Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Khoa học tự nhiên UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN --------- DƠNG PHÚ AN MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN --------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH Sinh viên thực hiện DƠNG PHÚ AN MSSV: 2114020101 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN HỌC KHÓA 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn ThS. NGUYỄN THỊ LÀI Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành được bài khóa luận, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ và kinh nghiệm quý từ phía các thầy cô giáo trường Đại họ c Quảng Nam. Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến giả ng viên ThS. Nguyễn Thị Lài là người đã tận tình giúp đỡ tôi trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành bài khóa luận này. Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ từ các thầ y cô khoa Toán và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tậ p và hoàn thành khóa luận. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân và b ạn bè đã động viên tinh thần, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi được những thiế u sót cần bổ sung và chỉnh sửa. Rất mong sự đóng góp ý kiến và nhận xét củ a quý thầy cô và các bạn để bài khóa luận trở nên hoàn chỉnh hơn. Tam kỳ, tháng 5 năm 2018. Sinh viên thực hiện Dƣơng Phú An LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Thị Lài. Các nội dung, kết quả nghiên cứu trong đề tài là trung thực không sao chép từ bất cứ tài liệu nào. Nếu không đúng như trên tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về đề tài của của mình. MỤC LỤC Chương 1: Mặt Cực Tiểu Diện Tích .............................................................................1 1.1.Lý thuyết mặt. Độ cong Gauss và độ cong trung bình ..............................................1 1.1.1.Lý thuyết mặt ..........................................................................................................1 1.1.2.Độ cong Gauss và độ cong trung bình ...................................................................8 1.2.Phương trình Lagrange .............................................................................................. 8 1.3.Bài toán Plateau .........................................................................................................9 1.4.Mặt cực tiểu không cực tiểu diện tích .....................................................................11 1.5.Phương pháp dạng cỡ .............................................................................................. 16 1.5.1.Dạng vi phân.........................................................................................................16 1.5.2.Tích ngoài của m - vector, m – covector .............................................................. 18 1.5.3.Định lý Stokes ......................................................................................................20 1.5.4.Định lý cơ bản về hình học dạng cỡ .....................................................................21 1.6.Một số ví dụ về mặt cực tiểu diện tích ....................................................................22 Chương 2: Mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính ..................27 2.1.Không gian mật độ ..................................................................................................27 2.1.1.Định nghĩa về không gian mật độ.........................................................................27 2.1.2.Độ cong trung bình trong không gian mật độ ......................................................28 2.2. Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ tuyến tính ............................................30 2.3. Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ trong không gian3 với mật độe ......32 2.4. Một số mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính .................32 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 38 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm và nghiên cứu trong hình học vi phân. Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đế n mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ. Thuật ngữ “minimal surfaces” được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằ ng không tại mọi điểm, còn thuật ngữ “area-minimizing surfaces” lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏ nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng điều hay dưới nhữ ng sự biến dạng compact, bảo toàn thể tích cho trước. Người ta đã chỉ ra rằ ng các mặt cực tiểu diện tích có rất nhiều tính chất thú vị. Ví dụ như trong không gian3 mặt có diện tích nhỏ nhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không hay mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trung bình là hằng số… Bên c ạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, đặc biệt là phương pháp dạng cỡ. Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị một hàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ , một câu hỏi luôn được đặt ra là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong không gian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không? Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướ ng dẫn và giúp đỡ của cô giáo ThS. Nguyễn Thị Lài, tôi đã chọn đề tài:” Mặt cự c tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính”. Nội dung chính của bài khóa luận gồm hai chương: Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong không gian3 như lý thuyết mặt, độ cong Gauss và độ cong trung bình và phương trình Lagrange. Đồng thời, cũng trình bày một số nội dung về mặt cực tiểu diện tích trong không gian3 như mặt cực tiểu nhưng không cực tiểu diện tích, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt cực tiểu diện tích. Chương II trình bày về mặt cực tiểu diện tích trong không gian mật độ tuyế n tính. Cụ thể trong chương này tôi sẽ trình bày về độ cong, mặt cực tiể u trong không gian mật độ đồng thời trình bày phương pháp dạng cỡ dùng để chứ ng minh một mặt cực tiểu diện tích trong không gian mật độ. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận tập trung vào việc đi tìm một phương pháp đơn giản nào đó để chứng minh mặt cực tiểu và cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về các tài liệu liên quan đến nội dung của bài khóa luận. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các tài liệu và kiến thức liên quan đến nội dung của bài khóa luận. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc các tài liệu liên quan đến nội dung của bài khóa luận. - Phân tích và tổng hợp: tham khảo, học hỏi kinh nghiệm từ các giáo viên, các tài liệu trực tuyến,… - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia liên quan đến đề tài nghiên cứu. 6. Kết cấu bài khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì bài khóa luận còn có 2 chương với nội dung cụ thể như sau: Chương 1. Mặt cực tiểu diện tích. Chương 2. Mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính. 1 NỘI DUNG Chƣơng 1: Mặt Cực Tiểu Diện Tích Trong chương này, chúng tôi trình bày kiến thức liên quan đến lý thuyết mặt cự c tiểu và cực tiểu diện tích trong không gian3 , đặc biệt trình bày sự liên hệ giữ a mặt cực tiểu và cực tiểu diện tích. Đồng thời ở chương này, chúng tôi sẽ trình bày về phương pháp dạng cỡ để chỉ ra một mặt nào đó là mặt cực tiểu diện tích. 1.1. Lý thuyết mặt. Độ cong Gauss và độ cong trung bình Trong mục này, tham khảo từ tài liệu số 1, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến khái niệm mặt trong không gian3 . 1.1.1. Lý thuyết mặt Định nghĩa 1.1. Một tập con3 S được gọi là một mặt chính qui nếup S tồn tại một lân cận3 V củap và ánh xạ 1 2 1 2 3 : , , , X U V S u u u X u X u X u X u Hình 1.1. Mặt chính qui. vớiU là một tập con mở trong2 , thỏa mãn 3 điều kiện sau: i) Ánh xạX là khả vi. 2 ii) Ánh xạX là đồng phôi. iii) Với mọiq U thì ánh xạ đạo hàm2 3 :qDX là đơn ánh. Ánh xạX được gọi là một tham số hóa củaS tạip , cặp ,U V gọi là bản đồ địa phương củaS . Hình 1.2. Bản đồ địa phương của mặtS . Định lý 1.1. Nếu:f U là hàm khả vi trên tập mở2 U . Khi đó, đồ thị củaf 3 , , : ,fG x y z z f x y là một mặt chính qui. Chứng minh: Xét: fX U G , , , ,x y x y f x y . Ta có: i)X khả vi 3 ii)1 : fX G U , , , ,x y f x y x y liên tụcX đồng phôi. iii) , 1 0 , x y x y . Khi đófG là một mặt chính qui. Ta đã biết đồ thị của một hàm hàm khả vi là một mặt chính qui, liệu rằng mộ t mặt chính qui có phải là đồ thị của một hàm khả vi nào đó hay không. Đị nh lý sau sẽ trả lời câu hỏi này. Định lý 1.2. Giả sử3 S là một mặt chính qui vàp S . Khi đó tồn tạ i lân cậnV củap tạiS sao choV là đồ thị của một hàm khả vi có mộ t trong ba dạng sau: , ; , ; ,z f x y y f x z x f y z . Hình 1.3. Mặt tham số dạng đồ thị. Chứng minh: Thật vậy, giả sử:X U S là một tham số hóa củaS tạip , , , , , , , , , .X u v x u v y u v z u v u v U 4 Theo điều kiện 3 của định nghĩa mặt chính qui, một trong các định thứ c sau phải khác 0 tại 1 X p q : , , , ; ; , , , x y y z x z u v u v u v . Giả sử , 0 , x y q u v . Xét ánh xạ2 :o X U với là phép chiếu , , ,x y z x y . Khi đó, , , , ,o X u v x u v y u v . Do , 0 , x y q u v nên theo định lý hàm ngược tồn tại lân cận1V củaq và2V của o X q sao choo X là một vi phôi từ1V lên2V . Từ đây suy ra hạn chế của lên 1V X V là đơn ánh và tồn tại hàm ngược 1 2 1:o X V V . DoX là đồng phôi ta suy ra 1X V là lân cận củap tạiS . Nhận thấyV là đồ thị của hàm hợp này , , , ,z z u x y v x y f x y . Tương tự chứng minh các trường hợp còn lại. Một cách tự nhiên là chúng ta xây dựng khái niệm giải tích cho các mặ t chính qui. Dưới đây là các định nghĩa của hàm số khả vi trên mặt chính qui và ánh xạ khả vi giữa hai mặt chính qui. Cho:f V S là hàm xác định trên một tập mởV của mặt chính quiS . Hàmf được gọi là khả vi tạip V nếu tham số hóa2 : ,X U S p X U thì hàm hợp:of X U là hàm khả vi tại 1 X p . Hàmf được gọi là khả vi trênV nếuf khả vi tại mọi điểm củaV . Tương tự chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ khả vi từ một mặ t chính qui vào một mặt chính qui như sau: 5 Cho1 2,S S là các mặt chính qui,V là tập mở trong1S và1 2:V S S là ánh xạ liên tục. Ánh xạ được gọi là khả vi tạip V nếu với các tham số hóa đã chọn nào đó1 1 1:X U S và2 2 2:X U S , trong đó 1 1p X U V và 2 1 2 2X U X U , ánh xạ 1 2 1 1 2:o oX X U U là hàm khả vi tại 1 X p . Ánh xạ được gọi là khả vi trênV nếu nó khả vi tại mọi điểm củaV . Một vector tiếp xúc của mặt chính quiS tại điểmp S là vector tiếp xúc củ a một cung tham số khả vi có vết nằm trênS : , , 0 .S p Tập tất cả các vector tiếp xúc củaS tạip gọi là mặt phẳng tiếp xúc củaS tạip , kí hiệu làpT S .S là mặt chính qui,p S . Hình 1.4. Vector tiếp xúc và mặt phẳng tiếp xúc. Khi đó ta có hai vector đơn vị ( ngược chiều nhau) vuông góc vớipT S gọi là các pháp vector đơn vị tạip . Đường thẳng đi quap với vector chỉ phương là vector đơn vị này được gọi là pháp tuyến củaS tạip . Chúng ta có thể xác định một vector pháp tuyến bằng cách chọn u v u v X X N p q X X , với 1 ,q X p X là một tham số hóa củaS tạip . 6 Như vậy, chúng ta có ánh xạ khả vi rất quan trọng trong việc nghiên cứu mặt: 3 : . N X U p N p Dạng cơ bản thứ nhất: Với mỗi không gian tiếp xúcpT S , dạng toàn phương 2 : , , p p p pp I T S R I T S gọi là dạng cơ bản thứ nhất củaS tạip . LấypT S : '''' 0 '''' 0u vX u X v . Khi đó: , '''' 0 '''' 0 , '''' 0 '''' 0u v u vX u X v X u X v 2 2 , . '''' 0 , . '''' 0 . '''' 0 , . '''' 0u u u v v vX X u X X u v X X v . Đặt, , , , ,u u u v v vE X X F X X G X X . Khi đó,, ,E F G là các hệ số củ a dạng cơ bản thứ nhất. ChoR S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa độ xác định bởi tham số hóa2 :X U S . Số dương 1 dud ,u v Q A R X X v Q X R gọ i là diện tích củaR . Định nghĩa 1.2. Một mặt chính quiS được gọi là định hướng được nế u có một trường pháp vector đơn vị liên tụcN xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường pháp vectorN được gọi là một định hướng của.S Mệnh đề 1.1. Cho2 :h U là một hàm khả vi. Khi đó đồ thị củah là một mặt chính qui định hướng được. Chứng minh: Xét tham số hóa , , , , , ,X u v u v h u v u v U . 7 Khi đó hX U G vàX là một đơn ánh. Xét 2 2 , ,1 . 1 u vu v u v u v h hX X N X X X h h Vì2 2 1 0u vh h nênN là liên tục. Mệnh đề 1.2. Cho3 :f U là hàm khả vi vàa là một giá trị chính qui củaf . Khi đó 1 S f a là một mặt chính qui định hướng được. Chứng minh: Lấy điểm bất kỳp S , giả sử 0 0, , op x y z . Xét đường tham số , , , ,C t x t y t z t t R trên mặtS đi quap với 0C p . Vì đường cong nằm trên mặt nên , , ,f x t y t z t a t I . Đạo hàm cả hai vế tại0t , ta nhận được '''' 0 '''' 0 '''' 0 0x y zf p x f p y f p z . Từ đây ta suy ra vector tiếp xúc của c tại0t trực giao , ,x y zf f f tạip . Do điểmp và đường tham sốc được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , yx z x y z x y z x y z ff f N x y z f f f f f f f f f Xác định trên toàn bộS . Doa là điểm chính qui nên2 2 2 0x y zf f f tại mọi điểm của mặt. Do đóN là liên tục. Mệnh đề 1.3. NếuS là một mặt chính qui định hướng được vàN vàN là hai định hướng trên mặtS thì ta phải cóN N hoặcN N . 8 Dạng cơ bản thứ hai: Dạng toàn phương : ,p pII DN là dạng cơ bản thứ hai củaS tạip . Ta đặt, , , , ,uu uv vve N X f N X g N X . Khi đó, ,e f g là các hệ số củ a dạng cơ bản thứ hai. 1.1.2. Độ cong Gauss và độ cong trung bình Định nghĩa 1.3. Cho ,S N là mặt chính qui định hướng,p S vàpDN là đạ o hàm của ánh xạ GaussN tại điểmp . Ta sẽ gọi: i) Định thức củapDN là độ cong Gauss củaS tại điểmp , ký hiệu K p . ii) Một nửa vết củapDN , 1 2 ptr DN là độ cong trung bình củaS tạip , ký hiệu H p . Nhận xét: 1. Dễ thấy1 2 1 2. ; , 2 k k K k k H trong đó1 2,k k là hai độ cong chính. 2. Nếu thay đổi hướng của mặt thì độ cong GaussK không thay đổi còn độ cong trung bìnhH thì đổi dấu. Một mặt chính qui là mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình tại mọi điểm đề u bằng không. 1.2. Phƣơng trình Lagrange Xét mặtS trong3 là đồ thị của hàm hai biến lớp2 ,C2 3 : ,f với là một miền mở liên thông với bao đóng compact và biên trơn trong2 . MặtS được biểu diễn bởi các hàm vector: 3 : , , , , , . X x y S x y x y f x y 9 Các phép toán cụ thể cho ta 1,0,x xX f , 1,0, ,y yX f , ,1x y x yX X f f , 2 2 , ,1 1 u vu v u v u v h hX X N X X h h . Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai 2 2 2 , 1 ; , 1 xx x x x x x x y f E I X X f e I X N f f 2 2 , ; , 1 xy x Y x y x y x y f F I X X f f f I X N f f 2 2 2 , 1 ; , 1 yy y y y y y x y f G I X X f g I X N f f . NếuS là mặt cực tiểu, có nghĩa là:2 1 2 0 2 eE gG fF H EG F . Hay nói một cách tương đương2 0eE gG fF . Thay các giá trị của, ,E G F và, ,e g f tính được ở trên ta nhận được phương trình 2 2 1 1 2 0xx x yy y x y xyf f f f f f f . Phương trình trên do Lagrange phát hiện đầu tiên nên được gọi là phương trình Lagrange. 1.3. Bài toán Plateau Các thí nghiệm về màng bong bóng xà phòng của Joseph – Plateau đã cho thấy nhiều tính chất mới. Qua quá trình quan sát thí nghiệm, Plateau đã nhậ n ra rằng những màng bong bóng xà phòng chỉ có hai dạng: hoặc là ba mảnh của mặ t gặp nhau dọc theo một đường và tạo nên một góc0 120 hoặc bốn đường như thế gặp nhau tại một điểm tạo nên một góc gần0 109 . 10 Hình 1.5. Bốn đường gặp nhau tại một điểm tạo nên một góc gần0 109 . Hình 1.6. Ba mảnh của mặt gặp nhau dọc theo một đường và tạo nên một góc0 120 . Sau khi các công trình của Plateau, xuất hiện một số phương hướng toán họ c nhằm mô hình hóa và giải thích các hiện tượng trên. Một trong các tính chất đặ c biệt của màng xà phòng là tính cực tiểu diện tích (địa phương) trong lớp các mặ t cùng biên và từ đó bài toán Plateau: "Tìm một mặtD có diện tích nhỏ nhấ t trong các mặt cùng biên với đường congC cho trước" ra đời. Những kết quả thực nghiệm của bài toán đã gây hứ ng thú cho các nhà toán học trong việc tìm kiếm một phương pháp phân tích mới cho phép họ chứ ng minh sự tồn tại các mặt có diện tích nhỏ nhất biên là đường cong cho trước, từ đó đóng góp vào việc xây dựng và phát triển lý thuyết mặt cực tiểu. Người ta 11 nhận thấy rằng những mặt có diện tích nhỏ nhất là những mặt cực tiểu. Nhưng sự tồn tại của những mặt cực tiểu có diện tích nhỏ nhất thật không dễ chứ ng minh chút nào. Vì thế một phát biểu khác của bài toán Plateau được đưa ra : "Tìm một mặt cực tiểu nhận đường cong C cho trước làm biên". Như vậ y, trong các mặt cực tiểu cùng biên cho trước tồn tại mặt có diện tích nhỏ nhất, tứ c là tính cực tiểu là điều kiện cần để mặt cực tiểu diện tích nhưng đây không phải là điều kiện đủ. Khi đó xuất phát hai hướng nghiên cứu. Hướng thứ nhất nghiên cứu về lớ p các mặt có độ cong trung bình bằng không tại mọi điểm gọi là mặt cực tiểu và hướng thứ hai nghiên cứu về những mặt có diện tích nhỏ nhất trong các mặt cùng biên đồng điều cho trước gọi là mặt cực tiểu diện tích. 1.4. Mặt cực tiểu không cực tiểu diện tích Xét mặt cực tiểu : ,M x u v bị chặn bởi một đường cong JordanC và chúng ta có một biến phân , , ,t y u v x u v tV u v mà ở đó , , ,V u v u v U u v là một trường pháp vector trênM biến phân ,u v với 0C ( nghĩa là bị triệt tiêu trên biênC của mặt). Ta tính,t t u u u v v vy x tV y x tV và 2t t u v u v u v v u u vy y x x t x V x V t V V . Đặt . .u v u v v uP x x x V x V 2 . 2 ;u v u v u v u v u v v u v u v uPP x x V V x V x V x V x V x V x V 2 2 3 2u vS x x tP t PP O t . ở đây ký hiệu 3 O t là những hạng tử của t có bậc lớn hơn hoặc bằng 3; Với ký hiệu trên , chúng ta thấy rằng mặt diện tích dudt t u vA t y y v . Bây giờ chúng ta giả sửM là cực tiểu, ta thấy '''' 0 0A . 12 Định lý 1.3(Schwars). XétM là mặt cực tiểu với biên là một đườ ng cong JordanC . Nếu trong miền đóng 2 2 , 1D u v u v được chứ a bên trong phần trong của miềnR thì tồn tại một hàm số sao cho '''''''' 0 0A . VậyM không phải là mặt cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt cùng biênC . Chứng minh: Xét 2 2 2 ,D u v u v r là miền bị chặn bởi mặt nón2 2 2 u v r . Ta xác định một hàm số trongD : 2 2 2 2 2 2 , , u v r u v r u v r và xét 2 2 2 22 2 8 ( ) dudv 1 u vD r A r u v . ở đây 2 2 2 ,D u v u v r là hình tròn mở. Dĩ nhiên, " 0A R , chúng ta bắt đầu chứng minh rằng sự lựa chọn hàm ở trên dẫn đến 0A r với mọ i giá trị củar . Nếu chúng ta đặt,v uP Q và áp dụng định lý Green, ta được: 2 2 2 2 2 dud dud dudv u u v uu vvu v r D r D r v v v . Ta thấy vế trái của biểu thức bằng không vì , , 0u v r , với mọi2 2 2 u v r . Khi đó: 2 2 dud dudu v uu vvD r D r v v . Vì vậy, 2 2 2 22 2 8 ( ) dudv 1 u vD r A r u v . 13 Ta có thể chứng minh được với hàm 2 2 2 2 1 , ,1 1 u v u v u v và thì 2 22 2 8 0 1u v . Khi đó: 1 0A . Để thuận lợi chúng ta đặt ẩn mới, u v s t r r với,du rds dv rdt . Khi đó: 2 2 22 2 2 8 1 A r r dsdt r s t , 2 2 2 2 1 , , , 1 s t s t r s t s t . Trên mặt phẳng tọa độst , không phụ thuộc vàor . Mà2 ,s ss u uu r r và tương tự chov . Do đó,, , 2u v s t r và chúng ta lưu ý rằng,s t không phụ thuộc vàor . Bây giờ chúng ta có thể thay thế toán tử Laplaceuv trong tích phân trên, ta được: 2 2 ,22 2 2 8 1 s tA r r dsdt r s t . Ta có và,s t không phụ thuộc vàor cho phép chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của A r . Ta được: 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 16 1 32 1 '''' 1 r r s t r r s t s t A r dsdt r s t . Tại2 2 1, 1r s t ta có: 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 12 2 52 2 3 16 1 32 1 '''' 1 16 1 s t r s t r s t s t A r dsdt s t s dsd t t . 14 Tử số của hàm lấy tích phân luôn âm với2 2 1s t và '''' 1 0A . Có thể hiể u rằng A r giảm tại1r và chúng ta có trước đó là 1 0A . Bây giờ chúng ta chứng minh rằng đĩa tròn đơn vịD chứa trong miề n tham số . Khi đó, có một số giá trịr sao cho 2 2 2 1 , ,r r u v u v r R được xác định: 2 2 2 2 2 , , , , 0 , u v r u v r u v u v r . Lưu ý rằng0R và " 0 0A . Vậy mặt cực tiểuM trong các mặt cùng biênC không là mặt cực tiểu diệ n tích. Bây giờ ta có thể mở rộng định lý trên như sau. Định lý 1.4. XétM là mặt cực tiểu với biên của một đường congC . Nếu ả nh củaM qua ánh xạ Gauss được chứa trong nửa bán cầu của2 S thìM không phải là mặt cực tiểu diện tích trong các mặt cùng biênC . Định lí 1.5. Mặt cực tiểu diện tích thì cực tiểu. Thật vậy, giả sửS là mặt cực tiểu diện tích. Khi đó: '''' 0 2 0 0 D A hHdA H . vớiD là miền bị chặn và:h D là một hàm khả vi. VậyS là mặt cự c tiểu. Nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng được thể hiện qua ví dụ sau: Mặt Catenoid xác định bởi tham số , cosh cos , cosh sin ,X u v a u v a u v au với0, 0 2 ,a v u là mặt cực tiểu. 15 Thật vậy Hình 1.7. Catenoid và hai đĩa phẳng. Ta có: sinh cos , sinh sin , ; cosh sin , cosh cos , 0 ; cosh cos , cosh sin , 0 ; sinh cos , sinh cos , 0 ; cosh cos , cosh sin , 0 . u v uu uv vv X a u v a u v a X a u v a u v X a u v a u v X a u v a u v X a u v a u v 2 2 2 cosh cos , cosh sin , cosh sinh ; 1 cos ,sin ,sinh . cosh 2 u v u v u v X X a u v a u v a u u X X N v v u X X u Khi đó, hệ số dạng cơ bản là: 2 2 2 2 cosh 1 sinh ; ; cosh 2 0 ; 0; cosh cosh ; . cosh 2 a u E a u e u F f a u G a u g u Suy ra độ cong trung bình 2 2 2 2 2 1 2 1 cosh sinh 1 . . 0. 2 2 cosh cosh 2 1 sinh Eg fF Ge u u H EG F a u u u Vậy mặt Catenoid là mặt cực tiểu. 16 Tuy nhiên ta sẽ chỉ ra mặt Catenoid không cực tiểu diện tích trong lớ p các mặt cùng biên với nó, cụ thể với hai đĩa phẳng. Gọir là khoảng cách giữa hai đĩa phẳng. Khi đó nếur đủ lớn thì diệ n tích mặt Catenoid lớn hơn diện tích của hai đĩa phẳng hoặc nếur đủ nhỏ thì diệ n tích mặt Catenoid nhỏ hơn diện tích của...
Mặt Cực Tiểu Diện Tích
Lý thuyết mặt Độ cong Gauss và độ cong trung bình
Trong mục này, tham khảo từ tài liệu số [1], chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến khái niệm mặt trong không gian 3
1.1.1 Lý thuyết mặt Định nghĩa 1.1 Một tập con S 3 được gọi là một mặt chính qui nếu p S
tồn tại một lân cận V 3 của p và ánh xạ
Hình 1.1 Mặt chính qui với U là một tập con mở trong 2 , thỏa mãn 3 điều kiện sau: i) Ánh xạ X là khả vi ii) Ánh xạ X là đồng phôi iii) Với mọi q U thì ánh xạ đạo hàm DX q : 2 3 là đơn ánh Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa của S tại p , cặp U V , gọi là bản đồ địa phương của S
Hình 1.2 Bản đồ địa phương của mặt S Định lý 1.1 Nếu f U : là hàm khả vi trên tập mở U 2 Khi đó, đồ thị của f
G f x y z z f x y là một mặt chính qui
Ta có: i) X khả vi ii) X 1 : G f U
x y f x y , , , x y , liên tục X đồng phôi iii)
Khi đó G f là một mặt chính qui
Ta đã biết đồ thị của một hàm hàm khả vi là một mặt chính qui, liệu rằng một mặt chính qui có phải là đồ thị của một hàm khả vi nào đó hay không Định lý sau sẽ trả lời câu hỏi này Định lý 1.2 Giả sử S 3 là một mặt chính qui và p S Khi đó tồn tại lân cận V của p tại S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau:
Hình 1.3 Mặt tham số dạng đồ thị
Thật vậy, giả sử X U: S là một tham số hóa của S tại p ,
Theo điều kiện 3 của định nghĩa mặt chính qui, một trong các định thức sau phải khác 0 tại X 1 p q : , ; , ; ,
Xét ánh xạ o X U : 2 với là phép chiếu
nên theo định lý hàm ngược tồn tại lân cận V 1 của q và V 2 của o X q sao cho o X là một vi phôi từ V 1 lên V 2 Từ đây suy ra hạn chế của lên V X V 1 là đơn ánh và tồn tại hàm ngược o X 1 : V 2 V 1
Do X là đồng phôi ta suy ra X V 1 là lân cận của p tại S
Nhận thấy V là đồ thị của hàm hợp này z z u x y v x y , , , f x y ,
Tương tự chứng minh các trường hợp còn lại
Một cách tự nhiên là chúng ta xây dựng khái niệm giải tích cho các mặt chính qui Dưới đây là các định nghĩa của hàm số khả vi trên mặt chính qui và ánh xạ khả vi giữa hai mặt chính qui
Cho f V : S là hàm xác định trên một tập mở V của mặt chính qui S Hàm f được gọi là khả vi tại p V nếu tham số hóa X U : 2 S , p X U thì hàm hợp f X U o : là hàm khả vi tại X 1 p
Hàm f được gọi là khả vi trên V nếu f khả vi tại mọi điểm của V
Tương tự chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ khả vi từ một mặt chính qui vào một mặt chính qui như sau:
Cho S S 1 , 2 là các mặt chính qui, V là tập mở trong S 1 và : V S 1 S 2 là ánh xạ liên tục Ánh xạ được gọi là khả vi tại p V nếu với các tham số hóa đã chọn nào đó X 1 : U 1 S 1 và X 2 : U 2 S 2 , trong đó p X U 1 1 V và
, ánh xạ X 2 1 o o X 1 : U 1 U 2 là hàm khả vi tại X 1 p Ánh xạ được gọi là khả vi trên V nếu nó khả vi tại mọi điểm của V
Một vector tiếp xúc của mặt chính qui S tại điểm p S là vector tiếp xúc của một cung tham số khả vi có vết nằm trên S
Tập tất cả các vector tiếp xúc của S tại p gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S tại p , kí hiệu là T S p S là mặt chính qui, p S
Hình 1.4 Vector tiếp xúc và mặt phẳng tiếp xúc
Khi đó ta có hai vector đơn vị ( ngược chiều nhau) vuông góc với T S p gọi là các pháp vector đơn vị tại p Đường thẳng đi qua p với vector chỉ phương là vector đơn vị này được gọi là pháp tuyến của S tại p
Chúng ta có thể xác định một vector pháp tuyến bằng cách chọn
, với q X 1 p , X là một tham số hóa của S tại p
Như vậy, chúng ta có ánh xạ khả vi rất quan trọng trong việc nghiên cứu mặt:
Dạng cơ bản thứ nhất : Với mỗi không gian tiếp xúc T S p , dạng toàn phương
gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p
X u , X u u ' 0 2 X u , X v u ' 0 ' 0 v X v , X v v ' 0 2 Đặt E X u , X u , F X u , X v , G X v , X v Khi đó, E F G , , là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất
Cho RS là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa độ xác định bởi tham số hóa X U : 2 S Số dương u v dud , 1
A R X X v Q X R gọi là diện tích của R Định nghĩa 1.2 Một mặt chính qui S được gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt Khi đó trường pháp vector N được gọi là một định hướng của S
Mệnh đề 1.1 Cho h U : 2 là một hàm khả vi Khi đó đồ thị của h là một mặt chính qui định hướng được
Khi đó X U G h và X là một đơn ánh Xét
Vì 1 h u 2 h v 2 0 nên N là liên tục
Mệnh đề 1.2 Cho f U : 3 là hàm khả vi và a là một giá trị chính qui của f Khi đó S f 1 a là một mặt chính qui định hướng được
Lấy điểm bất kỳ p S , giả sử p x y z 0 , 0 , o Xét đường tham số
C t x t y t z t t R trên mặt S đi qua p với C 0 p Vì đường cong nằm trên mặt nên f x t , y t , z t a , t I Đạo hàm cả hai vế tại t0, ta nhận được
Từ đây ta suy ra vector tiếp xúc của c tại t0 trực giao f x , f y , f z tại p Do điểm p và đường tham số c được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng
Xác định trên toàn bộ S Do a là điểm chính qui nên f x 2 f y 2 f z 2 0 tại mọi điểm của mặt Do đó N là liên tục
Mệnh đề 1.3 Nếu S là một mặt chính qui định hướng được và N và N là hai định hướng trên mặt S thì ta phải có N N hoặc N N
Dạng cơ bản thứ hai : Dạng toàn phương II p : DN p , là dạng cơ bản thứ hai của S tại p
Ta đặt e N X , uu , f N X , uv , g N X , vv Khi đó e f g , , là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai
1.1.2 Độ cong Gauss và độ cong trung bình Định nghĩa 1.3 Cho S N , là mặt chính qui định hướng, p S và DN p là đạo hàm của ánh xạ Gauss N tại điểm p Ta sẽ gọi: i) Định thức của DN p là độ cong Gauss của S tại điểm p , ký hiệu K p ii) Một nửa vết của DN p , 1
là độ cong trung bình của S tại p , ký hiệu H p
trong đó k k 1 , 2 là hai độ cong chính
2 Nếu thay đổi hướng của mặt thì độ cong Gauss K không thay đổi còn độ cong trung bình H thì đổi dấu
Một mặt chính qui là mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình tại mọi điểm đều bằng không.
Phương trình Lagrange
Xét mặt S trong 3 là đồ thị của hàm hai biến lớp C 2 , f : 2 3 , với
là một miền mở liên thông với bao đóng compact và biên trơn trong 2 Mặt
S được biểu diễn bởi các hàm vector:
Các phép toán cụ thể cho ta X x 1,0, f x , X y 1,0, f y ,
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai
Nếu S là mặt cực tiểu, có nghĩa là: 1 2 2 0
Hay nói một cách tương đương eE gG 2 fF 0
Thay các giá trị của E G F , , và e g f , , tính được ở trên ta nhận được phương trình
Phương trình trên do Lagrange phát hiện đầu tiên nên được gọi là phương trình Lagrange.
Bài toán Plateau
Các thí nghiệm về màng bong bóng xà phòng của Joseph – Plateau đã cho thấy nhiều tính chất mới Qua quá trình quan sát thí nghiệm, Plateau đã nhận ra rằng những màng bong bóng xà phòng chỉ có hai dạng: hoặc là ba mảnh của mặt gặp nhau dọc theo một đường và tạo nên một góc 120 0 hoặc bốn đường như thế gặp nhau tại một điểm tạo nên một góc gần 109 0
Hình 1.5 Bốn đường gặp nhau tại một điểm tạo nên một góc gần 109 0
Hình 1.6 Ba mảnh của mặt gặp nhau dọc theo một đường và tạo nên một góc
Sau khi các công trình của Plateau, xuất hiện một số phương hướng toán học nhằm mô hình hóa và giải thích các hiện tượng trên Một trong các tính chất đặc biệt của màng xà phòng là tính cực tiểu diện tích (địa phương) trong lớp các mặt cùng biên và từ đó bài toán Plateau: "Tìm một mặt D có diện tích nhỏ nhất trong các mặt cùng biên với đường cong C cho trước" ra đời
Những kết quả thực nghiệm của bài toán đã gây hứng thú cho các nhà toán học trong việc tìm kiếm một phương pháp phân tích mới cho phép họ chứng minh sự tồn tại các mặt có diện tích nhỏ nhất biên là đường cong cho trước, từ đó đóng góp vào việc xây dựng và phát triển lý thuyết mặt cực tiểu Người ta nhận thấy rằng những mặt có diện tích nhỏ nhất là những mặt cực tiểu Nhưng sự tồn tại của những mặt cực tiểu có diện tích nhỏ nhất thật không dễ chứng minh chút nào Vì thế một phát biểu khác của bài toán Plateau được đưa ra :
"Tìm một mặt cực tiểu nhận đường cong C cho trước làm biên" Như vậy, trong các mặt cực tiểu cùng biên cho trước tồn tại mặt có diện tích nhỏ nhất, tức là tính cực tiểu là điều kiện cần để mặt cực tiểu diện tích nhưng đây không phải là điều kiện đủ
Khi đó xuất phát hai hướng nghiên cứu Hướng thứ nhất nghiên cứu về lớp các mặt có độ cong trung bình bằng không tại mọi điểm gọi là mặt cực tiểu và hướng thứ hai nghiên cứu về những mặt có diện tích nhỏ nhất trong các mặt cùng biên đồng điều cho trước gọi là mặt cực tiểu diện tích.
Mặt cực tiểu không cực tiểu diện tích
Với cực tiểu thu được tại điểm M (x, y, z), bị giới hạn bởi một đường cong Jordan C, ta có một biến phân u(x, y, z, t) = x + tV(x, y, z), tại đó V(x, y, z) = rot U(x, y, z), U(x, y, z) là một trường pháp vectơ trên mặt biến phân, với rot U(x, y, z) = 0 (nghĩa là rot U triệt tiêu trên biên C của mặt).
Ta tính y u t x u tV y u , v t x v tV v và
S x u x v 2 2 tP t PP 2 O t 3 ở đây ký hiệu O t 3 là những hạng tử của t có bậc lớn hơn hoặc bằng 3;
Với ký hiệu trên , chúng ta thấy rằng mặt diện tích A t y u t y v t dud v
Bây giờ chúng ta giả sử M là cực tiểu, ta thấy A ' 0 0 Định lý 1.3(Schwars) Xét M là mặt cực tiểu với biên là một đường cong Jordan C Nếu trong miền đóng D u v u , 2 v 2 1 được chứa bên trong phần trong của miền R thì tồn tại một hàm số sao cho A '' 0 0 Vậy M không phải là mặt cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt cùng biên C
Xét D u v u , 2 v 2 r 2 là miền bị chặn bởi mặt nón u 2 v 2 r 2 Ta xác định một hàm số trong D : u v r , , u 2 2 v 2 2 r 2 2 u v r
ở đây D u v u , 2 v 2 r 2 là hình tròn mở Dĩ nhiên, A " 0 R , chúng ta bắt đầu chứng minh rằng sự lựa chọn hàm ở trên dẫn đến A r 0 với mọi giá trị của r
Nếu chúng ta đặt P v , Q u và áp dụng định lý Green, ta được:
2 2 dud dud dud v u u v uu vv u v r v D r v D r v
Ta thấy vế trái của biểu thức bằng không vì u v r , , 0 , với mọi u 2 v 2 r 2
Khi đó: D r u 2 v 2 dud v D r uu vv dud v
Ta có thể chứng minh được với hàm , ,1 2 2 2 2 1
Khi đó: A 1 0 Để thuận lợi chúng ta đặt ẩn mới u , v s t r r
với du rds dv , rdt Khi đó:
Trên mặt phẳng tọa độ st , không phụ thuộc vào r Mà u s , uu 2 ss r r
và tương tự cho v Do đó, u v , s t , 2 r
và chúng ta lưu ý rằng s t , không phụ thuộc vào r Bây giờ chúng ta có thể thay thế toán tử Laplace uv trong tích phân trên, ta được:
Ta có và s t , không phụ thuộc vào r cho phép chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của A r Ta được:
Tử số của hàm lấy tích phân luôn âm với s 2 t 2 1 và A ' 1 0 Có thể hiểu rằng A r giảm tại r 1 và chúng ta có trước đó là A 1 0
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng đĩa tròn đơn vị D chứa trong miền tham số Khi đó, có một số giá trị r sao cho 1 r r , u v u , 2 v 2 r 2 R được xác định: 2 2 2
Vậy mặt cực tiểu M trong các mặt cùng biên C không là mặt cực tiểu diện tích
Bây giờ ta có thể mở rộng định lý trên như sau Định lý 1.4 Xét M là mặt cực tiểu với biên của một đường cong C Nếu ảnh của M qua ánh xạ Gauss được chứa trong nửa bán cầu của S 2 thì M không phải là mặt cực tiểu diện tích trong các mặt cùng biên C Định lí 1.5 Mặt cực tiểu diện tích thì cực tiểu
Thật vậy, giả sử S là mặt cực tiểu diện tích Khi đó:
A hHdA H với D là miền bị chặn và h D: là một hàm khả vi Vậy S là mặt cực tiểu
Nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng được thể hiện qua ví dụ sau:
Mặt Catenoid xác định bởi tham số X u v , a cosh cos , cosh sin , u v a u v au với a 0, 0 v 2 , u là mặt cực tiểu
Hình 1.7 Catenoid và hai đĩa phẳng
sinh cos , sinh sin , ; cosh sin , cosh cos , 0 ; cosh cos , cosh sin , 0 ; sinh cos , sinh cos , 0 ; cosh cos , cosh sin , 0 u v uu uv vv
2 2 2 cosh cos , cosh sin , cosh sinh ;
Khi đó, hệ số dạng cơ bản là:
Suy ra độ cong trung bình
Vậy mặt Catenoid là mặt cực tiểu.
Phương pháp dạng cỡ
Gọi r là khoảng cách giữa hai đĩa phẳng Khi đó nếu r đủ lớn thì diện tích mặt Catenoid lớn hơn diện tích của hai đĩa phẳng hoặc nếu r đủ nhỏ thì diện tích mặt Catenoid nhỏ hơn diện tích của hai đĩa phẳng
Cụ thể, chọn 1 a 4 đường Cateniod đi qua hai điểm M 1 ln 2 3 ,1 ,
M Khi đó, diện tích mặt Catenoid được giới hạn bởi hai đường tròn tâm O 1 ln 2 3 , 0 , O 2 ln 2 3 , 0 và r 1 Khi đó:
Diện tích của hai đĩa tròn khi r 1 là S 2 2
Ta thấy S 1 S 2 Vậy mặt Catenoid không cực tiểu diện tích
Tổng hợp từ các tài liệu [2], [3], [6], bài viết này sẽ trình bày phương pháp dạng cỡ để chứng minh một mặt cực tiểu là cực tiểu diện tích.
Một dạng vi phân bậc k hoặc một k – dạng vi phân trong 3 có dạng
Hệ số của một vi phân k bậc trên 3 được ký hiệu là fI, với I là bộ chỉ số (i1, , ik), 1 ≤ ii ≤ 3 Các hàm fI được gọi là hệ số của vi phân, trong đó dxI là ký hiệu viết tắt của dx^i1 ∧ ∧ dx^ik Cụ thể, với các hàm trơn P, Q, R trên 3, ta có: = ∫ f dx với I là bộ chỉ số (i1, , ik), 1 ≤ ii ≤ 3.
Dạng vi phân bậc 1 hay 1 – dạng vi phân có dạng: Pdx Qdy Rdz
Dạng vi phân bậc 2 hay 2 – dạng vi phân có dạng:
Pdx dy Qdx dz Rdy dz
Dạng vi phân bậc 3 hay 3 – dạng vi phân có dạng: Pdx dy dz
I d df dx được gọi là vi phân ngoài của dạng vi phân Phép toán này được thực hiện như phép tính vi phân thông thường với các lưu ý
0 dxdx và dx dy dy dx
Nếu là 3 – dạng vi phân thì
P P P dx dx dy dz dy dx dy dz dz dx dy dz x y z
Nếu là 2 – dạng vi phân thì
( Pdx dy Qd d d x dz Rdy dz
P P P Q Q dx dy dx dx dy dy dx dy dz dx dz dx dy dx dz x y z x y
Q R R R dx dz dz dx dy dz dy dy dz dy dz dz z x y z
là một 3 – dạng vi phân
Nếu là 2 – dạng vi phân thì
P P P Q Q Q dx dx dy dx dz dx dx dy dy dy dz dy x y z x y z
R R R dz dx dz dy dz dz x y z
Q P R Q P R dx dy dy dz dz dx x y y z z x
là một 2 – dạng vi phân
Nếu d 0 thì ta gọi là dạng vi phân đóng Như vậy mọi dạng vi phân bậc 3 trong 3 đều đóng
1.5.2 Tích ngoài của m - vector, m – covector
Xét cơ sở trực chuẩn của 3 là e e e 1 , , 2 3 , tích ngoài của m – vector
1 , , m v v , với m 1, 2,3, kí hiệu v 1 v m có những tính chất sau:
Đa tuyến tính, ví dụ với m 3, i 1, 2,3 , c là hằng số, ta có v 1 cv 2 v 3 cv 1 v 2 v 3 , v 1 v 2 v ' 2 v = v 3 1 v 2 v + v 3 1 v ' 2 v 3
Tính thay phiên, ví dụ m3 ta có v 1 v 2 v 3 v 1 v 3 v 2 , v 1 v 2 v 3 v 2 v 1 v 3
Với 3 có dạng v 1 v m thì được gọi là một m vector
Tập A(m)(3) được định nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ trong R3 có cơ sở trực chuẩn {e_1, e_2, , e_m} với số chiều C(3, m) Trong đó, C(3, m) là số chỉnh hợp chập m của 3 Ví dụ, A(2)(3) có cơ sở trực chuẩn là {e_1 ∧ e_2, e_2 ∧ e_3, e_3 ∧ e_1} có số chiều là 3.
Một m vector được gọi là đơn nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tích ngoài của m vector 3 Cụ thể, tất cả các m vector, m 1,2,3 trong 3 đều đơn Một m vector được gọi là đơn vị nếu 1
Nhận xét : Mọi mặt phẳng được định hướng đi qua gốc tọa độ đều có thể đồng nhất với 2 – vector đơn, đơn vị trong A 2 3
Thật vậy, mọi mặt phẳng đi qua gốc tọa độ đều có cơ sở trực chuẩn là
e 1 e e 2 , 2 e e 3 , 3 e 1 nên ta có điều phải chứng minh
Gọi 3* là không gian đối ngẫu của 3 có cơ sở trực chuẩn là e e e 1 * , * 2 , * 3 với
và gọi A m 3* là không gian đối ngẫu của A m 3 Ta đồng nhất A m 3 với A m 3* , 1 m 3
Mỗi phần tử của A m 3 được gọi là một m covector Ví dụ như cơ sở trực chuẩn của A 2 3 là e 1 * e e * 2 , * 2 e e * 3 , 3 * e 1 * với
Ta kí hiệu e i * dx i và thay vì viết dx i dx j ta sẽ viết dx dx i j , khi đó có thể viết lại 2-dạng vi phân trên 3 như sau:
Pe 1 * e * 2 Qe 2 * e 3 * Re 3 * e 1 * Pdx dx 1 2 Qdx dx 2 3 Rdx dx 3 1
Xét một 2 – covector trong 3 , ta có ij i * * j ij i j i j i j a e e a dx dx
Do đó một m convector là một m dạng vi phân hệ số hằng
Trước khi đi đến Định lý Stokes trong không gian 3 , ta trở lại công thức Newton – Leibniz Nếu kí hiệu a b , là biên định hướng theo chiều từ a tới b của a b , và F là hàm khả tích thì công thức
Có thể được viết lại
Công thức này được mở rộng đến các miền phẳng trở thành công thức Green mà chúng ta đã biết
Với D 2 , D trơn từng khúc và P Q , là các hàm liên tục trên D , khả vi liên tục trên D
Mở rộng công thức Green ở trên cho không gian 3 chúng ta sẽ được công thức Stokes Định lý 1.6 Giả sử mặt S và biên của nó S được định hướng một cách phù hợp, ta có:
Pdx Qdy Rdz dxdy dxdy dxdz x y y z x z
, với P Q R , , là các hàm khả vi liên tục trên miền xác định
Giả sử S là đường mặt được tham số hóa bởi :D 3 , áp dụng công thức Green ta có:
Định lý trên chỉ ra mối quan hệ giữa tích phân lấy theo một phía xác định của miền mặt S giới hạn bởi biên được định hướng phù hợp với tích phân đường lấy theo biên đó.
Chúng ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau Định lý 1.7 Giả sử là dạng vi phân bậc k trên n và S là một miền định hướng được, S là biên của S được định hướng phù hợp với S thì ta có:
1.5.4 Định lý cơ bản về hình học dạng cỡ
Xét là một k dạng vi phân trong 3 , 1 k 3 W được gọi là dạng cỡ nếu d 0 và 1, đơn, đơn vị
Trong không gian 3 chiều, tại mỗi điểm p trên mặt cong S, ta có mặt tiếp xúc Tp tại p Mặt tiếp xúc này được xác định bởi hai vectơ đơn vị u và v sao cho hệ tọa độ {u, v, N} thỏa mãn quy tắc bàn tay phải, trong đó N là vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm p.
Xét dS là một 2 - dạng vi phân sao cho dS T S p 1 và dS 1, TpS
là diện tích của mặt S Khi đó dS là một dạng cỡ và được gọi là dạng diện tích của mặt S
Hai mặt S S , ' được gọi là cùng biên ( đồng điều ) nếu S S' A với A là một miền có số chiều là 3 Kí hiệu S S' S S' với S' lấy hướng ngược lại Định lý 1.8 Cho là dạng cỡ đạt cực đại trên không gian tiếp xúc của mặt compact định hướng S , tức là p T S p 1, p S Khi đó S là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên, đồng điều với nó và ta nói rằng là dạng cỡ định cỡ mặt S
Hình 1.8 Hai mặt phẳng cùng biên đồng điều
Gọi S' là mặt cùng biên, đồng điều với S Giả sử S được định cỡ bởi dạng cỡ
Một số ví dụ về mặt cực tiểu diện tích
Mệnh đề 1.4 Trong không gian 2 đường đi ngắn nhất nối hai điểm A B , là đoạn thẳng AB
Hình 1.9 Đoạn thẳng nối 2 điểm AB là ngắn nhất
Ta có e e 1 , 2 là một cơ sở trực chuẩn của 2 e * 1 , e * 2 là một cơ sở trực chuẩn của 2* Không làm mất tính tổng quát, giả sử x x e 1 1 x e 2 2 là không gian tiếp xúc của đường thẳng AB
Dễ thấy là một dạng cỡ, định cỡ đoạn thẳng AB
Vậy đoạn thẳng AB là đường thẳng ngắn nhất nối hai điểm A B ,
Mệnh đề 1.5 Trong không gian 3 ta chứng minh mặt phẳng là mặt cực tiểu diện tích
Hình 1.10 Mặt phẳng là mặt cực tiểu diện tích
Không làm mất tính tổng quát, giả sử là mặt phẳng chứa hai đường thẳng có vector chỉ phương là: x x e 1 1 x e 2 2 x e 3 3 và y y e 1 1 y e 2 2 y e 3 3 e 3 e 1 e 2
Ta có e e e 1 , , 2 3 là một cơ sở trực chuẩn của 3 , e e e 1 * , 2 * , 3 * là một cơ sở trực chuẩn của 3* và e 1 e 3 đồng nhất với không gian tiếp xúc với mặt phẳng
Vậy e 1 * e 3 * là một dạng cỡ định cỡ của mặt phẳng
Chứng minh này áp dụng cho mọi tập con compact của mặt phẳng nên ta nói mặt phẳng là cực tiểu diện tích
Mệnh đề 1.6 Cho mặt S là mặt trong 3 với biên là đường cong C cho trước, có phương trình z f x y , Nếu mặt S là mặt cực tiểu thì S cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên đồng điều
Hình 1.11 Mặt tham số dạng đồ thị là cực tiểu thì cực tiểu diện tích
Với tham số hóa như trên ta xác định được trường vector pháp đơn vị N của mặt S như sau:
Độ cong trung bình của S tại mọi điểm
1 x xx y yy x y xy x y f f f f f f f eE gG Ff H
Đặt xác định trên D sao cho
Với a b c , , được xác định như sau
Như vậy là dạng vi phân đóng S là mặt cực tiểu
Ta có X Y det X Y N , , X Y Z 1, X Y là các 2 – vector đơn, đơn vị và X Y X Y nên là dạng cỡ định cỡ mặt cực tiểu S
Vậy mặt cực tiểu S có tham số hóa kiểu đồ thị là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên, đồng điều với nó
Mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính
Không gian mật độ
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm về không gian mật độ, mật độ tuyến tính và công thức để tính độ cong trung bình theo mật độ, từ đó xác định mặt cực tiểu theo mật độ tuyến tính
2.1.1 Định nghĩa về không gian mật độ
Hàm mật độ trong 3 là một hàm dương, khả vi thường được viết dưới dạng:
Không gian với mật độ e là không gian được trang bị hàm mật độ e dùng làm trọng số cho cả chu vi, diện tích và thể tích
Cụ thể nếu dP , dS và dV là các phần tử của chu vi, diện tích và thể tích trong 3 thì phần tử chu vi, diện tích và thể tích trong 3 với mật độ e xác định bởi công thức sau: dP e dP , dS e dS , dV e dV Không gian với mật độ e với là một hàm tuyến tính theo các biến x y z, , là không gian với mật độ tuyến tính
2.1.2 Độ cong trung bình trong không gian mật độ
Trong không gian 3 với mật độ e , độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu là H , của mặt S được xác định như sau
, với H là độ cong trung bình và N là trường pháp vector đơn vị của mặt S
Vì dN d x cos Ox N , y cos Oy N , z cos Oz N , nên ta có thể viết lại công thức tính H như sau:
H H N k k N , với x , y , z và k k 1 , 2 là các độ cong chính của mặt S
1 Trong không gian với mật độ e x , mặt phẳng là mặt có độ cong trung bình theo mật độ là 1 '
Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng:
2 Trong không gian 3 với mật độ e x , mặt tham số hóa dạng
X u v u v f u v với f là hàm khả vi Hãy tính độ cong theo mật độ của mặt tham số hóa trên
0 , 0 , u u v v u v u v uu uu uv uv vv vv
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
Ta có độ cong trung bình là
Do đó độ cong trung bình theo mật độ là
Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ tuyến tính
Ở phần này chúng tôi đi vào tìm hiểu mặt cực tiểu trong không gian 3 với mật độ e và trình bày một số ví dụ về mặt cực tiểu trong không gian 3 với mật độ e Để dễ dàng trong việc tính toán ta xét hàm theo biến x còn các biến còn lại thì tương tự Định nghĩa 2.1 ( Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ )
Mặt chính quy là mặt cực tiểu với mật độ phân bố độ cong trung bình tại mọi điểm đều bằng không Ngược lại, mặt tịnh tiến là mặt tham số hóa dạng , trong đó là hàm số có đạo hàm bậc nhất liên tục.
X u v u v f u h v với f h , là các hàm khả vi Định lý 2.1 Trong không gian 3 với mật độ e x , mặt phẳng là mặt có độ cong hằng Mặt phẳng là mặt cực tiểu khi và chỉ khi song song với trục Ox
Chứng minh: Gọi phương trình tổng quát của một mặt phẳng bất kỳ là
Ta có độ cong trung bình theo mật độ của mặt phẳng là
Mặt phẳng là mặt cực tiểu H 0 A 0 Định lý 2.2 ( Phương trình Lagrange )
Trong không gian 3 với mật độ e x , mặt tham số hóa dạng
X u v u v f u v với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu với mật độ e x khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình sau:
Chứng minh: Xét mặt S có tham số hóa là
Ta có độ cong trung bình theo mật độ e x là
Khi đó, mặt tham số hóa là mặt cực tiểu khi và chỉ khi
Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau
Hệ quả 2.1 Trong không gian 3 với mật độ e x , các mặt tịnh tiến là những mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi các hàm f và h thỏa mãn phương trình sau:
Hệ quả 2.2 Trong không gian 3 với mật độ e x , mặt có tham số hóa dạng:
X u v u v f u f là hàm khả vi là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình sau:
Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ trong không gian 3 với mật độ e
Định lý Stokes (trong không gian 3 với mật độ $\epsilon_\varphi$) khẳng định rằng tích phân vi phân bậc $k$ trên biên $\partial S$ của một miền định hướng $S$ bằng tích phân vi phân của mật độ $\epsilon_\varphi$ trên $S$.
Định nghĩa 2.4 ( Dạng cỡ trong không gian 3 với mật độ e )
Dạng vi phân được gọi là dạng cỡ trong không gian 3 với mật độ e nếu
0 d e và 1, đơn, đơn vị Định lý 2.5 ( Định lý cơ bản của hình học dạng cỡ trong không gian với mật độ tuyến tính )
Trong không gian với mật độ, cho là dạng cỡ đạt cực đại trên không gian tiếp xúc của mặt compact định hướng S , tức p T S p 1 , p S Khi đó S là mặt cực tiểu diện tích theo mật độ trong lớp các mặt cùng biên, đồng đều với nó và ta nói rằng là dạng cỡ định cỡ mặt S
Chứng minh: Gọi S ' là mặt cùng biên, đồng đều với S trong không gian với mật độ Giả sử S được định cỡ bởi dạng cỡ theo mật độ e
Một số mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính
Với sự hướng dẫn của Th.S Nguyễn Thị Lài, dưới đây là một số kết quả mà tôi tự tính toán được về mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến Định lý 2.6 Trong không gian 2 với mật độ e x , đường ngắn nhất nối hai điểm A B , d Ox là đoạn thẳng AB
Hình 2.1 Đường ngắn nhất nối hai điểm trong không gian với mật độ tuyến tính Đường thẳng nối hai điểm A B, song song với trục Ox có vector chỉ phương là x e 1 1
Vậy đoạn thẳng AB là đường nhất nối hai điểm A B, thỏa điều kiện
A B d Ox trong không gian với mật độ tuyến tính e x
Như vậy, trong không gian với mật độ tuyến tính thì đường ngắn nhất nối hai điểm không phải lúc nào cũng là đường thẳng Định lý 2.7 Trong không gian 3 với mật độ e x y , , các mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ Oxy là những mặt cực tiểu diện tích d e * 2 e * 1
Hình 2.2 Mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ Oxy là cực tiểu diện tích theo mật độ e x y ,
Mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình tổng quát là
Và e 1 e 2 đồng nhất với không gian tiếp xúc của mặt phẳng đang xét Đặt
Vậy mặt phẳng đang xét là một mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ e x y , α e* 3 e* 2 e* 1 x y z o Định lý 2.8 Trong không gian 3 với mật độ e x y , , nếu mặt tham số hóa kiểu đồ thị là mặt cực tiểu theo mật độ thì nó là mặt cực tiểu diện tích trong các lớp cùng biên đồng điều
Hình 2.3 Mặt tham số dạng đồ thị là cực tiểu theo mật độ e x y , thì cực tiểu diện tích
Gọi S là mặt tham số hóa kiểu đồ thị và là mặt cực tiểu theo mật độ Xét một tham số hóa của nó là
Ta có X Y det X Y N , , X Y Z 1, X Y là các 2 – vector đơn, đơn vị và X Y X Y nên là dạng cỡ định cỡ mặt cực tiểu theo mật độ e x y ,
Vậy S là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên, đồng điều với nó trong không gian với mật độ e x y ,
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Dưới sự hướng dẫn của Ths Nguyễn Thị Lài và các tài liệu liên quan đến vấn đề: “Mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính” có được chúng tôi đã trình bày một số nội dung như sau:
1 Trình bày tóm tắt bài toán Plateau, từ đó thể hiện xuất phát điểm của đề tài
2 Định nghĩa và tìm điều kiện cần để mặt là mặt cực tiểu diện tích Đồng thời chỉ rõ ví dụ cho thấy một mặt cực tiểu không phải lúc nào cũng cực tiểu diện tích
3 Phương pháp dạng cỡ trong không gian 3 và trong không gian 3 với mật độ tuyến tính
4 Phát biểu và chứng minh một số kết quả về mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian 3 và trong không gian 3 với mật độ tuyến tính, thể hiện ở các mệnh đề 1.4, 1.5, 1.6 và các định lý 2.1, 2.2, 2.6, 2.7, 2.8 và các hệ quả 2.1, 2.2 Đây là những kết quả đầu tiên mà tôi tự tính toán được khi nghiên cứu về đề tài này
Dù đã rất cố gắng tìm hiểu và trình bày theo cách hiểu của mình nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận vẫn không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót Chúng tôi rất mong quý Thầy Cô và bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để khóa luận được hoàn thiện hơn
Xin chân thành cảm ơn.
