồi: M ∈ Rn: xi, x2∈ M, λ ∈ [0, 1] ⇒ λxi+ (1 − λ)x2∈ M Giao của 1 họ hữu hạn các tập lồi là

1 tập lồi Tổ hợp tuyến tính của 2 tập lồi aM1+ bM2 là 1 tập lồi

Lưu ý: Xét x ∈ Rn, hiển nhiên {x} là 1 tập lồi nên với mọi tập lồi M thì M + x = M + {x} cũng làtập lồi

13 Tổ hợp lồi: x =Pki=1λixivới λi∈ [0, 1] khi i = 1, k vàPki=1λ = 1 Nếu λi> 0 thì x là tổ hợp lồi chặt

14 Điểm cực biên x của tập M là điểm không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của 2 điểmphân biệt bất kỳ nào của M Khi có hữu hạn điểm cực biên thì các điểm cực biên còn gọi là đỉnh 1điểm cực biên là 1 điểm biên

15 Bao lồi convE của tập E ∈ Rn là giao của tất cả các tập lồi chứa E.

16 Hàm tuyến tính: (trên Rn có dạng) f (x) =< c, x >

17 Hàm Affine: (trên Rn có dạng) f (x) =< c, x > +α

18 Siêu phẳng H là tập {x ∈ Rn| ⟨a, x⟩ = α} với a ∈ Rn/{0}, α ∈ R Siêu phẳng H trong Rn, n ≥ 1 là 1tập Affine với dimH = n − 1 (với α = 0 thì là không gian con) a được gọi là vector pháp tuyến củaH

19 Nửa không gian đóng có dạng {x ∈ Rn| ⟨a, x⟩ ≤ α} với a ∈ Rn/{0} Nửa không gian mở có dạng{x ∈ Rn| ⟨a, x⟩ < α} (Với "≥",">" chỉ cần đổi dấu 2 vế)

20 Siêu phẳng tựa: Siêu phẳng H được gọi là siêu phẳng tựa của M ∈ Rn tại x0∈ M nếu x0∈ H và Mnằm trọn trong nửa không gian đóng {x ∈ Rn| ⟨a, x⟩ ≤ α} xác định bởi H x0 là 1 điểm biên của M

21 Tập M ⊂ Rn được gọi là nón nếu x ∈ M, λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ M ⇒ λx ∈ M Nón bao gồm các phần

tử là tổ hợp của các vector thuộcv1, , vk ⊂ Rn được gọi là nón sinh bởi tập vector đó, ký hiệuconev1, , vk

22 Phương lùi xa d của tập lồi M khác rỗng là vector khác 0 thỏa mãn x ∈ M, λ ≥ 0 thì x + λd ≥ 0 Tậplồi khác rỗng M không bị chặn khi và chỉ khi nó có phương lùi xa Tập các phương lùi xa của M tạothành 1 nón lồi, ký hiệu recM Hai phương lùi xa d1, d2 được gọi là khác biệt nếu d1̸= αd2

23 Phương cực biên của tập lồi M khác rỗng nếu nó không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyếntính dương của 2 phương lùi xa khác biệt (tức dưới dạng λ1d1+ λ2d2 với λ1, λ2> 0, d1∈ recM, d2∈recM, d1̸= αd2(∀α ∈ R))

C, D lồi, đóng; C compact; C, D ⊂ Rn, C ∩ D = ∅, c ̸= ∅, D ̸= ∅

⇒ ∃α ∈ Rn, a ∈ R, ∀x1∈ C, x2∈ D : 1 2

⇔ ∃α ∈ Rn, µ ∈ R, ∀x1∈ C, x2∈ D : 1− x2 ≤ µ < 0

25 Bổ đề Farkas: Cho vector a ∈ Rn, ma trận A cấp m × n

⟨a, x⟩ ≥ 0 với mọi x thỏa mãn Ax ≥ 0khi và chỉ khi

∃y ∈ Rm= {y ∈ Rm|y ≥ 0} : a = ATy

26 Tập lồi đa diện P ⊂ Rn là giao của 1 số hữu hạn nửa không gian đóng, tức là

{x|Ax ≥ b}

Tập lồi đa diện là 1 tập lồi, đóng Một TẬP LỒI ĐA DIỆN BỊ CHẶN được gọi là ĐA DIỆN LỒI (hay

đa diện) Với tập lồi đa diện, khái niệm đỉnh và điểm cực biên trùng nhau

27 Cho tập lồi đa diện P , nếu rằng buộc i0, x ≥ bi0 xẩy ra dấu bằng tại x0 thì ta nói x0 thỏa mãnrằng buộc chặt i0 Tập I(x0) = i, x0 = bi là tập chỉ số những rằng buộc thỏa mãnchặt tại x0∈ P

28 Diện F của tập lồi đa diện P là một tập con của P sao cho 1 điểm trong tương đối của 1 đoạn thẳngtrong P thuộc diện diện thì cả đoạn thẳng đó thuộc diện, tức:

y ∈ P, z ∈ P, x = λy + (1 − λ)z ∈ F ⇒ {y, z} ⊂ FĐỉnh là 1 diện thứ nguyên (dim) bằng 0, cạnh là 1 diện thứ nguyên bằng 1

29 Đỉnh x0của 1 tập lồi đa diện P được gọi là đỉnh không suy biến nếu nó thỏa mãn chặt đúng n rằngbuộc độc lập tuyến tính trong hệ rằng buộc xác định P và là đỉnh suy biến nếu thỏa mãn chặt nhiềuhơn n

30 Hai đỉnh của 1 tập lồi đa diện được gọi là kề nhau nếu đoạn thẳng nối chúng là 1 cạnh

1.2 Một số tính chất

1 Một tập lồi đóng khác rỗng M ∈ Rn có điểm cực biên khi và chỉ khi nó không chứa một đường thẳngnào

Chứng minh (a) Xét tập lồi đóng khác rỗng M ∈ Rn có điểm cực biên x

Giả sử tồn tại đường thẳng d nằm trọn trong M



x ∈ M Cho λ → +∞ thì vì tính đóng của M ta có (x2− x1) + x ∈ M

Vậy không tồn tại d

(b) Tập lồi đóng khác rỗng M ∈ R có 1 trong các dạng [α, +∞), [−∞, α), [α, β] với α, β hữu hạn Khi

đó, α là điểm cực biên của M

Giả sử với mọi k ∈ N thỏa mãn n ≥ k ≥ 1 thì tập lồi đóng khác rỗng M ∈ Rk không chứa đườngthẳng nào luôn có ít nhất 1 điểm cực biên

Xét tập lồi đóng M′∈ Rn+1không chứa đường thẳng nào.

Với 0 ≤ a < b ≤ n + 1 xét fa,b : M′ → Rb sao cho với mọi x = (x1, x2, , xn+1)T ∈ M′fa,b(x) = (xa, x2, , xb)T

Do tính tuyến tính của fa,b nên fa,b(M′) là 1 tập lồi đóng không chứa đường thẳng nào Vậy dogiả thiết quy nạp, fa,b(M′) chứa ít nhất 1 điểm cực biên

Xét u = (u1, , un)T, v lần lượt là các điểm cực biên của tập f0,n(M′), fn,n+1(M′)

Giả sử tồn tại λ ∈ (0, 1); x1, x2∈ M, x1̸= x2: x0= (u1, , un, v)T = λx1+ (1 − λ)λx2 (∗) Ta có

(

u = f1,n(x0) = λf1,n(x1) + (1 − λ)λf1,n(x2)

v = fn,n+1(x0) = λfn,n+1(x1) + (1 − λ)λfn,n+1(x2)

Do u, v là các điểm cực biên nên điều này xảy ra khi và chỉ khi f1,n(x1) = f1,n(x2), fn,n+1(x1) =

fn,n+1(x2), đồng nghĩa với x1= x2 mâu thuẫn với giả thiết (∗) Vậy không tồn tại λ, x1, x2 thỏamãn (∗), tức x0 là 1 điểm cực biên của M′

2 Mọi điểm trong tập lồi đóng khác rỗng có điểm cực biên đều là tổ hợp lồi của các điểm cực biên củanó

Chứng minh Xét M là tập lồi đóng khác rỗng có điểm cực biên Gọi B là tập các điểm cực biên của

λi= 1,

|B|

Xi=1λibi= x với bi∈ B







Dễ thấy S là 1 tập lồi đóng và các điểm trong S là tổ hợp lồi chặt của hữu hạn điểm trong S Do S

là tập con của M nên S không chứa đường thẳng Nếu S ̸= ∅ thì trong S tồn tại điểm cực biên Điềunày vô lý nên S = ∅

3 (Krein-Milman) Một tập lồi đóng, bị chặn trong Rn là bao lồi của các điểm cực biên của nó

4 Qua mỗi điểm biên của x0của tập lồi M ∈ Rn tồn tại ít nhất 1 siêu phẳng tựa M tại x0

5 Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂ Rn là giao của họ các nửa không gian tựa của nó

6 1 nón là tập lồi khi nó chứa tất cả tổ hợp tuyến tính không âm của các phần tử của nó

7 Một diện của tập lồi đa diện P cũng là 1 tập lồi đa diện Đỉnh của diện cũng là đỉnh của tập lồi đadiện ứng với diện đó

8 Cho F là diện của tập lồi đa diện P F chứa 1 điểm trong của P (hay intP ∩ F ̸= ∅) khi và chỉ khi

F = P Có F là diện của P và dimF < dimP khi và chỉ khi F là 1 tập lồi đa diện gồm các phần tử làbiên của P (hay F ⊂ P/intP )

Chứng minh (a) Xét x ∈ F ∩ intP Giả sử tồn tại điểm y ∈ P/F Do x ∈ intF nên tồn tại 1 > ω > 0sao cho B(x, ω) ⊂ F Vì vậy, z = x + ω x − y

đa diện Vì dimF < n nên do mệnh đề 1 có F ⊂ P/intP

9 Cho tập lồi đa diện P ⊂ Rn xác định bởi

Chứng minh Bổ đề: Hàm tuyến tính bị chặn trong Rn là hàm liên tục

Xét x1∈ P thỏa mãn Ax > a Ứng với mỗi rằng buộc i, x ≥ a tồn tại ωi> 0 sao cho B(xi, ωi) ⊂

i, x > a Lấy ω = inf ωi, ta có B(xi, ω) ⊂ {x|Ax > a} Vậy x1 phải là điểm trong của P

10 Một điểm x0 là đỉnh của tập lồi đa diện P ⊂ Rn (xác định bởi hệ Ax ≥ b) khi và chỉ khi x0thỏa mãnchặt n rằng buộc độc lập tuyến tính của hệ Ax ≥ b

Chứng minh Xét điểm x0 là đỉnh của tập lồi đa diện P ⊂ Rn Do hệ quả của tính chất trên, x0 phảithỏa mãn ít nhất n rằng buộc độc lập tuyến tính trong hệ Ax ≥ b

Xét điểm x0 thỏa mãn chặt n rằng buộc độc lập tuyến tính Bx ≥ c của hệ Ax ≥ b Giả sử tồn tại

x1, x2∈ P, x1̸= x2 và λ > 0 sao cho x0= λx1+ (1 − λ)x2 Ta có c = Bx0= λBx1+ (1 − λ)Bx2 mà

x1, x2 ∈ P nên nó thỏa mãn rằng buộc Bx ≥ c Vì vậy x1, x2 ∈ {x|Bx = c} Do Bx ≥ c gồm n rằngbuộc độc lập tuyến tính nên r(B|c) = r(B) Vậy hệ Bx = c có 1 nghiệm duy nhất, x1= x2= x0 mâuthuẫn giả thiết Do đó, x0là 1 điểm biên của P

11 Cho tập lồi đa diện P ⊂ Rn Một đoạn thẳng (hoặc nửa đường thẳng, hoặc đường thẳng) Γ ⊂ P là 1cạnh P khi và chỉ khi nó là tập các điểm thỏa mãn chặt (n − 1) ràng buộc độc lập tuyến tính trongcác rằng buộc xác định P

12 Cho tập lồi đa diện P ⊂ Rn, một tập lồi M ⊂ Rn Các khẳng định sau đây là tương đương:

(a) M có các phần tử là điểm biên của P

(b) M là tập các điểm thỏa mãn chặt n − dimM rằng buộc trong hệ các rằng buộc xác định P (c) M là 1 diện của P

13 Các điểm trong 1 tập lồi đa diện có thể biểu diến dưới dạng tổng của tổ hợp lồi của các đỉnh với tổhợp tuyến tính không âm của các phương cực biên của nó

14 Một hàm khả vi 2 lần là hàm lồi khi ma trận Hessen của nó xác định không âm, là hàm lồi chặt nếu

ma trận Hessen của nó xác định dương

x =Pki=1λixi; x1, xk ∈ E,Pki=1 = 1

y =Phi=1λiyi; y1, yh∈ E,Phi=1 = 1Với α ∈ R, xét z = αx + (1 − α)y = αPki=1λixi+ (1 − α)Phi=1λiyi Có αPki=1+(1 − α)Phi=1 =

α + (1 − α) = 1 nên z ∈ M Vì vậy, M là 1 tập affine Đồng thời với mọi x ∈ E thì x = 1.x ⇒ x ∈ Mnên E ⊂ M Mà af f E là tập affine nhỏ nhất bao E nên af f E ⊂ M

• Ta có z2= λ1x1+ λ2x2với λ1+ λ2= 1 và x1, x2∈ E thì z2∈ af f E

Giả sử với k ≥ 2 thì khi zh=Phi=1λixi; x1, xh∈ E,Phi=1 = 1, 2 ≤ h ≤ k ta có zh∈ af f E

Xét zk+1=Pk+1i=1 λixi; x1, xk+1∈ E,Pk+1i=1 = 1 Tồn tại ít nhất 1 giá trị m ∈ 1, , k + 1 : λm̸= 1

vì nếu không thìPk+1i=1 = k + 1 ≥ 3 ̸= 1 Ta có zk+1= λmxm+ (1 − xm)P

i̸=m;1≤i≤k+1

λi

1 − xmxi =λmxm+ (1 − xm)ω Dễ thấy ω ∈ af f E nên zk+1∈ af f E

Chứng minh 1 Xét x,y bất kỳ thuộc giao của hữu hạn n tập lồi A1, A2, , An Ta có

λx + (1 − λ)y ∈ An, ∀λ ∈ RTức là

λx + (1 − λ)y ∈

n

\i=1

Ai, ∀λ ∈ R

VậyTni=1Ai là 1 tập lồi

2 Một trường hợp không thỏa mãn: Xét hai tập lồi A1, A2⊂ Rn sao cho

(A1∩ A2= ∅

Vì vậy ω1d1+ ω2d2 là 1 hướng lùi xa của D với ω1, ω2≥ 0

Giả sử sk =Pki=1ωidi với ωi≥ 0 cho mọi k ∈ [1, n], n ≥ 2 là 1 hướng lùi xa của D

Xét 1 hướng lùi xa của D là dk+1 Với α1, α2≥ 0, áp dụng giả sử với k = 2 có

α d + α s ∈ D

Thay α1= ωk+1 và α2= 1 có

sk+1= ωk+1dk+1+ sk ∈ DVậy sk+1=Pk+1i=1 ωidi là 1 hướng lùi xa của D

Bìa 6/35:

Chứng minh

Có d là phường lùi xa của P ⇔ ∀x ∈ P, λ ≥ 0 : x + λd ∈ P

⇔ ∀x ∈ P, λ ≥ 0 : b = A(x + λd) = Ax + Aλd = b + Aλd

⇔

(

w2≤ w1w1≥ 0, w2≥ 0Đặt ω = λd, ∀λ ≥ 0 có

(

w2≤ w1w1≥ 0, w2≥ 0 ⇔

(

d2≤ d1d1≥ 0, d2≥ 0 (I)

(I) là điều kiện cần và đủ để d = (d1, d2) là 1 phương lùi xa của M Từ đó, ta có, các phương lùi xa của M

có thể biểu diễn được dưới dạng

d = (d1, d2) = (d1− d2)(1, 0) + d2(1, 1)với d1 ≥ d2 do điều kiện (I).Vì vậy, mọi phương lùi xa khác (1, 0), (1, 1) đều không là phương cực biên của

M Ta cần xét xem (1, 0), (1, 1) có là phương cực biên của M hay không

1 Giả sử tồn tại d1, d2 là 2 phương lùi xa khác biệt của M sao cho (1, 0) = λ1d1+ λ2d2 với λ1, λ2> 0.Khi đó, λ1(d1)1+ λ2(d2)1= 1, λa(d1)2+ λb(d2)2 = 0 Vậy d1, d2 đều có dạng α(1, 0) với α > 0 (mâuthuẫn với giả sử) Vậy (1, 0) là 1 cực biên của M

2 Giả sử tồn tại d1, d2 là 2 phương lùi xa khác biệt của M sao cho (1, 1) = λ1d1+ λ2d2 với λ1, λ2> 0.Khi đó, λ1(d1)1+ λ2(d2)1 = λ1(d1)2+ λ2(d2)2 = 1 Vì từ (I), ta có (d1)1 ≥ (d1)2, (d2)1 ≥ (d2)2 nên

λ1(d1)1+ λ2(d2)1≥ λ1(d1)2+ λ2(d2)2 Dấu ” = ” xảy ra ⇔ (d1)1= (d1)2, (d2)1= (d2)2, khi đó d1, d2không khác biệt (trái với giả sử) Vậy (1, 1) là 1 cực biên của M

1 f (x) = |x| với x ∈ R

(a) Với ∀x1, x2∈ R, λ ∈ [0, 1] có |λx1+ (1 − λ)x2| ≤ λ |x1| + (1 − λ) |x2|

(b) epi(f ) =(x, t) ∈ R2| T, (1, 1) T, (−1, 1) ≥ 0 là 1 tập lồi đa diện nên f lồi

2 f (x) = ex+ 1 + 5x với x ∈ R

(a) f′′(x) = ex> 0∀x ∈ R nên f (x) lồi chặt

(b) f (x) là tổ hợp của 3 hàm lồi nên nó lồi

nên f (x) không phải là hàm lồi

(a) Có ex là hàm lồi trên (−∞, 0) Lại có, với ∀λ ∈ [0, 1], x ∈ (−∞, 0] thì f (λx + (1 − λ)0) = eλx ≤

λex+ (1 − λ)e0< λex+ (1 − λ)3 = λf (x) + (1 − λ)f (0) Nên f (x) lồi trên x ∈ (−∞, 0]

(b) Dễ thấy epif lồi

Bài 17/37: Các bài này đều xét ma trận Hessan được

Bài 18/37:

Hiển nhiên hàm hằng là hàm affine bị chặn

Ngược lại, xét hàm affine bị chặn trên 1 tập affine X là f (x) = ⟨a, x⟩+b Xét x1∈ X có limλ→+∞f (λx0) =limλ→+∞λ 0− x1 + f (x1) bị chặn với ∀x0∈ X biết f (x1) bị chặn khi a = 0 Khi đó, f (x) = b.Bài 19/37:

Hàm Affine trong Rn có dạng f (x) = ⟨a, x⟩ + b Đây là hàm vừa lồi, vừa lõm

Bài 23/37:

Chứng minh Xét c = inf {∥x − y∥|x ∈ C1, y ∈ C2} > 0 Xét x∗ ∈ clC1, y∗ ∈ clC2 là các điểm tại đó

∥x∗− y∗∥ = c với clX là hợp giữa tập X và biên của nó Do kết quả của bài 22 ta có ⟨x − y, a⟩ ≥

⟨x∗− y, a⟩ ≥ c2 > 0 với a = x∗− y∗ Vậy ⟨a, x⟩ là 1 siêu phẳng tách chặt clC1, clC2, tức tách chặtC1, C2

Bài 24/38:

Nếu Ax = c thì 1 = cTy = xTATy nên ATy ̸= 0 Nếu ATy = 0 Giả sử Ax = c 0 = yTAx = yTc = 1

vô lý, tức Ax ̸= c Lại có ít nhất 1 trong 2 hệ có nghiệm phụ thuộc theo rA so với n

Bài 25/38: Bđt tam giác

2 Quy hoạch phi tuyến không rằng buộc

(Pkrb) : min f (x) với x ∈ Rn trong đó f : Rn → R là hàm phi tuyến

(Lưu ý: Trong SGT, mình thấy nói nghiệm tối ưu khi xét ứng với bài toán, điểm tối ưu khi xét ứng với

hàm f )

2.1 Điều kiện tối ưu

1 Điều kiện tối ưu bậc nhất: Nghiệm tối ưu địa phương của bài toán quy hoạch phi tuyến với hàm mụctiêu khả vi (nếu tồn tại) là 1 điểm dừng của f

Nếu hàm mục tiêu f là lồi khả vi thì điểm dừng là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán

2 Điều kiện tối ưu bậc hai:

(a) Nếu x là điểm cực tiểu địa phương của f khả vi 2 lần thì

(

∇f (x) = 0

∇2f (x) ≥ 0(b) Nếu x thỏa mãn

(

∇f (x) = 0

∇2f (x) > 0thì x là điểm cực tiểu địa phương của f

Lưu ý: Trong các ma trận với các phần tử là số thực:

(a) Ma trận nửa xác định dương là ma trận đối xứng có các trị riêng không âm Ma trận A cỡ n × n

là ma trận nửa xác định dương thì vTAv ≥ 0 với mọi vector v ∈ Rn

(b) Ma trận xác định dương là ma trận đối xứng có các trị riêng dương Một ma trận xác định dương

là ma trận nửa xác định dương không suy biến (khả nghịch) Ma trận A cỡ n × n là ma trận nửaxác định dương thì vTAv > 0 với mọi vector v ∈ Rn/{0}

(c) Cho ma trận đối xứng A Qua các phép biến đổi sơ cấp, đưa A về ma trận có dạng bậc thang B.Xét S là tập các phần tử khác không đầu tiên của từng hàng của B Có

A là ma trận xác định dương khi và chỉ khi S ⊂ R+

A là ma trận nửa xác định dương khi và chỉ khi S ⊂ R+∪ {0}

(d) (Chuẩn Sylvester) Ma trận A đối xứng là xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chínhcủa A là dương

(e) (Mở rộng chuẩn Sylvester) Cho ma trận A đối xứng và tập S các ma trận con của A được hìnhthành bằng cách xóa đi cột thứ i1, i2, , ik và hàng thứ i1, i2, , ik với k < n và 1 ≤ i1, , ik≤ n

A xác định dương khi và chỉ khí định thức của các ma trận trong S là không âm

(f) Một ma trận A là ma trận xác định dương nếu tồn tại ma trận vuông R sao cho A = RTR Nếucác cột/hàng R độc lập tuyến tính thì A xác định dương

(g) Một ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính không âm (dương) thì ma trận nửa xácđịnh dương (xác định dương)

• f (x1, x2) = x3+ x2− 3x1− 2x2+ 12

Có ∇f (x) = 0 ⇔

(3x2− 3 = 02x2− 2 = 0 ⇔ (x1, x2) ∈ {(±1, 1)}

Có ∇2f (x) = 6x1 0

 Với x = (1, 1)T thì ma trận Hessan xác định dương, x = (−1, 1)T thì

ma trận Hessan không nửa xác định dương, không nửa xác định âm

Vậy hàm có 1 cực tiểu địa phương là (1, 1)T

• f (x1, x2) = x2+ x1x2+ x2+ 3(x1+ x2− 2)

Có ∇f (x) = 0 ⇔

(2x1+ x2+ 3 = 0x1+ 2x2+ 3 = 0 ⇔ (x1, x2) = (−1, −1)

Có ∇2f (x) =2 1

1 2

 Ma trận Hessan xác định dương với mọi x ∈ R2vì các định thức con chínhdương Do đó, hàm f là hàm lồi chặt

Vậy (−1, −1)T là điểm cực tiểu toàn cục của hàm

• f (x1, x2) = (x1− 4)2+ (x2− 6)2

Dễ thấy (4, 6)T là điểm cực tiểu toàn cục của hàm Hàm không còn điểm cực trị nào khác