tập bài giảng hình học xạ ảnh lƣu hành nội bộ

Nó cũng không nằm ngoài mục đích nhằm làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phả

KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

KHÔNG GIAN XẠ ẢNH VÀ CÁC PHẲNG

Cho V n  1 là không gian vectơ n1 chiều trên trường K, với n1

  Định nghĩa 1.1.1.1 ChoP là tập hợp khác rỗng bất kì Một không gian xạ ảnh n chiều trên trường K là bộ ba  P , ,  V n  1 , trong đó

Ta cũng gọi  P , ,  V n  1  là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với K không gian vectơ V n  1 bởi song ánh 

P hoặc P n Mỗi phần tử của P n đƣợc gọi là một điểm của không gian xạ ảnh P n

Với mỗi u0, u V n  1 thì    u   U P n , ta nói vectơ u là vectơ đại diện của điểm U

Nhận xét 1.1.1.2 Hai vectơ u và u (khác 0) cùng đại diện cho một điểm, tức là      u   u   U khi và chỉ khi: u ku, k  K \ 0  

1.1.2 Phẳng trong không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.1.2.1 Cho không gian xạ ảnh P n và W là không gian vectơ con m1 chiều của V n  1  m  0 

      đƣợc gọi là cái phẳng m chiều (mphẳng) của P n

Ví dụ 1.1.2.2 1) Mỗi điểm là 0phẳng Thật vậy, với mỗi điểm ta có

Với W  u là không gian véc tơ con 1 chiều của V thì dimW 1 Do đó

2) Mỗi 1-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 2 chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là đường thẳng

3) Mỗi 2-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 3 chiều qua song ánh p, nó còn đƣợc gọi là mặt phẳng

4) Mỗi (n-1)-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ n chiều qua song ánh p, nó còn đƣợc gọi là siêu phẳng

Nhận xét 1.1.2.3 Mỗi mphẳng        W là không gian xạ ảnh m chiều liên kết với không gian vectơ W bởi song ánh :

Việc chứng minh khẳng định của nhận xét này chỉ đơn giản là việc dùng định nghĩa và kiểm tra tính chất song ánh nên chúng tôi dành cho bạn đọc xem nhƣ là một bài tập thực hành

1.1.3 Hệ điểm độc lập xạ ảnh

Cho không gian xạ ảnh P n là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với

K không gian vectơ V n  1 bởi song ánh  Định nghĩa 1.1.3.1 Ta gọi hệ gồm r điểm M M 1 , 2 , ,M r  r  1  của không gian xạ ảnh P n là hệ độc lập xạ ảnh nếu hệ gồm r vectơ  m m 1, 2, ,m r  tương ứng đại diện cho các điểm là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong V n  1

Một hệ các điểm trong không gian xạ ảnh không độc lập xạ ảnh sẽ đƣợc gọi là hệ điểm phụ thuộc xạ ảnh

Ví dụ 1.1.3.2 Hệ gồm hai điểm phân biệt  A B ,  trong không gian P n luôn là hệ độc lập

Thật vậy, với hai điểm A, B bất kì trong không gian xạ ảnh ta có:

A   B k ku v u v độc lập tuyến tính

Từ đây dễ dàng có nhận xét sau:

1) Hệ chỉ gồm 1 điểm luôn luôn là hệ điểm độc lập xạ ảnh

2) Hệ gồm 2 điểm độc lập xạ ảnh hai điểm đó phân biệt

3) Hệ gồm 3 điểm độc lập xạ ảnh  ba điểm đó không thẳng hàng

Tổng quát hơn những nhận xét ở trên, dùng lý luận của không gian véc tơ chúng ta sẽ có một đặc trƣng cho hệ các điểm bất kì là độc lập xạ ảnh bởi kết quả của định lý sau : Định lí 1.1.3.3 Hệ r điểm trong không gian xạ ảnh (r0) là độc lập xạ ảnh khi và chỉ khi chúng không tồn tại một  r   2  phẳng xạ ảnh nào mà có thể chứa đƣợc r điểm đó

Hệ M M 1 , 2 , ,M r là hệ độc lập xạ ảnh của P n khi và chỉ khi hệ các vectơ đại diện m m 1 , 2 , ,m r độc lập tuyến tính Nhƣ vậy m m 1 , 2 , ,m r không cùng thuộc một không gian vectơ con  r  1  chiều, hay nói cách khác rằng hệ các điểm M M 1 , 2 , ,M r không cùng nằm trên một  r   2  phẳng xạ ảnh

Trong hình học aphin chúng ta có một kết quả bảo rằng: Qua r điểm độc lập aphin bất kì luôn tồn tại duy nhất một (r-1)-phẳng aphin chứa các điểm đó Một kết quả tương tự cho các điểm độc lập xạ ảnh trong hình học xạ ảnh được phát biểu thành định lý sau đây : Định lí 1.1.3.4 Có duy nhất một  r   1  phẳng đi qua hệ r điểm độc lập xạ ảnh cho trước

Gọi m m 1 , 2 , ,m r lần lƣợt là các vectơ đại diện của hệ r điểm độc lập:

M M M Khi đó hệ  m m 1, 2, ,m r  độc lập tuyến tính Do đó có duy nhất

W  m m m là không gian vectơ con r chiều chứa:

Vì vậy có duy nhất  r   1  phẳng        W đi qua M M 1, 2, ,M r

Kí hiệu Chúng ta kí hiệu M M 1 , 2 , ,M r là  r   1  phẳng đi qua r điểm độc lập M M 1 , 2 , ,M r

1.1.4 Định lý Desargue thứ nhất Định lí 1.1.4.1 Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A B C A B C, , ,   , , trong đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương: a) Ba đường thẳng AA BB CC, ,  đồng quy b) Giao điểm của các cặp đường thẳng AB vàA B ;BCvàB C ; CA và C A  là ba điểm thẳng hàng

) ab Giả sử AABBCCS

Gọi a b c a b c s, , , , , ,   lần lƣợt là các vectơ đại diện của các điểm

Do vectơ đại diện có thể sai khác thừa số khác 0 nên ta có thể chọn: s  a a Tương tự: s  b b, s  c c

Khi đó p là vectơ đại diện của điểm:

P AB A B  Tương tự, q   b c c b thì q là vectơ đại diện của điểm

QBCB C  r    a c c a thì r là vectơ đại diện của R ACA C 

Do p  q r 0 nên 3 điểm , ,P Q R thẳng hàng

ABA B P, BCB C Q, CAC A R và , ,P Q R thẳng hàng

Xét 6 điểm A A R B B Q, , , , , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng cùng với ba đường thẳng AA BB QR, , đồng quy tại P Theo chứng minh trên, các giao điểm

S  AABB, C ARBQ, C A R B Q thẳng hàng Vậy 3 đường thẳng AA BB CC, ,  đồng quy

Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh P 2 : a Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng b Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chung

Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh P 3 : a Có những cặp đường thẳng không có điểm chung (ta gọi chúng là chéo nhau) b Một đường thẳng và một mặt phẳng luôn luôn có điểm chung

Chứng minh các mệnh đề sau đây trong không gianP n : a Giao (theo nghĩa tập hợp) của hai phẳng nếu không rỗng là phẳng nào đó b p- phẳng và (n-p)–phẳng luôn luôn có điểm chung c Giao của một siêu phẳng và một m-phẳng không nằm trên siêu phẳng đó là một (m-1)-phẳng

Cho U, V là các phẳng trong P n Ta gọi cái phẳng bé nhất chứa U và V là tổng của U và V, và kí hiệu là U V  Chứng minh rằng: a U V  là giao của tất cả các phẳng chứa cả U và V b Dim U V     dim U  dim V  dim  U  V , nếu U   V  và: dim  U V    dim U  dim V  1, nếu U   V 

Trong m-phẳng, hệ điểm độc lập có thể có nhiều nhất là bao nhiêu điểm?

Tổng của r điểm (mỗi điểm xem là một 0-phẳng) là cái phẳng có số chiều lớn nhất là bao nhiêu? Số chiều bé nhất là bao nhiêu? Khi nào chúng có thể đạt được các trường hợp tương ứng?

Hệ k + 1 điểm (k ≥ 2) của P n gọi là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát nếu hệ đó không độc lập, nhƣng mọi hệ con thực sự của nó đều độc lập

Giả sử S S 0 , , 1 , S k là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát

Chứng minh rằng nếu1    p k 2thì giao của

S S S với S p  1 , S p  2 , , S k là một điểm P, và hệ S p  1 , S p  2 , , S P k , là hệ phụ thuộc ở vị trí tổng quát

Trong P n cho hệ điểm độc lập S S 0 , , 1 , S k Chứng minh rằng, phẳng

CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Mô hình 1.2.1.1 Cho V n  1 là K không gian vectơ bất kì và

Khi đó, theo định nghĩa   V n  1 , V n  1 ,   là không gian xạ ảnh có số chiều n trên trường K liên kết với không gian véc tơ V n  1

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm của mô hình vectơ này là một không gian vectơ con 1 chiều của không gian véc tơ V n  1

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các không gian vectơ 1 chiều thuộc một không gian vectơ con m1 chiều của không gian véc tơ V n  1

Mô hình 1.2.2.1 Giả sử A n  1 là không gian aphin n1 chiều và OA n  1 Gọi B là tập các đường thẳng đi qua Ovà được gọi là bó đường thẳng tâm O Xét ánh xạ:

     , x    x  d , trong đó d là đường thẳng đi qua O có vectơ chỉ phương x

Khi đó,  B V , n  1 ,   là không gian xạ ảnh

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh là một đường thẳng của A n  1 đi qua O

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong cái phẳng m1 chiều của A n  1

Mô hình 1.2.3.1 Xét siêu phẳng A n của không gian aphin A n  1 có phương là không gian vectơ con n chiều V n của V n  1

Chọn một điểm OA n , và gọi B là bó đường thẳng tâm O trong không gian aphin A n  1

Khi đó, B là không gian xạ ảnh liên kết với V n  1 bởi song ánh:

+ Nếu d//A n , tức là dV n ta đặt :

Khi đó  : B  P là song ánh

P A    V là không gian xạ ảnh liên kết với V n  1 thông qua song ánh

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh trong mô hình aphin này hoặc là một điểm của không gian aphin A n , hoặc là một không gian vectơ con 1 chiều của không gian véc tơ

+ Mỗi mphẳng xạ ảnh trong mô hình aphin này là:

- Hoặc là tập hợpA m   A m , trong đó A m là mphẳng aphin nào đó của không gian aphin A n

- Hoặc là tập hợp V m  1 , với V m  1 là không gian vectơ con m1 chiều của không gian vectơ V n  1

Sinh viên (người đọc) vẽ hình minh hoạ cho các đối tượng xạ ảnh trong trường hợp này để hiểu rõ hơn về mô hình này Mô hình này cho phép ta nói rằng không gian xạ ảnh có thể đƣợc tạo ra từ không gian aphin bằng cách them vào không gian aphin các điểm ở vô cùng

1.2.4 Mô hình xây dựng từ một trường

Mô hình 1.2.4.1 Cho K là một trường

K   x x x x K i n là một không gian véctơ (n 1) chiều trên trường K

Trong tập K n  1 \   0 ta đưa vào một quan hệ tương đương bởi:

Ta nói x tương đương với y nếu tồn tại số k  K \   0 sao cho: xk y

Dễ dàng chứng minh được mỗi lớp tương đươngcùng với véc tơ không là một phần tử của K n  1  là không gian xạ ảnh n1 chiều liên kết với không gian

Trong mô hình này ta có:

Mỗi điểm là là bộ tỉ lệ

 x 0:x 1: :x n  sao cho các số x 0 , , ,x 1 x n trong K không đồng thời bằng không

Gọi S n là siêu cầu thực trong không gian Ơclit E n  1 và gọi   S n là tập các cặp điểm xuyên tâm đối của S n (tập các phần tử của   S n có thể đồng nhất với tập các đường thẳng đi qua tâm của siêu cầu) a Chứng tỏ rằng,   S n có thể xem là một mô hình của không gian xạ ảnh n chiều liên kết vớiE n  1 b Hãy chỉ ra cụ thể trong mô hình trên, các m-phẳng xạ ảnh của  S n là những tập hợp nào? Đặc biệt, một điểm, một đường thẳng ở đây là gì?

Gọi S n  1 là siêu cầu thực trong không gian Ơclit n chiều E n ,S n  1  là tập hợp tất cả những điểm nằm trong và trên đoạn thẳng nối hai điểm xuyên tâm của siêu cầu S n  1 a Hãy làm choS n  1  trở thành không gian xạ ảnh n chiều b Hãy chỉ ra cụ thể trong mô hình trên, các m-phẳng xạ ảnh là những tập nào? Cùng giống như bài tập trên hãy chỉ ra cụ thể một điểm là gì, một đường thẳng là gì trong mô hình này.

TỌA ĐỘ XẠ ẢNH

Định nghĩa 1.3.1.1 Cho không gian xạ ảnh P n liên kết với K- không gian vectơ V n  1 Một tập hợp có thứ tự gồm n2 điểm  S S 0, , ,1 S E n ;  của P n đƣợc gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì n1 điểm trong n2 điểm đó đều độc lập Trong đó:

- Các điểm S i gọi là đỉnh thứ i của mục tiêu xạ ảnh, i0,n

- Điểm E gọi là đỉnh đơn vị của mục tiêu

- Các mphẳng  m  n  đi qua m  1 đỉnh gọi là các mphẳng tọa độ

- Đường thẳng S S i j  i  j  gọi là trục tọa độ Định lí 1.3.1.2 Với mỗi mục tiêu xạ ảnh  S S 0, , ,1 S E n ; , luôn tìm đƣợc một cơ sở  e e 0, , ,1 e n  của V n  1 sao cho vectơ e i là đại diện của đỉnh S i

 i  0,1, , n  và vetctơ e  e 0 e n là đại diện của điểm E

Lấy vectơ e i  đại diện cho đỉnh S i và vectơ e đại diện cho điểm E

Vì n1 đỉnh S i độc lập nên n1 vectơ e i  độc lập tuyến tính trong V n  1

0 0 1 1 n n ek e k e k e i 0 k   i 0,n vì nếu k 0 0 thì hệ vectơ  e e 1 , , , ,2 e e n   phụ thuộc tuyến tính, do đó n1 điểm S S 1 , 2 , ,S E n , không độc lập Đặt

 thì  e e 1, , ,2 e n  là cơ sở cần tìm Định nghĩa 1.3.1.3 Cơ sở nói trong định lý trên gọi là cơ sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh  S E i ,  i  0, n đã cho

Một mục tiêu xạ ảnh có thể có nhiều cơ sở đại diện, hai cơ sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh chỉ khác nhau một phép vị tự trong V n  1

Cho hai cơ sở  e e 0, , ,1 e n  và  e e 0 , , ,1 e n  cùng là cở sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh  S S 0, , ,1 S E n ,  khi và chỉ khi:

1.3.2 Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh Định nghĩa 1.3.2.1 Trong P n cho mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  i  0, n và điểm X bất kì Gọi   e i i n  0 cơ sở đại diện của hệ mục tiêu  S E i ;  n i  0 , x đại diện cho X Khi đó:

Khi đó tọa độ  x x 0, , ,1 x n  của x đối với cơ sở   e i i  0, n đƣợc gọi là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh  S E i ,  i  0, n

Tính chất 1.3.2.2 Toạ độ của các điểm có các tính chất sau đây: a) Nếu X  x x 0, , ,1 x n  thì các x i không đồng thời bằng 0 do véctơ đại diện của điểm X là x 0 b) Vì các cơ sở đại điện cho cùng một hệ mục tiêu sai khác nhau một phép vị tự, nên

  ,  kx kx 0, 1, ,kx n  cũng là tọa độ của điểm X

Do đó tọa độ của điểm X thường được kí hiệu dưới dạng sau:

X  x x x c) Đối với mục tiêu  S E i ;  n i  0 , tọa độ các đỉnh S i và điểm đơn vị là:

Nhận xét 1.3.2.3 Các tính chất trên cho thấy sự khac biệt của không gian xạ ảnh với không gian aphin và không gian Euclid Thật vậy:

- Trong P 2 bộ số 0,0,0 không phải là tọa độ của bất cứ điểm nào, nhƣng  trong A 3 hoặc E 3 thì bộ đó là tọa độ của điểm gốc mục tiêu tọa độ

- Hoặc nhƣ trong P 2 thì hai bộ số  1,0, 2   và   1,0,2  là tọa độ của cùng một điểm xạ ảnh, nhƣng trong A 3 hoặc E 3 thì hai bộ đó là tọa độ của hai điểm khác nhau

1.3.3 Đổi mục tiêu xạ ảnh

Trong P n , cho hai hệ mục tiêu xạ ảnh là  S E i ;  i n  0 và  S E i  ;  n i  0 với hai hệ cơ sở đại diện lần lƣợt là   e i i n  0 ,   e i ' n i  0

Cho điểm X bất kì với tọa độ lần lƣợt trong hai mục tiêu trên là

Giả sử ma trận A   a ij n 1

  là ma trận chuyển từ hệ cơ sở   e i i n  0 sang hệ cơ sở   e i ' n i  0 của không gian vectơ liên kết

Từ (1), (2) ta suy ra: ij 0

    (3) Định nghĩa 1.3.3.1 Công thức (3) đƣợc gọi là công thức đổi mục tiêu xạ ảnh

Ma trận A đƣợc gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu  S E i ;  n i  0 sang mục tiêu

Nhận xét 1.3.3.2 Nếu kí hiệu:

  Công thức (3) còn được viết dưới dạng ma trận như sau : kx Ax

1.3.4 Cách xác định ma trận chuyển

Phương pháp 1.3.4.1 Giả sử trong hệ mục tiêu  S E i ;  i n  0 ta có tọa độ các đỉnh của hệ mục tiêu  S E i  ;  n i  0 nhƣ sau :

Vậy vectơ e i  đại diện cho S i  có tọa độ đối với cơ sở   e i là:

Từ đây suy ra hệ phương trình sau :

  , do hệ các vector e i  độc lập tuyến tính nên detB0 Nhƣ vậy, hệ (4) là hệ Crammer nên có nghiệm duy nhất  k k 0, , ,1 k n  Đặt a ij k b i ij thì

  là ma trận chuyển cần tìm

Ví dụ 1.3.4.2 Trong P 2 , hãy xác định công thức đổi mục tiêu xạ ảnh đối với hai mục tiêu  S S S E 0, 1, 2,  và  S S S E 0   , ,1 2, , biết tọa độ các đỉnh , 0,1,2

S i i  và điểm E đối với mục tiêu  S S S E 0, 1, 2,  là:

Gọi e e e e 0    , , , 1 2 lần lƣợt là các vector đại diện cho các điểm S S S E 0    , 1 , 2 ,

Do đó có thể chọn cơ sở đại diện   e i ' n i  0 cho hệ mục tiêu  S S S E 0   , ,1 2, nhƣ sau :

Gọi A là ma trận chuyển từ hệ cơ sở   e i sang hệ cơ sở   e i thì

Nhƣ vậy, công thức đổi mục tiêu xạ ảnh đối từ mục tiêu  S S S E 1, 2, 3,  sang

Cho mục tiêu xạ ảnh  S E i ; trong không gian xạ ảnhP n Tìm điều kiện để điểmX  x 0:x 1: :x n  nằm trên m− phẳng tọa độ S S 0 , , 1 ,S m

TrongP n với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho r điểmA A 1 , 2 , ,A r biết tọa độ của chúng là A i  a i 0:a i 1: :a in ,i1,2, r.Tìm điều kiện để r điểm đó độc lập

Trong P 2 với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho các điểm

A a a a B b b b C  c c c Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:

Viết công thức đổi tọa độ trong P 2 trong các trường hợp sau đây: a) Từ mục tiêu  S S S E 0, 1, 2; sang mục tiêu  S S S E 2, 0, ;1  b) Từ mục tiêu  S S S E 0, 1, 2; sang mục tiêu S S S E0, ,1 2;  biết tọa độ điểm

E đối với mục tiêu thứ nhất là E (a 0 :a a 1 : 2 ) c) Từ mục tiêu  S S S E 0, 1, 2; sang mục tiêu E S S S, 0, 1, 2 

Trong P 3 cho mục tiêu xạ ảnh  S S S S E 0, ,1 2, 3;  và các điểm

S     S 2 (0 : 0 :1: 1),S  3 (1: 0 : 0 : 1). Chứng minh rằng: S S S S E 0   , ,1 2, 3; là một mục tiêu xạ ảnh

Tìm ma trận chuyển từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai.

PHƯƠNG TRÌNH CỦA m  PHẲNG

Trong không gian xạ ảnh P n cho mục tiêu xạ ảnh  S E i ,  i  0, n , m  phẳng U xác định bởi m1 điểm A A 0 , 1 , ,A m độc lập Gọi a i là vector đại diện của điểm

Do m1 điểm A A 0 , 1 , ,A m độc lập nên m1 vector a a 0 , , , 1 a m độc lập tuyến tính Đặt

1 rankA m Cho điểm X  x 0:x 1: :x n U có vector đại diện là x x 0:x 1: :x n , từ

Suy ra tồn tại các số t 0 , t , , t 1 m K sao cho xt a 0 0 t a 1 1   t a m m , t i không đồng thời bằng 0, i0,m

Từ đây ta có hệ phương trình sau:

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của mphẳng U , với 1 m tham số t t 0 , , , 1 t m không đồng thời bằng 0

 Phương trình (1) có thể viết dưới dạng ma trận:

B b b b Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

Trong P 2 ,   AB có phương trình tham số là :

1.4.2 Phương trình tổng quát của mphẳng

Do rankA m 1 Từ hệ (1) ta rút ra m1 phương trình độc lập tuyến tính theo các biến t t 0 , , , 1 t m

Giải hệ phương trình Cramer tìm được các tham số t i là các biểu thức dạng bậc nhất đối với x x 0 , , , 1 x m

Thay các giá trị này vào n m phương trình còn lại của hệ (1) ta được một hệ gồm n m phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng sau:

 Hoặc có thể viết ngắn gọn nhƣ sau:

B b , i1,n m , j0,n có hạng bằng n m Định nghĩa 1.4.2.2

Hệ (2) được gọi là phương trình tổng quát của mphẳng U

Ngược lại bằng biến đổi Gauss, mỗi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Ax 0 trong đó: rankA n m và

đều xác định cho ta một mphẳng

Với m n 1, phương trình tổng quát của siêu phẳng U

Trong P 2 , phương trình tham số

Thay các giá trị của k l, vào (3) ta đƣợc:

 a b 2 1a b x 1 2  0  a b 0 2 a b x 2 0  1 a b 0 1 a b x 1 0  2 0 (*) Phương trình (*) là phương trình tổng quát của đường thẳngAB

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng

Trong P n với mục tiêu đã chọn, siêu phẳng U có phương trình tổng quát:

0 0 1 1 n n 0 u x u x  u x  Trong đó, các u i không đồng thời bằng 0 Định nghĩa 1.4.3.1

Bộ số  u u 0, , ,1 u n  đƣợc gọi là tọa độ của siêu phẳng U

Nhƣ vậy nếu biết tọa độ của siêu phẳng thì siêu phẳng đó hoàn toàn đƣợc xác định và ngƣợc lại

Phương trình tổng quát của siêu phẳng U có thể viết ngắn gọn như sau:

1.4.4 Hệ siêu phẳng độc lập Định nghĩa 1.4.4.1

Hệ gồm r siêu phẳng U U 1 , 2 , ,U r với tọa độ U i  u i 0:u i 1: :u in  đƣợc gọi là độc lập nếu tọa độ của chúng làm thành ma trận   u ij , i  1, r , j  0, n có hạng bằng r Định lí 1.4.4.2

Giao của hệ gồm r siêu phẳng độc lập là một  n   r  phẳng

Ngƣợc lại, mỗi mphẳng đều là giao của n m siêu phẳng độc lập

Dễ dàng suy ra từ định nghĩa phương trình tổng quát của cái phẳng

Giao của n siêu phẳng độc lập là một điểm Định lí 1.4.4.4

Giao của một siêu phẳng U và mphẳng    không nằm trong siêu phẳng đó là một  m   1  phẳng

Giả sử siêu phẳng U có phương trình:

  và m  phẳng    có phương trình:

Hệ phương trình tìm giao của chúng là hệ gồm có n m 1 phương trình và có hạng bằng n m 1

Thật vậy, nếu hệ đó có hạng bằng n m thì các điểm của    đều thuộc U điều này trái với giả thiết

Vì hệ phương trình trên có hạng bằng n m 1 nên nó xác định một

- Hai siêu phẳng phân biệt của không gian xạ ảnh luôn luôn cắt nhau theo một  n  2   phẳng

- Một siêu phẳng và một đường thẳng không thuộc siêu phẳng đó luôn luôn cắt nhau tại một điểm

Trong P 2 , cho hai đường thẳng phân biệt

  b b x 1 1b x 2 2 b x 3 3 0 Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó

Giao của hai đường thẳng (a),(b) thỏa mãn hệ phương trình:

Vì 2 đường thẳng là phân biệt nên ta có thể giả sử

1 2 a a 0 b b  Giải hệ phương trình trên thu được:

Từ đây chọn x 3 thích hợp ta thu được giao của 2 đường thẳng trên là điểm sau:

TrongP 2 chứng minh rằng: a Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi ma trận gồm ba cột tọa độ của chúng có định thức bằng 0 b Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi ma trận gồm ba cột tọa độ của chúng có định thức bằng 0 c Nếu cho hai điểm:

A a a a và B(b : b : b ) 0 1 2 thì đường thẳng A B, có tọa độ(u : u : u ) 0 1 2 , trong đó:

 b b d Nếu cho hai đường thẳng:

( : : ) p p p p và q(q : q : q ) 0 1 2 Thì giao điểm của chúng có tọa độ là:

TrongP n cho n điểm độc lập

Chứng minh rằng, phương trình tổng quát của siêu phẳng đi quaA i có thể viết dưới dạng:

Trong P n cho hai siêu phẳng phân biệt U và V có phương trình lần lượt là:

( ) ( )U t X 0 và ( ) ( )V t X 0 Chứng minh mọi siêu phẳng đi qua giaoU V đều có phương trình dạng

( ) ( ) t ( ) (X) t 0 k U X l V  , trong đó k và l không đồng thời bằng 0

Chứng minh định lí Papuyt (Pappus) trongP 2 : Cho 6 điểm phân biệt và không thẳng hàng A B C A B C 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ,trong đó A B C 0 , 0 , 0 thẳng hàng và

Chứng minh rằng, ba điểmA B 2 , 2 vàC 2 thẳng hàng

Trong P 2 cho mục tiêu  S S S E 0, 1, 2;  Gọi:

Chứng minh rằng các giao điểmE E i j S S i j vớii j, nằm trên một đường thẳng

Trong P 3 cho phương trình tổng quát của hai đường thẳng Tìm điều kiện (về các hệ số của các phương trình) để hai đường thẳng đó không cắt nhau Chứng tỏ rằng, đó cũng là điều kiện để hai đường thẳng ấy không nằm trên một mặt phẳng

Trong P 3 cho phương trình tổng quát của hai đường thẳng d và d’ không có điểm chung và cho tọa độ của điểm M không nằm trên d và d’ Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt cả d và d’.

TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG

Trong không gian xạ ảnh P n , cho 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , trong đó 3 điểm A B C, , đôi một không trùng nhau

Giả sử với mục tiêu đã cho của P n ta có phương trình tham số của đường thẳng AB là:

Khi đó ta có các biễu diễn sau:

2 1 k :k l l đƣợc gọi là tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , lấy theo thứ tự

 A B C D , , ,  hoặc  A B C D , , ,  cho tỉ số kép 2 1

 Một số trường hợp đặc biệt:

Từ tính chất của các toạ độ thuần nhất trên ta thấy tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng không phụ thuộc vào việc chọn các vector đại diện tương ứng cho các điểm

1.5.2 Tính chất tỉ số kép

Nếu 4 điểm A B C D, , , phân biệt và thẳng hàng thì:

Từ đây có điều cần chứng minh

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có các tính chất sau:

Nếu 4 điểm A B C D, , , phân biệt và thẳng hàng thì:

Nếu 4 điểm A B C D, , , phân biệt và thẳng hàng thì:

Nếu 4 điểm A B C D, , , phân biệt và thẳng hàng thì:

Nếu 4 điểm A B C D, , , phân biệt và thẳng hàng thì:

1.5.3 Tỷ số kép tính theo tọa độ xạ ảnh

Trong P n với mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  i  0, n

Giả sử 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , có tọa độ lần lƣợt trong hệ mục tiêu đó là:

Mặt khác chúng ta lại có:

Suy ra tỉ số kép:

Do hai điểm A B, phân biệt nên

Vậy ta có công thức tính tỉ số kép của bốn điểm dựa vào tọa độ nhƣ sau:

C  , D  1:1: 1: 1    a) Chứng minh 4 điểm A B C D, , , thẳng hàng b) Tính  A B C D , , , 

Hướng dẫn a) Ta dễ thấy :

  Vậy 4 điểm đã cho thẳng hàng b) Dùng định nghĩa ta có

A B C D  2 Dùng công thức tọa độ

1.5.4 Hàng điểm điều hòa Định nghĩa 1.5.4.1

Trong không gian xạ ảnh cho bốn điểm thẳng hàng A B C D, , , Nếu

 A B C D , , ,    1 thì cặp điểm C D, đƣợc gọi là chia điều hòa hai điểm A B,

Từ tính chất của tỉ số kép

 C D A B , , ,    A B C D , , ,    1 nên cặp điểm A B, cũng đƣợc gọi là chia điều hòa cặp điểm C D,

Nếu  A B C D , , ,    1 thì bốn điểm thẳng hàngA B C D, , , đƣợc gọi là một hàng điểm điều hòa

1.5.5 Hình bốn đỉnh toàn phần

Trong P n tập hợp 4 điểm A B C D, , , cùng nằm trong một mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng đƣợc gọi là hình bốn đỉnh toàn phần

Các điểm A B C D, , , gọi là các đỉnh

Mỗi đường thẳng đi qua hai đỉnh gọi cạnh, vậy các cạnh là:

AB AC AD BC BD CD Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện, đó là:

AB vàCD,ACvà BD,AD và BC

Giao điểm của hai cạnh đối diện đƣợc gọi là điểm chéo, đó là: , ,P Q R

(chúng không thẳng hàng) Đường thẳng đi qua hai điểm chéo gọi là đường chéo, đó là: PQ PR QR, , (chúng không đồng quy) Định lí 1.5.5.2

Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm trên một đường chéo chia điều hòa cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba

Giả sử ABCD là hình bốn đỉnh toàn phần

Ba điểm chéo đó là

P ABCD, Q ADBC, R ACBD Gọi

Ta chọn mục tiêu xạ ảnh  S S S E 0, 1, 2; , sao cho

Phương trình đường thẳngAB là:

 x 2 0 Phương trình đường thẳng CD là:

Tương tự, ta tính được: R   1: 0 :1 

Phương trình đường thẳng PR là:

NPRBC  N   Phương trình AD là:

Vì vai trò các điểm là như nhau nên các trường hợp khác làm tương tự Công việc này dành cho các bạn đọc, sinh viên xem nhƣ bài tập thực hành tính toán

Chứng minh rằng 4 điểm đó thẳng hàng và tìm tỉ số kép A B C D , , ,  Bốn điểm này có là bốn điểm điều hòa hay không? Vì sao? Với giá trị nào của p và q thì A, B, C, D là hàng điểm điều hòa?

Trong cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, và 3 điểm P, Q, R lần lƣợt thuộc các đường thẳng BC, CA và AB và không trùng với các điểm A, B, C a Cho E là điểm không thuộc các đường thẳng BC, CA, AB

GọiAAEBC B, BECA C, CEAB Chứng minh rằng, tích số:

 B C A P , ,  ,    C A B Q , ,  ,    A B C R , ,  ,  bằng 1, là điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy, và tích số đó bằng -1 là điều kiện cần và đủ để 3 điểm P, Q, R thẳng hàng

(Định lý Xêva (Ceva)) b Một đường thẳng d không đi qua A, B, C và cắt các đường thẳng BC, CA và AB lần lƣợt tạiA B C  , , Chứng minh rằng tích số

 B C A P , ,  ,    C A B Q , ,  ,    A B C R , ,  ,  bằng 1, là điều kiện cần và đủ để P, Q, R thẳng hàng; bằng -1, là điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy

(Định lí Mênêlauyt (Menelaus)) Bài 1.5.3

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 điểm thẳng hàng và phân biệt A, B, C Chỉ dùng thước (để vẽ các đường thẳng) hãy dựng điểm D sao cho

Cho bốn điểm , , ,A B C D thẳng hàng, cùng thuộc đường thẳng d trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 Gọi I và J là hai điểm bất kì nằm ngoài đường thẳng d Chứng minh rằng:

 IA IB IC ID , , ,   JA JB JC JD , , , 

Cho 4 điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C, D sao cho  A B C D , , ,   0 Chứng minh rằng có cặp điểm P, Q duy nhất sao cho:

TỶ SỐ KÉP CỦA CHÙM BỐN SIÊU PHẲNG

Trong không gian xạ ảnh P n , tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một

 n  2   phẳng U đƣợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là  n  2   phẳng đó

Với n2 thì chùm các đường thẳng cùng đi qua điểm O là bó đường thẳng tâm O

Với n3 thì tập các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng cho trước là một chùm

Gọi U và V là hai siêu phẳng phân biệt nào đó của chùm

Khi đó giá của chùm có phương trình là:

 Siêu phẳng Wcó phương trình

Tức là phương trình W có dạng:

1.6.2 Tỉ số kép của bốn siêu phẳng thuộc chùm Định nghĩa 1.6.2.1

Trong không gian xạ ảnh P n , cho một chùm siêu phẳng xác định bởi hai siêu phẳng phân biệt U V, Giả sử W Z, là hai siêu phẳng của chùm

2 1 p : p q q là tỉ số kép của 4 siêu phẳng U V W Z, , , theo thứ tự đó

Cho bốn siêu phẳng U V W Z, , , thuộc một chùm, trong đó U V W, , đôi một phân biệt Nếu d là đường thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lượt tại các điểm , , ,

A B C D (không cắt giá của chùm) thì tỉ số kép của bốn điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d

Với tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, ta có kết quả sau (cùng với giả thiết trên) :

Từ tính chất ta có:

Từ tính chất ta có:

1.6.3 Chùm bốn siêu phẳng điều hòa Định nghĩa 1.6.3.1

Bốn siêu phẳng U V W Z, , , của một chùm đƣợc gọi là chùm bốn siêu phẳng điều hòa nếu :

Khi đó, ta còn nói:

Cặp siêu phẳng U V, chia điều hòa cặp siêu phẳng W Z,

1.6.4 Hình bốn cạnh toàn phần Định nghĩa 1.6.4.1

Trong mặt phẳng P 2 hình gồm bốn đường thẳng trong đó không có ba đường nào đồng quy được gọi là hình bốn cạnh toàn phần

Mỗi đường thẳng đó được gọi là một cạnh (có 4 cạnh)

Giao điểm của hai cạnh đƣợc gọi là một đỉnh (có 6 đỉnh)

Hai đỉnh không nằm trên một cạnh đƣợc gọi là hai đỉnh đối diện Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện được gọi là đường chéo (có 3 đường chéo)

Giao của hai đường chéo được gọi là điểm chéo (có 3 điểm chéo) Định lí 1.6.4.1

Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba

Giả sử a b c d, , , là bốn cạnh của hình bốn cạnh toàn phần Các đỉnh của nó là:

I PRRS J RS UV, K UV PQ

Ta sẽ chứng minh rằng cặp đường thẳng IJ,IK chia điều hòa cặp đường thẳng IU IV,

Xét hình bốn đỉnh toàn phần PQRS ta có

Các trường hợp khác làm tương tự

TrongP 2 cho bốn đường thẳng có phương trình lần lượt là:

Chứng tỏ rằng, chúng cùng thuộc một chùm đường thẳng

Tính tỉ số kép của bốn đường thẳng theo thứ tự đã cho

Xét mục tiêu S S S S E 0, ,1 2, 3;  của không gian P 3 và điểm:

M  a a a a Tìm tỉ số kép của bốn mặt phẳng:

Trong P 2 cho hai đường thẳng phân biệt d vàdcắt nhau tại A, trên d lấy ba điểm phân biệt B, C, D và khác với A; trêndlấy ba điểm phân biệt , ,B C D   và khác với A Chứng minh rằng ba đường thẳngBB,CC,DD đồng quy khi và chỉ khi:

Cần thêm điều kiện gì để ngoài ra còn có: DC,BB ,C D đồng quy?

Trong P 2 cho hai điểm phân biệt O vàO nằm trên đường thẳng a, cho ba đường thẳng phân biệt b, c, d cùng đi qua O và khác với a, cho ba đường thẳng phân biệt , ,b c d   cùng đi quaO và khác với a

Chứng minh rằng ba giao điểm của b vàb, của c và c, của d vàd cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi:

Cần có thêm điều kiện gì để ngoài ra còn có: ba giao điểmbb d, c c, d cũng thẳng hàng?

Trong P 2 cho hai đường thẳng phân biệt a, b và một điểm M không nằm trên chúng Qua M vẽ đường thẳng thay đổi cắt a và b lần lượt tại A và B tìm quỹ tích những điểm N sao cho A B M N , , ,   k không đổi

Trong P 2 cho hai đường thẳng a, b và điểm M không nằm trên chúng Vẽ qua M hai đường thẳng thay đổi, cắt a ở A vàA và cắt b ở B vàB Tìm quỹ tích giao điểm củaABvàA B

Chứng minh định lý Papuýt bằng cách sử dụng tỉ số kép.

NGUYÊN TẮC ĐỐI NGẪU

Ta kí hiệu  n là tập hợp tất cả các phẳng trong P n có số chiều bé hơn n Chọn trong P n một mục tiêu xạ ảnh nào đó và xác định ánh xạ

- Nếu A là một điểm (0-phẳng) thì    A là siêu phẳng có tọa độ giống A, cụ thể :

- Nếu U là cái phẳng nào đó thì:

1.7.2 Các tính chất của phép đối xạ

Phép đối xạ biến mỗi điểm (0-phẳng) thành một siêu phẳng

Suy ra từ định nghĩa

Phép đối xạ biến m điểm độc lập thành m siêu phẳng độc lập, biến m điểm không độc lập thành m siêu phẳng không độc lập

Lấy m điểm A i i , 1, 2, ,m, với A i  a i 0:a i 1: :a in , khi đó   A i là siêu phẳng có tọa độ của A i

Khi đó, m điểm   A i độc lập khi và chỉ khi rankAm, tức là khi và chỉ khi m siêu phẳng   A i độc lập

Phép đối xạ biến rphẳng thành  n    r 1  phẳng

Giả sử cho rphẳng U, ta lấy trên nó r1 điểm độc lập A 0 , ,A r Khi đó 1 r siêu phẳng     A 0 , A 1 , ,  A r cũng độc lập, nên giao của chúng là cái phẳng V có số chiều là n r 1

Ta lấy một điểm XU, thì r2 điểm A A 0 , 1 , ,A X r , không độc lập, vậy 2 r siêu phẳng     A 0 , A 1 , ,    A r , X không độc lập

Cho hai cái phẳng U V, Nếu U V thì:

 , vậy có điều cần chứng minh

1.7.3 Nguyên tắc đối ngẫu Định nghĩa 1.7.3.1

Trong không gian xạ ảnh P n , hai cái phẳng U và V gọi là có quan hệ liên thuộc nếu U V hoặc V U

Khi đó ta nói U thuộc V hoặc V thuộc U

Ví dụ 1.7.3.2 Điểm A nằm trên đường thẳng a

- Nhƣ vậy, từ “thuộc” đồng nghĩa với một trong các từ “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”

- Phép đối xạ giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa các phẳng, có nghĩa là nếu U thuộc V thì    U thuộc    V Định nghĩa 1.7.3.4

Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh P n , nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng

Nếu trong mệnh đề đó các từ “rphẳng” đƣợc thay bằng các từ

“ n    r 1  phẳng”, các từ khác giữ nguyên thì ta đƣợc mệnh đề mới M  , gọi là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M

Khi đó, mệnh đề M là đối ngẫu của mệnh đề M  và ta nói M và M  là cặp mệnh đề đối ngẫu của nhau

Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng hoặc cùng sai

Trong không gian xạ ảnh P n

Xét mệnh đề: “Có một và chỉ một 1phẳng thuộc hai điểm phân biệt cho trước”

Mệnh đề đối ngẫu của nó là: “Có một và chỉ một  n  2  phẳng thuộc hai siêu phẳng phân biệt cho trước”

Cặp mệnh đề đối ngẫu trên đây đều đúng

Trong P 2 ta có: điểm  đường thẳng hình ba đỉnh  hình ba cạnh hàng điểm  chùm đường thẳng hình bốn cạnh toàn phần  hình bốn đỉnh toàn phần

Trong P 3 ta có: điểm  mặt phẳng đường thẳng  đường thẳng hàng điểm  chùm mặt phẳng Trong P n ta có: điểm  siêu phẳng đường thẳng   n  2   phẳng hàng điểm  chùm siêu phẳng rphẳng   n    r 1  phẳng

1.7.4 Khái niệm và định lý đối ngẫu Định nghĩa 1.7.4.1 (Khái niệm đối ngẫu)

Khái niệm N  đƣợc gọi là đối ngẫu của khái niệm N nếu N  nhận đƣợc từ

N bằng cách thay thế trong Ncác từ rphẳng bằng các từ (n r 1)  phẳng, còn các từ khác giữ nguyên

Khái niệm r điểm độc lập trong P n , đƣợc định nghĩa “r điểm không cùng thuộc một  r   2  phẳng” có khái niệm đối ngẫu là: “r siêu phẳng không cùng thuộc một  n    r 1  phẳng”

Khái niệm hàng điểm điều hòa và chùm siêu phẳng điều hòa Định lí 1.7.4.3 (đối ngẫu)

Trong không gian xạ ảnh mệnh đề P đúng khi và chỉ khi mệnh đề đối ngẫu của P đúng

Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm trên một đường chéo chia điều hòa cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba Định lí M 

Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba Đây là hai định lý đối ngẫu của nhau

Phát biểu định lí đối ngẫu của định lí Papuýt và định lí Desargue trong P 2

Phát biểu định lí đối ngẫu của định lí Xêva và Mênêlauýt trongP 2

Phát biểu định lí đối ngẫu của định lí Desargue trong P 3

“Trong không gian xạ ảnh P 2 cho 4 đường thẳng a, b, c, d cùng đi qua điểm

O Một đường thẳng m không đi qua O cắt a, b, c, d lần lượt tại A, B, C, D thì tỉ số kép A B C D , , ,  không phụ thuộc vào m” Hãy phát biểu mệnh đề đối ngẫu.

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN

Xuất phát từ không gian afin A n ta đã biết cách xây dựng mô hình của không gian xạ ảnh P n bằng cách thêm vào A n những điểm vô tận Bây giờ ngƣợc lại, từ không gian xạ ảnh P n ta hãy bỏ bớt đi những điểm nào đó để xây dựng mô hình của không gian afin

Giả sử P n là K không gian xạ ảnh liên kết với Kkhông gian véctơ V n  1 Gọi W là một siêu phẳng nào đó củaP n ĐặtA n P n \W Ta xây dựng A n thành không gian afin bằng cách sau đây: Đƣa vào P n một mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  n i  0 với các đỉnh S S 1 , 2 , ,S n nằm trên W Khi đó phương trình tổng quát của siêu phẳng W là: x 0 0

X A n nên X có tọa độ  x 0:x 1: :x n  với x 0 0 (vì XW) Đặt

 x  , ta đƣợc bộ thứ tự gồm n số  X X 1, 2, ,X n  Như vậy ta có tương ứng 1-1 giữa tập hợp các điểm của A n và K n :

Bộ có thứ tự gồm n số  X X 1, 2, ,X n  với X i K ,

 x  gọi là tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của điểm X trong hệ mục tiêu  S E i ;  i n  0

Bây giờ với hai điểm X  X X 1, 2, ,X n , Y  Y Y 1, , ,2 Y n  của A n , ta cho tương ứng một véctơ trongK n như sau:

XY  Y X Y X Y X K Hay nói cách khác ta đã cho ánh xạ :

Dễ thấy ánh xạ thỏa mãn 2 tiên đề của không gian afin

Khi đó  A n , ,  K n  là không gian afin n chiều liên kết với không gian vector

1.8.2 Mục tiêu afin trong mô hình

Xét mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  i n  0 của P n

Gọi E i  S S 0, i   trong đó    là siêu phẳng đi qua E và qua mọi đỉnh của mục tiêu trừ  S S 0, i 

Tọa độ xạ ảnh của các điểm E i là:

Tọa độ không thuần nhất của các điểm E i và S 0 là:

S  Đặt S E 0 i e i i , 1, ,n ta đƣợc mục tiêu afin  S e 0; i ,i1, ,n Định nghĩa 1.8.2.2

Ta gọi hệ mục tiêu  S e 0; i ,i1, ,n là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh  S E i ,  i  0, n

Nếu điểm X có tọa độ không thuần nhất X  X X 1, 2, ,X n  thì ta có

Do đó có định nghĩa sau : Định nghĩa 1.8.2.3

Bộ  X X 1, 2, ,X n gọi là tọa độ afin của điểm X đối với mục tiêu afin

1.8.3 Các phẳng trong mô hình

Nếu mphẳng xạ ảnh U của P n không nằm trên siêu phẳng W thì tập

U U W là một mphẳng afin trong không gian afin n n \

Giả sử mphẳng xạ ảnh U có phương trình:

    Điều này chứng tỏ, tập U U W\ là một mphẳng afin trong không gian afin n n \

1.8.4 Hai phẳng song song trong mô hình

Cho rphẳng xạ ảnh U và sphẳng xạ ảnh V trong không gian xạ ảnh

P n , không nằm trong siêu phẳng W  r  s  Khi đó, U  W và V  W là các phẳng xạ ảnh có số chiều lần lƣợt là r1 và s1

Nếu U  W  V W thì rphẳng U U W\ song song với sphẳng afin V V W\

Giả sử rphẳng U có phương trình:

Vì U không nằm trong siêu phẳng W nên:

Phương trình của rphẳng afin U U W\ đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh là:

Từ điều kiện U  W  V W ta suy ra hệ phương trình của U W là hệ quả của hệ phương trình củaV W

Từ đó suy ra UV hay U song song với V

Trong P n , hai đường thẳng aW b, Wsao cho a b MW a b

Nếu bỏ điểm M thì hai đường thẳng afin a và b song song Ta gọi điểm

M là “điểm vô tận” của a và b

+Hai đường thẳng song song khi chúng có chung điểm vô tận

+Nếu điểm vô tận M có tọa độ xạ ảnh M 0 :m m 1: 2: :m n  thì đường thẳng afin đi qua M có cùng vector chỉ phương là m m m 1, 2, ,m n  Như vậy, mỗi điểm vô tận xác định một phương của các đường thẳng song song

+Siêu phẳng xạ ảnh W đƣợc gọi là “siêu phẳng vô tận” của không gian afin

Mỗi mphẳng xạ ảnh nằm trên W đƣợc gọi là “mphẳng vô tận”

1.8.5 Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn

Trên mô hình A n P n \W của không gian afin cho 4 điểm thẳng hàng và phân biệt A B C D, , , Ta chọn hệ mục tiêu xạ ảnh sao cho tọa độ của các điểm A và B là:

Vì C D, nằm trên đường thẳng ABnên ta có thể giả sử:

Khi đó tọa độ của C và D là:

Xét tọa độ afin của các điểm A B C D, , , đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh nói trên :

Do đó tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng trong không gian afin A n P n \W là:

Vậy trong điều kiện tồn tại của các tỉ số (theo qui ƣớc) chúng ta có :

Trong không gian afin có thể định nghĩa giá trị tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A B C D, , , nhƣ là giá trị tỉ số của hai tỉ số đơn  A B C , ,  và  A B D , , 

Chúng ta chú ý rằng, định nghĩa theo kiểu này được dùng trong định nghĩa tỉ số kép cho 4 điểm thẳng hàng trong Hình học sơ cấp mà chúng ta sẽ tiếp cận trong các học kì sau

Vậy tỉ số của ba điểm thẳng hàng A B C, , là tỉ số kép của ba điểm đó và điểm vô tận của đường thẳng đi qua chúng

- Nếu D W và  A B C D , , ,    1 thì C là trung điểm của AB

Vậy trung điểm của đoạn AB là điểm trên AB mà nó cùng với điểm vô tận của đường thẳng AB chia điều hòa cặp điểm A B,

Theo lý thuyết xây dựng trên nếu chúng ta bỏ đi một siêu phẳng W nào đó của không gian xạ ảnh P n ta đƣợc không gian afin A n

Bằng cách đó, từ một định lí của hình học xạ ảnh ta có thể suy ra một số định lí của hình học afin

Xét định lí Papuyt trongP 2 :

Trong P 2 cho sáu điểm phân biệt A B C A B C 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , trong đó A B C 0 , 0 , 0 thẳng hàng và A B C 1 , 1 , 1 thẳng hàng Khi đó ba giao điểm A 2 B C 0 1 B C 1 0 ,

B C A C A , C 2  A B 0 1 A B 1 0 cũng thẳng hàng a) Gọi O A B 0 0 A B 1 1 Chọn W  C C 0 , 1 và xét mặt phẳng afin

A P W Khi đó, các hình OA B A 0 2 1 và OB A B 0 2 1 là cá hình bình hành

Vì vậy ta có định lí trong mặt phẳng afin

Cho hai hình bình hành OA B A 0 2 1 và OB A B 0 2 1 , trong đó O A B, 0 , 0 thẳng hàng,

O A B thẳng hàng Khi đó ba điểm A B 2 , 2 và C 2 A B 0 1 A B 1 0 thẳng hàng b) Chọn W  A B C 0 , 0 0 , ta có định lí sau trong mặt phẳng afin:

Cho ba điểm A B C 1 , 1 , 1 thẳng hàng, gọi A B C 2 , 2 , 2 là những điểm sao cho

AC C A , A B 1 2 / /B A 1 2 , B C 1 2 / /C B 1 2 Khi đó ba điểm A B C 2 , 2 , 2 thẳng hàng

Chứng minh các định lí sau đây trong mặt phẳng Afin bằng phương pháp xạ ảnh: a Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường b Trong một hình thang trung điểm của hai cạnh đáy chia điều hòa cặp giao điểm hai đường chéo và giao điểm hai cạnh bên c Đường trung bình trong hình thang thì song song với hai cạnh đáy

Từ các định lí Đơ dác, Mênêlauýt, Xêva trong mặt phẳng xạ ảnh, hãy suy ra những định lí của hình học afin

Giải các bài toán dựng hình sau đây trong mặt phẳng afin bằng cách chỉ dung thước (để vẽ đường thẳng): a Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi đã cho trước một đường thẳng d song song với đường thẳng AB b Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB và một điểm không thẳng hàng với A, B Dựng qua D một đường thẳng song song với AB.

ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH

ÁNH XẠ XẠ ẢNH

Cho các K không gian xạ ảnh  P p V , ,  và  P p V    , ,  Một ánh xạ : f PP đƣợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính :V V , sao cho nếu véctơ x V là đại diện của điểm X Pthì véctơ ( )x V ' là đại diện của điểm f(X)P '

Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f

Ví dụ 2.1.1.2 Ánh xạ đồng nhất Id P :PPlà một ánh xạ xạ ảnh Kiểm tra ánh xạ đồng nhất trên không gian véc tơ là ánh xạ tuyến tính liên kết khá đơn giản, nó đƣợc xem nhƣ bài tập cho sinh viên

2.1.2 Tính chất của ánh xạ xạ ảnh

Cho ánh xạ xạ ảnh f P: P, có ánh xạ tuyến tính đại diện :V V  Khi đó chúng ta có các tính chất đơn giản sau:

Tính chất 2.1.2.1 Ánh xạ tuyến tính  đại diện của một ánh xạ xạ ảnh nói ở trên là đơn cấu tuyến tính

Xét ánh xạ tuyến tính :

Do  biến véctơ đại diện thành véctơ đại diện nên nếu x0 V thì ( )x 0 V ' Hay nói cách khác K er     0 V Vậy là một đơn cấu tuyến tính

Tính chất 2.1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh

Giả sử X Y, Plà 2 điểm thỏa mãn (X)f  f(Y) với x y, lần lƣợt là các véctơ đại diện của chúng

Khi đó, véc tơ ( )x là đại diện của điểm (X)f , còn véc tơ ( )y là đại diện của điểm (Y)f

( ) ( ) k x  y Theo tính chất đơn cấu của  dễ thấy rằng k x y, hay X Y

Tính chất 2.1.2.3 Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm

Do ánh xạ đại diện là một đơn cấu, nên nó bảo toàn tính độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ Nên dễ dàng có điều cần chứng minh

Hệ quả 2.1.2.4 Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: mphẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và của chùm bốn siêu phẳng

Tính chất 2.1.2.5 a) Mỗi đẳng cấu tuyến tính :V V  là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy nhất

: f PP b) Hai đơn cấu tuyến tính :V V  và :V V  cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f P: P khi và chỉ khi có số k  K \ 0   sao cho

Chứng minh a) Cho đẳng cấu tuyến tính :V V  ta xây dựng ánh xạ f P: Pnhƣ sau :

Nếu X Pcó đại diện là x V thì f(X) có đại diện là ( )x V '

Nhƣ vậy với cách xây dựng trên dễ thấy f là ánh xạ xạ ảnh và xác định duy nhất b) Giả sử hai đơn cấu tuyến tính :V V  và :V V  cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f P: P

Cho điểm X Pcó đại diện là x V thì ( )x V ' và  ' ( )x V ' cùng là đại diện cho điểm (X)f

Nhƣ vậy ( )x k x  ' ( )x Do 2 ánh xạ đại diện là đẳng cấu nên dễ thấy k x không phụ thuộc vào x

Từ đây ta rút ra rằng, tồn tại một số k  K \ 0   sao cho   k  

2.1.3 Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh Định lí 2.1.3.1

Cho hai K không gian xạ ảnh P và P có số chiều lần lƣợt là n và m  n  m  Trong P cho mục tiêu xạ ảnh  S S 0, , ,1 S E n ;  và trong P cho 2 n điểm phụ thuộc S S 0  , , , 1 S E n ; , sao cho bất kì n1 điểm trong số đó đều độc lập

Khi đó, có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f P: P sao cho :

Chứng minh của định lý đƣợc suy ra trực tiếp từ định lý xác định và tồn tại duy nhất một đơn cấu tuyến tính mà các bạn sinh viên đã đƣợc biết từ Đại số tuyến tính cơ bản

Việc chứng minh hoàn chỉnh định lý này dành cho các bạn sinh viên

2.1.4 Đẳng cấu xạ ảnh và Hình học xạ ảnh

Từ kết quả của Đại số tuyến tính cơ bản, ta sẽ dễ dàng nhận thấy rằng ánh xạ xạ ảnh f P: P là một song ánh khi và chỉ khi P và P là hai không gian xạ ảnh có cùng số chiều Định nghĩa 2.1.4.1 Ánh xạ xạ ảnh f nếu là một song ánh thì đƣợc gọi là một đẳng cấu xạ ảnh và hai không gian xạ ảnh P và P đƣợc gọi là đẳng cấu Ánh xạ tuyến tính  gọi là phép đẳng cấu tuyến tính Định nghĩa 2.1.4.2

Một đẳng cấu xạ ảnh :f PP đƣợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh của P

Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của P là thành một nhóm, nó đƣợc gọi là nhóm xạ ảnh P

Nhóm xạ ảnh P đẳng cấu với nhóm thương GL V   /  kId k V 0 , trong đó

V là không gian vector liên kết với P

Từ định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh ta suy ra hệ quả sau:

Nếu trong không gian xạ ảnh P n cho hai mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  và  S E i  ; , thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f của P n , biến các điểm S i thành các điểm S i   i  0,1, , n  và biến E thành E  Định nghĩa 2.1.4.4

Mỗi tập con H của P n đƣợc gọi là một hình Định nghĩa 2.1.4.5

Hình H được gọi là tương đương xạ ảnh với hình H nếu có một phép biến đổi xạ ảnh f biến H thành H Định nghĩa 2.1.4.6

Một tính chất của hình H đƣợc gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh) nếu mọi hình H tương đương với hình H đều có tính chất đó

Từ định nghĩa trên ta thấy nếu hai hình tương đương xạ ảnh thì có tất cả các tính chất xạ ảnh giống nhau Định nghĩa 2.1.4.7

Tập hợp các tính chất xạ ảnh (bất biến xạ ảnh) của các hình trong không gian xạ ảnh P n gọi là hình học xạ ảnh trên P n

2.1.5 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh

Cho f P: n P n là phép biến đổi xạ ảnh của K không gian xạ ảnh P n , liên kết với không gian vector V n  1

Trong không gian xạ ảnh P n chon mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  i  0, n Với X P n bất kì, cho X  x 0:x 1: :x n  và X f X    x 0 :x 1: :x n  trong hệ mục tiêu đó Để tìm biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh ta đi tìm sự liên hệ giữa x i và x i 

Gọi    e  e e 0, , ,1 e n  là một cơ sở trong V n  1 đại diện cho mục tiêu xạ ảnh

 S E i ;  và :V n  1 V n  1 là biến đổi tuyến tính đại diện cho biến đổi xạ ảnh f Giả sử đối với cơ sở   e ,  có biểu thức tọa độ:

 , trong đó rankA n 1 (tức là detA0) do ma trận A là ma trận chuyển từ cơ sở   e sang cơ sở ảnh của nó qua phép 

Từ mối quan hệ giữa tọa độ xạ ảnh của một điểm với tọa độ của vector đại diện của nó, ta suy ra biểu thức liên hệ giữa tọa độ của X và X là:

Biểu thức (**) đƣợc gọi là biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh

: n n f P P trong hệ mục tiêu  S E i ;  i  0, n Ma trận A đƣợc gọi là ma trận của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục tiêu  S E i ; 

Các cột của A là các cột tọa độ của các điểm f S   i , từ định nghĩa của hệ cơ sở đại diện cho mục tiêu ta thấy :

    là tọa độ của điểm f E  

- Biểu thức (**) còn được viết ngắn gọn dưới dạng ma trận là k x  A x , trong đó x và x lần lƣợt là ma trận cột tọa độ của điểm X và điểm X

Ví dụ 2.1.5.4 Đối với mục tiêu  S S S E 0, 1, 2;  của mặt phẳng xạ ảnh P 2 , cho các điểm

E  , E 2 1: 0 :1, E 3 1:1: 0 a Chứng tỏ rằng, có một phép biến đổi xạ ảnh f P: 2 P 2 lần lƣợt biến các điểm S S S E 0 , , 1 2 , thành các điểm E E E S 1 , 2 , 3 , 0 b Tìm ma trận của f đối với mục tiêu đã cho

2.1.6 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin

Trong không gian xạ ảnh P n cho mục tiêu  S E i ; , gọi W là siêu phẳng có phương trình tổng quát x 0 0

Xét phép biến đổi xạ ảnh :f P n P n sao cho :

  f W W Giả sử đối với mục tiêu trên, f có biểu thức tọa độ:

Vì f W    W nên nếu x 0 0 thì x  0 0, tức là

01 1 02 2 0 n n 0 a x a x  a x  , đúng với mọi giá trị của x x 1 , 2 , ,x n

01 02 0 n 0 a a  a  Khi đó biểu thức của f là:

Trong đó k 0, a 00 0 và ma trận A     a ij n n  có hạng bằng n

Ta đã xây dựng A n P n \W là không gian afin ở các tiết trước Vì

Xét ánh xạ hạn chế:

Dễ thấy biểu thức tọa độ của f là:

Từ đó suy ra f là phép biến đổi afin của A n Định nghĩa 2.1.6.1

Ta gọi flà phép biến đổi afin sinh bởi phép biến đổi xạ ảnh f

Nhƣ vậy, ta đã chứng minh rằng, mỗi phép biến đổi xạ ảnh :f P n P n sinh ra một phép biến đổi afin f:A n A n nếu f W    W

Ngƣợc lại: mọi phép biến đổi afin đều đƣợc sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà f W    W

Thật vậy, giả sử f:A n A n là phép biến dổi afin có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu afin là:

Trong không gian xạ ảnh P n , với mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin nói trên, ta xét phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ:

Khi đó phép biến đổi afin f đƣợc sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh f

2.1.7 Câu hỏi và bài tập áp dụng

Cho không gian xạ ảnh  P p V n , , n  1  Các phép vị tự của V n  1 đại diện cho những phép biến đổi xạ ảnh nào củaP n ?

Nếu biến đổi xạ ảnh :f P n P n giữ bất động r+1 điểm độc lập nằm trên một r−phẳng thì nó có giữ bất động mọi điểm của r−phẳng đó không?

TrongP n cho r−phẳng U, trên U lấy r+2 điểm trong đó bất kỳ r+1 điểm nào đều độc lập Chứng tỏ rằng, nếu r+2 điểm đó đều bất động qua phép biến đổi xạ ảnh củaP n , thì mọi điểm của U đều bất động

Trong chP n o phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ:k x   A x Tìm tọa độ của: a Ảnh của siêu phẳng u(u 0 : u : 1 : u ) n b Tạo ảnh của điểmX(x 0  : x : 1 : x ). n c Tạo ảnh của siêu phẳngu(u 0  :u 1 : :u n ).

TrongP n cho phép biến đổi xạ ảnh f có biểu thức tọa độ: k x   A x Gọi ( ) det(A I n )

    là đa thức đặc trƣng của ma trận A (I n là ma trận đơn vị cấp n) Chứng minh rằng: a Tọa độ(x 0 :x 1 : :x n ) của điểm bất động là nghiệm của hệ phương trình:(AI x n ) 0, trong đó là nghiệm của đa thức đặc trƣng b Tọa độ(u 0 :u 1 : :u n ) của siêu phẳng bất động là nghiệm của hệ:

(A t I n ) u0, trong đó là nghiệm của đa thức đặc trƣng c Nếu là nghiệm đơn của đa thức đặc trƣng thì điểm bất động và siêu phẳng bất động ứng với nghiệm đó không thuộc nhau

Trong P 2 cho mục tiêu xạ ảnh  S S E 0, ;1  Tìm biểu thức tọa độ của các phép biến đổi xạ ảnh thỏa mãn một trong những điều kiện sau đây: a Các điểmS i đều là điểm bất động ( tức là biến thành chính nó) b Các điểm S S S 0 , 1 , 2 lần lƣợt biến thành S S S 1 , 2 , 0 và điểm E bất động c Điểm S 0 bất động, đường thẳng S S 1 2 bất động ( đường thẳng biến thành chính nó) và điểm S 1 biến thành điểm S 2

CÁC PHÉP THẤU XẠ TRONG P n

Trong P n cho rphẳng U và  n    r 1  phẳng V không có điểm chung Khi đó, cặp  U V ,  gọi là một rcặp

Cặp  V U ,  trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một  n    r 1  cặp trong không gian xạ ảnh P n

Trong không gian xạ ảnh P 2 cho một điểm M và một đường thẳng dkhông đi qua M Khi đó ( , )M d là một 0cặp Định nghĩa 2.2.1.3

Cho rcặp  U V ,  và phép biến đổi xạ ảnh f P: n P n sao cho mọi điểm trên U hoặc V đều bất động Khi đó f đƣợc gọi là phép thấu xạ rcặp với cơ sở là rcặp  U V , 

2.2.2 Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ

Giả sử f là phép thấu xạ rcặp với cơ sở là rcặp  U V , 

Trong không gian xạ ảnh P n ta chọn một hệ mục tiêu  S E i ;  i  0, n nhƣ sau :

S S S nằm trên U , S r  1 ,S r  2 , ,S n nằm trên V và điểm E không nằm trên cả U và V (do U   V , dimU dimV   n 1 n)

Từ đây suy ra : rphẳng U có phương trình tổng quát:

 n    r 1  phẳng V có phương trình tổng quát:

Do f giữ bất động mọi điểm của U và V nên dễ thấy ma trận của nó trong hệ mục tiêu đã chọn có dạng :

B V ( n   r 1 số 1) là các điểm bất động đối với f nên :

(Có  r  1  số p và  n  r  số q trên đường chéo chính, các phần tử còn lại bằng 0)

Vậy biểu thức tọa độ của f đối với mục tiêu  S E i ;  i  0, n có dạng:

Nếu p q thì f là phép đồng nhất

2.2.3 Tính chất của phép thấu xạ Định lý 2.3.1 Xét một phép thấu xạ khác phép đồng nhất trong không gian xạ ảnh P n Nếu điểm M không bất động thì đường thẳng nối M và ảnh M của nó luôn cắt U và V Giả sử hai giao điểm đó lần lƣợt là là A và B thì tỉ số kép  M M A B ,  , ,  không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Nếu điểm M không nằm trên U và trên V thì

Mặt khác, A U : kpx j lqx j 0  j r 1, , n  Vì có ít nhất một x j 0 nên k lq 0

Vậy đường thẳng MM cắt U tại điểm A thỏa mãn:

Tương tự, đường thẳng MM cắt V tại điểm B thỏa mãn:

 M M A B ,  , ,    ( p ) : (   q ) p q : tức là tỉ số kép  M M A B ,  , ,  không phụ thuộc vào M Định nghĩa 2.2.3.2

Tỉ số kép trong định lý 2.3.1 gọi là tỉ số thấu xạ của phép thấu xạ f

2.2.4 Phép thấu xạ đơn Định nghĩa 2.2.4.1

Phép biến đổi xạ ảnh :f P n P n đƣợc gọi là phép thấu xạ đơn nếu có một siêu phẳng V mà mọi điểm của nó đều bất động qua f

Siêu phẳng V đƣợc gọi là siêu phẳng cơ sở của thấu xạ đơn f

Phép đồng nhất là một phép thấu xạ đơn Trong đó mọi siêu phẳng bất kì đều có thể xem là siêu phẳng cơ sở Định lí 2.2.4.3

Nếu f là thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy nhất một điểm bất động O sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất động

Giả sử f có siêu phẳng cơ sở là V

Ta chọn mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  sao cho các đỉnh S S 1 , 2 , ,S n nằm trên V Suy ra phương trình tổng quát của V là x 0 0

Giả sử A    a ij , , i j  0,1, , n là ma trận của f trong mục tiêu  S E i ; 

Vì E   0 :1: :1   V nên E bất động, suy ra a 11 a 22   a nn a Biểu thức tọa độ của f là:

0 0 ax n n ax n kx a x kx a x kx a x

Vì f Id P n nên a 00 a a, 10 , ,a n 0 không đồng thời bằng 0

Gọi O a 00 a a, 10, ,a n 0  ta có O   f O   Thật vậy :

Vậy O là điểm bất động qua f

Lấy một đường thẳng d bất kì đi qua O

Ta lấy trên d một điểm tùy ý: X  x 0:x 1: :x n  thì

    X a X x O 0   Vậy X cũng nằm trên d Định nghĩa 2.2.4.4 Điểm O gọi là tâm của phép thấu xạ đơn f

- Nếu tâm thấu xạ O không nằm trên cơ sở thấu xạ V thì phép thấu xạ đơn f chính là phép thấu xạ 0cặp với 0cặp cơ sở là  O V , 

- Nếu O nằm trên V thì f không phải là thấu xạ cặp , ta gọi nó là thấu xạ đơn đặc biệt

2.2.5 Các phép thấu xạ trong P 2 và P 3

2.2.5.1 Trong P 2 ta xét một số phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau đây :

+) Phép thấu xạ 0cặp  O V , , trong đó O là một điểm còn V là một đường thẳng không đi qua O

Với mỗi M O và MV thì OM V B Gọi M   f M   thì M M O B ,  , , thẳng hàng và  M M O B ,  , ,   k

+) Phép thấu xạ đơn đặc biệt, có tâm O và có cơ sở là đường thẳng V đi qua

Gọi M   f M   thì ảnh N   f N   đƣợc xác định bởi điều kiện: v

2.2.5.2 Trong P 3 xét một số phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau :

- Thấu xạ 0cặp  O V , , trong đó O là một điểm còn V là một mặt phẳng không đi qua O

Với mỗi M O và MV, OM  V B Nếu M   f M   thì M M O B ,  , , thẳng hàng và  M M O B ,  , ,   k

+) Phép thấu xạ đơn đặc biệt, có tâm O và có cơ sở là mặt phẳng V đi qua

+) Thấu xạ 1cặp với cơ sở là 1cặp  d d ,   trong đó d và d  là hai đường thẳng không cắt nhau Nó đƣợc gọi là phép thấu xạ song trục với trục d và d  Ảnh M của điểm M không thuộc d và d  đƣợc xác định bởi các điều kiện: i) Đường thẳng MM cắt d và d lần lượt tại A và B , ii)  M M A B ,  , ,   k d d'

2.2.6 Các phép biến đổi afin sinh ra bởi các phép thấu xạ

Ta đã biết rằng nếu cho f : P n P n là một phép biến đổi xạ ảnh, trong đó ( ) f W  W với Wlà siêu phẳng vô tận, thì ánh xạ ' | : n n n f  f A A  A là phép biến đổi afin

Sau đây ta xét một vài trường hợp khi f là phép thấu xạ nào đó :

2.2.6.1 Cho f là thấu xạ 0-cặp (O, V),O  Vvà k-tỉ số thấu xạ

Với mỗi điểm Mkhông phải là điểm bất động, ảnh của nó là điểm M ' sao cho   M M O B , ' , ,    k , trong đó B  OM  (V)

Nếu ta chọn V là siêu phẳng vô tận Khi đó M M O B, ' , ,   (M M O, ' , )k Vậy OM  kOM '

Nhƣ vậy f : P n P n sinh ra trên A n một phép vị tự f ' tâm O tỉ số k

Nếu ta chọn Wlà siêu phẳng vô tận và đi qua điểm O Khi đó

  và MM ' luôn song song với nhau (phương của chúng xác định bởi điểm vô tận O )

Vậy f : P n P n sinh ra trên A n một phép thấu xạ với phương cố định và tỉ số thấu xạ là k

2.2.6.2 Cho f là thấu xạ đơn đặc biệt có cơ sở là siêu phẳng V và tâm thấu xạ O  V

Ta chọn siêu phẳng vô tận Wchính là siêu phẳng V

Nếu lấy hai cặp điểm tương ứng là M M , ' và N N , ' thì 2 đường thẳng MM ' và

NN 'đều đi qua điểm O và hai đường thẳng MN và M N ' ' cắt nhau tại một điểm

Nhƣ vậy trong A n thì MM ' song song với NN ' , MN song song M N ' '

Từ đây ta rút ra là MM '  NN '

Nhƣ vậy f sinh ra trên A n một phép tịnh tiến

Trong P 3 cho mục tiêu S 0 ,S ,S ,S ;E 1 2 3  Viết biểu thức của phép thấu xạ 1- cặp với cơ sở là cặp đường thẳng S S S S 0 1 , 2 3 và có tỉ số k

Trong P 2 cho phép biến đổi xạ ảnh:

Chứng tỏ rằng đó là một phép thấu xạ cặp Xác định cơ sở và tỉ số thấu xạ

Trong P 3 cho mặt phẳng V có phương trình:

Gọi f là phép thấu xạ đơn có cơ sở V, có tâm thấu xạ1: 0 : 0 : 0 Tìm biểu thức tọa độ của f trong các trường hợp sau đây: a Tỉ số thấu xạ là k  3 b f biến điểm 0 :1:1:1  thành điểm 3:1:1:1  Tìm tỉ số thấu xạ c f có tính chất đối hợp, nghĩa là f 2 là phép đồng nhất

Tìm biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f P : 2  P 2 , biết rằng f giữ bất động các điểm A, B, C và biến điểm D thành điểm E Đó có phải là phép thấu xạ không?

Trong P 3 cho hai đường thẳng d và d lần lượt có phương trình:

Tìm biểu thức tọa độ của phép thấu xạ 1 – cặp, với cơ sở là cặp d d ,   và tỉ số thấu xạ k   1.

CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH

2.3.1 Định lí thứ nhất Định lí 2.3.1.1

Nếu f P : n  P n là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì thì f biến mphẳng thành mphẳng

Giả sử mphẳng U đi qua m1 điểm độc lập A A 0 , 1 , ,A m

Gọi A i   f A   i , i  0,1, , m và U  là cái phẳng bé nhất đi qua các điểm A i 

* Ta chứng minh bằng quy nạp theo m, nếu điểm M thuộc U thì

+ m1, khi đó 1phẳng U đi qua hai điểm A A 0 , 1

MU nên A A M 0 , , thẳng hàng, do đó ba điểm A A M 0  , ,  thẳng hàng

+ Giả sử nó đúng với m1

Nếu MU và M  A thì A M 0  A A 1 , 2 , , A m  I Do đó, nếu I   f I   thì:

- Theo giả thiết của f , ba điểm A M I 0 ,  , thẳng hàng, tức là MA I 0 

- Theo giả thiết quy nạp thì Ithuộc cái phẳng bé nhất đi qua A A 1  , 2 , ,A m  Gọi x x 0 , , , 1 x u v m , , lần lƣợt là các vector đại diện của các điểm

Do A M I 0 ,  , thẳng hàng, ta có: u k x 0 0kv Mặt khác, I   A A 1   , 2 , , A m  nên

Từ đó suy ra M thuộc U 

+ Ta chứng minh hệ điểm A A 0  , 1 , ,A m  độc lập

Lấy các điểm A m  1 ,A m  2 , ,A n để đƣợc hệ  n  1  điểm độc lập A A 0 , 1 , ,A n

Ta gọi A i   f A   i Nếu hệ điểm A A 0  , 1 , ,A m  không độc lập thì hệ  n  1  điểm

A A  A cũng không độc lập Khi đó f P   n  P n , trái với giả thiết f là toàn ánh

Nhƣ vậy U  là mphẳng và f U    U

Ta lấy M  U , do f là toàn ánh nên có MU: f M    M  Điểm MU vì nếu MU ta có hệ m2 điểm A A 0 , 1 , ,A M m , độc lập nhƣg ảnh của chúng không độc lập

Vậy f biến mphẳng U thành mphẳng U 

2.3.2 Định lí thứ 2 Định lí 2.3.2.1

Nếu f P : n  P n là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là biến đổi xạ ảnh

Lấy mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  trong P n

Gọi S i   f S   i , E   f E   , theo định lí 1,  S E i   ;  cũng là mục tiêu xạ ảnh Gọi g là phép biến đổi xạ ảnh của P n ,  S E i ;   g S E i   ;  và h  g f 0  1

Khi đó, h là song ánh của P n bảo tồn tính thẳng hàng của ba điểm, bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và giữ bất động điểm của mục tiêu  S E i ; 

Ta chứng minh h là phép đồng nhất bằng quy nạp theo n

+ n1, nếu M   h M  , ta có:  S S E M 0 , 1 , ,    S S E M 0 , 1 , ,   nên M M + Giả sử điều đó đúng với n1

+ Ta chứng minh nó đúng với n

Gọi W i là siêu phẳng đi qua mọi đỉnh của mục tiêu trừ đỉnh S i và i i i

Theo giả thiết quy nạp ta có: W W i i h  Id

Giả sử M là một điểm bất kì không nằm trên các W i Gọi M S M 0 W 0 thì

0   h W M   M  nên đường thẳng S M 0 bất động

Tương tự, đường thẳng S M 1 cũng bất động

Vậy điểm M bất động, hay h là phép đồng nhất

2.3.3 Định lí thứ 3 Định lí 2.3.3.1 Cho P n là không gian xạ ảnh trên trường số thực với n1 Nếu f P : n  P n là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì thì f là biến đổi xạ ảnh

Lấy một siêu phẳng W nào đó của P n và gọi

W   f W Theo định lí 1, W cũng là một siêu phẳng

Gọi g P : n  P n là ánh xạ xạ ảnh sao cho g   W   W Khi đó, hg f 0 là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì và h   W  W

Xét không gian afin A n  P n \ W và song ánh h A  : n  A n là hạn chế của h trên A n

Vì song ánh h bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm tùy ý, nên theo định lí cơ bản của phép biến đổi afin, ta suy ra h là phép biến đổi afin

Nhƣng phép biến đổi afin h đƣợc sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh duy nhất

Dễ thấy phép biến đổi xạ ảnh đó trùng với phép h

Từ đó suy ra, f  g h 0  1 là phép biến đổi xạ ảnh.

SIÊU MẶT BẬC HAI XẠ ẢNH

SIÊU MẶT BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH CỦA CHÚNG

Trong không gian xạ ảnh P n , với mục tiêu   S E i ; Tập hợp   S gồm những điểm thỏa mãn phương trình:

  (1) trong đó, a ij K a, ij a ji với mọi cặp chỉ số và có ít nhất một a ij nào đó khác không đƣợc gọi là một siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh P n Đặt ma trận A    a ij , , i j  0,1, , n , ma trận này đƣợc gọi là ma trận đối xứng có hạng khác không. Định nghĩa 3.1.1.2

Ma trận A nói trên đƣợc gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai  S Đặt

  Phương trình xác định (S) dạng (1) có thể được viết lại dưới dạng ma trận là:

+ Nếu det A  0thì siêu mặt bậc hai   S đƣợc gọi là không suy biến

+ Nếu det A  0 thì siêu mặt bậc hai   S đƣợc gọi là suy biến

Trong P 2 ,   S được gọi là đường bậc hai

Trong P 3 ,   S đƣợc gọi là mặt bậc hai Định nghĩa 3.1.1.4

Ta nói hai siêu mặt bặc hai    S , A  và    S , A  là trùng nhau khi và chỉ khi

   trong cùng một hệ mục tiêu xạ ảnh Định lí 3.1.1.5

Khái niệm siêu mặt bậc hai là một khái niệm xạ ảnh

Giả sử đối với mục tiêu đã chọn, cho một siêu mặt bậc hai   S có phương trình:

A 0 x t x  Xét phép biến đổi xạ ảnh f P: n P n bất kì cùng với biểu thức tọa độ: x   Bx , trong đó B    b ij , , i j  0,1, , n và det B  0

Ta có x  B x  1  Lấy điểm X  x 0:x 1: :x n  thuộc   S và gọi điểm

Nhƣ vậy, f S   cũng là một siêu mặt bậc hai, có ma trận A đối với mục tiêu đã chọn (do det B  0 nên rankA  rankA Hơn thế nữa A đối xứng nên A cũng đối xứng)

Từ chứng minh trên dễ dàng chúng ta cũng có, khái niệm suy biến hay không suy biến của siêu mặt bậc hai cũng là các khái niệm xạ ảnh

3.1.2 Giao của siêu mặt bậc hai và m  phẳng

Trong P n cho siêu mặt bậc hai   S và m phẳng Q

Ta chọn mục tiêu xạ ảnh   S E i ; sao cho m1 điểm S S 0 , , , 1 S m nằm trên Q Khi đó phương trình tổng quát của Q là:

Giả sử phương trình của   S là:

Tâp hợp   S  là giao của Q và   S gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ sau:

+ Nếu a ij không đồng thời bằng 0 thì   S là một siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh m chiều Q

3.1.3 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực

Trong không gian xạ ảnh thực P R n  , cho siêu mặt bậc hai   S :

Trong không gian véctơ liên kết với nó thì (1) là một dạng toàn phương Mà ta đã biết luôn có một phép biến đổi tuyến tính đưa dạng toàn phương về dạng chuẩn tắc:

1     p q n 1 và q   p 0 Nhƣ vậy từ đây ta rút ra định lí sau: Định lí 3.1.3.1

Với mỗi siêu mặt bậc hai   S trong không gian xạ ảnh thực P R n  , luôn tồn tại một mục tiêu xạ ảnh nào đó sao cho đối với mục tiêu đó phương trình của

Chứng minh Định lý này có thể chứng minh dễ dàng bằng phương pháp dung các biến đổi Lagrange nhƣ trong Đại số tuyến tính Phần chứng minh đầy đủ, chi tiết dành cho các bạn sinh viên thực hành Định nghĩa 3.1.3.2

Phương trình của siêu mặt bậc hai   S như trong định lý 1.3.1 nói trên được gọi là dạng chuẩn tắc của nó

Với phương trình chuẩn tắc nói trên của (S) chúng ta gọi siêu mặt bậc hai

  S là siêu mặt bậc hai có chỉ số quán tính Sylvester  p q , , đơn giản ta gọi là siêu mặt bậc hai chỉ số (p,q)

Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnh có đúng một dạng phương trình chuẩn tắc

3.1.4 Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực Định nghĩa 3.1.4.1

Hai siêu mặt bậc hai   S 1 và   S 2 trong P n gọi là tương đương xạ ảnh nếu có một phép biến đổi xạ ảnh biến   S 1 thành   S 2 Định lí 3.1.4.2

Hai siêu mặt bậc hai   S 1 và   S 2 trong không gian xạ ảnh thực là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau

Dễ thấy định lí 1.4.2 trên được chứng minh tương tự như chứng minh của hai dạng toàn phương tương đương trong Đại số tuyến tính bằng cách chúng ta sử dụng biến đổi tuyến tính theo phương pháp Lagrange

3.1.5 Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong P R 2   và P R 2  

3.1.5.1 Trong P R 2   ta có 5 loại đường bậc hai:  1    p q 3, q   p 0 

Trong không gian xạ ảnh P R 2   có 5 loại siêu mặt bậc hai xét theo quan hệ tương đương là các siêu mặt bậc hai tương đương:

1) x 0 2 x 1 2 x 2 2 0 Đường ôvan ảo vì nó không chứa điểm thực nào

2)  x 0 2 x 1 2  x 2 2 0 Đường ôvan hay đường cônic

3) x 0 2 x 1 2 0 Cặp đường thẳng ảo liên hợp Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất là điểm  0 : 0 :1 

4)   x 0 2 x 1 2 0 Đây là cặp đường thẳng có phương trình:

5) x 0 2 0 Cặp đường thẳng trùng nhau

3.1.5.2 Trong P 3 có 8 loại mặt bậc hai sau đây:  1    p q 4, q   p 0 

Trong không gian xạ ảnh P 3 có 8 loại siêu mặt bậc hai xét theo quan hệ tương đương là các siêu mặt bậc hai tương đương:

1) x 0 2   x 1 2 x 2 2 x 3 2 0, gọi là mặt trái xoan ảo

2)    x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 0, gọi là mặt trái xoan

3)    x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 0, gọi là mặt kẻ bậc hai

4) x 0 2 x 1 2 x 2 2 0, gọi là mặt nón ảo

Nó chỉ gồm một điểm thực duy nhất 0 : 0 : 0 :1

6) x 0 2 x 1 2 0, gọi là cặp mặt phẳng ảo liên hợp Nó gồm một đường thẳng thực với phương trình là:

   7)   x 0 2 x 1 2 0, cặp mặt phẳng có các phương trình

8) x 0 2 0 Đây là cặp mặt phẳng trùng nhau

3.1.6 Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin

Xét không gian xạ ảnh P n với mục tiêu xạ ảnh  S i : E  và không gian afin n n \ W

A  P , trong đó W là siêu phẳng vô tận x 0  0

Giả sử   S là siêu mặt bậc hai trong P n có phương trình với mục tiêu đã chọn là:

Gọi     S   S \ Wthì các điểm của   S có tọa độ afin đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn thỏa mãn phương trình:

Nếu các a i j ij , , 1,2, ,n không đồng thời bằng 0 thì   S là một siêu mặt bậc hai trong không gian A n

Khi đó ta nói rẳng siêu mặt bậc hai xạ ảnh   S sinh ra siêu mặt bậc hai afin

Ngƣợc lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin   S trong A n đều đƣợc sinh ra bởi một siêu mặt bậc hai xạ ảnh duy nhất   S trong P n

Thật vậy, nếu   S có phương trình (**) trong một mục tiêu afin của A n

 x vào (**) ta được phương trình

  xác định cho ta một siêu mặt bậc hai xạ ảnh   S đối với mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin Lấy C S W, tọa độ điểm C 0 :c 1: :C n  mà

Do đó, điểm vô tận C xác định phương c  c c 1, , ,2 c n  chính là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai afin

3.1.7 Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực

Giả sử   E là đường elip của A 2

Trong A 2 ,   E : X 1 2  X 2 2  1 0 được sinh bởi đường bậc hai xạ ảnh :

 chỉ có duy nhất nghiệm thực  0 : 0 : 0 

Ta thấy qua mô hình một đường ôvan xạ ảnh sinh ra elip trong A 2 không cắt đường thẳng vô tận W

Trong A 2 , cho  H là một Hypebol : X 1 2 X 2 2  1 0 được sinh bởi đường bậc hai xạ ảnh:

 có hai nghiệm thực  0 :1:1  và  0 :1: 1  

Vậy đường ôvan xạ ảnh sinh ra đường Hiperbol trong A 2 cắt đường vô tận

W tại hai điểm phân biệt đó là  0 :1:1  và  0 :1: 1  

Trong A 2 , cho   P là một đường Parabol : X 1 2  X 2 0 được sinh bởi đường bậc hai xạ ảnh:

   x 1 2 x x 0 2 0 Đây là một đường ôvan, vì chỉ cần dùng phép đổi xạ ảnh:

Ta dễ dàng đƣa nó về dạng chuẩn tắc:

 có duy nghiệm kép  0 : 0 :1  Đường ôvan xạ ảnh sinh ra đường Parabol trong A 2 cắt đường vô tận W tại một điểm kép là  0 : 0 :1 

Nếu   S là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 thì trong mặt phẳng afin

- Đường elip, nếu   S không cắt W

- Đường hypebol, nếu   S cắt W tại hai điểm phân biệt

- Đường parabol, nếu   S tiếp với W

Trong mặt phẳn xạ ảnh thực P 2 cbho mục tiêu {S0,S1,S2;E} Viết phương trình các đường bậc hai trong mỗi trường hợp dưới đây: a Đi qua ba điểm S 0 , S1, S2 b Đi qua bốn điểm S 0 , S1, S2 và E c Đi qua năm điểm S 0 , S1, S2, E và A=(1:1:-1) d Đi qua năm điểm (0:0:1), (0:1:1), (1:0:1), (2:-5:1), (-5:2:1)

Trong P 2 cho phương trình của bốn đường thẳng phân biệt li có phương trình:

Chứng minh rằng, đường bậc hai (S) đi qua giao điểm của l 1 và l 2 , l 2 và l 3 , l 3 và l 4 , l 4 và l 1 có phương trình: kF F 1 3 lF F 2 4 0,trong đó k và l là hai số không đồng thời bằng 0 Áp dụng kết quả đó để giải các bài tập b, c, d của bài 1

Trong P 2 cho hai đường bậc hai (S) và (S’) cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

A, B, C, D Giả sử đối với một mục tiêu nào đó (S) và (S’) lần lượt có phương trình x t   x 0và x t   ' x 0 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một đường bậc hai đi qua A, B, C, D là phương trình của nó có dạng:

( t ) ( t ' ) 0, k x  x l x x  trong đó, k và l là hai số không đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng mặt kẻ bậc hai trong P 3 :

     , có chứa những đường thẳng

Trong P n với mục tiêu {Si,E} cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình:

        với q  p >0 và 0 < p+q < n+1 a Gọi Q là (n-p-q) – phẳng đi qua n-p-q+1 đỉnh S p q  ,S p q   1 , ,S n Chứng minh rằng Q chứa trong (S) b Cho A là một điểm bất kì của (S) nhƣng không nằm trên Q Chứng minh rằng (n-p-q+1) – phẳng đi qua Q và A cũng chứa trong (S)

(Chính vì các tính chất a, b mà người ta gọi mặt (S) như thế là siêu nón với phẳng đỉnh là Q)

Gọi tên các đường bậc 2 sau đây trong P 2 : a 2x 1 2 4x 2 2 x 0 2 2x x 0 2 5x x 0 1 3x x 1 2 0 b x x 0 1 x x 1 2 x x 2 0 0. c 4x 0 2 15x 1 2 5x 2 2 22x x 1 2 8x x 0 2 16x x 0 1 0. d 2x 0 2 6x 1 2 7x 2 2 4x x 1 2 6x x 0 2 4x x 0 1 0.

Trong P 3 , cho mặt phẳng W và xây dựng không gian Aphin    3 3 \ W Chứng minh rằng : a Nếu (S) là mặt trái xoan trong  3 thì (S)\W sẽ là các mặt sau đây trong  3 :

-Hypeboloit hai tầng, nếu (S) cắt W theo một đường ovan

- Paraboloit eliptic, nếu (S) chỉ cắt W tại một điểm (ta nói (S) tiếp với W) b Nếu (S) là mặt kẻ thì (S)\W sẽ là các mặt sau đây trong  3 :

- Hypeboloit một tầng, nếu (S) cắt W theo đường ovan

- Mặt yên ngựa, nếu (S) cắt W theo cặp đường thẳng

ĐIỂM LIÊN HỢP PHẲNG TIẾP XÚC SIÊU DIỆN LỚP HAI

Trong P n , siêu mặt bậc hai   S : x t A x  0 và hai điểm:

Y  y y y , Z  z 0:z 1: :z n  Định nghĩa 3.2.1.1 Điểm Y đựơc gọi là liên hợp với điểm Z đối với   S nếu     Y t A Z  0 hay

  trong đó     Y , Z là tọa độ cột của các điểm Y Z , đã cho

S thì ta có     Y t A Z  0 , từ đây suy ra     Z t A Y  0

Trong không gian xạ ảnh P n , cho hai điểm Y ,Z phân biệt và

- Nếu Y Z, cắt   S tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y hoặc Z

Giả sử   S có phương trình:

Vì M N ,    S nên         M t A M  N t A N  0 Do đó, từ (*) ta có:

Vì M và N là hai điểm phân biệt của   S nên:

- Nếu Y Z , cắt   S tại một điểm duy nhất X thì:

Do     Y t A Z  0 nên từ (**) ta có:

Vì phương trình này chỉ có một cặp nghiệm duy nhất nên

Định lí 3.2.2.2 Trong Kkhông gian xạ ảnh P n cho siêu mặt bậc hai   S và điểm Y Tập hợp tất cả các điểm liên hợp với Y đối với hoặc là một siêu phẳng trong P n hoặc là toàn bộ P n

Giả sử siêu mặt bậc hai   S có phương trình:

  không đồng thời bằng 0 thì phương trình (1) cho ta một siêu phẳng trong P n Siêu phẳng đó có ma trận cột tọa độ là Ay

 thì mọi điểm X của P n đều có tọa độ thỏa mãn phương trình (1)

3.2.3 Siêu phẳng đối cực và điểm kì dị Định nghĩa 3.2.3.1

Nếu tập hợp các điểm liên hợp với Y đối với siêu mặt bậc hai   S là một siêu phẳng thì siêu phẳng đó đƣợc gọi là siêu phẳng đối cực của điểm Y và kí hiệu là Y * Điểm Y đƣợc gọi là điểm đối cực của siêu phẳng Y *

Giả sử   S có phương trình:

Khi đó siêu phẳng đối cực Y * có phương trình:

Tọa độ của siêu mặt Y  là: A Y   Định nghĩa 3.2.3.2 Điểm Y đƣợc gọi là điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai   S nếu Y liên hợp với mọi điểm của P n đối với   S

- Chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến det A  0  mới có điểm kì dị

Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương trình:

Do đó, nếu   S có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường tức là det A  0 hay   S là suy biến

3.2.4 Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai Định nghĩa 3.2.4.1

Nếu Y    S nhƣng không là điểm kì dị của   S thì siêu phẳng đối cực Y * của Y đối với   S đƣợc gọi là siêu phẳng tiếp xúc của   S tại Y, hay còn gọi là siêu phẳng tiếp diện của   S tại Y Điểm Y đƣợc gọi là tiếp điểm

Bất kì m phẳng nào đi qua Y và nằm trong siêu tiếp diện Y * của   S tại Y đều gọi là m phẳng tiếp xúc của   S tại Y

Khi m1, ta có đường thẳng tiếp xúc của   S tại Y hay còn gọi là tiếp tuyến của   S tại Y

Nếu Y là điểm kì dị của   S thì mọi m  phẳng đi qua Y  m  n  đều gọi là m phẳng tiếp xúc với   S tại Y

Do đó, mỗi một 0 phẳng Y (tức là điểm Y ) tiếp xúc với   S khi và chỉ khi :

3.2.5 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến Định lí 3.2.5.1

Nếu siêu mặt bậc hai   S không suy biến thì mỗi siêu phẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất

Giả sử   S có phương trình x t Ax  0 với det A  0

Với siêu phẳng U , điểm X là đối cực của nó khi và chỉ khi   X t A    U t hay A X      U , do đó   X  A  1   U đƣợc xác định duy nhất Định nghĩa 3.2.5.2

Hai siêu phẳng U và V đƣợc gọi là liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến   S khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau đối với   S

Các tính chất đơn giản:

Hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến khi và chỉ khi siêu phẳng này đi qua điểm đối cực của siêu phẳng kia

Giả sử cho U V , là hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với   S có điểm đối cực lần lƣợt là U V  ,  Nhƣ vậy

(U ) A(V ) 0  t   Lại có phương trình của U V , lần lượt là:

(U ) A(X) 0,(V ) A(X) 0  t   t  Vậy từ đây dễ dàng suy ra

Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc hai   S khi và chỉ khi U tiếp xúc với   S tại điểm U * là điểm đối cực của U

Ta có U liên hợp với chính nó đối với   S nên (U ) A(U ) 0  t   hay U  (S) Vậy ta có điều cần chứng minh

Cho hai siêu phẳng phân biệt U V , liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến   S

Nếu qua giao UV có hai siêu phẳng phân biệt P và Q cùng tiếp xúc với

Gọi các điểm đối cực của U V P Q , , , lần lƣợt là U V P Q  ,  ,  , 

Ta có theo chứng minh định lý 2.4.1 thì :

Mà P Q , thuộc một chùm giá là UV nên

Thay (2) vào (1) ta rút ra P Q  ,  nằm trên đường thẳng U V  

Do U  liên hợp với V  đối với ( ) S nên

Từ đây có điều phải chứng minh

3.2.6 Siêu diện lớp hai Định nghĩa 3.2.6.1 Trong P n với một mục tiêu đã chọn, một siêu diện lớp hai là tập hợp   S * tất cả các siêu phẳng U  u u 0: 1: :u n  mà tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình:

  trong đó a ij a ji và chúng không đồng thời bẳng 0

Phương trình đó gọi là phương trình của siêu diện lớp hai   S * đối với mục tiêu đã chọn Định nghĩa 3.2.6.2 Đặt A    a ij , , i j  0,1, , n thì ta gọiA là ma trận của siêu diện lơp hai   S *

Dễ thấy Alà ma trận vuông cấp n1, đối xứng và rankA  1

Phương trình   S * còn có thể viết dưới dạng ma trận: u Au t  0 Định nghĩa 3.2.6.3

Nếu det A  0 thì siêu diện lớp hai   S * gọi là không suy biến

- Nếu det A  0,   S * đƣợc gọi là suy biến

Siêu diện lớp hai trong P 2 còn đƣợc gọi là tuyến lớp hai

Khái niệm siêu diện lớp hai là đối ngẫu của khái niệm siêu mặt bậc hai

Thật vậy, giả sử đã chọn trong P n một mục tiêu xạ ảnh, ta xét phép đối xạ

 , nó biến mối điểm X thành siêu phẳng    X có tọa độ giống tọa độ của X Giả sử một siêu mặt bậc hai   S có phương trình:

Một điểm X  x 0 :x 1: :x n  thuộc   S khi và chỉ khi

Vậy một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu mặt lớp hai

Siêu mặt bậc hai không suy biến và siêu diện lớp hai không suy biến là hai khái niệm đối ngẫu

3.2.8 Định lí Mác – Lôranh Định lí 3.2.8.1 (Mác – Lôranh)

Tập hợp các siêu phẳng tiếp xúc của một siêu mặt bậc hai không suy biến là một siêu diện lớp hai không suy biến

Ngƣợc lại, mỗi siêu diện lớp hai không suy biến gồm những siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt bậc hai không suy biến

Cho siêu mặt bậc hai   S có phương trình x t A x  0, vì nó không suy biến nên det A  0 Giả sử siêu phẳng U tiếp xúc với   S tại điểm Y  y 0:y 1: :y n  thuộc   S

Khi đó, tọa độ U là   U  Ay Vì điểm Y thuộc   S nên y Ay t  0, từ đó ta có:

  U t A  1   U  0 Điều đó chứng tỏ rằng tập hợp các diêu tiếp diện U của   S là siêu diện lớp hai   S * có ma trận là A  1

Ngược lại, cho siêu diện lớp hai không suy biến   S * có phương trình

0 det 0 u Au t  A Ta gọi   S là siêu mặt bậc hai có phương trình

Khi đó cũng chứng minh tương tự như trên thì mỗi siêu phẳng U của   S * đều là siêu phẳng tiếp xúc của   S

Khi phát biểu mệnh đề đối ngẫu của siêu diện lớp hai không suy biến ta giữ nguyên “siêu mặt bậc hai” và thay “điểm thuộc siêu mặt bậc hai” bởi “siêu tiếp diện”

M: “Cho tứ đỉnh toàn phần có 4 đỉnh thuộc đường ôvan Khi đó 3 điểm chéo đôi một liên hợp với nhau đối với ôvan”

M * : “Cho tứ cạnh toàn phần có 4 cạnh tiếp xúc với đường ôvan Khi đó 3 đường chéo đôi một liên hợp với nhau đối với ôvan

3.2.9 Một số khái niệm aphin Định lý 3.2.9.1

Tâm của siêu mặt bậc hai Afin     S   S \ W là cực của W đối với   S

Gọi I là cực của W, MN là dây cung bất kì của ( ) S đi qua I cắt W tại K Suy ra

Vì vậy I là trung điểm của MN nên I là tâm của   S 

Có điều phải chứng minh

Như ta đã biết trong không gian afin thì siêu phẳng kính liên hợp với phương c là tập các trung điểm của dây cung MN có phương c khác phương tiệm cận của   S

Gọi một điểm C (0 : x : : x ) 1 n    S  W xác định một phương c c c  1 , , , 2 c n  của A n

  nên c chính là phương tiệm cận của   S 

Từ đây ta có định nghĩa : Định nghĩa 3.2.9.2

Nếu   S  có tâm duy nhất I thì đường thẳng afin đi qua I có phương c là đường tiệm cận của   S

Bài 3.2.1 Đối với mục tiêu đã chọn trong P 2 , cho ovan có phương trình

Chứng minh rằng ba đỉnh của mục tiêu đôi một liên hợp với nhau đối với ovan đó

Trong P n cho mục tiêu {S ; } i E Viết phương trình các siêu mặt bậc hai (S) sao cho S i và S j (i j) liên hợp với nhau đối với (S)

Trong  2 với mục tiêu {S ; } i E cho đường bậc hai (S) có phương trình : a Chứng minh rằng, hai điểm A=(1:0:0) và B=(1:1:0) liên hợp với nhau đối với (S) b Tìm tọa độ điểm C liên hợp với cả A và B c Viết phương trình của (S) trong mục tiêu {S ,S ,S ; } 1 ' ' 2 ' 3 E , trong đó

Chứng minh rằng nếu trong  n cho siêu mặt bậc hai (S) thì luôn luôn tìm đƣợc n+1 điểm độc lập S i , i0,1, ,n sao cho S i và S j (i j) liên hợp với nhau

Trong  2 cho đường bậc hai (S) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng và đôi một liên hợp với nhau đối với (S) Một đường thẳng m cắt các đường thẳng AB,

BC, CA lần lƣợt tại P, Q, R

Gọi P’, Q’, R’ là các điểm lần lƣợt nằm trên AB, BC, CA và lần lƣợt liên hợp với P, Q , R đối với (S) Chứng minh rằng ba đường thẳng AQ’, BR’, CP’ đồng quy

Trong  2 cho ovan (S), ba điểm độc lập A, B, C và ba điểm độc lập A’, B’, C’ sao cho các đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’ lần lượt là đường thẳng đối cực của A, B, C đối với (S)

Chứng minh rằng: a Các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt là đối cực của A’, B’, C’ đối với

(S) b Các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy

Chứng minh rằng, nếu hình 4 đỉnh toàn phần có 4 đỉnh nằm trên một ovan thì ba điểm chéo của nó đôi một liên hợp với nhau đối với ovan đó

Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đối cực của một điểm đối với một ovan cho trước cũng như cách dựng tiếp tuyến của ovan từ một điểm (chỉ dùng thước thẳng)

Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để đường thẳng d là tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S) tại điểm M là hoặc d ( ),S hoặc d( ) {M}S 

Cho điểm A không nằm trên siêu mặt bậc hai (S) không suy biến,  * là siêu phẳng đối cực của A đối với (S) Chứng minh rằng, đường thẳng d đi qua A là tiếp tuyến của (S) khi và chỉ khi d còn đi qua một điểm thuộc (S)  A*

Trong  n cho siêu mặt bậc hai (S) và điểm O  (S) Gọi f:    n n là phép thấu xạ đơn có tâm O, biến (S) thành chính nó

Chứng minh rằng, f là thấu xạ đối hợp và cơ sở của nó là siêu phẳng đối cực của điểm O đối với (S)

Chứng minh rằng, mọi mặt phẳng tiếp xúc của một mặt kẻ (trong  3 ) đều cắt mặt kẻ đó theo một đường thẳng

Trong  3 Cho mặt bậc hai (S) có phương trình:

0 1 2 3 2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 1 2 0. x x x x  x x  x x  x x  x x  a Tìm điểm kì dị của (S) Chứng tỏ rằng đó là một mặt nón b Tìm phương trình mặt phẳng đối cực  của điểm (1:0:0:0) đối với (S) c Giao ( )S  là đường gì? d Đưa phương trình của (S) về dạng chính tắc

Trong  3 cho mặt bậc hai (S) có phương trình:

2x 3x x x x 2x x x x 3x x 4x x x x 0. a Tìm điểm kì dị của (S) b Chứng tỏ rằng, (S) là cặp mặt phẳng, tìm phương trình của các mặt phẳng đó

Xét mô hình xạ ảnh của không gian Afin    n n \ W Cho siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S), sinh ra siêu mặt bậc hai Afin

ÁNH XẠ XẠ ẢNH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC CHÙM ĐƯỜNG THẲNG TRONG P 2

3.3.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm Định nghĩa 3.3.1.1

Hàng điểm: Cho đường thẳng sP 2 Tập hợp các điểm thuộc một đường thẳng s đƣợc gọi là một hàng điểm

Kí hiệu : shoặc hgs Định nghĩa 3.3.1.2

Trong P 2 cho hai hàng điểm s và s ' Một ánh xạ xạ ảnh f s: sbiến mỗi điểm của s thành một điểm của s ' gọi là một ánh xạ xạ ảnh giữa 2 hàng điểm s và s '

- Trong P 2 cho hai đường thẳng phân biệt svà s, và một song ánh : f ss f một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo tồn tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì trên s (Theo định lí cơ bản)

- Ánh xạ xạ ảnh f sẽ đƣợc xác định nếu cho biết ba điểm phân biệt A B C , , trên s và ảnh của chúng A   f A   , B   f B   , C   f C   trên s Khi đó, mỗi điểm M s sẽ có ảnh M   s  sao cho

Trong P 2 , cho hai đường thẳng phân biệt ,s s và một điểm P không thuộc chúng Ánh xạ :f ss biến mỗi điểm M s thành điểm M    s  PM đƣợc gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s, điểm P gọi là tâm của phép f s' s

- Q s s thì f Q    Q Điểm Q đƣợc gọi là điểm tự ứng của phép chiếu xuyên tâm f

- Phép chiếu xuyên tâm là ánh xạ xạ ảnh vì:

* f bảo toàn tỉ số kép của 4 điểm

 M M M M 1 , 2 , 3 , 4    PM PM PM PM 1 , 2 , 3 , 4    M M M M 1  , 2  , 3  , 4   Định lí 3.3.1.6 Ánh xạ xạ ảnh :f ss giữa hai hàng điểm s và s là phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi giao điểm của s và s là điểm tự ứng

Thật vậy, đặt Q S S, ta cần chứng minh rằng Q là điểm tự ứng thì f là phép chiếu xuyên tâm

Lấy trên shai điểm phân biệt A B , khác với Q và gọi

Giả sử f :s s là phép chiếu xuyên tâm với tâm P thì

3.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng Định nghĩa 3.3.2.1 (Chùm đường thẳng)

Tập tất cả các đường thẳng trong P 2 cùng đi qua một điểm S được gọi là chùm đường thẳng tâm S

Chùm đường thẳng là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hàng điểm trong

P 2 Định nghĩa 3.3.2.3 (Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng)

Cho hai chùm đường thẳng phân biệt   S và   S  trong P 2 Một ánh song ánh f :   S    S ' đƣợc gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì

- Khái niệm “ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng” là đối ngẫu với khái niệm “ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm”

- Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm được xác định bởi 3 đường thẳng phân biệt , , a b c của chùm  S và ảnh của chúng , ,a b c   của chùm  S

Trong P 2 cho hai chùm đường thẳng phân biệt   S và   S  và một đường thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S và không đi qua

S) Ánh xạ xạ ảnh f :     S  S  biến mỗi đường thẳng m    S thành đường thẳng m đi qua S và mp đƣợc gọi là phép chiếu xuyên trục, p gọi là trục của phép chiếu f

- Phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm

- Phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng p q m' m

- Nếu f :     S  S  là phép chiếu xuyên trục thì đường thẳng qSS biến thành chính nó Đường thẳng q gọi là đường thẳng tự ứng Định lí 3.3.2.7 Ánh xạ xạ ảnh f :     S  S giữa hai chùm   S và   S là phép chiếu xuyên trục khi và chỉ khi đường thẳng SS  tự ứng

Ta đi chứng minh định lí Papuýt bằng cách áp dụng các phép chiếu trên Định lí 3.3.3.1 (Papuýt)

Trong P 2 cho ba điểm phân biệt A B C 0 , 0 , 0 nằm trên đường thẳng s 0 , ba điểm

A B C nằm trên đường thẳng s 1 , sao cho 6 điểm đó đều không trùng với giao điểm của s 0 và s 1

Chứng minh rằng ba giao điểm

Gọi h : A B 0 , 1  s 0 là phép chiếu xuyên tâm, với tâm là A 1 ,

: , g s  C B là phép chiếu xuyên tâm, với tâm C 1

0 : 0 , 1 0 , 1 f  g h A B  C B là một ánh xạ xạ ảnh Đặt

+ Ta có f B   1  g h B 0   1  g Q    B 1 nên suy ra rằng ánh xạ f là một phép chiếu xuyên tâm

Suy ra B 2 là tâm của f Do đó f C   2  A 2

3.3.4 Định lí Steniner Định lí 3.3.4.1 (Steniner)

Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2   R : a Cho hai điểm cố định S 1 và S 2 nằm trên một đường ôvan và một điểm M thau đổi trên ôvan đó Khi đó ánh xạ f :     S 1  S 2 biến đường thẳng S M 1 thành đường thẳng S M 2 là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Chú ý rằng, khi M S 1 , ta xem S M 1 là tiếp tuyến của ôvan tại S 1 , đối với

S 2 cũng thế) b Ngược lại, cho ánh xạ xạ ảnh f :     S 1  S 2 giữa hai chùm phân biệt

    S 1 , S 2 Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của các đường thẳng tương ứng là một đường thẳng ôvan

Gọi d 0 là đường thẳng đi qua S 1 và S 2 , d 1 và d 2 lần lượt là tiếp tuyến của ôvan   S tại S 2 và S 1 , S 0  d 1 d 2 Lấy một điểm E cố định trên ôvan và khác với S 1 và S 2

Chọn  S S S E 0 , 1 , 2 ,  làm mục tiêu xạ ảnh, phương trình ôvan là:

Vậy f là ánh xạ xạ ảnh, và vì d 0 không tự ứng nên không là phép chiếu xuyên trục b Gọi d 0 là đường thẳng đi qua S 1 và S 2 , f d   0  d 1, f  1   d 0  d 2 Vì f không phải là phép chiếu xuyên trục nên d 0 không tự ứng, do đó d d d 0 , , 1 2 đôi một phân biệt

Vì vậy ba điểm S 0  d 1 d S S 2 , , 1 2 là ba điểm độc lập

Gọi a là một đường thẳng của chùm   S 1 khác với d 0 và d 2 , a   f a   và

E   a a Ta chọn  S S S E 0 , 1 , 2 ;  làm mục tiêu xạ ảnh

Với mỗi đường thẳng m    S 1 ta có m   f m      S 2 và đặt

Vì f là ánh xạ xạ ảnh nên:

0 1 x x x  x hay x 0 2  x x 1 2  0 Đó là phương trình của đường ôvan tiếp với d 1 và d 2 lần lươt tại S 1 và S 2 d 2 d 0 a a' d 1 m' m

S 0 Định lí 3.3.4.2 (Định lí đối ngẫu của định lí Steniner)

Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2   : a Nếu s 1 và s 2 là hai tiếp tuyến phân biệt của một đường ôvan và m là một tiếp tuyến thay đổi của ôvan đó Khi đó, ánh xạ f s: 1 s 2 biến điểm s 1 m thành điểm s 2 m, là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên tâm

(Chú ý rằng khi ms 1 thì ta xem s 1 m là điểm tiếp xúc của s 1 và ôvan, đối với s 2 cũng thế) b Ngược lại, nếu f s: 1 s 2 là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm s 1 và s 2 Khi đó, nếu f không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối hai điểm tương ứng sẽ tiếp với một đường ôvan Đường ôvan đó tiếp với s 1 và s 2 lần lƣợt tại f  1   Q và f Q   với Q s 1 s 2

3.3.5 Cách xác định một đường ôvan trong P 2   Định lí 3.3.5.1

Cho 5 điểm A B C D E , , , , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó luôn có một đường ôvan duy nhất đi qua chúng

Xét hai chùm đường thẳng   A và   B Có phép ánh xạ xạ ảnh duy nhất

  f AC  BC , f AD    BD và f AE    BE

Theo định lí đảo của định lí Staniner, giao điểm của các đường thẳng tương ứng qua ánh xạ f nằm trên đường ôvan   S Rõ ràng   S đi qua 5 điểm , , , ,

Các trường hợp đặc biệt của định lí:

Cho 4 điểm A B C D , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua các điểm còn lại Khi đó có đường ôvan duy nhất đi qua A B C D , , , và tiếp với a tại A

Cho 3 điểm A B C , , không thẳng hàng , đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua B và C, đường thẳng b đi qua B nhưng không đi qua A và C Khi đó có đường ôvan duy nhất đi qua C và tiếp với a và b lần lượt tại A và

Các kết quả đối ngẫu của các kết quả trên: Định lí 3.3.5.4

Cho 5 đường thẳng , , , ,a b c d e, trong đó không có 3 đường nào đồng quy Khi đó, có một đường ôvan duy nhất tiếp với chúng

Cho 4 đường thẳng , , ,a b c d, trong đó không có 3 đường nào đồng quy và một điểm A nằm trên a nhưng không nằm trên các đường còn lại Khi đó, có đường ôvan duy nhất tiếp với , , ,a b c d và đi qua A

Cho 3 đường thẳng , ,a b c, khôn đồng quy, một điểm A nằm trên a nhưng không nằm trên b và c, một điểm B nằm trên b nhƣng không nằm trên a và c Khi đó có duy nhất một đường ôvan duy nhất tiếp với a tại A , tiếp với b tại

Các bài tập sau đây đều xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực

Cho hai đường thẳng cố định a,b và ba điểm phân biệt P, Q, R cố định không nằm trên chúng

ĐỊNH LÍ PASCAL VÀ ĐỊNH LÍ BRIĂNGSÔNG

Tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự gọi là một hình sáu đỉnh Nó đƣợc kí hiệu là A A A A A A 1 2 3 4 5 6

Các điểm A i gọi là các đỉnh của hình sáu đỉnh đó

Các đường thẳng A A A A A A A A A A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 5 6 , 6 1 gọi là các cạnh của hình sáu đỉnh Các cặp đỉnh A 1 và A 4 , A 2 và A 5 , A 3 và A 6 gọi là các cặp cạnh đối diện

Các cặp cạnh A A 1 2 và A A 4 5 , A A 2 3 và A A 5 6 , A A 3 4 và A A 6 1 gọi là các cặp cạnh đối diện Định lí 3.4.1.2 (Pascal)

Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một đường ôvan (còn gọi là hình 6 đỉnh nội tiếp đường ôvan) thì giao của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng

Giả sử hình 6 đỉnh A A A A A A 1 2 3 4 5 6 nội tiếp đường ôvan   S

Xét ánh xạ xạ ảnh

. Theo định lí Stâyne đảo, ta có:

 M A A R , 3 , 4 ,    A A N Q 2 , 3 , ,  Điều đó chứng tỏ rẳng, có phép ánh xạ ảnh f A A: 3 4 A A 3 2 mà f M    A 2,

  3 3 f A  A , f A   4  N , f Q    R , hơn thế, f là phép chiếu xuyên tâm vì A 3 tự ứng

Suy ra, các đường thẳng MA A N QR 2 , 4 , đồng quy

Mặt khác MA 2 A N 4 P Vậy P Q R , , thẳng hàng

3.4.2 Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal

Trường hợp 1: Xét hình năm đỉnh A A A A A 1 2 3 4 5 nội tiếp đường ôvan   S

Ta xem xétA A A A A 1 2 3 4 5  A A A A A A 1 2 3 4 5 5 (tiếp tuyến của ôvan tại đỉnh A 5 )

Ta có kết quả sau đây: Định lí 3.4.2.1

Nếu hình năm đỉnh A A A A A 1 2 3 4 5 nội tiếp đường ôvan   S thì giao điểm của: cạnh A A 1 2 với cạnh A A 4 5 , cạnh A A 2 3 với tiếp tuyến của   S tại A 5, cạnh A A 3 4 với cạnh A A 5 1 thẳng hàng

Trường hợp 2 : Xét hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan   S Ta xét trường hợp ABCD AABBCD có kết quả sau: Giao điểm của tiếp tuyến tại A với cạnh BC, giao điểm hai cạnh AB và CD, giao điểm của tiếp tuyến tại B với cạnh AD

Xét hình bốn đỉnh ABCD nói trên, xét trường hợp đặc ABCD AABCCD hoặc ABCD ABBCDD thì đƣợc kết quả sau: Định lí 3.4.2.2

Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng

(Các cặp cạnh đối diện là: AB và CD, AD và BC, các cặp điỉnh đối diện là

Trường hợp 3 : Xét hình ba đỉnh ABC nội tiếp một đường ôvan, ta xét trường hợp ABC AABBCC thì được kết quả: Định lí 3.4.2.3

Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng

Hình sáu đỉnh có đối ngẫu là hình sáu cạnh Định nghĩa 3.4.3.1

Hình sáu cạnh là tập hợp có thứ tự gồm sáu đường thẳng

1 2 3 4 5 6 a a a a a a Các đường thẳng a i được gọi là các cạnh của hình sáu cạnh đó

Các giao điểm a 1 a 2 , a 2 a 3 , a 3 a 4 , a 4 a 5 , a 5 a 6 , a 6 a 1 đƣợc gọi là các đỉnh của hình sáu cạnh

Các cặp cạnh a 1 và a 4 , a 2 và a 5 , a 3 và a 6 đƣợc gọi là các cặp cạnh đối diện

Các cặp đỉnh a 1 a 2 và a 4 a 5 , a 2 a 3 và a 5 a 6 , a 3 a 4 và a 6 a 1 đƣợc gọi là các cặp đỉnh đối diện Định lí Pascal có đối ngẫu là định lí sau đây, còn gọi là định lí Briăngsông Định lí 3.4.3.2 (Briăngsông )

Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng tiếp xúc với một đường ôvan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy

Các trường hợp đặc biệt: Định lí 3.4.3.3

Nếu một hình bốn cạnh ngoại tiếp một đường ôvan thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối tiếp điểm trên các cạnh đối diện là bốn đường thẳng đồng quy a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Định lí 3.4.3.4

Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một đường ôvan thì các đường thẳng nối một đỉnh với tiếp diện trên cạnh đối diện là ba đường thẳng đồng quy a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

Cho Hypebol và hình bình hành ABCD có A C , thuộc Hypebol và các cạnh song song với các tiệm cận của Hypebol Điểm I là tâm của Hybebol Chứng minh rằng ba điểm B D I , , thẳng hàng

Cho ôvan   S cắt đường thẳng vô tận W tại P Q , và hai điểm A C , thuộc ôvan B  AQ  CP , D  AP  CQ , I  PP  QQ Chứng minh rằng ba điểm , ,

I Áp dụng định lí Pascan cho hình 6 đỉnh PPAQQC nội tiếp ô van   S

Khi đó ba giao điểm B  AQ  CP , D  AP  CQ , I  PP  QQ thẳng hàng

3.4.4 Phép biến đổi xạ ảnh của một đường ôvan Định nghĩa 3.4.4.1

Cho bốn điểm phân biệt A B C D , , , nằm trên đường ôvan   S Khi đó, từ định lí Steniner thuận ta suy ra, nếu M là một điểm thay đổi trên   S thì tỉ số kép  MA MB MC MD , , ,  có giá trị không phụ thuộc vào M Tỉ số kép đó đƣợc gọi là tỉ số kép của bốn điểm A B C D , , , trên   S

Một song ánh f :     S  S từ   S lên chính nó đƣợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh của   S nếu f bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì trên   S Định lí 3.4.4.2

Cho f :     S  S là phép biến đổi xạ ảnh khác phép đồng nhất của đường ôvan   S Khi đó, với bất kì hai điểm phân biệt M N , của   S và ảnh của chúng

M   f M , N   f N  , giao điểm của MN và M N  luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Chọn ba điểm P Q R , , phân biệt trên   S và gọi P Q R    , , là ảnh của chúng qua f Khi đó, áp dụng định lí Pascal vào lục giác PQ RP QR   ta có ba điểm

PRP R , PQP Q , RQR Q cùng nằm trên một đường thẳng d

Gọi M là điểm bất kì trên   S và M  là ảnh của nó thì vì f bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm trên   S nên ta có:

 P P P Q P R P M  ,  ,  ,     PP PQ PR PM  ,  ,  ,   do đó P M   PM   d

Tương tự, nếu N nằm trên   S và có ảnh là N  thì

P N   PN   d Áp dụng định lí Pascal cho lục giác PM NP MN    thì ta thấy giao điểm của

3.4.5 Định lí Frêgiê Định nghĩa 3.4.5.1

Một biến đổi xạ ảnh f :     S  S của ôvan   S đƣợc gọi là đối hợp của   S nếu f 2  Id   S , tức là f  f  1 Định lí 3.4.5.2 (Frêgiê)

Nếu f :     S  S là phép đối hợp của đường ôvan   S , khác với phép đồng nhất, thì đường thẳng nối hai điểm tương ứng bất kì luôn đi qua một điểm cố định, gọi là điểm Frêgiê của f

Vì f là biến đổi xạ ảnh của   S nên với hai điểm bất kì M N , của   S và ảnh M N , của chúng, ta có giao điểm M N   MN  luôn nằm trên đường thẳng d cố định

Vì f là phép đối hợp nên nếu M   f M   thì M  f M    , cho nên đối với cặp điểm ,M M ta có ảnh của chúng là cặp điểm M M,

Bởi vậy, giao điểm hai tiếp tuyến của   S tại M và M nằm trên d , tức là d đi qua đối cực của MM

Từ đó suy ra đường thẳng MM đi qua điểm F là điểm đối cực của đường thẳng d Định lí 3.4.5.3 (Định lí đảo)

Cho một điểm F cố định không nằm trên ôvan   S Với mỗi điểm M    S ta lấy điểm M    S sao cho ,F M M,  thẳng hàng Khi đó, ánh xạ f :     S  S mà f M    M  là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của   S

Gọi M N , là hai điểm của   S và M   f M   , N   f N   Khi đó có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f sao cho f    M  M  , f    N  N  , f    M   M Dễ thấy rằng, f là phép đối hợp với điểm Frêgiê là F và hiển nhiên f trùng với f

3.4.6 Đối ngẫu của định lí Frêgiê

BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ĐỐI HỢP CỦA ĐƯỜNG THẲNG

ĐỊNH LÍ DESARGUE THỨ HAI 3.5.1 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng Định nghĩa 3.5.1.1

Phép biến đổi xạ ảnh f P : n  P n đƣợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (hoặc gọi tắt là phép đối hợp) của P n nếu 2 n f  Id P

Các ví dụ của phép đối hợp là: Phép đồng nhất, phép thấu xạ cặp với tỉ số bằng  1

Trong mục này chúng ta chỉ xét các phép đối hợp của đường thẳng xạ ảnh Định lí 3.5.1.2

Cho đường thẳng sP n Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất :f ss là phép đối hợp của s khi và chỉ khi

) Giả sử ta có f là phép đối hợp:

Nếu f là phép biến đổi xạ ảnh của s và tồn tại M M,  sao cho M  f M    và M   f M   Với mọi điểm N  s N   M  ta gọi N   f N   và N   f N    thì ta có

Suy ra N   N , vậy f là phép đối hợp

3.5.2 Điểm bất động của phép đối hợp Định lí 3.5.2.1

Cho phép đối hợp :f ss của đường thẳng s khác phép đồng nhât Nếu f có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa Q khác P , và nếu điểm M của s có ảnh M khác M thì

Vì f không phải là phép đồng nhất nên có điểm A thuộc s khác với ảnh

A   f A Điểm X thuộc s là điểm bất động của f khi và chỉ khi

 A A P X ,  , ,    A A P X  , , , , tức là khi và chỉ khi

Nếu  A A P X ,  , ,   1 thì X chính là điểm P

Nếu  A A P X ,  , ,    1 thì ta gọi X là Q , là điểm bất động thứ hai Không thể có điểm bất động thứ ba vì f khác phép đồng nhất

Bây giờ gọi M là điểm bất kì của s và M   f M   khác M thì

Nếu :f ss là phép đối hợp khác phép đồng nhất của đường thẳng s thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất động Định nghĩa 3.5.2.3

Nếu f không có điểm bất động thì ta gọi nó là phép đối hợp eliptic

Nếu f có hai điểm bất động thì ta gọi nó là phép đối hợp hypebolic

3.5.3 Xác định một phép đối hợp Định lí 3.5.3.1

Một phép đối hợp f , khác phép đồng nhất, của đường thẳng s được xác định nếu cho hai điểm phân biệt A B , thuộc s và ảnh A B , của chúng

Nếu A A và B B thì f là phép dối hợp hypebolic nên ảnh của điểm M là điểm M sao cho  A B M M , , ,     1 Vậy M  đƣợc xác định

Nếu một trong hai điểm A B , không bất động, chẳng hạn, nếu A không trùng A, thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất của s biến A thành A và biến B thành B Đó chính là phép đối hợp f đã cho

3.5.4 Chùm đường bậc hai và định lí Desargue thứ hai Định nghĩa 3.5.4.1

Trong P 2 cho 4 điểm A B C D , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Tập hợp các đường bậc hai đi qua bốn điểm đó được gọi là chùm đường bậc hai

S A B C D Bốn điểm A B C D , , , đƣợc gọi là cơ sở của chùm

- Có 3 đường bậc hai suy biến của chùm S A B C D  , , ,  thành các cặp cạnh đối của tứ đỉnh toàn phần ABCD, đó là  AB CD , ,  AC BD , ,  AD BC , 

- Nếu điểm E   A B C D , , ,  thì có một đường bậc hai duy nhất của chùm đi qua E Định lí 3.5.4.3 (Định lí Desargue thứ hai)

Trong P 2 có một chùm đường bậc hai S A B C D  , , ,  và đường thẳng s không đi qua A B C D , , , Khi đó mỗi đường bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tương ứng với nhau trong một phép đối hợp xác định của s

Giả sử   S là một đường bậc hai nào đó của chùm, tức là   S đi qua , , ,

A B C D Ta gọi M và M là giao điểm của   S và s thì ta có lục giác

Theo định lí Pascal, ba điểm P  AB  DM , QBCMM, R  CD  M A  thẳng hàng

Gọi f s 1 : AB là phép chiếu xuyên tâm, với tâm D f 2 :ABCD là phép chieus xuyên tâm , với tâm Q f CD 3 : s là phép chiếu xuyên tâm, với tâm A

Khi đó, tích f  f f f s 3 : 2 1 s là phép biến đổi xạ ảnh của s biến M thành

Nếu   S là đường bậc hai của chùm, nhưng không phải là đường ôvan, chẳng hạn   S là cặp đường thẳng AB và CD ;   S cắt s tại N và N ,thì cũng dễ thấy rẳng f N    N Ngoài ra hiển nhiên f là phép đối hợp

3.5.5 Đối ngẫu của định lí Desargue thứ hai

Kí hiệu   I là chùm đường thẳng có tâm là điểm I Một ánh xạ

F I  I đƣợc gọi là biến đổi xạ ảnh của chùm   I nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đườn thẳng bất kì

Nếu ngoài ra F 2 Id   I thì F đƣợc gọi là phép đối hợp của chùm   I Định lí 3.5.5.1 (Định lí đối ngẫu của định lí Desargue thứ hai)

Xét tập hợp các đường bạc hai tiếp xúc với bốn đường thẳng cho trước , , , a b c d trong đó không có ba đường nào đồng quy Gọi I là một điểm không nằm trên , , ,a b c d Khi đó hai tiếp tuyến từ điểm I của mỗi đường bậc hai nói trên sẽ tương ứng với nhau trong cùng một phép đối hợp xác định của chùm   I

Trên ba đường thẳng không đồng quy a, b, c lần lượt lấy ba điểm A, B, C Gọi f a 1 : b là phép chiếu xuyên tâm, với tâm C; f b 2 : c là phép chiếu xuyên tâm với tâm A; f c 3 : a là phép chiếu xuyên tâm với tâm B Chứng minh rằng

3 2 1 f f f là một phép đối hợp của đường thẳng a

Trên đường thẳng s chọn mục tiêu xạ ảnh { S ,S ;S } 0 1 3 mỗi phép biến đổi xạ ảnh :f ss có biểu thức tọa độ:

Trong đó, ad bc   0 Tìm điều kiện của các hệ số a, b, c, d sao cho:

+) f là phép đối hợp eliptic

+) f là phép đối hợp hypebolic

Trên đường thẳng s với mục tiêu xạ ảnh đã chọn cho các điểm

A=(1:2), A'=(1:3), B=(1:4), B'=(1:5) a Viết biểu thức tọa độ của phép đối hợp biến A thành A’, biến B thành B’ b Tìm tọa độ các điểm P, Q của s sao cho

Cho bốn điểm A, B, C, D của đường thẳng d sao cho [A, B, C, D]=-1 Gọi : f d d là phép biến đổi xạ ảnh sao cho f(A)=C, f(C)=B, f(B)=D Chứng minh rằng f 2 là phép đối hợp

Cho bốn điểm A, A’, B, B’ trên đường thẳng s và f s: s là phép đối hợp mà f(A)=A’, f(B)=B’.Chứng minh rằng nếu f là phép eliptic thì [A, A’, B, B’] <

Cho hai đường ô van cắt nhau tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D Một đường thẳng d tiếp với hai ô van đó tại các điểm P và Q Chứng minh rằng, nếu M và M’ là giao điểm của AB và CD với d thì

Phát biểu bài toán đối ngẫu

Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm trên một đường ô van Gọi

P  CD Đường thẳng d đi qua P và tiếp với ô van tại Q, cắt AD, BC lần lƣợt tại M và M’ Tìm tỉ số kép [P, Q, M, M’]

Cho bốn đường ô van khác nhau của một chùm đường bậc hai Giả sử điểm

M có bốn đường thẳng đối cực phân biệt đối với bốn ô van đó Chứng minh rằng bốn đường thẳng đó đồng quy và tỉ số kép của chúng không phụ thuộc vào điểm

Giải bài toán Aphin: Cho I là trung điểm của dây cung PQ của đường Elip (E) Qua I vẽ hai dây cung AB và CD Gọi M, N lần lƣợt là giao điểm của AD và BC với PQ Chứng minh rằng IM=IN

Xét họ đường bậc hai tiếp với hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm cố định A và B Chứng minh rằng chúng cắt một đường thẳng c không đi qua A và

B tại cacs cắp điểm tương ứng với nhau trong một phép đối hợp của c.

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT

Trong không gian xạ ảnh P n   lấy một siêu phẳng W và xây dựng tập hợp

A P W thành một mô hình của không gian afin thực n chiều liên kết với không gian vector n Đưa vào không gian vector n một tích vô hướng thì không gian afin A n trở thành không gian Ơclit E n Khi đó không gian afin nói trên trở thành mô hình của không gian Ơclit n chiều

Trong không gian xạ ảnh P n   cho mục tiêu xạ ảnh  S i ;E  i  0, n

Gọi  S e 0; i  là mục tiêu trực chuẩn của E n sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh trên, tức là e e i j  ij ( ij 0 nếu i j và  ij 1 nếu i j) Cho một điểm X bất kì thì tọa độ không thuần nhất của điểm X  X X 1, 2, ,X n  chính là tọa độ Ơclit của nó trong  S e 0; i 

Giả sử M N, là hai điểm bất kì thuộc A n với tọa độ không thuần nhất trong hệ mục tiêu trực chuẩn  S e 0; i lần lƣợt là:

M N Khi đó tích vô hướng được trang bị là

3.6.2 Cái tuyệt đối của không gian Ơclit

Xét mô hình E n P n \W Trong siêu phẳng vô tận W xét một siêu mặt trái xoan ảo   T , có phương trình đối với mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  của P n là:

Siêu mặt   T gọi là cái tuyệt đối của không gian Ơclit E n

 gồm hai điểm ảo liên hợp I  0 :1: i  , J  0 :1:  i  nằm trên đường thẳng W Định lí 3.6.2.3

Cái tuyệt đối   T là bất biến đối với mọi phép biến đổi đồng dạng của E n

Giả sử f E: n E n là phép đồng dạng, sinh ra phép biến đổi xạ ảnh

F P P có ma trận đối với mục tiêu xạ ảnh  S E i ;  là:

Ma trận A    a ij , i j  1,2, , n Ma trận A chính là ma trận của phép đồng dạng f đối với mục tiêu trực chuẩn  S e 0; i  nên A A t kI với k 0

Nhƣ vậy biểu thức tọa độ của F là:

- A A t kI là điều kiện để có phép biến đổi đồng dạng

- Định nghĩa của cái tuyệt đối   T không phụ thuộc vào việc chọn mục tiêu trực chuẩn  S e 0; i 

- Trường hợp n2, E 2 P 2 \W, trong đó W là đường thẳng vô tận Cái tuyệt đối   T :

Nhƣ vậy   T không chứa điểm nào của P 2  

Xét P 2   thì cái tuyệt đối   T gồm hai điểm ảo:

Từ đây có định nghĩa : Định nghĩa 3.6.2.5

Hai điểm I   0 :1: i  và J   0 :1:  i  gọi là hai điểm xiclic của mặt phẳng Ơclit

3.6.3 Một số kết quả của hình học Ơclit trong mô hình

3.6.3.1 Ý nghĩa xạ ảnh của tính vuông góc trong E n Định lí 3.6.3.1

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai điểm vô tận của chúng liên hợp với nhau đối với cái tuyệt đối   T

Trong E n cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là

Trong mô hình P 2 có đường vô tận W :

Do AH  BC H   BC  suy ra  P Q I J , , ,    1

3.6.3.2 Ý nghĩa xạ ảnh của siêu cầu trong E n Định lí 3.6.3.3 Một siêu cầu bậc hai trong không gian E n là một siêu cầu tổng quát khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối   T

Trong không gian E n P n \W, một siêu cầu

Tọa độ xạ ảnh X  x 0:x 1: :x n  với

Nhƣ vậy, siêu cầu tổng quát trong E n là một siêu mặt bậc hai đi qua cái tuyệt đối   T

Ngƣợc lại, cho   S là một siêu mặt bậc hai trong E n :

Vậy   S là một siêu cầu tổng quát

+ Đường tròn là đường ôvan đi qua hai điểm xiclic I J, thuộc W

+ Tâm của siêu cầu là điểm đối cực của siêu phẳng vô tận đối với siêu cầu đó

Ví dụ 3.6.3.5 Giải bài toán sau bằng mô hình xạ ảnh:

Chứng minh rằng bán kính của đường tròn đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây cung đó

Chọn mô hình E 2 P 2 \W với 2 điểm xiclic I J,

+ Đường tròn là đường ô van   S đi qua I J ,

+ Bán kính là đường thẳng đi qua tâmO

+ Tâm O là giao của hai tiếp tuyến tại I J,

+ Dây cung AB có trung điểm M , ABW K : A B M K , , ,    1

Phát biểu bài toán: Cho ô van   S cắt đường vô tận W tại I J,

Gọi O là cực của IJ đối với ô van   S Hai điểm A B, thuộc   S ,

ABW K, điểm M W :  A B M K , , ,    1 Chứng minh rằng:

Giải bài toán trong xạ ảnh:

Do O là cực của W và KW 

Suy ra OM là đường đối cực của K

S Suy ra  H K I J , , ,    1 hay OM  AB

3.6.4 Phương chính của siêu mặt bậc hai trong E 2

Trong E n cho siêu mặt bậc hai   S sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh   S của P n

Giả sử  là siêu phẳng kính liên hợp với phương c Khi đó clà phương chính của   S nếu nó vuông góc với siêu phẳng kính  Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi điểm Cứng với phương cliên hợp với mọi điểm thuộc  W Hay nói cách khác Clà đối cực của  Wđối với cái tuyệt đối (T)

- Nếu   S là siêu cầu thì mọi phương đều là phương chính

- Trong E 2 mọi đường cônic khác đường tròn đều có hai phương chính

3.6.5 Tiêu điểm của đường cônic trong E 2 Điểm F của E 2 gọi là tiêu điểm của cônic   S nếu trong không gian P 2   hai đường thẳng FI và FJ là hai tiếp tuyến của ôvan   S Như vậy tiêu điểm F là giao của hai tiếp tuyến vẽ từ I J, tới   S

Khi đó đường thẳng trong P 2 là đường đối cực của F đối với ôvan

  S chính là đường chuẩn của đường cônic   S ứng với tiêu điểm F

Xét các trường hợp: a Nếu   S là đường tròn:

+   S đi qua hai điểm xiclic I J,

+ Tiêu điểm F là tâm của đường tròn   S :

+ Các tiếp tuyến tại I J, cắt nhau tại tâm O của đường tròn ( với O là cực của W )

+ không có đường chuẩn (đường chuẩn là đường thẳng vô tận W ) b Nếu   S không là đường tròn :

+ Qua Ivà J có hai tiếp tuyến với   S

- Nếu   S là parabol thì W tiếp xúc với   S nên một trong hai tiếp tuyến tại I J, chính là W

Cặp tiếp tuyến còn lại cắt nhau tại điểm F duy nhất Đó là tiêu điểm của parabol và có một đường chuẩn d ứng với nó

- Nếu   S là hypebol và elip

4 tiếp tuyến chia thành 2 cặp ảo liên hợp với nhau

Chúng cắt nhau tại 2 điểm thực F F 1 , 2 Đó là 2 tiêu điểm của   S Mỗi F i có đường chuẩn d i ứng với nó

Trong E n cho hai đường thẳng a và b với các vector chỉ phương như trên thì số đo góc giữa a và b là số thực  đƣợc xác định bởi:

Nếu a không song song với b thì hai điểm vô tận của chúng

A a a a và B0 :b b 1: 2: :b n  không trùng nhau Ta hãy tìm tọa độ giao điểm X của đường thẳng AB với cái tuyệt đối   T Vì X nằm trên AB nên       X  A  k B , và vì X nằm trên   T nên     X t X  0 hay và ta đi đến phương trình:

Phương trình đó có hai nghiệm phức liên hợp k 1 và k 2 và ta có hai giao điểm ảo liên hợp P và Q, trong đó,     P  A k B 1   và     Q  A k B 2  

Từ đó ta suy ra:

   Đặt k 1 re it r costisint , thì k 2 re  it r costisint  và

k  nên ln  P Q A B , , ,   2 it Bởi vậy ta đi đến công thức gọi là công thức Laghe

Dùng mô hình xạ ảnh để chứng minh định lí của hình học Euclid: Ba đường cao trong phân giác đồng quy

Trong mặt phẳng Euclid cho hai đường thẳng phân biệt a, b và một điểm A thuộc a nhưng không thuộc b Một điểm C không thuộc a, b Một đường thẳng thay đổi đi qua C cắt a tại M, cắt b tại N Tìm họ đường thẳng đi qua M và vuông góc với AN

Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid để giải các bài toán sau đây trong mặt phẳng Euclid: a Cho điểm D không nằm trên các cạnh của tam giác ABC Các đường thẳng a, b, c đi qua D lần lƣợt vuông góc với DA, DB, DC và lần lƣợt cắt BC,

CA, AB tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng b Cho điểm O không nằm trên cạnh của tam giác ABC và đường thẳng d đi qua O Các đường thẳng a, b, c đi qua O lần lượt đối xứng với các đường thẳng

OA, OB, OC đối với d và lần lƣợt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng, ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng c Tìm quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông d Cho ba dây cung AB, CD, EF của một đường tròn (O) sao cho CD và EF đi qua trung điểm H của AB Gọi M, N lần lƣợt là giao điểm của AB với CE và

DF Chứng minh rằng, H cũng là trung điểm của MN Nếu thay đường tròn (O) bằng một đường conic thì bài toán còn đúng không? e Cho tiếp tuyến d tại điểm A của đường tròn và một điểm C trên đường kính AB, C nằm giữa A và B Một đường thẳng thay đổi qua C cắt đường tròn tại N và N’.Các đường thẳng BN và BN’ lần lượt cắt d tại M và M’ Gọi T và T’ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến khác d của đường tròn đi qua M và M’ Chứng minh rằng, các đường thẳng TT’ luôn đi qua một điểm cố định và giao điểm của MT và MT’ nằm trên một đường thẳng cố định f Tìm quỹ tích những điểm từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến vuông góc tới một đường conic đã cho.