LOI CAM ON
Sau thời gian học tập nghiởn cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến
thức tiếp thu được từ quý Thóy Cừ của trường vỏ đặc biệt lỏ của quý Thầy Cừ Bộ
mừn Toản — Khoa Sư phạm đọ giỷp em cảm thay tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toỏn khụa Em xin gởi lời cảm ơn đến cõc Thầy Cừ Bộ mừn Toõn, đặc biệt em xin
gởi lời cảm ơn sóu sắc nhất đến Cừ Phạm Thị Vui Cừ đọ tận tớnh giỷp đỡ vỏ động
viởn để em cụ thể hoỏn thỏnh luận văn tốt nghiệp nỏy Vỏ em cũng gởi lời cảm ơn đến gia đớnh, bạn bộ đọ tạo điều kiện giỷp đỡ em trong thời gian qua
Vớ thời gian vỏ kiến thức cún hạn chế nởn mặc dỳ bản thón đọ cố găng nhiều
nhưng luận văn khụ trõnh khỏi những thiếu sụt Mong nhận được ý kiến đụng gụp
quý bõu từ quý Thầy Cừ vỏ cõc bạn
Cuối cỳng, em xin chón thỏnh cảm ơn tất cả mọi người đọ giỷp đỡ vỏ tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoỏn thỏnh luận văn tốt nghiệp toỏn khụa
Cần thơ, thõng 05 năm 2011
Sinh viởn thực hiện
Trang 2MUC LUC LOT CAM ƠN c1 Hỏ cỏ HH TH HH TH HH HH HH HH in 1 MỤC LLỤC G1 S2 1 1121111111 1110111 11111111 111 111110110 2 A PHẢN MỞ ĐẦU cỏnh 11 111111011111 10g gu Hỏo 4 BẢNG KÝ HIỆU L5 1ỀE11111E1111 1111 11111111 1111110112010 1c rkg 6 B PHẢN NỘI DUNG - (St EETx SE HT SE EHTHEg1 g1 HH 8 CHUONG I KIấN THỨC CHUẨẨN BỊ, G6 xxx ke ccez 8 1 MỘT SỐ KIấN THỨC VỀ NHểM Ẫ- SeS*S EEEEEEEkrkrrrkske 8 1.1 Nhụm COI CC QC TH TH SH cv v83 E0 8 1.2 Nhụm hữu hạn sinh - ccc c1 SH HE ng nh cu 8 1.3 Cấp của nhụm - cấp của phần tử (tt 11111 1111111 1 111gr 9 2 MỘT SỐ KIấN THỨC VáNH Vá TRƯỜNG Ò-Ò- (Set cetcrsre2 9 "9/0 9 "bu vi: 00077 -:ŒẴB 9 2.3 Đồng cầu vỏnh ục ScSc S111 1111151111111 1111101111101 11 011 11 1 11111 150 6 10 2.4 Đặc số của vỏnh c- tnTH H11 1115111113115 13111 1151111515111 113 1111111115137 11
3 MỘT SỐ KIấN THỨC VỀ ĐA THỨC - Ẫ-Ò- St xe ‡EêveEêererkei 12
3.1 Bậc của đa thỨc - CC CS SỰ HH TH HH ng ng KEk ckku 12
3.2 Nghiệm của đa thức vỏ đa thức bất khả quy .- Òc6 Sex ce2 12
3.3 Trường phón rọ của đa thỨC -c ng ng HS S ng H1 1 1 111111131 e2 14
4.MỘT SỐ KIấN THỨC VẺ LÝ THUYẾT GALOIS -.- Ò555552 15 4.1 MG rOng 04) 1n 15
4.2 Phần tử đại SỐ S1 th TT HH1 HH na 15 CHUONG II MỘT SỐ TẻNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN 17
I2 i6.) 1n 17 2 Nhụm nhón của trường hữu hạn - - Q0 11111111 vn ng nhe 17
Trang 31 Nghiệm của đa thức bất khả quy trởn truOng hitu han ceeeseeeeeeeeeeees 24
2 Căn của đơn vị Vỏ VẾT - cỏnh HH ng rrh 26
3 Đa thức bất khả quy trởn trường hữu hạn - - - St Set ve cErkvevea 28 4 Phón tợch đa thức trởn trường hữu hạn - - cc ccS c5 5⁄25 <x<x<+2 33
CHƯƠNG IV BáI TẬPP -G G2 H11 1111 T TH 1g 011111 1kg 36 Phần kết luận G1111 515111 5151115151111 0111510111111 1616111010101 44
Trang 4A PHAN MO DAU
1 LY DO CHON DE TAI
“Lý thuyết vỏnh vỏ trường” lỏ mảng kiến thức quan trọng dỏnh cho sinh viởn chuyởn ngỏnh Sư phạm Toõn Đóy lỏ mừn học rất hay, thỷ vị, kợch thợch được lúng say mở học vỏ nghiởn cứu Toõn của sinh viởn Nhưng do thời gian trởn lớp cụ hạn nởn sinh viởn khừng thở tớm hiểu hết cõc vẫn đề cụ liởn quan đến mừn học
Do vậy, được sự gợi ý của giõo viởn hướng dẫn cỳng với lúng say mở tớm
hiểu về Trường hữu hạn với những tợnh chất thỷ vị như: Mỗi trường hữu hạn đều cụ
số phần tử lỏ lũy thừa của một số nguyởn tố nỏo đụ, tổng của tất cả cõc phần tử trong trường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trường F,, nởn em đọ quyết định chọn đề tỏi “Một số tợnh chất của trường hữu hạn” đở thực hiện luận văn tốt nghiệp của mớnh 2 MỤC ĐẻCH NGHIấN CỨU
Thực hiện đề tỏi “Một số tợnh chất của trưởng hữu hạn”, em hướng đến mục
đợch lỏ rộn luyện khả năng tiếp cận, tớm hiểu vỏ nghiởn cứu một vẫn đề Toõn học cún khõ mới đối với bản thón Từ đụ, hớnh thỏnh khả năng trớnh bỏy một vẫn đề
Toõn học trừu tượng một cõch logic vỏ cụ hệ thống Luận văn nhằm lỏm rử một số tợnh chất của Trường hữu hạn Tiếp đến em tớm hiểu một số tợnh chất của đa thức trởn trường hữu hạn Thực hiện luận văn nỏy, em cụ cơ hội củng cừ lại những kiến thức về đại số vỏ lỏm quen với cõch nghiởn cứu khoa học một vẫn đề của toõn học
3 PHƯƠNG PHạP NGHIấN CỨU
Cõc phương phõp được sử dụng trong quõ trớnh hoỏn thỏnh luận văn lỏ phón
Trang 5e Trinh bay cdc van dờ lam duoc vỏ thừng qua giõo viởn hướng dẫn
e Chỉnh sửa vỏ hoỏn chỉnh luận văn 6 NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia lỏm 4 chương như sau:
Chuong I KIEN THUC CHUAN BI
Chương nỏy chủ yếu trớnh bỏy một số kiến thức cơ bản về nhụm, vỏnh,
trường, đa thức vỏ lợ thuyết Galois lỏm nền tảng cho cõc chương sau
Chuong II MOT SO TINH CHAT CUA TRUONG HUU HAN
Chương nỏy trớnh bỏy rử một số tợnh chất của trường hữu hạn
Chương III ĐA THỨC TRấN TRƯỜNG HỮU HẠN
Chương nỏy trớnh bỏy rử một số tợnh chất của đa thức trởn trường hữu hạn
như: Nghiệm của đa thức bất khả quy trởn trường hữu hạn, đa thức bất khả quy trởn
trường hữu hạn, phón tợch đa thức trởn trường hữu hạn
Chương IV BáI TẬP
Trang 6[7] a° b(modm) p(n) ord(a) a ‘(hay 1/a) (a F[x] deg( f(x) gcd( f(x), g(x) Bang ki hiờu tập rỗng tập cõc số nguyởn ước chung lớn nhất của ? van m chia hết n
số nguyởn lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng n (nI R) a đồng dư với b modulo ứ
sừ cõc sừ nguyởn dương khừng vượt quõ ự vỏ nguyởn từ cỳng nhau với z (hỏm Euler) trường cụ q phần tử
nhụm nhón cõc phần tử khõc khừng của F,
mở rộng đơn của trường K sinh bởi phón tử a
K lỏ nhụm con của nhụm #
phần tử đơn vị của vỏnh (nhụm)
cap cua phan tir a
nghịch đảo của phan tir a
nhụm xyclic sinh bởi phón tử a
vỏnh cõc đa thức theo biến x trởn trường Ƒ
bậc của đa thức ƒ(x)
Trang 7Ff (x)| g(x) ⁄#@) L> K hay KCL [L :K] charF f(x) chia hờt g(x)
đa thức đạo hỏm của f(x)
Trang 8B PHAN NOI DUNG
Chuong I KIEN THUC CHUAN BI 1 MOT SO KIEN THUC VE NHOM
1.1 Nhụm con
1.1.1 Định nghĩa Cho Œ lỏ nhụm, #7 lỏ tập con khõc rỗng của Œ Khi đụ #ƒ lỏ nhụm con của ỞŒ nếu #ƒ với phờp toõn cảm sinh của phờp toõn trong G lỏ nhụm
Khi ;H lỏ nhụm con của ể ta kợ hiệu H <G 1.1.2 Tợnh chất i) Cho H lỏ tập con khõc rỗng của nhụm Œ Khi đụ cõc điều kiện sau lỏ tương đương: e H<G xyeH e Vx,yeH: 7 tuc e Vx,ycH:xy`'cH âj) Cho G lỏ nhụm, HjH <Œ vỏ F<H thớ P<G 1.2 Nhụm hữu hạn sinh 1.2.1 Định nghĩa Cho Œ lỏ một nhụm vỏ X c G i) Nhụm con nhỏ nhất của Œ chứa X được gọi lỏ nhụm con sinh bởi X kợ hiệu lỏ (X),
ii) Neu H<G va H =(X) thi ta nụi rang H sinh bời X hay X lỏ hệ sinh của H
Dat biờt nờu H =G thi ta noi rang G lỏ một nhụm sinh bởi tập 2
iii) Nếu G lỏ một hệ sinh hữu hạn nỏo đụ thớ ta nụi Œ lỏ nhụm hữu hạn sinh Đặt
biệt, nếu Œ cụ hệ sinh gồm một phần tử thớ G được gọi lỏ nhụm xyclic
Trang 9e Nờu X =@ thi (X)={e}
e Nếu X zì thớ (X) = (1 ,Xp5 %, ) 9M EN,x,eX
ii) Nờu G 1a nhom xyclic sinh bời a thi G ={a"|n < Z} 1.3 Cấp của nhụm - cấp của phần tử
1.3.1 Định nghĩa Cho Œ lỏ nhụm
i) Cap cua G chinh lỏ lực lượng của G vỏ kợ hiệu lỏ |G|
ii) Cap của phón tử z e G lỏ cấp của (a) vỏ kợ hiệu lỏ |a|
1.3.2 Tợnh chất
i) Cho G lỏ nhụm, acG Khi đụ:
e aco cap hitu han khi va chi khi 3m,n €N,m#n sao cho a” =a"
e Nếu a cụ cấp hữu hạn lỏ d thớ (a) ={e,a,a”, ,a”'}
e Nếu a cụ cấp hữu hạn lỏ d thớ d lỏ số nguyởn đương nhỏ nhất sao cho
a“ =e Nếu từn tại n sao cho a” =e khi vỏ chỉ khi địn n ii) Cho G lỏ nhụm, a eG vỏ |a|=ự Khi đụ |a"|= m,n iti) Cho G lỏ nhờm xyclic cờp n va G=(a) Khi dờ G=(a*) khi va chỉ khi gcd(k,n)=1
iv) Moi nhờm cap nguyởn tổ đều lỏ nhụm xyclic
v) Cho G lỏ nhụm xyclic Khi đụ, nếu H <G thớ H lỏ nhụm con xyclic của nhụm
G
2.MỘT SỐ KIấN THỨC VáNH Vá TRƯỜNG
2.1 Định nghĩa Trường lỏ một vỏnh giao hoõn, cụ đơn vị, nhiều hơn một phần tử vỏ
mọi phần tử khõc khừng đều khả nghịch 2.2 Trường con
Trang 10j Giả sử X lỏ trường, tập con A khõc rỗng của X được gọi lỏ trường con của X nếu A ừn định với hai phờp toõn trong X vỏ A cỳng với hai phờp toõn cảm sinh lỏ một trường
ii) Truong con P cua F duoc goi la trường con nguyởn từ nởu thỏa cõc điởu kiện sau:
e P khừng chứa trường con nỏo của # khõc P e Mọi trường con của #' đều chứa P
Khi F =P thi F được gọi lỏ trường nguyởn tố
2.2.2 Tợnh chất
ỵ Giả sử A lỏ một tập con cụ nhiều hơn một phón tử của trường X Khi đụ cõc điều kiện sau lỏ tương đương:
e A lỏ trường con của X
e Vx,yeạ,x+yeA,xyeA,-xeAạ vỏ x`eA nờu x #0
se Vx,yeA,x-yeAdA vaxy'eA nou y#0
ii) Gia st X 1a vanh giao hoõn, cụ đơn vị, cụ nhiều hơn một phón tử Khi đụ cõc
khẳng định sau lỏ tương đương: se X lỏ trường
e_ X khừng cụ ideal nỏo ngoỏi X va {0}
e_ Mọi đồng cấu vỏnh khõc đồng cóu khừng từ vỏnh X đến vỏnh bất kỳ đều lỏ đơn cấu iti) Gia str X la vanh giao hoan, co don vi, ideal M cua X la ideal t6i dai khi va chi khi XK lỏ một trường 2.3 Đồng cầu vỏnh 2.3.1 Đỉnh nghĩa
j Giả sử X vỏ Y lỏ cõc vỏnh ạnh xạ ƒ: X —> Y được gọi lỏ đồng cấu vỏnh nếu thỏa hai điều kiện sau:
ƒ(x+y)=/(x)+ 7/2)
Trang 11Nếu X =Y thớ đồng cấu ƒ:X ->Y được gọi lỏ tự đồng cấu của X
ii) Cho dờng cấu vỏnh ƒ :X ->Y Khi đụ: ƒ lỏ đơn cấu nếu õnh xạ ƒ lỏ đơn õnh ƒ lỏ toỏn cóu nếu õnh xạ ƒ lỏ toỏn õnh
ƒ lỏ song õnh nếu õnh xạ ƒ lỏ song õnh
2.3.2 Tợnh chất
i) Tợch của hai đồng cẫu lỏ đồng cấu
ii) Giả sử ƒ : X —> Y lỏ một đồng cấu vỏnh Khi đụ: e # lỏ một toỏn cấu khi vỏ chỉ khi Imf =Ÿ
e _ ƒ lỏ một đơn cấu khi vỏ chỉ khi Kerf = {0}
2.4 Đặc sừ của vỏnh
2.4.1 Định Nghĩa Giả sử X lỏ vỏnh Nếu tồn tại số nguyởn dương nhỏ nhất n sao cho ựa =0, Va e X thớ ta nụi vỏnh X cụ đặc số n Nếu khừng tồn tại n như vậy thớ ta
nụi vỏnh X cụ đặc số 0 Đăc số của vỏnh X được ký hiệu CharX Nờu X lỏ một
trường thớ ta hiểu đặc số của trường X lỏ đặc số của vỏnh X 2.4.2 Tợnh chất
j) Giả sử X lỏ vỏnh cụ đơn vị lỏ 1 va cụ đặc số ự >0 Khi đụ:
e n lỏ số nguyởn dương nhỏ nhất sao cho ự.1= 0
e Nếu X khừng cụ ước của khừng ( nụi riởng X lỏ miền nguyởn, X lỏ trường) thớ n lỏ số nguyởn từ
ii) Nờu CharX = p lỏ một số nguyởn tố thớ: (a+b) =a’ +b’
(a-Í} =a’ —b?
iii) Cho F 1a m6t truong va P 1a mờt trường con nguyởn từ của nụ Nởu:
e F cờ dac sờ 0 thi P đẳng cầu với Q
Trang 123 MOT SO KIEN THUC VE DA THUC
3.1 Bậc của đa thức
3.1.1 Dinh Nghĩa Giả sử ƒ(x)=a,x"+a,âx””+ +ax+aoeK[x| voi a, 40
Khi đụ ta nụi đa thức ƒ (x) cụ bậc n, ký hiệu degf (x) = n Phần tử a, được gọi lỏ hệ
tử cao nhất, phần tử a; được gọi lỏ phần tử tự do, cõc a, (i = 0,7) được gọi lỏ hệ tử, cõc a,x' (i = 0,z) được gọi lỏ hạng tử của đa thức
3.1.2 Tợnh chất
Cho f(x) va g(x) lỏ hai đa thức khõc khừng, khi đụ:
„ f (x) + g(x) #0
i) Nờu deg f(x) # deg g(x) thi
(*) (*) a f (x)+g(x)) = max {deg f(x), deg g(x)}
deg f (x) =deg g(x)
f (x)+ g(x) #0
iii) Nờu f(x) g(x) #0 thi deg (f(x).g(x)) < deg f (x) + deg g(x)
iv) Cho K la truờng va f(x),g(x)đ K[x], g(x) #0 Khi đụ, tồn tại duy nhất cặp
ii) Nờu thideg( f(x)+ g(x)) < {degf (x), deg g(x)}
đa thức q(x) va r(x)eK[x] sao cho f(x)=g(x).đq(x)+r(x) voi deg r(x) < deg g(x) Cac da thite g(x) va r(x) dugc goi twong tng lỏ thương vỏ dư trong phờp chia f(x) cho g(x)
3.2 Nghiệm của đa thức vỏ đa thức bất khả quy
3.2.1 Định nghĩa
i) Cho f(x)=a,x"+a,,x"' + taxt+a,€K[x] voi a,#0 va ceK Phan tir
f(x)=a,c" +a, ,c"' + 4a,c+a, duge goi la gid tri cha f(x) tai c Nếu ƒ(e)=0
Trang 13ii) Gia st’ K 1a mờt trudng va c 1a mờt phan tr cha K, f (x) lỏ một đa thức của
vỏnh K[x| vỏ m lỏ số tự nhiởn (m >1) c lỏ một nghiệm bội cấp m của f (x)nờu va
chỉ nởu f(x) chia hờt cho đa thức (x—c) vỏ ƒ(x) khừng chia hết cho đa thức
(x-e)””
Nếu m =1 người ta gọi c lỏ nghiệm đơn, mm = 2 thớ c được gọi lỏ nghiệm kờp
iij) Cho K lỏ trường, đa thức ƒ(Í) trong vỏnh K[x] gọi lỏ bất khả quy trởn K nếu
ƒŒœ) cụ bậc lỏ một số nguyởn dương vỏ từ điều kiện ƒ(z)=g(x)j&), với ự(w), h(x) e K[z] luừn suy ra g(x) hodc A(x) 1a da thic hang
3.2.2 Tợnh chất
ỵ Giả sử K lỏ một trường vỏ eeK, ƒ(x)s K[x] Khi đụ phón dư của phờp chia f (x) cho da thie x-cla f(c)
ii) Nờu K 1a m6t trudng va ce K , f(x) đ K[x] Khi đụ, c lỏ nghiệm của đa thức
f (x) khi va chi khi f(x) chia hết cho x—c
Trang 14Lay afaye EY oy va a(x) #0 suy ra p(x)ƒa(x) nởn
gcd(p(x),a(x))=1 Khi đụ tồn tại cõc đa thức c(x),d(x)eF[x] sao cho c(x) p(x)+d(x)a(x)=1 Do do c(x)p(x)+d(x)a(x) =1, ma p(x)=0 nờn d(x)a(x) <1 Vay a(x) cụ nghịch đảo lỏ d(x) trong “lI sy Fal] ỏ trưi Vậy N, (x) lỏ trường vii) Cho ƒ(x) = a,x"+ad„ âx””+ +ax+ dạ lỏ đa thức bất khả quy trởn trường K (p(œ))'
Khi đụ tồn tại duy nhất ( sai khõc một đẳng cấu) trường E sao cho: e K lỏ trường con của ẩ
° f (x) co nghiờm @ trong E
e Moi phan tir @ € E viờt duge duy nhat dudi dang 6 6"! + 4+.5,04+ by
3.3 Trường phần rọ của đa thức 3.3.1 Định Nghĩa
i) Cho K la trường vỏ ƒ (x) la đa thức bậc ự>1 trởn K Khi đụ, trường ẩ chứa trường K như trường con, được gọi lỏ #ưởng phón rọ của đa thức f (x) trởn K nếu
ƒ(x)cụ đỷng ự nghiệm ( kể cả nghiệm bội) trong E va E lỏ trường tối tiởu ( theo
quan hệ bao hỏm ) chứa K vỏ cõc nghiệm của ƒ (x)
ii) Cho đa thức ƒ(s) = a; + ax+a,x”+L +a,x" e K[x], ta gọi đa thức sau đóy lỏ đạo
hỏm của f(x):
f'(x) =4,+2a,x+L +na,x""
3.3.2 Tợnh chất Cho trường K vỏ một đa thức 0# f(x)eK[x| bac n Khi đụ,
Trang 15That vay:
Nếu ự lỏ nghiệm của ƒ(x) với số bội kthớ f(x) =(x -ơŸ q(x) voi g(a) #0
ar ko k-1 k-1
Khi đụ, ƒ (x) = (x-a) g (x)+ k(x-a@) q(x) = (x-a@) | (x-a@)q (x) + kq(x) |
Nờu k>1 thi z lỏ một nghiệm của ƒ (x) với bội số ợt nhất lỏ k—1
Nếu k=l thớ ƒ (x)=(x-#)4(x)+4(x) suyra ƒ (œ)=a(œ)z0
Vậy ƒ (œ)=a(œ)#0 vỏ ƒ (x) cụ nghiệm chung khi vỏ chỉ khi œ lỏ một nghiệm
cua f(x) voi bội số ợt nhất bằng 2
4 MỘT SỐ KIấN THUC VE LY THUYET GALOIS
4.1 Mở rộng trường 4.1.1 Định nghĩa
ỵ Cho K lỏ trường con của trường L thi ta noi lỏ một mở rộng của K va ky hiệu K <L hay L>K
ii) Cho K <L, khi dờ L cờ cau tric K - khờng gian L Ta biờt rang mọi khừng gian đều cụ cơ sở ( ta hiểu mỗi cơ sở của K - khừng gian L lỏ một cơ sở mở rộng 7 trởn K) Khi đụ số chiều của K - khừng gian vectơ ⁄ được gọi lỏ bậc mở rộng của
l trởn K Ký hiệu [Z KỊ Nếu [Z :K] < œthớ ta nụi rằng ⁄ lỏ một mở rộng hữu hạn của K” vỏ ký hiệu > K — hữu hạn Ngược lai ta nụi rằng lỏ mở rộng vừ hạn của K
4.2 Phần tử đại số
4.2.1 Định nghĩa
i) Cho L>K va ueL Nờu ton tai da thitc 04 f(x)e K[x] sao cho f(u)=0
thớ z được gọi lỏ phần tử đại số trởn K Nếu khừng từn tại đa thức thỏa điều kiện như vậy thớ được gọi lỏ phần tử siởu việf trởn K
âj Đa thức bất khả quy p(x) K[x] với hệ tử của bậc cao nhất bằng 1, nhận ự
Trang 16iii) Cho L>Kva ueL Khi d6, bac mờ rong [ K(u):K | được gọi lỏ bậc của
phan tử trởn K
iv) Cho K < L Trường L được gọi lỏ mở rộng đại số trởn K nếu mọi phần tử của L
đều lỏ phần tử đại số trởn K Khi đụ ta ký hiệu lỏ L > K — dai sờ 4.2.2 Tợnh chất
jỵ Cho K <Lvỏ ae Khi đụ a lỏ phần tử đại số trởn K nếu vỏ chỉ nếu một trong
cõc điều kiện sau đóy xảy ra:
e K(a)= {r(a)/r e K(x), derr < n} trong dờ n = deg Min(K,a)
° {l,a,a’, ,a"" lỏ cơ sở của K(a) trờn K e | K (a) K | =n
ii) Nờu L > K - hữu hạn thớ 7 > K - đại số
Trang 17Chuong II MOT SO TINH CHAT CUA TRUONG
HUU HAN
1.Định Nghia
Định nghĩa Trường hữu hạn lỏ trường cụ hữu hạn phần tử
Định lợ 2.1.1 Nếu F lỏ trường hữu hạn thớ đặc số của #' lỏ một số nguyởn t
Chứng mỉnh Ta cụ đặc số của trường hoặc lỏ 0 hoặc lỏ một số nguyởn tố Giả sử F' lỏ trường hữu hạn cụ đặc số 0 thớ Ƒ chứa trường con nguyởn tố đẳng cẫu với Q Nhưng Q lỏ trường vừ hạn nởn trường con nguyởn từ của #' lỏ vừ hạn.(móu thuẫn) Vay đặc số của trường hữu hạn lỏ một số nguyởn tố = 2.Nhụm nhón của trường hữu hạn
Định lợ 2.2.1 Cho Z lỏ trường hữu hạn thớ với mọi ae #; (a đều cụ a“ =a
Ching minh Vời a=0 thớ ta cụ a“=ự Với a#0 thớ số phần tử của nhụm nhón r lỏ g—I Suy ra LF =q-—1 Khi do với moi a eF ta dờu co at! =1 hay
a’ =a Vay a’ =a voimgi aeF a
Dinh li 2.2.2 Cho truong hitu han F, Va K la truong con cua F, thi da thite x* — x
trong K[x| cụ sự phón tợch trong #[x| lỏ xf—x= [(x—a)vỏ #„ lỏ trường phón
acF
rọ của đa thức x” — x trởn K
Ching minh Theo Dinh li 2.2.1 taco a* =a voi moi aeF, hay a la nghiờm của da thức x“—x Ta viờt g phan tt cua Fla aa, a, Khi do mỗi đa thức
Trang 18cũng lỏ ước của x” —x Do da thitc (x—a,)(x—a,) (x—a,) co bac la q nờn ta co x" —x =(x-a,)(x—a,) (x-a,)
Vậy 7 lỏ trường phón rọ của đa thức x” — x trởn K mm Định lợ 2.2.3 Nhụm nhón của trường hữu hạn lỏ nhụm xyclic
Chứng minh Giả sử Ƒ lỏ một trường hữu hạn gồm g phan ti Dat A= IF”| =q-l
Nếu ự=1 hoặc ; lỏ số nguyởn tố thớ rử rỏng Ƒ” lỏ nhụm xyclic Do đụ, ta cụ thể giả sử J lỏ số nguyởn đương lớn hơn 1 vỏ khừng lỏ số nguyởn tố
Gia str h= p"K p™, voi m>2, p, nguyởn tố khõc nhau đừi một, ự,eNẹ, Vi el,m h Khi đụ, 1 <?h vỏ đa thức x” —1 cụ khừng quõ " nghiệm trong Ƒ”, suy ra tồn tại P; P; h h aeF” sao cho a? #1 Dat b =a" Ta sờ chimg minh a b,|= p;i Ta co, a h_\? h 2 ` ` A ` al pti pm ^ x bP =al =1 va b #1 vinờub =1 thil=b" = vi | =a” (mau thuan) h Do đụ, a pt va |b,| #1, suy ra |b|= p*,1< B,<a, Mat khac, b'” =a? #1 Vivay,
lb,|= p Đặt b=b,ð,K b„ Khi đụ, do p,, với âel,z lỏ cõc số nguyởn từ khõc nhau
đừi một vỏ # giao hoõn nởn |b|=|b,b,K b„|= pK p” =h= IF| Vay F’=(b) ưm
Hệ quả 2.2.4 Mỗi nhụm con hữu hạn của nhụm nhón của một trường lỏ một nhụm xyclic
Chứng minh Giả sử Ƒ lỏ một trường vỏ Œ lỏ một nhụm con hữu hạn cấp ự của
nhụm nhón Ƒ”
Xờt trường hợp charF = p z0 Gọi 7, lỏ trường con nguyởn tố của trường Ƒ Vớ
lơ|=ự nởn mọi phón tử của Œ đều lỏ nghiệm của đa thức x"—1 Do đụ, mọi phón tử
Trang 19F„(G) lỏ một trường hitu han Theo Dinh ly 2.2.3, (F, (G)) lỏ một nhụm xyclic Vớ
vậy, Ớ lỏ một nhụm con xyclic của nhụm (F, (G))
Xờt trường hợp charF =0 Vớ tất cả z phần tử của G đều lỏ nghiệm của đa thức x”—I1 vỏ đa thức x”—I bậc ự cụ khừng quõ ự nghiệm nởn Œ lỏ tập nghiệm của đa thức x”—1 Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.2.3 (ở đụ, Í được thay bởi
z), ta cụ Œ lỏ một nhụm xyclic a
Định nghĩa 2.2.5 Mỗi phần tử sinh của nhụm xyclic Ƒ;` được gọi lỏ một phần tử
nguyởn thủy của F„
Nhận xờt Trường hữu hạn Ƒ; cụ tất cả ự(g—1) phần tử nguyởn thủy, trong đụ ự lỏ hỏm Euler Định nghĩa 2.2.6 Cho trường hữu hạn Z”, với mỗi số nguyởn dương z, ta định nghĩa: F= {x q xe F,\ Định lợ 2.2.7 Cho trường hữu hạn F, Khi d6, Fla nhom con cia F va _ q"è gcd(r,g—1) | q
Chứng minh Ta kiểm tra F.” lỏ nhụm con của #7” Thật vậy, Va,be F7” ta suy ra a=x,b=y', với x,yeF Khi đụ, ab=x'y' =(xy) kờo theo abe F’” Mat khac, Vae F7”, ta cụ a=x”, với xe, kờo theo a’ =(x")' =(x"')’, do d6 a' eF” Vậy
F"<F" Gọi ê lỏ một phần tử nguyởn thủy của F Khi đụ, #=(#) vỏ e"|= q-1
gcd(r,q—1)_
q
Trang 20Dinh li 2.2.8 Cho truong hitu han F, va r la mOt sừ nguyởn dương Khi đụ,
*r *d ` * *d *d 2 pd d—Il m*d ê
PHF" va F =F VệF UOệF '\U.Uế F `, trong đụ đ=gcd(g-l,r),
ế lỏ phần tử nguyởn thủy của Ƒ; vỏ ê'F”“ Èê!F”“ =ì,Vi # j,0<â, j <d—I1
Chứng minh Vớ ý lỏ phón tử nguyởn thủy của 7 nởn #”=(Ò), Ƒ” =(ờ") va
Fr’ =(€"), Do d=ged(q-1,r) nờn d|r kờo theo F," <F* Va do d=ged(q-1,r) q
nởn tồn tại cõc số nguyởn a, b sao cho a(q-1)+br=d
Khi đụ, €đ =" =(ờ")’ suy ra €4 (ờ"), do dờ F" CR” Vay FY =F Ta cờ F -UEE" , nhung ờ7F =F" nờn F = FY UEFM ULE“ UL UE,
il
Giả sử ê'Ƒ“I ê/F“#ì, với 0< j<â<đ-1, tức cụ phần tử xeêF“IêƑ“, do i-j
đụ x=êự„=ê'v, trong đụ ự,ye “, kờo theo ê”? e Ƒ” (vừ lý vớ lế >|")
3.Số phần tử của trường hữu han
B6 dờ 2.3.1 Cho F lỏ trường hữu hạn chứa trường con K cờ g phan ti thi F cụ @"
voi n=[F:K]|
Chứng minh Ta cụ Ƒ cụ khừng gian vecto trờn K vỏ # lỏ hữu hạn nởn số chiều của F lỏ hữu hạn vỏ bằng số vectơ trởn K Nếu n= [F :K | thớ cụ co sở trởn K chứa n phần tử Ta gọi b,,ỗ,, 5, lỏ cơ sở của Ƒ trởn K Khi đụ mọi phần tử
a cua F duoc biờu diễn đuy nhất dưới dạng:
a,b, + a,b, + 44,0,, Ay Ay,.54, EK
Ta c6 q cach chon a, trong n phan tử a,,a,, ,a,cK nởn F cờ q" phan tt |
Trang 21Ching minh Do trường hữu hạn F'cờ dic s6 p nởn #' cụ trường con nguyởn tố dang cau voi Z >: Khong mat tợnh tổng quõt ta cụ thể giả sử Z >< Nhu vay F la một mở rộng hữu hạn của Z„ Gọi ự =|F:Z, |, theo Bồ đề 2.3.1 ta suy ra # cụ p" phần tử m Định lợ 2.3.3 Cho trường hữu hạn" vỏ p(x) lỏ đa thức cụ bậc n bat khả quy trởn F,|*] F [x] thi (p(x) lỏ trường hữu hạn cụ 4” phần tử , F Chứng mỉnh Do p(x) lỏ đa thức bót khả quy nởn ? MỸ (x)) la truong Lay f(x) € F,[x] ta co:
f (x) = p(x).A(x) + r(x) với h(x),r(x) € F, [x] va degr(x) < deg p(x) Suy ra: f(x) = p(x).A(x)+ r(x) = r(x) v 2 nũ—] =đạ +điX+đ,X + +d„âX, đạ,đ,đ,, ,d„â €Ứ Ta cụ q cõch chon hệ số a, trong n hờ số Ay 3 Ay 5 Ay 5005, EF _ = Fx] Do đụ ta cụ g” phantr q” phần tử FG) f(x)e 4 9) _F sự
Vậy trường 7 co g” phan tu |
Định lợ 2.3.4 ( sự từn tại vỏ duy nhất của trường hữu hạn p" phần tứ)
Cho p lỏ số nguyởn tố vỏ ự lỏ số nguyởn đương thớ tồn tại trường hữu hạn chứa đỷng " phần tử Hơn nữa, hai trường hữu hạn cụ cỳng số phón tử thớ đăng cẫu với nhau
Chứng mớnh Đặt q = p" Xờt đa thức x” — x trong PƑ [x] Gọi Ƒ lỏ trường phón rọ
của đa thức x” —x Khi đụ x” - x cụ g nghiệm trong F-
Trang 22Xờt tap S = {a eF:a’= a} Ta chứng minh Š lỏ trường con của Ƒ' Thật vay:
Dờ thay 0,1 thuộc S
Voi a,beS suyra a’ =a,b’ =b, taco: (a—b)” =a”—b =a-b
(ab')? = a!(bˆ'*' =a(b*)` = ab`
Vậy S lỏ trường con của Ƒ Mỏ đa thức x*—x phón rọ trởn ,$ Vậy ,$ đẳng cấu với F theo tợnh chất trường phón rọ Mỏ ,Š cụ z phần tử nởn Ƒ cũng cụ z phần tử Vậy tồn tại trường chứa đỷng q= p” phan tử
Giả sử cụ Ƒ vỏ Ƒ" chứa đỷng ự = p" phần tử khi đụ theo Định lợ 2.2.2 thớ F va F’ la
trường phón rọ của đa thức x — x Theo tợnh chất trường phón rọ thớ F dang cau vời F" Vậy tồn tại duy nhất một trường chứa ự” phần tử sai khõc một đẳng cấu | Dinh li 2.3.5 (tiờu chudn trudng con )
Cho trường hữu hạn F thớ mọi trường con của F cụ ” phần tử, trong đụ z lỏ ước dương của z Ngược lại, nếu z lỏ ước đương của ự thớ F cụ duy nhất trường con chứa p” phón tử
Chứng mỉnh Giả sử K lỏ trường con của F vỏ K cụ p”™ Theo bờ dờ 2.3.1 ta
cụ: p"=(p”)*” với n'=| F, K] Suy ra n= n'm hay mịn
Ngược lại nếu mịn thớ (p” -D|œ" -l)suy ra (x7! -D|œ”” -1), do đụ
(x? = x)|(x” —*)
Taco p” phan tử của Ƒ„ lỏ nghiệm của đa thức x” —x Khi đụ ton tai p” phan tử
trong F’, lỏ nghiệm của đa thức x?” —x
Kợ hiệu Ƒ' lỏ tập chứa p” phần tử lỏ nghiệm của đa thức x?” — x
Trang 23Dờ thay 0, 1 thuờc F' Vời a, Be F' thia”’ =a, B” =f Khi dờ (a+ fy =a’ +f” =a+f.Suyraat+PeF'
(apy =a?’ fp” =aBsuyra afe F'
(-a)” =(-l)” a” =-a (z”)” =(ự”)'=z"
Vậy Ƒ' lỏ trường con chứa p” phan tử của F Nếu tồn tại Fâ chứa đỷng p” phan
tử thớ p” phần tử đụ lỏ nghiệm của da thite x” —x Nhung x” —x chi cụ p”
Trang 24Chuong III DA THUC TREN TRUONG HUU HAN 1 Nghiệm của đa thức bất khả quy trởn trường hữu hạn
Bồ đề 3.1.1 Cho ƒ(z) e Ƒ [x] lỏ đa thức bất khả quy bậc m trởn #' vỏ n lỏ một số nguyởn duong Khi dờ, f(x) chia hờt x” — x nếu vỏ chỉ nếu m chia hết n
Ching minh (—) Giả sử ƒ(x) chia hết x” —x Goi a@ lỏ một nghiệm của f(x)
Khi đụ, z? -z =0 suy ra aeF,, Do đụ, F, (@)c F Mặt khõc, vi | F, (a) :F, |=m nởn 7 (z)=„ CƑ,„ ta suy Ta mịn
(C) Ngược lại, giả sử m|n Gọi ự lỏ một nghiệm của ƒ (x) nắm trong trường phón
rọ của f(x) trờn F, Khi do, | F, (a):F, |=m suy ra F, (a)=F., Vi min nờn
F,cF,.Dod6, weF, suy Ta a’ —a=0 Vi vay, œ lỏ một nghiệm của đa thức
x“ —x, kờo theo f(x) xt? —x, a
Dinh li 3.1.2 Cho f(x)đF [x] la da thitc bat kha quy bac m trờn F, Khi dờ
f(x) phan ra trờn F m vỏ tõch được trởn ?„ Hơn nữa nởuz lỏ nghiệm của f(x) thi
2 m—]
œ,ơ1,a1, ơ! lỏ tập hợp tất cả cõc nghiệm của f(x)
Chứng mỉnh Theo Bồ đẻ 3.1.1, ta cụ ƒ(z) x”—x từ đụ suy ra ƒ(x) phón rọ trởn
Ta vỏ chỉ cụ toỏn nghiệm đơn Gọi đ lỏ một nghiệm bất ky của f(x) Ta can chứng minh ê7 cing la nghiờm cua f(x)
Giả sử f(x)=a,x"+a,.x" +L t+ax+a,,a,đF,,Vie0,m Khi dd,
f(B1)=4,(B")" +4, (B)" +L +484 +a,
Trang 25=(a„8"+a„ „8 ”'+L +a/+a,)!
=/()“=9
Vớ thế, cõc phần tử œ,ự!,œ*“,K ,œ” lỏ cõc nghiệm của f(x) Bay gid, ta chứng
minh cõc phần tử nỏy phón biệt Thật vậy, giả sử ự* =ự*, với 0<â<k<m-—1 Khi
r i m—k k m—k m+i—k ` A ` “A ° ,
đụ, (a7)? =(a7)? tasuy ra a’? =a Vi vay, a la nghiờm cua da thitc
x?” —x kờo theo f(x)| x” —x va theo Bờ dờ 3.1.1, tacờ m|m+i-k (voli) m Định nghĩa 3.1.3 Cho ae F., Khi đụ, cõc phần tử ự,ự*,ự*,K,ựœ'” được gọi lỏ
cõc phần tử liởn bợp với œ trởn Fe
Dinh lý 3.1.4 Cho trudng hitu han F, va ae F” Khi dờ, cdc phan tử liởn hợp với z
trởn trường con bất kỳ của F„ cụ cỳng cấp trong nhụm F.,
Chứng minh Ta cụ ự= ự”, với p nguyởn tố vỏ ự<N Xờt một trường con bất kỳ F.„, với mịn, của F„ Đặt â=— Khi đụ, L7, 2 |=, Ta cụ cõc phần tử liởn hợp
tớ
m({I-1)
với œ trởn Ƒ„ lỏ œ,œ?”,œ°”.K a?” Theo Dinh lợ 2.2.3, F’ la nhom xyclic, vi
thở ta giả sử F7 =(a), suy ra a=a',k eZ Vi vay, cdc phan ti liởn hợp với @ trờn
` ” 7 m 2m m(1)
trường con #“„ của #„ cụ dang nhu sau a‘,a” ,a” ,K,đ” Khi do,
VreL/-l, a0[c—— god(kp™,p"-1) godŒ,p"—]) PS c—-E ạp dụng định lý vừa chứng minh, ta nhận được kết quả sau đóy:
Hệ quả 3.1.5 Nếu lỏ phần tử nguyởn thủy của #„ thớ moi phan tử liởn hợp với ý
Trang 26Dinh li 3.1.6 Cho acF., Khi đụ, nởu d lỏ số nguyởn dương nhỏ nhất thỏa mọn
a* =a thi da thitc f(x)= (x-z}⁄x—-ự*)(x-ự*Ẽ \K (x- at’) bat kha quy trởn F Chirng minh Gia str deg (min(F,,@)) =m Taco œ lỏ nghiệm của đa thức x” —x,
do đụ min(Ƒ,ự) x? =x, Theo Bồ đề 3.1.1, ta cụ z|đ Mặt khõc, Ƒ'„ = F;(ự), vớ thế
œ” =z, do đ lỏ số nguyởn dương nhỏ nhất thỏa ự“ = ự nởn ta suy ra „=đ Theo Dinh ly 3.1.2 thi f(x) = min(F,,@)
2 Căn của đơn vị vỏ vết
Định nghĩa 3.2.1 Cho K lỏ một trường bất kỳ cụ đặc số p (p cụ thể bằng 0) vỏ ự lỏ
một số nguyởn dương Ta gọi trường phón rọ trởn K của đa thức x"-le K[x] lỏ trường n — cyclofomic trởn K vỏ ký hiệu Kf Mỗi nghiệm trong Kf của đa thức x”—1 được gọi lỏ một căn bậc n của đơn vị trởn K Kỷ hiệu EẼ) lỏ tập hợp tật cả cõc căn bậc ự trởn K của đơn vỊ
Định lý 3.2.2 Cho K lỏ một trường bất kỳ cụ đặc số p (p cụ thể bằng 0) vỏ n lỏ một
số nguyởn dương Khi đụ, E” lỏ một nhụm xyclic cụ cấp khừng chia hết cho p
Cụ thể:
() Nếu p[ự thớ E?) lỏ nhụm xyclic cấp n
(1) Nờu p|n va n=mp’, p{m thi K™ =K™ va EM =E™ la nhom xyclic cap m Chirng minh
(i) Dat f(x)=x"-1, f'(x)=nx"" 1a dao ham cua da thitc f(x) Vim khờng chia hờt
cho p nờn f(x) va f'(x) khong co nghiờm chung, suy ra f(x) khừng cụ nghiệm bội Do đụ, |E”) =n
Trang 27
con hữu hạn cấp ự của nhụm (x) nởn theo Hệ quả 2.2.4, E” cũng lỏ nhụm xyclic (11) Vi mp’ =n>0 nờn m>0, p>0 Do do, x” -L=(x"" -1=(x"-1)” Suy ra K () — K™ va da thitc ƒ()=x" —1 cụ m nghiệm bội bậc p' trong K () Vớ vậy, Ef) = g), =
Định nghĩa 3.2.3 Cho K lỏ trường đặc trưng p vỏ ự lỏ một số nguyởn dương khừng chia hết cho p Ta gọi mỗi phần tử sinh của nhụm xyclic E” lỏ một căn nguyởn thủy bậc n trởn K cua don vi
Nhận xờt Cụ tất cả ự(n) căn nguyởn thủy bậc ự trởn K của đơn vi
Định nghĩa 3.2.4 Cho aeF= F va K=F Vết của œ trởn K, ký hiệu lỏ Tr„„„ (œ) lỏ tổng của tất cả cõc phần tử liởn hợp với z trởn K Như vậy,
Trp (@)=atat +L tal”
Trang 28(11) Vae K, VaeF, tacd Trp), (az)=(aa)+(aa)' +L +(aa)" =aa+alat+L tat” a” ml = a(a+at +L +a! ) = aT ty), (a)
(iii) Vae K, Tr,,,(a)=at+a’ +L ta’ ViaeK nờn 4 =a,Vie0,m—l
Vớ vậy, Tr„,„(a)= ma
(Iv) VơzeỨ, ta cụ Tr,,„ (z“)=ự" +(ự!} +L (at) = (a tat + 4a" ]+z#
=z+ự*+L +ơ”` (vớ ư” =ự)
= Tr,,„ (ở) a
3.Đa thức bất khả quy trởn trường hữu hạn
Định lợ 3.3.1 Giả sử f(x) € F, [x] lỏ đa thức cụ bậc n thớ ƒ{%) lỏ đa thức bất khả quy trởn nếu vỏ chỉ nếu :
FO" —Xx) va gcd( f(x), x* —x)=1 voi i=1,2,3 [n/2]
Ching minh (>)Nờu /(x) bất khả quy trởn Ƒ thớ theo Bồ để 3.1.1, ta cụ
f(x) x" —x) va gced(f(x),x? —x)=1, voi i=1,2,K ,[n/2]
(<)Nờu f(x) kha quy trờn F thớ ƒ(z) cụ nhón tử g(x) bat kha quy trờn F, Gia
sử degg(x)=m vỏ m<[n/2] Theo Bố để 3.1.1, ta cụ g(x)|(“”-x), do đụ
Trang 29Dinh lý 3.3.2 Cho /(x)đF [x] la da thitc bac n>1 Khi đụ, cõc diờu kiờn sau 1a tuong duong:
(i) f(x) bat kha quy trởn F
(ii) (ex+4)e9/ẻS a) bất khả quy, trong đụ a,b,c,đ e Ƒ, sao cho ađ—bc#0 Chung minh Trước hết, ta cụ nhận xờt: (a) Cho ƒ(x) = a, + ax+a,x”+L +a,x” lỏ đa thức bậc ự trởn 7 Khi đụ, (er anes f( 2) (cx +d)" (24)-de (ax+b) (cx+d)”" cxtd) cũng lỏ một đa thức trởn 7 ax+b (b) Nờu f(x) bat kha quy va ad—bc #0 thi (ext d)**/ f (as sa CX ) lỏ đa thức co bac n
Bóy giờ ta sẽ chứng minh (1) Ẫ (11):
(<=) Gia str (ex + d)**/™ f (= ; ast) bat kha quy trờn F Nờu f(x) kha quy thi f(x) Cx
được phón tợch thỏnh ợt nhất hai nhón tử bất khả quy Giả sử /ƒ(ự) lỏ tợch của m nhón tử bất khả quy trởn Ƒ”, voi 2<m<n Do dờ,
fO)=fOAOK f(x), trong đụ /(x), /(x),K,/„(x) lỏ cõc đa thức bất
Trang 30ax+b a} (cx +d)" tn | ax+b CX + ax+b etd f ( (cx+d)" f, ( Je F[x] va CX + cxtd lần lượt cụ bậc lỏ k,,k,,K ,k, Ta suy ra (ext ad) f (=**) kha quy (mau cx
thuan) Vi vay, f(x) bat kha quy trởn F’
(=>) Gid sit f(x) =a, +a,x+4,x°+L +a,x" bat khả quy trởn F Do ad—bc#0 nờn
gcd(ax+b,cx+ đ) =1 Gọi y la nghiờm cia (cx +d)?! ƒ (=**) nằm trong trường Cx phón rọ của (cx+ 2.965) trởn # Khi đụ, ay+b #0 vỏ cy+d#0 CX + Dit 2=(ay+b)/(cy+d) (1) Ta cụ (cy+ 2#/9/)) =(cy+)*#/Ẽ ƒ(A) =0 kờo theo ƒ(4)=0 Do đụ a” la cy +
một nghiệm của ƒ(x) vỏ 4# (2) =F Do (1) nờn z lỏ một nghiệm của đa thức (ax+ b)— ẳ(cx + đ), đa thức nỏy cụ bậc 1 Do do, ye F(A) RO rang, Ae F(y) Vậy
Trang 31Ching minh
a) Gia sử tổng cõc hệ tử của f(x) bang 0 suy ra 1 la nghiờm cua /ƒ(z) (móu thuẫn) Vay tổng cõc hệ tử của f(x) khac 0
b) Giả sử gcd(ƒ(x), ƒ(x)) =đ(x) #1 Ta cụ ƒ(x)=d(z)5(s), vớ deg ƒ (x)< deg ƒ(x)
nờn deg A(x)>1 kờo theo f(x) kha quy Vi vậy, f(x) bat khả quy trởn F =
Khi g =2, chung ta co:
Định li 3.3.4 Cho f(x)e F,[x] Nờu f(x) bat kha quy trờn F, thi a) Số cõc số hạng của /(+x) cụ hệ số băng I lỏ số lẻ
b) Cụ số hang x” cua f(x) voi hờ số bằng 1 sao cho 2] m Chứng mớnh
a) Vớ F lỏ trường đặc trưng 2 nởn cõc hệ số của cõc số hạng khõc 0 của đa thức ƒ@) trởn Ƒ; đều băng 1 Do đụ, số cõc số hang cua f(x) co hờ số băng I phải lỏ số
lẻ ( nếu lỏ số chẵn thớ ƒ() =0)
b) Nếu ƒ/(x)=x thớ hiển nhiởn định ly đỷng Cả sử ƒ(x) khừng cụ dạng x Khi đụ,
ta cụ thể viết /ƒ(x)=(x"+x”+L +x”)+l, trong đụ m>l,âeln Giả sử,
2|_m,,Viel,n, suy Ta m, =2k,, với k, eZ.,Vi e1,n Khi đụ,
ƒ() =(x”*+x”5 +L +x””)+1 =(x” +x” +L +x”} +
=(x“ +x” +L +x” +U(x“ +x” +L +x” —1)
Do đụ, /(zx) khả quy (móu thuẫn) Vớ vậy, tồn tại âel,ự sao cho 2] m a
Định ly 3.3.5 Cho z= ự”, với p lỏ một số nguyởn tố Khi đụ, tam thức x”—x-,
be, bất khả quy trởn #„ khi vỏ chỉ khi 7z, „ (b) #0
Ching minh Goi ì lỏ một nghiệm của x”-x—ð trong trường phón rọ của
Trang 32That vay, vi 0 la mờt nghiđờm cua x?-x-b nởn ì”—-ì—-b=0 suy ra 6? =O+)
Vậy dang thirc ding khi j=1 Gia sir ding thirc ding voi i=k>1
Ta chimg minh dang thirc ding vời i=k +1 Ta co: 9?” =(0?')? =(0+b+b?+L +bP`)P =6" +b? +b" +L +b” =O+b+b’ +b" +L +b” Suy ra đẳng thức đỷng với â =k+1 Vậy đẳng thức ding voi moi i=1,2,K Khi đụ, ì' =ì'” =ì+b+b'" +L +b'” =0+Tr, |, (b) (2)
Vớ vậy, Tip ip, (b)=0 khi vỏ chỉ khi ì“=ì kờo theo ìc”„, tức lỏ mỗi nghiệm của
x" =x—b đều nằm trong #„ Do đụ, Tr, „ ()=0 khi vỏ chỉ khi x” =x— lỏ tợch của
cõc đa thức bậc nhất trong F(x]
Gia sit Tr, „ (b) z0 Đặt z = Tr„ „ (0), khi đụ z e F7
Ta sẽ chứng minh đắng thức 67 =@+ir, i=1,2,K ,p—1;0" =0 dang bang quy nạp Thật vậy, theo (2), đ“ =ì+ Tr„ „,(b)= ì+r Vậy đăng thức đỷng khi Ò =1
Giả sử đẳng thức đỷng khi â =k >1 Ta chứng minh đẳng thức đỷng với â = k +1 Thật vậy 1” =(ì*3'=(0+kz)! = + k7 =0+r+kr = ì+(k+lỉ: Suy ra đẳng thức đỷng với â=&+1 Vậy đẳng thức đỷng với mọi â=1,2,K Hơn nữa, do ựr=0 nởn ta cụ ì” =ì+ủr,â=1,2,K,p—lI;ìẺ =0
Do đụ, ì cụ tất cả p phần tử liởn hợp phón biệt trởn F„ Theo Định lý 3.1.6, ta suy ra
đa thức tối tiểu của ì trởn z„ cụ bậc lỏ p, chợnh lỏ đa thức x”-x-ữ Vớ vậy,
Trang 334 Phần tợch đa thức trởn trường hữu hạn
Bo dờ 3.4.1 Cho g(x) lỏ một đa thức trong Z#[x] vỏ s,,s, lỏ 2 phần tử khõc nhau
của # Khi đụ, gcd(g(x)—s,,8(x)—s;,) =1
Chứng minh Tacụ -(s,—s,)'(g()—s,)+(s,—s,)'{(g()—s,) =1
Do đụ gcd(g(x)—s,,ự(x)—s,) =1 —
Bồ đề 3.4.2 Cho ƒ(x) lỏ một đa thức cụ hệ tử của bậc cao nhất lỏ 1 trong Ƒ[x] vỏ
ự(z) lỏ một đa thức trong [x] Khi đụ, g(x) thỏa mọn g(x)’ = g(x)\(mod f(x)) nếu
vỏ chỉ nờu f(x)| [] (g(Ậ)-s) nờu va chỉ nếu ƒ(x)|] [ ged((x),ự()~5) 4 4 Chứng minh Ta cụ X”- X =] [(X-—s), với Y thuộc # [x|/((2) seF, Khi dờ, ta thay X bởi zŒœ)=z()+((Œœ))eF,[x]/Œ(@)) vỏo cừng thức xZ“-X=]]Œ-s) ta được [g(Œ)+(())ƒ =[s(z)+(ƒŒ))]= ] [I@(Œ)+(ŒŒ))~—s1 Vi [g(x) +(F@)) = g(x)? + F())? = 8x)’ (mod f(x) va g(x) +(f(x)) = g(x) (mod f(x)) nờn ta 6 g(x)’ — g(x) =] [ (g(x) —5) (mod f(x)
Do đụ g(x) thoa man diờu kiờn g(x)’=e2(x) (mod f(x)) nếu vỏ chỉ nếu
[ [(e@-s)=0 (mod f(x), nghia la f@)|[](e@)-s)
4 4
Hơn nữa, /(x)|] [((Œ)—s) nếu va chỉ nếu ƒ(z) |] | ged(/(z),ự(Œœ)—3) a Định li 3.4.3 Cho f(x) a da thitc cụ hệ tử của bậc cao nhất lỏ 1 của Ƒ'[x] vỏ g(x) la
đa thức của F [x] SaO cho g(x)? = g(x)(mod f(x)) thi
F(x) =| [gcd(#(), 2) -5)
Trang 34Ching minh Ta dờ thay rang ged( f(x), g(x)-s)| f(x)Vs e Ƒ„ Theo Bồ đề 3.4 ta cờ ged(g(x)—s,,2(x)—5,)=1, voi s,,s,€F, va 5, #5, Vi gced(ged( f(x), (x) —s,), gcd( f(x), g(x) —s,)) =1 nờn [| ged( (x), g(x) -s)| f(@) s eF, Mặt khõc, theo Bồ đề 3.4.1 vỏ Bồ đề 3.4.2 ta cụ /(x)| | [ ged((),ự(x)—5) seF, Từ đụ ta suy ra f(x) =| | gcd( f(x), g(x) -5) a ef, Dinh li 3.4.4 Cho f(x) đ F,[x], trong do q la lity thita cia s6 nguyờn tố p vỏ f(x)=0 thi: f(x) =h(x)’ voi h(x) e F [x]
Ching minh Lay f(x) =a, +a,x+4,x? + 44,x” VOi d),4,,4,5 44, € F va a, #0 Khi đụ f'(x)=a,+2a,x+ +na,x"" Vi f'(x)=0 nờn a, =2a, = =na,=0 suy ra
a,=0,Vi=l,n Tie la pla,,Vi=1,n Khi dờ ta cờ thờ viết lại cõc hệ tử a, đụ như sau: a, =a,p 7 VỚI a, c#.,Vi =Ln a,=4,P Vớ thế ta cụ thở viết ƒ(x) dưới dạng sau: ƒ(x)= a +ax” + +a,x”, o:F OF ỏ , Xờt “.” lỏ một đừng cóu ba bP
Thật vậy: ơ(a+b)=(a+b)` =a"+b? =ơ(a)+ơ(b) ơ(ab) =(ab)” =a?b" =ơ(a)ơ(b)
Khi dờ trong F, c6 a, =b?,Vi=0,n
ƒ(x)= bị +bƑx? + 4b?x” Suy ra =bỵ +(bx)” + +(b,x")
Trang 35Dat h(x) =b, +bx+ +5,x" Khi do, h(x) € F, [x] va f(x) =h(x)’ | Dinh li 3.4.5 Cho /(z) lỏ lũy thừa của một đa thức bất khả quy trởn F, Vỏ giả sử rang f(x) #0
i) Nờu gcd(f(x), f'(x)) =1 thi f(x) lỏ đa thức bất khả quy
ii) Nờu_ ged(f(x), f(x) #1 thớ (8) = ay lỏ đa thức bat kha quy Khi đụ, f(x) = p(x)" voi m= SLO) deg p(x) Ching minh Lay f(x) = p(x)” voi p(z) lỏ một đa thức bất khả quy trong F [x] Kh đụ f'(x)=mp(x)"" p(x) vi f'(x)#0, ged( f(x), f'(Ẽ) = p(x)" Neu
gcd( f(x), f'(x)) =1 thi m=1 Do do f(x)= p(x) lỏ một đa thức bất khả quy Nếu
Trang 36Chuong IV BAI TAP
Bai 1 Chtmg minh rang tong của tất cả cõc phần tử của trường hữu hạn bằng 0
ngoại trừ trường #;
Giải
Giả sử Ƒ lỏ trường hữu hạn vỏ #' z Ƒ; Khi đụ mọi phần tử thuộc F, dờu lỏ nghiệm
của phương trớnh x” —x =0 Vớ #, # # nởn theo Viet ta cụ 3 a=0, a
Bai 2 Chimg minh rang 3 va 5 lỏ phần tử nguyởn thủy của F, nhung 2 khờng phai
Tim x,y € {1,2,3,4,5,6} sao cho 2 =3* = 5’ trong F,
Giải
Ta cụ |F;|=6 =2.3 Xờt đa thức x” —1, dễ thấy ự, =2 khừng lỏ nghiệm của x° —l
Đặt b =2” Xờt đa thức x”—1,fa cụ a, =3 khừng lỏ nghiệm của đa thức x”—1
Đặt ữ, =3” vỏ đặt b=,b, =2”.3” =3, khi đụ |ð| =2.3=6=|F,| suy ra b=3 la phan tử sinh của F7 Vậy b=3 lỏ phần tử nguyởn thủy của F,
Ta cụ số phón tử nguyởn thuỷ của Ƒ; lỏ ự(6)= 2
3“ lỏ phần tử nguyởn thủy trong #„ khi vỏ chỉ gcd(k,6)=1, suy ra k=5( lấy k#1).Mỏ 3” =5 nởn 5 lỏ phần tử nguyởn thủy của F, Do 243 va 245 nờn2 khừng lỏ phần tử nguyởn thủy của Ƒ„
Trang 373'=3 5# =5 3?=2 “=4 3'=6 — # =6 Va 34 =4 5*=2 37 =5 5° =3 3° =1 5° =]
Suy ra 2= 3” =5” Vậy ta tớm được x=2 vỏ y=4 a Bai 3 Tim cap cua 3 trong F,
Giai
Ta cụ |F;|=12 = 2ˆ.3
Xờt đa thức x” —1, thấy a, =2 khừng lỏ nghiệm của x” —1 Đặt ð, = 2? =8
Xờt đa thức x“—1, thấy ự, =3 khừng lỏ nghiệm của đa thức x°—1 Đặt ữ, =3 =3
Đặt b = b,b, =8.3 =11 suy ra |b| = 2”.3, nởn 11 lỏ phần tir sinh cua Fy Vớ 3c suy ra 3=11” với ựeZ., do đụ B|=|LU mm Do 3=11” ta suy ra =4 Vậy 5l=——”—=3 a gcd (4,12) Bỏi 4 (Dinh ly Wilson) Chimg minh rang (p —1)!=—1mod(p)nờu va chi nờu p 1a một số nguyởn t6 Giải
(C)Do p lỏ một số nguyởn tố nởn Z lỏ nhụm xyclic cấp p—l suy ra a’ =1,VaeZ> hay đa thức x”'-lcụ p-—Inghiờm trong Z> Do đụ x?" —1=(x-1)(x-2) (x- p +1), thay x=0 ta được -1=(p-1)!
Trang 38(=) Giả sử (p—1)!=—1mod(p) Ta cần chứng minh p lỏ số nguyởn t6 That vậy,
nếu p lỏ hợp số khi đụ tồn tại a,bđ{2,3, ,p—l}sao cho p=ab tic la ab =0mod(p) Do đụ (p—1)!= 1.2.3 (p —1) =0mod(p) (õi giả thiết) Vậy p lỏ số nguyởn tụ | Bỏi 5 Chứng minh rang nờu nhụm nhón Ƒ” của trường F 1a xyclic thi F hitu han Giải
Giả sit F” =(a), xờt -l=a* eF
Trường hợp CharF #2, nếu k=0suy ra -l=ự° =1 (vừ lý) Do đụ #0, vớ
a” =—1 nởn a”“ =1 suy ra |a|< kờo theo #” hữu hạn do đụ #' hữu hạn
Trường hợp CharF =2, nếu a=1 thớ F=#,nởn Ƒ hữu hạn Nếu a#1, ta xờt I-a=a* eƑ kờo theo l=a' +a Nờu k=0 thi a=0 (v6 ly) nờn #0, suy ra a(a‘" +1) =1 kờo theo a*'+1+0 Khi dờ ton tai meZ* sao cho a*'+1=a"suy
ra a””' =1 do đụ la| <œ nởn Ƒ” hữu hạn Vậy # hữu hạn | Bỏi 6 Cho q lỏ lũy thừa của một số nguyởn tố vỏ r lỏ một ước nguyởn từ của g—1 Cho ae EF vỏ ord(2) = w >1 trong Ƒ` Khi đụ, r|(q—/m nếu vỏ chỉ nếu ze FT,
Giải
() Vớ r|(g— D/im nởn ạ—1= mt, t eNẹ Mặt khõc, do r| g—1 nởn gcd(,gT— 1) =r
Theo Định lý 2.2.8, F =F’ UEF” UP F" UL Uờ"'F’”, trong d6 ờ 1a phan tử
nguyởn thủy của 7; vỏ Ò'*”I êJƑ” =ì,Vi# j,0 <â,j <Sr—1 Ta giả sử a# F”,
suy ra ae", với 1<â,<r-—l1 Khi đụ, a=Ò°*b',beF` suy ra =4" =Ò*"b”,
kờo theo 1=(€°"b"")' = EH" = E™ Vay E™ =1 suy ra q—l|mii (vừ lý vớ
Trang 39(C) Ta cụ LF =(q-l)/r Neu aeF” thi aẼ” =1 va do ord(a)=m nờn
m|(q—-1)/r, kờo theo r|(qg—1)/m |
Bỏi 7 Cho & lỏ số nguyởn dương Chứng minh rằng ae # lỏ lũy thừa bac k cia q-l
m6t so phan tir thudc F, nờu va chinờu a4 =1 vời d=ged(g—-1,k) Ti dờ ching minh rằng —1c F7” nếu vỏ chi nờu q =1mod(4) voi 4 lẻ
Giải
qt
(—) Giả sử a = b“ Ta chứng minh a4 =1vời d=ged(q-Lk)
Thật vậy, do Z=gcd(g-l,k) nởn ton tai neZ sao cho nd=k Khi đụ — 1 q- q-l ql q-l ql a? =(b*) =(b)"" =1 Vay a 4 =1 _— qt Ộ (CẪ) Giả sử ae vỏ a“ =1 Ta chứng minh từn tại ữe FƑ sao cho a = b” Thật at at ql
vay,do a? =1 nờna? —1=0 Vaya langhiờm cua da thc x 7 -1=0
Xờt F ={ct:ceF'} Theo Dinh li 2.2.7, suy ra |F"| = q-| a@! pn, 4 4 ft! ged(q-Lk) d , Kk A 4 LA tk ay q—] đụ sừ phón tử bậc k trong #_ lỏ sa” gt —] —] : Vớ đa thức x “ —1 co bac — nởn cụ từi đa — nghiệm vỏ nhận tat ca cac phan q-l 2 2 * ˆ r — v a — 1 TA ` A 7 7y 7A v x tử của F’ * Vay da thie x 7 -1 c6 ding — nghiệm vỏ tót cả cõc nghiệm đụ đởu thuộc F““ gt * ` *
Vay a? =1 thi ae F", suyra ton tai be F sao cho a=)"
Trang 40q-l q-l eR? op =IẪ(-)? =1Ẫ4|-D) <> q—-1=0mod(4) = g =1mod(4) Bai 8 Chimg minh rang Vm €Z* tacờ: b (q-1)|m ya - 0, (4-1 m aeF, Giải Nếu (4—1)|im suy ra tồn tại ? Z, sao cho 7m =f(4—]) Khi đụ: ue =O" +1" +ayt+ +a™, =0+1+a“?+ + a9 =0+l+l+ +l =q-l=-l
Giả sử F; =(ự) khi đụ F’ ={1,a,0”, a77} Nếu (g—1)Ÿm suy ra a” 41
Khi đụ Sa” = Sa” =l+d”+2””+ + a2 * acF, ack, Ta cụ (I+z7+a?+ +a9 9P l(I<ự”)=1=ự?* =0 mỏ ựœ”zl nởn San ack, Vay Í a”= q 3 (q-1)|m = 0, (4 —1)m
Bỏi 9 Cho q lỏ lũy thừa của một số nguyởn tố p Nờu a,be F’,a=a3", VOi a,eF,