tập bài giảng hình học xạ ảnh lƣu hành nội bộ

144 0 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp
tập bài giảng hình học xạ ảnh lƣu hành nội bộ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Nó cũng không nằm ngoài mục đích nhằm làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phả

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 3

3

MỤC LỤC

Contents

MỤC LỤC 3

LỜI NÓI ĐẦU 7

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 10

1.4.1 Phương trình tham số của mphẳng 27

1.4.2 Phương trình tổng quát của mphẳng 28

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng 30

Trang 4

1.6.1 Chùm siêu phẳng 43

1.6.2 Tỉ số kép của bốn siêu phẳng thuộc chùm 43

1.6.3 Chùm bốn siêu phẳng điều hòa 46

1.7.3 Nguyên tắc đối ngẫu 50

1.7.4 Khái niệm và định lý đối ngẫu 52

1.8.4 Hai phẳng song song trong mô hình 57

1.8.5 Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn 58

2.1.5 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh 66

2.1.6 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin 68

2.1.7 Câu hỏi và bài tập áp dụng 69

Trang 5

2.3.2 Định lí thứ 2 82

2.3.3 Định lí thứ 3 83

Chương 3 SIÊU MẶT BẬC HAI XẠ ẢNH 84

§ 3.1 SIÊU MẶT BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH CỦA CHÚNG 84

3.1.1 Định nghĩa và kí hiệu 84

3.1.2 Giao của siêu mặt bậc hai và mphẳng 85

3.1.3 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 86

3.1.4 Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 87

3.1.5 Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong 2  P R và 2  P R 87

3.1.6 Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin 88

3.1.7 Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực 89

3.1.8 Bài tập áp dụng 91

§ 3.2 ĐIỂM LIÊN HỢP PHẲNG TIẾP XÚC SIÊU DIỆN LỚP HAI 92

3.2.1 Điểm liên hợp 93

3.2.2 Tính chất 93

3.2.3 Siêu phẳng đối cực và điểm kì dị 96

3.2.4 Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai 97

3.2.5 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến 97

3.2.6 Siêu diện lớp hai 99

Trang 6

3.4.7 Bài tập áp dụng 123

§ 3.5 BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ĐỐI HỢP CỦA ĐƯỜNG THẲNG 127

ĐỊNH LÍ DESARGUE THỨ HAI 127

3.5.1 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng 127

3.5.2 Điểm bất động của phép đối hợp 127

3.5.4 Chùm đường bậc hai và định lí Desargue thứ hai 129

3.5.5 Đối ngẫu của định lí Desargue thứ hai 130

3.5.6 Bài tập áp dụng 130

§ 3.6 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 133

3.6.1 Xây dựng mô hình 133

3.6.2 Cái tuyệt đối của không gian Ơclit 133

3.6.3 Một số kết quả của hình học Ơclit trong mô hình 135

3.6.4 Phương chính của siêu mặt bậc hai trong 2

Trang 7

LỜI NÓI ĐẦU

Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh biên soạn lần này, nằm trong khuôn khổ của cuộc đổi mới về chương trình đào tạo theo hình thức tiếp cận năng lực đầu ra của người học Nó cũng không nằm ngoài mục đích nhằm làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên Mặt khác, qua một thời gian dài thực hiện chương trình, sử dụng sách giáo trình cũ và giảng dạy tại trường ĐHSP Hà Nội 2, đến nay chúng tôi đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm của hệ thống tài liệu học tập của sinh viên, sự phù hợp của nó với trình độ đầu vào của sinh viên các trường đại học sư phạm và đặc biệt chúng tôi đã có cảm nhận về những khó khan đối với sinh viên khi học tập môn Hình học xạ ảnh Do đó tập bài giảng được biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ, cũng như nó sẽ khá phù hợp cho sinh viên sử dụng Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường ĐHSP Hà Nội 2 Tập bài giảng cũng có thể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học môn học này (nếu có sự đồng ý của trường ĐHSP Hà Nội 2)

Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung của tập bài giảng này dựa trên sự thay đổi về hình thức đào tạo của trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu ra và trình độ đầu vào của sinh viên trường ĐHSP Hà Nội 2 hiện nay và những năm gần đây Ngoài ra, nhóm tác giả cũng chú ý đến tính đến vai trò của môn học đối với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v đáp ứng nhu cầu học tập liên giữa các ngành, và tạo điều kiện cho người học có thể tự học và học lên cao hơn Cụ thể, tập bài giảng này phải trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THPT những kiến thức cần thiết, đầy đủ và vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt những phần liên quan trong chương trình toán THPT Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên Mặt khác, tập bài giảng này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể tự học và học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình Vì thế, nội dung tập bài giảng chứa đựng những điều rất cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu

Chúng ta trong cộng đồng của thế giới, đang sống cùng với hình học Euclid và cùng với một thực tế rằng hình học Euclid có thể mô tả thế giới xung quanh của chúng ta khá tốt Trong hình học Euclid, kích thước của những vật có độ

Trang 8

dài, hai đường thẳng cắt nhau xác định góc giữa chúng, hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau Hơn nữa các tính chất này là không thay đổi khi chúng ta thực hiện một phép biến đổi Euclid (chẳng hạn như phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay, …) Tuy nhiên, khi chúng ta xem xét quá trình xử lý của máy ảnh của một camera, chúng trở nên đơn giản để thấy rằng hình học Euclid thực sự không còn phù hợp nữa: độ dài và góc là không được bảo toàn, hai đường thẳng song song có thể cắt nhau

Trên thực tế hình học Euclid là một phần nhỏ của hình học xạ ảnh, giữa chúng còn có hai loại hình học khác là hình học aphin và hình học đồng dạng Các loại hình học này có mối quan hệ với nhau, để xem xét mối quan hệ giữa các loại hình học này người ta xem xét đến các mô hình: mô hình aphin của không gian xạ ảnh, mô hình xạ ảnh của không gian aphin, mô hình xạ ảnh của không gian Euclid, …

Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh này gồm ba chương:

Chương I Chương II Chương III

Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại Phần bài tập có một số lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ hội rèn luyện kĩ năng Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng nhiều bài tập càng tốt Để có thể sử dụng tập bài giảng này, người học cần được bổ sung kiến thức về số phức, nghiệm phức của một đa thức khi mà chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT

Giáo trình này được học sau học phần Đại số tuyến tính 1, Đại số tuyến tính 2 và Hình học tuyến tính khi mà người học được trang bị những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và hình học trực quan Khi giảng viên sử dựng tập bài giảng này để giảng dạy giá, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì tập bài giảng còn được sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học,

Trang 9

có nhiều ví dụ Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học Cũng như đã nói trên, Hình học nói chung và Hình học xạ ảnh nói riêng có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế ở THPT, do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán và áp dụng vào giải các bài tập ở THPT Muốn thế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng và chúng ta cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để đảm bảo giữa việc học lý thuyết ở lớp và thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên

Đối với người học, khi học theo tập bài giảng này này luôn luôn có giấy và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ nhất nhưng cũng rất hiện đại và hình học xạ ảnh được xây dựng dựa trên nền là Đại số tuyến tính Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới

Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng tạp bài giảng này sẽ đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của người dạy và bạn đọc Tuy nhiên, tập bài giảng cũng sẽ khó tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những sai sót làm cho tập bài giảng này ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích

Trang 10

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

   , ta nói vectơ u là vectơ đại diện của điểm U

Nhận xét 1.1.1.2 Hai vectơ uu (khác 0) cùng đại diện cho một điểm, tức là    u  u U khi và chỉ khi:

u ku, kK\ 0 

1.1.2 Phẳng trong không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.2.1 Cho không gian xạ ảnh PnW là không gian vectơ con m1 chiều của Vn1 m0

Trang 11

Ví dụ 1.1.2.2 1) Mỗi điểm là 0phẳng Thật vậy, với mỗi điểm ta có

2) Mỗi 1-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 2 chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là đường thẳng

3) Mỗi 2-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 3 chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là mặt phẳng

4) Mỗi (n-1)-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ n chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là siêu phẳng

Nhận xét 1.1.2.3 Mỗi mphẳng     W là không gian xạ ảnh m chiều liên kết với không gian vectơ W bởi song ánh :

 W : W

Việc chứng minh khẳng định của nhận xét này chỉ đơn giản là việc dùng định nghĩa và kiểm tra tính chất song ánh nên chúng tôi dành cho bạn đọc xem như là một bài tập thực hành

1.1.3 Hệ điểm độc lập xạ ảnh

Cho không gian xạ ảnh n

P là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với

K không gian vectơ n 1

V  bởi song ánh 

Định nghĩa 1.1.3.1 Ta gọi hệ gồm r điểm M M1, 2, ,Mrr1của không gian xạ ảnh n

P là hệ độc lập xạ ảnh nếu hệ gồm r vectơ m m1, 2, ,mr tương ứng đại diện cho các điểm là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong n 1

Trang 12

1) Hệ chỉ gồm 1 điểm luôn luôn là hệ điểm độc lập xạ ảnh 2) Hệ gồm 2 điểm độc lập xạ ảnh hai điểm đó phân biệt

3) Hệ gồm 3 điểm độc lập xạ ảnh  ba điểm đó không thẳng hàng

Tổng quát hơn những nhận xét ở trên, dùng lý luận của không gian véc tơ chúng ta sẽ có một đặc trưng cho hệ các điểm bất kì là độc lập xạ ảnh bởi kết quả của định lý sau :

Định lí 1.1.3.3 Hệ r điểm trong không gian xạ ảnh (r0) là độc lập xạ ảnh khi và chỉ khi chúng không tồn tại một r  2 phẳng xạ ảnh nào mà có thể chứa được r điểm đó

Chứng minh

Hệ M M1, 2, ,Mr là hệ độc lập xạ ảnh của Pn khi và chỉ khi hệ các vectơ đại diện m m1, 2, ,mr độc lập tuyến tính Như vậy m m1, 2, ,mr không cùng thuộc một không gian vectơ con r1 chiều, hay nói cách khác rằng hệ các điểm M M1, 2, ,Mr không cùng nằm trên một r  2 phẳng xạ ảnh

Trong hình học aphin chúng ta có một kết quả bảo rằng: Qua r điểm độc lập aphin bất kì luôn tồn tại duy nhất một (r-1)-phẳng aphin chứa các điểm đó Một kết quả tương tự cho các điểm độc lập xạ ảnh trong hình học xạ ảnh được phát biểu thành định lý sau đây :

Định lí 1.1.3.4 Có duy nhất một r 1 phẳng đi qua hệ r điểm độc lập xạ

Vì vậy có duy nhất r 1 phẳng     W đi qua M M1, 2, ,Mr

Kí hiệu Chúng ta kí hiệu M M1, 2, ,Mr là r 1 phẳng đi qua r điểm độc lập M M1, 2, ,Mr

Trang 13

1.1.4 Định lý Desargue thứ nhất

Định lí 1.1.4.1 Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A B C A B C, , ,   , , trong đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó, hai mệnh đề sau tương

Trang 14

Khi đó p là vectơ đại diện của điểm:

Xét 6 điểm A A R B B Q, , , , , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng cùng với ba đường thẳng AA BB QR, , đồng quy tại P Theo chứng minh trên, các

a Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng b Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chung

a Giao (theo nghĩa tập hợp) của hai phẳng nếu không rỗng là phẳng nào đó b p- phẳng và (n-p)–phẳng luôn luôn có điểm chung

c Giao của một siêu phẳng và một m-phẳng không nằm trên siêu phẳng đó là một (m-1)-phẳng

Bài 1.1.4

Cho U, V là các phẳng trong n

P Ta gọi cái phẳng bé nhất chứa U và V là tổng của U và V, và kí hiệu là U V Chứng minh rằng:

a U V là giao của tất cả các phẳng chứa cả U và V

Trang 15

b Dim U V  dimUdimVdimUV, nếu U V

Tổng của r điểm (mỗi điểm xem là một 0-phẳng) là cái phẳng có số chiều lớn nhất là bao nhiêu? Số chiều bé nhất là bao nhiêu? Khi nào chúng có thể đạt được các trường hợp tương ứng?

Bài 1.1.7

Hệ k + 1 điểm (k ≥ 2) của n

Pgọi là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát nếu

hệ đó không độc lập, nhưng mọi hệ con thực sự của nó đều độc lập Giả sửS S0, ,1 ,Sklà hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát

Chứng minh rằng nếu1  pk 2thì giao của

P cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho chúng đều không trùng với bốn điểm đã cho

Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường thẳng MQ, BD, NP cũng đồng quy và ngược lại

Trang 16

1.2 CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

  là không gian xạ ảnh có số chiều n trên trường K liên kết với không gian véc tơ n 1

V

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm của mô hình vectơ này là một không gian vectơ con 1 chiều của

không gian véc tơ n 1

V

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các không gian vectơ 1 chiều thuộc một không gian vectơ con m1 chiều của không gian véc tơ Vn1

1.2.2 Mô hình bó

Mô hình 1.2.2.1 Giả sử n 1

A  là không gian aphin n1 chiều và OAn1

Gọi B là tập các đường thẳng đi qua Ovà được gọi là bó đường thẳng tâm O

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh là một đường thẳng của n 1

A  đi qua O

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong cái phẳng m1 chiều của An1

1.2.3 Mô hình aphin

Mô hình 1.2.3.1 Xét siêu phẳng An của không gian aphin An1 có phương là không gian vectơ con n chiều V của nVn1

Chọn một điểm n

OA , và gọi B là bó đường thẳng tâm O trong không gian aphin An1

Trang 17

Khi đó, B là không gian xạ ảnh liên kết với n 1

là không gian xạ ảnh liên kết với n 1

V  thông qua song ánh

: Vn P      

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh trong mô hình aphin này hoặc là một điểm của không

Amphẳng aphin nào đó của không gian aphin An

- Hoặc là tập hợp m 1

V

 

 , với Vm1 là không gian vectơ con m1 chiều của không gian vectơ Vn1

Sinh viên (người đọc) vẽ hình minh hoạ cho các đối tượng xạ ảnh trong trường hợp này để hiểu rõ hơn về mô hình này Mô hình này cho phép ta nói rằng không gian xạ ảnh có thể được tạo ra từ không gian aphin bằng cách them vào không gian aphin các điểm ở vô cùng

Trang 18

S có thể xem là một mô hình của không gian xạ ảnh n chiều liên kết với n 1

Trang 19

a Hãy làm choSn1 trở thành không gian xạ ảnh n chiều

b Hãy chỉ ra cụ thể trong mô hình trên, các m-phẳng xạ ảnh là những tập nào? Cùng giống như bài tập trên hãy chỉ ra cụ thể một điểm là gì, một đường thẳng là gì trong mô hình này

Trang 20

1.3 TỌA ĐỘ XẠ ẢNH

1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.1.1 Cho không gian xạ ảnh n

P liên kết với K - không gian

vectơ n 1

V  Một tập hợp có thứ tự gồm n2 điểm S S0, , ,1 S E của n;  Pnđược gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì n1 điểm trong n2 điểm đó đều độc lập

Trong đó:

- Các điểm Si gọi là đỉnh thứ i của mục tiêu xạ ảnh, i0,n - Điểm E gọi là đỉnh đơn vị của mục tiêu

- Các mphẳng mn đi qua m1 đỉnh gọi là các mphẳng tọa độ - Đường thẳng S S ijij gọi là trục tọa độ

Định lí 1.3.1.2 Với mỗi mục tiêu xạ ảnh S S0, , ,1 S E , luôn tìm được n; 

một cơ sở e e0, , ,1 e của nVn1 sao cho vectơ ei là đại diện của đỉnh Si

i0,1, ,n và vetctơ e  e0 en là đại diện của điểm E Chứng minh

Lấy vectơ ei đại diện cho đỉnh Si và vectơ e đại diện cho điểm E

n1 đỉnh Si độc lập nên n1 vectơ ei độc lập tuyến tính trong n 1

Một mục tiêu xạ ảnh có thể có nhiều cơ sở đại diện, hai cơ sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh chỉ khác nhau một phép vị tự trong n 1

V

Trang 21

Thật vậy,

Cho hai cơ sở e e0, , ,1 e và ne e0 , , ,1 en cùng là cở sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh S S0, , ,1 S E khi và chỉ khi: n, 

Khi đó tọa độ x x0, , ,1 x của nx đối với cơ sở  eii0,n được gọi là tọa độ

của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh S Ei, i0,n

Kí hiệu:

 0, , ,1 n

Tính chất 1.3.2.2 Toạ độ của các điểm có các tính chất sau đây:

a) Nếu X x x0, , ,1 xn thì các xikhông đồng thời bằng 0 do véctơ đại

diện của điểm X là x 0

b) Vì các cơ sở đại điện cho cùng một hệ mục tiêu sai khác nhau một phép vị

cũng là tọa độ của điểm X

Do đó tọa độ của điểm X thường được kí hiệu dưới dạng sau:

Trang 22

Nhận xét 1.3.2.3 Các tính chất trên cho thấy sự khac biệt của không gian xạ

ảnh với không gian aphin và không gian Euclid Thật vậy:

- Trong P2 bộ số 0,0,0 không phải là tọa độ của bất cứ điểm nào, nhƣng 

Trong Pn, cho hai hệ mục tiêu xạ ảnh là S Ei; in0 và S Ei ; ni0 với hai hệ cơ sở đại diện lần lƣợt là  n0

Trang 23

Định nghĩa 1.3.3.1 Công thức (3) được gọi là công thức đổi mục tiêu xạ

 đại diện cho điểm E Từ đây suy ra hệ phương trình sau :

 , do hệ các vector ei độc lập tuyến tính nên detB0

Như vậy, hệ (4) là hệ Crammer nên có nghiệm duy nhất k k0, , ,1 k n

Đặt aijk bi ij thì

Trang 24

P , hãy xác định công thức đổi mục tiêu xạ ảnh đối với hai mục tiêu S S S E và 0, 1, 2, S S S E0   , ,12, , biết tọa độ các đỉnh

Trang 25

Gọi A là ma trận chuyển từ hệ cơ sở  e sang hệ cơ sở i  ei thì

Cho mục tiêu xạ ảnh S E trong không gian xạ ảnhi;  Pn Tìm điều kiện để điểmX x0:x1: :xn nằm trên m− phẳng tọa độ S S0, ,1 ,Sm

Bài 1.3.2

TrongPn với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho r điểmA A1, 2, ,Ar biết tọa độ của chúng là Ai ai0:ai1: :ain,i1,2, r.Tìm điều kiện để r điểm đó độc

Viết công thức đổi tọa độ trong 2

P trong các trường hợp sau đây: a) Từ mục tiêu S S S E0, 1, 2; sang mục tiêu S S S E 2, 0, ;1 

b) Từ mục tiêu S S S E0, 1, 2; sang mục tiêuS S S E0, ,12;  biết tọa độ điểm

E đối với mục tiêu thứ nhất là E (a0:a a1: 2)

c) Từ mục tiêu S S S E sang mục tiêu0, 1, 2; E S S S, 0, 1, 2

Bài 1.3.5

Trang 28

Thay các giá trị này vào n m phương trình còn lại của hệ (1) ta được một hệ gồm n m phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng sau:

Trang 29

Hệ (2) được gọi là phương trình tổng quát của mphẳng U

Ngược lại bằng biến đổi Gauss, mỗi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Trang 30

Phương trình (*) là phương trình tổng quát của đường thẳng AB

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng

Bộ số u u0, , ,1 un được gọi là tọa độ của siêu phẳng U

Như vậy nếu biết tọa độ của siêu phẳng thì siêu phẳng đó hoàn toàn được

Hệ gồm r siêu phẳng U U1, 2, ,Ur với tọa độ Ui ui0:ui1: :uin được gọi là độc lập nếu tọa độ của chúng làm thành ma trận  uij , i1,r, j0,n có hạng bằng r

Định lí 1.4.4.2

Giao của hệ gồm r siêu phẳng độc lập là một n r phẳng Ngược lại, mỗi mphẳng đều là giao của n m siêu phẳng độc lập

Trang 31

Thật vậy, nếu hệ đó có hạng bằng n m thì các điểm của   đều thuộc U

điều này trái với giả thiết

Vì hệ phương trình trên có hạng bằng n m 1 nên nó xác định một

m 1 phẳng

Hệ quả 1.4.4.5

- Hai siêu phẳng phân biệt của không gian xạ ảnh luôn luôn cắt nhau theo một n2phẳng

- Một siêu phẳng và một đường thẳng không thuộc siêu phẳng đó luôn luôn cắt nhau tại một điểm

Trang 33

Chứng minh định lí Papuyt (Pappus) trong 2

P : Cho 6 điểm phân biệt và

Trong P3cho phương trình tổng quát của hai đường thẳng Tìm điều kiện (về các hệ số của các phương trình) để hai đường thẳng đó không cắt nhau Chứng tỏ rằng, đó cũng là điều kiện để hai đường thẳng ấy không nằm trên một mặt phẳng

Bài 1.4.7

Trong P3cho phương trình tổng quát của hai đường thẳng d và d’ không có điểm chung và cho tọa độ của điểm M không nằm trên d và d’ Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt cả d và d’

Trang 34

§ 1.5 TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG

1.5.1 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng

Trong không gian xạ ảnh n

P , cho 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , trong đó 3 điểm A B C, , đôi một không trùng nhau

Giả sử với mục tiêu đã cho của n

P ta có phương trình tham số của đường

Từ tính chất của các toạ độ thuần nhất trên ta thấy tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng không phụ thuộc vào việc chọn các vector đại diện tương ứng cho các điểm

Trang 35

Từ đây có điều cần chứng minh

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có các tính chất sau:

Trang 38

1.5.4 Hàng điểm điều hòa

Định nghĩa 1.5.4.1

Trong không gian xạ ảnh cho bốn điểm thẳng hàng A B C D, , , Nếu

A B C D, , ,  1 thì cặp điểm C D, đƣợc gọi là chia điều hòa hai điểm A B,

Nếu A B C D, , ,  1 thì bốn điểm thẳng hàngA B C D, , , đƣợc gọi là một hàng điểm điều hòa

Trong Pn tập hợp 4 điểm A B C D, , , cùng nằm trong một mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng đƣợc gọi là hình bốn đỉnh toàn phần

Trang 39

Giao điểm của hai cạnh đối diện được gọi là điểm chéo, đó là: , ,P Q R

(chúng không thẳng hàng)

Đường thẳng đi qua hai điểm chéo gọi là đường chéo, đó là: PQ PR QR , , (chúng không đồng quy)

Định lí 1.5.5.2

Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm trên một đường chéo chia điều hòa cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo

Ngày đăng: 27/04/2024, 16:01

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan