Một số tính chất đặc trưng của các tứ giác cơ bản

Tæi xin b y tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc án têpth hữợng dăn.Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn ban lÂnh Ôo khoa ToĂn trữớng Ôi hồcKhoa hồc HTN, cĂc thƯy, cổ giĂo  trang b kián thực, tÔo

Danh möc c¡c h¼nh

1.1 Chia h¼nh chú nhªt th nh 2 tam gi¡c 6

1.2 Hai tam gi¡c vuæng ABC v  CDA b¬ng nhau 7

1.3 H¼nh b¼nh h nh Varignon v  2 o¤n nèi trung iºm 9 1.4 Gâc giúa hai o¤n th¯ng nèi trung iºm 10

1.5 △OAB = △OBC = △OCD = △ODA 11

1.6 Bèn tam gi¡c b¬ng nhau câ c¤nh chung 13

1.7 a) {D1, D2, D3} ùng vîi C1; b) khæng t÷ìng th½ch 13 1.8 a) khæng t÷ìng th½ch; b) khæng t÷ìng th½ch 14

1.9 Tr÷íng hñp A, D2 tròng nhau 14

1.10 ABC2Di, i = 1, 2, 3 khæng t÷ìng th½ch 15

1.11 Tr÷íng hñp ABC3D1 khæng t÷ìng th½ch 16

1.12 Tr÷íng hñp ABC3D2 khæng t÷ìng th½ch 16

1.13 Ch¿ câ b) t÷ìng th½ch: ABC3D3 17

1.14 C¡c a gi¡c vîi t½nh ch§t t÷ìng tü 18

2.1 Hai ÷íng cao thuëc c¤nh CD 21

2.2 a) H¼nh thang; b) S1 + S2 = S3 + S4 24

2.3 T = S ho°c U2 = U1 26

2.4 DA BC = sin C sin D 29

2.5 p döng ành lþ cæsin v o △ABD v  △CBD 32

2.6 E, P v  G th¯ng h ng 33

2.7 Mët °c tr÷ng v· t½nh th¯ng h ng 33

3.1 Tù gi¡c ch²o ·u 35

3.2 H¼nh b¼nh h nh Varignon cõa tù gi¡c 36 3.3 O1O2O3O4 l  tù gi¡c ch²o ·u, ch²o vuæng 42 3.4 Bèn tam gi¡c ·u v  c¡c t¥m cõa chóng 43 3.5 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng v  h¼nh vuæng Varignon 48 3.6 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng v  c¡c ph¦n ÷íng ch²o 51 3.7 H¼nh thang c¥n 54

Möc löc

1 °c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt v  h¼nh thoi 5 1.1 °c tr÷ng v· di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt 5 1.2 °c tr÷ng cõa h¼nh thoi 11

2.1 Giîi thi»u 2 ành ngh¾a h¼nh thang 19 2.2 M÷íi ba t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa h¼nh thang 22

2.2.1 C¡c °c tr÷ng l÷ñng gi¡c 22 2.2.2 °c tr÷ng li¶n quan ¸n di»n t½ch 24 2.2.3 C¡c °c tr÷ng v· c¤nh v  kho£ng c¡ch 28 2.2.4 Mët °c tr÷ng v· t½nh th¯ng h ng 32

3 °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u 35 3.1 B£y °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u 37 3.2 èi ng¨u cõa ÷íng ch²o b¬ng nhau v  vuæng gâc 41 3.3 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng 46 3.4 C¡c °c tr÷ng kh¡c v· tù gi¡c ch²o ·u 52

Líi c£m ìn

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  nghi¶mkh­c cõa t¥p thº h÷îng d¨n PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i v  PGS TS NængQuèc Chinh Tæi xin b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c ¸n tªpthº h÷îng d¨n

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn ban l¢nh ¤o khoa To¡n tr÷íng ¤i håcKhoa håc  HTN, c¡c th¦y, cæ gi¡o ¢ trang bà ki¸n thùc, t¤o i·uki»n thuªn lñi cho tæi trong thíi gian håc tªp t¤i ¥y

Tæi công gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u v  c¡c çng nghi»p cõatæi ð tr÷íng THPT T¥n Tr o - H£i Pháng ¢ ëng vi¶n, gióp ï tæi r§tnhi·u trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n n y

Cuèi còng tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh ¢ luæn

ëng vi¶n, kh½ch l», gióp ï v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi khi håctªp v  nghi¶n cùu

T¡c gi£

L¶ Thà Ph÷ìng Anh

MËT SÈ KÞ HI›U TRONG LUŠN V‹N

3 m, n ë d i 2 o¤n nèi trung iºm 2 c¤nh èi di»n 8

5 v Kho£ng c¡ch giúa 2 trung iºm c¡c ÷íng ch²o 8

Mð ¦u

1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

C¡c tù gi¡c cì b£n câ t¶n gåi: H¼nh thang, h¼nh b¼nh h nh, h¼nhchú nhªt, h¼nh thoi, h¼nh vuæng Ngo i ra câ thº kº ¸n c¡c tù gi¡c °cbi»t nh÷ tù gi¡c nëi ti¸p, tù gi¡c ngo¤i ti¸p, h¼nh c¡nh di·u, Trongs¡ch gi¡o khoa h¼nh håc c¡c t¡c gi£ ¢ quan t¥m ¸n ành ngh¾a v  c¡cd§u hi»u nhªn bi¸t c¡c tù gi¡c cì b£n â Tuy nhi¶n, c¡c d§u hi»u nhªnbi¸t â r§t ìn gi£n, câ tr÷íng hñp cán sì l÷ñc Ch½nh i·u â l m choki¸n thùc "H¼nh håc tù gi¡c" ch÷a phong phó b¬ng c¡c v§n · t÷ìng

tü ¢ câ trong "H¼nh håc tam gi¡c" Mët sè · t i luªn v«n Th¤c s¾ ¢

· cªp ¸n c¡c ki¸n thùc xung quanh tù gi¡c nh÷ng "H¼nh håc tù gi¡c"v¨n cán trèng r§t nhi·u, c¡c t½nh ch§t s¥u s­c cõa tù gi¡c ch÷a ÷ñc ·cªp ¸n Ti¸p nèi þ t÷ðng t¼m c¡c t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa c¡c tùgi¡c cì b£n, kº c£ c¡c tù gi¡c ch÷a ÷ñc °t t¶n, â l  lþ do chóng tæinghi¶n cùu, tr¼nh b y · t i "Mët sè t½nh ch§t °c tr÷ng cõa c¡c

tù gi¡c cì b£n"

Möc ½ch cõa · t i l :

- Nghi¶n cùu v  tr¼nh b y nhúng t½nh ch§t °c tr÷ng (ch÷a xu§t hi»ntrong s¡ch gi¡o khoa) cõa c¡c tù gi¡c quen thuëc nh÷: H¼nh thang, h¼nhb¼nh h nh, h¼nh chú nhªt, h¼nh thoi

- Nghi¶n cùu v  tr¼nh b y nhúng t½nh ch§t °c tr÷ng cõa c¡c tù gi¡c

°c bi»t: tù gi¡c ch²o ·u, tù gi¡c ch²o vuæng, tù gi¡c trung b¼nh vuæng

- X¥y düng mët sè chuy¶n · v· "H¼nh håc tù gi¡c" nh¬m gâp ph¦nbçi d÷ïng n«ng lüc d¤y v  håc nëi dung "Tù gi¡c", d¤y v  håc c¡cchuy¶n · khâ v· h¼nh håc ð tr÷íng THCS v  THPT

2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

· t i tr¼nh b y 2 nëi dung ch½nh: Nëi dung thù nh§t n¶u t½nhch§t °c tr÷ng cõa c¡c tù gi¡c quen thuëc, trong â phùc t¤p nh§t l h¼nh thang: câ 13 t½nh ch§t °c tr÷ng cho h¼nh thang sau khi h» thèngl¤i 8 t½nh ch§t quen bi¸t; H¼nh chú nhªt v  h¼nh thoi, méi h¼nh ch¿ tr¼nh

b y 1 t½nh ch§t °c tr÷ng mîi Nëi dung thù hai n¶u t½nh ch§t °c tr÷ngcõa c¡c tù gi¡c, °c bi»t: tù gi¡c ch²o ·u, tù gi¡c ch²o vuæng, tù gi¡ctrung b¼nh vuæng Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 °c tr÷ng cõa h¼nh chú nhªt v  h¼nh thoi

Ch÷ìng 1 giîi thi»u 1 t½nh ch§t °c tr÷ng v· di»n t½ch cõa h¼nhchú nhªt, 1 t½nh ch§t °c tr÷ng v· tröc èi xùng º x¡c ành mët h¼nhthoi ¥y l  2 t½nh ch§t °c tr÷ng, ÷ñc tham kh£o trong c¡c b i b¡o[3] v  [4], c£ hai ·u cæng bè n«m 2013 Ch÷ìng 1 ÷ñc s­p x¸p th nh

2.1 Giîi thi»u 2 ành ngh¾a h¼nh thang

2.2 M÷íi ba t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa h¼nh thang

Ch÷ìng 3 °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u

Ch÷ìng 3 chõ y¸u tr¼nh b y v· lîp c¡c tù gi¡c câ °c iºm l  2

÷íng ch²o b¬ng nhau ho°c 2 ÷íng ch²o vuæng gâc, ÷ñc · nghà t¶nmîi: Tù gi¡c ch²o ·u, tù gi¡c ch²o vuæng Nëi dung ch÷ìng n y câ thºcoi l  mîi v¼ c¡c gi¡o tr¼nh, s¡ch hi»n câ t¤i Vi»t Nam ch÷a câ dàp giîithi»u V¼ thíi gian câ h¤n n¶n cán nhi·u ùng döng cõa lo¤i tù gi¡c n ycán ch÷a ÷ñc · cªp ¸n Nëi dung ch÷ìng 3 ÷ñc tham kh£o ch½nh tøc¡c t i li»u [5], [6] bao gçm:

3.1 B£y °c tr÷ng cõa tù gi¡c ch²o ·u

3.2 èi ng¨u mîi v· ÷íng ch²o b¬ng nhau v  vuæng gâc

3.3 Tù gi¡c trung b¼nh vuæng

3.4 D§u hi»u kh¡c v· tù gi¡c ch²o ·u

tù gi¡c, ch¯ng h¤n t½nh ch§t (m  ta th÷íng gåi l  "d§u hi»u nhªn bi¸t")

"mët h¼nh b¼nh h nh s³ l  h¼nh chú nhªt khi v  ch¿ khi câ mët gâcvuæng" hay "mët h¼nh b¼nh h nh l  h¼nh thoi khi v  ch¿ khi hai ÷íngch²o vuæng gâc" v.v

Ð ¥y ta s³ chùng minh mët °c tr÷ng mîi cõa h¼nh chú nhªt v mët °c tr÷ng mîi cõa h¼nh thoi

q

(a2 + c2)(b2 + d2) (1.1)Chùng minh Câ thº ÷a ra n«m c¡ch chùng minh kh¡c nhau v· °ctr÷ng li¶n quan ¸n di»n t½ch n y

C¡ch thù nh§t:

Vîi di»n t½ch tù gi¡c lçi ta câ (H¼nh 1.1a):

H¼nh 1.1: Chia h¼nh chú nhªt th nh 2 tam gi¡c

¤i sè cõa "Diophantus of Alexandria":

(ab + cd)2 + (ad − bc)2 = (a2 + c2)(d2 + b2) trüc ti¸p mang l¤i tø b§t

2)

H¼nh 1.2: Hai tam gi¡c vuæng ABC v  CDA b¬ng nhau

Khi â c¡c gâc t¤i A v  C trong tù gi¡c công ph£i vuæng n¶n ABCD

l  h¼nh chú nhªt i·u ng÷ñc l¤i l  hiºn nhi¶n: trong mët h¼nh chú nhªtb

gi¡c l  h¼nh chú nhªt Theo b§t ¯ng thùc AM-GM

(a + c)2 = a2 + c2 + 2ac ≤ 2(a2 + c2),

d§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi a = c T÷ìng tü, (b + d)2 ≤ 2(b2 + d2)

Sû döng 2 b§t ¯ng thùc n y trong (1.3), ta câ

trong âφl  gâc giúa 2 o¤n nèi trung iºm Trong [3], Martin Josefsson

¢ chùng minh ÷ñc r¬ng c¡c ÷íng ch²o cõa mët tù gi¡c lçi b¬ng nhaukhi v  ch¿ khi hai ÷íng nèi trung iºm vuæng gâc Do â di»n t½ch tùgi¡c lçi l 

khi v  ch¿ khi c¡c ÷íng ch²o b¬ng nhau (nâ ÷ñc gåi l  tù gi¡c câ 2

÷íng ch²o b¬ng nhau) ë d i c¡c ÷íng nèi trung iºm cõa mët tùgi¡c lçi câ thº biºu di¹n ÷ñc qua c¡c c¤nh èi di»n v  kho£ng c¡ch v

giúa hai trung iºm c¡c ÷íng ch²o nh÷ sau

1 Mët chó þ làch sû thó và l  cæng thùc S =a + c

2 .

b + d

2 (mët °c t½nh di»n t½ch kh¡c cõa h¼nh chú nhªt) ¢ ÷ñc ng÷íi Ai Cªp cê ¤i sû döng º t½nh di»n t½ch cõa mët tù gi¡c, nh÷ng â ch¿

l  mët ph²p t½nh g¦n óng n¸u c¡c gâc cõa tù gi¡c g¦n b¬ng c¡c gâc vuæng.

H¼nh 1.3: H¼nh b¼nh h nh Varignon v  2 o¤n nèi trung iºm

a2 + b2 + c2 + d2 = p2 + q2 + 4v2 > 2v2

(vîi p, q l  2 ÷íng ch²o) Nh÷ vªy ch¿ câ thº câ 8v2 = 0, tùc v = 0 Do

â mët tù gi¡c lçi câ di»n t½ch cho bði (1.1) khi v  ch¿ khi c¡c ÷íng

ch²o b¬ng nhau v  chia æi nhau Mët h¼nh b¼nh h nh, tù gi¡c °c tr÷ngbði c¡c ÷íng ch²o chia æi nhau (v = 0), câ ÷íng ch²o b¬ng nhau khi

v  ch¿ khi tù gi¡c l  h¼nh chú nhªt

C¡ch thù t÷:

Tê hñp c¡c ¯ng thùc (1.4) v  (1.6) suy ra di»n t½ch cõa tù gi¡c lçi vîi

H¼nh 1.4: Gâc giúa hai o¤n th¯ng nèi trung iºm

c¡c c¤nh li¶n ti¸p a, b, c, d ÷ñc cho bði

2 n¶n ta câdi»n t½ch tù gi¡c lçi ÷ñc cho bði (1.1) khi v  ch¿ khi tù gi¡c l  h¼nh chúnhªt

C¡ch thù n«m:

Tù gi¡c lçi vîi c¤nh li¶n ti¸p l  a, b, c, d v  2 ÷íng ch²o p, q câ di»nt½ch l 

S = 14

q

4p2q2 − (a2 − b2 + c2 − d2)2

B¥y gií gi£i ph÷ìng tr¼nh

1.2 °c tr÷ng cõa h¼nh thoi

H¼nh 1.5: △OAB = △OBC = △OCD = △ODA

H¼nh thoi ABCD câ t¥m èi xùng tròng vîi iºm O, giao cõa 2

÷íng ch²o, nâ x¡c ành 4 tam gi¡c b¬ng nhau △OAB = △OBC =

△OCD = △ODA, xem H¼nh 1.5 Ng÷íi ta câ thº °t c¥u häi: Li»ur¬ng câ mët tù gi¡c kh¡c h¼nh thoi công câ t½nh ch§t nh÷ vªy hay khæng

v  â l  chõ · cõa ành lþ sau

ành lþ 1.2 (°c tr÷ng cõa h¼nh thoi) Tù gi¡c ABCD l  h¼nhthoi khi v  ch¿ khi câ mët iºm O trong m°t ph¯ng tù gi¡c sao cho

Ph¡t biºu cõa ành lþ r§t têng qu¡t v  · cªp ¸n c¡c tù gi¡c tòy þ:lçi, khæng lçi, tü c­t nhau, mi¹n l  khæng suy bi¸n, tùc l  tù gi¡c khæng

câ ba iºm n o th¯ng h ng Ph²p chùng minh thªt khæi h i, v¼ tronglªp luªn h¦u nh÷ ch¿ câ logic thu¦n tóy Tuy nhi¶n nâ khæng ho n to nt¦m th÷íng, tr¼nh b y ph²p chùng minh công phùc t¤p v¼ sü s­p x¸pc¡c gâc xung quanh iºm O

Þ t÷ðng then chèt n£y sinh mët c¡ch tü nhi¶n v  bao gçm vi»c nghi¶ncùu c¡c c§u h¼nh câ thº câ cõa hai tam gi¡c "k· nhau", câ chung mëtc¤nh, ch¯ng h¤n nh÷ △OAB, △OBC câ chung c¤nhOB i·u ki»n c¦ncõa ành lþ l  hiºn nhi¶n Lªp luªn ti¸p theo l  chùng minh chi ti¸t cõa

i·u ki»n õ Gi£ thi¸t cõa i·u ki»n õ l : "Tçn t¤i mët iºm O trongm°t ph¯ng tù gi¡c sao cho (1.7) ÷ñc thäa m¢n" (gi£ ành cì b£n).C¡c h¼nh v³ k±m theo æi khi sai l»ch so vîi h¼nh d¤ng ch½nh x¡c biºudi¹n cho gi£ ành n y Tuy nhi¶n i·u â l  c¦n thi¸t v  ph£n ¡nh sükhæng t÷ìng th½ch vîi gi£ ành cì b£n Bê · sau l  t¦m th÷íng, ph²pchùng minh câ ngay tr¶n H¼nh 1.6 Ð â, c¡c tröc èi xùng cõa h¼nh l 

OAB, khi â ¿nh C cõa tù gi¡c ang x²t ph£i câ mët trong c¡c và tr½

C1, C2, C3 Ph²p chùng minh ti¸p theo l  l°p l¤i lªp luªn ìn gi£n choméi mët trong c¡c kh£ n«ng

v  xem x²t mët c¡ch t÷ìng tü ba và tr½ câ thº câ cõa ¿nh D Hâa ra,ch¿ OC3 v  tø â mët trong ba kh£ n«ng l  t÷ìng th½ch vîi (1.7), rçid¨n ¸n h¼nh thoi

H¼nh 1.6: Bèn tam gi¡c b¬ng nhau câ c¤nh chung

i Tr÷îc ti¶n, ta cho C ð và tr½ C1 cõa H¼nh 1.6 v  kiºm tra ba kh£n«ng cho iºm D nh÷ thº hi»n tr¶n H¼nh 1.7-a

H¼nh 1.7: a) {D 1 , D2, D3} ùng vîi C 1 ; b) khæng t÷ìng th½ch

+ Kh£ n«ng chån {C1, D1}v  th§y ngayABC1D1 khæng t÷ìng th½chvîi (1.7) Thªt vªy, tø sü b¬ng nhau cõa c¡c tam gi¡c OAB, OD1A k²otheo sü b¬ng nhau cõa c¡c gâc \OAD1 = \OAB v  \AOB = AOD\1 Do

â, ho°c l  hai tam gi¡c tròng nhau (khæng ÷ñc ch§p nhªn) ho°c chóng

èi xùng vîi nhau qua AO Trong tr÷íng hñp sau, ÷íng th¯ng BD1

song song vîi OC1 n¶n OC1 vuæng gâc vîi OA Ngo i ra, tø gi£ ành

cì b£n, k²o theo \D1OA = OD\1C1

Nh÷ vªy tù gi¡c OAD1C1 ph£i l  mët h¼nh thang c¥n vîi mët gâcvuæng t¤iO (xem H¼nh 1.7-b) Nâi c¡ch kh¡c, ta thu ÷ñc mët h¼nh chúnhªt Ng÷ñc l¤i, nhªn ÷ñc 3 iºmB, A, D1 th¯ng h ng, i·u n y væ lþ.+ Kh£ n«ng chån D ð và tr½ D2 th¼ v¼ c¡c iºm A, C1, D2 th¯ng h ng(xem H¼nh 1.8-a), n¶n khæng ch§p nhªn ÷ñc

H¼nh 1.8: a) khæng t÷ìng th½ch; b) khæng t÷ìng th½ch

H¼nh 1.9: Tr÷íng hñp A, D 2 tròng nhau

+ Kh£ n«ng chån D ð và tr½ D3 công khæng t÷ìng th½ch (xem H¼nh1.8-b) Thªt vªy, lóc n y c¡c tam gi¡cOAB, OD3A, OD3C1, coi l  b¬ngnhau, d¨n ¸n c¡c gâc èi di»n vîi c¡c c¤nh b¬ng nhau ph£i b¬ngnhau, suy ra \OAD3 = OC\1D3 Tuy nhi¶n, v¼ A, C1, D2 th¯ng h ng

v  OC1D2D3 l  mët tù gi¡c nëi ti¸p n¶n A ph£i tròng vîi C1 ho°c D2

A tròng vîi C1 l  khæng thº ch§p nhªn ÷ñc cán A tròng vîi D2 d¨n

¸n h¼nh b¼nh h nh OBC1A câ c¡c ÷íng ch²o b¬ng nhau, do â l h¼nh chú nhªt (xem H¼nh 1.9-a) Tø ¥y suy ra \AOD3 l  gâc vuæng,d¨n tîi D3 tròng vîi B, khæng ch§p nhªn ÷ñc, ho°c nâ èi xùng vîi

B qua AO công khæng t÷ìng th½ch vîi (1.7), H¼nh 1.9-b

ph£i th¯ng h ng, i·u n y l  khæng thº

iii Kh£ n«ng cuèi còng l  chån C ð và tr½ C3 trong H¼nh 1.6 C¡c và

BD1 ∥ OC1 công khæng ÷ñc.

+ X²t kh£ n«ng D ≡ D2, H¼nh 1.12-a, hai tam gi¡c OAD2, OD2C3

çng d¤ng n¶n \OD2C3 = OD\2A i·u n y k²o theoA ≡ C3, khæng ch§pnhªn ÷ñc, ho°c A tròng vîi iºm èi xùng cõa C3 qua OD2 Lóc n yd¹ th§y D2 n¬m tr¶n ÷íng trung trüc cõa AC3 v  c¡c iºm D2, O, B

ph£i th¯ng h ng (xem H¼nh 1.12-b), væ lþ v¼ D2C3 ∥ OB

H¼nh 1.13: Ch¿ câ b) t÷ìng th½ch: ABC 3 D3

+ Ch¿ câ duy nh§t c§u h¼nh câ thº ch§p nhªn ùng vîi D ≡ D3,nh÷ trong H¼nh 1.13-a Y¶u c¦u v· sü b¬ng nhau cõa c¡c tam gi¡c

OAB, OAD3 suy ra r¬ng iºm D3 ho°c tròng vîi B, væ lþ ho°c D3 l 

èi xùng cõaB qua AO V¼ D3 công l  èi xùng cõa B èi vîi OC3, n¶nhai ph²p èi xùng tròng nhau khi A, O, C3 th¬ng h ng v  OB ⊥ AO

(xem H¼nh 1.13-b) Tr÷íng hñp cuèi còng n y t¤o ra h¼nh thoi ABC3D3

v  ho n th nh chùng minh i·u ki»n õ cõa ành lþ

Chó þ

(1) Ch¿ câ 1 lo¤i tam gi¡c câ t½nh ch§t t÷ìng tü, â l  tam gi¡c ·u

ABC Câ duy nh§t iºm O l  t¥m tam gi¡c ·u thäa m¢n △OAB =

(2) èi vîi c¡c a gi¡c chung, ta ch÷a bi¸t c¡c °c t½nh t÷ìng tü.Ch­c ch­n, ta câ thº x¥y düng c¡c v½ dö b¬ng c¡ch gh²p c¡c b£n saocõa còng mët tam gi¡c l¤i vîi nhau ho°c xoay mët tam gi¡c quanh mët

¿nh, nh÷ trong H¼nh 1.14

H¼nh 1.14: C¡c a gi¡c vîi t½nh ch§t t÷ìng tü

Ngo i c¡c d§u hi»u nhªn bi¸t quen thuëc cõa h¼nh chú nhªt v  h¼nhthoi, trong ch÷ìng n y ta x²t th¶m mët °c tr÷ng mîi (v· di»n t½ch)cõa h¼nh chú nhªt v  mët °c tr÷ng mîi (v· 2 tröc èi xùng) cõa h¼nhthoi C¡c °c tr÷ng n y ÷ñc chùng minh kh¡ phùc t¤p, câ n²t ri¶ng

°c thò cõa bë mæn

Ch֓ng 2

°c tr÷ng cõa h¼nh thang

Chóng tæi nh­c l¤i 5 t½nh ch§t cõa h¼nh thang v  chùng minh th¶m

13 i·u ki»n c¦n v  õ º tù gi¡c lçi l  h¼nh thang Möc ½ch cõa ch÷ìng

n y l  h» thèng l¤i v  kh¯ng ành t½nh "°c tr÷ng" m  thüc ch§t l  "c¡c

i·u ki»n c¦n v  õ" cõa h¼nh thang Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc thamkh£o ch½nh trong c¡c b i b¡o [4], [5] Nhi»m vö cõa t¡c gi£ l  h» thèng

v  chi ti¸t hâa c¡c ph²p chùng minh

2.1 Giîi thi»u 2 ành ngh¾a h¼nh thang

H¼nh thang l  tù gi¡c câ mët c°p c¤nh èi di»n song song Nh÷ng câmët sè þ ki¸n b§t çng: n¸u ¢ ành ngh¾a ph£i n¶u ch½nh x¡c mët c°pho°c ½t nh§t mët c°p, tùc l  "H¼nh thang l  tù gi¡c câ óng mët c°pc¤nh èi di»n song song" ho°c "H¼nh thang l  tù gi¡c câ ½t nh§t mëtc°p c¤nh èi di»n song song"! ành ngh¾a thù nh§t câ "t½nh ëc quy·n",

ành ngh¾a thù hai câ "t½nh bao h m" T½nh ëc quy·n d÷íng nh÷ l phê bi¸n trong s¡ch gi¡o khoa phê thæng, trong khi t½nh bao h m phêbi¸n ð c¡c nh  to¡n håc v  ð c¡c c§p håc ngo i trung håc phê thæng

Lþ do v  t¦m quan trång cõa hai ành ngh¾a câ thº l  g¼? Mët líi gi£ith½ch kh£ d¾ cho ph¡i thi¶n v· t½nh ëc quy·n l  khi håc sinh l¦n ¦uti¶n g°p c¡c h¼nh d¤ng nh÷ h¼nh thang ho°c h¼nh thoi, c¡c em câ thº

bà nh¦m l¨n n¸u mët h¼nh thoi công câ thº ÷ñc gåi l  h¼nh thang Khichùng minh c¡c t½nh ch§t cõa mët h¼nh thang, i·u quan trång l  v³ nâ

ch¿ vîi mët c°p c¤nh èi di»n song song, v¼ vªy chùng minh bao gçm c£tr÷íng hñp chung Ð ¥y ành ngh¾a mang t½nh ëc quy·n câ gi¡ trà cõa

nâ Nh÷ng khi håc sinh câ chót ki¸n thùc v· to¡n håc th¼ ành ngh¾akiºu n y l¤i bëc lë mët sè nh÷ñc iºm

Tr÷îc h¸t, iºm m¤nh ch½nh cõa ành ngh¾a câ t½nh bao h m l  mëtt½nh ch§t ÷ñc chùng minh l  óng cho h¼nh thang công ÷ìng nhi¶n

óng cho måi tù gi¡c câ hai c°p èi i»n song song, ngh¾a l , cho h¼nhb¼nh h nh, h¼nh thoi, h¼nh chú nhªt v  h¼nh vuæng ¥y l  mët thuªnlñi lîn: tø â ta khæng ph£i l°p l¤i c¡c lªp luªn cho c¡c h¼nh còng lo¤i.C¡c lñi ½ch kh¡c l  vi»c ph¥n lo¤i tù gi¡c rã r ng hìn theo ành ngh¾abao h m, c¡c t½nh n«ng nh÷ t½nh èi xùng v  t½nh èi ng¨u trð n¶n nêibªt hìn Ngo i ra, ta cán câ quy t­c h¼nh thang º t½nh to¡n trong c¡c

b i to¡n Nh÷ng h¼nh thang khæng ph£i lóc n o công ch¿ câ mët c°pc¤nh èi song song, tùc l  chóng câ thº l  h¼nh chú nhªt i·u â s³

l m cho t¶n cõa "quy t­c h¼nh b¼nh h nh" trð n¶n khâ hiºu n¸u h¼nhchú nhªt khæng ÷ñc coi l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa h¼nh thang â l mët sè lþ do t¤i sao c¡c nh  to¡n håc ng y nay nghi¶ng v· ành ngh¾ah¼nh thang mang t½nh bao h m hìn: H¼nh thang l  tù gi¡c câ ½t nh§tmët c°p c¤nh èi song song

Hi»n nay nhi·u s¡ch gi¡o khoa h¼nh håc (trong n÷îc công nh÷ n÷îcngo i) khæng giîi thi»u ÷ñc nhi·u nhúng °c iºm cì b£n nh§t cõah¼nh thang H¼nh thang l  mët trong s¡u lo¤i h¼nh tù gi¡c ìn gi£nnh§t n¶n th÷íng ÷ñc ÷a v o s¡ch ngay tø bªc tiºu håc Trong c¡cs¡ch gi¡o khoa â, c¡c t¡c gi£ th÷íng tr¼nh b y kh¡ rëng r¢i c¡c ph÷ìngph¡p chùng minh mët tù gi¡c l  mët trong n«m lo¤i h¼nh kh¡c: h¼nhb¼nh h nh, h¼nh thoi, h¼nh chú nhªt, h¼nh vuæng v  h¼nh thang c¥n.1

Nh÷ng khæng ph£i l  h¼nh thang nâi chung T¤i sao vªy? Câ thº l  doc¡c t¡c gi£ coi chõ · ang ÷ñc · cªp li¶n quan ¸n vi»c xû lþ c¡c

÷íng song song Nh÷ng n¸u vªy, th¼ t¤i sao khæng tªn döng cì hëi n y

º k¸t nèi lþ thuy¸t â vîi h¼nh tù gi¡c? Dò sao i núa, b¥y gií ta s³

1 H¼nh c¡nh di·u công ph£i ÷ñc coi l  mët trong nhúng h¼nh tù gi¡c cì b£n Câ l³ kº tø khi xu§t hi»n ch¿ câ mët v i °c iºm ÷ñc bi¸t ¸n N¸u chóng ta bao gçm c£ kh£ n«ng câ mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p th¼ cán câ h ng chöc °c tr÷ng kh¡c (½t ÷ñc bi¸t ¸n) cõa h¼nh c¡nh di·u.

tâm t­t mët sè °c tr÷ng ìn gi£n nh§t cõa h¼nh thang ¥y l  nhúngk¸t qu£ ch¿ düa v o lþ thuy¸t v· c¡c ÷íng th¯ng song song ho°c t÷ìngtü.

Ti¸p theo ta s³ nh­c l¤i c¡c t½nh ch§t kh¡c, h¦u h¸t c¡c t½nh ch§t nêiti¸ng cõa h¼nh thang tr¶n thüc t¸ l  i·u ki»n c¦n v  õ º mët tù gi¡c

l  h¼nh thang Trong h¦u h¸t c¡c t½nh ch§t, ta ch¿ xem x²t tr÷íng hñpkhi a ∥ c v  a ≥ c cán c¡c tr÷íng hñp kh¡c b ∥ d, a < c s³ nhªn ÷ñcb¬ng c¡ch sû döng t½nh èi xùng

H¼nh 2.1: Hai ÷íng cao thuëc c¤nh CD

(a) Ch¯ng h¤n, n¸u ph¦n k²o d i cõa c¡c c¤nh èi di»n AB v  CD

trong mët tù gi¡c lçi c­t nhau t¤o th nh mët gâc ξ th¼ tù gi¡c â l h¼nh thang khi v  ch¿ khi ξ = 0 °c tr÷ng ti¸p theo: tù gi¡c ABCD

l  h¼nh thang câ c¡c c¤nh èi song song AB v  CD khi v  ch¿ khi

(c) Tø lþ thuy¸t v· c¡c ÷íng th¯ng song song, chóng ta công câ c¡c

o¤n th¯ng AB v  CD l  ¡y cõa h¼nh thang ABCD khi v  ch¿ khi c¡ctam gi¡c ACD v  BCD câ ÷íng cao b¬ng nhau ùng vîi c¤nh chung

CD (h1 = h2 trong H¼nh 2.1)

(d) Hai °c tr÷ng li¶n quan ¸n çng d¤ng l : (1) Mët tù gi¡c lçi

ABCD l  mët h¼nh thang khi v  ch¿ khi hai ÷íng ch²o chia nhau theo

còng mët t sè, ngh¾a l 

AP

BPDP

trong â P l  giao cõa hai ÷íng ch²o (2) Mët °c tr÷ng núa li¶n quanch°t ch³ ¸n tam gi¡c çng d¤ng: Trong tù gi¡c lçi, c¡c ÷íng ch²o chia

nâ th nh bèn tam gi¡c ríi nhau Khi â, hai tam gi¡c èi di»n çngd¤ng khi v  ch¿ khi tù gi¡c l  h¼nh thang (△ABP ∼ △CDP, H¼nh 2.1).Ngo i c¡c °c tr÷ng d¹ nhªn bi¸t nh÷ tr¶n, sau ¥y ta s³ ph¡t biºu

v  chùng minh c¡c °c tr÷ng kh¡c phùc t¤p hìn

2.2 M÷íi ba t½nh ch§t °c tr÷ng mîi cõa h¼nh

thang

2.2.1 C¡c °c tr÷ng l÷ñng gi¡c

Ta câ 2 °c tr÷ng li¶n quan ¸n l÷ñng gi¡c Mët tù gi¡c lçi ABCD

l  mët h¼nh thang khi v  ch¿ khi

sin A sin C = sin B sin D

Mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, c¦n v  õ º tù gi¡c lçi ABCD l  mët h¼nhthang:

cos(A − C) = cos(B − D)

Thüc ra c£ hai i·u ki»n n y ·u k¸t hñp kh£ n«ng mët trong hai c°pc¤nh èi di»n song song, khæng ch¿ a ∥ c ành lþ thù nh§t v  ành lþthù hai l  c¡c phi¶n b£n l÷ñng gi¡c cõa °c tr÷ng gâc li·n k· sau ¥y

ành lþ 2.1 (°c tr÷ng 1 cõa h¼nh thang) Tù gi¡c lçi ABCD l h¼nh thang câ c¡c c¤nh AB, CD song song khi v  ch¿ khi

cos A + cos D = cos B + cos C = 0

Chùng minh i·u ki»n c¦n N¸u tù gi¡c l  mët h¼nh thang th¼A + D =

π Do â, cos A + cos D = cos A + cos (π − A) = cos A − cos A = 0

¯ng thùc thù 2 ÷ñc chùng minh t÷ìng tü

i·u ki»n õ Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng Gi£ sû tù gi¡c khængph£i l  mët h¼nh thang v  khæng m§t t½nh têng qu¡t ta coi A > π − D.V¼ 0 < A < π v  h m cosin gi£m tr¶n kho£ng â, ta ÷ñc cos A <cos (π − D) Do â,

cos A + cos D < cos(π − D) + cos D = 2 cosπ

2 cos

π − 2D

Tø têng c¡c gâc trong mët tù gi¡c ta công câ A > π − D, suy ra

B < π − C v  cos B + cos C > 0 V¼ vªy, n¸u tù gi¡c khæng ph£i l  h¼nhthang th¼ cos A + cos D ̸= cos B + cos C v  khæng v¸ n o b¬ng 0 i·u

væ lþ n y chùng minh i·u ki»n õ

ành lþ 2.2 (°c tr÷ng 2 cõa h¼nh thang.) Tù gi¡c lçi ABCD l h¼nh thang vîi AB ∥ CD khi v  ch¿ khi

cot A + cot D = cot B + cot C = 0

Chùng minh V¼ h m cotang gi£m tr¶n c¡c kho£ng(0, π)v cot(π−x) =

− cot x n¶n lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong cõa ành lþ 2.1, ta câ i·u ph£ichùng minh

Cho ¸n nay ta ¢ câ c¡c °c tr÷ng vîi sin, cosin v  cotang Ti¸ptheo ta chùng minh mët °c tr÷ng cõa h¼nh thang li¶n quan ¸n tangcõa c¡c nûa gâc

ành lþ 2.3 (°c tr÷ng 3 cõa h¼nh thang) Tù gi¡c lçi ABCD l h¼nh thang vîi AB ∥ CD khi v  ch¿ khi

Chùng minh i·u ki»n c¦n Gi£ sû ABCD l  h¼nh thang ta câ ngay

A + D = π = B + C Sû döng i·u â trüc ti¸p suy ra ¯ng thùc tr¶nv¼ tan D

t½nh têng qu¡t ta coi A + D > π v  B + C < π Tø cæng thùc cëng c¡ctang ta câ

1 − tanA

2 tan

D2

2.2.2 °c tr÷ng li¶n quan ¸n di»n t½ch

K¸t qu£ ¦u ti¶n v· di»n t½ch li¶n quan ¸n c¡c o¤n nèi trung iºmtùc l  2 o¤n th¯ng nèi trung iºm cõa hai c¤nh èi di»n

ành lþ 2.4 (°c tr÷ng 4 cõa h¼nh thang) Mët tù gi¡c lçi l  h¼nhthang khi v  ch¿ khi câ mët o¤n nèi trung iºm chia tù gi¡c th nh hai

tù gi¡c câ di»n t½ch b¬ng nhau

ành lþ 2.5 (°c tr÷ng 5 cõa h¼nh thang) Gi£ sû c¡c ÷íng ch²ocõa tù gi¡c lçi ABCD c­t nhau t¤i P Khi â tù gi¡c l  h¼nh thang vîi

Chùng minh Ta s³ sû döng c¡c kþ hi»u di»n t½ch tam gi¡c con nh÷ trongH¼nh 2.3 Khi â ta câ

SACD.SABC = SBCD.SBDA