Tài liệu tham khảo: Toán cao cấp 1 - Nguyễn Ngọc Giang

Ma trận

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

MT là mảng (bảng) các PT của hình chữ nhật được sắp thành các hàng ngang và các cột dọc

Ví dụ các mảng có các PT sau đây là MT

Trong trường hợp tổng quát, MT là mảng các PT hình chữ nhật gồm m hàng ngang và n cột dọc hay còn được gọi là MT cấp mn được biểu diễn như sau

A = a là PT của MT ik A nằm ở giao điểm của hàng i cột k

Trong kí hiệu biểu diễn MT, ta thường dùng dấu   , hay dấu  

MT có các PT có thể là số thực hay số phức Trong tài liệu tham khảo này, ta chỉ sử dụng MT có các PT là số thực Để biểu diễn A là MT cấp m n với PT nằm ở hàng i cột k là a thì ik , ta có thể viết dưới dạng

- MT gọi là MTV nếu nó có cùng số hàng và số cột (mn) Trong trường hợp tổng quát, MTV có dạng

- MT có tất cả các PT bằng 0 gọi là MTK Kí hiệu là 

- Người ta kí hiệu M m n  là tập hợp tất cả các MT cấp mn

- Người ta kí hiệu M là tập hợp tất cả các MTV cấp n n

A là MT có cấp với a 11 1,a 12  21,a 13 5, a 21  2,a 22  40,a 23 6.

) i Các PT a 11 ,a 22 , a 33 , ,a nn lập thành ĐCC, các PT

1, ( 1) 2, , 1 n n n a a  a lập thành đường chéo phụ

  gọi là MT chéo iii) MT

  gọi là MT đơn vị iv) MTV có tất cả PT nằm dưới (tương ứng phía trên) ĐCC đều bằng 0 được gọi là MTTG trên (dưới); v) MTV có tất cả các cặp PT đối xứng nhau qua ĐCC bằng nhau được gọi là MTĐX

, là các MT đơn vị

         là các MTĐX Định nghĩa 3

Hai MT A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các PT cùng vị trí bằng nhau, tức là

1.1.2 Các phép toán trên ma trận [5] Định nghĩa 4

Tổng hai MT cùng cấp là một MT thu được bằng cách cộng các PT tương ứng lại với nhau của hai MT gốc ban đầu ; nghĩa là nếu cả hai MT

A a và B [b ij ] có cùng cấp m n , thì

A  B  a b i m j  n Không có PC cho hai MT khác cấp

Nếu tất cả các MT A B và C có cùng cấp, thì ,

) a PC các MT có tính chất giao hoán, nghĩa là

) b PC có tính kết hợp, nghĩa là

) c Ta định nghĩa MT  là MT có tất cả các PT chỉ là số 0 Thế thì

Phép trừ hai MT được định nghĩa tương tự PC, chú ý rằng, các cấp của

MT cũng đều phải cùng cấp

Nếu là một MT có cấp mn, và với k là số thực thì ta định nghĩa

Nếu A và B là các MT cùng cấp và nếu k k là các đại lượng vô 1 , 2 hướng, thì ta có các tính chất sau:

A a  B  b  trong đó số cột của MT A bằng số hàng của MT B Ta gọi tích AB là MT [ ij m ] n

C  c  gồm m hàng n cột mà PT c ij được tính bởi công thức

p ij i j i j ip pj ik kj k c a b a b a b a b

Sơ đồ tính $c_{ij}$ có thể hình dung như sau: $c_{ij}$ là tổng các tích các phần tử tương ứng của hàng $i$ của ma trận $A$ nhân với cột $j$ của ma trận $B$.

Chú ý 1 Để thực hiện được PN hai MT thì số cột của MT (MT trước) phải bằng số dòng của MT (MT sau)

Nhận xét 3 a) Tích của hai MT khác MTK có thể là MTK; b) Với hai MT A và B thì AB nói chung khác BA

Nếu A B và C có cấp thích hợp sao cho các phép toán cộng và phép , toán nhân được xác định, thì

) ( ) ( ) a A BC  AB C (tính kết hợp);

) ( ) ) b A B C  AB AC (tính phân phối trái của PN đối với PC);

) ( ) c B C A BACA (tính phân phối phải của PN đối với PC);

) d Với mọi k , (k AB)(kA B)  A kB( )

) e I A m  A AI m , với A là MT cấp mn Định nghĩa 8

CV của MT A, kí hiệu là A t thu được bằng cách chuyển tất cả các dòng của A thành cột của A t , trong khi bảo tồn thứ tự của các dòng/cột Dòng đầu tiên của A sẽ trở thành cột đầu tiên của A, dòng thứ hai của A trở thành cột thứ hai của A t , và dòng cuối cùng của A thành cột cuối cùng của A Một t cách tổng quát nếu A[a ij m n ]  là MT cấp mn thì MT CV của A là A t sẽ là

MT A t [a ij n t ]  m cấp nm, ở đây a ij t  a ji

Nếu A là MTĐX thì Định nghĩa 9

) a MTV cấp k k(  n) được lập từ các PT nằm trên giao của dòng và cột của được gọi là MTC cấp của ii) MT M ij có cấp n 1 thu được từ bằng cách bỏ đi dòng thứ và cột thứ j được gọi là MTC của A ứng với PT a ij

Định thức và cách tính định thức

Cho MTV A[a ij n ] Giá trị ĐT của MT A là một số thực, kí hiệu là detA hay |A Giá trị này được định nghĩa theo quy nạp như sau : |

) a Xét MTV cấp 1 1: [ a 11 ] thì ta có |A|detAa 11

) c Xét MTV cấp lớn hơn

) det n 1, det 0; a I    b) Ta có quy tắc tam giác (chỉ dùng cho MT cấp 3)

) a ĐT của MT A bằng ĐT MT CV của nó detAdetA t b) ĐT đổi dấu khi ta đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau

9 a) ĐT bằng không nếu có hai dòng hoặc hai cột giống nhau; b) ĐT tăng lên k lần nếu ta nhân một dòng hay một cột với số thực k det(kA) k n detA với A là MTV cấp n

Nếu các PT của một dòng hay một cột có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài

Tính chất 6 a) ĐT bằng không nếu có ít nhất một dòng hay một cột bằng , hoặc có

2 dòng hay hai cột tỉ lệ với nhau b) Nếu ĐT có một dòng (hay một cột) mà mỗi PT là tổng của hai số hạng thì ta có thể tách thành tổng của hai ĐT;

Định thức bằng không nếu có một dòng hoặc một cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hoặc cột khác; định thức không thay đổi nếu cộng vào một dòng hoặc một cột với k lần một dòng hoặc cột khác.

Chú ý 3 a) Dòng (hay cột) mà ta muốn thay đổi thì không được nhân với bất kì số thực nào khác b) Các ĐT của MTTG bằng tích các PT trên đường chéo Định lí 1 (Định lí Laplace về khai triển ĐT)

Cho MT Gọi là PBĐS của Ta có khai triển Laplace như sau:

10 i) Công thức khai triển ĐT của A theo cột thứ j ii) Công thức khai triển ĐT của A theo dòng thứ i

Biến đổi sơ cấp Tác dụng

Nhân một dòng với một số k0 ĐT nhân với k Đổi chỗ hai dòng ĐT đổi dấu

Cộng k lần dòng r vào dòng s ĐT không đổi

Nếu là các MTV cấp n thì

Ma trận nghịch đảo

MTV được gọi là KN nếu tồn tại MTV cùng cấp sao cho

MT ở định nghĩa trên nếu tồn tại thì duy nhất Ta gọi MT này là MTNĐ của kí hiệu Lúc này A gọi là khả đảo Định lí 2

MT KN khi và chỉ khi (ta nói A không suy biến) Định nghĩa 12

Cho MT , MT , trong đó là các PBĐS, được gọi là MT phụ hợp của A

   Các PBĐS của MT A là

Nếu KN thì MTNĐ của được tính bởi công thức

  và Khi đó b) Nếu KN thì cũng KN và c) Nếu hoặc thì tồn tại và d) Nếu KN thì cũng KN và

Hạng của ma trận

Cho MT ĐT của MTC cấp được gọi là ĐT con cấp của Định lí 4

Nếu MT có tất cả các ĐT con cấp đều bằng 0 thì các ĐT con cấp cao hơn cũng bằng 0 Định nghĩa 14

Cấp cao nhất của ĐT con khác của MT được gọi là hạng của MT kí hiệu là hay rank( )A

Nếu là MT thì ta quy ước

Tính chất 7 a) r A( ) r A( t ); b) Nếu A[a ij m n ]   thì 1 r A( )min{ , }.m n

12 c) Nếu là MTV cấp n thì r A( )  n det( )A  0 Định nghĩa 15

Trong một MT, PT khác đầu tiên từ trái sang phải của một dòng được gọi là PT cơ sở của dòng đó Định nghĩa 16

MT bậc thang là MT khác không có cấp thỏa hai điều kiện sau: a) Các dòng bằng không ở phía dưới các dòng khác không; b) PT cơ sở của một dòng bất kì nằm bên phải PT cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó

Các phép biến đổi sơ cấp dòng a) Đổi chỗ 2 dòng cho nhau; b) Nhân một dòng cho một số khác c) Nhân một dòng cho một số bất kì rồi cộng vào dòng khác

Bằng cách thay dòng bằng cột ta có PBĐSC trên cột

Nhận xét 7 a) Các PBĐSC không làm thay đổi hạng của MT; b) Một MT khác bất kì đều có thể đưa về dạng ma trân bậc thang sau một số hữu hạn các PBĐSC; c) Tìm hạng của MT bằng PBĐSC:

- Đưa MT cần tìm hạng về dạng bậc thang;

- Số dòng khác không của MT bậc thang chính là hạng của MT đã cho.

Giải phương trình ma trận

a) MT X thỏa mãn AX  B (A khả đảo) thì X  A B  1 b) MT X thỏa mãn XAB (A khả đảo) thì X  A B  1

Ứng dụng của ma trận và định thức trong KT

Một CH bán ba loại SP A B và , C Biết rằng buổi sáng CH bán được số SP A B C lần lượt là , , 20, 25, 30 Hãy lập MT biểu diễn số SP A B và C , mà CH bán được trong buổi sáng

Gọi X là MT biểu diễn số SP ,A B và C mà CH bán được trong buổi sáng Ta có

Có 2 CH kề nhau cùng buôn bán mặt hàng túi xách và thỏi son Biết rằng, trong 3 ngày đầu khai trương 2 CH bán được là:

Ngày thứ 1 Ngày thứ 2 Ngày thứ 3

CH 1 25 túi, 4 thỏi son 15 túi, 2 thỏi son 20 túi, 5 thỏi son

CH 2 35 túi, 2 thỏi son 10 túi, 4 thỏi son 8 túi, 3 thỏi son Hãy lập MT biểu diễn doanh thu mỗi mặt hàng của từng CH

Gọi A là MT biểu diễn doanh thu túi xách của CH 1, ta có:

Gọi B là MT biểu diễn doanh thu túi xách của CH 2, ta có:

Gọi X là MT biểu diễn doanh thu thỏi son của CH 1, ta có:

Gọi Y là MT biểu diễn doanh thu thỏi son của CH 2, ta có:

Một tổng ĐL bán ba loại SP là xe tay ga, xe số và xe đạp điện Biêt rằng, buổi sáng tổng ĐL bán được 18 xe tay ga, 14 xe số, 22 xe đạp điện, buổi chiều tổng ĐL bán được 20 xe tay ga, 12 xe số, 21 xe đạp điện Hãy lập MT biểu diễn số SP xe tay ga, xe số và xe đạp điện mà CH bán được trong cả hai buổi

Gọi X là MT biểu diễn số SP xe tay ga, xe số và xe đạp điện mà tổng ĐL bán được trong buổi sáng, ta có

Gọi Y là MT biểu diễn số SP xe tay ga, xe số và xe đạp điện mà tổng ĐL bán được trong buổi chiều, ta có

MT biểu diễn số SP xe tay ga, xe số và xe đạp mà tổng ĐL bán được trong cả hai buổi là

Một CT có 2 CH, bán bốn mặt hàng là chăn, ga, gối đệm DS bán hàng của CT vào tháng 1 / 2021 là

DS bán hàng của CT vào tháng 2 / 2021 là

Lập MT biểu diễn tổng DS bán hàng cả tháng 1 và tháng 2 năm 2021 Gọi A là MT biểu diễn DS bán hàng tháng 1 của CT Ta có

Gọi B là MT biểu diễn DS bán hàng tháng 2 của CT Ta có

MT biểu diễn tổng DS bán hàng của CT cả tháng 1 và tháng 2 năm

Một CT có 2 CH, bán bốn mặt hàng là chăn, ga, gối đệm Lượng hàng tồn kho năm 2020 là

Lập MT biểu diễn lượng tồn kho của chăn, ga, gối, đệm sau tháng

Gọi A là MT biểu diễn DS bán hàng tháng 1 của CT Ta có

Gọi D là MT biểu diễn lượng hàng tồn kho năm 2020 Ta có

MT biểu diễn lượng tồn kho của chăn, ga, gối, đệm sau tháng 2 / 2021 là:

Một CT có 3 CH, bán hai mặt hàng là trà và cà phê Lượng hàng tồn kho năm 2020 là

Lập MT biểu diễn lượng tồn kho của chăn, ga, gối, đệm sau tháng

Gọi D là MT biểu diễn lượng hàng tồn kho năm 2020 Ta có

MT biểu diễn lượng tồn kho của chăn, ga, gối, đệm sau tháng 2 / 2021 là:

Một ĐL có 3 loại SP là trà, cà phê và ca cao được bán cho ba CH là

CH 1, CH 2 và CH 3 Giả sử DS bán hàng trong mỗi tháng của ĐL là như nhau được cho bởi bảng sau

Lập MT biểu diễn DS bán hàng cả năm của ĐL

Gọi A là MT biểu diễn DS bán hàng tháng mỗi tháng của ĐL Ta có

MT biểu diễn DS bán hàng cả năm của ĐL là

Một ĐL có 2 loại SP là xe tay ga, xe số được bán cho ba CH là CH 1,

CH 2 và CH 3 Giả sử DS bán hàng trong mỗi tháng của ĐL là như nhau được cho bởi bảng sau

Lập MT biểu diễn DS bán hàng trong quý I của ĐL

Gọi A là MT biểu diễn DS bán hàng tháng mỗi tháng của ĐL Ta có

MT biểu diễn DS bán hàng trong quý I của ĐL là

Một CT có 2 CH, bán bốn mặt hàng là chăn, ga, gối đệm với giá bán lần lượt là 1200000; 1500000; 400000; 4800000 đồng DS bán hàng của CT vào tháng 1 / 2021 là

Lập MT biểu diễn doanh thu bán hàng trong tháng 1 và tháng 2 năm

MT biểu diễn doanh thu bán hàng của CT trong tháng 1 là

Một CT có 3 CH, bán hai mặt hàng là trà và cà phê với giá bán lần lượt là 400000; 600000 đồng

DS bán hàng của CT vào ngày 1 / 2021 là

Lập MT biểu diễn doanh thu bán hàng của CT vào tháng 1 và tháng 2 năm 2021

Một nhóm người cùng đi du lịch Khi đi bằng tàu lửa thì chi phí là 1 triệu đồng/trẻ em và 2 triệu đồng/người lớn thì tổng chi phí là 38 triệu đồng

Khi về họ đi bằng máy bay với chi phí 4 triệu đồng/trẻ em và 7 triệu đồng/người lớn thì tổng chi phí là 142 triệu đồng Sử dụng MTNĐ để tìm số lượng trẻ em và người lớn có trong nhóm đó

Gọi x là số trẻ em có trong nhóm; y là số người lớn có trong nhóm; điều kiện: x y,  *

Tổng số tiền đi tàu lửa là:

2 38. x  y  Tổng số tiền đi máy bay là:

Vậy số trẻ em trong nhóm là 18 và số người lớn trong nhóm là 10

Một người quản lí 3 trang fanpage bán hàng Số lượng người thích và xem trang hàng tháng được liệt kê theo bảng dưới đây

Hãy lập MT biểu diễn số người thích và xem các trang fanpage trong từng tháng trên

MT biểu diễn số lượng người thích và xem các trang fanpage nước hoa, thỏi son và túi xách trong tháng 5 là:

Một nhà bán lẻ bán hai SP cà phê và trà tại hai CH ông Nam và bà Loan DS bán hàng của CH ông Nam trong 4 tuần qua là

DS bán hàng của CH bà Loan trong 4 tuần qua là

Lập MT biểu diễn tổng DS của nhà bán lẻ đối với hai mặt hàng trà và cà phê trong 4 tuần qua

Gọi A là MT biểu diễn DS bán trà và cà phê của CH ông Nam Ta có

Gọi B là MT biểu diễn DS bán trà và cà phê của CH bà Loan Ta có

MT biểu diễn tổng DS bán trà và cà phê của nhà bán lẻ đối với trà và cà phê trong 4 tuần qua là:

Để theo dõi sản lượng của hai chi nhánh A và B sản xuất bàn ăn và bàn làm việc, công ty đồ nội thất đã lập một bảng biểu biểu thị sản lượng của từng nhà máy tại các chi nhánh A và B với ký hiệu lần lượt là M và N Bảng biểu này được thể hiện ở cả hai tháng 1 và tháng 2 Từ đó, có thể lập một bảng biểu tổng hợp thể hiện tổng sản lượng của cả hai chi nhánh trong cả hai tháng.

MT thể hiện tổng sản lượng của hai chi nhánh trong cả hai tháng là

Xét một nền KT có ba ngành công nghiệp than đá, điện, thép và ba khách hàng 1, 2, 3 Giả sử mỗi khách hàng sẽ sử dụng một vài SP của mỗi ngành công nghiệp và mỗi ngành công nghiệp cũng sử dụng SP của các ngành khác Nhu cầu của mỗi khách hàng và mỗi ngành công nghiệp được biểu diễn bằng một vectơ cầu, trong đó các PT theo thứ tự lần lượt là than đá, điện, thép cần dùng bởi khách hàng và ngành công nghiệp Chẳng hạn vectơ cầu cho ba khách hàng là

D  D  D  và cho các ngành công nghiệp là

D  D  D  ở đây C E S lần lượt viết tắt cho các từ than đá, điện và thép , ,

) a Tổng cầu cho mỗi loại SP sử dụng bởi khách hàng là bao nhiêu?

) b Tổng cầu cho cho bởi các ngành công nghiệp là bao nhiêu?

) c Tổng các loại cầu là bao nhiêu? a) Tổng cầu cho mỗi loại SP sử dụng bởi khách hàng là:

D  D  D     b) Tổng cầu cho cho bởi các ngành công nghiệp là

Một ĐL có 3 loại SP là G G G được bán cho 1 , 2 , 3 2 đối tượng khách hàng C C Giả sử DS bán hàng trong tháng 1 1 , 2 được cho bởi bảng sau đây

DS bán hàng trong tháng 1 của ĐL có thể biểu diễn bởi bảng sau

  Giả sử DS bán hàng của đại lý trong 2 và 3 tiếp theo được bởi các MT sau:

Lập MT biểu diễn DS bán hàng của quý I của ĐL

MT biểu diễn DS bán hàng của quý I của ĐL là:

MT biểu diễn một người bán xe tay ga và xe số trong tháng một là

Biết rằng trong tháng 2, người đó bán được số xe gấp đôi so với tháng

1 Hãy lập MT biểu diễn số lượng xe tay ga và xe số bán được trong tháng 2

MT biểu diễn số lượng xe tay ga và xe số bán được trong tháng 2 là

Một xí nghiệp SX ra 3 loại SP X Y Z và phân phối hàng tuần cho , , 3 ĐL A B C với số lượng cho bởi bảng sau , ,

Giả sử giá nhập các SP X Y Z lần lượt là , , 450$, 602$, 1000$ Tính chi phí hàng tuần của mỗi ĐL;

Ta biểu diễn lượng hàng tiêu thụ hàng tuần và giá nhập hàng bởi các MT như sau

Chi phí hàng tuần của mỗi ĐL là

Một nhà sách có 100 cuốn từ điển, 70 cuốn sách dạy nấu ăn và 90 cuốn từ điển chuyên ngành Giả sử giá trị mỗi cuốn theo thứ tự lần lượt là

28USD, 22USD và 16USD Lập MT tính tổng giá trị của những cuốn sách đó

MT tính tổng giá trị của những cuốn sách là

Trong một bãi đỗ xe có 36 cái vừa là xe máy vừa là ôtô Bác bảo vệ đếm thấy có 100 bánh xe Sử dụng MTNĐ hãy tìm số xe máy và số ôtô

Gọi x là số xe máy và y là số ôtô, ta có HPT

Vậy có 22 cái xe máy và 14 cái ôtô.

Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán ma trận và định thức 26 CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chúng tôi sử dụng phần mềm Maple trong tất cả các phần ứng dụng phần mềm toán học của ba chương trong tài liệu tham khảo

1.7.1 Cách tạo một ma trận

1.7.1.1 Tạo một ma trận có các phần tử xác định

Câu lệnh: matrix(m, n, [Danh sách]) nhằm tạo một MT cấp mn Các PT được lấy ra theo thứ tự trong Danh sách (Danh sách) và xếp lần lượt theo từng hàng một

Matrix([Danh sách 1],…,[Danh sách m])

27 cho một MT có m hàng, mỗi hàng có n PT Danh sách là danh sách n PT hàng 1,…, Danh sách m là danh sách n PT hàng m

1.7.1.2 Tạo một ma trận vuông cấp n có các phần tử đƣợc tính theo công thức f, với f là hàm hai biến theo chỉ số i và j (chú ý viết Matrix)

1.7.1.3 Các ma trận đặc biệt

>Matrix(2); nhằm tạo một MTK và vuông cấp n

>Matrix(m, n); nhằm tạo một MTK và cấp mn

>Matrix(m, n, a); nhằm tạo một MT cấp mn có các thành phần ( , ). a i j

>Matrix(m, n, a); nhằm tạo một MT cấp mn có các thành phần a (a là một con số)

V:=Vector(Danh sách gồm n PT):

M:=Matrix(1 n, 1 n, V, shape = diagonal); nhằm tạo một MT đường chéo cấp n có các PT nêu trong danh sách

Matrix(n,shape=identity) nhằm tạo một MT đơn vị cấp n

Vetor([Danh sách]) nhằm tạo ra một vectơ cột có các thành phần được liệt kê trong Danh sách

Câu lệnh vector([Danh sách]) nhằm tạo ra một vectơ hằng có các thành phần được liệt kê trong Danh sách

Vector(n,g) nhằm tạo một vectơ cột có n thành phần được tính bởi công thức g

Câu lệnh vector(n,g) nhằm tạo một vectơ hàng có n thành phần được tính bởi công thức g

31 nhằm tạo một vectơ không n chiều

Vector(n, a), Vector[row](n,a) với a là một con số nhằm tạo một vectơ n chiều có tất cả các thành phần đều là a

Vector(n, a), Vector[row](n,a) với a là một tên nhằm tạo một vectơ n chiều có tất cả các thành phần đều là a

1.7.2 Cách tạo vectơ từ một ma trận

Row(A,i) lấy ra cho ta vectơ hàng thứ i của MT A

Row(A, i j) lấy ra cho ta vectơ từ hàng thứ i đến hàng thứ j của MT A

Column(A,i) lấy ra cho ta vectơ cột thứ i của MT A

Column(A, i j) lấy ra cho ta vectơ từ cột thứ i đến cột thứ j của MT A

Cho A là một vectơ dòng

SubVector(A, Danh sách) cho ta một vectơ được liệt kê bởi các vị trí trong danh sách

1.7.3 Cách tạo một ma trận con từ một ma trận

SubMatrix(X, [Danh sách chỉ số hàng], [Danh sách chỉ số cột]), ở đây:

Danh sách chỉ số hàng là Danh sách p chỉ số hàng cần chọn;

Danh sách chỉ số cột là Danh sách q chỉ số cột cần chọn

1.7.4 Đổi chỗ các hàng, các cột trong một ma trận

A:=Matrix swaprow(A, i, j) nhằm tạo một MT mới bằng cách hoán vị hai hàng i và j của MT A

A:=Matrix swapcol(A, i, j) nhằm tạo một MT mới bằng cách hoán vị hai cột i và j của MT A

1.7.5 Xóa các hàng, các cột trong một ma trận

A:=Matrix delrows(A, i i) nhằm xóa hàng thứ i của MT A

A:=Matrix delcols(A, i i) nhằm xóa cột thứ i của MT A

36 nhằm xóa hàng thứ i đến hàng thứ j của MT A

A:=Matrix delcols(A, i j) nhằm xóa cột thứ i đến cột thứ j của MT A

A:=Matrix delcols(delrows(A, i j), m n) nhằm xóa hàng thứ i đến j và cột m đến n của MT A

A:=Matrix minor(A,i,j) nhằm xóa một hàng thứ i và một cột thứ j của MT A

1.7.6 Ghép nối các vectơ và các ma trận

1.7.6.1 Ghép nối các ma trận và vectơ theo chiều ngang

Cho A là MT cấp mn, B là MT cấp m p, V là vectơ m chiều Câu lệnh with(linalg):

A:=Matrix B:=Matrix augment(A,B) hoặc concat(A,B) nhằm ghép hai MT A và B theo chiều ngang

A:=Matrix B:=Matrix V:=Vector augment(A,B,V) hoặc concat(A,B,V) nhằm ghép hai MT A, B và vec tơ V theo chiều ngang theo chiều ngang

A:=Matrix B:=Matrix V:=Vector augment(A,V,B) hoặc concat(A,V,B) nhằm ghép hai MT A, B và vec tơ V theo chiều ngang theo chiều ngang

1.7.6.2 Ghép nối theo chiều dọc

Cho A là MT cấp m p, B là MT cấp n p, V là vectơ p chiều Câu lệnh with(linalg):

A:=Matrix B:=Matrix stackmatrix(A,B) nhằm ghép hai MT A và B theo chiều dọc

A:=Matrix B:=Matrix V:=vector stackmatrix(A,V,B) nhằm ghép hai MT A và B theo chiều dọc

1.7.7 Tìm chiều của một vectơ và tìm cấp của ma trận cho trước

Câu lệnh with(linalg) Vectdim(V) cho ta biết số chiều của vectơ V

Câu lệnh with(linalg) A:=Matrix rowdim(A); coldim(A) lần lượt cho ta biết số hàng và số cột của MT A

Vậy cấp của MT A là 34

1.7.8 Cộng vào một hàng (hay cột) của ma trận một hàng (hay cột) khác sau khi nhân với một biểu thức

Câu lệnh addrow(A,i,j,bt) cho ta một MT bằng cách cộng vào hàng j của A hàng i sau khi nhân với biểu thức bt

Câu lệnh addcol(A,i,j,bt) cho ta một MT bằng cách cộng vào cột j của A cột i sau khi nhân với biểu thức bt

1.7.9 Nhân một hàng hay một cột với một biểu thức

Câu lệnh mulrow(A,i,bt) cho ta một MT bằng cách nhân hàng i của MT A với biểu thức bt

Câu lệnh mulcol(A,i,bt) cho ta một MT bằng cách nhân cột i của MT A với biểu thức bt

1.7.10 Mở rộng một ma trận

Câu lệnh extend(A,p,q,bt) cho ta một MT bằng cách thêm vào MT A p hàng, q cột mà các PT bổ sung đều là 

1.7.11 Chuyển vị một ma trận

Câu lệnh transpose(A) cho ta một MT là CV của MT A

1.7.12 Phép toán tuyến tính trên ma trận và vectơ

Cho các MT A và B là hai MT cùng cấp, m và n là các biểu thức Câu lệnh matadd(A,B,m,n) cho ta một MT là kết quả của phép tính mA nB

Cho U, V là hai vectơ cùng số chiều, ,m n là các biểu thức

Câu lệnh matadd(U,V,m,n) cho ta một vectơ là kết quả của phép tính mU nV

Có thể cộng hai vectơ cùng số chiều

1.7.13 Nhân vô hướng hai vectơ cùng số chiều

Câu lệnh multiply(U,V) cho ta đại lượng vô hướng là TVH của hai vectơ có cùng số chiều U và V

Khi thực hiện các phép toán trên vectơ, phần mềm Maple không phân biệt vectơ viết ở dạng hàng hay dạng cột

Cho MT A có cấp m n và MT B có cấp n p

Câu lệnh multiply(A,B) cho ta một MT có cấp là m p là tích của hai MT A và B

Câu lệnh eval(Bieu_thuc) cho ta phép tính một biểu thức bất kì trên các MT

* PC hai MT cùng cấp A và B được viết là A + B;

* PN một biểu thức bt với MT A được viết là bt*A;

* PN MT A với MT B được viết là A&*B;

* Có thể đưa các hàm bất kì tác động lên một MT với cách hiểu là các

PT của MT đều bị tác động bởi hàm bất kì đó

Chẳng hạn, với cos(A) thì mọi PT a ij của MT A đều biến thành cos(a ij )

Cho hai MT cùng cấp là a b c , m n p

Hãy thực hiện phép tính:

1.7.16 Tìm cơ sở của một hệ vectơ

Câu lệnh basis(Danh sách) cho ta một cơ sở của hệ vectơ được nêu trong Danh sách

RowSpace(A) cho ta một cơ sở của không gian sinh bởi hệ các vectơ hàng của MT A

ColumnSpace(A) cho ta một cơ sở của không gian sinh bởi hệ các vectơ cột của MT A

1.7.17 Hạng của một ma trận

Câu lệnh rank(A) cho ta biết hạng của MT A

1.7.18 Ma trận phụ hợp của một ma trận vuông

51 adjoint(A) cho ta một MT phụ hợp của MTV A

1.7.18 Định thức của một ma trận vuông

Câu lệnh det(A) cho ta ĐT của MTV A

1.7.19 Ma trận nghịch đảo của một ma trận không suy biến

Cho A là MTV không suy biến, tức det(A) khác 0

Câu lệnh inverse(A) hoặc evalm(A^(-1)) cho ta MTNĐ của MT A

Câu lệnh charmat(A,lambda) cho ta MT đặc trưng của MT A

1.7.21 Đa thức đặc trƣng Đa thức đặc trưng của MT A là ĐT của MT đặc trưng

1.7.13 Giá trị riêng của một ma trận

Câu lệnh eigenvalues(A) cho ta biết giá trị riêng của MT A

1.7.14 Vectơ riêng của một ma trận

Câu lệnh eigenvectors(A) cho biết vectơ riêng của MT A

1 [ 1 1 1] v    ứng với giá trị riêng  1 1 nghiệm đơn

2 [0 1 1] v   ứng với giá trị riêng  2 2 nghiệm đơn

3 [ 1 0 1] v   ứng với giá trị riêng  3  0 nghiệm đơn

CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Hệ phương trình tuyến tính viết dưới dạng tổng quát

Một PTTT n ẩn x x 1 , 2 , , x có dạng n

1 1 2 2 n n a x  a x   a x b ở đây a a 1 , 2 , ,a b là các số thực Ta gọi b là HSTD và n , a là các hệ số của i i x

Nếu các số thực s s 1 , 2 , , s thỏa mãn n

1 1 2 2 n n a s  a s   a s b thì ta nói rằng x 1  s x 1 , 2  s 2 , , x n  s n là nghiệm của phương trình

HPTTT đối với n ẩn x x 1 , 2 , , x là tập tất cả các PTTT đối với n ẩn n này và được biểu diễn như sau

 ở đây a ij và b là các số thực i

MT hệ số của HPTTT n ẩn là

Khi đó HPTTT được viết dưới dạng AX B được gọi là nghiệm của HPTTT nếu

2.1.3 Quy ƣớc 1 Để cho gọn, ta viết nghiệm dưới dạng  ( ,  1 2 , , n ).

Điều kiện tồn tại nghiệm

Xét HPTTT tổng quát Gọi là MT hệ số mở rộng được xác định như sau

HPT AX  B có nghiệm khi và chỉ khi ( )r A  r A( ).

Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ Cramer là HPTTT có số phương trình bằng với số ẩn và ĐT của MT hệ số là khác không

2.3.1.2 Định lí 1 (Định lí Cramer)

Hệ Cramer ( ) có nghiệm duy nhất là

56 trong đó nhận được bằng cách thay cột thứ j của MT bởi cột HSTD

2.3.2 Giải hệ bằng phương pháp Gauss [5]

Hay AX B Gọi A là MT hệ số mở rộng được xác định như sau

Dùng các PBĐSC trên dòng gồm:

+ Nhân một dòng với một số khác 0;

+ Nhân một dòng với một số khác 0 rồi cộng vào dòng khác đưa MT mở rộng về MT bậc thang dòng, xem xét số nghiệm của HPT từ đó thành lập HPT tương ứng để giải.

2.3.2.2 Định lí 2 (Định lí Kronecker – Capelly)

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát có dạng với ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng Khi đó:i) Nếu thì hệ vô nghiệm.ii) Nếu (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất.iii) Nếu thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

HPTTTTN có dạng viết dưới dạng MT

2.4.2 Chú ý 1 i) Do nên HPTTTTN luôn có nghiệm; ii) được gọi là nghiệm tầm thường của hệ; iii) Nghiệm được gọi là nghiệm không tầm thường

HPTTTTN có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi (n là số ẩn)

Nếu HPTTTTN có số phương trình bằng số ẩn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi

Giải HPTTTTN (bằng PP Gauss), giả sử HPTTTTN có nghiệm tổng quát phụ thuộc vào tham số Giả sử các tham số i) Cho Tính các còn lại theo công thức nghiệm tổng quát, ta được một nghiệm của hệ, kí hiệu ii) Tương tự ta thu được các nghiệm

Khi đó hệ nghiệm được gọi là hệ nghiệm cơ bản của HPTTTTN.

Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trong kinh tế

Cho biết HCUNG và HCAU của TT một loại hàng hóa là:

) a Tìm giá CB của TT;

) b Tìm lượng CB của mặt hàng

Bài giải a) Giá CB của TT là nghiệm của HPT

Q Q    P  P P Vậy giá CB của TT là

P  P  (đơn vị tiền) b) Lượng CB của mặt hàng là

Cho biết HCUNG và HCAU của TT một loại hàng hóa là:

) a Tìm giá CB của TT;

) b Tìm lượng CB của mặt hàng

Bài giải a) Giá CB của TT là nghiệm của HPT

Q Q    P  P P Vậy giá CB của TT là

P  P  (đơn vị tiền) b) Lượng CB của mặt hàng là

Cho biết HCUNG và HCAU của TT hai loại hàng hóa là:

Q Q lần lượt là lượng cung hàng hóa 1 và 2

Q Q lần lượt là lượng cầu hàng hóa 1 và 2

) a Khi TT CB hãy thiết lập HPTTT với ẩn số là P và 1 P 2

) b Xác định giá và lượng CB của hai mặt hàng

Bài giải a) Khi TT CB ta có HPT

 b) Giải HPT, ta có giá CB của hai mặt hàng là:

Lượng CB của hai mặt hàng là

Cho biết HCUNG và HCAU của TT hai loại hàng hóa là:

Q Q lần lượt là lượng cung hàng hóa 1 và 2

Q Q lần lượt là lượng cầu hàng hóa 1 và 2

) a Xác định giá và lượng CB của hai mặt hàng

) b Qua dấu các hệ số hãy bình luận:

- Mối quan hệ giữa hai SP;

- Tâm lí người cung, người cầu

Bài giải a) Khi TT CB, ta có HPT

Giải HPT ta có giá CB của hai mặt hàng lần lượt là:

Lượng CB của hai mặt hàng lần lượt là

Q      và Q 2     8 3 8 16 (đơn vị hàng hóa) b) Từ

- Khi P 1 tăng (còn P 2 không đổi) thì

Q giảm, đó là do kết quả

Q tăng vì hệ số của P 2  4 0.

SP I và II là thay thế cho nhau như cà phê (I) và trà (II) Khi giá trà lên (P 2 tăng) thì lượng cầu của trà giảm, do đó người ta chuyển sang uống cà phê

Q giảm Đó là do kết quả

Q tăng vì hệ số của P 1  2 0.

SP I và II thay thế cho nhau

Tâm lí của người mua:

- Khi mua SP I người mua chú ý giá của SP II Và khi mua SP II người ta chú ý giá của SP I

Tâm lí của người cung:

- Khi bán (hoặc SX) SP I người cung chỉ chú ý giá của SP I

- Khi bán (hoặc SX) SP II người cung chỉ chú ý giá của SP II

Cho biết HCUNG và HCAU của một loại hàng hóa có giá tính bằng cent là:

) a Hãy xác định giá CB và sản lượng CB

) b Hãy xác định giá CB và lượng CB nếu nhà nước đánh thuế 5 cent/mỗi đơn vị SP Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế này?

Bài giải a) TT CB khi

Giải HPT, ta có nghiệm của HPT là

P Q b) Khi Nhà nước đánh thuế 5 cent/mỗi đơn vị SP thì phương trình cung sẽ bị thay đổi Khi đó, với giá TT của mỗi đơn vị SP là P, người bán chỉ nhận được sau khi trừ thuế là P 5 Do đó, ta có HPT

Giải HPT, ta có nghiệm của HPT là

Như vậy, với mức thuế 5 cent/mỗi đơn vị SP đã khiến cho giá CB tăng lên từ 80 cent thành 82 cent và lượng CB giảm từ 40 đơn vị SP xuống còn 38 đơn vị SP Từ đó ta thấy, sau khi áp thuế, người mua phải trả thêm 2 cent/mỗi đơn vị SP, phần còn lại do người bán chịu

CT National Desk có kế hoạch mở rộng cung cấp dịch vụ bàn làm việc quốc gia, bao gồm cả Bờ Đông và Bờ Tây Đối với hoạt động tại Bờ Đông, chi phí cố định hàng năm ước tính là 22.500 đô la Chi phí biến đổi bao gồm phí thuê là 200 đô la/tháng cho mỗi người đăng ký và chi phí dịch vụ là 50 đô la/tháng cho mỗi người đăng ký.

Để đảm bảo tổng chi phí giữa hai kế hoạch là bằng nhau, ta cần tính toán số lượng sản phẩm cho mỗi kế hoạch sao cho tổng chi phí cố định cộng với tổng chi phí sản xuất của cả hai kế hoạch là như nhau Do chi phí sản xuất mỗi bàn giấy ở kế hoạch A là 90 USD, chi phí sản xuất mỗi bàn giấy ở kế hoạch B là 80 USD và chi phí cố định hàng năm của kế hoạch B là 18.000 USD, nên ta có phương trình: 90 * x + 18.000 = 80 * y, trong đó x và y lần lượt là số lượng bàn giấy sản xuất theo kế hoạch A và kế hoạch B trong năm tới.

Gọi số bàn giấy mà CT cung cấp cho Bờ Đông là x và Bờ Tây là y Tổng số bàn giấy là: x  y 800

Tổng chi phí hai bên là như nhau: 2250090x 1800080 y

Giải ra ta được: x350 và y  450 (bàn giấy)

Một CT có TN trước thuế là 312000USD Thuế của liên bang là 25% phần còn lại sau khi đã đóng thuế cho tiểu bang Thuế của tiểu bang là 10% phần còn lại sau khi đã đóng thuế cho liên bang Tìm thuế của liên bang và tiểu bang

Gọi thuế của liên bang là L (USD) và tiểu bang là T (USD)

Khi đó ta có: L 25%(312000T) và T 10%(312000 L)

Rút gọn ta được HPT: L0,25T 78000 và 0,1L T 31200

Một nhà SX hai loại SP A và B Trong mỗi đơn vị của SP A được bán, lợi nhuận là 8USD và mỗi đơn vị của SP B được bán, lợi nhuận là 11USD

Từ kinh nghiệm, người ta thấy rằng SP A được bán nhiều hơn SP B là 25%.

Năm tới, nhà SX mong muốn tổng lợi nhuận là 42000USD Hỏi có bao nhiêu đơn vị của mỗi SP phải được bán?

Gọi số SP loại A là a và loại B là b

Giải ra ta được: a 2500 và b 2000 (SP)

Cho biết HCUNG và HCAU của TT ba loại hàng hóa là:

Q Q Q lần lượt là lượng cung hàng hóa 1, 2 và 3

Q Q Q lần lượt là lượng cầu hàng hóa 1, 2 và 3

) a Xác định giá CB của ba mặt hàng

) b Xác định lượng CB của ba mặt hàng

Bài giải a) Khi TT CB, ta có HPT

Giải HPT ta có giá CB của hai mặt hàng lần lượt là:

P  P  và P 3 5 (đơn vị tiền) b) Giá CB của các mặt hàng 1, 2 và 3 lần lượt là:

Q    Q    và Q 3    2 5 8 2 (đơn vị hàng hóa)

Xét TT ba loại hàng hóa gồm chè cà phê, ca cao có HCUNG và HCAU tương ứng như sau:

Q    P Q   P  P  P (ca cao) Hãy thiết lập MH CB TT của ba loại hàng hóa trên Xác định giá và lượng cà phê ở trạng thái CB TT

Khi TT CB, ta có HPT

Vậy giá cà phê ở trạng thái CB TT là P 2 8 (đơn vị tiền)

Lượng cà phê ở trạng thái CB là 2P 2 16 (đơn vị hàng hóa)

Một trung tâm chăm sóc sức khỏe làm theo yêu cầu của khách hàng về ăn kiêng và bổ trợ vitamin cho mỗi khách hàng Trung tâm đề nghị 3 loại thuốc bổ trợ vitamin khác nhau, mỗi loại chứa số phần trăm của hạn định cho phép hằng ngày (RDA về vitamin ) A C và , D Một viên thuốc loại X cung cấp 40% vitamin A của RDA, 20% vitamin C của RDA và 10% vitamin D của

RDA Một viên thuốc loại Y cung cấp 10% vitamin A của RDA, 10% vitamin

C của RDA và 30% vitamin D của RDA Một viên thuốc loại Z cung cấp 10% vitamin A của RDA, 50% vitamin C của RDA và 20% vitamin D của

RDA Một nhân viên xác nhận có một khách hàng dùng 70% vitamin A của

RDA vitamin C của RDA, 90% vitamin D của RDA mỗi ngày Hỏi có bao nhiêu viên thuốc mỗi loại mà khách hàng đã dùng mỗi ngày

Gọi số viên thuốc loại X Y Z, , mà khách hàng đã dùng lần lượt là , , x y z

Vậy người đó đã dùng 1 viên loại X, 2 viên loại Y và 1 viên loại Z mỗi ngày

Một chuyên gia chăm sóc sức khỏe gia súc có thể lựa chọn trong số 4 loại thức ăn chăn nuôi khác biệt: A, B, C và D Mỗi loại thức ăn đều được đóng gói trong các bao có kích thước tương tự nhau và hàm lượng gam của từng chất dinh dưỡng trong mỗi bao được liệt kê trong bảng Đối với một con vật cụ thể, chuyên gia chăm sóc sức khỏe gia súc xác định rằng hỗn hợp các loại thức ăn tạo nên 65 gam chất dinh dưỡng loại N1 và 150 gam chất dinh dưỡng loại N2.

105 gam loại N Hỏi người chăm sóc gia súc cần phải đặt hàng bao nhiêu 3 bao đối với mỗi loại thực phẩm?

Gọi số bao mỗi loại thực phẩm , ,A B C D, lần lượt là a b c d, , ,

Giải HPT (1), (2), (3), ta được: a 3d 1,b 4 – 2 ,d c  4 d và d là ẩn tự do

Vì số bao loại B nguyên không âm nên b   0 d 2.

Nếu d  0 (tức không dùng loại D) thì a1,b  4 và c 4 (bao) Nếu d 1 thì a 4,b 2 và c3 (bao)

Nếu d  2 thì a 7,b 0 (tức không dùng loại B) và c 2 (bao)

Một nhà SX ba loại SP A B và , C Lợi nhuận cho mỗi đơn vị SP được bán của A B và C lần lượt là , 1USD, 2USD và 3USD Chi phí cố định là

17000USD cho mỗi năm, và chi phí SX cho mỗi đơn vị SP A B và C lần lượt , là 4USD USD và , 5 7USD Năm tới, tổng của cả 3 SP được SX và được bán là

11000 (đơn vị), và tổng lợi nhuận là 25000USD Hỏi có bao nhiêu đơn vị của mỗi loại SP cần phải SX trong năm tới nếu tổng chi phí là 80000USD ?

Gọi số SP loại , ,A B C lần lượt là , , a b c

Tổng đơn vị SP là: a  b c 11000

Giải ra ta được: a  2000,b  4000 và c 5000 (SP)

Một người được chỉ định của bác sĩ phải dùng 10 đơn vị vitamin A, 9 đơn vị vitamin D và 9 đơn vị vitamin E mỗi ngày Người này có thể chọn 3 nhãn hiệu vitamin dạng viên Nhãn X chứa 2 đơn vị vitamin A, 3 đơn vị vitamin D và 5 đơn vị vitamin E Nhãn Y chứa 1 đơn vị vitamin A, 3 đơn vị vitamin D và 4 đơn vị vitamin E Nhãn Z chứa 1 đơn vị vitamin A, 0 đơn vị vitamin D và 1 đơn vị vitamin E

) a Tìm tất cả các cách kết hợp có thể được của những viên thuốc mà nó cung cấp chính xác lượng vitamin được chỉ định

) b Nếu nhãn X có giá 1 cent một viên, nhãn Y là 6 cent, nhãn Z là 3 cent, có bao nhiêu cách kết hợp câu a để chi phí đúng 15) cent 1 ngày?

) c Cách kết hợp nào là ít chi phí nhất trong phần a)? Cách nào nhiều chi phí nhất?

Bài giải a) Gọi số viên thuốc loại X Y Z, , lần lượt là , , x y z

Giải ra ta được: x 7 – ,z y z – 4 và z là biến tự do

Ta có các cách kết hợp: , , )(x y z (3, 0, 4); (2, 1, 5); 1, 2, 6); (0, 3, 7).( b) Kiểm tra điều kiện x 6y 3z 15 với các cách kết hợp ở câu a), ta được: x3, y 0, z 4 c) Chi phí thấp nhất là 15 cent khi x 3, y 0, z 4

Chi phí cao nhất là 39 cent khi x0, y 3, z 7

  trong đó t là thuế suất TN

) a Xác định mức TNQD và CTIEU ở trạng thái CB;

) b Tính mức TNQD và CTIEU ở trạng thái CB với I 0 150,G 0 500

(đơn vị: tỉ VNĐ) và t  0,15 (15%)

68 a) Vậy TNQD và CTIEU CB là

Ta thấy Y và C phụ thuộc vào I 0 ,G 0 và t b) Với I 0 150,G 0 500,t 0,15, ta có

) a Hãy xác định mức TN và CTIEU quốc dân ở trạng thái CB Y C ,

X  Đơn vị tính I 0 ,G 0 , X là tỉ VNĐ; t là % 0

Lập HPT 2 ẩn Y và C , ta có

Các ĐT lần lượt là

  a) TN và CTIEU quốc dân CB là

Xét MH IS  LM với

) a Xác định mức TNQD và lãi suất CB;

) b Tính Y r khi , G 0  70;M 0 1500 (nghìn tỉ VNĐ)

Bài giải a) Phương trình đường IS là

Phương trình đường LM là

L M  Y  r  M Xác định TNQD và lãi suất CB từ hệ 2 phương trình 2 ẩn Y và r là:

Xét hệ MH IS  LM với

) a Thiết lập MH IS LM;

) b Giải MH bằng PP Cramer;

) c Nếu CTIEU chính phủ tăng 1 đơn vị thì TN CB thay đổi như thế nào?

Bài giải a) Phương trình đường IS là

Phương trình đường LM là:

  b) Giải MH bằng PP Cramer

Vậy nếu CTIEU chính phủ tăng 1 đơn vị thì TN CB tăng

Giả định nền KT có 3 ngành SX, MTHSKT là

) a Giải thích ý nghĩa con số 0, 4 trong MT A

) b Hãy cho biết tỉ phần giá trị gia tăng của các ngành đóng góp cho nền

) c Biết rằng mức cầu cuối cùng (tiêu dùng và xuất khẩu) là

Hãy xác định mức tổng cầu của mỗi ngành

Bài giải a) Con số 0,4 trong MT A có nghĩa là: để SX 1USD SP hàng hóa dịch vụ của mình ngành 1 phải trả cho ngành 2 là 0,4 để mua các yếu tố đầu vào b) Tỉ phần giá trị gia tăng của mỗi ngành là:

1 – 0,6 = 0 ,4 tương đương 40% c) Tổng cầu của mỗi ngành là

Giả sử nhu cầu của ngành mở đối với ngành 1 là 77, với ngành 2 là

154, với ngành 3 là 231 Tìm lượng SP cần thiết để thỏa mãn nhu cầu của ngành mở (đơn vị tính bằng triệu USD)

Tổng cầu của mỗi ngành là

Ta có hệ số ik ik k a x

 x nên ta xác lập mạ trận hệ số kĩ thuật như sau:

MT nhu cầu của ngành mở là

Giả sử trong một nền KT có hai ngành SX là ngành 1 và ngành 2 có MTHSKT là

Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán hệ phương trình tuyến tính

2.6.1 Phương pháp khử Gausse và Gausse – Jordan

83 gausselim(A) sẽ cho ta một MT là MT bậc thang dòng bằng PP Gauss

Câu lệnh gaussjord(A) sẽ cho ta một MT là MT bậc thang dòng bằng PP Gauss

Solve({Danh sách phương trình},{Danh sách ẩn}) cho ta nghiệm của HPT nêu trong Danh sách phương trình với các ẩn số nêu trong danh sách ẩn Maple coi các chữ khác ngoài Danh sách ẩn là các tham số

Cho A là MT cấp m n, V là vectơ cấp m

85 cho ta nghiệm của HPTTT dưới dạng MT AX V

Phương trình có vô số nghiệm, tong đó có một ẩn tự do Maple chọn ẩn tự do là

Cho MT A, B thỏa mãn AX = B trong đó X là MT ẩn

X:=linsolve(A,B); cho ta nghiệm của phương trình AX = B

Giải phương trình MT AX B

2.6.3 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Kernel(A) cho ta hệ nghiệm cơ bản của phương trình AX 

2.6.4 Tìm ma trận hệ số của một hệ phương trình và tìm một hệ phương trình khi đã biết ma trận hệ số

Câu lệnh genmatrix({Danh sách phương trình},{Danh sách ẩn}) cho ta biết MT hệ số của một HPTTT nêu trong danh sách phương trình

Câu lệnh geneqns(A, [Danh sách ẩn]) cho ta HPTTTTN có MT hệ số A cấp m n theo các ẩn nêu trong danh sách ẩn

Câu lệnh genmatrix({Danh sách phương trình},{Danh sách ẩn},’Tên vế phải’) cho ta MT hệ số có ghi nhớ vế phải Tên vế phải là một tên được đặt tùy ý cho vế phải

Câu lệnh geneqns(A, [Danh sách ẩn], Tên vế phải) khôi phục HPT ban đầu có vế phải

Câu lệnh genmatrix({Danh sách phương trình},[Danh sách ẩn], flag) cho ta MT mở rộng của HPT Chữ flag là chữ quy định trong lệnh

) a Lập MT hệ số mở rộng của HPTTT;

) b Lập MT bậc thang dòng bằng PP khử Gauss;

) c Lập MT bậc thang dòng bằng PP khử Gauss-Jordan;

88 a) MT hệ số mở rộng: b) PP khử Gauss: c) PP khử Gauss-Jordan

MT Vandermonde của n biểu thức {Biểu thức 1, biểu thức 2, …, biểu thức n} là một MTV cấp n có PT ở hàng i và cột j là (Biểu thức i) j-1

Từ định nghĩa này ta thấy ở cột 1 chỉ có các PT là 1

Vandermonde([Biểu thức 1, … Biểu thức n]) cho ta MT Vandermonde của hệ n biểu thức {Biểu thức 1, biểu thức 2, …, biểu thức n}

MT Toeplitz là MTĐX có các PT trên ĐCC và trên các đường song song với ĐCC (tính từ ĐCC dần trở ra) lần lượt là a a 1 , 2 , ,a n

Câu lệnh toeplitz([a1,a2,…,an]) cho ta MT Toeplitz

2.6.7 Ma trận Jacobi của một hàm nhiều biến

Jacobi của hệ hàm đã cho là một MTV cấp ,n có PT ở hàng i và cột j là i j f x

Ví dụ Jacobi của hệ 2 hàm 2 biến u x y( , ) và v x y( , ) là

Jacobian(A, [x1,…,xn]) cho ta Jacobi của vectơ hàm A( ( , ,f x 1 1 x n ), , f x j ( , , 1 x n ), , f x n ( , , 1 x n ))

Lập MT Jacobian của hệ 3 hàm 3 biến { ,x 3 x y xz 2 , }

2.6.8 Ma trận Wronski của hệ hàm một biến

Cho hệ n hàm một biến { ( ), ,f x 1 f x j ( ), , f x n ( )}

MT Wronski của hệ hàm đã cho là một MTV cấp n có PT ở hàng i, cột j là

 Vì vậy các PT ở hàng 1 chính là các hàm f x 1 ( ), , f x j ( ), , f x n ( )

Ví dụ Wronski của hệ 2 hàm 1 biến ( )u x và ( )v x là

  Câu lệnh wronskian(B,x) cho ta MT Wronski của vectơ hàm B ( ( ), ,f x 1 f x j ( ), , f x n ( ))

2.6.9 Ma trận Hessian của hàm nhiều biến

MT Hessian của hàm u là MTV cấp n có PT ở hàng i cột j là

Ví dụ MT Hessian của hàm u  f x y z t( , , , ) là MT

'' '' '' '' xx xy xz xt yx yy yz yt zx zy zz zt tx ty tz tt u u u u u u u u u u u u u u u u

Câu lệnh hessian(u, [Danh sách biến]) cho ta MT Hessian của hàm n biến

KHÔNG GIAN VECTƠ

Khái niệm và một số tính chất cơ bản

Cho là tập khác rỗng Nếu 10 tiên đề sau được thỏa mãn với mọi

, , u v w và mọi  ,  thì tập V được gọi là một KGV trên trường

+ V Với mỗi 5 : có sao cho

+ V 10 : trong đó là PT đơn vị của

Xét n là tập mà mỗi PT là một bộ n số thực có thứ tự ( ,x x 1 2 , , x n ), còn gọi là một vectơ n thành phần

PC và PN vô hướng lần lượt được định nghĩa như sau

Khi đó là một KGV

Cho là tập tất cả các MT cấp Với PC hai MT và PN MT với một số thực là PC và PN thông thường Khi đó là một KGV

93 i) Vectơ không và vectơ đối của là duy nhất; ii) Nếu thì (luật giản ước); iii) Với mọi thì ; iv) Với mọi thì ; v) Nếu thì hoặc với mọi

Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Cho KGV xét n vectơ Tổng được gọi là một THTT của vectơ

Nếu thì ta nói vectơ được biểu diễn (hay biểu thị) tuyến tính qua vectơ

Trong KGV , xét vectơ Khi đó i) Hệ được gọi là ĐLTT nếu thì   1  2   n 0; ii) Hệ được gọi là PTTT nếu tồn tại không đồng thời bằng 0 sao cho

3.2.3 Tính chất 2 i) Mọi hệ con của một hệ ĐLTT thì ĐLTT; ii) Hệ PTTT khi và chỉ khi có một vectơ của hệ này biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại; iii) Hệ chứa vectơ luôn PTTT; iv) Hệ gồm một vectơ PTTT khi và chỉ khi vectơ đó là , hệ gồm hai vectơ phụ tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỉ lệ u u u v u w v w u V 0u , ( 1)u u u 0 u ,u V

Không gian vectơ Euclide

Cho là một - KGV Một TVH trên là một ánh xạ thỏa các điều kiện sau với mọi , mọi i) ii) iii) iv) và

KGV trên cùng với TVH trên gọi là một KGV Euclide

Cho là KGV Euclide Với mỗi ta định nghĩa độ dài (hay chuẩn) của là một số thực không âm, kí hiệu x , xác định như sau

, x  x x Nếu x =1 thì được gọi là vectơ đơn vị

Với mỗi , ta có vectơ đơn vị 1 e x x

 x Đây gọi là sự chuẩn hóa vectơ

Cho là KGV Euclide Khi đó với mọi và mọi ta có: i ) x 0, x   0 x ; ii) x   x ; iii)  x y,  x y (bất đẳng thức Cauchy – Schwarz); iv) x  y x  y (bất đẳng thức tam giác).

Ứng dụng của không gian vectơ trong kinh tế 94 3.5 Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán về không gian vectơ 96

Một hãng SX 3 loại SP A B C với số giờ lần lượt là , , 6h/SP; 7h/SP;

4 30 'h /SP Hãy lập phương án tổng quát với số giờ tổng cộng 600 h Biểu diễn phương án tổng quát dưới dạng TVH của 2 vectơ

Gọi x y z, , là số SP tương ứng của , , A B C Thế thì

6x là số giờ để SX các SP loại A;

7y là số giờ để SX các SP loại B;

4,5z là số giờ để SX các loại SP loại C

Biểu diễn phương án dưới dạng vectơ là

Một doanh nghiệp đã sử dụng ba phương tiện quảng cáo là ti vi, kênh YouTube và báo mạng Họ ghi nhận được kết quả sau: khi quảng cáo trên ti vi, có 30.000 người chú ý với chi phí là 10 triệu đồng/lần Khi quảng cáo trên kênh YouTube, có 10.000 người chú ý với chi phí tương tự Cuối cùng, khi quảng cáo trên báo mạng, có 20.000 người chú ý với chi phí là 10 triệu đồng/lần.

) a Lập phương án dùng cả 3 phương tiện để có 4 triệu người chú ý hàng của hãng Dùng vectơ để biểu diễn phương án

) b Lập phương án dùng cả 3 phương tiện để sử dụng hết 1 tỉ 200 triệu đồng

) c Lập phương án thỏa cả a và ) b ).

Gọi , ,x y z lần lượt là số lần quảng cáo ở ti-vi, kênh youtube, báo mạng a) Thế thì:

30000x là số người chú ý hàng qua ti-vi;

10000y là số người chú ý hàng qua kênh youtube

20000z là số người chú ý hàng qua báo mạng

30x 10y 20z 4000 (đơn vị: ngàn người) b) Ta lấy đơn vị tiền là triệu đồng, thế thì ta có c) x10 y 10 z 101200 hay

120. x  y z c) Phương án thỏa cả a) và b) là

Một tòa án địa phương xử 3 loại án: I II và , III , với số giờ trung bình lần lượt là 8 ; 6h h và 4h cho mỗi vụ tương ứng Trong tháng sau tòa có thể bố trí tổng cộng 700 giờ xử Hãy lập kế hoạch cho tòa

Gọi x x 1 , 2 , x 3 lần lượt là số lần xử của các loại án ;I II III; Ta có

8x 6x  4x 700 Đây là phương trình bậc nhất ba ẩn có ( ) 1r A  nên ta chọn

Ta biểu diễn dưới dạng TVH như sau

Ví dụ cho x 1 10; x 2 10 thì ta có 80 60 4x 3 700 x 3 140

3.5 Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán về không gian vectơ

97 nhằm tạo ra một vectơ cột có các thành phần được liệt kê trong Danh sách

Câu lệnh vector([Danh sách]) nhằm tạo ra một vectơ hằng có các thành phần được liệt kê trong Danh sách

Vector(n,g) nhằm tạo một vectơ cột có n thành phần được tính bởi công thức g

Câu lệnh vector(n,g) nhằm tạo một vectơ hàng có n thành phần được tính bởi công thức g

Vector(n), Vector[row](n,0) nhằm tạo một vectơ không n chiều

Vector(n, a), Vector[row](n,a) với a là một con số nhằm tạo một vectơ n chiều có tất cả các thành phần đều là a

Vector(n, a), Vector[row](n,a) với a là một tên nhằm tạo một vectơ n chiều có tất cả các thành phần đều là a

3.5.2 Phép toán tuyến tính trên ma trận và vectơ

Cho U, V là hai vectơ cùng số chiều, ,m n là các biểu thức

Câu lệnh matadd(U,V,m,n) cho ta một vectơ là kết quả của phép tính mU nV

Có thể cộng hai vectơ cùng số chiều

3.5.3 Nhân vô hướng hai vectơ cùng số chiều

Câu lệnh multiply(U,V) cho ta đại lượng vô hướng là TVH của hai vectơ có cùng số chiều U và V

Khi thực hiện các phép toán trên vectơ, phần mềm Maple không phân biệt vectơ viết ở dạng hàng hay dạng cột.

Tiêu đề	Toán Cao Cấp 1
Tác giả	Nguyễn Ngọc Giang
Trường học	Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Chuyên ngành	Toán cao cấp
Thể loại	Tài liệu tham khảo
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	107
Dung lượng	2,9 MB