Định lý bolzano và một số vấn đề liên quan

Dĩ nhiên, những bài toán này có thể giải theo nhiều phương pháp khác; mặc dù vậy, việc sử dụng Định lí Bolzano trong nhiều trường hợp sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề một cách đơn giản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - Năm 2023

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Số thực 4

1.2 Không gian topo, không gian metric 8

1.3 Giới hạn 15

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ BOLZANO VÀ MỞ RỘNG 21

2.1 Định lí Bolzano 21

2.2 Mở rộng Định lí Bolzano 22

2.3 Ứng dụng của Định lí Bolzano 26

2.4 Một số vấn đề liên quan 43

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lí Bolzano đóng vai trò rất quan trọng trong ngành toán học Nhìn chung,đây là một công cụ tuy đơn giản nhưng rất hiệu quả trong việc giải các bài toánliên quan đến chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình,chứng minh bất đẳng thức,

Bên cạnh đó, trong những năm gần đây, các định lí về giá trị trung gianthường xuyên được khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán quốc gia và quốc tế,đặc biệt là các bài toán liên quan định lượng nghiệm của nhiều dạng phương trìnhkhác nhau Dĩ nhiên, những bài toán này có thể giải theo nhiều phương pháp khác;mặc dù vậy, việc sử dụng Định lí Bolzano trong nhiều trường hợp sẽ giúp chúng tagiải quyết vấn đề một cách đơn giản hơn hẳn

Ngoài ra, Định lí Bolzano còn có thể được mở rộng nghiên cứu trong các tập lồicompact trong không gian hữu hạn chiều (Định lí Brouwer), không gian tuyến tínhđịnh chuẩn (Định lí Schauder), không gian metric tuyến tính lồi địa phương (Định líTychonoff)

Với những lý do trên, được sự hướng dẫn tận tình của TS Lương Quốc Tuyển,tôi đã quyết định chọn đề tài “Định lí Bolzano và một số vấn đề liên quan”

để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên ngànhPhương pháp Toán sơ cấp

2 Mục đích nghiên cứu

• Hệ thống lại các kiến thức về Định lí Bolzano

• Nghiên cứu về phần mở rộng của Định lí Bolzano và một số định lí liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Định lí Bolzano và phần mở rộng định lí, một số định lí có liên quan đếnĐịnh lí Bolzano và ứng dụng của định lí trong việc giải phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

• Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài báo khoa học

và các tài liệu trên Internet có liên quan đến nội dung của đề tài) để thu thậpthông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm rõ các vấn đề có trong đề tài

• Nghiên cứu các tài liệu thu thập được, tổng hợp và hệ thống lại, đồng thờitrao đổi, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

• Trình bày về Định lí Bolzano và mở rộng định lí trên các tập hợp (−∞; +∞),[a; +∞) , (−∞; b], sau đó trình bày ứng dụng định lí vào các bài toán

• Mở rộng nghiên cứu các kết quả sang tính chất điểm bất động trên các tập lồicompact trong không gian hữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn,không gian tuyến tính lồi địa phương và không gian vô hạn chiều

• Có thể sử dụng đề tài làm tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinhbậc Trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng caochất lượng dạy học Toán trong trường THPT

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết về Định lí Bolzano và mở rộngcủa định lí trên các tập hợp (−∞; +∞) , [a; +∞) , (−∞; b] và ứng dụng Sau đó,chúng tôi tiếp tục mở rộng nghiên cứu sang tính chất điểm bất động trên cáctập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn,không gian tuyến tính lồi địa phương, không gian vô hạn chiều Nội dung củaluận văn được trình bày trong hai chương Ngoài ra, luận văn có Lời cam đoan,Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo

và Công trình Khoa học đã công bố của tác giả

Trong chương thứ nhất, chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ bản về không giantopo, không gian metric và giới hạn nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2

Trong chương thứ hai, chúng tôi trình bày về Định lí Bolzano và mở rộng định lítrên các tập hợp(−∞; +∞) , [a; +∞) , (−∞; b], sau đó trình bày ứng dụng định lí vào

các bài toán Tiếp theo, chúng tôi mở rộng nghiên cứu các kết quả sang tính chấtđiểm bất động trên các tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều, không giantuyến tính định chuẩn, không gian tuyến tính lồi địa phương và không gian

vô hạn chiều

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ bản về số thực,không gian topo, không gian metric và giới hạn, các khái niệm và các tính chấttrong chương này được chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểuthấu đáo hơn các kiến thức về số thực, không gian topo, không gian metric vàgiới hạn, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính củachương sau

1.1 Số thực

Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Giả sử X là một tập hợp, 6 là một quan hệ trong X

Ta gọi “6” là một quan hệ thứ tự trong X nếu

(1) x6 x với mọi x ∈ X,

(2) Nếu x6y và y 6z, thì x6z với mọi x, y, z ∈ X,

(3) Nếu x6y và y 6x, thì x = y với mọi x, y ∈ X.

Khi đó, cặp (X,6) được gọi là một tập hợp sắp thứ tự

Nếu x 6 y và x 6= y, thì ta viết x < y Quan hệ x 6 y có thể viết dưới dạng

y>x.

Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Tập hợp sắp thứ tự (X,6) được gọi là toàn phần nếuvới hai phần tử bất kì x, y ∈ X, ta có

x6y hoặc y6x.

Nói một cách khác, (X,6) được gọi là một tập hợp sắp thứ tự toàn phần nếu

nó là một tập hợp sắp thứ tự trong đó hai phần tử bất kì đều có thể so sánh được

Định nghĩa 1.1.3 ([4]) Giả sử X và Y là hai tập hợp sắp thứ tự Một ánh xạ

f : X → Y được gọi là

(1) tăng nếu x1< x2 kéo theo f (x1)6f (x2),

(2) tăng nghiêm ngặt nếu x 1 < x 2 kéo theo f (x 1 ) < f (x 2 ),

(3) giảm nếu x1 < x2 kéo theo f (x1)>f (x2),

(4) giảm nghiêm ngặt nếu x1< x2 kéo theo f (x1) > f (x2),

(5) đơn điệu nếu f là tăng hoặc giảm,

(6) đơn điệu nghiêm ngặt nếu f là tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt.Định nghĩa 1.1.4 ([4]) Giả sử a, b là hai phần tử của R, a < b Ta kí hiệu

a) Phần tử a ∈ X được gọi là một cận trên của tập hợp A nếu

x6a với mọi x ∈ A.b) Phần tử a ∈ X được gọi là một cận dưới của tập hợp A nếu

a6 x với mọi x ∈ A

Tập hợp A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận trên, A được gọi là

bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nóvừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

Định nghĩa 1.1.6 ([4]) Giả sửX là một tập hợp sắp thứ tự vàA ⊂ X Nếu a ∈ A

và a là một cận trên của A, thì a được là phần tử lớn nhất của A và được kí hiệu

Hiển nhiên cận trên đúng của A nếu có là duy nhất

b) Phần tử a ∈ X được gọi là cận dưới đúng của tập hợp A nếu nó là phần tửlớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của A Kí hiệu inf A

Hiển nhiên cận dưới đúng của A nếu có là duy nhất

Nhận xét 1.1.8 ([4]) Theo tiên đề của tập số thực, một tập hợp bị chặn trênluôn có cận trên đúng Do đó, một tập hợp bị chặn dưới luôn có cận dưới đúng.Định lí 1.1.9 ([4]) Nếu a là phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A, thì nó làcận trên đúng (cận dưới đúng) của A

Chứng minh Giả sử a là phần tử lớn nhất của A Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.6,

a ∈ Avàalà một cận trên củaA Nếub ∈ X là một cận trên của A, thìx6bvới mọi

x ∈ A Đặc biệt,a 6b Do vậy, a là phần tử nhỏ nhất của tập hợp các cận trên của

A, tức là a = sup A

Định nghĩa 1.1.10 ([4]) Giả sử A là một tập con của R Khi đó, nếu A không

bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của A là +∞ Hoàn toàn tương tự,nếuA không bị chặn dưới, thì ta nói rằng cận dưới đúng của A là −∞.

Với các quy ước nói trên, mỗi tập con của R đều có một cận trên đúng vàmột cận dưới đúng hữu hạn hoặc vô hạn

Định lí 1.1.11 ([4]) Giả sử A là một tập hợp khác rỗng của R, a ∈ R hoặc

a = +∞ Khi đó, a = sup A nếu và chỉ nếu a thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) x6 a với mọi x ∈ A

2) Với mỗi b ∈ R mà b < a, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho x > b.Chứng minh Hiển nhiên rằng điều khẳng định là đúng nếu A không bị chặn trên.Giả sử A bị chặn trên và a = sup A Khi đó a ∈ R Bởi vì a là một cận trêncủaAnên athỏa mãn điều kiện 1)của định lí Mặt khác, vì a là cận trên nhỏ nhấttrong tất cả các cận trên của A nên nếu b < a, thì b không phải là một cận trêncủaA Do đó, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho x > b

Đảo lại, ta giả sử rằng tập hợp A bị chặn trên và a thỏa mãn hai điều kiện 1)

và 2)trong định lí Hiển nhiêna = +∞ không thỏa mãn điều kiện 2) Do đó,a ∈ R.Điều kiện 1) có nghĩa là a là một cận trên của A Từ 2) suy ra rằng a là cận trênnhỏ nhất trong các cận trên của A, tức là a = sup A

Định lí 1.1.12 ([4]) Giả sử A ⊂R và a ∈R hoặc a = −∞ Khi đó, a = inf A khi

và chỉ khi a thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) x> a với mọi x ∈ A,

2) Với mỗi b ∈ R mà b > a, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ A sao cho x < b.Định nghĩa 1.1.13 ([4]) Giả sử A là một tập hợp bất kì và f : A → R làmột hàm số xác định trên A Khi đó, inf

x∈A f (x) được gọi là cận dưới đúng của ftrên A và sup

x∈A

f (x) được gọi là cận trên đúng của f trên A

Ta nói rằng hàm sốf bị chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới ) trên Anếu tập hợp

f (A) bị chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới) Hàm số f được gọi là bị chặn trên Anếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên A

1.2 Không gian topo, không gian metric

Định nghĩa 1.2.1 ([7]) Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp Xthỏa mãn các điều kiện sau:

1) τ được gọi là một topo trên X

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo

3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó

Nhận xét 1.2.2 ([7]) Đối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng

1) ∅, X là các tập hợp mở trong X

2) Hợp tùy ý các tập hợp mở trong X là một tập hợp mở trong X

3) Giao hữu hạn tập hợp mở trong X là một tập hợp mở trong X Tuy nhiên,giao tùy ý tập hợp mở trong X có thể không mở trong X

Định nghĩa 1.2.3 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Ta nói B là cơ sởcủaτ nếu

(1) B ⊂ τ;

(2) Mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B.

Nhận xét 1.2.4 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, và B ⊂ τ Khi đó,

(1) Nếu B là cơ sở của τ, thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở Tuy nhiên,mỗi tập hợp mở có thể không thuộc B

(2) B là cơ sở của τ khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại B ∈ Bsao cho x ∈ B ⊂ U

Định nghĩa 1.2.5 ([7]) Giả sử B là một cơ sở của τ Khi đó,

(1) Với mọi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U;

(2) Nếu U, V ∈ B, thì với mọi x ∈ U ∩ V, tồn tại W ∈ B sao cho

x ∈ W ⊂ U ∩ V.

Định nghĩa 1.2.6 ([7]) Giả sử A là một tập con khác rỗng của không gian topo(X, τ ) Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τsao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếuU ∈ τ, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Đặc biệt, nếu A = {x},thì ta nói rằngU là lân cận của x

Nhận xét 1.2.7 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

(1) Lân cận của một tập không nhất thiết là một tập mở Tuy nhiên, mỗi tập mở

là lân cận của mọi điểm thuộc nó

(2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của A Tuy nhiên,giao tùy ý các lân cận của A có thể không là lân cận của A

Bổ đề 1.2.8 ([7]) Đối với không gian topo(X, τ ), các khẳng định sau là tương đương

(1) U là tập hợp mở;

(2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

(3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx⊂ U

Định nghĩa 1.2.9 ([7]) Tập con A của một không gian topo (X, τ ) được gọi làtập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ.

Nhận xét 1.2.10 ([7]) Đối với không gian topo(X, τ ), các khẳng định sau là đúng

Aα, đẳng thức không xảy ra

(3) A ∩ B ⊂ ¯ A ∩ ¯ B, đẳng thức không xảy ra

Định lí 1.2.14 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, F ⊂ X Khi đó, x ∈ ¯ Fkhi và chỉ với mọi lân cận mở V của x ta đều có V ∩ F 6= ∅

Định nghĩa 1.2.15 ([7]) Giả sửf : X → Y là một ánh xạ từ không gian topo Xvào không gian topoY Khi đó,

(1) f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận mở V của f (x) trong Y,tồn tại lân cận mở U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V.

(2) f được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X.(3) f được gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f, f−1 là các ánh xạliên tục

Định nghĩa 1.2.16 ([7]) Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó, (X, τ )được gọi là T2-không gian hay là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà

x 6= y, tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅

Định nghĩa 1.2.17 ([7]) Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}.Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo khả metric d

Định nghĩa 1.2.18 ([7]) Giả sử U là một họ nào đó gồm các tập con củakhông gian topo X và A ⊂ X Khi đó,

(1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂S{U : U ∈ U }

(2) U được gọi là phủ mở của A nếu U là một phủ của A và mỗi phần tử của U

• d được gọi là một metric trên X

• Cặp (X, d) được gọi là một không gian metric

• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm.

• d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y

Như vậy, |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y)

Định nghĩa 1.2.21 ([7]) Cho không gian metric (X, d), x0 ∈ X, r > 0 Khi đó,(1) B(x 0 , r) = {x ∈ X| d(x, x 0 ) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x 0, bán kính r.(2) B[x 0 , r] = {x ∈ X| d(x, x 0 ) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x 0, bán kính r.Định nghĩa 1.2.22 ([3]) Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là:

α, β, γ, ;K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z Trên V

ta có hai phép toán gồm:

Phép cộng hai phần tử của V

(+) : V × V → V (α, β) 7→ α + β

Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K

(·) :K× V → V (x, α) 7→ x.α.

Giả sử đối với mọi α, β, γ ∈ V, với mọi x, y ∈K các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) (α + β) + γ = α + (β + γ),

2) Tồn tại vectơ θ sao cho θ + α = α + θ = α,

3) Với mỗi α có một phần tử α0 sao cho α + α0= α0+ α = θ,

4) α + β = β + α

5) x · (α + β) = x · α + x · β,

6) (x + y) · α = x · α + y · α,

7) (xy) · α = x · (y · α),

8) 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó, ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K hoặc V là không giantuyến tính trên K

Định nghĩa 1.2.23 ([8]) Một metric d trên không gian tuyến tính E được gọi làbất biến nếu

Khi đó,(V, d) được gọi là một không gian metric tuyến tính nếu các phép toán (+)

và (·) trên V liên tục

Định nghĩa 1.2.25 ([7]) Giả sửK là một tập con của không gian topo X Ta nóirằng K là tập compact nếu mỗi phủ mở của K đều tồn tại một phủ con hữu hạnphủ K

Bổ đề 1.2.26 ([7]) Mỗi tập con compact trong không gian Hausdorff đều làtập hợp đóng

Định nghĩa 1.2.27 ([5]) Cho S là một tập hợp, u1, u2, , un ∈ S Khi đó, Sđược gọi là tập lồi nếu có các số λ1, λ2, , λn ≥ 0 thỏa mãn

Định nghĩa 1.2.28 ([5]) Một không gian topo tuyến tính E được gọi là lồiđịa phương nếu E có một cơ sở lân cận gồm toàn tập lồi.

Định nghĩa 1.2.29 ([9]) Chof : X → X là một ánh xạ Khi đó,x0∈ Xđược gọi làđiểm bất động của ánh xạ f nếu f (x 0 ) = x 0

Định nghĩa 1.2.30 ([9]) Một không gian topo X được gọi là có tính chấtđiểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục f : X → X đều có điểm bất động

Định nghĩa 1.2.31 ([7]) Cho X là một không gian topo và A là một tập concủaX, A được gọi là một co rút của X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục r : X → Asao cho r(a) = a với mỗi a ∈ A

Nhận xét 1.2.32 ([7]) Nếu X là không gian topo Hausdorff và A là một co rútcủaX, thì A đóng trong X

Định nghĩa 1.2.33 ([7]) Cho Y là một không gian topo khả metric thỏa mãnđiều kiện rằng nếu Y đồng phôi với một tập con A đóng của một không gianmetric X, thì A là một co rút của X Khi đó, Y được gọi là một co rút tuyệt đối.Định nghĩa 1.2.34 ([7]) ChoX là một không gian vectơ,∅ 6= A ⊂ X,Ađược gọi làđộc lập tuyến tính nếu mọi hệ gồm hữu hạn vectơ phân biệt trong A đều độc lậptuyến tính Ngược lại, A được gọi là phụ thuộc tuyến tính

(*) L(A) : giao của họ tất cả các không gian tuyến tính con của X chứa A vàvới mọi n ∈ N∗

L(A) = {α 1 e 1 + α 2 e 2 + · · · + α n e n | α 1 , , α n ∈R; e 1 , , e n ∈ A}.

(*) Cho ∅ 6= A ⊂ X, A được gọi là tập sinh của X nếu L(A) = X

(*) Tập A được gọi là cơ sở của X nếu A độc lập tuyến tính và là tập sinhcủaX

Định nghĩa 1.2.35 ([7]) Không gian vectơ X được gọi là hữu hạn chiều nếu X

có một tập cơ sở gồm hữu hạn phần tử và số phần tử trong tập cơ sở đó được gọi là

số chiều của không gian vectơ

Không gian vectơX được gọi là vô hạn chiều nếu tồn tại trongX một tập cơ sởgồm vô hạn phần tử

Định nghĩa 1.2.36 ([7]) Cho X là không gian Banach trên trường K Một dãy{e1, e2, , en, } được gọi là cơ sở Schaulder hoặc cơ sở đếm được của X nếu

với mọi vectơ x ∈ X, tồn tại duy nhất dãy {α 1 , α 2 , , α n , } ⊂K sao cho

n0 sao cho với mọi số nguyên dương n > n0, khoảng cách d(xn, x) <  Khi đó,

x được gọi là giới hạn của dãy (xn) Chúng ta viết xn → x khi n → +∞, hay

lim

n→+∞ xn = x.

Ta viết tắt: lim xn = x

Một vài giới hạn đặc biệt:

Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau

n 2 + 4 1

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞

2) Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu

lim (−un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞

Nhận xét 1.3.5 ([2]) lim un = +∞ ⇔ lim (−un) = −∞.

Bởi vì lim n2= +∞ và lim1 − 2

n − 1

n 2



= 1 > 0 nênlim n2

Như vậy, lim n2− 2n − 1
= +∞.

Định nghĩa 1.3.8 ([2]) Cho khoảngK chứa điểmx0 và hàm sốy = f (x) xác địnhtrên K\ {x 0 } Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x 0 nếu vớidãy số (xn) bất kì, xn ∈ K\ {x0} và xn → x0, ta có f (xn) → L

a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞) Ta nói hàm số y = f (x)

có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞,

ta có f (xn) → L

Kí hiệu: lim

x→+∞ f (x) = L hay f (x) → L khi x → +∞

b) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (−∞; a) Ta nói hàm số y = f (x)

có giới hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → −∞,

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thoả mãn xn < 1 và xn → −∞ Ta có

Do vậy, ta thu được

Định nghĩa 1.3.15 ([2]) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Ta nói hàm sốy = f (x) có giới hạn là−∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì,

Ví dụ 1.3.18 Cho hàm số

f (x) =

5x + 2 nếu x ≥ 1

x→1 − f (x) 6= lim

x→1 + f (x).

CHƯƠNG2 ĐỊNH LÍ BOLZANO VÀ MỞ RỘNG

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu trình bày về Định lí Bolzano, phần

mở rộng của Định lí Bolzano trên các tập hợp(−∞; +∞),[a; +∞),(−∞; b]; ứng dụngcủa Định lí Bolzano để giải các bài toán Sau đó, chúng tôi tiếp tục mở rộngnghiên cứu sang tính chất điểm bất động trên các tập lồi compact trong không gianhữu hạn chiều, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tuyến tính lồiđịa phương, không gian vô hạn chiều

2.1 Định lí Bolzano

Định lí 2.1.1 ([4]) Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] và α là một sốnằm giữa f (a) và f (b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho f (c) = α.Nói một cách khác, f lấy mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b)

Chứng minh Giả sử f (a) ≤ f (b) và α ∈ [f (a), f (b)] Khi đó, nếu

f (a) = f (b),thì hiển nhiên định lí đúng Giả sử

Do đó, tồn tại một số dươngδ sao cho c + δ ≤ b và

f (x) < α với mọi x ∈ [c, c + δ].

Đặc biệt, vì f (c + δ) < α nên c + δ ∈ E Điều này vô lí vì c là một cận trên của E

• Nếu f (c) > α, thì c 6= a, do đó c > a Bởi vì f liên tục tại c nên

Từ định nghĩa củaE suy raf (x1) ≤ α, đây là một mâu thuẫn Do vậy,f (c) = α

Hệ quả 2.1.2 ([4]) Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó, nếu

f (a) · f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

Chứng minh Bởi vì α = 0 là một số nằm giữa f (a) và f (b) nên theo Định lí 2.1.1

ta suy ra tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

Chứng minh Ta xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1 Giả sử

lim

x→−∞ f (x) < 0 và lim

x→+∞ f (x) > 0.

c ∈ (a, b) ⊂ (−∞; +∞)sao cho f (c) = 0.

Định lí 2.2.2 Giả sử f là một hàm số liên tục trên (−∞; b] Khi đó, nếu

f (b) · lim

x→−∞ f (x) < 0,thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (−∞; b) sao cho f (c) = 0

Chứng minh Ta xét các trường hợp sau

|f (x) − β| <  = lim

x→−∞ f (x).

Chứng minh Ta đặt g(x) = f (−x) Bởi vì f là một hàm số liên tục trên [a; +∞)nêng là một hàm số liên tục trên (−∞; −a] Bởi vì

f (a) · lim

x→+∞ f (x) < 0,nên ta có

f (a) · lim

−x→+∞ f (−x) < 0,

điều này kéo theo

f (−1) · f (2) = −11 < 0.

Suy ra tồn tại x0∈ (−1; 2) sao cho f (x0) = 0, nghĩa là phương trình

f (x) = 4x3− 8x2+ 1 = 0

có ít nhất một nghiệm trong khoảng (−1; 2).

f (−2) · f (0) = −1 < 0.

Do đó, phương trình f (x) = x3− 3x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(−2; 0). Mặt khác, vì

f (0) = 1, f (1) = −1nên ta có

f (0) · f (1) = −1 < 0.

Do đó, phương trình f (x) = x3− 3x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(0; 1) Hơn nữa, vì

f (1) = −1, f (2) = 3nên ta có

f (1) · f (2) = −3 < 0.

Suy ra phương trình

f (x) = x3− 3x + 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2)

Như vậy, phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộccác khoảng (−2; 0), (0; 1), (1; 2) Bởi vì f (x) là đa thức bậc ba nên phương trình

f (x) = 0 có tối đa ba nghiệm Do đó, phương trình đã cho có đúng ba nghiệmphân biệt

Ví dụ 2.3.3 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọigiá trị của tham sốm ∈ R.

= √1

2 > 0; f

3π 4



= − √1

2 < 0,kéo theo

f

π 4

.f

3π 4



< 0.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sốm ∈ R.

.f−π4



< 0.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sốm

Ví dụ 2.3.4 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm

x5− 3x + 3 = 0luôn có nghiệm

nên tồn tại a > 0 sao cho f (a) > 0 Mặt khác, vì f (−1).f (a) < 0 nên luôn tồn tại

x0∈ (0; a) thỏa mãn f (x0) = 0 nên phương trình

x4+ x3− 3x2+ x + 1 = 0luôn có nghiệm

Bổ đề 2.3.5 Phương trình đa thức bậc lẻ

a2n+1x2n+1+ a2nx2n+ · · · + a1x + a0 = 0luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của a i , i = 1, , 2n + 1. Điều nàykhông đúng với đa thức bậc chẵn

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử a2n+1 > 0 Xét hàm số

f (x) = a2n+1x2n+1+ a2nx2n+ · · · + a1x + a0.Đây là hàm đa thức, xác định trên R nên liên tục trên R Bởi vì

i

Bài giải Ta đặt

f (x) = ax2+ bx + c.

Khi đó, f (x) liên tục trên R

• Trường hợp 1 Nếu c = 0, thì f (x) = 0 có 2 nghiệm là

f (0).f

1 3

Như vậy, phương trình

ax2+ bx + c = 0

luôn có nghiệm x ∈h0;1

3

i

Ví dụ 2.3.8 Chứng minh rằng phương trình

p

x 5 + 2x 3 + 15x 2 + 14x + 2 = 3x2+ x + 1

có đúng năm nghiệm phân biệt

Bài giải Phương trình đã cho tương đương với

x3+ 2x3+ 15x2+ 14x + 2 = 3x2+ x + 1
2

⇔ x3− 9x4− 4x3+ 18x2+ 12x + 1 = 0.