Skkn một số bài toán phương trình hàm , phương trình hàm đa thức

Dạng đặc biệt của phương trình hàm đa thức:I.. Kiến thức cần nhớ: Phương trình dạng PfPg = Ph.Bài toán tổng quát: Giả sử fx, gx và hx là các đa thức thuộc R[x] đã cho thoả mãnđiều kiện:

GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC Phương pháp 1: Hệ số bất định: Dựa vào ĐK suy dạng hàm đa thức Thay vào phương trình đồng hệ số Bài 1(Nam Tư – 1982) : Tìm tất thỏa mãn : Giải Giả sử có : Với x = ta f(0) = a0 (1) Thay vào (1) ta : Thay f(x) vào (1) so sánh hệ số x2n ta : Do Với n = P(x) = P(x) = 16 Với n = P(x) = 4x P(x) = 4x + 16 Với n = Thế vào (1) => P(x) = x2 Vậy hàm cần tìm : P(x) = 0; P(x) = 16; P(x) = 4x; P(x) = x2 Bài 2( Bungari – 1976) : Tìm tất đa thức P(x) không đồng thỏa mãn : Giải Đặt Từ : Giả sử : Gọi k số nguyên dương bé cho Khi : (2) (3) Đồng hệ số y 2n-1 (2) (3) ta có : = 2a0 ak Mâu thuẫn : Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn GV: Đặng Ngọc Cường Do : a1 = a2 = … = an = Từ Vì Trường THPT Chun Lào Cai => a0 = => Nên : Thử lại thấy thỏa mãn Bài : Tìm đa thức f : thỏa mãn : f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy Giải Thay x = y = => f(0) = x = y => Nếu : giả sử : Do (*) (1) (*) => hệ vô nghiệm Suy n <  Nếu n = => vơ lí  Nếu n = 1=> f(x) = ax + b Khi : ax + ay +b = ax + b + ay + b + 2xy => b + 2xy = => không tồn Vậy n = Từ : ( b tùy ý) => f(x) = x2 + bx Thử lại thấy thỏa mãn Cách : Cho x = y = vào (1) f(0) = Do từ f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy Suy : Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Hay f’(x) = f’(x) = đặt f’(0) = a f(x) = x2 + ax Thử lại thấy thỏa mãn Bài : tìm bậc n có nghiệm thực thỏa mãn : Giải Giả sử : Khi f(0) = a0 từ giả thuyết nên  Nếu a0 = Thay vào (1) ta có : Nên g(0) = (vơ lí) => g(0) = trái với giả thuyết Vậy a0 = Khi giả sử x0 nghiệm nghiệm Và nên f(x) có vơ số nghiệm (vơ lí) Vậy khơng tồn thỏa mãn điều kiện đề Bài 5:Tìm hàm đa thức xác định R thỏa mãn : HD: Vì vế phải (1) biểu thức bậc 2.nên vế trái bậc hai theo x Vì biểu thức f bậc nên hàm f phải đa thức bậc hai Vậy Thay vào (1) ta được: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Nên: Vậy hàm thỏa đề là: Ta hàm f(x) tìm Giả sử hàm g(x) thỏa mãn: Khi cho Ta thay x= x0 ta : Thay x= 1- x0 ta có: (3) (4) Từ (3) (4) suy ra: Vậy hàm số vơ lí tìm Bài 6: Tìm hàm đa thức y = f(x) xác định R thỏa mãn: f(f(x)) = f(x) + x (1) Tìm hai hàm HD: (1) f(f(x)) - f(x) = x Nếu f(x) hàm khơng thỏa Nếu f(x) có bậc lớn khơng thỏa vế trái bậc lớn 2, vế phaỉ bậc Vậy f(x) có bậc hay Thay vào (1) ta được: Hay Vậy có hai hàm : Bài tập tương tự : Bài 7: Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn : Bài 8(VMO-2006) Tìm đa thức với hệ số thực thỏa mãn: Bài 9: Tìm hàm đa thức y = f(x) đơn điệu tăng xác định R thỏa mãn: f(f(x)) = + x (1) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai ĐS: Bài 10: Cho hàm đa thức xác định N thỏa: Tìm f(2005) ĐS: f(2005) = 2006 Bài 11:(MEHICO O-1997): Cho hàm đa thức xác định N thỏa: Tìm f(2009) Phương pháp 2: Sử dụng tính chất nghiệm Cơ sở: Nếu đa thức P(x) có nghiệm a P(x) = (x-a).Q(x) Nếu đa thức P(x) thỏa P(x) = P(x –b) P(x) hàm Bài 1(VMO- 2003): Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: HD: Cho x= -2 ta P(-2) = Cho x- ta P(2) = Cho x= ta P(0) = Cho x= ta P(-1) = Vậy Khi thay vào (1) ta được: hay Đặt ta có Khi R(x) = C số Nên Suy Thử lại thấy thỏa mãn Bài : Tìm tất đa thức thỏa mãn : Giải Đặt Suy : g đa thức Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Suy : Nếu x = f(3) = x = f(3) = Vậy Bài : cho k số nguyên dương Tìm tất đa thức P(x) : Ta thấy x = 2002 nghiệm bội bậc Đặt Thay vào (1) ta : Giải P(x) Suy : Q(x) =a số Từ : Khi x = 2001 P(2002) = Khi x = 2002 P(2002) = Bài 4: Tìm P(x) với hệ số thực thoã mãn đẳng thức: (1) Giải: (1) Chọn: x = -2 P(-2) = x = -1 P(-1) = x=0 P(0) = x=1 P(1) = Do Thay P(x) vào (1) ta được: , , Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Đặt: , Vậy: Thử lại thấy P(x) thỗ mãn điều kiện tốn Bài 5: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: HD: Cho x= P(1)= Cho x= -1 P(-1)= Cho x= -2 P(-1)= Vậy Thay vào (1) rút gọn ta được: Hay : Đặt ta có : Do R(x)= C số Dẫn đến Suy Thử lại thấy thỏa mãn Bài tập tương tự Bài 6: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: Bài 7: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: ĐS: Bài 8: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: ĐS: Bài 9(Vơ địch Matxcova): Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: Bài 10: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: Bài 11: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Phương pháp 3:Giải phương trình hàm đa thức theo tính chất điểm nguyên: Cơ sở: Nếu hai đa thức bậc n trùng n + điểm ngun đa thức trùng Bài : Tìm P(x) theo bậc n thỏa mãn : Giải Đặt u = x + ; v = x – P(u.v) = P(u).P(v) (2) Cho u = v =  Nếu P(0) = từ (2) thay v = ta có : P(u) = với u => P(x) =  Nếu P(0) = x = nghiệm P(x) => P(x) = x Q(x) Từ ta có : u.v.Q(uv) = u v.Q(u).Q(v) Suy : Q(uv) = Q(u).Q(v) Từ : Q(x) = Q(x) = x.R(x) Tiếp tục trình ta sau hữu hạn bước : P(x) = 1; P(x) = xn Thử lại thấy P(x) = 1; P(x) = xn thỏa mãn điều kiện Bài : Tìm thỏa :  P(0) = (1)  Giải Từ (2) ta có : P(x+1) – P(x) = P(x) – P(x - 1) Đặt Q(x) = P(x) – P(x – 1) Q(x + 1) = Q(x) => Q(x) = a số Suy : P(x) – P(x - 1) = a Vì hai đa thức bậc n trùng n + điểm nguyên đa thức trùng Xét P(n) – P(n - 1) = a Suy : P(n) = P(0) + n.a => P(x) = a + bx Do P(0) = nên a = Vậy P(x) = bx , b số Thử lại thấy thỏa mãn Bài : Tìm P(x) bậc n thỏa mãn điều kiện : (1) Giải Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chun Lào Cai Ta có : Đặt Q(x) = ta có : Q(x + 1) = Q(x) + 4x + Vì hai đa thức bậc trùng m + điểm ngun đa thức trùng Xét Q(x) điểm nguyên Q(n + 1) = Q(n) + 4n + Suy : Q(1) = Q(0) + 4.0 + Q(2) = Q(1) + 4.1 + Q(n) = Q(n - 1) + 4.(n – 1) + => Q(n) = Q(0) +4(1 +2 + +n -1) + 2n = Suy : (a bất kì) Từ suy : Suy : P(x) = x + a ( a số bất kì) Thử lại thấy thỏa mãn Bài : Tìm tất đa thức bậc n thỏa mãn : P(x + 1) = P(x) + 2x + Giải NX : hai đa thức bậc trùng m + điểm nguyên đa thức trùng Xét P(x) điểm nguyên Theo giả thuyết : P(n + 1) = P(n) + 2n + Suy : P(1) = P(0) + 2.0 +1 P(2) = P(1) + 2.1 +1 P(3) = P(2) + 2.2 +1 P(4) = P(3) + 2.3 +1 P(n + 1) = P(n) + 2.n +1 Suy : P(n + 1) = P(0) + 2(1 +2 + n) + n P(n + 1) = P(0) + n(n + 1) +n => P(n + 1) = P(0) + n2 + 2n => P(n) = P(0) + n2 Suy : P(x) = x2 + c Thử lại thấy thỏa mãn Vậy P(x) = x2 + c Phương pháp Phương trình hàm theo đặc trưng số học Cơ sở: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Nếu f(a) = f(b) phân tích f(x) – f(b) = (x – a)(x – b)G(x) Bài : Tìm đa thức P(x) bậc thỏa mãn :   Giải Theo giả thuyết P’(x) có bậc Suy : Và Có : P(1) + = P(-1) - = Suy : Vậy Bài : Tìm đa thức cho : f(2011) =2010 f(2009) = 2007 Giải Giả sử có : Khi : Lại có : Vậy khơng tồn hàm f thỏa mãn đề Bài : Tìm đa thức bậc n cho : (1) Giải Giả sử có : Với x = ta f(0) = f(0) =16 hay Suy : Suy : Bài ( Tổng quát) : Xét đa thức f(x) tùy ý đa thức hệ số nguyên thỏa mãn : Hỏi f(0) = f(1) = = f(k + 1) có khơng Giải Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Ta có : Nên Suy : Trường THPT Chuyên Lào Cai mà = hay Suy : Với G(x) đa thức với hệ số nguyên Như : (*) Do (*) ( Tập nầy khác tập ) Như c thuộc tập : Vậy Do 2,3,4 k – nghiệm G(x) Suy : Ta cần chứng minh H(1) = H(k) = Với c = c = k từ (3) ta có : Mà (k – 2)! > Vậy H(c) = Vậy : f(0) = f(1) = = f(k + 1) Bài (Singapore 97 – 98) : Giả sử f(x) đa thức hệ số nguyên thỏa mãn : Hỏi f(0) = f(1) = = f(1998) có khơng Giải Ta thấy : Do : Suy : f (1998) = f(0) Tương tự : 1998 – 1994 = Nên : Hay : Hay : Và : Do : Hay : Thay đổi vai trò 1998 ta có : f(0) = f(4) (xem lại) Xét 1993 : f(1993 ) = f(5) = f(0) Khi a mà ta có : với x = 4, 5, 1993, 1994 Vì BCNN số x – a lớn 1998 phải có : f(a) = f(0) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Tóm lại : f(0) = f(1) = = f(1998) Chú ý : Qua ta thấy : f(a) = f(b) f(x) – f(b) = (x – a)(x – b)G(x) Giải Phương pháp Dạng đặc biệt phương trình hàm đa thức: I Kiến thức cần nhớ: Phương trình dạng P(f)P(g) = P(h) Bài toán tổng quát: Giả sử f(x), g(x) h(x) đa thức thuộc R[x] cho thoả mãn điều kiện: deg(f) + deg(g) = deg(h) Tìm tất đa thức P(x) thuộc R[x] cho P(f(x))P(g(x)) = P(h(x)) với x thuộc R (1) Nghiệm phương trình hàm (1) có nhiều tính chất đặc biệt giúp xây dựng tất nghiệm từ nghiệm bậc nhỏ: Tính chất 1.1 Nếu P, Q nghiệm (1) P.Q nghiệm (1) Chứng minh: (P.Q)(h(x)) = (P)(h(x)).Q(h(x)) = P(f(x)).P(g(x)).Q(f(x)).Q(g(x)) = (P.Q)(f(x)).(P.Q)(g(x)) Hệ 1.2 Nếu P(x) nghiệm (1) Pn(x) nghiệm (1) Định lý 1.3 Nếu f, g, h đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện deg(f) + deg(g) = deg(h) thoả mãn hai điều kiện sau: (i) deg(f) ≠ deg(g) (ii) deg(f) = deg(g) f* + g* ≠ 0, f*, g* hệ số cao đa thức f g tương ứng Khi với số nguyên dương n tồn nhiều đa thức P(x) có bậc n thoả mãn phương trình (1) Chứng minh: Giả sử P đa thức bậc n thoả mãn phương trình (1), deg(f) = f, deg(g) = g, deg(h) = h, hệ số cao P, f, g, h tương ứng P*, f*, g*, h* So sánh hệ số cao hai vế đa thức phương trình P(f(x))P(g(x)) = P(h(x)) ta có P*(f*)n.P*(g*)n = P*(h*)n từ suy P* = (h*/f*g*)n Như vậy, giả sử ngược lại, tồn đa thức Q bậc n (khác P) thoả mãn phương trình (1) Q* = P* ta có Q(x) = P(x) + R(x) với ≤ r = deg(R) < n (ta quy ước bậc đa thức đồng -, deg(R)  đồng nghĩa R không đồng 0) Thay vào phương trình (1), ta (P(f) + R(f))(P(g) + R(g)) = P(h) + R(h)  P(f)P(g) + P(f)R(g) + R(f)P(g) + R(f)R(g) = P(h) + R(h)  P(f)R(g) + R(f)P(g) + R(f)R(g) = R(h) (2) Bây ta xét trường hợp Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai i) deg(f)  deg(g) Giả sử f > g Khi bậc đa thức vế trái (2) nf + rg, rf + ng, rf + rg, nf + rg > rf + ng > rf + rg nên vế trái có bậc nf + rg Trong vế phải có bậc rh = r(f+g) < nf + rg Mâu thuẫn ii) deg(f) = deg(g) Khi đó, hai đa thức vế trái (2) có bậc nf + rg = ng + rf xảy triệt tiêu thực phép cộng Tuy nhiên, xét hệ số cao hai đa thức này, ta có hệ số x nf + rg đa thức thứ thứ hai P*(f*) nR*(g*)r, R*(f*)rP*(g*)n Như thế, bậc xnf+rg tổng hai đa thức P*R*f*rg*r(f*(n-r)+g*(n-r))  f* + g*  Như vậy, bậc vế trái (2) nf + rg, bậc vế phải rh = rf + rg < nf + rg Mâu thuẫn Định lý chứng minh hoàn toàn Áp dụng định lý 1.3 hệ 1.2, ta thấy P 0(x) đa thức bậc thoả mãn phương trình (1) với f, g, h đa thức thoả mãn điều kiện định lý 1.3 tất nghiệm (1) có dạng: P(x)  0, P(x)  1, P(x) = (P0(x))n Hệ 2.2: Nếu đa thức bậc thỏa mãn (1) với f, g, h đa thức thỏa mãn tính chất tất nghiệm (1) có dạng : P(x) = 0; P(x) = ; P(x) = Sau đây, xem xét số ví dụ áp dụng tính chất nói II Hai phương pháp giải bản: II.1 Đồng hệ số: Bài : Tìm tất hàm đa thức hệ số thực cho : (1) Giải Đặt f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x Thì ta có : Thỏa mãn : tổng hệ số cao f g khác khơng Khi với n tồn nhiều đa thức bậc n thỏa mãn phương trình (1) Ta P(x) P(x) Ta nhận thấy P(x) = 0; P(x) = đa thức thỏa mãn (1) U(x) = x đa thức bậc thỏa mãn (1) Vậy với P(x) = = xn đa thức bậc n thỏa mãn phương trình (1) ( theo định lí tính chất 2) Kết luận : P(x) = P(x) = P(x) = xn Thử lại thấy thỏa mãn (hoặc giải theo Bungari – 1976) Bài ( THTT – 2006 ) : Tìm tất đa thức hệ số thực thỏa mãn : (*) Giải Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Đặt f(x) = x ; g(x) = x + ; h(x) = x + ta có :   tổng hệ số cao f g khác Do n tồn đa thức bậc n thỏa mãn (1) không đa thức Ta tìm đa thức bậc nhỏ thỏa mãn (1) Ta thấy P(x) = 0; P(x) = thỏa mãn  Nếu P(x) = ax + b (*) Nếu a = => b = => P = Nếu  Nếu Suy : Vậy có đa thức bậc thỏa mãn : Vậy tất đa thức hệ số thực thỏa mãn : đa thức bậc chẵn P(x) =0 ; P(x) = Ta (1) khơng có nghiệm đa thức bậc lẻ…… Bài 3(Vietnam 2006): Hãy xác định tất đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn hệ thức sau: P(x2) + x(3P(x) + P(-x)) = (P(x))2 + 2x2 (4) với số thực x Giải: Thay x = - x vào (4), ta Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai 2 P(x ) – x(3P(-x) + P(x)) = (P(-x)) + 2x (5) Trừ (4) cho (5), ta 4x(P(x) + P(-x)) = P2(x) – P2(-x)  (P(x) + P(-x))(P(x) – P(–x) – 4x) = (6) (6) với x thuộc R, ta phải có + Hoặc P(x) + P(-x) = với vô số giá trị x + Hoặc (P(x) – P(–x) – 4x = với vô số giá trị x Do P đa thức nên từ ta suy + Hoặc P(x) + P(-x) = với x + Hoặc (P(x) – P(–x) – 4x = với x Ta xét trường hợp: Nếu: P(x) + P(-x) = Khi ta có phương trình P(x2) + 2xP(x) = (P(x))2 + 2x2  P(x2) – x2 = (P(x) – x)2 Đặt Q(x) = P(x) – x Q(x 2) = Q2(x) Theo ví dụ Q(x)  0, Q(x)  1, Q(x) = xn Từ P(x) = x, P(x) = x+1, P(x) = xn + x So sánh với điều kiện P(x) + P(-x) = 0, ta nhận nghiệm: P(x) = x P(x) = x2k+1 + x, k = 0, 1, … Nếu: P(x) – P(-x) – 4x = Khi ta có phương trình P(x2) + x(4P(x) – 4x) = P2(x) + 2x2  P(x2) – 2x2 = (P(x) – 2x)2 Đặt Q(x) = P(x) – 2x Q(x2) = Q2(x) Q(x)  0, Q(x)  1, Q(x) = xn Từ P(x) = 2x, P(x) = 2x+1, P(x) = xn + 2x So sánh với điều kiện P(x) – P(-x) – 4x = 0, ta nhận nghiệm: P(x) = 2x, P(x) = 2x+1 P(x) = x2k + 2x, k = 1, 2, … Tổng hợp hai trường hợp, ta có tất nghiệm (4) đa thức P(x) = x, P(x) = 2x, P(x) = 2x+1, P(x) = x2k+1 + x, P(x) = x2k + 2x với k = 2, 3, … Bài 4(IMO) Tìm tất đa thức với hệ số thực P(x) thoả mãn đẳng thức sau với số thực x P(x)P(2x2) = P(2x3+x) (7) Giải: Các đa thức x, 2x2, 2x3+x thoả mãn điều kiện định lý 1.3, ta tìm nghiệm khơng đồng số với bậc nhỏ (7) Xét trường hợp P(x) có bậc nhất, P(x) = ax + b Thay vào (7), ta có (ax + b)(2ax2+b) = a(2x3+x) + b So sánh hệ số đơn thức hai vế, ta hệ a3 = 2a, 2ba2 = 0, ab = a, b2 = b Hệ vô nghiệm (do a  0) nên ta kết luận: không tồn đa thức bậc thoả mãn (7) Tiếp tục xét trường hợp P(x) có bậc 2, P(x) = ax2 + bx + c Thay vào (7), ta có Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai 3 (ax + bx + c)(4ax +2bx +c) = a(2x +x) + b(2x +x) + c  4a2x6 + 4abx5 + (4ac + 2ab)x4 + 2b2x3 + (ac + 2bc)x2 + bcx + c2 = 4ax6 + 4ax4 + 2bx3 + ax2 + bx + c So sánh hệ số đơn thức hai vế, ta hệ 4a2 = 4a, 4ab = 0, 4ac + 2ab = 4a, 2b2 = 2b, ac + 2bc = a, bc = b, c2 = c Hệ có nghiệm a = c = 1, b = Như vậy, P(x) = x + đa thức bậc thoả mãn (7) Từ hệ 1.2 định lý 1.3, ta suy (x 2+1)k tất đa thức bậc chẵn (không đồng số) thoả mãn (7) Giả sử  nghiệm thực P(x), 23 +  nghiệm P(x) Nếu  > ta có ,  + 23,  + 23 + 2( + 23)3, … dãy tăng tất nghiệm P(x), mâu thuẫn Tương tự,  < dãy nói dãy giảm ta có P(x) có vơ số nghiệm Nếu  = 0, đặt P(x) = xkQ(x) với Q(0)  0, thay vào phương trình, ta có xkQ(x)(2x2)kQ(2x2) = (2x3+x)kQ(2x3+x) => Q(x)(2x2)kQ(2x2) = (2x2+1)kQ(2x3+x) Thay x = vào ta = Q(0), mâu thuẫn Vậy P(x) khơng có nghiệm thực, có nghĩa P(x) khơng thể có bậc lẻ Vậy nghiệm phương trình là : P= 0 ; P=1 ; P= (x2+1)k II.2 Sử dụng số phức giải phương trình hàm dạng đặc biệt: Bài 1( CH Ailen-1998): Tìm đa thức hệ số thực thỏa mãn : (*) Giải: Nếu P(x) = C C= C= Xét P(x) khác số Gọi a nghiệm P(x) C Khi a2 nghiệm Suy a4; a8… Cũng nghiệm Vì đa thức bậc n khơng thể có q n nghiệm nên tồn n ch an = Do dãy a2n dãy vơ hạn, vơ lí Từ ta có: (2) Thay x a+ vào (1) ta có Lí luận tương tự ta suy ra: = nên hay Lại có: nghiệm (3) (4) Từ (2);(3);(4) ta suy ra: Suy a nghiệm Từ P(x) có dạng: Nếu Q(x) có bậc lớn thay vào (1) ta được: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Suy ra: Nếu degR = Trường THPT Chuyên Lào Cai thay vào (1) dùng đồng thức ta được: Suy P(x) có dạng Nếu degR = ta khơng tồn R(x) Nếu degR = R(x) = a ta chi được: P(x) = 0; Vậy hàm cần tìm là: P(x) = 0; P(x) = 1; Thử lại thấy thỏa mãn Bài 2: Tìm đa thức hệ số thực thỏa mãn : (*) Giải: Nếu P(x) = C C= C= Xét P(x) khác số Gọi a2 nghiệm P(x) C Khi a4 nghiệm , suy nghiệm Nếu P(x) có vơ số nghiệm C.Vơ lí Do Thay Hay cho hay (2) vào (*) ta suy nghiệm từ ta có: nghiệm P(x) Hay (3) Lại có: (4) Từ (2);(3);(4) ta suy ra: Suy a2 nghiệm Từ P(x) có dạng: Lập luận tương tự ta Các hàm số thỏa là: P(x) = 0; P(x) = 1; Bài 3: Tìm tất đa thức khơng số P(x) cho P(x)P(x+1) = P(x2+x+1) (8) Lời giải: Giả sử a nghiệm P(x) = Khi a2 + a + 1cũng nghiệm Thay x x - 1, ta có P(x)P(x-1) = P(x2 – x + 1) Vì P(a) = nên ta suy a2 – a + nghiệm P(x) = Chọn a nghiệm có modul lớn (nếu có vài nghiệm ta chọn chúng) Từ cách chọn ta suy |a2 + a + 1|  | a | |a2 – a + 1|  | a | Áp dụng bất đẳng thức modul, ta có | 2a |  | a2 + a + 1| + | – a2 + a – 1|  | a | + | a | = | 2a| Như dấu phải xảy đẳng thức trên, suy với Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai 2 (a +a+1) = s(-a +a-1) với s số dương Nếu |a2 + a + 1| < | a2 – a + 1| 2| a2 – a + 1| > | a2 – a + 1| + | a2 + a + 1|  | 2a |, suy |a2 – a + 1| > | a | Tương tự từ |a2 + a + 1| > | a2 – a + 1|, suy | a2 + a + 1| > | a |, mâu thuẫn với cách chọn a Vậy |a2 + a + 1| = | a2 – a + 1| Từ s = ta có (a2 + a + 1) = (–a2 + a – 1) suy a2 + = 0, suy a = i x2 + thừa số P(x) Từ P(x) = (x2 + 1)mQ(x), Q(x) đa thức khơng chia hết cho x2 + Thay vào (8), ta có Q(x) thỏa mãn (8) Nếu phương trình Q(x) = có nghiệm làm tương tự trên, nghiệm có modul lớn phải i Nhưng điều x2 + khơng chia hết Q(x) Ta đến kết luận Q(x) số, giả sử c Thay vào phương trình, ta c = Như tất nghiệm không phương trình (8) có dạng (x2 + 1)m với m số nguyên dương Bài 4: Tìm hàm đa thức P(x) cho: Giải: Nếu đa thức f = f= Xét P(x) số thì: ( TLGK CHUYEN 12 trang 269) III Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ so sánh bậc: Bài 1: Tìm tất đa thức với hệ số thực thỏa mãn : (1) Giải:  Nếu degP = , c số Từ (1)  Suy trường hợp có hai đa thức : Nếu degP = m với m lẻ đa thức Từ (1) suy : thỏa đề ln có nghiệm suy nghiệm Xét dãy số :  Dễ dàng ta thấy dãy tăng quy nạp theo n ta có : , Do đa thức có vơ số nghiệm : điều vơ lý Vì degP(x) chẵn Xét degP(x) = 2n ,  Ta viết lại , Từ quan hệ (1) toán, ta đồng hệ số hai vế phương trình hàm, ta : Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai  Ta đặt Khi : với ,  Vì : Mà suy : VT(2) có bậc : Nhưng : Do phải có , ta tìm : Vậy đa thức cần tìm : , (2) , VP(2) có bậc 2k Bài 2: Tìm tất đa thức thỏa mãn điều kiện: Giải: Cho x = f(0) = f(0) = Nếu f(x) = const f(0) = f(0) = Nếu f không số: TH1: f(0)= ta suy ra: Thay vào (1) ta có: Hay: Cho x = ta có Q(0) = vơ lí TH2: f(0) = nên tồn g(x) cho g(x) = f(x) - ; g(0) = Khi nên Tương tự ta vơ lí Vậy hàm cần tìm f(x) = f(x) = Bài 3( Đề đề xuất LQĐ Đà Nẵng) : Tìm tất đa thức với hệ số thực thỏa mãn: Giải: Nếu đa thức nhất thỏa mãn Giả sử Gọi hệ số bậc cao cuả bậc cao hai vế phương trình: Đặt Giả sử Thay vào phương trình hàm ban đầu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc đa thức bậc , hệ số Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Khi bậc đa thức vế trái phương trình là: vế phải (vơ lý) Vậy Tất đa thức thỏa là: , bậc đa thức IV.Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hàm đa thức khơng số P(x) cho: (8) Bài 2: Tìm hàm đa thức khơng số P(x) cho: Bài 3: Tìm hàm đa thức không số P(x) cho: Bài : (4.0 điểm) Tìm tất đa thức với hệ số thực thỏa mãn : (1) Đáp án :  Nếu degP = , c số Từ (1)  Suy trường hợp có hai đa thức : Nếu degP = m với m lẻ đa thức Từ (1) suy : thỏa đề ln có nghiệm suy nghiệm Xét dãy số :  Dễ dàng ta thấy dãy tăng quy nạp theo n ta có : Do đa thức có vơ số nghiệm : điều vơ lý Vì degP(x) chẵn Xét degP(x) = 2n ,  Ta viết lại , , Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc GV: Đặng Ngọc Cường Trường THPT Chuyên Lào Cai Từ quan hệ (1) toán, ta đồng hệ số  Ta đặt Khi : với hai vế phương trình hàm, ta : ,  Vì : Mà suy : VT(2) có bậc : Nhưng : Do phải có , ta tìm : Vậy đa thức cần tìm : , (2) , VP(2) có bậc 2k Bài 4: Tìm hàm đa thức khơng số P(x) cho: Bài 4: Tìm hàm đa thức không số P(x) cho: Bài 5( Đề đề xuất LQĐ Đà Nẵng) : Tìm tất đa thức Nếu đa thức nhất thỏa mãn Giả sử với hệ số thực thỏa mãn: Gọi hệ số bậc cao cuả bậc cao hai vế phương trình: Đặt Giả sử Thay vào phương trình hàm ban đầu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Phương trình hàm skkn Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc đa thức bậc , hệ số Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc Skkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thucSkkn.mot.so.bai.toan.phuong.trinh.ham phuong.trinh.ham.da.thuc