Phương trình hàm với các tính chất đặc trưng của hàm số

28Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT, DỰA VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ VÀ GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 33 3.1 Phương trình hàm với phương pháp thế và giá trị đặc biệt.. 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

Thanh Hóa, 4/2023

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5 1.1 Hàm số 5

1.2 Hàm số liên tục 10

1.2.1 Hàm số liên tục tại một điểm 10

1.2.2 Hàm số liên tục trên một khoảng (đoạn) 11

1.3 Phép tính vi phân của hàm số một biến 13

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CÓ YẾU TỐ LIÊN TỤC, KHẢ VI 15 2.1 Phương trình hàm có nhiều biến tự do 15

2.2 Phương trình hàm có một biến tự do 24

2.3 Phương trình hàm có yếu tố lượng giác, biểu thức có thể chuyển về dạng lượng giác 28

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT, DỰA VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ VÀ GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 33 3.1 Phương trình hàm với phương pháp thế và giá trị đặc biệt 33

3.2 Phương trình hàm với phương pháp thế dựa vào giá trị của biến số và giá trị của hàm số 34

Kết luận 39

LỜI CẢM ƠNKhóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán học với Đề tài “Phương trìnhhàm với các tính chất đặc trưng của hàm số” là kết quả của quá trình cốgắng không ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viênkhích lệ của thầy cô, bạn bè và người thân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơnchân thành đến mọi người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập và nghiêncứu khoa học vừa qua.

Em xin gửi lời cảm ơn đển Ban Giám Hiệu trường Đại học Hồng Đức đãgiảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi để các sinh viên học tập,nghiên cứu đểhoàn thành quá trình học tập

Em xin trân trọng gửi đến thầy cô giảng viên giảng dạy bộ môn Toán đãgiúp đỡ và chỉ bảo em trong quá trình làm khóa luận cũng như cung cấp tàiliệu bổ ích

Cảm ơn Thầy Nguyễn Mạnh Cường – giảng viên giảng dạy bộ môn Toánngười đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tinkhoa học cần thiết cho bài luận này lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất.Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh,ủng hộ, động viên

Em xin chân thành cảm ơn!

∥x∥X chuẩn của véc tơ x trong không gian X

A × B tích Descartes của hai tập A và B

span(A) không gian tuyến tính sinh bởi tập A

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm số là một nội dung rất quan trọng không chỉ ở toán học phổ thông

mà còn ở toán học hiện đại, nó thực sự chiếm vai trò đặc biệt trong ngànhtoán học và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, hàm số là đối tượng đểnghiên cứu và công cụ để giải quyết các bài toán cũng như các vấn đề toánhọc

Trong toán học phổ thông thì một trong những chuyên đề không thể thiếuđược để bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông đó là dạng bài toán xác định hàm

số thỏa mãn các điều kiện nào đó cho trước, nói riêng đó là bài toán vềphương trình hàm Các bài toán phương trình hàm thậm chí xuất hiện trong

đề thi các kỳ thi olympic toán học cho học sinh, sinh viên Trong rất nhiềucác bài toán về phương trình hàm thì các bài toán gắn liền với khái niệmhàm số, những tính chất cơ bản liên quan đến giải tích được đặc biệt quantâm, vì qua các bài toán bài người học có cơ hội nghiên cứu, trao dồi, rènluyện về các kiến thức về hàm số: đồng biến, nghịch biến, tính liên tục, đạohàm, Do đó em đã chọn đề tài "Phương trình hàm với các tính chất đặctrưng của hàm số" để làm chủ đề khóa luận tốt nghiệp của mình

Khóa luận của em tuy không phải là kết quả mới về mặt khoa học nhưng

đó là sự nổ lực của bản thân và chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, em

đã hệ thống và trình bày theo sự hiểu biết của mình Qua đây cho phép emđược gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn: Giải tích và

PPDH Toán, Khoa KHTN, Trường Đại học Hồng Đức đã giao đề tài và âncần chỉ bảo để em hoàn thành khóa luận này.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống một số dạng toán cụ thể về phương trình hàm Giải các bài toán,

ví dụ về phương trình hàm sử dụng các tính chất của hàm số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các ánh xạ, hàm số, phương trình hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp giải tích, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề

- Thảo luận nhóm, liên hệ trao đổi nghiên cứu với các Thầy cô giáo

Ta quan tâm đến hai tập hợp sau đây:

f (A) = nf (a)| a ∈ Ao được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f và

f−1(b) =

n

a ∈ A| f (a) = b

o

là tạo ảnh toàn phần của phần tử b

*) Ánh xạ f : A → B được gọi là đơn ánh nếu như với mọi a1, a2 ∈ A mà

*) Ánh xạ f : A → B được gọi là song ánh nếu như nó vừa là đơn ánh,vừa là toàn ánh.

Chú ý: Một song ánh của tập hợp

n1; 2; ; n

ođược gọi là một hoán vịcủa tập hợp đó

1.1.2 Ánh xạ ngược

Giả sử f : A → B là một song ánh từ tập A đến tập B

Khi đó với mọi b ∈ B đều có duy nhất a ∈ A sao cho f (a) = b

Ta xây dựng một ánh xạ Gtừ B đến Anhư sau: Với mọi b ∈ B ta đặt tươngứng với a ∈ A mà f (a) = b Ánh xạ g : B → A như vậy được gọi là ánh xạngược của ánh xạ f và được kí hiệu f−1

đơn điệu thật sự trên khoảng đó.

Từ khái niệm về hàm số đơn điệu ta có:

+) Mọi hàm đơn điệu thực sự trên một khoảng đều là đơn ánh trênkhoảng đó

+) Nếu f : D →R; g : D →R là hai hàm tăng thì f + g tăng

+) Nếu f : D → R; g : D → R là hai hàm tăng và không âm thì

f (x)g(x) là hàm tăng

+) Nếu hàm f đơn điệu trên khoảng (a; b) thì phương trình f (x) = m

có nhiều nhất là một nghiệm trên khoảng đó

+) Nếu f : D → R và g : Dg → R tăng và Tf ⊂ Dg thì hàm số hợpgof tăng

+) Nếu hàm số f tăng thì hàm số hợp f (f (x)) (nếu được xác định)cũng tăng

+) Nếu hàm f giảm thì hàm số hợp f (f (x)) (nếu được xác định) làgiảm

là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T mà không là hàmtuần hoàn với bất kì chu kì nào bé hơn T.

1.1.7 Hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược

*) Hàm f (x) =cot x có tính chất

f (x + y) = f (x)f (y) − 1

f (x) + f (y) .Với x, y : x + y ̸= kπ(k ∈ Z)

*) Hàm p(x) = arccotx có tính chất

p(x) + p(y) = pxy−1

x+y

, ∀x, y : xy ̸= 0

1.2.1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và

x0 ∈ (a, b) Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

limx→x−

0 = limx→x0f (x) = f (x0).(hoặc limx→x+

nó liên tục phải trái tại điểm đó

f (x) liên tục tại x0 ⇔







f (x) liên tục phải tại x0

f (x) liên tục trái tại x0.Định lý 1.2.2 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại x0 (mẫukhác 0 tại x0) là hàm số liên tục tại điểm đó

Định lý 1.2.3 Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x0 và hàm số z = g(y)liên tục tại điểm y0 = f (x0) thì hàm hợp g (f (x)) liên tục tại điểm x0

1.2.2 Hàm số liên tục trên một khoảng (đoạn).

Định nghĩa 1.2.3 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b)nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trênkhoảng (a, b) và f (x) liên tục phải tại a, liên tục trái tại b

f (x) liên tục trên (a; b) ⇔ ∀x0 ∈ (a; b) : f (x) liên tục tại x0

f (x) liên tục trên [a; b] ⇔

f (x) liên tục phải tại a

∀x0 ∈ (a; b) : f (x) liên tục tại x0

f (x) liên tục trái tại b

f (x0) < 0) thì tồn tại một lân cận (x0 − δ, x0 + δ) của điểm x0 sao cho

f (x) > 0 (hoặc f (x) < 0 với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)

f (x) liên tục trên [a; b] ⇒ f (x) bị chặn trên [a; b]

Định lý 1.2.6 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt giá trịlớn nhất và giá trị bé nhất trên đoạn đó.

f (x) liên tục trên [a; b] ⇒







∃x0 ∈ [a; b] : f (x0) = supa≤x≤bf (x)

∃x1 ∈ [a; b] : f (x1) = infa≤x≤bf (x)Định lý 1.2.7 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và nếu f (a).f (b) <

0 thì có ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0

Định lý 1.2.8 Nếu hàm sốf (x)liên tục trên đoạn [a; b]vàf (x) = A, f (b) =

B thì hàm số đó nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B

c = f (a), d = f (b) (hoặc c = f (b), d = f (a))

Chú ý: Nếu hàm số f (x) là đơn ánh, liên tục trên một khoảng nào đóthì nó đơn điệu thực sự trên khoảng đó

1.3 Phép tính vi phân của hàm số một biến.

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số y = f (x) Xác đinh trên khoảng (a; b) và

x0 ∈ (a, b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

f′(x0) = lim∆x→0 f (x0 +∆x)−f (x0)

∆x Định nghĩa 1.3.2 Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải

x0 và kí hiệu là f′(x+0 ) (hay y′(x+0))

f′(x+0) = lim∆x→0+ f (x 0 +∆x)−f (x 0 )

∆x Định nghĩa tương tự, đạo hàm bên trái của y = f (x) tại điểm x0 là giớihạn (hữu hạn) bên trái, nếu có:

f′(x−0) = lim∆x→0− f (x0+∆x)−f (x0)

∆x Chú ý: Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi các đạo hàmphải và trái tồn tại và bằng nhau

Định nghĩa 1.3.3 Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng(a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó

Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu nó có đạohàm trên khoảng (a; b) và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái b

Định lý 1.3.1 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tụctại điểm đó.

f′(x0) có đạo hàm tại x0 ⇒ f (x) liên tục tại x0.Chú ý: Điều ngược lại là không đúng Một hàm số liên tục tại một điểm

x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CÓ YẾU

TỐ LIÊN TỤC, KHẢ VI

Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) xác định các hàm f (x) liên tụctrên R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈R (1)Giải Từ (1) suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x) và với y = x thì:

f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R (2)Giả sử với k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R Khi đó:

f (k + 1)x = f (kx + x) = f (kx) + f (x)

= kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x), ∀x ∈R, ∀n ∈ N

Từ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta có:

f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R.Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta được:

f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R

Thật vậy, theo giả thiết thì

2 Kết quả của Bài toán 1 sẽ không thay đổi nếu ta thay R bằng [a, +∞)hoặc (−∞, β] tùy ý.

Bài toán 2 Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈R (5)Giải Nhận xét bằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (5) Xét trường hợp

f (x) ̸≡ 0 Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) ̸= 0

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈R\ {0} (1)Giải

Thay y = 1 vào (1) ta được

f (x) − f (1) = 0, ∀x ∈R (2)

b, Khi x, y ∈ R− thì xy ∈ R+ Với y = x, từ 1 và theo kết quả phần a, tacó

[f (x)]2 = f (x2) = (x2)β = |x|β2, ∀x ∈ R−, β ∈ R tùy ý. Do f (x) làhàm số liên tục trên R−, nên

Giải Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (1) theo biến x và y ta được

yf′(xy) = f′(x), ∀x, y ∈R+ (2)

xf′(xy) = f′(y), ∀x, y ∈R+ (3)Các đẳng thức (2)-(3) cho ta

và chỉ đòi hỏi hàm số cần tìm giới nội(bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục mộtphía trên các tập đó,

Bài toán 5 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điềukiện

f



x + y2



= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈ R. (1)Giải Đặt f (x) − f (0) = g(x), ta có g(x) liên tục trên R với g(0)=0 và

g



x + y2



= g(x) + g(y)

2 , ∀x, y ∈ R.

= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈ R.Giải Đặt f (x) − f (0) = g(x), ta có g(x) liên tục trên R với g(0) = 0 và

g



x + y2



= g(x) + g(y)

2 , ∀x, y ∈ R.Lần lượt cho y = 0 và x = 0, thì

f



x + y2



=

q

f (x0).f (y) = 0, ∀y ∈ R,tức là f (x) ≡ 0 Xét trướng hợp f (x) > 0, ∀x ∈ R Khi đó

(1) ⇔ lnf



x + y2



= lnf (x) + lnf (y)

2 , ∀x, y ∈ R,Bài toán 8 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thoả mãn điềukiện

f (√x.y) =

q

f (x).f (y), ∀x, y ∈ R+ (1)Giải Từ điều kiện Bài toán suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+

Nếu tồn tại x0 > 0 sao cho f (x0) = 0 thì từ (1) suy ra

f (√

x0y) =

q

f (x0).f (y) = 0, ∀y ∈ R+.Trong trường hợp này f (x) ≡ 0



=

qg(u).g(v), ∀u, v ∈ R.Theo kết quả những bài toán trên, thì ta có



g(u) ≡ 0,g(u) = eau+b, a, b ∈ R tuỳ ý.

Bài toán 9 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trong R\ {0} thoả mãnđiều kiện



= g(u) + g(v)

2 , ∀u, v, u + v ̸= 0.

Theo kết quả của những bài toán trên, suy ra g(u) = au + b Hàm g(u) ̸=

0, ∀u ̸= 0 khi và chỉ khi



g(u) = au, a ̸= 0,g(u) = b, b ̸= 0

Khi đó g(u) liên tục trên R \ {0} và (1) có dạng

g



u + v2



= g(u) + g(v)

2 , ∀ u, v, u + v ̸= 0.

Theo những kết quả của những bài trên, thì g(u) = au + b Do đó f (x) =

Với x = 1 thì yf (1) = f (f (y)) , ∀y ∈ R Với x = t, y = 1 thì f (t) =



= 1, ∀x ̸= 0,suy ra f (x) ̸= 0, ∀x ̸= 0 và f x2
= [f (x)]2 > 0, do đó ta có f (−1) = −1.Suy ra f (−x) = f (xf (−1)) = −f (x)

Vậy f là hàm lẻ Vì vậy, ta chỉ cần xét với x ≥ 0

Với x, y ∈ R+ đặt x = eu, y = ev và g(t) = f (et) thì g(t) là hàm liên tụctrên R+ và g(u + v) = g(u) + g(v)

Do đó g(t) = at, t ∈ R+ Suy ra

f (x) = f (en) = g(u) = au = alnx = xlna = xα,trong đó α là hằng số

Thử lại điều kiện của bài toán suy ra α = ±1, tức là f (x) = x hoặc

f (x) = x1 Do f (x) là hàm liên tục nên f (x) = x Vậy các hàm f (x) = 0hoặc f (x) = x thoả mãn bài ra

2.2 Phương trình hàm có một biến tự do.

Bài toán 1 Tìm tất cả các hàm liên tục f : R →R thỏa mãn điều kiện

f (x2) + f (x) = x2 + x, ∀x ∈R.Giải Ta đặt g(x) = f (x) − x và chứng minh g là hàm hằng Ta có g(x)liên tục trên R và dễ thấy g(x2) + g(x) = 0 ∀x ∈ R

Thay x = 0 ta có 2g(0) = 0 ⇒ g(0) = 0;

Thay x = 1 ta có 2.g(1) = 0 ⇒ g(1) = 0;

Thay x bởi −x ta có g((−x)2) + g(−x) = 0 ⇒ g(−x) = −g(x2) =g(x), ∀x ∈R.

Như vậyg(x)là hàm số chẵn, do đó ta chỉ cần chứng minhg(x)là hàm hằngvới x > 0 Trước hết ta chú ý rằng với x > 0 thì g(x) = −g(x2) = g(x4)

Do đó với x > 0 ta có: g(x) = gx14

.Lấy a > 0 tùy ý, xét dãy (xn) được xác định như sau:

x0 = a, xn+1 = x

1 4

n



= g(xn) = g(xn−1) = = g(x0) = g(a),vậy g là hàm hằng trên dãy (xn)

Do g liên tục nên g(a) = lim g(xn) = g(lim xn) = g(1) = 0

vậy g(x) = 0, ∀x ∈ R Do đó hàm số cần tìm là f (x) = x, ∀x ∈ R.

Hiển nhiên hàm số f (x) = x thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 2 Tìm tất cả các hàm liên tục f: R+ →R+ thỏa mãn

f (x) = f



x2 + 14

, ∀x ∈R (1)

Giải Ta sẽ chứng minh f là hàm hằng.

Lấy bất kỳ a ≥ 0 Ta xét hai trường hợp:

1) 0 ≤ a ≤ 12 : Xét dãy số (xn) như sau:

Vậy dãy (xn) bị chặn trên bởi 12

f (xn+1) = f x2n+1+ 14
= f (xn) = f (xn−1) = = f (x1) = f (x0) = f (a).Hiển nhiên đây (xn) bị chặn dưới bởi số 0

Dễ kiểm tra được rằng f là hàm chẵn.

Do đó tất cả các hàm số cần tìm f (x) = C với mọi x(C là hằng số tùy ý).Bài toán 3 Cho g(x) = 1+x2x2

Hãy tìm tất cả các hàm f xác định, liên tục trên khoảng (−1; 1) và thỏamãn hệ thức

Ta sẽ chứng minh rằng h là hàm hằng trên khoảng (−1; 1)

Thật vậy, lấy a ∈ (−1; 1) \ {0} tùy ý

Xây dựng dãy (xn) như sau:

x0 = a, xn+1 = 1 −

p

1 − x2 n

Vì vậy:

h(xn) = h(g(xn)) = h



2xn1+x 2 n

1− √ 1−x 2

x

< 1

Từ đây suy ra xn ∈ (−1; 1), với mọi n ∈ N, nghĩa là dãy (xn) bị chặn

a −1 < a < 0: Khi đó −1 < xn < 0, với mọi n ∈ N

xn+1− xn = 1 −

p

1 − x2 n

n − 1 < 0, điều này hiển nhiên đúng, do đó (xn) là dãy tăng

b 0 ≤ a < 1: Khi đó 0 < xn < 1 với mọi n ∈ N4 Lập luận hoàn toànnhư trên thấy răng (xn) là dãy giảm

Trong cả hai trường hợp, dãy (xn) luôn đơn điệu và bị chặn Do đó tồn tạigiới hạn lim xn = b Viết lại (1b) dưới dạng:

xn+1 = 1 −

p

1 − x2 n

xn

2 n

Vậy h(a) = lim h(xn) = h(lim xn) = h(b) = h(0) Điều này chứng tỏh(x) không đổi trên (−1; 1) Vì vậy tất cả các hàm số cần tìm là:

f (x) = 1−xh(0)2 với h(0) tuỳ ý hay f (x) = 1−xC 2, C tuỳ ý

2.3 Phương trình hàm có yếu tố lượng giác, biểu thức

có thể chuyển về dạng lượng giác.

Bài toán 1 Tìm các hàmf (x) xác định, liên tục trên R và thoả mãn cácđiều kiện

trái với giả thiết |f (x0) < 1|

Vậy tồn tại x1 ̸= 0 sao cho 0 < f (x1) < 1 và f (x) > 0, ∀x ∈ (− |x1| , |x1|)(chỉ cần chọn x1 = x0

= 2 cos nα cos α − cos(n − 1)α

= cos(n + 1)α

Từ đó suy ra f (mx1) = cos mα, ∀m ∈ N+ Mặt khác, đổi vai trò x và ytrong (1), ta có f (x − y) = f (y − x), ∀x, y ∈ R Do đó f (x) là hàm chẵntrên R và như vậy

f (mx1) = cos mα, ∀x ∈Z (3)Cho x = y = x1

2 , từ (1) ta nhận được

h

f x12



= cosα

2.Giả sử