Về nghiệm, tính ổn định và sự phân tách của phương trình hàm loại euler lagrange

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ XUÂN THỊNH VỀ NGHIỆM, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ SỰ PHÂN TÁCH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM LOẠI EULER-LAGRANGE Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Hướng dẫn 1: TS Nguyễn Song Hà Hướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2024 ii LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Song Hà và TS Đinh Diệu Hằng Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn TS Nguyễn Song Hà và TS Đinh Diệu Hằng, là người hướng dẫn khoa học, đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô giáo trong khoa Toán-Tin, các cán bộ quản lí đào tạo của Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới người thân trong gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, những người đã luôn khích lệ và động viên tôi hoàn thành luận văn này Mặc dù đã rất cố gắng, song những thiếu sót trong luận văn là điều không thể tránh khỏi Em rất mong được sự góp ý của các Thầy Cô giáo, các bạn bè đồng nghiệp và những người cùng quan tâm tới vấn đề nghiên cứu trong luận văn Tác giả Lê Xuân Thịnh Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Nghiệm của phương trình hàm bậc hai loại Euler- Lagrange 3 1.1 Phương trình hàm bậc hai 3 1.2 Phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange 13 Chương 2 Tính ổn định Hyers-Ulam và sự phân tách của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange 20 2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange 20 2.2 Sự phân tách phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange 29 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt N Tập các số tự nhiên Z Tập các số nguyên Q Tập các số hữu tỉ R Tập các số thực Rn Không gian Euclide n chiều X, Y Các không gian tuyến tính thực Xk Tích Descartes của k không gian X H Không gian Hilbert thực |x| Giá trị tuyệt đối của x ∥x∥ Chuẩn của x ⟨x, y⟩ Tích vô hướng của x và y ∀ Với mọi ⇔ Dấu tương đương ⇒ Dấu kéo theo Mở đầu Phương trình hàm nảy sinh trong nhiều lĩnh vực của toán học, chẳng hạn như hình học, thống kê, lý thuyết độ đo, hình học đại số và lý thuyết nhóm Phương trình hàm cũng được chỉ ra có nhiều ứng dụng trong các nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên, cơ học cổ điển, thiên văn học, kinh tế học, lý thuyết trò chơi, đồ họa máy tính, mạng nơ-ron, xử lý ảnh kĩ thuật số, lý thuyết thông tin, lý thuyết mã hóa, lý thuyết tập mờ, trí tuệ nhân tạo và nhiều lĩnh vực khác (xem [3, 8, 9, 11] cùng tài liệu dẫn) Các dạng về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm cả phương trình loại tuyến tính và phi tuyến, một ẩn hàm và nhiều ẩn hàm Những nghiên cứu mở đầu về chủ đề này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như d’Alembert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Abel (1823), Darboux (1875), Hilbert (1902), (xem [9, 11] cùng tài liệu dẫn) Mặt khác, phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chuyên Toán bậc Trung học phổ thông (THPT) Các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc gia (VMO), thi Olympic khu vực, Olympic Quốc tế (IMO) thường xuất hiện bài toán về phương trình hàm, đó là những bài toán khó và mới mẻ đối với học sinh THPT Những nghiên cứu và tiếp cận về phương trình hàm cũng theo nhiều hướng khác nhau như xác định phương pháp để tìm đặc trưng của hàm số, phương pháp để xác định nghiệm và đặc trưng của nghiệm, tính ổn định nghiệm, sự phân tách phương trình hàm quy lạ về quen, Theo đó, chúng tôi lựa chọn "phương trình hàm loại Euler-Lagrange" thuộc lớp phương trình hàm bậc hai, tìm hiểu từ nghiệm, tính ổn định cho đến sự phân tách phương trình là chủ đề nghiên cứu của đề tài luận văn Mục đích chính của luận văn là trình bày về nghiệm tổng quát, tính ổn định Hyers-Ulam cùng sự phân tách cho một lớp phương trình hàm bậc hai 2 loại Euler-Lagrange Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1 sẽ trình bày các kết quả cơ bản về nghiệm phương trình hàm bậc hai và phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Chương 2 dành để cụ thể hóa tính ổn định Hyers-Ulam cùng sự phân tách đối với một lớp phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Chương 1 Nghiệm của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả cơ bản về phương trình hàm bậc hai Euler-Lagrange và phương trình hàm bậc hai loại Euler- Lagrange Cấu trúc của chương được chia thành hai phần: Mục 1.1 dành để giới thiệu về nghiệm của phương trình hàm bậc hai và đặc trưng nghiệm thông qua song hàm cộng tính đối xứng Mục 1.2 sẽ trình bày vấn đề về nghiệm của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Nội dung chính của chương được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8, 9, 11] 1.1 Phương trình hàm bậc hai Phương trình hàm bậc hai là để tìm các hàm số thực f : R → R thỏa mãn quan hệ hàm: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Vấn đề xác định nghiệm của (1.1) sẽ lần lượt được làm rõ thông qua các kết luận của hai định lí dưới đây Định lí 1.1 Giả sử f : R → R thỏa mãn quan hệ hàm (1.1) Khi đó f là hàm thuần nhất hữu tỉ bậc 2 Hơn nữa, trên tập số hữu tỉ Q, hàm f có dạng f (r) = Cr2, ∀r ∈ Q, trong đó C là hằng số thực tùy ý Chứng minh Trước hết, để ý rằng, trong (1.1), cho x = y = 0, ta có f (0) + f (0) = 2f (0) + 2f (0) ⇒ f (0) = 0 (1.2) Bây giờ, chúng ta thay y bởi −y trong (1.1), ta nhận được f (x − y) + f (x + y) = 2f (x) + 2f (−y) (1.3) 4 Từ (1.1) và (1.3) dẫn đến f (y) = f (−y), ∀y ∈ R Do đó, f là hàm chẵn trên R ∀x ∈ R Tiếp theo, trong (1.1), nếu lấy y = x thì ta có f (2x) + f (0) = 2f (x) + 2f (x) ⇒ f (2x) = 22f (x), Mặt khác, trong (1.1), nếu thay x bởi 2x và thay y bởi x thì ta cũng có f (2x + x) + f (2x − x) = 2f (2x) + 2f (x) ⇒ f (3x) = 2f (2x) + f (x), ∀x ∈ R Điều này suy ra ∀x ∈ R f (3x) = 8f (x) + f (x) ⇔ f (3x) = 32f (x), Giả sử với mọi số tự nhiên k ≥ 4 ta có ∀x ∈ R f (kx) = k2f (x), Khi đó, một cách tương tự, từ (1.1) cũng cho ta f (kx + x) + f (kx − x) = 2f (kx) + 2f (x) ⇔f ((k + 1)x) = 2k2f (x) − (k − 1)2f (x) + 2f (x) ⇔f ((k + 1)x) = (k2 + 2k + 1)f (x) ⇔f ((k + 1)x) = (k + 1)2f (x), ∀x ∈ R Do đó, theo nguyên lí quy nạp, ta nhận được ∀n ∈ N (1.4) f (nx) = n2f (x), ∀x ∈ R, Bây giờ, ta sẽ chứng minh (1.4) bảo đảm với mọi số nguyên n ∈ Z Thật vậy, giả sử n là số nguyên âm khi đó −n ∈ N Kết hợp với tính chất chẵn của hàm f và khẳng định trên, ta có f (−nx) = f (−(−n)x) = f (−nx) = (−n)2f (x) = n2f (x), ∀x ∈ R 5 Điều này chứng tỏ rằng ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z f (nx) = n2f (x), Giả sử r là số hữu tỉ tùy ý Khi đó, r có thể biểu diễn dưới dạng k r = n, k ∈ Z, n ∈ N Hay ta có k = rn Từ chứng minh phần trên, để ý rằng k2f (x) = f (kx) ∀x ∈ R, = f ((rn)x) = n2f (rx), hay ta có ∀r ∈ Q (1.5) k2 2 f (rx) = 2 f (x) = r f (x), ∀x ∈ R, n Vì thế f là hàm thuần nhất hữu tỉ bậc 2 Cuối cùng, trong (1.5), nếu lấy x = 1 thì f (r) = Cr2, ∀r ∈ Q, trong đó C = f (1) Ta có điều cần chứng minh Định lí 1.2 Nghiệm liên tục thỏa mãn quan hệ hàm (1.1) là hàm f (x) = Cx2, ∀x ∈ R, trong đó C là hằng số thực tùy ý Chứng minh Chúng ta biết rằng, đối với mỗi số thực x, đều tồn tại một dãy các số hữu tỉ {rn} sao cho lim rn = x n→∞ Mặt khác, áp dụng Định lí 1.1, ta có f (rn) = Crn2 (1.6) 6 Vì thế, từ tính liên tục của f dẫn đến f (x) = lim f (rn) 2 n→∞ = Cx2 = lim (Crn2) n→∞ = C lim (rn2) n→∞ = C lim rn n→∞ Ta có điều cần chứng minh Các định lí trên chỉ ra rằng mọi hàm liên tục thỏa mãn quan hệ hàm (1.1) đều có dạng f (x) = Cx2 Bây giờ, chúng ta xét f (x) = Ax2 + Bx + C (hàm dạng đa thức bậc hai), dễ thấy rằng nếu f thỏa mãn quan hệ hàm (1.1) thì A(x + y)2 + B(x + y) + C + A(x − y)2 + B(x − y) + C ∀x, y ∈ R = 2(Ax2 + Bx + C) + 2(Ay2 + By + C), Điều này dẫn đến 2By + 2C = 0, ∀y ∈ R ⇒ B = C = 0 (1.7) Tức là, f (x) = Ax2 Ví dụ 1.1 (Bài tập đề xuất ở kì thi IMO năm 20181) Tìm các hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn: f (x + y)f (x − y) = (f (x)f (y))2, ∀x, y ∈ R Để tìm nghiệm của phương trình trên, trước hết, chúng ta quan sát rằng, nếu cho x = y = 0 trong (1.7) thì f (0)f (0) = (f (0)f (0))2 Đẳng thức này dẫn đến f (0) ∈ {−1, 0, 1} Do đó, ta xét hai trường hợp sau: (i) Trường hợp 1: f (0) = 0 Đối với trường hợp này, nếu cho y = 0 trong (1.7) thì f (x)2 = 0 với mọi x ∈ R và vì thế ta phải có f ≡ 0 Dễ thấy, f ≡ 0 là một nghiệm thỏa mãn yêu cầu 1https://artofproblemsolving.com/community/c6h1621877 (Functional Equations in Mathematical Olympiads), https://wmc.ms.wits.ac.za/wp-content/uploads/2021/02/5-Functional-Equations-scan.pdf (Functional Equations for the Olympiad Enthusiast)