Một số tính chất giải tích của hàm nhận giá trị số mờ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA HÀM NHẬN GIÁ TRỊ SỐ MỜ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI, 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA HÀM NHẬN GIÁ TRỊ SỐ MỜ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Sư Phạm Toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS.NGUYỄN THỊ KIM SƠN HÀ NỘI, 2023 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiêp "Một số tính chất giải tích hàm nhận giá trị số mờ ứng dụng " thực Khoa Sư Phạm, trường Đại học Thủ đô Hà Nội, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Kim Sơn Qua khóa luận này, tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Kim Sơn, người định hướng dẫn sát cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Sự chun nghiệp, nghiêm túc nghiên cứu định hướng đắn tiền đề quan trọng giúp tơi có kết trình bày khóa luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn trường Đại học Thủ Đô Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cám ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU KHÔNG GIAN METRIC CÁC SỐ MỜ 1.1 Tập mờ, số mờ 1.1.1 Tập mờ 1.1.2 Các đặc trưng tập mờ 13 1.1.3 Nguyên tắc suy rộng Zadeh 14 1.1.4 Một số tập mờ dạng đặc biệt 16 1.1.5 Các phép toán tập mờ 21 1.1.6 Số mờ 36 1.2 Metric, không gian metric số mờ 40 1.2.1 Metric Hausdorff 40 1.2.2 Không gian (E n , d) 44 1.3 Kết luận chương 47 PHÉP TOÁN GIẢI TÍCH CHO CÁC HÀM NHẬN GIÁ TRỊ MỜ 48 2.1 Giới hạn tính liên tục 48 2.1.1 Giới hạn 48 2.1.2 Tính liên tục 49 2.2 Tích phân mờ 49 2.2.1 Một số khái niệm phép tính tích phân mờ 49 2.2.2 Một số tính chất 52 2.3 Một số đạo hàm mờ 58 2.3.1 Đạo hàm Hukuhara 58 2.3.2 Đạo hàm Seikkala 59 2.3.3 Đạo hàm Hukuhara tổng quát 61 2.4 Kết luận chương 64 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ 65 3.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân mờ 65 3.2 Tính giải tốn Cauchy cho phương trình vi phân mờ 67 3.2.1 Sự tồn nghiệm 67 3.2.2 Sự tồn nghiệm 68 3.3 Kết luận chương 71 Kết luận kiến nghị 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 KÍ HIỆU [t]r : Tập mức r số mờ t t(r): Đầu mút [t]r t(r): Đầu mút [t]r En : Không gian số mờ dH : Khoảng cách Hausdorff không gian Rn dH ∗ : Nửa khoảng cách Hausdorff không gian Rn KCC (Rn ) : Tập hợp tập khác rỗng, lồi, compact không gian Rn KC : Tập hợp đoạn đóng R KCn : Tích Descartes n - tập hợp KC MỞ ĐẦU Tổng quan đề tài nghiên cứu Vào năm 1965, giáo sư Lotfi Askar Zadeh, Đại học California - Beckeley người sáng lập lý thuyết tập mờ với hàng loạt báo mở đường cho phát triển ứng dụng lý thuyết này, đưa báo "Fuzzy Sets" Tạp chí Infomation and Control Cho đến nay, lý thuyết mờ ngày trở nên hoàn thiện qua nhiều cơng trình nghiên cứu tác giả nhà nghiên cứu khác khắp giới Ngày có nhiều ứng dụng lý thuyết mờ vào kỹ thuật phục vụ đời sống người Có thể liệt kê sơ thiết bị kỹ thuật xử lý công nghệ mờ, như: nồi cơm điện, bình đun nước sơi, máy giặt, máy dịch ngôn ngữ tự động, xe tự hành, máy bay khơng người lái, điện thoại di động, máy tính bảng, internet TV, người máy hay Rô-bốt công cụ thay người công nghiệp, môi trường nguy hiểm Các thiết bị ứng dụng thiết kế dựa điều khiển mờ với đầu vào tập hợp mờ không rõ ràng, mơ hồ, đầu hàm nhận giá trị số mờ Việc nghiên cứu khái niệm tính chất giải tích hàm nhận giá trị số mờ trở nên đặc biệt cần thiết, để nghiên cứu hệ động lực thiết lập nên cho hàm số Chính lý trên, định lựa chọn đề tài nghiên cứu "Một số tính chất giải tích hàm nhận giá trị mờ ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận tơi nghiên cứu tìm hiểu phép tốn giải tích cho hàm nhận giá trị mờ gồm khái niệm giới hạn tính liên tục, tích phân mờ loại đạo hàm sau đưa ví dụ minh họa cụ thể Ứng dụng giải tích mờ tốn Cauchy cho phương trình vi phân mờ tồn nghiệm phương trình vi phân mờ Đối tượng phạm vi nghiên cứu ˆ Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết tập mờ, phép toán giải tích cho hàm nhận giá trị mờ, ứng dụng giải tích mờ xét tồn nghiệm phương trình vi phân mờ ˆ Phạm vi nghiên cứu: Các phép tính giải tích hàm nhận giá trị mờ, phương trình vi phân mờ Phương pháp nghiên cứu ˆ Sử dụng phép tốn tính chất giải tích thực, giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động ˆ Sử dụng lý thuyết giải tích mờ Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp tơi trình bày chương là: CHƯƠNG I KHƠNG GIAN METRIC CÁC SỐ MỜ Trong chương này, tơi trình bày số khái niệm tập mờ, số mờ số không gian metric số mờ nhiều ví dụ minh họa CHƯƠNG II PHÉP TỐN GIẢI TÍCH CHO CÁC HÀM NHẬN GIÁ TRỊ MỜ Trong chương này, tơi trình bày số phép tốn giải tích cho hàm nhận giá trị mờ Cụ thể khái niệm giới hạn tính liên tục, tích phân mờ loại đạo hàm mờ Trong phần tơi đưa ví dụ cụ thể minh họa cho khái niệm đưa CHƯƠNG III TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ Ở chương này, tơi trình bày toán điều kiện ban đầu FIVP cho phương trình vi phân mờ Trong thực tiễn nhiều tốn có điều kiện ban đầu nhận giá trị mờ x0 ∈ E n Chương bàn tới lớp toán điều kiện ban đầu giá trị mờ đưa điều kiện đủ để toán Cauchy có nghiệm Hà Nội, tháng năm 2023 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Phương Chương KHƠNG GIAN METRIC CÁC SỐ MỜ Trong chương này, tơi trình bày số khái niệm tập mờ, số mờ số không gian metric số mờ nhiều ví dụ minh họa 1.1 Tập mờ, số mờ 1.1.1 Tập mờ L.A.Zadeh người sáng lập tập mờ vào năm 1965 Zadeh định nghĩa khái niệm tập mờ dựa ý tưởng từ khái niệm trừu tượng ngữ nghĩa thông tin mờ, không chắn trẻ, nhanh, caothấp , ông tìm cách biểu diễn khái niệm khái niệm toán học, gọi tập mờ Tập hợp mờ mở rộng tập hợp cổ điển để giúp biểu diễn thứ không chắn, khơng xác Trong tập hợp cổ điển đánh giá cách rõ ràng: phần tử t chắn thuộc tập B chắn không thuộc tập B Vậy để xem phần tử t có thuộc B hay khơng ta gán cho phần tử giá trị giá trị 0, giá trị phần tử chắn thuộc B cịn phần tử chắn khơng thuộc B Hàm thuộc µB xác định tập cổ điển B tập vũ trụ M , với µB nhận giá trị tập {0, 1} Còn lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá nhiều mức độ khác phần tử khả thuộc tập hợp Ta dùng hàm thuộc để xác định mức độ mà phần tử t thuộc tập B Ví dụ 1.1.1 Xét vũ trụ tham chiếu thành viên gia đình, gọi B tập người có mức thu nhập từ 10 triệu đến 15 triệu, B gọi "tập rõ" (tập cổ điển) gồm tất người có mức thu nhập P mà 10000000 ≤ P ≤ 15000000 Vậy ví dụ với thành viên có mức thu nhập 9000000 hay 15100000 đồng không thuộc vào tập B Nếu coi mức thu nhập từ 10 triệu trở lên mức "thu nhập ổn định" thành viên kiếm hay nhiều từ vài chục đến vài trăm đồng xem thuộc tập hợp "những thành viên có thu nhập ổn định" Tập B gọi tập hợp cổ điển, tập D "những thành viên có thu nhập ổn định" tập mờ Chẳng hạn thành viên có mức thu nhập 11 230 000 đồng có độ thuộc vào tập hợp D (là người có thu nhập ổn định), với thành viên có mức thu nhập 000 000 coi phần tử tập hợp với độ thuộc thấp Nhưng với người có mức thu nhập 000 000 đồng chắn khơng thể thuộc tập D (mức độ phần tử D 0) Từ ta có định nghĩa tập mờ sau: Định nghĩa 1.1.1 Cho tập vũ trụ M Tập hợp B xác định đẳng thức : B = {µB (t)/t : t ∈ M, µB (t) ∈ [0, 1]} gọi tập hợp mờ M Trong đó: Biến t lấy giá trị M gọi miền sở tập M gọi tập tham chiếu hay miền sở Hàm µB : M → [0, 1] gọi hàm thuộc (membership function) (hàm thuộc µB ký hiệu B(.)) Hàm µB (t) t gọi độ thuộc phần tử t thuộc tập hợp mờ B Họ tất tập mờ miền sở M ký hiệu F (M ) F (M ) = {µB : M → [0, 1]} = [0, 1]M Chúng ta biểu diễn hình thức tập mờ nhiều cách khác Với M tập hữu hạn, đếm hay vô hạn liên tục, tập mờ B biểu diễn hình thức sau: ˆ Với M hữu hạn M = {ti : ≤ i ≤ n} ta viết: B = µB (t1 )/(t1 ) + µB (t2 )/t2 + + µB (tn )/tn hay B = X µB (ti )/ti , 1≤i≤n gọi tập mờ rời rạc ˆ Với M vô hạn đếm được, M = {ti : i = 1, 2, 3, } ta viết: X B= µB (ti )/ti 1≤i≤∞ ˆ Với M vô hạn liên tục, M = [c, d] ta viết: Z B= d µB (t)/t c Ví dụ 1.1.2 Xét tập M gồm người y1 , y2 , , y5 tương ứng có tuổi 5, 10, 30, 35, 60 H tập hợp người "Trẻ" Khi ta xây dựng hàm thuộc sau: µH (5) = 0.90, µH (10) = 0.80, µH (30) = 0.55, µH (35) = 0.45, µH (60) = 0.10 Vậy tập mờ H = ⟨exam113⟩ 0.90 y1 + 0.80 y2 + 0.55 y3 + 0.45 y4 + 0.10 y5 Ví dụ 1.1.3 Xét tập M gồm phòng hát ký hiệu t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 , t7 t8 phịng có số lượng ghế ngồi đặc biệt tương ứng 1, 2, 3, 4, , ghế Gọi C tập hợp gồm phòng "cao cấp", D tập hợp gồm phịng "trung bình" Hàm thuộc cho tập mờ C D sau: µC : µC (t3 ) = 0.3; µC (t4 ) = 0.4; µC (t5 ) = 0.6; µC (t6 ) = 0.8; µ(t7 ) = 10 0.9; µC (t8 ) = 1.0 µD : µD (t3 ) = 0.6; µD (t4 ) = 0.9; µD (t5 ) = 0.8; µD (t6 ) = 0.4 phần tử khác, giá trị hàm thuộc Như biểu diễn tập mờ sau: C = {0.3/t3 ; 0.4/t4 ; 0.6/t5 ; 0.8/t6 ; 0.9/t7 ; 1.0/t8 }, D = {0.6/t3 ; 0.9/t4 ; 0.8/t5 ; 0.4/t6 } Nếu gọi E tập phịng hát có số ghế đặc biêt khơng q rõ ràng E = {t1 , t2 , t3 , t4 } tập hợp cổ điển (tập rõ) M Tuy nhiên coi E tập mờ M với hàm thuộc µE sau: µE (t1 ) = 1.0; µE (t2 ) = 1.0; µE (t3 ) = 1.0; µE (t4 ) = 1.0, µE (t5 ) = µE (t6 ) = µE (t7 ) = µE (t8 ) = Biểu diễn E dạng tập mờ M : E = {1.0/t1 ; 1.0/t2 ; 1.0/t3 ; 1.0/t4 } ⟨exam114⟩ Ví dụ 1.1.4 Các tập mờ sử dụng để biểu diễn nhận thức chủ quan dạng toán học Gọi T = [40, 100] khoảng nhiệt độ phòng Các tập hợp mờ K1 , K2 , K5 sử dụng để mơ hình hóa nhận thức: lạnh, mát, vừa, ấm nóng Lạnh: K1 (t) =      40 ≤ t ≤ 50,   0 60 ≤ t ≤ 100 60−t  10 50 < t < 60, Mát mẻ K2 (t) =          t−50 40 ≤ t ≤ 50, 50 < t < 60, 10  70−t   10     0 60 ≤ t < 70, 70 ≤ t ≤ 100 11 Nóng K5 (t) =      40 ≤ t ≤ 80,   1 90 ≤ t ≤ 100 t−80  10 80 < t < 90, tập biểu diễn hình 1.1 Hình 1.1: Bộ mờ lạnh, mát, vừa, ấm nóng dùng điều khiển nhiệt độ phòng Định nghĩa 1.1.2 Tập mờ B có dạng hình thang xác định giá 12 trị (m, n, z, t) ký hiệu B = (m, n, z, t)         x−m     n−m µB (x) =     t−x   t−z     0 xác định: x ≤ m, m < x < n, n ≤ x ≤ m, z < x < t, x ≥ t 1.1.2 Các đặc trưng tập mờ Tập mờ B M có đặc trưng cụ thể thơng tin mô tả vài phần tử liên quan đến tập B Điều giúp rõ khác biệt tập mờ B so với tập cổ điển khác M Định nghĩa 1.1.3 Tập mờ B có giá đỡ tập phần tử có giá trị hàm thuộc lớn tập mờ B , kí hiệu: supp(B) = {t|t ∈ M |µB (t) > 0} Định nghĩa 1.1.4 Hàm thuộc có giá trị lớn có dạng tập mờ B ký hiệu xác định sau: k(B) = sup{µB (t), t ∈ M } Chú ý M tập rời rạc k(B) = max{µB (t), t ∈ M } Tập B gọi chuẩn hóa chiều cao k(B) = Định nghĩa 1.1.5 Tập mờ B có hạt nhân (Kernel) tập phần tử có giá trị hàm thuộc Ký hiệu: ker(B) = {t|t ∈ M |µB (t) = 1} Như vậy, tập mờ B có nhân khác rỗng B tập mờ chuẩn hóa 13 Định nghĩa 1.1.6 Lực lượng tập mờ B ký hiệu xác định sau: |B| = X µB (t) t∈M Nếu B tập rõ µB (t) = ∀t ∈ B , tổng số phần tử B , lực lượng tập hợp cổ điển có định nghĩa Định nghĩa 1.1.7 β - nhát cắt tập mờ B (hay tập mức β B ) tập phần tử có giá trị hàm thuộc lớn β ,với β ∈ [0, 1] Được ký hiệu định nghĩa sau: Bβ = {t|t ∈ M |µB (t) ≥ β} Chú ý: β -nhát cắt tập mờ B tập "rõ", phần tử Bβ hồn tồn xác định Ví dụ 1.1.5 Xét tập mờ C ví dụ 1.1.3 C = {0.3/t3 ; 0.4/t4 ; 0.6/t5 ; 0.8/t6 ; 0.9/t7 ; 1.0/t8 } Giá đỡ, hạt nhân, chiều cao, tập mức β tập mờ C xác định sau: supp(C) = {t3 , t4 , t5 , t6 , t7 , t8 } ker(C) = t8 k(C) = 1.0 Do k(C) = nên C tập mờ chuẩn hóa Nhát cắt mức β = 0.4 tập mờ C : B0.4 = {t4 , t5 , t6 , t7 , t8 } Nhát cắt mức β = 0.8 tập mờ C : B0.8 = {t6 , t7 , t8 } 1.1.3 Nguyên tắc suy rộng Zadeh Thường xuyên, phải thực hoạt động với tham số không chắn Trong trường hợp này, phải xác định đối mờ phép toán cổ điển số thực T 14 Chúng ta bắt đầu thảo luận số học mờ với nguyên lý mở rộng Zadeh Nó phục vụ cho việc mở rộng hàm giá trị thực thành hàm mờ tương ứng ⟨DN118⟩ Định nghĩa 1.1.8 Cho ánh xạ g : P → Q, P Q tập xác định, mở rộng thành ánh xạ F : 𭟋(P ) → 𭟋(Q) (một hàm mờ) cho x = F (y) với:  sup{y(z) : z ∈ P, g(z) = t} x(t) = 0 g −1 (t) ̸= ∅, g −1 (t) = ∅ Ta gọi F ánh xạ mở rộng Zadeh g Ví dụ 1.1.6 Cho hàm g : F (R) → F (R) xác định bởi: g(t) = mt + n, m, n ∈ R, m ̸= Theo định nghĩa 1.1.8 ta mở rộng hàm g thành hàm F : F (R) → F (R) với y ∈ F (R), x = F (y) = my + n đó:  sup{y(z) : z ∈ P, g(z) = y g −1 (t) ̸= ∅, x(t) = 0 g −1 (t) = ∅ Vì g −1 (t) = t−n m nên ta có: x(t) = y( ⟨DL111⟩ t−n )∀t ∈ R m Định lí 1.1.1 Giả sử t tập mờ R F : F (R) → F (R) mở rộng Zadeh hàm liên tục g : R → R Khi đó, ∀β ∈ [0, 1], ta có: [F (t)]β = g([t]β ) Ví dụ 1.1.7 Cho tập mờ t : R → [0, 1] xác định bởi:  4.(x − x2 ) x ∈ [0, 1], t(x) = 0 x∈ / [0, 1] 15 Dễ thấy  p p 1 [t]β = (1 − − β), (1 + − β) , ∀β ∈ [0, 1] 2  Xét hàm h(x) = x2 với x ≥ Vì h tăng nên ta có:      p p 1 h([t]β ) = h (1 − − β) , h (1 + − β) 2   p p 1 = (1 − − β)2 , (1 + − β)2 4 Do đó, theo định lý 1.1.1, hàm F : F ([0, ∞)) → F ([0, ∞)), mở rộng Zadeh h, có tập mức β là:   p p 1 [F (t)]β = (1 − − β)2 , (1 + − β)2 4 1.1.4 Một số tập mờ dạng đặc biệt Với tập mờ có hình dạng kiểu hàm thuộc khác Một số là: hình tam giác, hình L, hình Gamma tuyến tính, hình Gaussian hình Sigmoidal Các tập mờ xác định với cận dưới, cận giá trị cận cận a Tập mờ tam giác [3] [9] Tập mờ tam giác có hàm thuộc với tham số cận u, cận v giá trị p (ứng với đỉnh tam giác), với u < p < v , hàm thuộc tam giác, gọi đối xứng giá trị v − p = p − u, hay p =    m ≤ u m ≥ v,       m−u , u < m < p, p−u µC (m) =  v−m  p < m < v,  v−p     h m = p, h ≤ u+v Đồ thị không đối xứng đối xứng hàm thuộc tam giác có dạng sau biểu diễn hình 1.2: 16 Hình 1.2: Các tập mờ tam giác Ví dụ 1.1.8 Sử dụng ví dụ 1.1.4          t−50 10 K2 (t) =  70−t   10     0 40 ≤ t ≤ 50, 50 < t < 60, 60 ≤ t < 70, 70 ≤ t ≤ 100 Hàm thuộc K2 (t)(trong hình 1.1) có dạng hàm thuộc tam giác, với u = 50, v = 70 b Tập mờ hình thang [3] [9] Hàm thuộc tập mờ xác định hàm thuộc hình thang với giá trị t, u, v, w theo công thức sau:    m ≤ t m ≥ w       m−t t < m < u u−t µC (m) =  w−m  v < m < w  w−v     h u ≤ v, h ≤ Đồ thị hàm thuộc hình thang có dạng sau biểu diễn hình 1.3: 17 Hình 1.3: Tập mờ hình thang Ví dụ 1.1.9 Sử dụng ví dụ 1.1.25 Hàm thuộc ví dụ 1.1.25 có dạng hàm thuộc hình thang, với t = 0.1, u = 1.0, v = 1.5, w = 2.4 c Tập mờ L [3] [9] Tập mờ L có hàm thuộc xác định sau:   h m ≤ u, h ≤ 1,    µC (m) = v−m u < m < v, v−u    0 m ≥ v Đồ thị hàm thuộc L có dạng sau biểu diễn hình 1.4: Ví dụ 1.1.10 Sử dụng ví dụ 1.1.22 Hàm thuộc ví dụ 1.1.22 có dạng hàm thuộc L, với u = 200, v = 500 18