Các định lý hàm ẩn và một số ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Chử Văn Tiệp

Đà Nẵng - Năm 2023

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Miền xác định 6

1.2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 6

1.3 Vi phân hàm nhiều biến số 7

1.4 Công thức Taylor của hàm nhiều biến 9

1.5 Định lý Bolzano - Cauchy 9

1.6 Ánh xạ tuyến tính và ma trận 10

1.7 Quy tắc dây chuyền 11

1.8 Quy tắc Cramer 12

1.9 Cực trị không có điều kiện ràng buộc 12

1.9.1 Khái niệm cực trị và điều kiện cần 12

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Các công trình nghiên cứu đầu tiên về đại số bắt đầu từ Al-jabr w’al muqâbala của Mo-hammed ben Musa Al - Khowârizmi (circa A.D 825), từ đó chúng ta có khái niệm “đại số”, trình bày các vấn đề và cách giải quyết thông qua các ví dụ bằng số Khái niệm về “hàm số” cho dù là tường minh hay là ẩn, đều không có nghĩa trong thời kì đó Cho đến khoảng năm 1600, ý tưởng sử dụng các chữ cái để biểu thị cho cả ẩn số và hệ số được giới thiệu bởi Francois Viète (1540 - 1603) Các phương pháp đại số của Viète được René Descartes (1596 - 1650) bắt đầu thực hiện và kết hợp với hệ trục tọa độ riêng của chính ông.

Người ta đã tìm thấy nguồn gốc của định lý hàm ẩn trong ghi chép của Isaac Newton (1642-1727) và trong nghiên cứu của Gottfried Leibniz (1646-1716) cũng đã chỉ ra rõ ràng một ví dụ điển hình của đạo hàm hàm ẩn Trong khi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) đã tìm ra định lý làm nền tảng quan trọng cho định lý hàm ngược thì Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) đã tiếp cận định lý hàm ẩn thông qua tính chặt chẽ và logic của toán học và ông cũng được thừa nhận là người phát minh ra định lý Công thức của định lý hàm ẩn từ đó được phát triển Định lý đầu tiên được xây dựng dưới dạng giải tích phức và chuỗi lũy thừa phức tạp Khi sự quan tâm và hiểu biết về giải tích thực phát triển các dạng biến đổi của định lý cũng bắt đầu xuất hiện Ban đầu, định lý hàm ẩn được xây dựng cho các hàm của hai biến thực, và tương tự như giả thiết của ma trận Jacobi khả nghịch đơn giản là đạo hàm riêng không biến mất Về sau, Ulisse Dini (1845-1918) đã khái quát hóa phiên bản biến số thực của định lý hàm ẩn trong điều kiện của các hàm với một số biến thực bất kỳ Khi các nhà toán học tìm hiểu kỹ hơn về định lý này, các chứng minh thay thế đã xuất hiện, và các kỹ thuật hiện đại hơn đã cho phép sự tổng quát hóa của định lý hàm ẩn được phát triển mạnh mẽ.

Đối với sinh viên năm nhất thì khái niệm hàm số thường gắn với một

Đây cũng chính là cách tiếp cận của Euler cách đây hơn 250 năm Tuy nhiên khái niệm “hàm số cho bởi công thức” có những hạn chế nhất định khi nghiên cứu giải tích Chẳng hạn như quỹ tích các điểm trong mặt phẳng

Hình vẽ trên dường như cho thấy đây là đồ thị của một hàm số y theo biếnx Tuy nhiên rất khó khăn để chỉ ra được công thức của hàm số Theo quan điểm hiện đại, các nhà toán học định nghĩa hàm số thông qua đồ thị của nó Cụ thể như sau: Một hàm số f với miền xác định X và miền giá trị Y là một tập con của tích Decartes

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } thỏa mãn hai tính chất sau

i) Với mỗi x ∈ X tồn tại một phần từ y sao cho (x, y) ∈ f.

ii) Nếu (x, y1) ∈ f và (x, y2) ∈ f thì y1 = y2.

Khi hai tính chất trên đúng, thì với mỗi x ∈ X xác định duy nhất một y ∈ Y Theo định nghĩa thứ hai về hàm số thì phương trình (1) xác định một hàm số y = f (x) Trường hợp này ta nói y là hàm ẩn của x.

Đối với hàm hiển y = f (x), nếu hàm này khả vi tại điểm x0 nào đó trong miền xác định của nó thì giá trị của đạo hàm f0(x0) cho ta biết tốc độ biến thiên tức thời của hàm số tại điểm đó Nói một cách khác, f0(x0) chỉ ra xu hướng tăng hay giảm của hàm số trong lân cận của điểmx0 Một câu hỏi tương tự được đặt ra đối với trường hợp hàm ẩn Nếu hàm ẩn tồn tại thì làm sao tính được đạo hàm tại điểm đó Chẳng hạn xét phương

Từ hình vẽ, tại điểm (x0, y0) = (1, 2) trên đường tròn ta có thể chỉ ra trong lân cận của điểm x0 = 1 ta có thể biểu diễn y như là một hàm của

ta lại không thể biểu diễn y là một hàm của x Định lý hàm ẩn sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi trên đồng thời cung cấp cho ta một cách tính đạo hàm trong trường hợp hàm ẩn tồn tại và khả vi.

(√ 5, 0)

Cùng với định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn là một trong những định lý quan trọng nhất và là một trong những mô hình lâu đời nhất của toán học hiện đại Định lý hàm ẩn là một phần nền tảng của toán Giải tích và Hình học Được nghiên cứu ở thế kỉ 18, các hàm giải tích thực, các định lý hàm ẩn ngày nay đã trở thành công cụ quan trọng trong các lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng, hình học vi phân và hình học giải tích.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hàm ẩn, đồng thời góp phần nâng cao năng lực toán học cho bản thân Cùng với sự hướng dẫn khoa học của TS Chử Văn Tiệp, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu khoa học “Các định lý hàm ẩn và một số ứng dụng” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu định nghĩa hàm ẩn và các phương pháp chứng minh • Tìm hiểu các ứng dụng của định lý hàm ẩn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Định nghĩa hàm ẩn, cách tiếp cận, phương pháp chứng minh các định lý hàm ẩn và một số ứng dụng của định lý hàm ẩn.

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn chỉ nghiên cứu về hàm ẩn, đưa ra các ví dụ và các ứng dụng của định lý hàm ẩn.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển và các bài báo mới.

• Tổng hợp và thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài • Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn để cải tiến, thiết lập các

kết quả tốt hơn.

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết và ứng dụng Đề tài góp phần minh họa rõ ràng cụ thể khái niệm hàm ẩn Luận văn sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên cũng như những độc giả quan tâm đến hàm ẩn và ứng dụng của nó.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số tính chất của hàm nhiều biến được sử dụng ở các chương sau mà không nêu chứng minh Chi tiết có thể xem thêm trong các tài liệu [1],[3],[2],[4],[5],[10].

là một hàm số của n biến số xác định trênD; D được gọi là miền xác định của hàm số f; (x1, x2, , , , , xn) được gọi là các biến số độc lập Nếu xem x1, x2, , xn là các tọa độ của một điểm M ∈ R trong một hệ tọa độ nào đó thì cũng có thể viết u = f (M ).

1.2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) tiến dần tới điểm M0(x0, y0)trong R2 và viết Mn → M0 khin→ ∞nếu lim

n→∞d(Mn, M0) = 0 hay nếu trong đó d(Mn, M0) là khoảng cách từ điểm Mn → M0 và

d(Mn, M0) = p(xn− x0)2 + (yn − y0)2.

Định nghĩa 1.2.2 (Đạo hàm riêng) Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên một miền D, M0(x0, y0) là một điểm của D.

1 Nếu cho y = y0, hàm số một biến số x 7→ f(x, y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0

và được kí hiệu là

fx0(x0, y0) = ∂f

∂x(x0, y0).

2 Tương tự như vậy, người ta định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với y tại M0 và được kí hiệu là fy0(x0, y0).

3 Cho hàm số hai biến số z = f (x, y) Các đạo hàm riêng fx0, fy0 là các đạo hàm riêng cấp một Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau

Nhận xét 1.2.3 Đạo hàm riêng đối với hàm nhiều biến được định nghĩa hoàn toàn tương tự.

1.3 Vi phân hàm nhiều biến số

Định nghĩa 1.3.1 Hàm sốz = f (x, y)được gọi là khả vi tại(x0, y0) ∈ R2 nếu số gia toàn phần

∆f (x0, y0) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0)

theo các số gia ∆x, ∆y của các biến x, y tại (x0, y0) có thể được viết dưới dạng

∆f (x0, y0) = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y,

trong đó A, B là các hằng số (không phụ thuộc ∆x, ∆y và α → 0, β → 0 khi ∆x→ 0, ∆y → 0).

Biểu thức A∆x + B∆y được gọi là vi phân của hàm số f tại (x0, y0) kí hiệu là df (x0, y0).

Định lý 1.3.2.

1 Nếu f (x, y) khả vi tại (x0, y0) thì f có đạo hàm riêng tại đó và df (x0, y0) = fx0(x0, y0)∆x + fy0(x0, y0)∆y.

2 Nếu f (x, y) có các đạo hàm riêng trên một lân cận của (x0, y0) và fx0, fy0 liên tục tại (x0, y0) thì f khả vi tại (x0, y0).

Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm hai biến z = f (x, y).

Bản thân df (x, y) = fx0(x, y)dx + fy0(x, y)dy cũng là một hàm theo hai biến x, y nên ta có thể xét vi phân của nó Nếu df (x, y) có vi phân thì vi phân đó được gọi là vi phân cấp hai của f (x, y), kí hiệu là d2f (x, y)

1.4 Công thức Taylor của hàm nhiều biến

Định lý 1.4.1 (Công thức Taylor cho hàm hai biến) Cho f (x, y) là hàm hai biến có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + 1 trong một lân cận của điểm (a, b) Khi đó, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho với mọi (x, y) trong lân cận của điểm (a, b) ta có

f (a+θ(x−a), b+θ(y−b)) Định lý 1.4.2 (Công thức Taylor tổng quát) Giả sử U là một tập mở trong Rn, a ∈ U và r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ U Cho f ∈ Ck(U ), khi đó với mọi x ∈ B(a, r) tồn tại ξ ∈ [a, x] sao cho

Định lý 1.5.1 Giả sử f là một hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và α là một số nằm giữa f (a) và f (b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho f (c) = α.

Nói một cách khác, f lấy mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b).

Hệ quả 1.5.2 Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó, nếu f (a).f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

với mọi X thuộc Rn và số thực a.

Định lý 1.6.2 Một ánh xạ L : Rn → Rm được xác định trên toàn Rn là tuyến tính nếu và chỉ nếu

là ma trận của ánh xạ tuyến tính (1.2) aij ở hàng thứ i và thứ j của cột A được gọi là phần tử thứ i, j của A Ta nói rằng A là ma trận m× n, vì A có m hàng và n cột Đôi khi, ta có thể viết (1.2) như sau

ma trận m× n

A + B = [aij + bij] ;

tổng của hai ma trận m× n được tính bằng cách cộng các phần tử tương ứng Tổng của hai ma trận không được xác định trừ khi chúng Như vậy, phần tử thứ (i, j) của AB được xác định bằng cách nhân mỗi phần tử hàng thứ i của A với mỗi phần tử ở cột thứ j của B và cộng các tích đó với nhau Điều này yêu cầu A phải có cùng số cột cũng như số hàng nhưB Nếu không thì, AB sẽ không xác định được 1.7 Quy tắc dây chuyền

Định lý 1.7.1 Giả sử rằng hàm giá trị thực f khả vi tại X0 trong Rn, hàm vector G = (g1, g2, , gn) khả vi tại U0 trong Rm, và X0 = G(U0)

1.9 Cực trị không có điều kiện ràng buộc

1.9.1 Khái niệm cực trị và điều kiện cần

Khái niệm cực trị địa phương

Khái niệm cực trị địa phương của hàm số n biến số được định nghĩa hoàn toàn tương tự như cực trị của hàm số một biến số.

Cho hàm số w = f (x1, x2, , xn) = f (x) xác định và liên tục trong

D = {x = (x1, x2, , xn) : ai < xi < bi, i = 1, 2, , n}.

Định nghĩa 1.9.1 Ta nói rằng hàm số đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm x(x1, x2, , xn) ∈ D nếu tồn tại số r > 0 đủ nhỏ sao cho

Điểm x(x1, x2, , xn) ∈ D mà tại đó hàm số f (x1, x2, , xn) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của nó Nói cách khác, điểm cực đại (điểm cực tiểu) địa phương của một hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong phạm vi bán cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu, tức là

Định lý trên cho thấy hàm số f (x) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng với giả thiết hàm số f có các đạo hàm riêng Tuy nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần , chứ chưa phải là điều kiện đủ Điều kiện đủ nêu dưới

đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự đạt cực trị hay không Chú ý rằng điều kiện đủ chỉ áp dụng sau khi điều kiện cần đã được thỏa mãn (chỉ áp dụng tại các điểm dừng).

1.9.2 Điều kiện đủ

Trường hợp hàm số hai biến số

Giả sử M0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm số w = f (x, y) và tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp hai của nó đều tồn tại và liên tục Xét

• M0(x0, y0) là điểm cực đại nếu a11 < 0, • M0(x0, y0) là điểm cực tiểu nếu a11 > 0.

2) Nếu D < 0 thì điểm M0(x0, y0) không phải là điểm cực trị của hàm số w = f (x, y).

1.10 Cực trị có điều kiện ràng buộc

Định lý 1.10.1 (Phương pháp nhân tử Lagrange [3]) Giả sử U là một tập hợp mở trong R2, f : U → R và (x0, y0) là điểm cực trị của hàm f với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Hơn nữa, giả sử rằng:

a Các hàm f (x, y), ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm (x0, y0);

b ∂f

∂x (x0, y0) 6= 0.

Khi đó, tồn tại một số λ0 sao cho cùng với x0 và y0 tạo thành nghiệm

của hệ phương trình sau đối với λ, x và y
.

trong đó f : Ω → R là một hàm số xác định trên tập hợp trong R2 Nếu tồn tại một hàm số ϕ : I →R xác định một khoảng I ⊂ R sao cho

Nếu không đặt điều kiện “hàm số ẩn phải liên tục trên [−1, 1]” thì với mỗi x ∈ [−1, 1] có thể cho α(x) một trong hai giá trị −1 và 1 một cách tùy ý.

Như vậy có vô số hàm ẩn xác định bởi phương trình (2.2).

Chú ý rằng trong ví dụ này, giá trị y của hàm số được cho bởi một biểu thức của biến số x Người ta nói rằng hàm số ẩn được cho dưới dạng tường minh.

Ví dụ 2.1.3 Cho phương trình

Với mỗi x ∈ R, ta được một phương trình bậc 5 theo y Phương trình này có ít nhất một nghiệm thực Như vậy, tồn tại một hàm số ẩn

ϕ : R → R

x 7→ y = ϕ(x)

xác định bởi phương trình (2.3) Tuy nhiên, ta không biết cách biểu diễn hàm số ẩn này dưới dạng tường minh.

Vấn đề đặt ra là: Cho (x0, y0) là một nghiệm của phương trình (2.1) tức là f (x0, y0) = 0 Với các điều kiện nào đối với hàm số f, phương trình

Lấy x0 = 1, (y0, z0) = (1, 1), ta thấy f (1, 1, 1) = 0 Giải phương trình f (x, y, z) = 0 ta tìm được ánh xạ ϕ từ R vào R2 cho bởi công thức

ϕ(x) = 1− x + x2

, 2− x2
là hàm ẩn được xác định bởi f (x, ϕ(x)) = 0.

Trong ví dụ trên bằng cách giải phương trình theo ẩn x ta có thể tìm được hàm ẩn Tuy nhiên việc giải phương trình không phải lúc nào cũng thực hiện được Trong nhiều trường hợp chúng ta chỉ cần xác định xem có

tồn tại hàm ẩn hay không Định lý hàm ẩn cho chúng ta điều kiện đủ để tồn tại hàm ẩn và cách tính đạo hàm của nó.

2.2 Định lý hàm ẩn cho hàm hai biến

Định lý 2.2.1 ([4]) Cho phương trình

trong đó f : U → R là một hàm số có các đạo riêng liên tục trên tập hợp mở U ⊂ R2, (x0, y0) ∈ U là một nghiệm của phương trình (2.4), tức là f (x0, y0) = 0 Khi đó, nếu fy0(x0, y0) 6= 0 thì với mọi số β > 0 bất kì đủ nhỏ, tồn tại một số α > 0 có các tính chất sau:

(a) Với mỗi x ∈ (x0 − α, x0 + α), phương trình (2.4) có một nghiệm duy nhất v ∈ (y0 − β, y0 + β)

(b) Nếu kí hiệu nghiệm này là ϕ(x) thì hàm số y = ϕ(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình (2.4) Hàm số ϕ có đạo hàm liên tục trên

Nếu 0 < β < η thì hàm số y → f(x0, y) có đạo hàm fy0 (x0, y) > 0 trên đoạn [y0 − β, y0 + β] Do đó hàm số tăng nghiêm ngặt trên đoạn này Vì f (x0, y0) = 0 nên

f (x0, y0 − β) < 0 và f (x0, y0 + β) > 0 (2.5) Các hàm số x → f(x, y0 − β) và x → f(x, y0 + β) đều liên tục tại điểm x0 nên từ các bất đẳng thức (2.5) suy ra tồn tại α > 0 sao cho

với mọi x ∈ (x0 − α, x0 + α) ta có

f (x, y0 − β) < 0 và f (x, y0 + β) > 0 (2.6) Với một số thực bất kì x ∈ (x0 − α, x0 + α), hàm số x → f(x, y) liên tục trên đoạn [y0 − α, y0 + α].

Ngoài ra các đẳng thức trong (2.6) được thỏa mãn Do đó, theo Định lý Bolzano - Cauchy về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực y ∈ (y0 − β, y0 + β) sao cho f (x, y) = 0.

Vì hàm số tăng nghiêm ngặt trên (y0 − β, y0 + β) (do f (x, y) > 0) với mọi y ∈ [y0 − β, y0 + β] nên y là duy nhất.

(b) Đặt giá trị y tương ứng với x là ϕ(x), ta được hàm số y = ϕ(x) xác định trên khoảng (x0 − α, x0 + α) thỏa mãn phương trình

f (x, ϕ(x)) = 0 Vậy

ϕ : (x0 − α, x0 + α) → (y0 − β, y0 + β)

là hàm số ẩn duy nhất xác định bởi phương trình (2.4) Trước hết ta chứng minh hàm số ϕ liên tục trên khoảng (x0 − α, x0 + α).

Thật vậy, giả sử x1 ∈ (x0 − α, x0 + α) và ε là một số dương cho trước

Vậy ϕ liên tục tại điểm x1.

Giả sử x và h là những số thực sao cho x, x + h ∈ (x0 − α, x0 + α).

Cho h → 0, vì fx0 và fy0 liên tục tại điểm (x, ϕ(x)), ϕ liên tục tại điểm x, nên vế phải của đẳng thức trên dần đến −fx0(x, ϕ(x))

Trên lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm (x0, y0) thuộc đường cong khác O và A tồn tại một hàm số duy nhấty = ϕxsao cho với |x−x0| và |y−y0| đủ nhỏ, ta có

x3 + (ϕ(x))3 − 3xϕ(x) = 0 Với mỗi x ∈ (0,√3

4) có ba điểm trên đường cong có cùng hoành độ x Với mỗi x < 0 hoặc x > √3

4 chỉ có một điểm trên đường cong có hoành độ x.

Chú ý 2.2.4.

(a) Nếu trong Định lý 2.2.1 điều kiện fy0(x0, y0) 6= 0 được thay bởi điều kiện fx0(x0, y0) 6= 0 thì phương trình (2.4) xác định một hàm số ẩn x = ψ(y) với |y − y0| và |x − x0| đủ nhỏ.

(b) Nếu fx0(x0, y0) = 0 và fy0(x0, y0) = 0 thì không thể nói gì về sự tồn tại của hàm số ẩn xác định bởi phương trình (2.4) trong Định lý 2.2.1.

(c) Điểm (x0, y0) thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức nói trên gọi là một điểm kì dị của phương trình f (x, y) = 0.

Ví dụ 2.2.5 Ta lấy lại ví dụ đã biết Cho phương trình

Chú ý 2.2.6 Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong f (a, b) = 0 Trở lại Định lý 2.2.1 Giả sử fb0(x0, y0) 6= 0 Khi đó phương trình

f (a, b) = 0

xác định trên hình chữ nhật (x0 − α, x0 + α) × (y0 − β, y0 + β) một đường cong Γ có tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó.

Phương trình tiếp tuyến Γ tại điểm (a, b) là y− b = −fa0(a, b)

fb0(a, b)(x− a) tức là

(x− a)fa0(a, b) + (y − b)fb0(a, b) = 0.

Nếu fa0(x0, y0) 6= 0 thì lập luận tương tự, ta cũng được phương trình trên Pháp tuyến của Γ tại điểm (a, b) song song với vector (fa0(a, b), fb0(a, b)) Ví dụ 2.2.7 Hãy chứng minh rằng tồn tại một hàm khả vi liên tục được

∂y liên tục ở mọi điểm.

Vì vậy, theo Định lý 2.2.1, tồn tại một hàm g duy nhất được xác định trong một lân cận x = 2 được cho bởi công thức g(x) = y, tại điểm

Trong phần này, ta sẽ đề cập đến định lý hàm ẩn cho ba biến ở dạng tổng quát từ Định lý 2.2.1 Sau đó, ta xét về tầm quan trọng của ma trận

Jacobi trong định lý trong các trường hợp phức tạp hơn Giả sử ta coi cách giải phương trình F (x, y, z) = 0 như cách giải của các phương trình một biến khác, chẳng hạn, ta muốn giải z theo x và y Trong trường hợp này ta cần tìm một hàm f có hai biến x và y sao cho

F (x, y, f (x, y)) = 0 với mọi x, y.

Tương tự như Định lý 2.2.1, ta cần đảm bảo rằng hàm f (x, y) tồn tại mà ta đã đề cập ở trên Hàm f (x, y) cũng có đạo hàm riêng liên tục và do đó nó khả vi liên tục trong lân cận của điểm đang xét Điều này đã chứng minh ở Định lý 2.2.1.

Định lý 2.3.1 ([7]) Cho F (x, y, z) là hàm giá trị thực ba biến, liên tục khả vi trong lân cận tại điểm P0 = (x0, y0, z0) trong R3 Giả sử rằng

F (P0) = 0 và ∂F

∂z (P0) 6= 0.

Khi đó, tồn tại hàm f duy nhất khả vi liên tục trong lân cận N của (x0, y0) trong R2 sao cho

f (x0, y0) = z0 và F (x, y, f (x, y)) = 0 với mọi (x, y) ∈ N.

Việc chứng minh Định lý 2.3.1 tương tự như Định lý 2.2.1, nên ta sẽ không trình bày ở đây Bây giờ ta sẽ xét Định lý 2.3.1 theo công thức khác.

Điều này có nghĩa rằng ta có thể thay thế điều kiện ∂F

∂z 6= 0 tại điểm P0 trong Định lý 2.3.1 bởi điều kiện ma trận Jacobi của ánh xạ T tại điểm P0 khác 0.

Trên thực tế, trong những trường hợp phức tạp hơn, khi ta muốn tìm cách giải hệ phương trình, tính bất biến của ma trận Jacobi đóng một vai

Giả sử chúng ta muốn tìm hiểu liệu rằng phương trình F (x, y, z) = 0 xác định bởi một hàm f duy nhất trong lân cận của

Ví dụ 2.3.3 Cho f là hàm khả vi liên tục một biến sao f (1) = 0 Giả sử ta muốn tìm điều kiện mà phương trình

F (x, y, z) = f (x, y) + f (y, z) = 0

có thể giải được cho z theo x và y trong một lân cận của (1, 1, 1).

Như vậy, theo Định lý 2.3.1, ta có thể giải z theo x và y trong lân cận của (1, 1), với điều kiện là f0(1) 6= 0.

Ví dụ 2.3.4 Ta thử trả lời câu hỏi: Liệu rằng có phương trình

Do đó, theo Định lý 2.3.1, tồn tại một lân cận của (0, 0) và hàm f khả vi liên tục được xác định trên nó sao cho z = f (x, y) được cho trên cùng một bề mặt như F (x, y, z) = 0 trong lân cận tại (0, 0, 0).

2.4 Định lý hàm ẩn cho hàm nhiều biến

Định lý 2.4.1 ([8]) Cho E là một tập con mở của Rn Cho f : E → R là hàm khả vi liên tục.Đặt y = (y1, , yn) là một điểm thuộc E sao cho

f (y) = 0, và ∂f ∂xn

(y) 6= 0, thì tồn tại một tập con mở U của Rn−1 chứa (y1, , yn−1), một tập con mở V của E chứa y, và hàm

một tập mở V nằm trong E chứay, và một tập mở W nằm trong Rn chứa

Như vậy, mỗi phần tử của tập hợp bên trái đều thuộc tập hợp bên phải.

Cuối cùng, ta chỉ ra công thức đạo hàm riêng của g Từ các lập luận

Chứng minh Vì ma trận Jacobi ở (2.10) không suy biến tại điểm(x0, y0, z0) nên ít nhất một trong hai đạo hàm riêng ∂ψ

∂y hoặc ∂ψ

∂z cũng sẽ không bị

triệt tiêu tại điểm (x0, y0, z0) Giả sử rằng ∂ψ

∂z không bị triệt tiêu tại (x0, y0, z0), theo Định lý 2.2.1 thì ψ(x, y, z) = 0 xác định duy nhất hàm z = φ(x, y) khả vi Nếu bây giờ,

∂y 6= 0 tại điểm (x0, y0) (2.11) Để chứng minh điều này, ta cần khử ∂φ