Kinh Tế - Quản Lý - Khoa học xã hội - Kỹ thuật UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- LÊ ĐỨC MẠNH NHÓM ABEN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2017 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: NHÓM ABEN Sinh viên thực hiện LÊ ĐỨC MẠNH MSSV: 2113010126 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. VÕ VĂN MINH MSCB: T34-15.110-14100 Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô giáo trường Đại họ c Quảng Nam đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện bốn năm học tại trường. Xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Khoa Toán, quý thầy cô giáo của khoa đã chỉ dạy tôi, giúp tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo, giảng viên hướng dẫn Thạc sĩ Võ Văn Minh đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp này. Quảng Nam, tháng 5 năm 2017 Tác giả khóa luận Lê Đức Mạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khoá luận này là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn khoa học của Thạc sĩ Võ Văn Minh. Khóa luận được thực hiện theo yêu cầu, quy định của Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam đề ra. Quảng Nam, tháng 05 năm 2017 Tác giả khóa luận Lê Đức Mạnh MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài................................................................................................... 1 2. Mục tiêu của đề tài ................................................................................................ 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................ 1 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................... 1 5. Đóng góp của đề tài .............................................................................................. 1 6. Cấu trúc đề tài ....................................................................................................... 1 B. NỘI DUNG ................................................................................................................. 2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2 1.1. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu nhóm. ................................... 2 1.1.1. Nhóm, nhóm aben ........................................................................................... 2 1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc........................................................................................ 3 1.1.3. Nhóm thương .................................................................................................. 3 1.1.4. Đồng cấu nhóm ............................................................................................... 4 1.2. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm. ...................................................... 5 1.2.1. Tích trực tiếp của hai nhóm ............................................................................ 5 1.2.2. Tổng trực tiếp của hai nhóm ........................................................................... 5 1.2.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm ................................................. 6 1.2.4. Một số tính chất .............................................................................................. 6 1.3. Định lý Lagrange. .............................................................................................. 7 1.3.1. Tập sinh của nhóm .......................................................................................... 7 1.3.2. Cấp của nhóm, cấp của phần tử ...................................................................... 7 1.3.3. Định lý Lagrange và một số hệ quả ................................................................ 7 1.4. Tác động của một nhóm lên một tập, công thức các lớp ................................... 8 1.3.1. Tác động của một nhóm lên một tập ............................................................... 8 1.4.2. Tác động liên hợp ........................................................................................... 8 1.4.4. Công thức các lớp ........................................................................................... 8 CHƯƠNG 2: NHÓM ABEN ....................................................................................... 9 2.1. Nhóm Aben tự do, nhóm con Sylow. ................................................................ 9 2.1.1. Nhóm Aben tự do............................................................................................ 9 2.1.2. Nhóm con Sylow........................................................................................... 13 2.2. Nhóm Aben hữu hạn. ....................................................................................... 20 2.2.1. Phần tử tuần hoàn, p-nhóm nguyên sơ, nhóm con xoắn, nhóm tuần hoàn ... 20 2.2.2. Định nghĩa về nhóm aben hữu hạn ............................................................... 22 2.2.3. Tính chất của nhóm aben hữu hạn ................................................................ 22 2.3. Nhóm Aben hữu hạn sinh. ............................................................................... 28 2.3.1. Định nghĩa và ví dụ ....................................................................................... 28 2.3.2. Một số tính chất của nhóm aben hữu hạn sinh ............................................. 28 2.4. Một số bài tập liên quan. .................................................................................. 33 C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................................. 43 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 44 Trang 1 A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết nhóm là một phần kiến thức quan trọng của Đại số đại cương, tạo tiền đề để xây dựng một số cấu trúc trong đại số như vành, trường… Nhóm Aben là một trong những khái niệm quan trọng của đại số hiện đại, có nhiều ứng dụng trong Toán học cũng như các ngành khoa học khác. Là sinh viên đang học chuyên ngành Sư phạm Toán nên nhất thiết cần phải trang bị cho bản thân một nền tảng vững chắc về Đại số đại cương, cụ thể là nắm được các cấu trúc cơ bản của đại số và những kiến thức liên quan. Trong quá trình học tập nghiên cứu học phần Đại số đại cương, tôi được tiếp cận các kiến thức về lí thuyết nhóm và đặc biệt là nhóm aben. Để tìm hiểu sâu sắc hơn về cấu trúc nhóm, tôi chọn “Nhóm Aben” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu của đề tài Nội dung chính của khóa luận này là nghiên cứu một số tính chất cơ bản nhất của Nhóm Aben. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Nhóm Aben và những kiến thức liên quan - Phạm vi: Nghiên cứu trong lý thuyết nhóm. 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu. - Tổng hợp, phân tích. - Hỏi ý kiến chuyên gia. 5. Đóng góp của đề tài Qua đề tài khóa luận này, tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu về “Nhóm aben ”, từ đó làm rõ thêm các nội dung có liên quan. 6. Cấu trúc đề tài Khóa luận được trình bày gồm có 4 phần: phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo. Cấu trúc phần nội dung gồm 2 chương: - Chương 1.Kiến thức chuẩn bị. - Chương 2. Nhóm Aben. Trang 2 B. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu nhóm. 1.1.1. Nhóm, nhóm aben a) Định nghĩa: Tập hợpG cùng với phép toán nhân (.) (tương ứng phép cộng (+)) lập thành một nhóm nếu thỏ a các điều kiện sau đây: i))...()..(,,, cbacbaGcba ii), . . ,G Ga G a e e a a vớiGe là phần tử đơn vị (hay phần tử không) trong G. iii)1 1 1 , : . . Ga G a G a a a a e với1 a là phần tử nghịch đảo của a. Hơn nữa,...,, abbaGba Ta gọi( ,.)G là nhóm aben (nhóm giao hoán). b) Một số v í dụ: (1) Tập hợp các số nguyên lập thành một nhóm đối với phép (+). Tương tự, tập hợp các số hữu tỉ , tập hợp các số thực , tập hợp các số phức cũng lập thành nhóm đối với phép (+). Các nhóm này đ ều là nhóm Aben. (2) Tập hợp 0 , 0 , 0 cùng với phép (.) lập thành các nhóm Aben. Ta đi chứng minh ,. 0 lập thành một nhóm aben dựa vào định nghĩa trên. (3) Nhóm cộng các số nguyên modulo mm là nhóm aben đối với phép (.) (4) TậpnS các phép thế bậc n cùn g với phép toán là tích các phép thế lập thành một nhóm hữu hạn phần tử. Nhóm này không phải là nhóm giao hoán khi3n . NhómnS được gọi là nhóm đối xứng bậc n. (5) Tập hợp( , )G n các ma trận vuông cấp n , không suy biến với hệ số thực cùng vớ i phép toán nhân ma trận lập thành một nhóm (không giao hoán với1n ). Nhóm này được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát. c) Tính chất: ChoG là một nhóm (i) Phần tử trung lập của G là duy nhất (ii) Mỗi phần tử a của G chỉ tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo1 a . (iii) Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọiGcba ,, , ta có:ab ac hayba ca thìb c Trang 3 d) Các điều kiện tương đương: Cho G là một nhóm. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i). G là một nhóm (ii). Các phương trình.a x b và.x a b có nghiệm trong G,,a b G (iii). x có phần tử đơn vị trái và phần tử nghịch đảo trái hoặc x có phần tử đơn vị phải và phần tử nghịch đảo phải. 1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc a) Nhóm con Cho nhóm , .G vàA là một tập con khác rỗng ổn định với phép toán trênG . TậpA được gọi là nhóm con củaG nếuA cùng với phép toán cảm sinh trênG lậ p thành một nhóm. Ký hiệu:.A G b) Tính chuẩn tắc Nhóm conA củaG được gọi là nhóm con chuẩn tắc củaG nếu vớix G thì.xA Ax Kí hiệu.A G Trong đóxA vàAx lần lượt là lớp ghép trái và lớ p ghép phải của nhóm conA . c) Định nghĩa chuẩn hóa Cho G là một nhóm hữu hạn và A là nhóm con của G. Ta có :AN x G xA Ax là nhóm con lớn nhất của G nhận A làm nhóm con chuẩn tắc, nó được gọi là chuẩn hóa của A trong G. d) Nhóm đơn Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn tắc nào kháce và G. (Có thể coi khái niệm nhóm đơn là tương tự với khái niệm số nguyên tố.) 1.1.3. Nhóm thương Cho G là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó: G xA x G A cùng với phép toán hai ngôi( ).( )xA yA xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên A. Nhận xét: Nếu G là nhóm Aben thìG A cũng là nhóm Aben. Chú ý: - Cho A là nhóm con của nhóm G, nếu phần tửx A thì.xA Ax A Trang 4 - Một nhóm G với phần tử đơn vị e luôn tồn tại ít nhất hai nhóm con chuẩn tắc là e và G. - Nếu G là nhóm Aben thì mọi nhóm con của G đều là nhóm con chuẩn tắc. 1.1.4. Đồng cấu nhóm a) Định nghĩa và ví dụ - Một đồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X đến một nhóm Y sao cho( . ) ( ). ( )f a b f a f b với mọi,a b X . - NếuX Y thì đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu của X. - Đồng cấu f là đơn cấu (hay toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Một số ví dụ: (1) Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X. Ánh xạ::f A X( )a f a a là một đồng cấu và được gọi là đơn cấu chính tắc. (2) Ánh xạ đồng nhấtXid là một tự đẳng cấu. (3) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ:: Xg X A .x x A là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thươngX A . (4) Giả sử X và Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ::f X Y( )x f x e với e là phần tử trung lập của Y , là một đồng cấu gọi là đồng cấu tầm thường, được kí hiệu là . (5) Nếu:f X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược1 :f Y X cũng là một đẳng cấu. b) Ảnh và hạt nhân của đồng cấu Giả sử:f X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y . Các phần tử đơn vị của X và Y lần lượt được kí hiệu làXe vàYe . Khi đó ảnh và hạt nhân của đồng cấu f lần lượt được kí hiệu làIm f vàerK f , hơn nữa ta có định nghĩa sau:Im ( )f f X và 1 ( ) ( )Y YKerf x X f x e f e Trang 5 c) Một số tính chất của đồng cấu nhóm Tính chất 1: Giả sử X,Y,Z là nhóm. Cho:f X Y và:g Y Z là đồng cấu. Khi đó ánh xạ tích::f g X Z cũng là một đồng cấu. Đặc biệt tích hai đẳng cấu là một đẳng cấu. Tính chất 2: Giả sử:f X Y là một đồng cấu nhóm. Khi đó: i)( )X Yf e e ii) 11 ( ) ( )f x f x với mọix X Tính chất 3: Giả sử:f X Y là một đồng cấu nhóm, A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi đó: i)( )f A là một nhóm con của Y. ii)1 ( )f B là một nhóm con chuẩn tắc của X. Tính chất 4: Giả sử:f X Y là một đồng cấu nhóm,: Xp X Kerf là toàn cấu chính tắc. Khi đó: i) Có duy nhất một đồng cấu : Xf Y Kerf sao cho f f p . ii) Đẳng cấu f là một đơn cấu và Im ( )f f X . Hệ quả: i) Nếu:f X Y là đồng cấu thì( ) Xf X Kerf ii) Nếu:f X Y là toàn cấu thì( ) Xf X Y Kerf 1.2. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm. 1.2.1. Tích trực tiếp của hai nhóm Giả sử A và B là các nhóm với phép toán (.). Trên tập đích Đề các ( , ) : ,A B a b a A b B ta định nghĩa phép toán như sau:( , ).( , ) ( , )a b c d ac bd ;( , ),( , )a b c d A B Khi đóA B cùng với phép toán trên lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B. Kí hiệu:A B . 1.2.2. Tổng trực tiếp của hai nhóm Tích trực tiếp của nhóm A và B cũng được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm này, Kí hiệu:A B . Chú ý: Các khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng được áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm. Trang 6 1.2.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm a) Tích trực tiếp của nhiều nhóm Giả sử i i I G là một họ các nhóm với phép toán (.). Trên tập tích i i I G , được định nghĩa là: ,i i i ii Ii I G a a G i I , ta xác định phép toán hai ngôi như sau:( ) ( ) ( )i i I i i I i i i Ia b a b Khi đó i i I G là một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của họ nhóm i i I G . b) Tổng trực tiếp của nhiều nhóm Tổng trực tiếp của họ nhóm i i I G kí hiệu là i i I G là nhóm con thực sự của tích trực tiếp i i I G , gồm tất cả các phần tử i i I a sao choi ia e hầu hết, trong đóie là đơn vị củaiG Nhận xét: Nếu tập chỉ số I hữu hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng nhau, tức là i i I G = i i I G . 1.2.4. Một số tính chất (1)A B B A (2) A B C A B C (3) Có thể đồng nhất A (tương ứng B) với nhóm con BA e (tương ứng Ae B ) củaA B nhờ đơn cấu sau đây:BA A e Tương ứngAB e B ( , )Ba a e( , )Ab e b (4) Từ tính chất (3) suy ra mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của B trongA B : Thật vây:, ,a A b B ta có:. ( , ).( , ) ( , ) ( , ).( , ) .B A A Ba b a e e b a b e b a e b a hay. .a b b a . (5) TrongA B thì A B e (6) NhómA B được sinh bởi tậpA B tức làA B A B (7) A và B là các nhóm con chuẩn tắc củaA B (8) , A B A B B A A B Trang 7 1.3. Định lý Lagrange. 1.3.1. Tập sinh của nhóm Giả sử U là một bộ phận của nhóm X. Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con của X chứa U được gọi là nhóm con sinh bởi U. Kí hiệu:U Trong trường hợpA X ta nói rằng U là một tập sinh của X hay X được sinh bởi U. Nếu U a thì ta viếtX a . Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của U thì ta nói U là tập sinh cực tiểu của X. 1.3.2. Cấp của nhóm, cấp của phần tử a) Định nghĩa Cấp của một nhóm X, kí hiệu bởiX là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử, bằng vô cùng nếu X có vô hạn phần tử. Cấp của phần tửa X là cấp của nhóm xyclic sinh bởi a, kí hiệu: Ord(a). Chú ý: i) Cấp của a bằng 1 khi và chỉ khia e . ii) Cấp của a là m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa mãnm a e . iii) Cấp của a là vô hạn nếu không tồn tạim ,0m để0m a . Hay cấp của a vô hạn khi và chỉ khi vớin m thìn m a a . Nhận xét: Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó chỉ có một số hữu hạn phần tử. Khi đó số phần tử của G chính là cấp của G. 1.3.3. Định lý Lagrange và một số hệ quả a) Định lí: Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S là một nhóm con của nó. Khi đóG là một bội củaS . b) Hệ quả: Cho X là nhóm hữu hạn. Khi đó: i) Cấp của mọi phần tử của nhóm hữu hạn G đều là một ước số của cấp của G. ii) Nếu G có cấp nguyên tố thì G là nhóm xyclic sinh bởi một phần tửa X ,a e . Hay nói cách khác, mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. iii) Nếu G có cấp n thì mọi phần tửa X ta cón a e . Trang 8 1.4. Tác động của một nhóm lên một tập , công thức các lớp 1.4.1. Tác độ ng của mộ t nhóm lên mộ t tập ChoG là một nhóm,S là một tập hợp. Khi đó ánh xạ:: G S S cho bở i ,x s xs được gọi là tác động bên trái củaG trênS nếu thỏ a hai điều kiện sau: i) = sx ys xy ,, ; .x y G s S ii),es se là phần tử đơn vị củaG . Tương tự ta cũng có khái niệm tác động phải. Khi có một tác động trái từG lênS thì ta nóiS là mộtG tập. Để thuận tiện ta gọi chung là các tác động. 1.4.2. Tác động liên hợp ChoA là nhóm con củaG . Nhóm conB củaG được gọi là liên hợp vớiA nếu:1 : .x G B xAx 1.4.3. Nhóm con đẳng hướng Cho G là một nhóm và S là một G-tập. Vớix G , đặ t sG a G as s . Khi đósG là nhóm con của G. Hơn nữasG là nhóm con đẳ ng hướng của G ứ ng với phần tử s. 1.4.4. Công thức các lớp Định nghĩa. ChoG là một nhóm vàS là G-tập,s S . Đặ t Gs xs x G Khi đóGs là bộ phận của S. Ta gọiGs là quỹ đạo của s trong G. Tính chất. (i) Nếu,x y cùng nằm trên một lớp ghépsH G thìxs ys và ngược lại. (ii) Ta được ánh xạ: f G H S cho bở i công thức f xH xs . Ánh xạ này là một cấu xạ của cácG tập, nghĩa là thỏ a mãn điều kiện f xs xf s ,, , x G s S thực ra nó cảm sinh một song ánh từ tập các lớ p ghép tráiG H trên quỹ đạosG . (iii) NếuG là một nhóm tác động trênS ,s S thì cấp (hoặ c độ dài) của quỹ đạosG trùng với chỉ số: .sG G Mệ nh đề. Cho G là một nhóm, S là một G-tập. Các phát biểu sau đây là đúng. (i),Gs s S (ii)s S S Gs (iii)Gs Gr hoặ c; ,Gs Gr s r S Trang 9 G g S f h A CHƯƠNG 2: NHÓM ABEN 2.1. Nhóm aben tự do, nhóm con Sylow. 2.1.1. Nhóm aben tự do 2.1.1.1. Định nghĩa. ChoS là một tập khác rỗng. Nhóm aben tự do trênS hay nhóm aben tự do với cơ sởS là một cặ p),( fA trong đóA là nhóm aben,ASf : là một ánh xạ sao cho với mọi nhóm abenG và mọi ánh xạ,: GSg tồn tại duy nhất một đồng cấuGAh : sao cho giản đồ sau giao hoán, tức là.fhg Nhận xét: Nhóm A được gọi là một nhóm aben tự do nếuA S với một tậpS nào đó. Khi đóS là một cơ sở củaA . Quy ước: Nhóm 0 được gọi là nhóm aben tự do sinh bở i tập . Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu B là nhóm con của nhóm aben A sao cho nhóm thươngA B là nhóm aben tự do thì B là hạng tử trực tiếp của A. Thật vậy, ta có nhóm con B của nhóm A được gọi là hạng tử trực tiếp của A nế u tồn tại nhóm con C của A sao choA B C và0AB C . Giả sử nhóm aben tự doA B có cơ sở là iix B I . Ta có:( ) ( )i i I a A a B A B a B z x B vớiiz . Đặ t iC x i I . Khi đói i I a b z x B C suy raA B C . (1) Ngoài ra,,i i i I B B B C t x C tC ( )i i i i I I B B t x B t x B nên( )( ) 0i i A B i I t x B . Do đó iix B I là cơ sở của nhóm aben tự doA B với0it ,i I Suy ra0i i A i A t x hay0AB C (2) Từ (1),(2) suy raA B C Trang 10 Ví dụ 2: Chứng minh rằng mọi nhóm aben tự do G trên tập đơn tử thì.G Chứng minh: Giả sử G là nhóm aben tự do trên tập .aS Khi đóa là cơ sở của G và do đó, : .x G z x za Suy ra G là nhóm xyclic sinh bở i phần tử a, tức là.aG Xét tương ứng:f G xác định bở i( ) .f z za Ta chứng minh f đẳ ng cấu. - f là ánh xạ: Thật vậy, lấy1 2 1 2, ,z z z z suy ra).()( 2211 zfazazzf - f là đồng cấu nhóm. Lấy1 2,z z . Ta có:).()()()( 21212121 zzfazzazazzfzf Suy ra f là đồng cấu nhóm cộng. - f là đơn cấu. Giả sử, khi đó00.0)( 111 zaazazf suy ra0Kerf hay f là đơn ánh. - f là toàn cấu. Thật vậy,Gza luôn: ( )z f z za suy ra f là toàn ánh. Từ các kết quả trên suy raG . 2.1.1.2. Định lý. Với mỗi tập hợpS , tồn tại nhóm aben tự do trênS . Chứng minh Đặ tsH với mọiSs và s Ss HA là tổng trực tiếp của một họ nhữ ng nhóm con của nhóm. Ta chứng minhA là nhóm aben tự do trên.S Vì các nhómsH là aben với mọiSs nênA là nhóm aben. Ký hiệuASf : là ánh xạ cho bở i,)()( Sssnrf trong đó: nếurs nếu.rs Giả sửGSg : là một ánh xạ, trong đóG là một nhóm giao hoán. Với mỗi,)( An Sss chỉ có hữu hạn chỉ sốs sao cho.0sn Vì thế tương ứng:h A G cho bở i , 0s s ss S s S n h n n g s là một ánh xạ và là đồng cấu nhóm thỏ a mãn.g hf 1 0 sn Trang 11 2.1.1.3. Mệnh đề. Cho fA, là nhóm aben tự do trên một tập.S Khi đóf là đơn ánh và Sf là một hệ sinh của.A Chứng minh: Cho.a b S Xét nhóm cộng các số nguyên và ánh xạ:g S cho bở i nếu.ax nếu.ax Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấuSAh : sao cho.g hf Ta có: 1 0 .h f a hf a g a g b hf b h f b Suy ra .bfaf Vậyf là đơn ánh. GọiG là nhóm con củaA sinh bở i .Sf Với ánh xạ SfSg : cho bở i afag với mọi,Sa tồn tại duy nhất đồng cấuGAh : sao cho.fhg GọiAGi : là đồng cấu nhúng. Dễ thấy.fgi Hayi là toàn cấu. Suy rai là đẳ ng cấu. Vì thế,GA hayA sinh bở i .Sf Giả sử fA, là nhóm tự do trên.S Theo mệnh đề trên,f là đơn ánh. Vì thế người ta thường đồng nhất phần tửSs với phần tử .Asf 2.1.1.4. Định lý. (Về tính chất xạ ảnh của nhóm Aben tự do) ChoA là nhóm aben tự do trên.S Khi đó với mọi nhóm giao hoán,G mọi toàn cấu nhómHG : và mọi đồng cấu nhóm,: HA tồn tại một đồng cấu nhómGA : sao cho. Chứng minh: Ta xác định ánh xạGSg : như sau. Cho.s S Do là toàn cấu ta có thể chọn được một phần tử cố địnhGbs sao cho .sbs Đặ t .sbsg VìA là nhóm aben tự do vàG giao hoán nên tồn tại duy nhất đồng cấuGA : sao cho .sbsgs Cho k i ii Asnx ,...,1 ,., SsZn ii Do, , là những đồng cấu nhóm nên k i s i k i i i k i ii i bnsnsnx 111 .= 11 xsnsn k i i i k i ii 0 1 xg Trang 12 Hệ quả: Cho G là nhóm giao hoán và H là nhóm con của G. NếuHG là nhóm aben tự do thì tồn tại nhóm con K của G sao choKHG và. HGK Chứng minh: Xét toàn cấu chính tắc.: HGGp Theo định lý 2.1.1.4, với đồng cấu,: HGHGid tồn tại đồng cấuGHGh : sao cho.idph Vì thếHGGHGph : là đẳ ng cấu. Do tính chất của tổng trực tiếp, ta có được:.Im KerphG Do,idph ta suy rah là đơn cấu. Do đóhHG Im . Rõ ràngHKerp .Vì thếKHG với.Im HGhK 2.1.1.5. Định lý. (Về lực lượng của một cơ sở) Nếu A là nhóm aben tự do với cơ sở hữu hạn thì mọi cơ sở của A đều có phần tử bằng nhau. Chứng minh: Giả sử nhóm aben A có cơ sở hữu hạn là 1 2, ,..., nS x x x và S’ là một cơ sở khác của A (Không giả sử rằng S’ có hữu hạn phần tử) Vì S là cơ sở của A nên ta có đẳ ng cấu nhóm1 2 ... nA x x x Thật vậy Với p nguyên tố bất kỳ, ta đặ t pA px x A . Khi đó từ đẳ ng cấu trên ta có đẳ ng cấu cảm sinh:1 2 ... n A x x x pA p p p . Suy raA pA là một nhóm aben cón p phần tử. Bây giờ ta lấy1 2, ,..., ry y y là các phần tử đôi một khác nhau trong S’. Vì S’cũng là cơ sở của A nên tương tự ta có:1 2 ... ry y y p p p cũng là một nhóm con củaA pA và cór p phần tử. Do đór n p p suy rar n (điều phải chứng minh). Từ định lý trên, ta thấy rằng nếuA là nhóm aben tự do với cơ sởS thì nó cũng là nhóm aben tự do với cơ sở là một tập tùy ý có cùng lực lượng với.S Điều này dẫn đến một định lý về hạng của nhóm aben tự do. Trang 13 Định nghĩa: Hạng của một nhóm aben tự doA , kí hiệu là rankA , là lực lượ ng của một cơ sở của nó. Nhận xét: Giả sửA vàB là các nhóm aben tự do. Ta có thể chọn được một cơ sởS củaA và một cơ sởE củaB sao cho. ES Khi đóBA cũng là nhóm aben tự do với cơ sở.ES Do đó:).()()( BrankArankBArank 2.1.1.6. Định lý. (Về hạng của nhóm aben tự do) Mỗi nhóm conH của một nhóm aben tự doG hạngn là một nhóm aben tự do. Hơn nữa,.)( nHrank Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp theon . Nếu1n thì.A Do đó nếuH là nhóm con củaA thì tồn tạim để.H m Suy ra0H hoặ cH là nhóm aben tự do hạng tối đa là 1. Cho1n và giả thiết định lý đúng cho.1n Giả sử nssS ,...,1 là cơ sở của.A ChoH là nhóm con của.A Đặ t .\ nsSS GọiA là nhóm aben tự do với cơ sở.S Khi đóAHH là nhóm con của.A Theo giả thiết quy nạp,H là nhóm aben tự do với .1 nHrank Vìn A và1n A nênA A Do AAHAHHHH nênHH đẳ ng cấu với nhóm con của. Suy ra0 HH hoặ c .H H Nếu0 HH thìHH và do đó nó là nhóm aben tự do hạng tối đa là.1n Giả sử .H H Khi đóHH là nhóm aben tự do. Theo Hệ quả của định lý 2.1.1.4,H H là nhóm aben tự do hạng tối đa là.n 2.1.2. Nhóm con Sylow 2.1.2.1. Định nghĩa. Cho G là nhóm cấp n và p là số nguyên tố. Ta nói: (i) G là p-nhóm nếu n là một lũy thừa của p. (ii) Một nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G vừa là p-nhóm. (iii) Một p-nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow nếu cấp của H là lũy thừa cao nhất của p chia hết n. Trang 14 Ví dụ: Trong một nhóm cấp 100, các nhóm con cấp 5 và cấp 25 là các 5-nhóm con, trong đó các nhóm con cấp 25 là các 5-nhóm con Sylow. 2.1.2.2. Định lí. Cho G là nhóm có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó G chứa ít nhất một p-nhóm con Sylow. Để chứng minh Định lí này thì trước hết chúng ta cần sử dụng 2 Bổ đề sau: Bổ đề 1. Cho G là nhóm giao hoán cấp n. Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các cấp của các phần tử của G. Khi đó n là ước của một lũy thừa nào đó của k. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trường hợp1n là hiển nhiên. Cho1n . Khi đó tồn tại,a G a e . Kí hiệu H là nhóm con xyclic sinh bởi a. Vì G giao hoán nên H chuẩn tắc. Do đó ta có nhóm thươngG H . Vì cấp của H là cấp của a nên nó lớn hơn 1 và là ước của k. Suy ra cấp củaG H nhỏ hơn n. Gọi1n là cấp củaG H , m là cấp của H và bội chung nhỏ nhất của các cấp của các phần tử củaG H là1k . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại số tự nhiên t sao cho1n là ước của1 t k . ChoHx G H . Vì cấp của x trong nhómG H là ước của k. Suy ra1k là ước của k. Vì m là ước của k và1n n m nên n là ước của1t k . Bổ đề 2. Cho G là nhóm giao hoán có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó G chứa ít nhất một nhóm con cấp p. Chứng minh. Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các cấp của các phần tử của G. Theo Bổ đề 1, tồn tại t sao cho n là ước củat k . Vì p là ước của n nên p là ước củat k . Do p nguyên tố nên p là ước của k. Theo định nghĩa của k, tồn tại phần tửa G sao cho cấp của a là bội của p . Gọi cấp của a là r, vớir ps . Đặts b a . Khi đó b có cấp p. Thật vậy, ta cóp ps b a e . Nếui b e thìis a e do đó is là bội của ps, suy ra i là bội của p. Vì thế b có cấp là p, tức là (b) là nhóm con cấp p của G. Chứng minh bằng quy nạp theo n. Khin p thì G chính là p-nhóm con Sylow của G. Chon p , n là bội của p, và giả sử định lí đã đúng cho các nhóm có cấp là bội của p và nhỏ hơn n. Trang 15 Xét trường hợp G chứa một nhóm conH G sao cho chỉ số của H nguyên tố với p. Khi đó cấp của H nhỏ hơn n và là bội của p. Theo giả thiết quy nạp, H chứa một p-nhóm con Sylow và nó cũng là p-nhóm con Sylow của G. Giả sử tất cả nhóm con thực sự của G đều có chỉ số là bội của p. Xét tác động của G lên G bằng phép liên hợp. Kí hiệu C là tâm của G. Choa C . Khi đóaG G , trong đóaG là nhóm con đẳng hướng của a, do đóaG có chỉ số 1. Vì thế, áp dụng công thức các lớp ta có: ( : ) ( : ), a a L C n C e G G trong đó( : )C e là cấp của C và L là tập con của G sao cho( )a a LG là họ các quỹ đạo đôi một rời nhau. Choa L C . Vìa C nên tồn tạiax G sao choxa ax , tức là1 xax a . Do đóax G , tức là( : ) 1aG G . Theo giả thiết,( : )aG G là bội của p. Từ đẳng thức trên ta suy ra cấp của C là bội của p. Do C là nhóm giao hoán nên theo Bổ đề 2, C chứa một nhóm con H cấp p. Suy ra H là nhóm con chuẩn tắc của G và nhóm thươngG H có cấpn p . Vìn p nên H là nhóm con thực sự của G. Do đó chỉ số của H là bội của p, tức làn p chia hết cho p. Vì thế, áp dụng giả thiết quy nạp, tồn tại p-nhóm con Sylow K củaG H . Giả sử t n p p m , trong đó m không là bội của p. Khi đó cấp của K làt p . Chú ý rằng1t n p m . Do đó nếu G có nhóm con cấp1t p thì G có p-nhóm con Sylow. Đặt1 '''' ( )K f K , trong đó: f G G H là toàn cấu chính tắc. Khi đó K’ là nhóm con của G chứa H. Vì f là toàn cấu nên''''K H( '''')f K1 ( ( ))f f K ,K trong đó '''' : ''''K H Hx x K . Do đó( '''' : ) ( : )( : )K e K e H e . Vì thế cấp của K’ là1t p Suy ra K’ là p-nhóm con Sylow của G. Chú ý. Wielandt đã dùng tính chất sau đây của lí thuyết số để chứng minh sự tồn tại của các p-nhóm con Sylow. Nếu p là số nguyên tố không là ước của m và k là một số tự nhiên thì p không là ước của k k p m p , trong đó:( ) ( )( ) k k k k kk p m p m p p m pp . Trang 16 Cụ thể, giả sử G là nhóm cấpk p m , trong đó p không là ước của m. Gọi X là tập các tập con của G gồm đúngk p phần tử. Khi đó số phần tử của X là k k p m p . Theo tính chất trên, p không là ước của( )Card X . Chú ý rằng, với mỗix G và mỗi 1,..., k p S a a , tập 1,..., k p xS xa xa cũng gồm đúngk p phần tử, và vì thếxS X . Vì thế G tác động lên X bằng phép chuyển dịch: nếux G vàS X thìx S xS . Nếu tất cả các quỹ đạo của tác động này đều có số phần tử là bội của p thì( )Card X là bội của p, vô lí. Vì thế tồn tạiS X sao cho quỹ đạo G S xS x G của S trong X có số phần tử không là bội của p. Do đó chỉ số của nhóm con đẳng hướng SG x G xS S không là bội của p. Vì thế cấp củaSG là''''k p m , trong đó m’ là ước của m. Mặt khác, với mỗi0b S , nếu, Sx y G vớix y thì0 0,xb yb xS S và0 0xb yb . Vì thế có đơn ánh: SG S cho bởi0( )x xb Suy ra(G ) (S) k SCard Card p . Do đó(G ) k SCard p . VậyGS là p-nhóm con Sylow của G. 2.1.2.3. Định lí. (Định lý Sylow) Cho G là nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n. Các điều kiện sau là tương đương: (i) Mỗi p-nhóm con của G được chứa trong một p-nhóm con Sylow. (ii) Các p-nhóm con Sylow liên hợp với nhau. (iii) Số các p-nhóm con Sylow đồng dư với 1 theo môđun p. Chứng minh. Để chứng minh định lý này, ta cần có bổ đề sau Bổ đề. Cho G là một nhóm hữu hạn và A là nhóm con của G. Giả sử H là nhóm con của G sao choAH N , trong đóAN là chuẩn hóa của A. Khi đó HA là nhóm con của G chứa A và nhận A làm nhóm con chuẩn tắc. Chứng minh. Rõ ràngA eA HA . Choha HA vớih H vàa A . VìAh N nênha hA Ah AH . Vì thếHA AH . Trang 17 Tương tựAH HA , và vì thếHA AH . Suy ra HA là nhóm con của G chứa A . Choa A vàhb HA vớih H ,b A . VìAh N nênhA Ah . Do đó1 ( )h bab ch vớic A . Suy ra1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) .hb a hb h bab h chh c A Vậy A chuẩn tắc trong HA. Chứng minh định lí Theo Định lí 2.1.2.2, tồn tại p-nhóm con Sylow P của G. Gọi S là tập các nhóm con liên hợp với P. Xét tác động từ G lên S bằng phép liên hợp:1 x Q xQx với mọi, .x G Q S Tác động này chỉ có một quỹ đạo. Gọi 1 :PG x G xPx P là nhóm con đẳng hướng của P. Chú ý rằngPG P và( : )G P nguyên tố với p. Vì thế( : )PG G nguyên tố với p . Do đó theo công thức các lớp,( )Card S nguyên tố với p. Bây giờ ta chứng minh Định lí. (i). Cho H là p-nhóm con của G. Xét tác động của H lên S bằng phép liên hợp. Theo công thức các lớp,'''' ( ) ( : ) Q Q S Card S H H , trong đó''''S S là họ các đại diện của các quỹ đạo. Với mỗi''''Q S , do H là p-nhóm nếuQH H thì( : )QH H là bội của p. Vì( )Card S nguyên tố với p nên tồn tại''''Q S sao choQH H . Kí hiệu( )N Q là nhóm con chuẩn hóa của Q trong G. DoQH H nên. Theo Bổ đề trên, HQ là nhóm con của G nhận Q làm nhóm con chuẩn tắc. Ta có nhóm thương ( )HQ Q H H Q . Vì H là p-nhóm nênHQ Q là p-nhóm. Do Q là p-nhóm nên HQ là p-nhóm chứa Q. Vì Q liên hợp với P nên Q là p-nhóm con Sylow của G. Suy raHQ Q . Vì thế.H Q (ii). Giả sử H là p-nhóm con Sylow của G. Theo chứng minh (i), tồn tạiQ S sao choH Q . Do cấp của H và Q bằng nhau nênH Q . Do đó H liên hợp với P. (iii). Xét tác động của P lên S bằng phép liên hợp. Quỹ đạo của P là 1 :xPx x P , nó gồm đúng 1 phần tử. VớiQ S , nếu quỹ đạo của Q gồm đúng 1 phần tử thì( : ) 1QP P , trong đóQP là nhóm con đẳng hướng. Vì thế,QP P . Theo chứng minh (i),P Q . Suy raQ P vì chúng có cùng cấp. Vì thế, nếuQ P thì quỹ đạo của Q gồm nhiều hơn 1 phần tử với mọiQ S , và do đó( : )QP P là bội của p (do P là p-nhóm). Theo (ii), số các p-nhóm con Sylow là( )Card S . Theo công thức các lớp ta có kết quả. Trang 18 Một số ứng dụng của Định lí Sylow: Bổ đề. Cho G là nhóm cấp n. Giả sử p là một ước nguyên tố của n và P là một p- nhóm con Sylow của G. Khi đó (i) Số các p-nhóm con Sylow của G là một ước của n, nguyên tố cùng nhau với p. (ii) P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P là chuẩn tắc. Chứng minh. (i) Gọips là số các p-nhóm con Sylow. Kí hiệu 1 :S xPx x G là tập các nhóm con liên hợp với P. Theo Định lí Sylow, S cóps phần tử. Xét tác động của G lên S bằng phép liên hợp. Tác động này chỉ có 1 quỹ đạo. Theo công thức các lớp,( ) ( : )p PCard S s G G với 1 :PG x G xPx P là nhóm con đẳng hướng ứng với P. Do đóps là ước của n. Vì1(mod )ps p nênps nguyên tố cùng nhau với p. (ii) Theo chứng minh (i), P là p-nhóm con Sylow duy nhất nếu và chỉ nếu( : ) 1PG G , tức làxP Px với mọix G . Vậy P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P là chuẩn tắc. Mệnh đề. Cho G là nhóm cấp pq, trong đó p