Định lý bolzano và một số vấn đề liên quan

Dĩ nhiên, những bài toán này có thể giải theo nhiều phương pháp khác; mặc dù vậy, việc sử dụng Định lí Bolzano trong nhiều trường hợp sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề một cách đơn giản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - Năm 2023

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lí Bolzano đóng vai trò rất quan trọng trong ngành toán học Nhìn chung, đây là một công cụ tuy đơn giản nhưng rất hiệu quả trong việc giải các bài toán liên quan đến chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,

Bên cạnh đó, trong những năm gần đây, các định lí về giá trị trung gian thường xuyên được khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán quốc gia và quốc tế, đặc biệt là các bài toán liên quan định lượng nghiệm của nhiều dạng phương trình khác nhau Dĩ nhiên, những bài toán này có thể giải theo nhiều phương pháp khác; mặc dù vậy, việc sử dụng Định lí Bolzano trong nhiều trường hợp sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề một cách đơn giản hơn hẳn.

Ngoài ra, Định lí Bolzano còn có thể được mở rộng nghiên cứu trong các tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều (Định lí Brouwer), không gian tuyến tính định chuẩn (Định lí Schauder), không gian metric tuyến tính lồi địa phương (Định lí Tychonoff).

Với những lý do trên, được sự hướng dẫn tận tình của TS Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn đề tài “Định lí Bolzano và một số vấn đề liên quan” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp.

2 Mục đích nghiên cứu

• Hệ thống lại các kiến thức về Định lí Bolzano.

• Nghiên cứu về phần mở rộng của Định lí Bolzano và một số định lí liên quan.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Định lí Bolzano và phần mở rộng định lí, một số định lí có liên quan đến Định lí Bolzano và ứng dụng của định lí trong việc giải phương trình.

4 Phương pháp nghiên cứu

• Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài báo khoa học và các tài liệu trên Internet có liên quan đến nội dung của đề tài) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm rõ các vấn đề có trong đề tài.

• Nghiên cứu các tài liệu thu thập được, tổng hợp và hệ thống lại, đồng thời trao đổi, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn.

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

• Trình bày về Định lí Bolzano và mở rộng định lí trên các tập hợp (−∞; +∞), [a; +∞) , (−∞; b], sau đó trình bày ứng dụng định lí vào các bài toán.

• Mở rộng nghiên cứu các kết quả sang tính chất điểm bất động trên các tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tuyến tính lồi địa phương và không gian vô hạn chiều.

• Có thể sử dụng đề tài làm tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinh bậc Trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học Toán trong trường THPT.

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết về Định lí Bolzano và mở rộng của định lí trên các tập hợp (−∞; +∞) , [a; +∞) , (−∞; b] và ứng dụng Sau đó, chúng tôi tiếp tục mở rộng nghiên cứu sang tính chất điểm bất động trên các tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tuyến tính lồi địa phương, không gian vô hạn chiều Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Ngoài ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo và Công trình Khoa học đã công bố của tác giả.

Trong chương thứ nhất, chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ bản về không gian topo, không gian metric và giới hạn nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2.

Trong chương thứ hai, chúng tôi trình bày về Định lí Bolzano và mở rộng định lí trên các tập hợp(−∞; +∞) , [a; +∞) , (−∞; b], sau đó trình bày ứng dụng định lí vào

các bài toán Tiếp theo, chúng tôi mở rộng nghiên cứu các kết quả sang tính chất điểm bất động trên các tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tuyến tính lồi địa phương và không gian vô hạn chiều.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ bản về số thực, không gian topo, không gian metric và giới hạn, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về số thực, không gian topo, không gian metric và giới hạn, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau.

1.1 Số thực

Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Giả sử X là một tập hợp, 6 là một quan hệ trong X Ta gọi “6” là một quan hệ thứ tự trong X nếu

(1) x6 x với mọi x ∈ X,

(2) Nếu x6y và y 6z, thì x6z với mọi x, y, z ∈ X, (3) Nếu x6y và y 6x, thì x = y với mọi x, y ∈ X.

Khi đó, cặp (X,6) được gọi là một tập hợp sắp thứ tự.

Nếu x 6 y và x 6= y, thì ta viết x < y Quan hệ x 6 y có thể viết dưới dạng y>x.

Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Tập hợp sắp thứ tự (X,6) được gọi là toàn phần nếu với hai phần tử bất kì x, y ∈ X, ta có

x6y hoặc y6x.

Nói một cách khác, (X,6) được gọi là một tập hợp sắp thứ tự toàn phần nếu nó là một tập hợp sắp thứ tự trong đó hai phần tử bất kì đều có thể so sánh được.

Định nghĩa 1.1.3 ([4]) Giả sử X và Y là hai tập hợp sắp thứ tự Một ánh xạ f : X → Y được gọi là

(1) tăng nếu x1< x2 kéo theo f (x1)6f (x2),

(2) tăng nghiêm ngặt nếu x1< x2 kéo theo f (x1) < f (x2),(3) giảm nếu x1 < x2 kéo theo f (x1)>f (x2),

(4) giảm nghiêm ngặt nếu x1< x2 kéo theo f (x1) > f (x2),(5) đơn điệu nếu f là tăng hoặc giảm,

(6) đơn điệu nghiêm ngặt nếu f là tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt Định nghĩa 1.1.4 ([4]) Giả sử a, b là hai phần tử của R, a < b Ta kí hiệu

[a, b] = {x ∈R: a6x6b};(a, b) = {x ∈R: a < x < b};[a, b) = {x ∈R: a6x < b};(a, b] = {x ∈R: a < x6b}.

Các tập hợp này được gọi là những khoảng, a và b được gọi là hai điểm đầu của khoảng, a được gọi là điểm gốc, b được gọi là điểm cuối của khoảng [a, b] được gọi là một khoảng đóng hoặc một đoạn, (a, b) được gọi là một khoảng mở, [a, b) và (a, b] được gọi là những khoảng nửa mở.

Các tập hợp này cũng được gọi là những khoảng Một điểm của khoảng khác hai đầu của khoảng gọi là một điểm trong của khoảng.

Định nghĩa 1.1.5 ([4]) Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự A ⊂ X.

a) Phần tử a ∈ X được gọi là một cận trên của tập hợp A nếu x6a với mọi x ∈ A.

b) Phần tử a ∈ X được gọi là một cận dưới của tập hợp A nếu a6 x với mọi x ∈ A.

Tập hợp A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận trên, A được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Định nghĩa 1.1.6 ([4]) Giả sửX là một tập hợp sắp thứ tự vàA ⊂ X Nếu a ∈ A và a là một cận trên của A, thì a được là phần tử lớn nhất của A và được kí hiệu là max A.

Phần tử lớn nhất của A là duy nhất Thật vậy, nếu a và a0 là hai phần tử lớn nhất củaA, thì a0 6a và a6a0 Do đó, a0 = a.

Phần tử nhỏ nhất của một tập hợp được định nghĩa tương tự Phần tử nhỏ nhất của tập hợp A được kí hiệu là min A.

Định nghĩa 1.1.7 ([4]) Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự, A ⊂ X.

a) Phần tử a ∈ X được gọi là cận trên đúng của tập hợp A nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của A Kí hiệu sup A.

Hiển nhiên cận trên đúng của A nếu có là duy nhất.

b) Phần tử a ∈ X được gọi là cận dưới đúng của tập hợp A nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của A Kí hiệu inf A.

Hiển nhiên cận dưới đúng của A nếu có là duy nhất.

Nhận xét 1.1.8 ([4]) Theo tiên đề của tập số thực, một tập hợp bị chặn trên luôn có cận trên đúng Do đó, một tập hợp bị chặn dưới luôn có cận dưới đúng Định lí 1.1.9 ([4]) Nếu a là phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A, thì nó là cận trên đúng (cận dưới đúng) của A.

Chứng minh Giả sử a là phần tử lớn nhất của A Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.6, a ∈ Avàalà một cận trên củaA Nếub ∈ X là một cận trên của A, thìx6bvới mọi

x ∈ A Đặc biệt,a 6b Do vậy, a là phần tử nhỏ nhất của tập hợp các cận trên của A, tức là a = sup A.

Định nghĩa 1.1.10 ([4]) Giả sử A là một tập con của R Khi đó, nếu A không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của A là +∞ Hoàn toàn tương tự, nếuA không bị chặn dưới, thì ta nói rằng cận dưới đúng của A là −∞.

Với các quy ước nói trên, mỗi tập con của R đều có một cận trên đúng và một cận dưới đúng hữu hạn hoặc vô hạn.

Định lí 1.1.11 ([4]) Giả sử A là một tập hợp khác rỗng của R, a ∈ R hoặc a = +∞ Khi đó, a = sup A nếu và chỉ nếu a thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) x6 a với mọi x ∈ A.

2) Với mỗi b ∈ R mà b < a, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho x > b Chứng minh Hiển nhiên rằng điều khẳng định là đúng nếu A không bị chặn trên.

Giả sử A bị chặn trên và a = sup A Khi đó a ∈ R Bởi vì a là một cận trên củaAnên athỏa mãn điều kiện 1)của định lí Mặt khác, vì a là cận trên nhỏ nhất trong tất cả các cận trên của A nên nếu b < a, thì b không phải là một cận trên củaA Do đó, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho x > b.

Đảo lại, ta giả sử rằng tập hợp A bị chặn trên và a thỏa mãn hai điều kiện 1) và 2)trong định lí Hiển nhiêna = +∞ không thỏa mãn điều kiện 2) Do đó,a ∈ R. Điều kiện 1) có nghĩa là a là một cận trên của A Từ 2) suy ra rằng a là cận trên nhỏ nhất trong các cận trên của A, tức là a = sup A.

Định lí 1.1.12 ([4]) Giả sử A ⊂R và a ∈R hoặc a = −∞ Khi đó, a = inf A khi và chỉ khi a thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) x> a với mọi x ∈ A,

2) Với mỗi b ∈ R mà b > a, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho x < b Định nghĩa 1.1.13 ([4]) Giả sử A là một tập hợp bất kì và f : A → R là một hàm số xác định trên A Khi đó, inf

x∈Af (x) được gọi là cận dưới đúng của f trên A và sup

f (x) được gọi là cận trên đúng của f trên A.

Ta nói rằng hàm sốf bị chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới ) trên Anếu tập hợp f (A) bị chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới) Hàm số f được gọi là bị chặn trên A nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên A.

1.2 Không gian topo, không gian metric

Định nghĩa 1.2.1 ([7]) Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau:

1) τ được gọi là một topo trên X.

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo 3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở 4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.

Nhận xét 1.2.2 ([7]) Đối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng.

1) ∅, X là các tập hợp mở trong X.

2) Hợp tùy ý các tập hợp mở trong X là một tập hợp mở trong X.

3) Giao hữu hạn tập hợp mở trong X là một tập hợp mở trong X Tuy nhiên, giao tùy ý tập hợp mở trong X có thể không mở trong X.

Định nghĩa 1.2.3 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Ta nói B là cơ sở củaτ nếu

(1) B ⊂ τ;

(2) Mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B.

Nhận xét 1.2.4 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, và B ⊂ τ Khi đó,

(1) Nếu B là cơ sở của τ, thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở Tuy nhiên, mỗi tập hợp mở có thể không thuộc B.

(2) B là cơ sở của τ khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ U.

Định nghĩa 1.2.5 ([7]) Giả sử B là một cơ sở của τ Khi đó,

(1) Với mọi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U;

(2) Nếu U, V ∈ B, thì với mọi x ∈ U ∩ V, tồn tại W ∈ B sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V.

Định nghĩa 1.2.6 ([7]) Giả sử A là một tập con khác rỗng của không gian topo (X, τ ) Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếuU ∈ τ, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Đặc biệt, nếu A = {x}, thì ta nói rằngU là lân cận của x.

Nhận xét 1.2.7 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

(1) Lân cận của một tập không nhất thiết là một tập mở Tuy nhiên, mỗi tập mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

(2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của A Tuy nhiên, giao tùy ý các lân cận của A có thể không là lân cận của A.

Bổ đề 1.2.8 ([7]) Đối với không gian topo(X, τ ), các khẳng định sau là tương đương.

(1) U là tập hợp mở;

(2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

(3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx⊂ U.

Định nghĩa 1.2.9 ([7]) Tập con A của một không gian topo (X, τ ) được gọi là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ.

Nhận xét 1.2.10 ([7]) Đối với không gian topo(X, τ ), các khẳng định sau là đúng.

(1) ∅, X là các tập hợp đóng.

(2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng là một tập hợp đóng Tuy nhiên, hợp tùy ý các tập con đóng có thể không đóng.

(3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng.

Định nghĩa 1.2.11 ([7]) Giả sử Alà tập con của không gian topo(X, τ ) Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu A¯ Như vậy,

Aα, đẳng thức không xảy ra (3) A ∩ B ⊂ ¯A ∩ ¯B, đẳng thức không xảy ra.

Định lí 1.2.14 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, F ⊂ X Khi đó, x ∈ ¯F khi và chỉ với mọi lân cận mở V của x ta đều có V ∩ F 6= ∅.

Định nghĩa 1.2.15 ([7]) Giả sửf : X → Y là một ánh xạ từ không gian topo X vào không gian topoY Khi đó,

(1) f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận mở V của f (x) trong Y, tồn tại lân cận mở U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V.

(2) f được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X (3) f được gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f, f−1 là các ánh xạ

liên tục.

Định nghĩa 1.2.16 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó, (X, τ ) được gọi là T2-không gian hay là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.

Định nghĩa 1.2.17 ([7]) Giả sử (X, d) là một không gian metric và τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}.

Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo khả metric d.

Định nghĩa 1.2.18 ([7]) Giả sử U là một họ nào đó gồm các tập con của không gian topo X và A ⊂ X Khi đó,

(1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂S{U : U ∈ U }.

(2) U được gọi là phủ mở của A nếu U là một phủ của A và mỗi phần tử của U là tập hợp mở.

(3) U được gọi là phủ hữu hạn của A nếu U là một phủ của A chỉ có hữu hạn phần tử.

Định nghĩa 1.2.19 ([7]) ChoX là tập hợp khác rỗng vàd : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X:

• d được gọi là một metric trên X.

• Cặp (X, d) được gọi là một không gian metric.

• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm • d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y.

Như vậy, |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).

Định nghĩa 1.2.21 ([7]) Cho không gian metric (X, d), x0 ∈ X, r > 0 Khi đó, (1) B(x0, r) = {x ∈ X| d(x, x0) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r (2) B[x0, r] = {x ∈ X| d(x, x0) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r Định nghĩa 1.2.22 ([3]) Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: α, β, γ, ;K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z Trên V

2) Tồn tại vectơ θ sao cho θ + α = α + θ = α,

3) Với mỗi α có một phần tử α0 sao cho α + α0= α0+ α = θ, 4) α + β = β + α

5) x · (α + β) = x · α + x · β, 6) (x + y) · α = x · α + y · α, 7) (xy) · α = x · (y · α),

8) 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.

Khi đó, ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K hoặc V là không gian

Định nghĩa 1.2.25 ([7]) Giả sửK là một tập con của không gian topo X Ta nói rằng K là tập compact nếu mỗi phủ mở của K đều tồn tại một phủ con hữu hạn phủ K.

Bổ đề 1.2.26 ([7]) Mỗi tập con compact trong không gian Hausdorff đều là tập hợp đóng.

Định nghĩa 1.2.27 ([5]) Cho S là một tập hợp, u1, u2, , un ∈ S Khi đó, S được gọi là tập lồi nếu có các số λ1, λ2, , λn ≥ 0 thỏa mãn

Định nghĩa 1.2.28 ([5]) Một không gian topo tuyến tính E được gọi là lồi địa phương nếu E có một cơ sở lân cận gồm toàn tập lồi.

Định nghĩa 1.2.29 ([9]) Chof : X → X là một ánh xạ Khi đó,x0∈ Xđược gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x0) = x0.

Định nghĩa 1.2.30 ([9]) Một không gian topo X được gọi là có tính chất điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục f : X → X đều có điểm bất động.

Định nghĩa 1.2.31 ([7]) Cho X là một không gian topo và A là một tập con củaX, A được gọi là một co rút của X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục r : X → A sao cho r(a) = a với mỗi a ∈ A.

Nhận xét 1.2.32 ([7]) Nếu X là không gian topo Hausdorff và A là một co rút củaX, thì A đóng trong X.

Định nghĩa 1.2.33 ([7]) Cho Y là một không gian topo khả metric thỏa mãn điều kiện rằng nếu Y đồng phôi với một tập con A đóng của một không gian metric X, thì A là một co rút của X Khi đó, Y được gọi là một co rút tuyệt đối Định nghĩa 1.2.34 ([7]) ChoX là một không gian vectơ,∅ 6= A ⊂ X,Ađược gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ gồm hữu hạn vectơ phân biệt trong A đều độc lập tuyến tính Ngược lại, A được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

(*) L(A) : giao của họ tất cả các không gian tuyến tính con của X chứa A và với mọi n ∈ N∗

L(A) = {α1e1+ α2e2+ · · · + αnen| α1, , αn∈R; e1, , en∈ A}. (*) Cho ∅ 6= A ⊂ X, A được gọi là tập sinh của X nếu L(A) = X.

(*) Tập A được gọi là cơ sở của X nếu A độc lập tuyến tính và là tập sinh củaX.

Định nghĩa 1.2.35 ([7]) Không gian vectơ X được gọi là hữu hạn chiều nếu X có một tập cơ sở gồm hữu hạn phần tử và số phần tử trong tập cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ.

Không gian vectơX được gọi là vô hạn chiều nếu tồn tại trongX một tập cơ sở gồm vô hạn phần tử.

Định nghĩa 1.2.36 ([7]) Cho X là không gian Banach trên trường K Một dãy {e1, e2, , en, } được gọi là cơ sở Schaulder hoặc cơ sở đếm được của X nếu

với mọi vectơ x ∈ X, tồn tại duy nhất dãy {α1, α2, , αn, } ⊂K sao cho x =X

1.3 Giới hạn

Định nghĩa 1.3.1 ([2]) Cho(X, d)là một không gian metric, dãy(xn)được gọi là hội tụ tớix ∈ X nếu với mọi số thực > 0cho trước, tìm được một số nguyên dương n0 sao cho với mọi số nguyên dương n > n0, khoảng cách d(xn, x) <  Khi đó, x được gọi là giới hạn của dãy (xn) Chúng ta viết xn → x khi n → +∞, hay

n→+∞xn = x. Ta viết tắt: lim xn = x.

Một vài giới hạn đặc biệt:

Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau

1) Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞ khi n → +∞, nếu với mọi M > 0, tồn tại N ∈N∗ sao cho un > M với mọi n > N.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

2) Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu lim (−un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞.

Nhận xét 1.3.5 ([2]) lim un = +∞ ⇔ lim (−un) = −∞.

Như vậy, lim n2− 2n − 1
= +∞.

Định nghĩa 1.3.8 ([2]) Cho khoảngK chứa điểmx0 và hàm sốy = f (x) xác định trên K\ {x0} Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với

Bài giải Ta có hàm sốf (x) xác định trên R\{−2} Giả sử(xn)là một dãy số bất kì, thoả mãn xn 6= −2 và xn → −2 khi n → +∞ Khi đó,

a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f (xn) → L.

Kí hiệu: lim

x→+∞f (x) = L hay f (x) → L khi x → +∞.

b) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (−∞; a) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → −∞, Bài giải Hàm số đã cho xác định trên(−∞; 1) và trên (1; +∞).

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thoả mãn xn < 1 và xn → −∞ Ta có

Do vậy, ta thu được

Định nghĩa 1.3.15 ([2]) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞) Ta nói hàm sốy = f (x) có giới hạn là−∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì,

Định nghĩa 1.3.16 ([2]) Cho hàm sốy = f (x) xác định trên khoảng (x0, b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) ⊂ (x0, b) và xn→ x0, ta có f (xn) → L.

Kí hiệu: lim

f (x) = L.

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x) khi x → x0 nếu với mọi dãy số (xn) ⊂ (a; x0) và

Như vậy, khix dần tới 1 thì hàm số y = f (x)có giới hạn bên trái là −2và giới hạn bên phải là7 Tuy nhiên, lim

x→1f (x) không tồn tại vì lim

x→1−f (x) 6= lim

x→1+f (x).

ĐỊNH LÍ BOLZANO VÀ MỞ RỘNG

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu trình bày về Định lí Bolzano, phần mở rộng của Định lí Bolzano trên các tập hợp(−∞; +∞),[a; +∞),(−∞; b]; ứng dụng của Định lí Bolzano để giải các bài toán Sau đó, chúng tôi tiếp tục mở rộng nghiên cứu sang tính chất điểm bất động trên các tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tuyến tính lồi địa phương, không gian vô hạn chiều.

2.1 Định lí Bolzano

Định lí 2.1.1 ([4]) Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] và α là một số nằm giữa f (a) và f (b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho f (c) = α Nói một cách khác, f lấy mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b).

Chứng minh Giả sử f (a) ≤ f (b) và α ∈ [f (a), f (b)] Khi đó, nếu

Bởi vì a ∈ E nênE 6= ∅ Mặt khác, vì E bị chặn trên bởi b nên nó có cận trên đúng hữu hạn Đặt c = sup E, ta chứng minh f (c) = α Thật vậy,

• Nếu f (c) < α, thì c 6= b, do đó c < b Bởi vì f liên tục tại c nên lim

x→c+f (x) = f (c) < α.

Do đó, tồn tại một số dươngδ sao cho c + δ ≤ b và f (x) < α với mọi x ∈ [c, c + δ].

Đặc biệt, vì f (c + δ) < α nên c + δ ∈ E Điều này vô lí vì c là một cận trên của E • Nếu f (c) > α, thì c 6= a, do đó c > a Bởi vì f liên tục tại c nên

Từ định nghĩa củaE suy raf (x1) ≤ α, đây là một mâu thuẫn Do vậy,f (c) = α Hệ quả 2.1.2 ([4]) Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó, nếu f (a) · f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

Chứng minh Bởi vì α = 0 là một số nằm giữa f (a) và f (b) nên theo Định lí 2.1.1 ta suy ra tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (−∞; +∞) sao cho f (c) = 0.

Chứng minh Ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Giả sử lim

x→−∞f (x) < 0 và lim

x→+∞f (x) > 0.

Như vậy, ta chọn được a, b ∈ (−∞; +∞) sao cho f (a) · f (b) < 0. Không mất tính tổng quát, giả sửa < b Khi đó, theo Hệ quả 2.1.2 ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) ⊂ (−∞; +∞)sao cho f (c) = 0.

Như vậy, ta chọn được a, b ∈ (−∞; +∞) sao cho f (a) · f (b) < 0. Không mất tính tổng quát, giả sử a < b, theo Hệ quả 2.1.2 ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) ⊂ (−∞; +∞)sao cho f (c) = 0.

Định lí 2.2.2 Giả sử f là một hàm số liên tục trên (−∞; b] Khi đó, nếu f (b) · lim

x→−∞f (x) < 0,

thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (−∞; b) sao cho f (c) = 0 Chứng minh Ta xét các trường hợp sau

Như vậy, ta chọn được a ∈ (−∞; b) sao cho f (a) · f (b) < 0.Theo Hệ quả 2.1.2 ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (−∞; b) sao cho f (c) = 0.

Như vậy, ta chọn được a ∈ (−∞; b) sao cho f (a) · f (b) < 0.Theo Hệ quả 2.1.2 ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (−∞; b) sao cho f (c) = 0.

Định lí 2.2.3 Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a; +∞) Khi đó, nếu f (a) · lim

x→+∞f (x) < 0,

thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; +∞) sao cho f (c) = 0.

Chứng minh Ta đặt g(x) = f (−x) Bởi vì f là một hàm số liên tục trên [a; +∞) nêng là một hàm số liên tục trên (−∞; −a] Bởi vì

điều này kéo theo

Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh tồn tại a, b ∈ D sao cho a < b và f (x) liên tục trên [a; b] thỏa mãn f (a).f (b) < 0.

Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) nằm trong [a; b]

có ít nhất một nghiệm trong khoảng (−1; 2) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Như vậy, phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộc các khoảng (−2; 0), (0; 1), (1; 2) Bởi vì f (x) là đa thức bậc ba nên phương trình f (x) = 0 có tối đa ba nghiệm Do đó, phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2.3.3 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sốm ∈ R.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sốm Ví dụ 2.3.4 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm

nên tồn tại a > 0 sao cho f (a) > 0 Mặt khác, vì f (−1).f (a) < 0 nên luôn tồn tại x0∈ (0; a) thỏa mãn f (x0) = 0 nên phương trình

x4+ x3− 3x2+ x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

Bổ đề 2.3.5 Phương trình đa thức bậc lẻ

a2n+1x2n+1+ a2nx2n+ · · · + a1x + a0 = 0

luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của ai, i = 1, , 2n + 1. Điều này không đúng với đa thức bậc chẵn.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử a2n+1 > 0 Xét hàm số

nên tồn tại x2 ∈R sao chof (x2) < 0 Do đó, tồn tạix0∈ (x1; x2) sao chof (x0) = 0 Như vậy, phương trình đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị

Khi đó, vì hàm số f (x) có bậc cao nhất là 2019 + 2020 = 4039, nên f (x) là đa thức bậc lẻ Như vậy, f (x) = 0có ít nhất một nghiệm với mọi m ∈ R.

Ví dụ 2.3.7 Cho a 6= 0 và 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình Khi đó, f (x) liên tục trên R.

• Trường hợp 1 Nếu c = 0, thì f (x) = 0 có 2 nghiệm là có đúng năm nghiệm phân biệt.

Bài giải Phương trình đã cho tương đương với

x3+ 2x3+ 15x2+ 14x + 2 = 3x2+ x + 1
2 ⇔x3− 9x4− 4x3+ 18x2+ 12x + 1 = 0.