Về nghiệm, tính ổn định và sự phân tách của phương trình hàm loại euler lagrange

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLÊ XUÂN THỊNH VỀ NGHIỆM, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ SỰ PHÂN TÁCH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM LOẠI EULER-LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCHướng dẫn 1: TS..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ XUÂN THỊNH

VỀ NGHIỆM, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ SỰ PHÂN TÁCH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM LOẠI

EULER-LAGRANGE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCHướng dẫn 1: TS Nguyễn Song HàHướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

THÁI NGUYÊN - 2024

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Song Hà và

TS Đinh Diệu Hằng Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn TS NguyễnSong Hà và TS Đinh Diệu Hằng, là người hướng dẫn khoa học, đã tận tìnhgiúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô giáo trong khoa Toán-Tin, các cán

bộ quản lí đào tạo của Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đãnhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập

và nghiên cứu

Xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới người thân trong gia đình, bạn bè vàđồng nghiệp, những người đã luôn khích lệ và động viên tôi hoàn thành luậnvăn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song những thiếu sót trong luận văn là điều khôngthể tránh khỏi Em rất mong được sự góp ý của các Thầy Cô giáo, các bạn

bè đồng nghiệp và những người cùng quan tâm tới vấn đề nghiên cứu trongluận văn

Tác giả

Lê Xuân Thịnh

2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam của phương trình hàm bậc hai loại

Euler-Lagrange 202.2 Sự phân tách phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange 29

N Tập các số tự nhiên

Rn Không gian Euclide n chiều

X, Y Các không gian tuyến tính thực

Xk Tích Descartes của k không gian X

|x| Giá trị tuyệt đối của x

⟨x, y⟩ Tích vô hướng của x và y

Phương trình hàm nảy sinh trong nhiều lĩnh vực của toán học, chẳng hạnnhư hình học, thống kê, lý thuyết độ đo, hình học đại số và lý thuyết nhóm.Phương trình hàm cũng được chỉ ra có nhiều ứng dụng trong các nghiên cứu

về quá trình ngẫu nhiên, cơ học cổ điển, thiên văn học, kinh tế học, lý thuyếttrò chơi, đồ họa máy tính, mạng nơ-ron, xử lý ảnh kĩ thuật số, lý thuyếtthông tin, lý thuyết mã hóa, lý thuyết tập mờ, trí tuệ nhân tạo và nhiều lĩnhvực khác (xem [3, 8, 9, 11] cùng tài liệu dẫn)

Mặt khác, phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng trong chươngtrình chuyên Toán bậc Trung học phổ thông (THPT) Các đề thi học sinhgiỏi cấp Quốc gia (VMO), thi Olympic khu vực, Olympic Quốc tế (IMO)thường xuất hiện bài toán về phương trình hàm, đó là những bài toán khó

và mới mẻ đối với học sinh THPT

Những nghiên cứu và tiếp cận về phương trình hàm cũng theo nhiều hướngkhác nhau như xác định phương pháp để tìm đặc trưng của hàm số, phươngpháp để xác định nghiệm và đặc trưng của nghiệm, tính ổn định nghiệm, sựphân tách phương trình hàm quy lạ về quen, Theo đó, chúng tôi lựa chọn

"phương trình hàm loại Euler-Lagrange" thuộc lớp phương trình hàm bậchai, tìm hiểu từ nghiệm, tính ổn định cho đến sự phân tách phương trình làchủ đề nghiên cứu của đề tài luận văn

Mục đích chính của luận văn là trình bày về nghiệm tổng quát, tính ổnđịnh Hyers-Ulam cùng sự phân tách cho một lớp phương trình hàm bậc hai

Các dạng về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm cả phương trìnhloại tuyến tính và phi tuyến, một ẩn hàm và nhiều ẩn hàm Những nghiêncứu mở đầu về chủ đề này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớnnhư d’Alembert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Abel(1823), Darboux (1875), Hilbert (1902), (xem [9, 11] cùng tài liệu dẫn)

loại Euler-Lagrange.

Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tàiliệu tham khảo Chương 1 sẽ trình bày các kết quả cơ bản về nghiệm phươngtrình hàm bậc hai và phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Chương

2 dành để cụ thể hóa tính ổn định Hyers-Ulam cùng sự phân tách đối với mộtlớp phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange

Nghiệm của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả cơ bản về phươngtrình hàm bậc hai Euler-Lagrange và phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Cấu trúc của chương được chia thành hai phần: Mục 1.1 dành đểgiới thiệu về nghiệm của phương trình hàm bậc hai và đặc trưng nghiệmthông qua song hàm cộng tính đối xứng Mục 1.2 sẽ trình bày vấn đề vềnghiệm của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange Nội dung chínhcủa chương được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8, 9, 11]

1.1 Phương trình hàm bậc hai

Phương trình hàm bậc hai là để tìm các hàm số thực f : R → R thỏa mãnquan hệ hàm:

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), ∀x, y ∈ R (1.1)Vấn đề xác định nghiệm của (1.1) sẽ lần lượt được làm rõ thông qua các kếtluận của hai định lí dưới đây

Định lí 1.1 Giả sử f : R → R thỏa mãn quan hệ hàm (1.1) Khi đó f làhàm thuần nhất hữu tỉ bậc 2 Hơn nữa, trên tập số hữu tỉ Q, hàm f có dạng

f (r) = Cr2, ∀r ∈ Q,trong đó C là hằng số thực tùy ý

Chứng minh Trước hết, để ý rằng, trong (1.1), cho x = y = 0, ta có

f (0) + f (0) = 2f (0) + 2f (0) ⇒ f (0) = 0 (1.2)Bây giờ, chúng ta thay y bởi −y trong (1.1), ta nhận được

f (x − y) + f (x + y) = 2f (x) + 2f (−y) (1.3)

f (−nx) = f (−(−n)x)

= f (−nx)

= (−n)2f (x)

= n2f (x), ∀x ∈ R

Định lí 1.2 Nghiệm liên tục thỏa mãn quan hệ hàm (1.1) là hàm

f (x) = Cx2, ∀x ∈ R,trong đó C là hằng số thực tùy ý

Chứng minh Chúng ta biết rằng, đối với mỗi số thực x, đều tồn tại một dãycác số hữu tỉ {rn} sao cho

lim

n→∞rn = x

Mặt khác, áp dụng Định lí 1.1, ta có

= 2(Ax2+ Bx + C) + 2(Ay2 + By + C), ∀x, y ∈ R.Điều này dẫn đến

Đối với trường hợp này, nếu cho y = 0 trong (1.7) thì f (x)2 = 0 với mọi

x ∈ R và vì thế ta phải có f ≡ 0 Dễ thấy, f ≡ 0 là một nghiệm thỏamãn yêu cầu

1 https://artofproblemsolving.com/community/c6h1621877 (Functional Equations in Mathematical Olympiads), https://wmc.ms.wits.ac.za/wp-content/uploads/2021/02/5-Functional-Equations-scan.pdf (Functional Equations for the Olympiad Enthusiast)

= f

a2

2

f

a2

Vì f là hàm liên tục nên suy ra f (0) = 0 Đây là một mâu thuẫn Vì vậy,

ta phải có f (x) > 0 với mọi x ∈ R

Bây giờ, nếu ta đặt g(x) = ln f (x) thì g là hàm liên tục và phương trình(1.7) trở thành

g(x + y) + g(x − y) = 2g(x) + 2g(y), ∀x, y ∈ R (1.8)

Sử dụng Định lí 1.2 đối với phương trình (1.8), ta nhận được g(x) = Cx2với mọi x ∈ R, ở đây C là một hằng số thực tùy ý Do đó, ta có dạnghàm f cần tìm là

f (x) = eCx2, ∀x ∈ R

Dễ dàng kiểm tra hàm số trên thỏa mãn (1.7) và đó là một nghiệm cầntìm Theo đó, f (x) = −eCx2 cũng là một nghiệm của bài toán đã cho.Nghiên cứu mở rộng phương trình (1.1) đối với f : X → Y giữa các khônggian tuyến tính thực X và Y , ta có khái niệm sau đây về hàm bậc hai.Định nghĩa 1.1 Ánh xạ f : X → Y được gọi là hàm bậc hai nếu thỏa mãnquan hệ hàm

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), ∀x, y ∈ X (1.9)

Ví dụ 1.2 Giả sử X = H là không gian Hilbert thực có chuẩn sinh bởi tích

vô hướng, tức là

∥x∥ = p⟨x, x⟩, ∀x ∈ H,

và Y = R Chúng ta biết rằng chuẩn trên thỏa mãn quy tắc hình bình hành,

đó là

∥x + y∥2+ ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2), ∀x, y ∈ H

Vì thế, hàm f : H → R xác định bởi f (x) = ∥x∥2 là một hàm bậc hai đápứng yêu cầu định nghĩa trên

Nhận xét 1.1 Không phải hàm chuẩn bình phương f : X → R nào có dạng

f (x) = ∥x∥2 cũng là hàm bậc hai Thật vậy, nếu xét X = C[0, 10] các hàm

số liên tục trên [0, 10] ⊂ R với chuẩn

∥x∥ = sup

0≤t≤10

|x(t)|, ∀x = x(t) ∈ C[0, 10],thì dễ thấy quy tắc hình bình hành không bảo đảm Thật vậy, nếu chọn

∥x + y∥2+ ∥x − y∥2 = 5 ̸= 4 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2)

Vì thế, hàm f không là hàm bậc hai theo nghĩa nêu trên

Định nghĩa 1.2 Một song hàm B : X ×X → Y gọi là cộng tính nếu nó cộngtính đối với từng biến, tức là B thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:(i) B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z) (cộng tính theo biến thứ nhất),

(ii) B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z) (cộng tính theo biến thứ hai),

với mọi x, y, z ∈ X

Ví dụ 1.3 Cho X là không gian tuyến tính thực Song hàm B : X × X → Rxác định một tích vô hướng trên X là một song hàm cộng tính Chẳng hạn,

R với

B(x, y) =

Z b a

x(t)y(t)dt, ∀x = x(t), y = y(t) ∈ L2[a, b],

là một song hàm không có tính chất như vậy

Định lí sau đây cho ta một đặc trưng của hàm bậc hai

Định lí 1.3 Ánh xạ f : X → Y là hàm bậc hai nếu và chỉ nếu tồn tại duynhất một song hàm cộng tính đối xứng B : X × X → Y sao cho

f (0) + f (0) = 2f (0) + 2f (0) ⇒ f (0) = 0

Do đó, trong (1.9), nếu chọn x = y thì

f (2x) + f (0) = 2f (x) + 2f (x) ⇒ f (2x) = 4f (x), ∀x ∈ X

Điều này suy ra

B(x, y) − ¯B(x, y), ∀x, y ∈ X.

Đó là điều cần chứng minh

Nhận xét 1.2 Định lí 1.3 cho ta một đặc trưng cơ bản của không gian cótích vô hướng là: Nếu chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành thì trên Htồn tại duy nhất một song hàm cộng tính đối xứng bậc hai có dạng

B(x, y) = 1

4 ∥x + y∥2 − ∥x − y∥2
sao cho

f (x) = B(x, x) = ∥x∥2.Theo đó, tích vô hướng sẽ được xác định bởi ánh xạ B này, tức là

⟨x, y⟩ = 1

4 ∥x + y∥2− ∥x − y∥2
Nhận xét 1.3 Nếu X = R và Y = R thì mọi song hàm cộng tính liên tụcđều có dạng

B(x, y) = Cxy, ∀x, y ∈ R,trong đó C là một hằng số thực tùy ý Thật vậy, giả sử B : R2 → R là songhàm liên tục cộng tính Khi đó, ta có

B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z), ∀x, y, z ∈ R (1.13)Trong (1.13), cho x = y = 0, ta có

tức là

Mặt khác, để ý rằng

B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z),nên từ (1.17) ta nhận được

xk(y + z) = xk(y) + xk(z), ∀x, y, z ∈ R

Điều này suy ra

k(y + z) = k(y) + k(z), ∀y, z ∈ R

Hiển nhiên, k liên tục nên tương tự như trên ta cũng có

k(y) = Cy, ∀y ∈ R

ở đây C là hằng số thực tùy ý Vì thế, ta nhận được

B(x, y) = Cxy, ∀x, y ∈ R

Như vậy, nghiệm liên tục của phương trình (1.1) không còn hàm số nàokhác ngoài f (x) = Cx2

1.2 Phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange

Giả sử X và Y là các không gian tuyến tính thực Trong phần này, chúngtôi xét phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange, đó là bài toán tìm cácánh xạ f : X → Y thỏa mãn quan hệ hàm

f (ax + by) + f (ax − by) + c[f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)]

= 2a2f (x) + 2b2f (y), ∀x, y ∈ X (1.18)trong đó a, b, c ∈ R, a ̸= ±1, ab ̸= 0 và a2 ̸= b2

Nhận xét 1.4 Nếu a = b = c = 1 hoặc nếu a = b = −1, c = 1 và f là hàmchẵn thì (1.18) có dạng (1.1)

Chú ý 1.1 Nếu c = 0 thì (1.18) có dạng

f (ax + by) + f (ax − by) = 2a2f (x) + 2b2f (y) (1.19)

Nếu a = ±b thì phương trình trên trở thành (1.9).

Nếu a ̸= ±b thì phương trình này đã được Gordji và đồng sự [4] nghiêncứu và chứng minh kết quả sau đây: "Ánh xạ f : X → Y thỏa mãn quan

hệ hàm (1.9) nếu và chỉ nếu f : X → Y thỏa mãn quan hệ hàm (1.19)" Do

đó, mọi nghiệm của (1.19) cũng là hàm bậc hai Như vậy, phương trình hàm(1.18) là tổng của hai phương trình (1.9) và (1.19)

Để xác định nghiệm của (1.18) chúng ta lần lượt làm rõ thông qua cáckhẳng định sau đây

Định lí 1.4 Giả sử f : X → Y thỏa mãn f (0) = 0 Nếu f thỏa mãn quan

+

4b2 + 5c + b

f (ax) = a2f (x), ∀x ∈ X (1.21)Trong (1.18), nếu cho x = 0 và y = x thì

f (bx) + f (−bx) + c[f (x) + f (−x) − 2f (0) − 2f (x)] = 2a2f (0) + 2b2f (x),

và vì thế

f (bx) + f (−bx) + c[f (−x) − f (x)] = 2b2f (x), ∀x ∈ X (1.22)

Bây giờ, nếu thay x = −x trong (1.22) thì ta có

f (−bx) + f (bx) + c[f (x) − f (−x)] = 2b2f (−x)

và cộng đẳng thức này với (1.22), ta nhận được

f (bx) + f (−bx) = b2[f (x) + f (−x)], ∀x ∈ X (1.23)Tiếp theo, ta thay y bởi x + y trong (1.18) thì thấy rằng

f (ax + b(x + y)) + f (ax − b(x + y))+c[f (2x + y) + f (−y) − 2f (x) − 2f (x + y)]

= 2a2f (x) + 2b2f (x + y)

Điều này dẫn đến

f (ax + b(x + y)) + f (ax − b(x + y)) + c[f (2x + y) + f (−y)]

= 2(a2 + c)f (x) + 2(b2 + c)f (x + y), ∀x, y ∈ X (1.24)Trong (1.24), nếu thay y bởi −y, ta lại có

f (ax + b(x − y)) + f (ax − b(x − y)) + c[f (2x − y) + f (y)]

2x + b

ay

+ cf  b



x + b

ay

+ 2b2f (x).Điều này suy ra rằng

f (ax + b(x + y)) + f (ax − b(x − y))

+ c

f

2x + b

ay

+ f b

ay



f (ax + b(x − y)) + f (ax − b(x + y))

+ c

f

2x − b

ay

+ f

− 2f (y) − 2a2f (x) − 2b2f (y)], ∀x, y ∈ X (1.29)Nhóm tương ứng các hạng tử trong biểu thức (1.29) ta nhận được

+

4b2 + 5c + b

Định lí 1.5 Cho f : X → Y thỏa mãn f (0) = 0 Giả sử f thỏa mãn quan

hệ hàm (1.18) Khi đó, nếu c ̸= −b2 và c2 ̸= a2b2 thì f là hàm bậc hai

a2b2[f (x + y) + f (x − y)]

+ c[f (bx + ay) + f (bx − ay) − 2b2f (x) − 2a2f (y)]

= 2a2b2[f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ X (1.33)Thay x bởi y trong (1.18) và thay y bởi x (1.31), ta nhận được

f (bx + ay) + f (bx − ay) + c[f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)]

Định lí 1.6 Cho f : X → Y thỏa mãn f (0) = 0 Giả sử f thỏa mãn quan

hệ hàm (1.18) và a ∈ Q Khi đó, nếu c2 = a2b2 thì f là hàm bậc hai

Chứng minh Vì b2+ c = b(b ± a) ̸= 0 nên từ (1.31) suy ra f là hàm chẵn Do

đó, từ (1.20), ∀x, y ∈ X, ta có ước lượng

b(b ± a)[f (2x + y) + f (2x − y)]

= b(b ± a)[4f (x + y) + 4f (x − y) − 6f (y) − 8f (x) + 2f (2x)] (1.36)Điều này dẫn đến

f (2x + y) + f (2x − y)

= 4f (x + y) + 4f (x − y) − 6f (y) − 8f (x) + 2f (2x) (1.37)

Từ (1.37), áp dụng Bổ đề 2.1 trong [5] và tính chất (1.21) suy ra f là hàmbậc hai

Định lí 1.7 Cho f : X → Y thỏa mãn f (0) = 0 Giả sử f thỏa mãn quan

hệ hàm (1.18) và a ∈ Q Khi đó, nếu c = −b2 thì f là hàm bậc hai

(1) f (3x + y) + f (3x − y) = f (x + y) + f (x − y) + 16f (x), ∀x, y ∈ X

Tính ổn định Hyers-Ulam và sự phân tách của phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về tính ổn định Hyers-Ulam cùng

sự phân tách phương trình hàm và làm rõ thông qua một dạng phương trìnhhàm cụ thể là "phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange" đã giới thiệu ởMục 1.2 của Chương 1 Cấu trúc của chương gồm hai phần: Mục 2.1 sẽ trìnhbày vấn đề về tính ổn định Hyers-Ulam của phương trình hàm bậc hai loạiEuler-Lagrange Mục 2.2 dành để trình bày sự phân tách của phương trìnhhàm bậc hai loại Euler-Lagrange Nội dung chính của chương được tham khảotrong các tài liệu [3, 8, 9, 11]

2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam của phương trình hàm bậc hai loại

(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ X

Định nghĩa 2.2 Cho X là một không gian tuyến tính thực và ∥ · ∥ : X → R

là một chuẩn trên X Khi đó, cặp (X, ∥ · ∥) được gọi là một không gian tuyếntính định chuẩn (thực) hoặc ngắn gọn là không gian định chuẩn (thực)

Chú ý 2.1 Nhiều khi ta chỉ cần kí hiệu không gian tuyến tính định chuẩn(X, ∥ · ∥) đơn giản là X nếu không cần phân biệt hoặc chỉ rõ chuẩn đó làchuẩn nào.

Ví dụ 2.1 Các quy tắc xác định sau đây đều là chuẩn trên Rn:

∥xn− xm∥ < ε

Chú ý 2.4 Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ theo chuẩn (hội tụ mạnh) đến

a ∈ X nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 ta luôn có

Bài toán về tính ổn định của phương trình hàm đã được đề xuất và nghiêncứu lần đầu bởi Hyers và Ulam Năm 1964, Ulam [12] đã phát biểu bài toán

ổn định như sau: "Cho G1 là một nhóm và G2 là một nhóm mêtric với mêtric

d Cho một hằng số δ > 0, liệu có tồn tại một hằng số c > 0 sao cho nếu mộtánh xạ f : G1 → G2 thỏa mãn d(f (xy), f (x)f (y)) < c với mọi x, y ∈ G1 thìtồn tại một phép đồng cấu duy nhất h : G1 → G2 với d(f (x), h(x)) < δ vớimọi x ∈ G1?" Thực tế, năm 1941, Hyers [6] đã trả lời bài toán này với giảthiết rằng các nhóm là không gian Banach Aoki [1] và Rassias [10] đã kháiquát hóa kết quả của Hyers Rassias trong [10] đã giải quyết bài toán về tính

ổn định Hyers-Ulam cho bất đẳng thức hàm trên các không gian Banach Bàibáo này của Rassias đã có nhiều ảnh hưởng trong sự phát triển theo hướngnày Đó cũng là lý do vì sao nó được gọi là tính ổn định Hyers-Ulam tổngquát hoặc tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias của các phương trình hàm.Cũng xin lưu ý rằng, trên thực tế có rất nhiều khái niệm ổn định khácnhau nhưng bản chất của nó có thể được hiểu rằng: "Một thay đổi nhỏ trongphương trình dẫn đến một thay đổi không đáng kể trong kết quả (lời giải haynghiệm) tương ứng Nếu điều đó xảy ra thì ta nói phương trình là ổn định."Tính ổn định Hyers-Ulam cũng được hiểu như vậy

Bây giờ, giả sử X là không gian định chuẩn thực và Y là không gianBanach Ở phần này, chúng tôi xét phương trình hàm bậc hai loại Euler-Lagrange (nội dung đã được đề cập đến trong Mục 1.2), đó là bài toán tìmcác ánh xạ f : X → Y thỏa mãn quan hệ hàm

f (ax + by) + f (ax − by) + c[f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)]

= 2a2f (x) + 2b2f (y), ∀x, y ∈ X (2.1)trong đó a ∈ Q, b ∈ R, c ∈ R, a ̸= ±1, ab ̸= 0 và a2 ̸= b2

Tính ổn định Hyers-Ulam của phương trình (2.1) lần lượt được trình bàythông qua các định lí dưới đây