Các định lý hàm ẩn và một số ứng dụng

Người ta đã tìm thấy nguồn gốc của định lý hàm ẩn trong ghi chépcủa Isaac Newton 1642-1727 và trong nghiên cứu của Gottfried Leibniz1646-1716 cũng đã chỉ ra rõ ràng một ví dụ điển hình c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Chử Văn Tiệp

Đà Nẵng - Năm 2023

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Miền xác định 6

1.2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 6

1.3 Vi phân hàm nhiều biến số 7

1.4 Công thức Taylor của hàm nhiều biến 9

1.5 Định lý Bolzano - Cauchy 9

1.6 Ánh xạ tuyến tính và ma trận 10

1.7 Quy tắc dây chuyền 11

1.8 Quy tắc Cramer 12

1.9 Cực trị không có điều kiện ràng buộc 12

1.9.1 Khái niệm cực trị và điều kiện cần 12

1.9.2 Điều kiện đủ 14

1.10 Cực trị có điều kiện ràng buộc 14

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÝ HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG16 2.1 Khái niệm hàm ẩn 16

2.2 Định lý hàm ẩn cho hàm hai biến 18

2.3 Định lý hàm ẩn cho hàm ba biến 23

2.4 Định lý hàm ẩn cho hàm nhiều biến 26

2.5 Định lý hàm ẩn cho hệ phương trình 29

2.6 Định lý hàm ẩn tổng quát 35

2.7 Cực trị của hàm ẩn 46

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 51

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Các công trình nghiên cứu đầu tiên về đại số bắt đầu từ Al-jabr w’almuqâbala của Mo-hammed ben Musa Al - Khowârizmi (circa A.D 825),

từ đó chúng ta có khái niệm “đại số”, trình bày các vấn đề và cách giảiquyết thông qua các ví dụ bằng số Khái niệm về “hàm số” cho dù là tườngminh hay là ẩn, đều không có nghĩa trong thời kì đó Cho đến khoảng năm

1600, ý tưởng sử dụng các chữ cái để biểu thị cho cả ẩn số và hệ số đượcgiới thiệu bởi Francois Viète (1540 - 1603) Các phương pháp đại số củaViète được René Descartes (1596 - 1650) bắt đầu thực hiện và kết hợp với

hệ trục tọa độ riêng của chính ông

Người ta đã tìm thấy nguồn gốc của định lý hàm ẩn trong ghi chépcủa Isaac Newton (1642-1727) và trong nghiên cứu của Gottfried Leibniz(1646-1716) cũng đã chỉ ra rõ ràng một ví dụ điển hình của đạo hàmhàm ẩn Trong khi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) đã tìm ra định

lý làm nền tảng quan trọng cho định lý hàm ngược thì Augustin-LouisCauchy (1789-1857) đã tiếp cận định lý hàm ẩn thông qua tính chặt chẽ

và logic của toán học và ông cũng được thừa nhận là người phát minh rađịnh lý Công thức của định lý hàm ẩn từ đó được phát triển Định lý đầutiên được xây dựng dưới dạng giải tích phức và chuỗi lũy thừa phức tạp.Khi sự quan tâm và hiểu biết về giải tích thực phát triển các dạng biếnđổi của định lý cũng bắt đầu xuất hiện Ban đầu, định lý hàm ẩn đượcxây dựng cho các hàm của hai biến thực, và tương tự như giả thiết của

ma trận Jacobi khả nghịch đơn giản là đạo hàm riêng không biến mất Vềsau, Ulisse Dini (1845-1918) đã khái quát hóa phiên bản biến số thực củađịnh lý hàm ẩn trong điều kiện của các hàm với một số biến thực bất kỳ.Khi các nhà toán học tìm hiểu kỹ hơn về định lý này, các chứng minh thaythế đã xuất hiện, và các kỹ thuật hiện đại hơn đã cho phép sự tổng quáthóa của định lý hàm ẩn được phát triển mạnh mẽ

Đối với sinh viên năm nhất thì khái niệm hàm số thường gắn với mộtbiểu thức giải tích chẳng hạn

f (x) = x2,g(y) = cos yhay

h(t) = eπt.Đây cũng chính là cách tiếp cận của Euler cách đây hơn 250 năm Tuy nhiênkhái niệm “hàm số cho bởi công thức” có những hạn chế nhất định khinghiên cứu giải tích Chẳng hạn như quỹ tích các điểm trong mặt phẳngthỏa mãn phương trình

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }thỏa mãn hai tính chất sau

i) Với mỗi x ∈ X tồn tại một phần từ y sao cho (x, y) ∈ f

ii) Nếu (x, y1) ∈ f và (x, y2) ∈ f thì y1 = y2.

Khi hai tính chất trên đúng, thì với mỗi x ∈ X xác định duy nhất một

y ∈ Y Theo định nghĩa thứ hai về hàm số thì phương trình (1) xác địnhmột hàm số y = f (x) Trường hợp này ta nói y là hàm ẩn của x

Đối với hàm hiển y = f (x), nếu hàm này khả vi tại điểm x0 nào đótrong miền xác định của nó thì giá trị của đạo hàm f0(x0) cho ta biết tốc

độ biến thiên tức thời của hàm số tại điểm đó Nói một cách khác, f0(x0)chỉ ra xu hướng tăng hay giảm của hàm số trong lân cận của điểmx0 Mộtcâu hỏi tương tự được đặt ra đối với trường hợp hàm ẩn Nếu hàm ẩn tồntại thì làm sao tính được đạo hàm tại điểm đó Chẳng hạn xét phươngtrình sau:

x2 + y2 − 5 = 0

Đây chính là phương trình đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính √

5.y

F (x, y) = 0

ta lại không thể biểu diễn y là một hàm của x Định lý hàm ẩn sẽ giúpchúng ta trả lời câu hỏi trên đồng thời cung cấp cho ta một cách tínhđạo hàm trong trường hợp hàm ẩn tồn tại và khả vi.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hàm ẩn, đồng thời góp phầnnâng cao năng lực toán học cho bản thân Cùng với sự hướng dẫn khoa họccủa TS Chử Văn Tiệp, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu khoa học

“Các định lý hàm ẩn và một số ứng dụng” làm đề tài luận văntốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu định nghĩa hàm ẩn và các phương pháp chứng minh

• Tìm hiểu các ứng dụng của định lý hàm ẩn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Định nghĩa hàm ẩn, cách tiếp cận, phương phápchứng minh các định lý hàm ẩn và một số ứng dụng của định lý hàm ẩn

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn chỉ nghiên cứu về hàm ẩn, đưa ra các ví dụ và các ứng dụngcủa định lý hàm ẩn

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệukinh điển và các bài báo mới

• Tổng hợp và thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

• Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn để cải tiến, thiết lập cáckết quả tốt hơn

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết và ứng dụng Đề tài góp phầnminh họa rõ ràng cụ thể khái niệm hàm ẩn Luận văn sau khi hoàn thành

sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên cũng như những độc giảquan tâm đến hàm ẩn và ứng dụng của nó

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số tính chất của hàm nhiều biến được sử dụng

ở các chương sau mà không nêu chứng minh Chi tiết có thể xem thêmtrong các tài liệu [1],[3],[2],[4],[5],[10]

1.1 Miền xác định

Định nghĩa 1.1.1 Xét trong không gian Euclide n chiều Rn (n > 1).Một phần tử x ∈ Rn là một bộ n số thực (x1, x2, , xn) Gọi D là mộttập hợp trong Rn Người ta gọi ánh xạ

1.2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) tiến dần tới điểm

M0(x0, y0)trong R2 và viết Mn → M0 khin→ ∞nếu lim

n →∞d(Mn, M0) = 0hay nếu trong đó d(Mn, M0) là khoảng cách từ điểm Mn → M0 và

d(Mn, M0) = p(xn− x0)2 + (yn − y0)2.Định nghĩa 1.2.2 (Đạo hàm riêng) Cho hàm số z = f (x, y) xác địnhtrên một miền D, M0(x0, y0) là một điểm của D

1 Nếu cho y = y0, hàm số một biến số x 7→ f(x, y0) có đạo hàm tại

x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0

và được kí hiệu là

fx0(x0, y0) = ∂f

∂x(x0, y0).

2 Tương tự như vậy, người ta định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với

y tại M0 và được kí hiệu là fy0(x0, y0)

3 Cho hàm số hai biến số z = f (x, y) Các đạo hàm riêng fx0, fy0 là cácđạo hàm riêng cấp một Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp mộtnếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàmriêng cấp hai được kí hiệu như sau

1.3 Vi phân hàm nhiều biến số

Định nghĩa 1.3.1 Hàm sốz = f (x, y)được gọi là khả vi tại(x0, y0) ∈ R2nếu số gia toàn phần

Biểu thức A∆x + B∆y được gọi là vi phân của hàm số f tại (x0, y0)

kí hiệu là df (x0, y0)

Định lý 1.3.2

1 Nếu f (x, y) khả vi tại (x0, y0) thì f có đạo hàm riêng tại đó và

df (x0, y0) = fx0(x0, y0)∆x + fy0(x0, y0)∆y

2 Nếu f (x, y) có các đạo hàm riêng trên một lân cận của (x0, y0) và

fx0, fy0 liên tục tại (x0, y0) thì f khả vi tại (x0, y0)

Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm hai biến z = f (x, y)

Bản thân df (x, y) = fx0(x, y)dx + fy0(x, y)dy cũng là một hàm theohai biến x, y nên ta có thể xét vi phân của nó Nếu df (x, y) có vi phânthì vi phân đó được gọi là vi phân cấp hai của f (x, y), kí hiệu là d2f (x, y)hay vắn tắt là d2f Vậy

d2f = d(df ).Tổng quát, vi phân cấp n (nếu có) của f được định nghĩa bởi

dnf = d(d(n −1)f ).Công thức vi phân cấp hai của z = f (x, y)

d2z = d(dz) = d(zx0dx + zy0dy)

= (zxx00 dx + zyx00 dy) + (zxy00 dx + zyy00 dy)dy

= z00dx2 + (zxy00 + zyx00 )dxdy + zyy00 dy2.Giả thiết thêm rằng, các đạo hàm hỗn hợp liên tục thì ta có

zxy00 = zyx00

và do đó

d2z = zxx00 dx2 + 2zxy00 dxdy + zyy00 dy2,hay ta có

1.4 Công thức Taylor của hàm nhiều biến

Định lý 1.4.1 (Công thức Taylor cho hàm hai biến) Cho f (x, y) làhàm hai biến có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + 1 trong một lâncận của điểm (a, b) Khi đó, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho với mọi (x, y) tronglân cận của điểm (a, b) ta có

∂x + (y− b) ∂

∂y

n

f (a, b) + Rn(x, y),trong đó

Rn(x, y) = 1

(n + 1)!

(x− a) ∂

∂x + (y− b) ∂

∂y

n+1

f (a+θ(x−a), b+θ(y−b))

Định lý 1.4.2 (Công thức Taylor tổng quát) Giả sử U là một tập mởtrong Rn, a ∈ U và r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ U Cho f ∈ Ck(U ), khi đóvới mọi x ∈ B(a, r) tồn tại ξ ∈ [a, x] sao cho

f (x) = f (a) + 1

1!Tn(f ) +

12!T

Tak(f ) =

(x1 − a1) ∂f

1.5 Định lý Bolzano - Cauchy

Định lý 1.5.1 Giả sử f là một hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và α làmột số nằm giữa f (a) và f (b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a, b]sao cho f (c) = α

Nói một cách khác, f lấy mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b)

Hệ quả 1.5.2 Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó, nếu

f (a).f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

1.6 Ánh xạ tuyến tính và ma trận

Định nghĩa 1.6.1 Ánh xạ L từ Rn → Rm được xác định trên toàn Rn

là tuyến tính nếu

L(X + Y) = L(X) + L(Y)với mọi X và Y thuộc Rn và

L(ax) = aL(X)với mọi X thuộc Rn và số thực a

Định lý 1.6.2 Một ánh xạ L : Rn → Rm được xác định trên toàn Rn làtuyến tính nếu và chỉ nếu

am1 am2 · · · amn





là ma trận của ánh xạ tuyến tính (1.2) aij ở hàng thứ i và thứ j của cột

A được gọi là phần tử thứ i, j của A Ta nói rằng A là ma trận m× n, vì

A có m hàng và n cột Đôi khi, ta có thể viết (1.2) như sau

A = [aij] Định nghĩa 1.6.4

1) Nếu c là một số thực và A = [aij] là ma trận m × n, thì cA là matrận m× n được xác định bởi

cA = [caij] ,trong đó cA có được bằng cách nhân mỗi hạng tử của A với c

2) Nếu A = [aij] và B = [bij] là các ma trận m× n, thì tổng A + B là

ma trận m× n

A + B = [aij + bij] ;tổng của hai ma trận m× n được tính bằng cách cộng các phần tửtương ứng Tổng của hai ma trận không được xác định trừ khi chúng

aikbkj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Như vậy, phần tử thứ (i, j) của AB được xác định bằng cách nhânmỗi phần tử hàng thứ i của A với mỗi phần tử ở cột thứ j của B vàcộng các tích đó với nhau Điều này yêu cầu A phải có cùng số cộtcũng như số hàng nhưB Nếu không thì, AB sẽ không xác định được.Định lý 1.6.5 Nếu ta xét vector

1.7 Quy tắc dây chuyền

Định lý 1.7.1 Giả sử rằng hàm giá trị thực f khả vi tại X0 trong Rn,hàm vector G = (g1, g2, , gn) khả vi tại U0 trong Rm, và X0 = G(U0)

thì hàm hợp h = f ◦ G được xác định bởi

h(U) = f (G(U))khả vi tại U0, và

dU0h = fx1(X0) dU0g1 + fx2(X0) dU0g2 + · · · + fxn(X0) dU0gn.1.8 Quy tắc Cramer

Định lý 1.8.1 Nếu A = [aij] không suy biến, thì nghiệm của hệ

a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = y2

an1x1 + an2x2 +· · · + annxn = ynđược xác định bởi

xi = Didet(A), 1 ≤ i ≤ n,trong đó Di là định thức của ma trận thu được bằng cách thay thế cột thứ icủa A bằng Y, do đó

D1 =

y1 a12 · · · a1n

y2 a22 · · · a2n

yn an2 · · · ann

(2.10)

không suy biến Khi đó, tồn tại duy nhất một tập nghiệm

y = y(x), z = z(x)liên tục, thỏa mãn hệ phương trình ϕ(x, y, z) = 0, ψ(x, y, z) = 0 sao cho

triệt tiêu tại điểm (x0, y0, z0).

∂y 6= 0 tại điểm (x0, y0) (2.11)

Để chứng minh điều này, ta cần khử ∂φ

∂y từ biểu thức bằng cách sử dụngψ(x, y, φ(x, y)) = 0, ta được

∂y Do đó, từ (2.11), ta xác địnhhàm y = y(x) là duy nhất

Đến đây, ta thay hàm z = φ(x, y) thì ta được z = φ(x, y(x)) tức là

z = z(x)

Ta có thể phát biểu định lý dưới dạng tổng quát hơn như sau

Định lý 2.5.2 ([8]) Cho Fi(x1, , , xm, y1, , , ym), i = 1, , nkhả vi trong một lân cận của điểm x0, y0

∂ (F1, , Fn)

∂ (y1, , yn) =