Một số tính chất đặc trưng của các tứ giác cơ bản

Tæi xin b y tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc án têpth hữợng dăn.Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn ban lÂnh Ôo khoa ToĂn trữớng Ôi hồcKhoa hồc HTN, cĂc thƯy, cổ giĂo  trang b kián thực, tÔo

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TỨ GIÁC CƠ BẢN Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Việt Hải PGS TS Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2024 i Danh möc c¡c h¼nh 1.1 Chia h¼nh chú nhªt th nh 2 tam gi¡c 6 1.2 Hai tam gi¡c vuæng ABC v CDA b¬ng nhau 7 1.3 H¼nh b¼nh h nh Varignon v 2 o¤n nèi trung iºm 9 1.4 Gâc giúa hai o¤n th¯ng nèi trung iºm 10 1.5 △OAB = △OBC = △OCD = △ODA 11 1.6 Bèn tam gi¡c b¬ng nhau câ c¤nh chung 13 1.7 a) {D1, D2, D3} ùng vîi C1; b) khæng t÷ìng th½ch 13 1.8 a) khæng t÷ìng th½ch; b) khæng t÷ìng th½ch 14 1.9 Tr÷íng hñp A, D2 tròng nhau 14 1.10 ABC2Di, i = 1, 2, 3 khæng t÷ìng th½ch 15 1.11 Tr÷íng hñp ABC3D1 khæng t÷ìng th½ch 16 1.12 Tr÷íng hñp ABC3D2 khæng t÷ìng th½ch 16 1.13 Ch¿ câ b) t÷ìng th½ch: ABC3D3 17 1.14 C¡c a gi¡c vîi t½nh ch§t t÷ìng tü 18 2.1 Hai ÷íng cao thuëc c¤nh CD 21 2.2 a) H¼nh thang; b) S1 + S2 = S3 + S4 24 2.3 T = S ho°c U2 = U1 26 2.4 DA = sin C 29 BC sin D 2.5 p döng ành lþ cæsin v o △ABD v △CBD 32 2.6 E, P v G th¯ng h ng 33 2.7 Mët °c tr÷ng v· t½nh th¯ng h ng 33 3.1 Tù gi¡c ch²o ·u 35 ii 3.2 H¼nh b¼nh h nh Varignon cõa tù gi¡c 36 3.3 O1O2O3O4 l tù gi¡c ch²o ·u, ch²o vuæng 42 3.4 Bèn tam gi¡c ·u v c¡c t¥m cõa chóng 43 3.5 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng v h¼nh vuæng Varignon 48 3.6 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng v c¡c ph¦n ÷íng ch²o 51 3.7 H¼nh thang c¥n 54 iii Möc löc 1 °c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt v h¼nh thoi 5 1.1 °c tr÷ng v· di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt 5 1.2 °c tr÷ng cõa h¼nh thoi 11 2 °c tr÷ng cõa h¼nh thang 19 2.1 Giîi thi»u 2 ành ngh¾a h¼nh thang 19 2.2 M÷íi ba t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa h¼nh thang 22 2.2.1 C¡c °c tr÷ng l÷ñng gi¡c 22 2.2.2 °c tr÷ng li¶n quan ¸n di»n t½ch 24 2.2.3 C¡c °c tr÷ng v· c¤nh v kho£ng c¡ch 28 2.2.4 Mët °c tr÷ng v· t½nh th¯ng h ng 32 3 °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u 35 3.1 B£y °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u 37 3.2 èi ng¨u cõa ÷íng ch²o b¬ng nhau v vuæng gâc 41 3.3 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng 46 3.4 C¡c °c tr÷ng kh¡c v· tù gi¡c ch²o ·u 52 T i li»u tham kh£o 56 iv Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m kh­c cõa t¥p thº h÷îng d¨n PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i v PGS TS Næng Quèc Chinh Tæi xin b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u s­c ¸n tªp thº h÷îng d¨n Tæi xin tr¥n trång c£m ìn ban l¢nh ¤o khoa To¡n tr÷íng ¤i håc Khoa håc  HTN, c¡c th¦y, cæ gi¡o ¢ trang bà ki¸n thùc, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong thíi gian håc tªp t¤i ¥y Tæi công gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u v c¡c çng nghi»p cõa tæi ð tr÷íng THPT T¥n Tr o - H£i Pháng ¢ ëng vi¶n, gióp ï tæi r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n n y Cuèi còng tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh ¢ luæn ëng vi¶n, kh½ch l», gióp ï v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi khi håc tªp v nghi¶n cùu T¡c gi£ L¶ Thà Ph÷ìng Anh 1 MËT SÈ KÞ HI›U TRONG LUŠN V‹N Stt Kþ hi»u Nëi dung kþ hi»u Trang 1 a, b, c, d ë d i c¡c c¤nh tù gi¡c ABCD 5 2 p, q ë d i 2 ÷íng ch²o tù gi¡c 8 3 m, n ë d i 2 o¤n nèi trung iºm 2 c¤nh èi di»n 8 4φ Gâc giúa 2 o¤n nèi trung iºm cõa tù gi¡c 8 5v Kho£ng c¡ch giúa 2 trung iºm c¡c ÷íng ch²o 8 6 w, x, y, z ë d i c¡c ph¦n ÷íng ch²o cõa tù gi¡c 26 7θ Gâc giúa hai ÷íng ch²o cõa tù gi¡c 26 8ξ Gâc giúa hai ÷íng th¯ng a v c 28 2 Mð ¦u 1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n C¡c tù gi¡c cì b£n câ t¶n gåi: H¼nh thang, h¼nh b¼nh h nh, h¼nh chú nhªt, h¼nh thoi, h¼nh vuæng Ngo i ra câ thº kº ¸n c¡c tù gi¡c °c bi»t nh÷ tù gi¡c nëi ti¸p, tù gi¡c ngo¤i ti¸p, h¼nh c¡nh di·u, Trong s¡ch gi¡o khoa h¼nh håc c¡c t¡c gi£ ¢ quan t¥m ¸n ành ngh¾a v c¡c d§u hi»u nhªn bi¸t c¡c tù gi¡c cì b£n â Tuy nhi¶n, c¡c d§u hi»u nhªn bi¸t â r§t ìn gi£n, câ tr÷íng hñp cán sì l÷ñc Ch½nh i·u â l m cho ki¸n thùc "H¼nh håc tù gi¡c" ch÷a phong phó b¬ng c¡c v§n · t÷ìng tü ¢ câ trong "H¼nh håc tam gi¡c" Mët sè · t i luªn v«n Th¤c s¾ ¢ · cªp ¸n c¡c ki¸n thùc xung quanh tù gi¡c nh÷ng "H¼nh håc tù gi¡c" v¨n cán trèng r§t nhi·u, c¡c t½nh ch§t s¥u s­c cõa tù gi¡c ch÷a ÷ñc · cªp ¸n Ti¸p nèi þ t÷ðng t¼m c¡c t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa c¡c tù gi¡c cì b£n, kº c£ c¡c tù gi¡c ch÷a ÷ñc °t t¶n, â l lþ do chóng tæi nghi¶n cùu, tr¼nh b y · t i "Mët sè t½nh ch§t °c tr÷ng cõa c¡c tù gi¡c cì b£n" Möc ½ch cõa · t i l : - Nghi¶n cùu v tr¼nh b y nhúng t½nh ch§t °c tr÷ng (ch÷a xu§t hi»n trong s¡ch gi¡o khoa) cõa c¡c tù gi¡c quen thuëc nh÷: H¼nh thang, h¼nh b¼nh h nh, h¼nh chú nhªt, h¼nh thoi - Nghi¶n cùu v tr¼nh b y nhúng t½nh ch§t °c tr÷ng cõa c¡c tù gi¡c °c bi»t: tù gi¡c ch²o ·u, tù gi¡c ch²o vuæng, tù gi¡c trung b¼nh vuæng - X¥y düng mët sè chuy¶n · v· "H¼nh håc tù gi¡c" nh¬m gâp ph¦n bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y v håc nëi dung "Tù gi¡c", d¤y v håc c¡c chuy¶n · khâ v· h¼nh håc ð tr÷íng THCS v THPT 3 2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t · t i tr¼nh b y 2 nëi dung ch½nh: Nëi dung thù nh§t n¶u t½nh ch§t °c tr÷ng cõa c¡c tù gi¡c quen thuëc, trong â phùc t¤p nh§t l h¼nh thang: câ 13 t½nh ch§t °c tr÷ng cho h¼nh thang sau khi h» thèng l¤i 8 t½nh ch§t quen bi¸t; H¼nh chú nhªt v h¼nh thoi, méi h¼nh ch¿ tr¼nh b y 1 t½nh ch§t °c tr÷ng mîi Nëi dung thù hai n¶u t½nh ch§t °c tr÷ng cõa c¡c tù gi¡c, °c bi»t: tù gi¡c ch²o ·u, tù gi¡c ch²o vuæng, tù gi¡c trung b¼nh vuæng Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1 °c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt v h¼nh thoi Ch÷ìng 1 giîi thi»u 1 t½nh ch§t °c tr÷ng v· di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt, 1 t½nh ch§t °c tr÷ng v· tröc èi xùng º x¡c ành mët h¼nh thoi ¥y l 2 t½nh ch§t °c tr÷ng, ÷ñc tham kh£o trong c¡c b i b¡o [3] v [4], c£ hai ·u cæng bè n«m 2013 Ch÷ìng 1 ÷ñc s­p x¸p th nh 2 möc sau: 1.1 «c tr÷ng v· di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt 1.2 °c tr÷ng cõa h¼nh thoi Ch÷ìng 2 °c tr÷ng cõa h¼nh thang Ch÷ìng n y d nh cho vi»c tr¼nh b y 13 t½nh ch§t °c tr÷ng cõa h¼nh thang C¡c t½nh ch§t n y thüc ch§t l c¡c h» thùc ch¿ câ ð h¼nh thang Nëi dung ch÷ìng 2 têng hñp tø c¡c b i b¡o [4], [5] Nhi»m vö cõa t¡c gi£ luªn v«n l chi ti¸t hâa c¡c ph²p chùng minh Ch÷ìng n y bao gçm 2 möc sau: 2.1 Giîi thi»u 2 ành ngh¾a h¼nh thang 2.2 M÷íi ba t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa h¼nh thang 4 Ch÷ìng 3 °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u Ch÷ìng 3 chõ y¸u tr¼nh b y v· lîp c¡c tù gi¡c câ °c iºm l 2 ÷íng ch²o b¬ng nhau ho°c 2 ÷íng ch²o vuæng gâc, ÷ñc · nghà t¶n mîi: Tù gi¡c ch²o ·u, tù gi¡c ch²o vuæng Nëi dung ch÷ìng n y câ thº coi l mîi v¼ c¡c gi¡o tr¼nh, s¡ch hi»n câ t¤i Vi»t Nam ch÷a câ dàp giîi thi»u V¼ thíi gian câ h¤n n¶n cán nhi·u ùng döng cõa lo¤i tù gi¡c n y cán ch÷a ÷ñc · cªp ¸n Nëi dung ch÷ìng 3 ÷ñc tham kh£o ch½nh tø c¡c t i li»u [5], [6] bao gçm: 3.1 B£y °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u 3.2 èi ng¨u mîi v· ÷íng ch²o b¬ng nhau v vuæng gâc 3.3 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng 3.4 D§u hi»u kh¡c v· tù gi¡c ch²o ·u 5 Ch÷ìng 1 °c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt v h¼nh thoi Câ r§t nhi·u t½nh ch§t °c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt, °c tr÷ng cõa h¼nh thoi, c¡c t½nh ch§t â th÷íng li¶n quan ¸n mët ho°c c£ 4 gâc cõa tù gi¡c, ch¯ng h¤n t½nh ch§t (m ta th÷íng gåi l "d§u hi»u nhªn bi¸t") "mët h¼nh b¼nh h nh s³ l h¼nh chú nhªt khi v ch¿ khi câ mët gâc vuæng" hay "mët h¼nh b¼nh h nh l h¼nh thoi khi v ch¿ khi hai ÷íng ch²o vuæng gâc" v.v Ð ¥y ta s³ chùng minh mët °c tr÷ng mîi cõa h¼nh chú nhªt v mët °c tr÷ng mîi cõa h¼nh thoi 1.1 °c tr÷ng v· di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt ành lþ 1.1 (°c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt) Mët tù gi¡c lçi câ c¡c c¤nh li¶n ti¸p a, b, c, d l h¼nh chú nhªt khi v ch¿ khi di»n t½ch S cõa nâ l : 1 S= 2 (a2 + c2)(b2 + d2) (1.1) Chùng minh Câ thº ÷a ra n«m c¡ch chùng minh kh¡c nhau v· °c tr÷ng li¶n quan ¸n di»n t½ch n y C¡ch thù nh§t: